EXPERIMENTOS FACTORIALES Y CON MEZCLAS: APLICACIONES INDUSTRIALES
David R. González Barreto
GRUPO M
Etapas del Adiestramiento
Experimentos Factoriales y con Mezclas David R. González Barreto
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¨ Introducción ¨ Experimentos Factoriales ¨ Experimentos con Mezclas
GRUPO M
Definiciones y principios básicos
¨ Experimento es una prueba o serie de pruebas en la(s) cual(es) ciertas variables de entrada de un proceso son alteradas sistemáticamente con el propósito de identificar su efecto en la(s) variable(s) de salida.
¤ Los experimentos diseñados estadísticamente permiten diseñar pruebas que son eficientes y económicas, el uso de métodos estadísticos a la hora de examinar los datos obtenidos de estas pruebas resultan en conclusiones válidas y objetivas desde la perspectiva científica.
¤ Todos los experimentos se diseñan, algunos se diseñan de forma incorrecta resultando en conclusiones no válidas y/o un mal uso de recursos.
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GRUPO M
Definiciones y principios básicos
¨ Factor es cualquier variable cuyo impacto en la respuesta queremos estudiar y que podemos controlar.
¨ Nivel es el número de alternativas o ajustes para cada factor.
¨ Tratamiento o condición experimental es una combinación de factores para obtener una respuesta.
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GRUPO M
Definiciones y principios básicos
¨ Repetición se refiere al número de ocasiones que una misma condición experimental se efectúa durante la prueba.
¨ En este ejemplo, tendríamos cuatro (4) condiciones experimentales. Si cada una de las condiciones experimentales se repite el mismo número de veces, en este caso sería dos (2) veces como se presenta en la casilla superior izquierda, entonces decimos que el experimento es balanceado. De lo contrario, el experimento es considerado como desbalanceado con ciertas repercusiones que estudiaremos.
Temperatura
Presión X X
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Experimentación
Proceso
o
Sistema
• Variables de Entrada • Variables Controlables • Factores
Recursos • Personal • Equipo de Medidas
• Otros
X y
• Variables de Salida • Variables de Respuesta
En DOE las variables X’s son manipuladas sistemáticamente. Típicamente resulta en una matriz de variables no correlacionadas
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Experimentación
y = f ( X ) + ε
Aspiramos a obtener un modelo matemático de la forma:
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GRUPO M
Definiciones y principios básicos
¨ Aleatoriedad se refiere al orden en que se ejecutan las condiciones experimentales durante el experimento. El objetivo de la aleatoriedad es el de ‘neutralizar’ los efectos de variables ajenas al experimento que puedan intervenir o estar presentes en el mismo.
¨ Bloque es la técnica utilizada con el fin de aumentar la precisión en un experimento. Un bloque es una porción del material experimental que debe ser más homogénea que el conjunto completo del material.
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GRUPO M
Pasos a seguir en el diseño y análisis de experimentos
1. Reconocimiento y establecimiento del problema
2. Selección de factores y los niveles de estos 3. Selección de la variable respuesta 4. Determinar el diseño experimental a llevarse a cabo
5. Llevar a cabo el experimento 6. Analizar los datos 7. Conclusiones y recomendaciones 8. Estudio de confirmación
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GRUPO M
Clasificación de variables controlables (Factores)
Variables Controlables
Cualitativas (e.g Tipo de
Material, Sujeto)
Cuantitativas (e.g Temperatura,
Presión)
Variable de Respuesta
Cualitativas (e.g producto aceptable o defectuoso)
Cuantitativas (e.g Viscosidad,
Tiempo)
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Modelos según las variables analizadas
X Cuantitativa Cualitativa
Y
Cuantitativa Diagramas de Dispersión, Regresión
Análisis de Varianza
Cualitativa Regresión Logística
Tablas de contingencia
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Modelos según las variables analizadas
¨ Modelo de ANOVA para un factor:
yij = µ + ιi + eij
¨ Modelo de regresión de un factor:
yij = bo + b1 X + eij
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Análisis de varianza (ANOVA)
¨ ANOVA - este nombre proviene del inglés ‘Analysis of Variance’ y el objetivo fundamental es el de descomponer la variabilidad total en sus distintos componentes.
¨ Considere la siguiente Tabla para un experimento de un solo factor con n repeticiones en cada uno de los a tratamientos :
Tratamientos 1 2 …. a
y11 y21 ya1 y12 y22 ya2 . .
Observaciones
y1n y2n yan totales y1. y2. …. ya.
promedios .1y .2y .ay
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GRUPO M
Análisis de varianza (ANOVA)
( )
( ) ( )[ ]
( ) ( )∑∑ −+∑ −=
∑∑ −+−=
+=∑∑ −=
= ==
= =
= =
a
i
n
jiij
a
ii
a
i
n
jiiji
ERROROSTRATAMIENT
a
i
n
jij
yyyynSST
yyyySST
SSSSyySST
1 1
2
.1
2
...
2
1 1....
2
1 1..
Al igual que la suma de cuadrados los grados de libertad se descomponen de forma aditiva como presenta la siguiente relación:
glTOTAL = glTratamientos + glError an – 1 = (a – 1) + (an – a) N – 1 = (a – 1) + (N – a)
libertaddegradosCuadradosdeSumadeVarianzaEstimado
=
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GRUPO M
Analisis de varianza (ANOVA)
Error
TratC MS
MSF .=1.
. −=aSSMS TratTrat
aNSSMS ErrorError −
=
N-1 SSTotal Total
N-a SSError Error (dentro)
a-1 SSTratamientos Tratamientos (entre)
Estadística F Promedio de Cuadrados Grados de Libertad
Suma de Cuadrados Fuente
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ANOVA – Un solo Factor
yij = µ + τi + εij
µ = promedio general
τi = efecto del bloque
εij = error o residual
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GRUPO M
Presunciones de ANOVA
¨ Para efectuar la prueba de hipótesis que acabamos de describir establecemos las siguientes presunciones: ¤ Los errores son variables aleatorias independientes y están normalmente
distribuidos promedio cero y varianza constante σ2. ¤ La varianza σ2 se presume constante para todos los niveles del factor.
¨ La prueba de hipótesis bajo estas condiciones puede formularse: Ho: ι1 = ι2 = ι3 = …. = ιa = 0 H1: ι1 ≠ 0 para al menos una i i = 1, 2, 3, …, a
¨ Una forma alterna para formular la hipótesis sería: Ho : µ1 = µ2 = µ3 = …. = µa H1 : µi ≠ µj para al menos una
combinación (i, j)
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GRUPO M
Métodos gráficos para cotejar la idoneidad del modelo
¨ Definimos el residual de la observación j dentro del tratamiento i : eij = yij - donde este último término corresponde al estimado del modelo para la observación correspondiente.
¨ Trazo de Probabilidad Normal (Normal Probability Plot) Cotejamos la normalidad de los residuales
¨ Trazo de Residuales en Secuencia de Tiempo – nos ayuda en detectar alguna correlación existente entre los residuales, por lo tanto, trabaja con la presunción de independencia de los residuales. En ocasiones, este gráfico podrá mostrarnos cuando una variable no considerada en el experimento intervino en el mismo.
ijŷ
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GRUPO M
Métodos gráficos para cotejar la idoneidad del modelo
• Trazo de Residuales vs. Factores – nos ayuda en detectar de forma clara en muchas ocasiones desviaciones a la presunción de varianza constante.
