Formulario a ➟ integrales 277
AlfaomegaCálCulo integral • José Alfredo rAmos Beltrán
➠ Formulario A: IntegralesEn este formulario: �∈a b p q C, , , , son constantes reales, N∈m n, son enteros positivos y =u u x( ) y
=v v x( ) son funciones que dependen x.
Fórmulas básicas
1. ∫ =dx C0
2. ∫ = +k dx kx C
3. a u b v dx a udx b vdx C∫ ∫∫( )⋅ ± ⋅ = ± +
4. ∫ =+
+ ∀ ≠ −+
u du un
C n1
; 1nn 1
regla de la potencia
5. ∫ ∫= −u dv uv vdu integración por partes
6. ∫ = +a du aa
Cln( )
nn
7. ∫ = +duu
u Cln | |
8. ∫ = +e dx e Cu u
Fórmulas trigonométricas
9. ∫ = − +u du u Csen( ) cos( )
10. ∫ = +u du u Ccos( ) sen( )
11. u duu Cu C
tan( )ln sen( )ln cos( )∫[ ][ ]
=+
− +
12. ∫ [ ]= +u du u Ccot( ) ln sen( )
13. ∫ π[ ]
=+ +
+
+
u duu u Cu C
sec( )ln sec( ) tan( )
ln tan2 4
14. ∫[ ]
=− +
+
u duu u C
u Ccsc( )
ln csc( ) cot( )
ln tan2
15. ∫ = +u du u Csec ( ) tan( )2
16. ∫ = − +u du u Ccsc ( ) cot( )2
17. ∫ = − +u du u u Ctan ( ) tan( )2
18. ∫ = − − +u du u u Ccot ( ) cot( )2
19. ∫[ ]
=− +
− +
u du
u u C
u u u Csen ( ) 2
sen(2 )4
12
sen( )cos( )
2
20. ∫[ ]
=+ +
+ +
u du
u u C
u u u Ccos ( ) 2
sen(2 )4
12
sen( )cos( )
2
21. ∫ = +u u du u Csec( ) tan( ) sec( ) 22. ∫ = − +u u du c Ccsc( )cot( ) csc( )
Fórmulas trigonométricas hiperbólicas
23. ∫ = +u du u Csenh( ) cosh( )
24. ∫ = +u du u Ccosh( ) senh( )
25. ∫ [ ]= +u du u Ctanh( ) ln cosh( )
26. ∫ [ ]= +u du u Ccoth( ) ln senh( )
27. ∫ ( )[ ]
=+
+
−
−u du
u C
e Csech( )
sen tanh( )
2 tanh u
1
1
28.
∫( )
=
+
− +
−
u duu C
e Ccsch( )
ln tanh2
2coth u1
29. ∫ = +u du u Csech ( ) tanh( )2
30. ∫ = − +u du u Ccsch ( ) coth( )2
31. ∫ = − +u du u u Ctanh ( ) tanh( )2
32. ∫ = − +u du u u Ccoth ( ) coth( )2
33. ∫[ ]
=− +
− +
u du
u u C
u u u Csenh ( )
senh(2 )4 2
12senh( )cosh( )
2
34. ∫[ ]
=+ +
+ +
u du
u u C
u u u Ccosh ( )
senh(2 )4 2
12senh( )cosh( )
2
35. ∫ = − +u u du u Csech( ) tanh( ) sech( )
36. ∫ = − +u u du u Ccsch( )coth( ) csch( )
Formulario a ➟ integrales
Alfaomega CálCulo integral • José Alfredo rAmos Beltrán
278
Fórmulas con
56. ∫ +=
++
duau b
au ba
C2
57. ∫ +=
−+ +
uau b
du au ba
au b C2( 2 )3 2
58. ∫ +=
− ++ +
uau b
du a u abu ba
au b C2(3 4 8 )15
2 2 2 2
3
59. ∫ +=
+ −+ +
+
−+
−+
−
duu au b
bau b bau b b
C
bau b
bC
1 ln
2 tan 1
60. ∫ ∫+= −
+−
+du
u au bau bbu
ab
duu au b22
61. ∫ + =+
+au b du au ba
C2 ( )3
3
62. ∫ + =−
+ +u au b du au ba
au b C2(3 2 )15
( )23
63. ∫ + =− +
+ +u au b du a u abu ba
au b C2(15 12 8 )105
( )22 2 2
33
64. ∫ ∫+
= + ++
au bu
du au b b duu au b
2
65. ∫ ∫+
= −+
++
au bu
du au bu
a duu au b22
66. ∫ ∫+=
++
−+ +
−uau b
du u au bm a
mbm a
uau b
du2(2 1)
2(2 1)
m m m 1
67. ∫∫ += −
+−
−−− +− −
duu au b
au bm bu
m am b
duu au b( 1)
(2 3)(2 2)m m m1 1
68. ∫∫ + =+
+ −+
+−u au b du um a
au b mbm a
u au bdu2(2 3)
( ) 2(2 3)
mm
m32 1
69. ∫∫+
= −+
−+
− +− −
au bu
du au bm u
am
duu au b( 1) 2( 1)m m m1 1
70. ∫∫+
= −+
−−
−−
+− −
au bu
du au bm bu
m am b
au bu
du( )( 1)
(2 5)(2 2)m m m
32
1 1
71. ∫ + =+
++
+
au b du au ba m
C( ) 2( )( 2)
mm
2
22
72. ∫ + =+
+−
++
+
+ +
u au b du au ba m
b au ba m
C( ) 2( )( 4)
2 ( )( 2)
mm m
2
42
2
22
2
73. ∫ + =+
+−
++
+++
+
+ + +
u au b du au ba m
b au ba m
b au ba m
C( ) 2( )( 6)
4 ( )( 4)
2 ( )( 2)
mm m m
2 2
62
3
42
3
222
3
∫ + =+
+−
++
+++
+
+ + +
u au b du au ba m
b au ba m
b au ba m
C( ) 2( )( 6)
4 ( )( 4)
2 ( )( 2)
mm m m
2 2
62
3
42
3
222
3
Fórmulas con
37. ∫ ( )+
= + +du
au b aau b C1 ln
38. ∫ ( )+
= − + +u
au bdu u
aba
au b Cln2
39. ∫ ( )+
=+
−+
+ + +u
au bdu au b
ab au ba
ba
au b C( )2
2 ( ) ln2 2
3 3
2
3
40. ∫ +=
+−
++
+− + +
uau b
du au ba
b au ba
b au ba
ba
au b C( )3
3 ( )2
3 ( ) ln( )3 3
4
2
4
2
4
3
4
∫ +=
+−
++
+− + +
uau b
du au ba
b au ba
b au ba
ba
au b C( )3
3 ( )2
3 ( ) ln( )3 3
4
2
4
2
4
3
4
41. ∫ +=
+
+du
u au b bu
au bC
( )1 ln
42. ∫ += − +
+
+du
u au b buab
au bu
C( )
1 ln2 2
43. ∫ += −
++
duau b a au b
C( )
1( )2
44. ∫ +=
++ + +
uau b
du ba au b a
au b C( ) ( )
1 ln( )2 2 2
45. ∫ +=
+−
+− + +
uau b
du au ba
ba au b
ba
au b C( ) ( )
2 ln( )2
2 3
2
3 3
46. ∫ +=
++
+
+du
u au b b au b bu
au bC
( )1
( )1 ln2 2
47. ∫ += −
+− +
+
+du
u au ba
b au b b uab
au bu
C( ) ( )
1 2 ln2 2 2 2 3
48. ∫ += −
++
duau b au b
C( )
12( )3 2
49. ∫ += −
++
++
uau b
dua au b
ba au b
C( )
1( ) 2 ( )3 2 2 2
50. ∫ +=
+−
++ + +
uau b
du ba au b
ba au b a
au b C( )
2( ) 2 ( )
1 ln( )2
3 3
2
3 2 3
51. ∫ + =+
+au b du au ba
C( ) ( )2
2
52. ∫ + =++
+ ∀ ≠ −+
au b du au bn a
C n( ) ( )( 1)
1nn 1
53. ∫ + =++
−+
+∀ ≠ − −
+ +
u au b du au bn a
b au bn a
n( ) ( )( 2)
( )( 1)
1, 2n n n2
2
1
2
54. ∫ + =++
−+
++
++
+ ∀ ≠ − − −+ + +
u au b du au bn a
b au bn a
b au bn a
C n( ) ( )( 3)
2 ( )( 2)
( )( 1)
1, 2, 3nn n n
23
3
2
3
2 1
3
∫ + =++
−+
++
++
+ ∀ ≠ − − −+ + +
u au b du au bn a
b au bn a
b au bn a
C n( ) ( )( 3)
2 ( )( 2)
( )( 1)
1, 2, 3nn n n
23
3
2
3
2 1
3
55. ∫
∫
∫
∫ + =
++ +
++ +
+
++ +
−+ +
+
−+
++
