Fenómenos Críticos
INTRODUCCIÓN A LA COMPLEJIDAD EN BIOLOGÍA Y MEDICINA
Transiciones de fase termodinámicas
• fenómenos de equilibrio
• macroscópicos
Ej: fluido normal
punto crítico
Transición gas-líquido
Tc
Pc
T < Tc : transición de fase discontinua ó de 1er orden
Ferromagnetismo en sólidos
Magnetización M ↔ campo magnético B
|B|
|M|
0
Ms
M0
Magnetización
espontanea
Magnetizaciónde saturación
ferromagnético
paramagnético
0T
Tc
M0(T)
Fase ferromagnética Fase paramagnética
Tc: temperatura crítica
T = Tc : transición de fase continua, de 2do orden ó
fenómeno crítico
M0(T)
( )βTTTM c −~)(0
β > 0: exponente críticoT
0 Tc
Calor específico C(T): dQ = V C(T) dT;dTdQ
VTC 1)( =
C(T)
T
α−− cTTTC ~)(
α > 0: exponente crítico
para 1<<− cTT
Respuesta ante un campo magnético externo B
0
),(1)(=
∂∂
=BB
BTMV
Tχ
Susceptibilidad magnética:
BTM )(χδ ≈para
V = 1
B << 1
χ(T)
T
γχ −− cTTT ~)(
γ > 0: exponente crítico
para 1<<− cTT
Orígen microscópico del ferromagnetismo
Interacción de intercambio: jiij JE µµ .−=
µi µjµi : momento magnético ó spin
Modelo de Ising
Si = ± 1Si = 1
Sj = - 1
∑ ∑>< =
−−=ji
N
iiji SBSSJE
, 1
Mecánica EstadísticaDada la energía de una configuración {S1, S2,…,SN} permitecalcular promedios termodinámicos de cualquier cantidad quedependa de estas variables
( )∑ −
−
=
NSSS
TE
TE
N eeSSSP
,...,,
/
/
21
21
,...,,Distribución de Boltzmann:
∑ ∑>< =
−−=ji
N
iiji SBSSJE
, 1
∑=
=N
iiN SSSSM
121 ),...,,(Ej.: magnetización
( ) ( ) MN
SSSMSSSPN
TBm NSSS
NN
1,...,,,...,,1),( 21,...,,
2121
== ∑
B = 0
|m|Transición solo ocurrepara N →∞
TFenómeno cooperativo,
auto-organizadoTc
orden desorden Sistema complejo!m: parámetro de orden
Fluidos vs. ferromagnetos
( )βρρρ TTT cCGL −− ±~)(, para 1<<−TTc
α−− cTTTC ~)( para 1<<− cTT
B
B
v = 1/ρ
0
),(1)(=
∂∂
=BB
BTMV
Tχsusceptibilidad magnética:
γχ −− cTTT ~)( para 1<<− cTT
PPTPTT ∂
∂=
),(1),( ρρ
κcompresibilidad isotérmica:
γκ −− ccT TTPT ~),( para 1<<− cTT
( )βρρρ TTT ccGL −− ±~)(,
ββ
ρρ
ρρ
−+ −+
cc
c
c
LG
TTTT
11~)( ,,
β ~ 1/3
Ley de estados correspondientes
Universalidad
1.251.25 ± 0.021.239 ± 0.0021.33 ± 0.021.3 ± 0.2 γ
0.310.305 ± 0.0050.322 ± 0.0020.358 ± 0.0030.35 ± 0.015β
0.120.05 ± 0.060.113 ± 0.0050.04 ± 0.12< 0.2α
Ising d=3(exacto)
bronce βfluidobinario
NiXeexponente
Exponentes críticos Clases de Universalidad
Que determina la clase de universalidad?
• d: dimensión espacial
• simetría del parametro de orden
• interacciones de corto alcance
Teoría: Grupo de renormalización
Kenneth Wilson (1971) – Premio Nobel de Física 1982Leo P. Kadanoff (1965-1969)Michael E. Fisher (1964-1969)B. Widom (1965-1967)
Concepto principal: INVARIANCIA DE ESCALA
Correlaciones espaciales
0rSrr +0
S
r0
r
r0+r
( )( )∑ ++ −−=0
0000
1)(r
rrrrrr SSSSN
rC
correlación entre fluctuaciones de spines a una distancia r = |r|
O
ξ/)( rerC −≈para T ≠ Tc
ξ(T): longitud de correlación
νξ −−≈ cTTT )(para T → Tc υ > 0: exponente crítico
ξη
/2
1)( rd e
rrC −
+−≈para T ~ Tc η > 0: exponente crítico
Sistemas críticos presentan correlaciones espaciales de largo alcance!
Extrema sensibilidad ante perturbaciones externas → divergencia en las funciones respuesta
Ising d=2 – Simulaciones numéricas
T = 0.8 Tc T = 0.95 Tc T = 0.99 Tc T = 0.999 Tc
ξ ξ
T = Tc T = 1.1 Tc T = 1.5 Tc T = 2 Tc
INVARIANCIA DE ESCALA
T = Tc
Fractal!
Fluctuaciones de todas las escalas
Opalescencia crítica
Una medida de Complejidad( ) ( ) ( )[ ]∑∑
±=±=
−=1
21211 21
,S
jiijS
ij SPSPSSPδ
∑=ji
ijD,
δComplejidad:
SjSi
i jPi(S) Pj(S)
Si = +1 → Pi(+1)Si = -1 → Pi(-1)
0≈ijδT >> Tc →
Pij(S1,S2) = Pi(S1) Pj(S2)
Probabilidad conjunta
Pij(S1,S2)eventos independientes:
eventos correlacionados:
Pij(S1,S2) > Pi(S1) Pj(S2)
T << Tc
Pi(+1) ~ Pj(+1) ~ 1
Pij(+1,+1) ~ 1
Pi(-1) ~ Pj(-1) ~ 0
Pij(+1,-1) ~ Pij(-1,+1) ~ Pij(-1,-1) ~ 0
0≈ijδ
Grupo de renormalización
Conjunto de transformaciones de escala:
“ZOOM termodinámico” T → Tc ξ → ∞
Universalidad: los exponentes críticos solo dependen de aquellas propiedades que permenecen invariantes ante una trasformación de escala
Correlaciones temporalesRelajación al equilibrio:
τ/)()( teq eATmtm −+= para T ≠ Tc
τ(T): tiempo de relajación
τ(T) ~ ξ z ~|T-Tc|zυ z > 0: exponente crítico dinámicofrenado crítico:
Sistemas críticos presentan correlaciones temporales de largo alcance!
Fenómenos críticosInvariancia de escala no trivial (longitud de correlación divergente)Correlaciones espaciales y temporales (entrefluctuaciones) de largo alcance (leyes de potencia)Sensibles ante perturbaciones externas: funcionesrespuestas divergentes → leyes de potenciacaracterizadas por exponentes críticosUniversalidad → fenómenos independientes de losdetalles finos
0/)( rrerf −= r’ [cm] = r [mm]/10
r' [cm]
f(r) =
exp
(-r'/
r' 0)
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
r0
r [mm]
f(r) =
exp
(-r/r
0)
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
r0
No es invariante por unatransformación de escala!
Las leyes de potencia son invariantes por escala
r [mm]
f(r) =
1/r
α
αrrf 1)( =
r’ [cm] = r [mm]/10
r' [cm]
f(r')
= 1/
(10α
r' α)
αα '101)'(
rrf =
r' [cm]
f(r')*
10α
αα
'1)'(10)('
rrfrf ==