• Trazo de Residuales vs. Valores Estimados – este trazo no debe mostrar ninguna estructura para reconocer que tenemos un modelo adecuado y que las presunciones del mismo se cumplen. Ayuda a detectar valores influyentes (“outliers”).
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Análisis de varianza (ANOVA) Ejemplo
¨ El efecto de la geometría de un transportador de tabletas (“sinker”) en el tiempo de disolución de las tabletas es estudiado. Las tabletas son sumergidas en un baño en un medio específico luego de ser colocadas en los “sinkers” y el tiempo de disolución es capturado.
“Sinker Geometry”
G1 G2 G3 G4 G5
98 95 91 101 94
99 94 84 98 100
100 89 88 100 98
99 96 83 98 103
95 94 75 98 101
GRUPO M
Análisis de varianza (ANOVA) Ejemplo
One-way ANOVA: % Diss versus Sinker !!Source DF SS MS F P!Sinker 4 811.8 202.9 16.53 0.000!Error 20 245.6 12.3!Total 24 1057.4!!S = 3.504 R-Sq = 76.77% R-Sq(adj) = 72.13%!
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GRUPO M
Análisis de varianza (ANOVA) Ejemplo
Sinker
% D
iss
G5G4G3G2G1
105
100
95
90
85
80
75
Boxplot of % Diss by Sinker
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Análisis de residuales
¨ Usando métodos gráficos para el análisis de residuales podemos cotejar la idoneidad del modelo.
Trazo de Probabilidad Normal (Normal Probability Plot)
Una inspección visual de este gráfico no revela ninguna desviación significativa de la presunción de normalidad para los residuales.
Residual
Pe
rce
nt
50-5-10
99
95
90
80
70
60504030
20
10
5
1
Normal Probability Plot of the Residuals(response is % Diss)
GRUPO M
Análisis de residuales Trazo de Residuales vs. Orden de Experimentación
Ningún patrón aparente se muestra en el mismo.
Observation Order
Re
sid
ua
l
24222018161412108642
5
0
-5
-10
Residuals Versus the Order of the Data(response is % Diss)
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GRUPO M
Pruebas después de ANOVA
¨ Diferencia Mínima Significativa (Least Significant Difference) ¤ Después que Anova rechaza la Hipótesis nula entonces queremos hacer
pruebas con la siguiente formulación: Ho: µi = µj para toda i ≠ j
¤ Esto puede realizarse empleando la estadística t
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−=
ji
ji
nnMSE
yyt
11..
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GRUPO M
Pruebas después de ANOVA
¨ Si presumimos una prueba en dos direcciones (dos colas), declararemos que una pareja de promedios µi, µj será signifcativamente diferente si:
¨ A la expresión de la derecha es a lo que conocemos como la diferencia mínima significativa (LSD).
¨ En resumen decimos que una pareja de promedios µi, µj difieren si:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+>− −
jiaNji nnMSEtyy 11,2/.. α
LSDyy ji >− ..
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GRUPO M
Pruebas después de ANOVA
Fisher 95% Individual Confidence Intervals!All Pairwise Comparisons among Levels of Sinker!!Simultaneous confidence level = 73.57%!!!Sinker = G1 subtracted from:!!Sinker Lower Center Upper +---------+---------+---------+---------!G2 -9.223 -4.600 0.023 (---*----)!G3 -18.623 -14.000 -9.377 (----*----)!G4 -3.823 0.800 5.423 (----*---)!G5 -3.623 1.000 5.623 (----*----)! +---------+---------+---------+---------! -20 -10 0 10!!!Sinker = G2 subtracted from:!!Sinker Lower Center Upper +---------+---------+---------+---------!G3 -14.023 -9.400 -4.777 (----*---)!G4 0.777 5.400 10.023 (---*----)!G5 0.977 5.600 10.223 (----*---)! +---------+---------+---------+---------! -20 -10 0 10!!!Sinker = G3 subtracted from:!!Sinker Lower Center Upper +---------+---------+---------+---------!G4 10.177 14.800 19.423 (----*---)!G5 10.377 15.000 19.623 (----*----)! +---------+---------+---------+---------! -20 -10 0 10!!
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GRUPO M
Bloque completamente aleatorio
¨ En muchos problemas experimentales, es necesario diseñar de forma tal que la variabilidad causada por fuentes ajenas a nuestro interés pueden ser sistemáticamente controladas. Cuando existe una sola fuente extraña (ajena) a nuestro interés, decimos que esa fuente o ese factor debe ser “bloqueado” con el fin de alejar su variabilidad del error experimental y así poder reducir el mismo. Experimentos de este tipo se conocen como Bloque Completamente Aleatorio.
yij = µ + τi + βj + εij
µ = promedio general
τi = efecto del bloque
βj = efecto del tratamiento j
εij = error o residual
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Bloque completamente aleatorio Ejemplo
¨ Suponga que en el ejemplo de los “sinkers” existen cinco baños (“vessels”) en dende se sumerjen los mismos. Los datos obtenidos se presentan en la siguiente tabla:
“Sinker Geometry”
Vessel G1 G2 G3 G4 G5
1 98 95 91 101 94
2 99 94 84 98 100
3 100 89 88 100 98
4 99 96 83 98 103
5 95 94 75 98 101
GRUPO M
Bloque completamente aleatorio Ejemplo
¨ Considerando tanto la “sinkers” como los baños en ANOVA, obtenemos la siguiente gráfica:
Analysis of Variance for %DISSOLUTION, using Adjusted SS for Tests!!Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P!Vessel 4 34.56 34.56 8.64 0.66 0.632!Sinker 4 811.76 811.76 202.94 15.39 0.000!Error 16 211.04 211.04 13.19!Total 24 1057.36!!!S = 3.63180 R-Sq = 80.04% R-Sq(adj) = 70.06%!
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GRUPO M
Experimentos Factoriales
¨ Muchos experimentos envuelven el estudio de los efectos de dos o más factores. Puede demostrarse que, en general, los diseños factoriales son los más eficientes para este tipo de experimentos.
¨ Definimos un Experimento Factorial como uno en donde existen dos o más factores, en donde todas las condiciones experimentales son llevadas a cabo de forma completamente aleatoria.
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GRUPO M
Experimentos Factoriales
¨ Características de los experimentos factoriales:
¤ Dos o más factores son considerados. ¤ Todas las posibles combinaciones de los niveles de los factores son investigadas. ¤ Son más eficientes que variar un factor a la vez (lo veremos). ¤ Son necesarios cuando las interacciones están presentes (lo veremos). ¤ Las unidades son sometidas a los distintos tratamientos de forma completamente
aleatoria. ¤ Nos permite estimar los efectos de un factor a través de distintos niveles de otros
factores, logrando conclusiones válidas en un rango de condiciones experimentales.
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GRUPO M
Experimentos Factoriales
4 x 3 2 x 2 - 22 2 x 2 x 2 - 23
2 x 2 x 2 x 2- 24 2 x 2 x 2 x 2 x 2 - 25 Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
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GRUPO M
Experimentos Factoriales
2 x 2 - 22
Factorial No se observa
Variando un factor a la vez
No se observan
Variando un factor a la vez
2 x 2 x 2 - 23
Factorial
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GRUPO M
Experimentos Factoriales
A A
Res
pues
ta
B-
B+
A- A+ A- A+
B-
B+
Interacción – No Presente Interacción – Presente
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Conceptos fundamentales del modelo lineal de regresión
y
yy
yn
=
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
1
2
::
X
x x xx x x
x x x
k
k
n n nk
=
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
11
1
11 12 1
21 22 2
1 2
..