+ ++
+
+−
+−
+ ++
u au b du
u au bm n
nbm n
u au b du
u au bm n a
mbm n a
u au b du
u au bn b
m nn b
u au b du
( )
( )1 1
( )
( )( 1) ( 1)
( )
( )( 1)
2( 1)
( )
m n
m nm n
m nm n
m nm n
11
11
1 11
Formulario a ➟ integrales 279
AlfaomegaCálCulo integral • José Alfredo rAmos Beltrán
74. ∫ ∫+
=+
++
−
au bu
du au bm
b au bu
du( ) 2( ) ( )m m m2 2
22
75. ∫ ∫+
= −+
++
+
au bu
du au bbu
amb
au bu
du( ) ( )2
( )m m m2
2
22 2
76. ∫∫+
=− +
++
− −
du
u au b b m au b bdu
u au b( )
2
( 2)( )
1
( )m m m2
22
22
Fórmulas con
77. ∫ +=
+−duu a a
ua
C1 tan2 21
78. ∫ ( )+
= + +u
u adu u a C1
2ln2 2
2 2
79. ∫ += −
+−uu a
du u a ua
Ctan2
2 21
80. ∫ ( )+
= − + +u
u adu u a u a C
2 2ln
3
2 2
2 22 2
81. ∫ +=
+
+du
u u a au
u aC
( )12
ln2 2 2
2
2 2
82. ∫ += − −
+−duu u a a u a
ua
C( )
1 1 tan2 2 2 2 31
83. ∫ += − −
+
+du
u u a a u au
u aC
( )1
212
ln3 2 2 2 2 4
2
2 2
84. ∫ ( )+=
++
+−duu a
ua u a a
ua
C2 ( )
12
tan2 2 2 2 2 2 3
1
85. ∫ ( )+= −
++
uu a
duu a
C12( )2 2 2 2 2
86. ∫ ( )+= −
++
+−uu a
du uu a a
ua
C2( )
12tan
2
2 2 2 2 21
87. ∫ ( )+=
++ + +
uu a
du au a
u a C2( )
12ln( )
3
2 2 2
2
2 22 2
88. ∫ ( )+=
++
+
+du
u u a a u a au
u aC1
2 ( )122 2 2 2 2 2 4
2
2 2
89. ∫ ( )+= − −
+−
+−duu u a a u
ua u a a
ua
C12 ( )
32
tan2 2 2 2 4 4 2 2 5
1
90. ∫ ( )+= − −
+−
+
+du
u u a a u a u a au
u aC1
21
2 ( )1 ln
3 2 2 2 4 2 4 2 2 6
2
2 2
91. ∫∫ ( ) ( )+= −
− ++
−− +
− −
duu a
ua n u a
nn a
duu a2 ( 1)( )
2 3(2 2)n n n2 2 2 2 2 1 2 2 2 1
92. ∫ ( )+= −
− ++−
uu a
dun u a
C12( 1)( )n n2 2 2 2 1
93. ∫∫ ( )+=
− ++
+− −
duu u a a n u a a
duu u a
12 ( 1)( )
1( )n n n2 2 2 2 2 1 2 2 2 1
94. ∫∫∫ ( ) ( )+=
+−
+
−
−
−uu a
du uu a
du a uu a
du( )
m
n
m
n
m
n2 2
2
2 2 12
2
2 2
95. ∫∫∫ ( ) ( ) ( )+=
+−
+− −
duu u a a
duu u a a
duu u a
1 1m n m n m n2 2 2 2 2 1 2 2 2 2
Fórmulas con
96. ∫ −=
−+
+
−
+
−
duu a
au au a
C
aua
C
12ln
1 coth2 2
1
97. ∫ −= − +
uu a
du u a C12ln( )2 2
2 2
98. ∫ −= +
−+
+u
u adu u a u a
u aC
2ln
2
2 2
99. ∫ −= + − +
uu a
du u a u a C2 2
ln( )3
2 2
2 22 2
100. ∫ −=
−
+du
u u a au au
C( )
12
ln2 2 2
2 2
2
101. ∫ −= +
−+
+du
u u a a u au au a
C( )
1 12
ln2 2 2 2 3
102. ∫ −= −
−
+du
u u a a u au
u aC
( )1
212
ln3 2 2 2 2 4
2
2 2
103. ∫ ( )−= −
−−
−+
+du
u au
a u a au au a
C2 ( )
14
ln2 2 2 2 2 2 3
104. ∫ −= −
−+
uu a
duu a
C( )
12( )2 2 2 2 2
105. ∫ ( ) ( )−= −
−+
−+
+u
u adu u
u a au au a
C2
14ln
2
2 2 2 2 2
106. ∫ ( ) ( ) ( )−
= −−
+ − +u
u adu a
u au a C
212ln
3
2 2 2 2 22 2
107. ∫ ( ) ( )−= −
−+
−
+du
u u a a u a au
u aC1
212
ln2 2 2 2 2 2 4
2
2 2
108. ∫ ( ) ( )−= − −
−−
−+
+du
u u a a uu
a u a au au a
C12
34
ln2 2 2 2 4 4 2 2 5
109. ∫ ( ) ( )−= − −
−+
−
+du
u u a a u a u a au
u aC1
21
21 ln
3 2 2 2 4 2 4 2 2 6
2
2 2
110. ∫ ∫( ) ( ) ( )( ) ( )−= −
− −−
−− −
− −
duu a
ua n u a
nn a
duu a2 1
2 32 2n n n2 2 2 2 2 1 2 2 2 1
Formulario a ➟ integrales
Alfaomega CálCulo integral • José Alfredo rAmos Beltrán
280
111. ∫ ( ) ( )( )−= −
− −+−
uu a
dun u a
C12 1
n n2 2 2 2 1
112. ∫∫ ( ) ( ) ( )( )−= −
− −−
−− −
duu u a a n u a a
duu u a
12 1
1n n n2 2 2 2 2 1 2 2 2 1
113. ∫∫∫ ( ) ( ) ( )−=
−+
−
−
−
−uu a
du uu a
du a uu a
dum
n
m
n
m
n2 2
2
2 2 12
2
2 2
114. ∫∫∫ ( ) ( ) ( )−=
−+
−− −
duu u a a
duu u a a
duu u a
1 1m n m n m n2 2 2 2 2 2 2 2 2 1
Fórmulas con
115. ∫ −=
+−
+
+
−
dua u
aa ua u
C
aua
C
12ln
1 tanh2 2
1
116. ∫ ( )−
= − − +u
a udu a u C1
2ln2 2
2 2
117. ∫ −= − +
+−
+u
a udu u a a u
a uC
2ln
2
2 2
118. ∫ ( )−
= − − − +u
a udu u a a u C
2 2ln
3
2 2
2 22 2
119. ∫ ( )−=
−
+du
u a u au
a uC1
2ln2 2 2
2
2 2
120. ∫ ( )−= +
+−
+du
u a u a u aa ua u
C1 12
ln2 2 2 2 3
121. ∫ ( )−= − +
−
+du
u a u a u au
a uC1
212
ln3 2 2 2 2 4
2
2 2
122. ∫ ( ) ( )−=
−+
+−
+du
a uu
a a u aa ua u
C2
14
ln2 2 2 2 2 2 3
123. ∫ ( ) ( )−=
−+
ua u
dua u
C122 2 2 2 2
124. ∫ ( ) ( )−=
−−
+−
+u
a udu u
a u aa ua u
C2
14ln
2
2 2 2 2 2
125. ∫ ( ) ( ) ( )−
=−
+ − +u
a udu a
a ua u C
212ln
3
2 2 2
2
2 22 2
126. ∫ ( ) ( )−=
−+
−
+du
u a u a a u au
a uC1
212
ln2 2 2 2 2 2 4
2
2 2
127. ∫ ( ) ( )−= − +
−+
+−
+du
u a u a uu
a a u aa ua u
C12
34
ln2 2 2 2 4 4 2 2 5
128. ∫ ( ) ( )−= − +
−+
−
+du
u a u a u a a u au
a uC1
21
21 ln
3 2 2 2 4 2 4 2 2 6
2
2 2
129. ∫∫ ( ) ( ) ( )( ) ( )−=
− −+
−− −
− −
dua u
ua n a u
nn a
dua u2 1
2 32 2n n n2 2 2 2 2 1 2 2 2 1
130. ∫ ( ) ( )( )−=
− −+−
ua u
dua n a u
C12 1
n n2 2 2 2 2 1
Fórmulas con
131. ∫ ( )+ =+
+ + + +u a du u u a a u u a C2 2
ln2 22 2 2
2 2
132. ∫( )
+ =+
+u u a duu a
C3
2 22 2
32
133. ∫ ( )( )+ =
+−
+− + + +u u a du
u u a a u u a a u u a C4 8 8
ln2 2 22 2
32 2 2 2 4
2 2
∫ ( )( )+ =
+−
+− + + +u u a du
u u a a u u a a u u a C4 8 8
ln2 2 22 2
32 2 2 2 4
2 2
134. ∫( ) ( )
+ =+
−+
+u u a duu a a u a
C5 3
3 2 22 2
52 2 2 2
32
135. ∫( )
+=
+ + +
+
−
duu a
u u a C
ua
C
ln
senh2 2
2 2
1
136. ∫ += + +
uu a
du u a C2 2
2 2
137. ∫ ( )+
=+
− + + +u
u adu u u a a u u a C
2 2ln
2
2 2
2 2 22 2
138. ∫( )