..: : : .. :: : : .. :
..
β
β
β
β
=
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
0
1
::
k
ε
ε
ε
ε
=
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
1
2
::
n
( )( )ββεεε XyXyLn
ii −−==∑=
=
''
1
2
y = β0 + β1 X1 + β2 X2 + β3 X1 X2 + ε
Matriz de Diseño
y = Xβ + ε
βββ
ββββ
XXyXyyXXXyyXyyL
'''''
''''''
2= +−+−−=
∂∂βL
X y X Xbb
= − + =2 2 0' '
yXXbX '' =
( )b = −X X X y' '1Estimado de Coeficientes
Típicamente Matriz Diagonal
Vector Observaciones Vector Coeficientes Vector Errores
GRUPO M
Experimentos Factoriales - Ejemplo
Un experimento 24 se conduce para ver el impacto que tienen en la razón de filtración de un producto los factores: A (Temperatura), B (Presión), B (Concentración de Compuesto) y D (Velocidad de Agitado). La siguiente figura muestra las 16 respuestas obtenidas del experimento que se ejecutó de forma completamente aleatoria.
43
45
70
75
100
86
96
104
45
48
80
68
71
60
65
65
A
B
C
D
1
-1
1
-1
-1
1
-1 1
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GRUPO M
Experimentos Factoriales - Ejemplo
Mea
n of
R d
e Fi
ltra
ción
1-1
80
75
70
65
60
1-1
1-1
80
75
70
65
60
1-1
A B
C D
Main Effects Plot (data means) for R de Filtración
Estimated Effects and Coefficients for R de Filtración (coded units)!!Term Effect Coef!Constant 70.063!A 21.625 10.812!B 3.125 1.562!C 9.875 4.938!D 14.625 7.312!A*B 0.125 0.062!A*C -18.125 -9.063!A*D 16.625 8.313!B*C 2.375 1.188!B*D -0.375 -0.187!C*D -1.125 -0.563!A*B*C 1.875 0.937!A*B*D 4.125 2.063!A*C*D -1.625 -0.813!B*C*D -2.625 -1.312!A*B*C*D 1.375 0.687!
A
1-1 1-1 1-1100
75
50
B
100
75
50
C
100
75
50
D
A-11
B-11
C-11
Interaction Plot (data means) for R de Filtración
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38
GRUPO M
Experimentos Factoriales - Ejemplo
Effect
Perc
ent
20100-10-20
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
Factor
D
NameA AB BC CD
Effect TypeNot SignificantSignificant
AD
AC
DC
A
Normal Probability Plot of the Effects(response is R de Filtración, Alpha = .05)
Lenth's PSE = 2.625
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GRUPO M
Puntos centrales en los experimentos 2k
¨ Cuando efectuamos un experimento 2K lo hacemos bajo la suposición de que los efectos tienen un comportamiento lineal.
¨ Existe la posibilidad de efectuar observaciones en ciertos puntos de nuestra región experimental para detectar la presencia de curvatura en la misma, así como el de propiciar un estimado de error independiente.
¨ El método para lograr esto consiste en añadir repeticiones en el punto central del experimento 2K. Los nC puntos centrales se conducen en el experimento en el nivel codificado Xi = 0 (i =1, 2, …, K).
¨ Esto se hace bajo la suposición que los K factores son cuantitativos, veremos el impacto de que algunos de los factores sea cualitativo más adelante. Algo obvio que puede ser señalado en este instante es que factores de tipo cualitativo no tienen un nivel central.
¨ Suponga que tiene un experimento factorial 22 con una observación en cada punto factorial (- , -), (- , +), (+ , -) y (+ , +) así como cinco (nC = 5) observaciones en el nivel (0 , 0). Gráficamente esto se muestra en la figura que sigue.
5 observaciones
-1 1 0
-1
0
1
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40
GRUPO M
Puntos centrales en los experimentos 2k
¨ Si definimos como el promedio de las observaciones en las cuatro corridas del experimento factorial y como el promedio de las nC observaciones en los puntos centrales, entonces podemos decir que si la diferencia entre estos promedios (-) es grande, la curvatura existe.
¨ Una suma de cuadrados para discriminar si la curvatura es o no significativa está dada por
¨ Esta suma de cuadrados, con 1 grado de libertad, se compara con la media del cuadrado del error para probar la existencia de curvatura.
( )SS
n n y yn nCURVATURA
F C F C
F C=
−
+
2
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41
GRUPO M
Puntos centrales en los experimentos 2k Ejemplo
¨ Un ingeniero está estudiando el rendimiento de un proceso químico. Las dos variables de interés en este estudio resultan ser: Tiempo de Reacción y Temperatura de Reacción. Para cuidarse contra la posibilidad de la existencia de curvatura se decide efectuar un experimento factorial 22 con cinco puntos centrales.
¨ Las siguientes son las respuestas obtenidas del estudio:
Data Display Row Tiempo Temperatura rendimiento 1 -1 -1 39.3
2 1 -1 40.9 3 -1 1 40.0 4 1 1 41.5
5 0 0 40.3 6 0 0 40.5 7 0 0 40.7 8 0 0 40.2
9 0 0 40.9
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42
GRUPO M
Puntos centrales en los experimentos 2k Ejemplo
¨ El ANOVA así como el modelo de regresión obtenido de MINITAB se presenta a continuación:
Fractional Factorial Fit Estimated Effects and Coefficients for rendimie Term Effect Coef StDev Coef T P Constant 40.4778 0.08795 460.26 0.000 Tiempo 1.5500 0.7750 0.13192 5.87 0.002 Temperat 0.6500 0.3250 0.13192 2.46 0.057 Tiempo*Temperat -0.0500 -0.0250 0.13192 -0.19 0.857 Analysis of Variance for rendimie Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Main Effects 2 2.82500 2.82500 1.41250 20.29 0.004 2-Way Interactions 1 0.00250 0.00250 0.00250 0.04 0.857 Residual Error 5 0.34806 0.34806 0.06961 Curvature 1 0.02006 0.02006 0.02006 0.24 0.647 Pure Error 4 0.32800 0.32800 0.08200
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43
GRUPO M
Modelos de Segundo Orden
¨ En las pasadas secciones nos limitamos a diseños que generan modelos de primer orden o contienen términos para la interacciones.
¨ Discutimos además el concepto de puntos centrales en los experimentos 2k para detectar curvatura en el modelo.
¨ Estimar los términos de segundo orden, de ser necesarios, requiere el efectuar tratamientos adicionales.
Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
44
GRUPO M
Modelos de Segundo Orden
¨ Un modelo de segundo orden típico, proveniente de la expansión de Taylor sería:
εβββββββββ
++++
++++++++=
−− kkk,k
kkkkk
xxxxxxxxxxxy
113113
2112
22
11122110
CCD - Central Composite Design CCD consiste de: Puntos Factoriales Puntos Axiales Puntos Centrales
Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
45
Ejemplo - CCD ¨ Se desea construir un modelo de segundo orden para el esfuerzo de
remoción de etiqueta de botellas de empaque como función de energía y velocidad de la correa.
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
−−−
31.9185.9021.9070.8522.8639.8550.8544.8080.8529.8655.88
000000414.10414.100414.10414.11111111121 yxx
CCD
Ejemplo CCD Estimated Regression Coefficients for Esfuerzo!
!
Term Coef SE Coef T P!
Constant 90.7900 1.0224 88.797 0.000!
A -0.9719 0.6261 -1.552 0.181!
B -1.1669 0.6261 -1.864 0.121!
A*A -2.7806 0.7452 -3.731 0.014!
B*B -2.5231 0.7452 -3.386 0.020!
A*B -0.7750 0.8855 -0.875 0.421!
!
S = 1.771 R-Sq = 84.0% R-Sq(adj) = 68.1%!
A
B
1.00.50.0-0.5-1.0
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
Esfuerzo
81 - 8484 - 8787 - 90
> 90
< 7878 - 81
Contour Plot of Esfuerzo vs B, A
1
Esfuerzo
75 0
80
85
B
90
-1 -10 1A
Surface Plot of Esfuerzo vs B, A
CCD – “Face Centered”
¨ CCD centrado en la cara consiste de:
n Puntos Factoriales
n Puntos Axiales
n Puntos Centrales
¨ Matriz de Diseño
Factoriales
Axiales
Centrales ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−−
0000001010010111111111
GRUPO M
Experimentos con Mezclas
¨ Para los experimentos que hemos estudiado (experimentos factoriales, CCD, otros), los niveles de cada factor son independientes de los niveles de otros factores.
¨ En los experimentos con mezclas, los factores son los componentes o ingredientes de la mezcla y por consecuencia, sus niveles no son independientes. Por tanto, estas variables controlables representan cantidades proporcionales a la mezcla en vez de cantidades sin restricción.
Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
49
GRUPO M
Experimentos con Mezclas
¨ Si decimos que el número de componentes en el sistema se denomina por q y que la proporción para el componente i en la mezcla como xi, entonces
Xi > 0 i = 1, 2, ….Q y
¨ Claro está la xi representará porcentajes no negativos hasta alcanzar el 100% (i.e. = 1).
11
=∑=
q
iix
Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
50
GRUPO M
Experimentos con Mezclas
¨ Estas restricciones para el caso de 2 y 3 componentes en la mezcla se muestran gráficamente a continuación.
1
1
x2
0
x1 + x2 = 1
x1 Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
51
GRUPO M
Experimentos con Mezclas
0 1
1
1
x1 + x2 + x3 = 1 Los vértices en ambos casos representan formulaciones de mezcla puras (mezcla corresponde al 100% de un solo componente).
Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
52
GRUPO M
Experimentos con Mezclas
¨ Los diseños tipo simplex se utilizan para estudiar los efectos de los componentes de la mezcla en la variable respuesta.
¨ Un diseño “simplex lattice” (SLD) {q, m} para q componentes en la mezcla, consiste de los puntos definidos por el sistema de coordenadas siguientes para la proporción de cada componente:
xi = 0, 1/m, 2/m, …, 1 i = 1, 2, …, p
Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
53
GRUPO M
Experimentos con Mezclas
Ejemplo SLD {3 , 2}
Este SLD consiste de las siguientes seis corridas:
(x1, x2, x3) = (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) – mezcla pura
(x1, x2, x3) = (1/2, 1/2, 0), (1/2, 0, 1/2), (0, 1/2, 1/2) – binaria
x1 = 1
x2 = 1 x3 = 1
Condiciones Experimentales
Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
54
GRUPO M
Experimentos con Mezclas
Ejemplo SLD {3 , 3} x1 = 1
x2 = 1 x3 = 1
Condiciones Experimentales
Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
55
GRUPO M
Experimentos con Mezclas
Ejemplo SLD {3 , 2}
A B C “Elongation”
1.0 0.0 0.0 11.7 0.0 1.0 0.0 9.4 0.0 0.0 1.0 16.4 0.5 0.5 0.0 15.3 0.5 0.0 0.5 16.9 0.0 0.5 0.5 10.5
Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
56
Experimentos para Mezclas
Ejemplo SLD {3 , 2} – Cont.
Regression for Mixtures Estimated Regression Coefficients for y
A
0
1
B1
0
C1
0
Elongation
12 - 1414 - 16
> 16
< 1010 - 12
Mixture Contour Plot of Elongation(component amounts)
Term Coef A 11.700 B 9.400 C 16.400 A*B 19.000 A*C 11.400 B*C -9.600
GRUPO M
Experimentos para Mezclas
¨ Los modelos de mezcla difieren de los modelos polinómicos debido a la restricción:
¨ La forma estándar de construir los modelos para mezcla están dados
por:
Lineal
11
=∑=
q
iix
∑=
=q
iii xyE
1)( β
Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
58
GRUPO M
Experimentos para Mezclas
Cuadrático ¨ El componente lineal se le conoce como la mezcla lineal y es la
respuesta cuando xi = 1 y xj = 0 para I distinto de j.
¨ El componente adicional en el cuadrático estima la mezcla con más de un componente: la misma puede ser sinergética o antagónica.
ji
q
jiij
q
iii xxx)y(E ∑∑+∑=
GRUPO M
Experimentos para Mezclas - Análisis
Ejemplo: A B C Acc1.0 0.0 0.0 4.30.0 1.0 0.0 6.50.0 0.0 1.0 6.90.5 0.5 0.0 6.30.5 0.0 0.5 6.10.0 0.5 0.5 6.21.0 0.0 0.0 4.70.0 1.0 0.0 6.20.0 0.0 1.0 7.00.5 0.5 0.0 5.80.5 0.0 0.5 6.50.0 0.5 0.5 6.21.0 0.0 0.0 4.80.0 1.0 0.0 6.30.0 0.0 1.0 7.40.5 0.5 0.0 6.10.5 0.0 0.5 5.90.0 0.5 0.5 6.1
Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
60
GRUPO M
Experimentos para Mezclas - Análisis
Regression for Mixtures: Acc versus A, B, C Estimated Regression Coefficients for Acc (component proportions) Term Coef SE Coef T P VIF A 4.600 0.1340 * * 1.500 B 6.333 0.1340 * * 1.500 C 7.100 0.1340 * * 1.500 A*B 2.400 0.6566 3.66 0.003 1.500 A*C 1.267 0.6566 1.93 0.078 1.500 B*C -2.200 0.6566 -3.35 0.006 1.500 S = 0.232140 PRESS = 1.455 R-Sq = 93.89% R-Sq(pred) = 86.24% R-Sq(adj) = 91.34% Analysis of Variance for Acc (component proportions) Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Regression 5 9.9294 9.92944 1.98589 36.85 0.000 Linear 2 8.1391 9.84222 4.92111 91.32 0.000 Quadratic 3 1.7903 1.79033 0.59678 11.07 0.001 Residual Error 12 0.6467 0.64667 0.05389 Total 17 10.5761
Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
61
GRUPO M
Experimentos para Mezclas - Análisis
A
0
1
B1
0
C1
0
Acc
5.5 - 6.06.0 - 6.56.5 - 7.0
> 7.0
< 5.05.0 - 5.5
Mixture Contour Plot of Acc(component amounts)
A1.00
0.00
0.00
5
B
6Acc
7
1.00 0.001.00
C
Mixture Surface Plot of Acc(component amounts)
Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
62
GRUPO M
“Simplex Centroid”
¨ Un diseño “simplex centroid” con q componentes consiste de 2q – 1 puntos de diseño. Estos puntos de diseño son las q permutaciones (1, 0, 0, …, 0) de las mezclas puras, las permutaciones (½ , ½, 0, …, 0) de las mezclas binarias,
Las permutaciones (1/3, 1/3, 1/3, 0, …, 0) y el centroide (1/q, 1/q, …, 1/q).