+=
+− + +
uu a
duu a
a u a C3
3
2 2
2 232
2 2 2
139. ∫ += −
+ +
+
duu u a a
a u au
C1 ln2 2
2 2
140. ∫ += −
++
duu u a
u aa u
C2 2 2
2 2
2
141. ∫ += −
++
+ +
+
duu u a
u aa u a
a u au
C2
12
ln3 2 2
2 2
2 2 3
2 2
142. ∫+
= + −+ +
+
u au
du u a a a u au
Cln2 2
2 22 2
143. ∫ ( )+= −
++ + + +
u au
du u au
u u a Cln2 2
2
2 22 2
Formulario a ➟ integrales 281
AlfaomegaCálCulo integral • José Alfredo rAmos Beltrán
144. ∫+
= −+
−+ +
+
u au
du u au a
a u au
C2
12ln
2 2
3
2 2
2
2 2
145. ∫( )+
=+
+du
u a
ua u a
C2 2
32
2 2 2
146. ∫( )+
= −+
+u
u adu
u aC1
2 232
2 2
147. ∫ ( )( )+
= −+
+ + + +u
u adu u
u au u a Cln
2
2 232
2 22 2
148. ∫( )+
= + ++
+u
u adu u a a
u aC
3
2 232
2 22
2 2
149. ∫( )+
=+
−+ +
+
du
u u a a u a aa u a
uC1 1 ln
2 232
2 2 2 3
2 2
150. ∫( )+
= −+
−+
+du
u u a
u aa u
ua u a
C2 2 2
32
2 2
4 4 2 2
151. ∫( )+
= −+
−+
++ +
+
du
u u a a u u a a u a aa u a
uC1
23
232
ln3 2 2
32
2 2 2 2 4 2 2 5
2 2
∫( )+
= −+
−+
++ +
+
du
u u a a u u a a u a aa u a
uC1
23
232
ln3 2 2
32
2 2 2 2 4 2 2 5
2 2
152. ∫ ( )( ) ( )+ =
++
++ + + +u a du
u u a a u u a a u u a C4
38
38
ln2 232
2 232 2 2 2
4 2 2
∫ ( )( ) ( )+ =
++
++ + + +u a du
u u a a u u a a u u a C4
38
38
ln2 232
2 232 2 2 2
4 2 2
153. ∫ ( ) ( )+ =
++u u a du
u aC
52 2
32
2 252
154. ∫ ( )( ) ( ) ( )+ =
+−
+−
+− + + +u u a du
u u a a u u a a u u a a u u a C6 24 16 16
ln2 2 232
2 252 2 2 2
32 4 2 2 6
2 2
∫ ( )( ) ( ) ( )+ =
+−
+−
+− + + +u u a du
u u a a u u a a u u a a u u a C6 24 16 16
ln2 2 232
2 252 2 2 2
32 4 2 2 6
2 2
155. ∫
( ) ( )+=
++ + −
+ +
+
u au
duu a
a u a a a u au
C3
ln2 2
32 2 2
32
2 2 2 32 2
156. ∫ ( )( ) ( )+= −
++
++ + + +
u au
duu a
uu u a a u u a C3
232
ln2 2
32
2
2 232 2 2
2 2 2
∫ ( )( ) ( )+= −
++
++ + + +
u au
duu a
uu u a a u u a C3
232
ln2 2
32
2
2 232 2 2
2 2 2
157. ∫( ) ( )+
= −+
+ + −+ +
+
u au
duu a
uu a a a u a
uC
232
32ln
2 232
3
2 232
22 2
2 2
∫( ) ( )+
= −+
+ + −+ +
+
u au
duu a
uu a a a u a
uC
232
32ln
2 232
3
2 232
22 2
2 2
Fórmulas con
158. ∫ ( )−
= + − +du
u au u a Cln
2 22 2
159. ∫ −= − +
uu a
du u a C2 2
2 2
160. ∫ ( )−
=−
+ + − +u
u adu u u a a u u a C
2 2ln
2
2 2
2 2 22 2
161. ∫( )
−=
−+ − +
uu a
duu a
a u a C3
3
2 2
2 232
2 2 2
162. ∫ −=
+−duu u a a
ua
C1 sec2 2
1
163. ∫ −=
−+
duu u a
u aa u
C2 2 2
2 2
2
164. ∫ −=
−+
+−duu u a
u aa u a
ua
C2
12
sec3 2 2
2 2
2 2 31
165. ∫ ( )− =−
− + − +u a du u u a a u u a C2 2
ln2 22 2 2
2 2
166. ∫( )
− =−
+u u a duu a
C3
2 22 2
32
167. ∫ ( )( )− =
−+
−− + − +u u a du
u u a a u u a a u u a C4 8 8
ln2 2 22 2
32 2 2 2 4
2 2
∫ ( )( )− =
−+
−− + − +u u a du
u u a a u u a a u u a C4 8 8
ln2 2 22 2
32 2 2 2 4
2 2
168. ∫( ) ( )
− =−
+−
+u u a duu a a u a
C5 3
3 2 22 2
52 2 2
32
169. ∫−
= − −
+−u au
du u a a ua
Csec2 2
2 2 1
170. ∫ ( )−= −
−+ + − +
u au
du u au
u u a Cln2 2
2
2 22 2
171. ∫−
= −−
+
+−u au
du u au a
ua
C2
12sec
2 2
3
2 2
21
172. ∫( )−
= −−
+du
u a
ua u a
C2 2
32
2 2 2
Formulario a ➟ integrales
Alfaomega CálCulo integral • José Alfredo rAmos Beltrán
282
173. ∫( )−
= −−
+u
u adu
u aC1
2 232
2 2
174. ∫ ( )( )−
= −−
+ + − +u
u adu u
u au u a Cln
2
2 232
2 22 2
175. ∫( )−
= − −−
+u
u adu u a a
u aC
3
2 232
2 22
2 2
176. ∫( )−
= −−
−
+−du
u u a a u a aua
C1 1 sec2 2
32
2 2 2 31
177. ∫( )−
= −−
−−
+du
u u a
u aa u
ua u a
C2 2 2
32
2 2
4 4 2 2
178. ∫( )−
=−
−−
−
+−du
u u a a u u a a u a aua
C12
32
32
sec3 2 2
32
2 2 2 2 4 2 2 51
179. ∫ ( )( )− = − −
− − + − +u a du u u a u a a u u a C2 18
516
38
ln2 232 2 2 2 2 4 2 2
∫ ( )( )− = − −
− − + − +u a du u u a u a a u u a C2 18
516
38
ln2 232 2 2 2 2 4 2 2
180. ∫ ( ) ( )− =
−+u u a du
u aC
52 2
32
2 252
181. ∫ ( )( ) ( ) ( )− =
−+
−−
−+ + − +u u a du
u u a a u u a a u u a a u u a C6 24 16 16
ln2 2 232
2 252 2 2 2
32 4 2 2 6
2 2
∫ ( )( ) ( ) ( )− =
−+
−−
−+ + − +u u a du
u u a a u u a a u u a a u u a C6 24 16 16
ln2 2 232
2 252 2 2 2
32 4 2 2 6
2 2
182. ∫ ( ) ( ) ( )− =
−+
−+u u a du
u a a u aC
7 53 2 2
32
2 272 2 2 2
52
183. ∫( ) ( )−
=−
− − +
+−u au
duu a
a u a a ua
C3
sec2 2
32 2 2
32
2 2 2 3 1
184. ∫ ( )( ) ( )−= −
−+
−− + − +
u au
duu a
uu u a a u u a C3
232
ln2 2
32
2
2 232 2 2
2 2 2
∫ ( )( ) ( )−= −
−+
−− + − +
u au
duu a
uu u a a u u a C3
232
ln2 2
32
2
2 232 2 2
2 2 2
185. ∫( ) ( )−
= −−
+−
−
+−u au
duu a
uu a a u
aC
23
232sec
2 232
3
2 232
2
2 21
Fórmulas con
186. ∫ −=
+−dua u
ua
Csen2 2
1
187. ∫ −= − − +
ua u
du a u C2 2
2 2
188. ∫ −= −
−+
+−ua u
du u a u a ua
C2 2
sen2
2 2
2 2 21
189. ∫( )
−=
−− − +
ua u
dua u
a a u C3
3
2 2
2 232
2 2 2
190. ∫ −= −
+ −
+
duu a u a
a a uu
C1 ln2 2
2 2
191. ∫ −= −
−+
duu a u
a ua u
C2 2 2
2 2
2
192. ∫ −= −
−−
+ −
+
duu a u
a ua u a
a a uu
C2
12
ln3 2 2
2 2
2 2 3
2 2
193. ∫ − =−
+
+−a u du u a u a ua
C2 2
sen2 22 2 2
1
194. ∫( )
− = −−
+u a u dua u
C3
2 22 2
32
195. ∫( )
− = −−
+−
+
+−u a u duu a u a u a u a u
aC
4 8 8sen2 2 2
2 232 2 2 2 4
1
196. ∫( ) ( )
− =−
−−
+u a u dua u a a u
C5 3
3 2 22 2
52 2 2 2
32
197. ∫−
= − −+ −
+
a uu
du a u a a a uu
Cln2 2
2 22 2
198. ∫−
= −−
−
+−a uu
du a uu
ua
Csen2 2
2
2 21
199. ∫−
= −−
++ −
+
a uu
du a uu a
a a uu
C2
12ln
2 2
3
2 2
2
2 2
200. ∫( )−
=−
+du
a u
ua a u
C2 2
32
2 2 2
201. ∫( )−
=−
+u
a udu
a uC1
2 232
2 2
202. ∫( )−
=−
−
+−u
a udu u
a uua
Csen2
2 232
2 21
203. ∫( )−
= − +−
+u
a udu a u a
a uC
3
2 232
2 22
2 2
204. ∫( )−
=−
−+ −
+
du
u a u a a u aa a u
uC1 1 ln
2 232
2 2 2 3
2 2
205. ∫( )−
= −−
+−
+du
u a u
a ua u
ua a u
C2 2 2
32
2 2
4 4 2 2
Formulario a ➟ integrales 283
AlfaomegaCálCulo integral • José Alfredo rAmos Beltrán
206. ∫( )−
= −−
+−
−+ −
+
du
u a u a u a u a a u aa a u
uC1
23
232
ln3 2 2
32
2 2 2 2 4 2 2 5
2 2
∫( )−
= −−
+−
−+ −
+
du
u a u a u a u a a u aa a u
uC1
23
232
ln3 2 2
32
2 2 2 2 4 2 2 5
2 2
207. ∫ ( ) ( )− =
−+
−+
+a u duu a u a u a u a u
aC
43
838
sen2 232
2 232 2 2 2
4
208. ∫ ( ) ( )− = −
−+u a u du
a uC
52 2
32
2 252
209. ∫ ( ) ( ) ( )− = −
−+
−+
−+
+−u a u duu a u a u a u a u a u a u
aC
6 24 16 16sen2 2 2
32
2 252 2 2 2
32 4 2 2 6
1
∫ ( ) ( ) ( )− = −
−+
−+
−+
+−u a u duu a u a u a u a u a u a u
aC
6 24 16 16sen2 2 2
32
2 252 2 2 2
32 4 2 2 6
1
210. ∫ ( ) ( ) ( )− =
−−
−+u a u du
a u a a uC
7 53 2 2
32
2 272 2 2 2
52
211. ∫( ) ( )−
=−
+ − −+ −
+
a uu
dua u
a a u a a a uu
C3
ln2 2
32 2 2
32
2 2 2 32 2
∫( ) ( )−
=−
+ − −+ −
+
a uu
dua u
a a u a a a uu
C3
ln2 2
32 2 2
32
2 2 2 32 2
212. ∫( ) ( )−
= −−
−−
+
+a uu
dua u
uu a u a u
aC3
232
sen2 2
32
2
2 232 2 2
2
213. ∫( ) ( )−
= −−
−−
++ −
+
a uu
dua u
ua u a a a u
uC
23
232ln
2 232
3
2 232
2
2 2 2 2
∫( ) ( )−
= −−
−−
++ −
+
a uu
dua u
ua u a a a u
uC
23
232ln
2 232
3
2 232
2
2 2 2 2
Fórmulas con
214. ∫ + +=
−+−
+
−+ − −+ + −
+
−
duau bu c
ac bau bac b
C
b acau b b acau b b ac
C
24
tan 24
14
ln 2 42 4
2
21
2
2
2
2
215. ∫∫ ( )+ +
= + + −+ +
uau bu c
dua
au bu c ba
duau bu c
12ln
222
2
216. ∫∫ ( )+ +
= − + + +−
+ +u
au bu cdu u
aba
au bu c b aca
duau bu c2
ln 22
2
2 22
2
2 2
∫∫ ( )+ +
= − + + +−
+ +u
au bu cdu u
aba
au bu c b aca
duau bu c2
ln 22
2
2 22
2
2 2
217. ∫∫ ( )+ +=
+ +
−+ +
duu au bu c c
uau bu c
bc
duau bu c
12ln
22
2
2 2
218. ∫ ∫( )+ +=
+ +
− +−
+ +du
u au bu cbc
au bu cu cu
b acc
duau bu c2
ln 1 222 2 2
2
2
2
2 2
∫ ∫( )+ +=
+ +
− +−
+ +du
u au bu cbc
au bu cu cu
b acc
duau bu c2
ln 1 222 2 2
2
2
2
2 2
219. ∫∫ ( ) ( )( )+ +=
+− + +
+− + +
duau bu c
au bac b au bu c
aac b
duau bu c
24
242 2 2 2 2 2
∫∫ ( ) ( )( )+ +=
+− + +
+− + +
duau bu c
au bac b au bu c
aac b
duau bu c
24
242 2 2 2 2 2
220. ∫∫ ( ) ( )( )+ += −
+− + +
−− + +
uau bu c
du bu cac b au bu c
bac b
duau bu c
24 42 2 2 2 2 2
∫∫ ( ) ( )( )+ += −
+− + +
−− + +
uau bu c
du bu cac b au bu c
bac b
duau bu c
24 42 2 2 2 2 2
221.
∫∫ ( )( )
( )( )+ +=
− +
+ + ++
− + +u
au bu cdu
b ac u bca ac b au bu c
cac b
duau bu c
24
24
2
2 2
2
2 2 2 2
∫∫ ( )( )
( )( )+ +=
− +
+ + ++
− + +u
au bu cdu
b ac u bca ac b au bu c
cac b
duau bu c
24
24
2
2 2
2
2 2 2 2
222. ∫∫∫ ( ) ( ) ( ) ( )+ +=
+ +−
+ ++
+ +du
u au bu c c au bu cbc
duau bu c c
duu au bu c
12 2
12 2 2 2 2 2
∫∫∫ ( ) ( ) ( ) ( )+ +=
+ +−
+ ++
+ +du
u au bu c c au bu cbc
duau bu c c
duu au bu c
12 2
12 2 2 2 2 2
223. ∫∫∫ ( ) ( ) ( ) ( )+ += −
+ +−
+ +−
+ +
duu au bu c cu au bu c
ac
duau bu c
bc
duu au bu c
1 3 22 2 2 2 2 2 2 2
∫∫∫ ( ) ( ) ( ) ( )+ += −
+ +−
+ +−
+ +
duu au bu c cu au bu c
ac
duau bu c
bc
duu au bu c
1 3 22 2 2 2 2 2 2 2
224. ∫∫ ∫( )+ +=
−−
+ +−
+ +
− − −uau bu c
du ua m
ca
uau bu c
du ba
uau bu c
du1
m m m m
2
1 2
2
1
2
∫∫ ∫( )+ +=
−−
+ +−
+ +
− − −uau bu c
du ua m
ca
uau bu c
du ba
uau bu c
du1
m m m m
2
1 2
2
1
2
225. ∫ ∫∫( ) ( ) ( )( )+ += −
−−
+ +−
+ +− − −
duu au bu c c n u
bc
duu au bu c
ac
duu au bu c
11n n n n2 1 1 2 2 2
∫ ∫∫( ) ( ) ( )( )+ += −
−−
+ +−
+ +− − −
duu au bu c c n u
bc
duu au bu c
ac
duu au bu c
11n n n n2 1 1 2 2 2
Fórmulas con
226. ∫( )
+=
+− +
+
−
+−duu a a
a uu au a a
u aa
C16
ln 13tan 2
33 3 2
2
2 2 21
227. ∫ ( )+=
− ++
+
−
+−uu a
dua
u au au a a
u aa
C16ln 1
3tan 2
33 3
2 2
21
228. ∫ ( )+
= + +u
u adu u a C1
3ln
2
3 33 3
Formulario a ➟ integrales
Alfaomega CálCulo integral • José Alfredo rAmos Beltrán
284
229. ∫ ( )+=
+
+du
u u a au
u aC1
3ln3 3 3
3
3 3
230. ∫ ( ) ( )+= − −
− ++
−
−
+−duu u a a u a
u au au a a
u aa
C1 16
ln 13tan 2
32 3 3 3 4
2 2
2 41
∫ ( ) ( )+= − −
− ++
−
−
+−duu u a a u a
u au au a a
u aa
C1 16
ln 13tan 2
32 3 3 3 4
2 2
2 41
231. ∫ ( ) ( )( )
+=
++
+− +
+
−
+−duu a
ua u a a
u au au a a
u aa
C3
19
ln 23 3
tan 233 3 2 3 3 3 5
2
2 2 51
∫ ( ) ( )( )
+=
++
+− +
+
−
+−duu a
ua u a a
u au au a a
u aa
C3
19
ln 23 3
tan 233 3 2 3 3 3 5
2
2 2 51
232. ∫ ( ) ( ) ( )+=
++
− ++
+
−
+−uu a
du ua u a a
u au au a a
u aa
C3
118
ln 13 3
tan 233 3 2
2
5 3 3 4
2 2
2 41
∫ ( ) ( ) ( )+=
++
− ++
+
−
+−uu a
du ua u a a
u au au a a
u aa
C3
118
ln 13 3
tan 233 3 2
2