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛2q
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛3q
Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
63
GRUPO M
“Simplex Centroid”
“Simplex Centroid para q = 3; 7 puntos de diseño
Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
64
GRUPO M
“Simplex Centroid”
“Simplex Centroid para q = 4
Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
65
GRUPO M
“Simplex Centroid”
¨ Para q = 3 el modelo es:
3211233223
31132112332211
)(
xxxxxxxxxxxxyE
ββ
βββββ
++
++++=
Modelo cúbico polinómico especial
Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
66
GRUPO M
“Simplex Centroid”
¨ Para q = 4 el modelo es:
43211234
444
1
xxxx
xxxxxx)y(Ei j k
kjiijki j
jiiji
ii
β
βββ
+
∑∑∑+∑∑+∑=<
GRUPO M
Diseños “Simplex” con corridas axiales
¨ Los diseños “Simplex-Lattice” y el “Simplex Centroid” son diseños cuyos tratamientos se encuentran en los límites de la región experimental, con la excepción del centroide.
¨ Por ejemplo, un “simplex-lattice” {3, 3} contiene 10 puntos experimentales. Seis (6) de estos están en las caras del triángulo, tres (3) corresponden a los vértices y el centroide.
Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
68
GRUPO M
Diseños “Simplex” con corridas axiales
¨ Los tres (3) puntos proveen la información de las mezclas puras, los seis (6) brindan información de las mezclas binarias y sólo un punto contiene información de mezclas completas.
¨ La distribución de la información se denomina como 3: 6: 1.
Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
69
GRUPO M
Diseños “Simplex” con corridas axiales
¨ Si se interesa realizar predicciones acerca de mezclas completas, es preferible realizar corridas dentro del interior del “simplex”.
¨ Se recomienda en estos casos aumentar el diseño “simplex” con corridas axiales y con el centroide (si éste no ha sido considerado).
Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
70
GRUPO M
Diseños “Simplex” con corridas axiales
¨ Los puntos axiales se posicionan a lo largo de los ejes del componente a una distancia Δ desde el centroide.
¨ Se recomienda que los puntos axiales se conduzcan en un punto medio entre el centroide del “simplex” y el vértice, de forma tal Δ = (q -1) / 2q
Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
71
GRUPO M
Diseños “Simplex” con corridas axiales
Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
72
GRUPO M
Diseños “Simplex” con corridas axiales
A
0
1
B1
0
C1
0
Simplex Design Plot in Amounts
“Simplex-Centroid con puntos axiales
Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
73
GRUPO M
Diseños “Simplex” con corridas axiales
¨ El diseño tiene 10 puntos, cuatro (4) de estos en el interior del “simplex”.
¨ La distribución de la información se denomina como 3: 3: 4.
Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
74
Diseños “Simplex” con corridas axiales
x1 x2 x3 y 1 0 0 540,560 0 1 0 330,350 0 0 1 295,260 ½ ½ 0 610 0 ½ ½ 330 ½ 0 ½ 425
2/3 1/6 1/6 710 1/6 2/3 1/6 640 1/6 1/6 2/3 460 1/3 1/3 1/3 800,850
GRUPO M
Ejemplo Modelo Lineal
Regression for Mixtures: y versus A, B, C Estimated Regression Coefficients for y (component proportions) Term Coef SE Coef T P VIF A 686.4 103.0 * * 1.089 B 485.4 103.0 * * 1.089 C 362.4 103.0 * * 1.089 S = 177.115 PRESS = 516540 R-Sq = 27.93% R-Sq(pred) = 0.00% R-Sq(adj) = 14.83% Analysis of Variance for y (component proportions) Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Regression 2 133755 133755 66877.5 2.13 0.165 Linear 2 133755 133755 66877.5 2.13 0.165 Residual Error 11 345066 345066 31369.7 Lack-of-Fit 7 342804 342804 48972.0 86.58 0.000 Pure Error 4 2262 2262 565.6 Total 13 478821
Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
76
GRUPO M
Ejemplo – Modelo Cuadrático
Regression for Mixtures: y versus A, B, C
Term Coef SE Coef T P VIF
A 534.6 83.35 * * 1.548
B 329.2 83.35 * * 1.548
C 252.7 83.35 * * 1.548
A*B 1343.1 469.58 2.86 0.021 1.718
A*C 644.5 469.58 1.37 0.207 1.718
B*C 711.7 469.58 1.52 0.168 1.718
S = 120.261 PRESS = 812043
R-Sq = 75.84% R-Sq(pred) = 0.00%
R-Sq(adj) = 60.73%
Analysis of Variance for y (component proportions)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P
Regression 5 363120 363120 72624.0 5.02 0.022
Linear 2 133755 89272 44636.2 3.09 0.102
Quadratic 3 229365 229365 76455.0 5.29 0.027
Residual Error 8 115702 115702 14462.7
Lack-of-Fit 4 113439 113439 28359.8 50.14 0.001
Pure Error 4 2262 2262 565.6
Total 13 478821
Unusual Observations for y
Obs StdOrder y Fit SE Fit Residual St Resid
2 2 610.000 767.677 101.279 -157.677 -2.43R
3 3 425.000 554.820 101.279 -129.820 -2.00R
5 5 330.000 468.867 101.279 -138.867 -2.14R
R denotes an observation with a large standardized residual.
Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
77
GRUPO M
Ejemplo – Modelo Cuadrático
A
0
1
B1
0
C1
0
y
400 - 500500 - 600600 - 700
> 700
< 300300 - 400
Mixture Contour Plot of y(component amounts)
A1.00
0.00
0.00200
400
B
600
y
800
1.00 0.001.00
C
Mixture Surface Plot of y(component amounts)
Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
78
GRUPO M
Ejemplo – Modelo Cúbico Especial
Regression for Mixtures: y versus A, B, C
Term Coef SE Coef T P VIF
A 550.20 23.22 * * 1.555
B 344.72 23.22 * * 1.555
C 268.29 23.22 * * 1.555
A*B 689.54 146.51 4.71 0.002 2.164
A*C -9.03 146.51 -0.06 0.953 2.164
B*C 58.11 146.51 0.40 0.703 2.164
A*B*C 9243.33 940.85 9.82 0.000 2.988
S = 33.4318 PRESS = 80312.0
R-Sq = 98.37% R-Sq(pred) = 83.23%
R-Sq(adj) = 96.97%
Analysis of Variance for y (component proportions)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P
Regression 6 470998 470998 78500 70.23 0.000
Linear 2 133755 89272 44636 39.94 0.000
Quadratic 3 229365 25123 8374 7.49 0.014
Special Cubic 1 107878 107878 107878 96.52 0.000
Residual Error 7 7824 7824 1118
Lack-of-Fit 3 5561 5561 1854 3.28 0.141
Pure Error 4 2262 2262 566
Total 13 478821
Unusual Observations for y
Obs StdOrder y Fit SE Fit Residual St Resid
10 10 460.000 523.796 15.187 -63.796 -2.14R
R denotes an observation with a large standardized residual.
Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
79
GRUPO M
Ejemplo – Modelo Cúbico Especial
A
0
1
B1
0
C1
0
y
400 - 500500 - 600600 - 700700 - 800
> 800
< 300300 - 400
Mixture Contour Plot of y(component amounts)
A1.00
0.00
0.00200
400
B
600
y
800
1.00 0.001.00
C
Mixture Surface Plot of y(component amounts)
Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
80
GRUPO M
Ejemplo – Cúbico Especial Análisis de Residuales
Standardized Residual
Per
cent
210-1-2
99
90
50
10
1
Fitted Value
Stan
dard
ized
Res
idua
l
800600400200
2
1
0
-1
-2
Standardized Residual
Freq
uenc
y
210-1-2
4
3
2
1
0
Observation Order
Stan
dard
ized
Res
idua
l
1413121110987654321
2
1
0
-1
-2
Normal Probability Plot of the Residuals Residuals Versus the Fitted Values
Histogram of the Residuals Residuals Versus the Order of the Data
Residual Plots for y
Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
81
Ejemplo – Modelo Cúbico Especial “Response Trace Plot”
deviation from reference blend in proportion
Fitt
ed y
0.750.500.250.00-0.25-0.50
900
800
700
600
500
400
300
200
ComponentABC
Cox Response Trace Plot
¨ Note el efecto no lineal de los componentes.
¨ En este caso y es muy sensible a cambios en todos los componentes.
¨ Si uno o más de estos trazos tiene un comportamiento horizontal esto indicaría que ese componente tiene muy poco efecto en la respuesta; a estos ingredientes le llamamos inactivos.
GRUPO M
Restricciones en las Proporciones de los Componentes
¨ En muchos experimentos con mezclas existen restricciones en las proporciones de los componentes que no permiten explorar toda la región del Simplex.
¨ Regularmente estas restricciones toman forma de límites inferiores y superiores para cada uno de las proporciones de los componetes.
Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
83
GRUPO M
Restricciones en las Proporciones de los Componentes
¨ Las restricciones toman la forma Li < xi < Ui i = 1,2 …, q
Donde Li = límite inferior para el componente i Ui = límite superior para el componente i
x1 + x2 +… +xq = 1 Li > 0 y Ui < 1 para i = 1,2 …, q
Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
84
GRUPO M
Restricciones Inferiores
Li < xi < 1 i = 1,2 …, q x1 + x2 +… +xq = 1
Ejemplo:
0.3 < x1 0.4< x2 0.1< x3
Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
85
Restricciones Inferiores
Restricciones Inferiores
¨ Como la región experimental factible sigue siendo un Simplex (figura anterior), definimos unos pseudocomponentes entre los valores 0 y 1 en la región factible. Los pseudocomponentes se definen:
Xi = (xi – Li)/(1 - L)
Donde:
11
GRUPO M
Restricciones Inferiores
¨ Para construir un diseño basado en los pseudocomponentes se especifican los puntos de diseño en pseudocomponentes y se convierten a los componentes originales usando:
xi = Li + (1 – L)Xi
Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
88
Restricciones Inferiores
Ejemplo:
0.3 < x1 0.4< x2 0.1< x3
A
0.3
0.5
B0.6
0.4
C0.3
0.1
Simplex Design Plot in Amounts
A
0
1
B1
0
C1
0
Simplex Design Plot in Pseudocomponents
A B C
0.500000 0.400000 0.100000
0.300000 0.600000 0.100000
0.300000 0.400000 0.300000
0.400000 0.500000 0.100000
0.400000 0.400000 0.200000
0.300000 0.500000 0.200000
0.366667 0.466667 0.166667
GRUPO M
Restricciones Inferiores
¨ Se recomienda el uso de pseudocomponentes para ajustar un modelo de mezclas. Los componentes originales t i e n e n m a y o r m u l t i c o l i n e a r i d a d q u e l o s pseudocomponentes y esto puede tener un impacto en los estimados de coeficientes que se obtienen del método de cuadrados mínimos.
Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
90
GRUPO M
Restricciones Inferiores - Ejemplo
¨ Se desea construir un modelo que incluya tres componentes y que responda a las siguientes restricciones:
x1 + x2 + x3 = 0.9
Ejemplo:
0.3 < x1 0.2 < x2 0.2 < x3 ¨ 2 repeticiones en los vértices ¨ – 3 repeticiones en el centroide
Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
91
GRUPO M
Restricciones Inferiores - Ejemplo
A B C y 0.500000 0.200000 0.200000 32.5 0.300000 0.400000 0.200000 54.5 0.300000 0.200000 0.400000 64.0 0.400000 0.300000 0.200000 44.0 0.400000 0.200000 0.300000 63.2 0.300000 0.300000 0.300000 94.0 0.366667 0.266667 0.266667 112.5 0.433333 0.233333 0.233333 67.1 0.333333 0.333333 0.233333 73.0 0.333333 0.233333 0.333333 87.5 0.500000 0.200000 0.200000 3.9 0.300000 0.400000 0.200000 32.5
0.300000 0.200000 0.400000 78.5 0.366667 0.266667 0.266667 98.5 0.366667 0.266667 0.266667 103.6
Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
92
GRUPO M
Restricciones Inferiores - Ejemplo
Estimated Regression Coefficients for y (pseudocomponents) Term Coef SE Coef T P VIF A 35.49 6.072 * * 1.608 B 42.78 6.072 * * 1.608 C 70.36 6.072 * * 1.608 A*B 16.02 38.292 0.42 0.687 2.398 A*C 36.33 38.292 0.95 0.370 2.398 B*C 136.82 38.292 3.57 0.007 2.398 A*B*C 854.98 229.183 3.73 0.006 3.535 S = 8.74215 PRESS = 3296.97 R-Sq = 93.60% R-Sq(pred) = 65.50% R-Sq(adj) = 88.81%
Analysis of Variance for y (pseudocomponents) Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Regression 6 8946.4 8946.4 1491.06 19.51 0.000 Linear 2 2395.9 1420.8 710.38 9.30 0.008 Quadratic 3 5486.9 1000.7 333.56 4.36 0.042 Special Cubic 1 1063.6 1063.6 1063.62 13.92 0.006 Residual Error 8 611.4 611.4 76.43 Lack-of-Fit 3 149.3 149.3 49.76 0.54 0.676 Pure Error 5 462.1 462.1 92.42 Total 14 9557.8
Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
93
GRUPO M
Restricción Inferior - Ejemplo
A
0.3
0.5
B0.4
0.2
C0.4
0.2
y
50 - 6060 - 7070 - 8080 - 9090 - 100
<
> 100
4040 - 50
Mixture Contour Plot of y(component amounts)
A0.50
0.20
0.2040
60
B
80
y
100
0.40 0.300.40
C
Mixture Surface Plot of y(component amounts)
Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
94
GRUPO M
Restricción Inferior - Ejemplo
Standardized Residual
Per
cent
210-1-2
99
90
50
10
1
Fitted Value
Stan
dard
ized
Res
idua
l
100806040
2
1
0
-1
-2
Standardized Residual
Freq
uenc
y
2.01.51.00.50.0-0.5-1.0-1.5
3
2
1
0
Observation Order
Stan
dard
ized
Res
idua
l
151413121110987654321
2
1
0
-1
-2
Normal Probability Plot of the Residuals Residuals Versus the Fitted Values
Histogram of the Residuals Residuals Versus the Order of the Data
Residual Plots for y
Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
95
GRUPO M
Restricción Inferior - Ejemplo
deviation from reference blend in proportion
Fitt
ed y
0.150.100.050.00-0.05-0.10
110
100
90
80
70
60
50
40
30
ComponentABC
Cox Response Trace Plot
Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
96
GRUPO M
Restricción Superior
1min1
≤−∑=
UUq
ii
¨ En ocasiones solo existen restricciones del tipo Xi < Ui. ¨ Estos problemas pueden resultar en diseños tipo
“simplex” o en diseños que no cumplen con esta configuración.