5 3 3 4
2 2
2 41
233. ∫ ( ) ( )+= −
++
uu a
duu a
C13
2
3 3 2 3 3
234. ∫ ( ) ( )+=
++
+
+du
u u a a u a au
u aC1
313
ln3 3 2 3 3 3 6
3
3 3
235. ∫∫ ( ) ( )+= − −
+−
+du
u u a a uu
a u a au
u adu1
3432 3 3 2 6
2
6 3 3 6 3 3
236. ∫ ∫+=
−−
+
− −uu a
du um
a uu a
du2
m m m
3 3
23
3
3 3
237. ∫∫ ( ) ( )( )+= −
−−
+− −
duu u a a n u a
duu u a
11
1n n n3 3 3 1 3 3 3 3
Fórmulas con
238. ∫ +=
+ +− +
− −
− +
+− −duu a a
u au au au a a
ua
ua
C14 2
ln 22
12 2
tan 1 2 tan 1 24 4 3
2 2
2 2 31 1
∫ +=
+ +− +
− −
− +
+− −duu a a
u au au au a a
ua
ua
C14 2
ln 22
12 2
tan 1 2 tan 1 24 4 3
2 2
2 2 31 1
239. ∫ +=
− ++ +
− −
− +
+−−uu a
dua
u au au au a a
ua
ua
C14 2
ln 22
12 2
tan 1 2 tan 1 22
4 4
2 2
2 211
∫ +=
− ++ +
− −
− +
+−−uu a
dua
u au au au a a
ua
ua
C14 2
ln 22
12 2
tan 1 2 tan 1 22
4 4
2 2
2 211
240. ∫ ( )+= − −
− ++ +
+ −
− +
+− −duu u a a u a
u au au au a a
ua
ua
C1 14 2
ln 22
12 2
tan 1 2 tan 1 22 4 4 4 5
2 2
2 2 51 1
∫ ( )+= − −
− ++ +
+ −
− +
+− −duu u a a u a
u au au au a a
ua
ua
C1 14 2
ln 22
12 2
tan 1 2 tan 1 22 4 4 4 5
2 2
2 2 51 1
241. ∫ ( )+
= + +u
u adu u a C1
4ln
3
4 44 4
242. ∫ ( )+=
+
+du
u u a au
u aC1
4ln4 4 2
4
4 4
243. ∫ +=
+−uu a
dua
ua
C12
tan4 4 21
2
2
244. ∫ ( )+= − −
+−duu u a a u a
ua
C12
12
tan3 4 4 4 2 61
2
2
245. ∫ −=
−+
−
+−duu a a
u au a a
ua
C14
ln 12
tan4 4 3 31
246. ∫ −=
−+
+u
u adu
au au a
C14
ln4 4 2
2 2
2 2
247. ∫ −=
−+
+
+−uu a
dua
u au a a
ua
C14ln 1
2tan
2
4 41
248. ∫ ( )−
= − +u
u adu u a C1
4ln
3
4 44 4
249. ∫ ( )−=
−
+du
u u a au au
C14
ln4 4 4
4 4
4
250. ∫ ( )−= +
−+
+
+−duu u a a u a
u au a a
ua
C1 14
ln 12
tan2 4 4 4 5 51
251. ∫ ( )−= +
−+
+du
u u a a u au au a
C12
14
ln3 4 4 4 2 6
2 2
2 2
Fórmulas con
252. ∫ ( ) ( )= − +au du aua
Csen cos
253. ∫ ( ) ( ) ( )= − +u au du aua
u aua
Csen sen cos2
254. ∫ ( ) ( ) ( )= + −
+u au du ua
aua
ua
au Csen 2 sen 2 cos22 3
2
255. ∫ ( ) ( ) ( )= −
+ −
+u au du ua a
au ua
ua
au Csen 3 6 sen 6 cos32
2 4 3
3
256. ∫ ∫( ) ( ) ( )= − + −u au du u aua
na
u au dusen cos cosnn
n 1
257. ∫ ∫( ) ( ) ( ) ( ) ( )= − + −−−
−u au du u aua
nua
au n na
u au dusen cos sen 1 sennn n
n1
2 22
∫ ∫( ) ( ) ( ) ( ) ( )= − + −−−
−u au du u aua
nua
au n na
u au dusen cos sen 1 sennn n
n1
2 22
258. ∫ ( ) ( )= − +au du u aua
Csen2
sen 24
2
Formulario a ➟ integrales 285
AlfaomegaCálCulo integral • José Alfredo rAmos Beltrán
259. ∫ ( ) ( ) ( )= − + +au du aua
aua
Csen cos cos3
33
260. ∫ ( ) ( ) ( )= − + +au du u aua
aua
Csen 38
sen 24
sen 432
4
261. ∫ ( ) ( ) ( )= − − +u au du u u aua
aua
Csen4
sen 24
cos8
22
2
262. ∫( ) ( ) ( )= −
⋅+
⋅−
auu
du au au ausen3 3! 5 5!
...3 5
263. ∫ ∫( ) ( ) ( )= − +au
udu au
ua au
udusen sen cos
2
264. ∫
( )( )
( ) ( )=
− +
+
duau
aau au C
aau Csen
1 ln csc cot
1 ln tan2
265. ∫( )
( )( ) ( ) ( )
( )= + + + +−
++
− +uau
dua
au au au B aunsen
118
71800
...2 2 1
2 1 !...
nn
n
2
3 5 2 1 2 1
∫( )
( )( ) ( ) ( )
( )= + + + +−
++
− +uau
dua
au au au B aunsen
118
71800
...2 2 1
2 1 !...
nn
n
2
3 5 2 1 2 1
266. ∫ ( ) ( )= − +duau a
au Csen
1 cot2
267. ∫ ( )( )
( )= − +
+duau
aua au a
au Csen
cos2 sen
12ln tan
23 2
268. ∫( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( )( )=
−−
−++
+ ≠au bu dua b ua b
a b ua b
C a bsen sensen
2sen
2
269. ∫π
( )−= +
+du
au aau C
1 sen1 tan
4 2
270. ∫π π
( )−= +
+ +
+uau
du ua
aua
au C1 sen
tan4 2
2 ln sen4 22
271. ∫π
( )+= − −
+du
au aau C
1 sen1 tan
4 2
272. ∫π π
( )+= − −
+ +
+uau
du ua
aua
au C1 sen
tan4 2
2 ln sen4 22
273. ∫π π
( )( )−= +
+ +
+duau a
aua
au C1 sen
12tan
4 216tan
4 223
274. ∫π π
( )( )+= − −
− −
+duau a
aua
au C1 sen
12tan
4 216tan
4 223
Fórmulas con
275. ∫ ( ) ( )= +au du aua
Ccos sen
276. ∫ ( ) ( ) ( )= + +u au du aua
u aua
Ccos cos sen2
277. ∫ ( ) ( ) ( )= + −
+u au du ua
au ua a
au Ccos 2 cos 2 sen22
2
3
278. ∫ ( ) ( ) ( )= −
+ −
+u au du ua a
au ua
ua
au Ccos 3 6 cos 6 sen32
2 4
3
3
279. ∫ ∫( ) ( ) ( )= − −u au du u aua
na
u au ducos sen sennn
n 1
280. ∫ ∫( ) ( ) ( ) ( ) ( )= − + −−−
−u au du u aua
nua
au n na
u au ducos sen cos 1 cosnn n
n1
2 22
∫ ∫( ) ( ) ( ) ( ) ( )= − + −−−
−u au du u aua
nua
au n na
u au ducos sen cos 1 cosnn n
n1
2 22
281. ∫ ( ) ( )= + +au du u aua
Ccos2
sen 24
2
282. ∫ ( ) ( ) ( )= − +au du aua
aua
Ccos sen sen3
33
283. ∫ ( ) ( ) ( )= + + +au du u aua
aua
Ccos 38
sen 24
sen 432
4
284. ∫ ( ) ( ) ( )= + + +u au du u u aua
aua
Ccos4
sen 24
cos 28
22
2
285. ∫( ) ( ) ( ) ( ) ( )= −
⋅+
⋅−
⋅+
auu
du u au au aucos ln2 2! 4 4! 6 6!
...2 4 6
286. ∫∫( ) ( ) ( )= − −au
udu au
ua au
uducos cos sen
2
287. ∫ π( )
( ) ( )=
+ +
+
+
duau
aau au C
aau Ccos
1 ln sec tan
1 ln tan4 2
288. ∫ ( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( )= + + + ++
+
+uau
dua
au au au E aun ncos
12 8
5144
...2 2 2 !
...nn
2
2 4 6 2 2
∫ ( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( )= + + + ++
+
+uau
dua
au au au E aun ncos
12 8
5144
...2 2 2 !
...nn
2
2 4 6 2 2
289. ∫ ( )( )= +
duau
aua
Ccos
tan2
290. ∫π
( )( )
( )= + +
+duau
aua au a
au Ccos
sen2 cos
12ln tan
4 23 2
Formulario a ➟ integrales
Alfaomega CálCulo integral • José Alfredo rAmos Beltrán
286
291. ∫( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( )( )=
−−
−++
+ ≠au bu dua b ua b
a b ua b
C a bcos cossen
2sen
2
292. ∫ ( )−= −
+du
au aau C
1 cos1 cot
2
293. ∫ ( )−= −
+
+uau
du ua
aua
au C1 cos
cot2
2 ln sen22
294. ∫ ( )+=
+du
au aau C
1 cos1 tan
2
295. ∫ ( )+=
+
+uau
du ua
aua
au C1 cos
tan2
2 ln cos22
296. ∫ ( )( )−= −
−
+duau a
aua
au C1 cos
12cot
216cot
223
297. ∫ ( )( )+=
+
+duau a
aua
au C1 cos
12tan
216tan
223
Fórmulas con
298. ∫ ( ) ( ) ( )= +au au du aua
Csen cos sen2
2
299. ∫ ( ) ( ) ( )( )
( )( )= −
− −
−+ +
+pu qu dup q up q
p q up q
Csen coscos2
cos2
300. ∫ ( ) ( ) ( )( )=
++
+
au au du aua n
Csen cos sen1
nn 1
301. ∫ ( ) ( ) ( )( )= −
++
+
au au du aua n
Ccos sen cos1
nn 1
302. ∫ ( ) ( ) ( )= − +au au du u aua
Csen cos8
sen 432
2 2
303. ∫ ( ) ( ) ( )= +du
au au aau C
sen cos1 ln tan
304. ∫π
( ) ( ) ( )= +
− +du
au au aau
a auC
sen cos1 ln tan
4 21
sen2
305. ∫ ( ) ( ) ( )=
+ +du
au au aau
a auC
sen cos1 ln tan
21
cos2
306. ∫ ( ) ( )( )= − +
duau au
aua
Csen cos
2cot 22 2
307. ∫π( )
( )( )= − + +
+auau
du aua a
au Csencos
sen 1 ln tan4 2
2
308. ∫( )( )
( )= +
+auau
du aua a
au Ccossen
cos 1 ln tan2
2
309. ∫π
( ) ( )±= ±
+du
au au aau C
sen cos12ln tan
8 2
310. ∓∫( )
( ) ( ) ( ) ( )±
= ± +au
au audu u
aau au Csen
sen cos 212ln sen cos
311. ∫( )
( ) ( ) ( ) ( )±
= ± ± +au
au audu
aau au u Ccos
sen cos12ln sen cos
2
Fórmulas con
312. ∫ ( )( )
( )=
− +
+
au du aau C
aau C
tan
1 ln cos
1 ln sec
313. ∫ ( ) ( )= − +au du aua
u Ctan tan2
314. ∫ ( ) ( ) ( )= + +au du aua a
au Ctan tan2
1 ln cos32
315. ∫ ∫( ) ( )( ) ( )=
−−
−−au du au
a nau dutan tan
1tann
nn
12
316. ∫ ( ) ( ) ( )( )=
++
+
au au du aua n
Ctan sec tan1
nn
21
317. ∫( )( ) ( )= +auau
dua
au Csectan
1 ln tan2
318. ∫ ( ) ( )= +duau a
au Ctan
1 ln sen
319. ∫ ( ) ( ) ( )= + − +u au du u aua a
au u Ctan tan 1 ln cos2
22
2
Fórmulas con
320. ∫ ( ) ( )= +au dua
au Ccot 1 ln sen
321. ∫ ( ) ( )= − − +au du aua
u Ccot cot2
322. ∫ ( ) ( ) ( )= − − +au du aua a
au Ccot cot2
1 ln sen32
323. ∫ ( ) ( ) ( )( )= −
++
−
au au du aua n
Ccot csc cot1
nn
21
324. ∫( )( ) ( )= − +auau
dua
au Ccsccot
1 ln cot2
Formulario a ➟ integrales 287
AlfaomegaCálCulo integral • José Alfredo rAmos Beltrán
325. ∫ ( ) ( )= − +duau a
au Ccot
1 ln cos
326. ∫ ( ) ( ) ( )= − + − +u au du u aua a
au u Ccot cot 1 ln sen2
22
2
327. ∫∫ ( ) ( )( ) ( )= −
−−
−−au du au
a nau ducot cot
1cotn
nn
12
Fórmulas con
328. ∫ π( )( ) ( )
=+ +
+
+
au dua
au au C
aau C
sec
1 ln sec tan
1 ln tan4 2
329. ∫ ( ) ( )= +au du aua
Csec tan2
330. ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + + +au du au aua a
au au Csec sec tan2
12ln sec tan3
331. ∫ ( ) ( ) ( )= +au au du auan
Csec tan secnn
332. ∫ ( )( )= +
duau
aua
Csec
sen
333. ∫ ( ) ( ) ( )= + +u au du ua
aua
au Csec tan 1 ln cos22
334. ∫ ∫( ) ( ) ( )( ) ( )=
−+
−−
−−au du au au
a nnn
au dusec sec tan1
21secn
nn
22
Fórmulas con
335. ∫ ( )( ) ( )
=− +
+
au dua
au au C
aau C
csc
1 ln csc cot
1 ln tan2
336. ∫ ( ) ( )= − +au du aua
Ccsc cot2
337. ∫ ( ) ( ) ( )= − +
+au du au aua a
au Ccsc csc cot2
12ln tan
23
338. ∫ ( ) ( ) ( )= − +au au du auna
Ccsc cot cscnn
339. ∫ ( )( )= − +
duau
aua
Ccsc
cos
340. ∫ ( ) ( ) ( )= − + +u au du u aua a
au Ccsc cot 1 ln sen22
341. ∫ ∫( ) ( ) ( )( ) ( )= −
−+
−−
−−au du au au
a nnn
au ducsc csc cot1
21cscn
nn
22
Fórmulas con funciones trigonométricas inversas
342. ∫
=
+ − +− −ua
du u ua
a u Csen sen1 1 2 2
343. ∫
= −
+−
+− −u ua
du u a ua
u a u Csen2 4
sen4
12 2
12 2
344. ∫( )
=
++ −
+− −u ua
du u ua
u a a uCsen
3sen
29
2 13
12 2 2 2
345. ∫
= +
⋅ ⋅+
⋅
⋅ ⋅ ⋅+
⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅+ ⋅ ⋅ ⋅
− ua
udu u
a
ua
ua
ua
sen
2 3 3
1 3
2 4 5 5
1 3 5
2 4 6 7 7
13 5 7
346. ∫
= −
−+ −
+
− −ua
udu
ua
u aa a u
uC
sen sen 1 ln
1
2
12 2
347. ∫
=
− + −
+− − −ua
dx u ua
u a a ua
Csen sen 2 2 sen12
12
2 2 1
348. ∫
=
− − +− −ua
du u ua
a u Ccos cos1 1 2 2
349. ∫
= −
−−
+− −u ua
du u a ua
u a u Ccos2 4
cos4
12 2
12 2
350. ∫( )( )
=
−− −
+− −u ua
du u ua
u a a uCcos
3cos
2
92 1
31
2 2 2 2
351. ∫ ∫π ( )
= −
− −ua
udu u
ua
udu
cos
2ln
sen1 1
352. ∫
= −
++ −
+
− −ua
udu
ua
u aa a u
uC
cos cos 1 ln
1
2
12 2
353. ∫
=
− − −
+− − −ua
du u ua
u a u ua
Ccos cos 2 2 cos12
1
2
2 2 1
354. ∫ ( )
=
− + +− −ua
du u ua
a u a Ctan tan2ln1 1 2 2
Formulario a ➟ integrales
Alfaomega CálCulo integral • José Alfredo rAmos Beltrán
288
355. ∫ ( )
= +
− +− −u ua
du u a ua
au Ctan 12
tan2
1 2 2 1
356. ∫ ( )
=
− + + +− −u ua
du u ua
au a u a Ctan3tan
6 6ln2 1
31
2 32 2
357. ∫
= −
+
−
+ ⋅ ⋅ ⋅
− ua
udu u
a
ua
ua
ua
tan
3 5 7
13
2
5
2
7
2
358. ∫
= −
−+
+
−
−
ua
udu u
aua a
u au
Ctan
tan 12ln
1
21
2 2
2
359. ∫ ( )
=
+ + +− −ua
du u ua
a u a Ccot cot2ln1 1 2 2
360. ∫ ( )
= +
+ +− −u ua
du u a ua
au Ccot 12
cot2
1 2 2 1
361. ∫ ( )
=
+ − + +− −u ua
du u ua
au a u a Ccot3cot
6 6ln2 1
31
2 32 2
362. ∫ ∫π ( )
= −
− −ua
udu u
ua
udu
cot
2ln
tan1 1
363. ∫
= −
++
+
− −ua
udu
ua
u au au
Ccot cot 1
2ln
1
2
12 2
2
364. ∫∫
=+
−+ −
−+
−+
u ua
du um
ua m
ua u
dusen1sen 1
1m
m m1
11
1
2 2
365. ∫∫
=+
++ −
−+
−+
u ua
du um
ua m
ua u
ducos1cos 1
1m
m m1
11
1
2 2
366. ∫ ∫
=+
−+ +
−+
−+
u ua
du um
ua
am
uu a
dutan1tan
1m
m m1
11
1
2 2
367. ∫∫
=+
++ +
−+
−+
u ua
du um
ua
am
uu a
ducot1cot
1m
m m1
11
1
2 2
Fórmulas con
368. ∫ = +e du ea
Cauau
369. ∫ = −
+ue du ea
ua
C1auau
370. ∫ = − +
+u e du ea
u ua a
C2 2auau
2 22
371.
�
∫∫ ( ) ( )=
−
− +−
+ ⋅ ⋅ ⋅ +−
+ ∀ =
−
− −u e du
u ea
na
u e du
ea
u nua
n n ua
na
C n1 1 !
n au
n aun au
aun
n n n
n
1
1 2
2
�
∫∫ ( ) ( )=
−
− +−
+ ⋅ ⋅ ⋅ +−
+ ∀ =
−
− −u e du
u ea
na
u e du
ea
u nua
n n ua
na
C n1 1 !
n au
n aun au
aun
n n n
n
1
1 2
2
372. ∫ ( ) ( ) ( )= +⋅
+⋅
+⋅
+ ⋅ ⋅ ⋅eudu u au au auln
1 1! 2 2! 3 3!
au 2 3
373. ∫∫ ( )= −−
+−− −
eu
du en u
an
eu
du1 1
au
n
au
n
au
n1 1
374. ∫ ( )+
= − + +du
p peup ap
p qe C1 lnauau
375. ∫ ( ) ( ) ( )+
= ++
− + +du
p qeup ap p qe ap
p qe C1 1 lnau au
au2 2 2
376. ∫ +=
+
−
− −
+ −
+
−
−
dupe qe
a pqpqe C
a pq
e qp
e qp
C
1 tan
12
lnau au
au
au
au
1
377. ∫ ( ) ( ) ( )=
− −
+e bu due a bu b bu
a bCsen
sen cosauau
2 2
378. ∫ ( ) ( ) ( )=
+ +
+e bu due a bu b bu
a bCcos
cos senauau
2 2
379. ∫ ∫( ) ( )= −e u du e ua a
euduln ln 1au
au au
Fórmulas con
380. ∫ ( ) ( )= − +u du u u u Cln ln
381. ∫ ( ) ( ) ( ) = − + +u du u u u u u Cln ln 2 ln 22 2
382. ∫ ∫( ) ( ) ( ) = − −
u du u u n u duln ln lnn n n 1
383. ∫ ( ) ( )= −
+u u du u u Cln2ln 1
2
2
384. ∫ ( ) ( )=+
−+
++
u u du um
um
Cln1ln 1
1m
m 1
385. ∫( ) ( )= +uu
du u Cln 12ln2
Formulario a ➟ integrales 289
AlfaomegaCálCulo integral • José Alfredo rAmos Beltrán
386. ∫( ) ( )= − − +u
udu u
u uCln ln 1
2
387. ∫ ( ) ( ) ( )= − + +u du u u u u u Cln ln 2 ln 22 2
388. ∫( ) ( )=
++
+uu
du un
Cln ln1
n n 1
389. ∫ ( )( ) ( )= +du
u uu C
lnln ln
390. ∫ ( ) ( )+ = + − +
+−u a du u u a u a ua
Cln ln 2 2 tan2 2 2 2 1
391. ∫ ( ) ( )− = − − ++−
+u a du u u a u a u au a
Cln ln 2 ln2 2 2 2
Fórmulas con
392. ∫ ( ) ( )= +au dua
au Csenh 1 cosh
393. ∫ ( ) ( ) ( )= − +u au du u aua
aua
Csenh cosh senh2
394. ∫ ( ) ( ) ( )= +
− +u au du ua a
au ua
au Csenh 2 cosh 2 senh22
3 2
395. ∫( ) ( ) ( )= +
⋅+
⋅+ ⋅ ⋅ ⋅
auu
du au au ausenh3 3! 5 5!
3 5
396. ∫ ∫( ) ( ) ( )= − +au
udu au
ua au dusenh senh cosh2
397. ∫ ( ) =
+duau a
au Csenh
1 ln tanh2
398. ∫ ( ) ( ) ( )= − +au du au aua
u Csenh senh cosh2 2
2
399. ∫ ( ) ( ) ( )= − − +u au du u aua
aua
u Csenh senh 24
cosh 28 4
22
2
400. ∫ ( )( )= − +
duau
aua
Csenh
coth2
401. ∫ ( ) ( ) ( )( )
( )( )=
+ +
−−
−+pu qu du
p q up q
p q up q
Csenh senhsenh2
senh2
402. ∫ ∫( ) ( ) ( )= − −u au du u aua
ma
u au dusenh cosh coshmm
m 1
403. ∫ ∫( ) ( ) ( ) ( )= −−−
−au du au auan
nn
au dusenh senh cosh 1 senhnn
n1
2
404. ∫∫( ) ( )
( )( )= −
−+
−− −
auu
du aun u
an
auu
dusenh senh1 1
coshn n n1 1
405. ∫∫ ( )( )
( ) ( ) ( )= −−
−−−− −
duau
aua n au
nn
duausenh
cosh1 senh
21 senhn n n1 2
Fórmulas con
406. ∫ ( ) ( )= +au du aua
Ccosh senh
407. ∫ ( ) ( ) ( )= − +u au du u aua
aua
Ccosh senh cosh2
408. ∫ ( ) ( ) ( )= − + +
+u au du u aua
ua a
au Ccosh 2 cosh 2 senh22
2
3
409. ∫( ) ( ) ( ) ( ) ( )= +
⋅+
⋅+
⋅+ ⋅ ⋅ ⋅
auu
du u au au aucosh ln2 2! 4 4! 6 6!
2 4 6
410. ∫∫( ) ( ) ( )= − +au
udu au
ua au
uducosh cosh senh
2
411. ∫ ( )( ) = +−duau a
e Ccosh
2 tan au1
412. ∫ ( ) ( ) ( )= + +au du u au aua
Ccosh2
senh cosh2
2
413. ∫ ( ) ( ) ( )= + − +u au du u u aua
aua
Ccosh4
senh 24
cosh 28
22
2
414. ∫ ( )( )= +
duau
aua
Ccosh
tanh2
415. ∫ ( ) ( ) ( )( )
( )( )=
− −
++
++pu qu du
p q up q
p q up q
Ccosh coshsenh2
senh2
416. ∫ ∫( ) ( ) ( )= − −u au du u aua
ma
u au ducosh senh senhmm
m 1
417. ∫ ∫( ) ( ) ( ) ( )= +−−
−au du au auan
nn
au ducosh cosh senh 1 coshnn
n1
2
418. ∫∫( ) ( )
( )( )= −
−+
−− −
auu
du aun u
an
auu
ducosh cosh1 1
senhn n n1 1
419. ∫∫ ( )( )
( ) ( ) ( )=−
+−−− −
duau
aua n au
nn
duaucosh
senh1 cosh
21 coshn n n1 2
Formulario B ➟ DerivaDas 291
AlfaomegaCálCulo integral • José Alfredo rAmos Beltrán
➠ Formulario B: DerivadasEn este formulario: c es una constante real, f g, y u son funciones derivables en x .
FÓRMULAS GENERALES1. ( ) =
ddx
c 0
2. ( ) ( )=ddx
cf x c ddx
f x( ) ( )
3. [ ]± = ′ ± ′d
dxf x g x f x g x( ) ( ) ( ) ( )
4. [ ] = ′ + ′ddx
f x g x f x g x g x f x( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5. [ ]
= ′ − ′d
dxf xg x
g x f x f x g xg x
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) 2
6. ( ) = ′ddx
f u f u dudx
( )
7. ( ) = −ddx
u nu dudx
n n 1
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
8. ( ) =ddx
x xsen cos
9. ( ) = −ddx
x xcos sen
10. ( ) =ddx
x xtan sec2
11. ( ) = −ddx
x xcot csc2
12. ( ) =ddx
x x xsec sec tan
13. ( ) = −ddx
x x xcsc csc cot
14. ( ) =ddx
u u dudx
sen cos
15. ( ) = −ddx
u u dudx
cos sen
16. ( ) =ddx
u u dudx
tan sec2
17. ( ) = −ddx
u u dudx
cot csc2
18. ( ) =ddx
u u u dudx
sec sec tan
19. ( ) = −ddx
u u u dudx
csc csc cot
FUNCIONES LOGARÍTMICAS
20. ( ) =d
dxex ex
21. ( ) =d
dxax ax aln
22. ( ) =d
dxx
xln
1
23. ( ) =d
dxa x
x alog
1
ln
24. ( ) =d
dxex ex
25. ( ) =d
dxax ax aln
26. ( ) =d
dxx
xln
1
27. ( ) =d
dxa x
x alog
1
ln
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
28. ( )−=
−
d
dxx
xsen 1 1
1 2
29. ( )−= −
−
d
dxx
xcos 1
1
1 2
30. ( )−=
+
d
dxx
xtan 1 1
1 2
31. ( )−= −
+
d
dxx
xcot 1
1
1 2
32. ( )−=
−
d
dxx
x xsec 1
12 1
Formulario B ➟ DerivaDas
Alfaomega CálCulo integral • José Alfredo rAmos Beltrán
292
33. ( )−= −
−
d
dxx
x xcsc 1
12 1
34. ( ) =−
−ddx
uu
dudx
sen 11
12
35. ( ) = −−
−ddx
uu
dudx
cos 11
12
36. ( ) =+
−ddx
uu
dudx
tan 11
12
37. ( ) = −+
−ddx
uu
dudx
cot 11
12
38. ( ) =−
−ddx
uu u
dudx
sec 11
12
39. ( ) = −−
−ddx
uu u
dudx
csc 11
12
FUNCIONES HIPERBÓLICAS40. ( ) =d
dxx xsenh cosh
41. ( ) =ddx
x xcosh senh
42. ( ) =ddx
x h xtanh sec 2
43. ( ) = −ddx
x h xcoth csc 2
44. ( ) = −ddx
hx hx xsec sec tanh
45. ( ) = −ddx
hx hx xcsc csc coth
46. ( ) =ddx
u u dudx
senh cosh
47. ( ) =ddx
u u dudx
cosh senh
48. ( ) =ddx
u h u dudx
tanh sec 2
49. ( ) = −ddx
u h u dudx
coth csc 2
50. ( ) = −ddx
hu hu u dudx
sec sec tanh
51. ( ) = −ddx
hu hu u dudx
csc csc coth
FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS52. ( )− =
+
ddx
xx
senh 1 1
1 2
53. ( )− =−
ddx
xx
cosh 1 12 1
54. ( )− =−
ddx
xx
tanh 1 11 2
55. ( )− = −−
ddx
xx
coth 1 11 2
56. ( ) = −−
−ddx
h xx x
sec 11
12
57. ( ) = −+
−ddx
h xx x
csc 11
12
58. ( )− =+
ddx
uu
dudx
senh 1 1
1 2
59. ( )− =−
ddx
uu
dudx
cosh 1 12 1
60. ( )− =−
ddx
uu
dudx
tanh 1 11 2
61. ( )− = −−
ddx
uu
dudx
coth 1 11 2
62. ( )− = −−
ddx
h uu u
dudx
sec 1 1
1 2
63. ( )− = −+
ddx
h uu u
dudx
csc 1 12 1
FORMULARIO C ➟ ÁLGEBRA, GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA 293
AlfaomegaCÁLCULO INTEGRAL • JOSÉ ALFREDO RAMOS BELTRÁN
Triángulo rectángulo
b ah
= =A ch ab12
12 , = + +P a b c , = +c a b2 2 2
Triángulo equilátero
ba
a
=h a32 , =A a3
42 , =P a3
Cuadrado
a
a
=A a2 , =P a4
Rectángulo
b
h
= + =P b h A bh2 2 ,
Romboide
b
h
=A bh
Trapezoide
b
a
h
= +A a b h12( )
Círculo
r
π=A r 2 , π=P r2
Corona circular
rR
π ( )= −A R r2 2 , =P a3
Sector circular
r
sθ
θ=A r12
2 , θ=s r
Esfera
r
π=V r43
3, π=S r4 2
Cono circular recto
h
r
π=V r13
3, π= +S r r h2 2
Cilindro circular recto
h
r
π=V r h2 , π=S rh2 lateralπ π= +S rh r2 2 2 total
Figuras geométricas
➠ Formulario C: Álgebra, Geometría y Trigonometría
c
FORMULARIO C ➟ ÁLGEBRA, GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
Alfaomega CÁLCULO INTEGRAL • JOSÉ ALFREDO RAMOS BELTRÁN
294
Elipse
b
a
π=A ab
Elipsoide
bac
π=A abc43
Paralelepípedo rectangular
h
ab
=V abh, ( )= + +S ab ah bh2
Pirámide
h
=V abh13
Cono truncado
h
r2
r1
π= + +V h r r r r13
( 2 )12
1 2 22
Pirámide Regular
a
h
H
h
H
=
V aH h2
13
➠ Álgebra
Fórmula cuadrática
+ + =
=− ± −
−
ax bx c
x b b acab ac
0
42
Discriminante 4
2
1,2
2
2
Desarrollo de productos notables y factorización
�
∓
x y x xy y
x y x x y x y y
x y n x n x y n x y nn
x y nn
y n
nk
nk n k
x y x y x y
x y x y x xy y
2
3 3
0 1 2 1
Donde !! !
n n n n n
2 2 2
3 3 2 2 3
1 1 2 2 1 1 n
2 2
3 3 2 2
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( )( )
( )
( )( )( )( )
± = ± +
± = ± + ±
+ =
+
+
+ ⋅ ⋅ ⋅ +−
+
∀ =
=−
− = + −
± = ± +
− − −
Formulario C ➟ Álgebra, geometría y trigonometría 295
AlfaomegaCálCulo integral • José Alfredo rAmos Beltrán
Reglas de exponentes y radicales
( )
( )
=
=
=
=
=
=
+
⋅
−
−
x x x
x x
xx
x
xx
xy
xy
xy x y
1
m n m n
m n m n
m
nm n
mm
n n
n
n n n
( )( )
=
=
=
=
=
=
x x
x x
x x
xy x y
xy
xy
x x
n n
nm nm
nm m n
n n n
nn
n
nm mn
1
Valores de exponenciales, propiedades de los logaritmos
( ) ( )( )
( )
=
=
→
→ ∞
=
=
=
=
( )
−
−∞
∞
ee
eeee xa x
x xa
x x
1
10
log loglog
ln log
nn
x
x
a
e
0
ln
log
10
10
a
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
+ =
− =
=
+ =
− =
=
x y xy
x y xy
n x x
x y xy
x y xy
b x x
ln ln ln
ln ln ln
ln ln
log log log
log log log
log log
n
a a a
a a a
a ab
➠ Geometría analítica
Distancia entre dos puntos
( ) ( )= − + −d x x y y2 12
2 12
(x1 , y1)
P1
y
x
P2
(x2 , y2)
Ecuación de la recta punto-pendiente
Pendiente de una recta
=∆∆
=−−
m yx
y yx x2 1
2 1
(x1 , y1)(x2 , y1)P1
y
x
P2
P3
∆y
∆x
(x2 , y2)
Puntos de intersección de la recta
Formulario C ➟ Álgebra, geometría y trigonometría
Alfaomega CÁlCulo integral • José Alfredo rAmos Beltrán
296
Ecuación de la recta punto-pendiente( )− = −y y m x x1 1
(x1 , y1)
y
x
Puntos de intersección de la recta
+ = ∀ ≠ ≠xa
yb
a b1 0; 0
(0 , b)
(a , 0)
y
x
Ecuación de la circunferencia con centro en el origen
+ =x y r2 2 2
y
rx
Ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen.
( ) ( )− + − =x h y k r2 2 2
y
r
xx
(h , k)
Parábola
=
−
= = −
x py p p p p p
p y p
2 ; Foco F= 0,2
; Extremos Izq ,2
;Der ,2
Lado Recto Lr 2 ; Recta Directriz 2
2
y
F
x(-h , )p
2
( p , )p 2
(0 , )p 2
y = - p 2
Parábola
= − −
− −
−
= =
x py p p p p p
p y p
2 ; Foco F= 0,2
; Extremos Izq ,2
;Der ,2
Lado Recto Lr 2 ; Recta Directriz 2
2
y
F
x
( p ,- )p 2
(-p , )p 2 (0 ,- )p
2
y = p 2
Formulario C ➟ Álgebra, geometría y trigonometría 297
AlfaomegaCálCulo integral • José Alfredo rAmos Beltrán
Parábola
=
−
= = −
y px p p p p p
p x p
2 ; Foco F=2
,0 ; Extremos Inf2
, ;Sup2
,
Lado Recto Lr 2 ; Recta Directriz 2
2
F
( , p )p
2
( ,- p )p
2
( ,0 )p
2
x = - p 2
x
y
Parábola
= − −
− −
−
= =
y px p p p p p
p x p
2 ; Foco F=2
,0 ; Extremos Inf2
, ;Sup2
,
Lado Recto Lr 2 ; Recta Directriz 2
2
( - ,- p )p
2
(- , p)p
2
( - ,0 )p
2 x = p
2
y
Elipse centro en el origen
( ) ( )
+ = −
−
xa
yb
a b
F dF F dF
1 dF=
,0 ; ,0
2
2
2
22 2
1 2
y
dF(- dF, 0) (dF, 0)x
ab
F2F1
Elipse centro en el origen
( ) ( )
+ = −
−
ya
xb
a b
F dF F dF
1 dF=
0, ; 0,
2
2
2
22 2
1 2
y
dF
( 0, dF )
( 0, -dF )
x
a
Ab
F2
F1
x
Formulario C ➟ Álgebra, geometría y trigonometría
Alfaomega CÁlCulo integral • José Alfredo rAmos Beltrán
298
Hipérbola
( ) ( )
− = +
−
xa
yb
a b
F dF F dF
1 dF=
,0 ; ,0
2
2
2
22 2
1 2
y
dF(- dF, 0) (dF, 0)xF2
F1
Hipérbola
( ) ( )
− = +
−
ya
xb
a b
F dF F dF
1 dF=
0, ; 0,
2
2
2
22 2
1 2
y
dF
( 0, dF )
( 0, -dF )
x
F2
F1
División de un segmento en una razón
=−−
=−−
r x xx x
r y yy y
r r
2 1
1
2 1
1
y
x
D
CE
B
R
S
A
( x2 , y2 )
( x2 , yr )
( x2 , y1 )( xr , y1 )( x1 , y1 )
( xr , yr )
Distancia de un punto a una rectaAx By C
P x y d Ax Bx CA B
Ecuación general de la recta 0
Entonces: 1, 1 Pr1 2
2 2( )+ + =
=+ +
+
y
xdPr
P
Ax +By +C =0
( x1 , y1 )
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