¨ En general la región experimental para este tipo de problema será un “simplex” invertido si
Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
97
Restricción Superior
¨ Ejemplo x1 < 0.4 x2 < 0.5 x3 < 0.3
A
0.2
0.6
B0.7
0.3
C0.5
0.1
Simplex Design Plot in Amounts
Simplex
Invertido
Restricción Superior
¨ Ejemplo x1 < 0.7 x2 < 0.5 x3 < 0.8
A
0
1
B1
0
C1
0
Simplex Design Plot in Amounts
Región
Irregular
GRUPO M
Restricciones en ambos lados
¨ En estas situaciones la región experimental no será un “simplex”.
¨ En estos experimentos se consideran los vértices extremos de la región restringida por las combinaciones de las restricciones impuestas por los límites superior e inferior.
Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
100
Restricciones en ambos lados
¨ Ejemplo
08.003.050.010.050.010.060.040.0
1
4
3
2
1
4321
≤≤
≤≤
≤≤
≤≤
=+++
xxxx
xxxx A
0.40
0.77
B0.47
0.10
C0.47
0.10
A
0.40
0.77
B0.47
0.10
D0.40
0.03
A
0.40
0.77
C0.47
0.10
D0.40
0.03
B
0.10
0.47
C0.47
0.10
D0.40
0.03
Hold ValuesA 0.4B 0.1C 0.1D 0.03
Matrix of Simplex Design Plots in Amounts
Restricciones en ambos lados
Ejemplo
20.013.010.007.030.020.05.0
3
2
1
321
≤≤
≤≤
≤≤
=++
xxxxxx
A B C 0.200 0.1000 0.2000 0.300 0.0700 0.1300 0.230 0.0700 0.2000 0.270 0.1000 0.1300 0.265 0.0700 0.1650 0.285 0.0850 0.1300 0.235 0.1000 0.1650 0.215 0.0850 0.2000 0.250 0.0850 0.1650 0.225 0.0925 0.1825 0.275 0.0775 0.1475 0.240 0.0775 0.1825 0.260 0.0925 0.1475
GRUPO M
Restricciones en ambos lados
A
0.2
0.3
B0.17
0.07
C0.23
0.13
Simplex Design Plot in Amounts
A
0
1
B1
0
C1
0
Simplex Design Plot in Pseudocomponents
Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
103
GRUPO M
Experimentos para Mezclas con restricciones en los componentes
¨ El algoritmo XVERT utiliza el principio de diseño de que los puntos deben estar lo más “desparramados” posibles sobre la región experimental. Al utilizarse este principio lo hacemos reconociendo que los estimados de coeficientes para el modelo de primer orden tendrán menor varianza y covarianza que si los puntos se posicionaran “juntitos” en la región experimental.
Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
104
GRUPO M
Experimentos para Mezclas con restricciones en los componentes
Ejemplo:
0.40 < x1 < 0.80
0.10 < x2 < 0.50
0.10 < x3 < 0.30
Trataremos de localizar los vértices extremos de la región restringida para estimar el modelo:
εβββ +++= 332211 xxxy
Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
105
GRUPO M
Experimentos para Mezclas con restricciones en los componentes
Pasos algoritmo de XVERT 1. Ordene los componentes en orden ascendente de rangos: Ui
– Li
para el componente 1: 0.80 – 0.40 = 0.40
para el componente 2: 0.50 – 0.10 = 0.40
para el componente 3: 0.30 – 0.10 = 0.20 2. Haga una lista ordenada de los componentes x1 , x2 , x3
donde x1 es el componente con el rango menor.
231231 xXxXxX ===∴
Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
106
GRUPO M
Experimentos para Mezclas con restricciones en los componentes
3. Establezca un diseño usando los límites de los q – 1 = 2 componentes que tengan los rangos más pequeños. Existen 2q-1 = 22 = 4 combinaciones.
L3 , L1 0.10, 0.40, 0.50
L3 , U1 0.10, 0.80, 0.50
U3 , L1 0.30, 0.40, 0.30
U3 , U1 0.30, 0.80, -0.10 donde X3 = 1 – (X1 + X2)
Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
107
GRUPO M
Experimentos para Mezclas con restricciones en los componentes
4. Si el valor de X3 obtenido en el paso anterior está contenido dentro de los límites aceptables entonces la combinación es un vértice extremo de la región restringida. Si el valor de X3 obtenido en el paso anterior radica fuera de los límites aceptables, entonces se ajusta X3 igual al límite inferior o superior, el que sea más cercano al valor calculado.
Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
108
GRUPO M
Variables de Proceso en Experimentos con Mezclas ¨ Las variables de proceso son factores en un experimento que
no forman parte de la mezcla pero cuyos niveles, cuando son alterados, pueden afectar las propiedades de mezclado de los ingredientes.
¨ Al definir la región de interés deben considerarse tanto los componentes de la mezcla así como las variables de proceso.
Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
109
GRUPO M
Variables de Proceso en Experimentos con Mezclas ¨ Uno de los enfoques más utilizados para trabajar con esta
situación es el de conducir un diseño de mezcla para cada tratamiento del experimento factorial utilizado para las variables de proceso.
¨ De forma alternativa esto se puede visualizar como generar un experimento factorial en cada punto de diseño del experimento de mezcla.
Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
110
GRUPO M
Variables de Proceso en Experimentos con Mezclas
(1)
A
0
1
B1
0
C1
0
(2)
A
0
1
B1
0
C1
0
(3)
A
0
1
B1
0
C1
0
(4)
A
0
1
B1
0
C1
0
Hold Values
X2 1
(3)
X1 -1X2 -1
(4)
X1 1
(1)
X2 -1
X1 -1X2 1
(2)
X1 1
Multiple Simplex Design Plot in Amounts
Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
111
GRUPO M
Variables de Proceso en Experimentos con Mezclas Ejemplo
¤ Tres tipos de pescado fueron mezclados para formar un emparedado. Siete combinaciones de pescado fueron preparadas y cada combinación fue procesada usando dos temperaturas de horno.
¤ La variable respuesta utilizada fue la fuerza requerida para partir el emparedado.
Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
112
Variables de Proceso en Experimentos con Mezclas
X1 X2 X3 Temperatura Fuerza
1 0 0 375 1.84
1 0 0 425 2.86
0 1 0 375 1.51
0 1 0 425 1.60
0 0 1 375 0.67
0 0 1 425 1.10
½ ½ 0 375 1.29
½ ½ 0 425 1.53
½ 0 ½ 375 1.42
½ 0 ½ 425 1.81
0 ½ ½ 375 1.16
0 ½ ½ 425 1.50
1/3 1/3 1/3 375 1.59
1/3 1/3 1/3 425 1.68
Ejemplo
GRUPO M
Variables de Proceso en Experimentos con Mezclas
(1)
A
0
1
B1
0
C1
0
(2)
A
0
1
B1
0
C1
0
Hold Values
(1)
X1 -1
(2)
X1 1
Multiple Simplex Design Plot in Amounts
Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
114
GRUPO M
Variables de Proceso en Experimentos con Mezclas
Regression for Mixtures: Fuerza versus A, B, C, X1 Estimated Regression Coefficients for Fuerza) Term Coef SE Coef T P VIF A 2.334 0.1362 * * 1.599 B 1.539 0.1362 * * 1.599 C 0.869 0.1362 * * 1.599 A*B -1.854 0.6259 -2.96 0.098 1.569 A*C 0.306 0.6259 0.49 0.673 1.569 B*C 0.756 0.6259 1.21 0.351 1.569 A*X1 0.516 0.1362 3.79 0.063 1.599 B*X1 0.051 0.1362 0.37 0.745 1.599 C*X1 0.221 0.1362 1.62 0.246 1.599 A*B*X1 -0.746 0.6259 -1.19 0.356 1.569 A*C*X1 -0.786 0.6259 -1.26 0.336 1.569 B*C*X1 0.044 0.6259 0.07 0.950 1.569 • NOTE * Coefficients are calculated for coded • process variables. S = 0.193306 PRESS = 31.5662 R-Sq = 97.59% R-Sq(pred) = 0.00% R-Sq(adj) = 84.36%
Analysis of Variance for Fuerza (component proportions) Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Regression 11 3.03067 3.03067 0.27552 7.37 0.125 Component Only Linear 2 1.84853 2.15143 1.07572 28.79 0.034 Quadratic 3 0.40761 0.40761 0.13587 3.64 0.223 Component* X1 Linear 3 0.66630 0.64436 0.21479 5.75 0.152 Quadratic 3 0.10823 0.10823 0.03608 0.97 0.545 Residual Error 2 0.07473 0.07473 0.03737 Total 13 3.10540
Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
115
GRUPO M
Variables de Proceso en Experimentos con Mezclas
(1)
A
0
1
B1
0
C1
0
(2)
A
0
1
B1
0
C1
0
Hold Values
(1)
X1 -1
(2)
X1 1
Fuerza
1.5 - 2.02.0 - 2.5
> 2.5
< 1.01.0 - 1.5
Multiple Mixture Contour Plot for Fuerza(component amounts)
Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
116
GRUPO M
Variables de Proceso en Experimentos con Mezclas
deviation from reference blend in proportion
Fitt
ed F
uerz
a
0.750.500.250.00-0.25-0.50
1.8
1.6
1.4
1.2
1.0
0.8
0.6
X1: -1 ComponentABC
Cox Response Trace Plot
Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
117
GRUPO M
Variables de Proceso en Experimentos con Mezclas
Standardized Residual
Per
cent
210-1-2
99
90
50
10
1
Fitted Value
Stan
dard
ized
Res
idua
l
3.02.52.01.51.0
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
Standardized Residual
Freq
uenc
y
1.51.00.50.0-0.5-1.0-1.5
4
3
2
1
0
Observation Order
Stan
dard
ized
Res
idua
l
1413121110987654321
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
Normal Probability Plot of the Residuals Residuals Versus the Fitted Values
Histogram of the Residuals Residuals Versus the Order of the Data
Residual Plots for Fuerza
Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
118
GRUPO M
Variables de Proceso en Experimentos con Mezclas – Ejemplo 3 Componentes 3 Variables de Proceso
A
0
1
B1
0
C1
0
A
0
1
B1
0
C1
0
A
0
1
B1
0
C1
0
A
0
1
B1
0
C1
0
A
0
1
B1
0
C1
0
A
0
1
B1
0
C1
0
A
0
1
B1
0
C1
0
A
0
1
B1
0
C1
0
X1
X2
X3
56 Tratamientos
Totales = 7 * 23
Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
119
Variables de Proceso en Experimentos con Mezclas – Ejemplo 3 Componentes 3 Variables de Proceso
z1 z2 z3 (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) (1/2,1/2,0) (1/2,1/2,0)
(1/2,1/2,0)
(1/3,1/3,1/3)
-1 -1 -1 1.84 0.67 1.51 1.29 1.42 1.16 1.59
1 -1 -1 2.86 1.10 1.60 1.53 1.81 1.50 1.68
-1 1 -1 3.01 1.21 2.32 1.93 2.57 1.83 1.94
1 1 -1 4.13 1.67 2.57 2.26 3.15 2.22 2.60
-1 -1 1 1.65 0.58 1.21 1.18 1.45 1.07 1.41
1 -1 1 2.32 0.97 2.12 1.45 1.93 1.28 1.54
-1 1 1 3.04 1.16 2.00 1.85 2.39 1.60 2.05
1 1 1 4.13 1.30 2.75 2.06 2.82 2.10 2.32
GRUPO M
Estimated Regression Coefficients for C11 (component proportions) Term Coef SE Coef T P VIF A 2.8645 0.05203 * * 1.599 B 1.0745 0.05203 * * 1.599 C 2.0020 0.05203 * * 1.599 A*B -0.9742 0.23914 -4.07 0.000 1.569 A*C -0.8342 0.23914 -3.49 0.001 1.569 B*C 0.3558 0.23914 1.49 0.147 1.569 A*X1 0.4873 0.05203 9.37 0.000 1.599 B*X1 0.1773 0.05203 3.41 0.002 1.599 C*X1 0.2498 0.05203 4.80 0.000 1.599 A*B*X1 -0.8014 0.23914 -3.35 0.002 1.569 A*C*X1 -0.5314 0.23914 -2.22 0.033 1.569 B*C*X1 -0.1314 0.23914 -0.55 0.587 1.569 A*X2 0.7086 0.05203 13.62 0.000 1.599 B*X2 0.2561 0.05203 4.92 0.000 1.599 C*X2 0.4036 0.05203 7.76 0.000 1.599 A*B*X2 -0.6614 0.23914 -2.77 0.009 1.569 A*C*X2 -0.1214 0.23914 -0.51 0.615 1.569 B*C*X2 -0.0064 0.23914 -0.03 0.979 1.569 A*X3 -0.0878 0.05203 -1.69 0.101 1.599 B*X3 -0.0803 0.05203 -1.54 0.133 1.599 C*X3 0.0097 0.05203 0.19 0.853 1.599 A*B*X3 0.1055 0.23914 0.44 0.662 1.569 A*C*X3 -0.0195 0.23914 -0.08 0.935 1.569 B*C*X3 -0.1845 0.23914 -0.77 0.446 1.569 * NOTE * Coefficients are calculated for coded process variables. S = 0.147710 PRESS = 2.28771 R-Sq = 97.68% R-Sq(pred) = 92.40% R-Sq(adj) = 96.01%
Variables de Proceso en Experimentos con Mezclas – Ejemplo 3 Componentes 3 Variables de Proceso
Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
121
GRUPO M
Variables de Proceso en Experimentos con Mezclas – Ejemplo 3 Componentes 3 Variables de Proceso
A
0
1
B1
0
C1
0
A
0
1
B1
0
C1
0
A
0
1
B1
0
C1
0
A
0
1
B1
0
C1
0
A
0
1
B1
0
C1
0
A
0
1
B1
0
C1
0
A
0
1
B1
0
C1
0
A
0
1
B1
0
C1
0
C11
1.29 - 2.002.00 - 2.712.71 - 3.423.42 - 4.13
> 4.13
< 0.580.58 - 1.29
X1
X2
X3
Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
122
GRUPO M
Variables de Proceso en Experimentos con Mezclas – Ejemplo 3 Componentes 3 Variables de Proceso
deviation from reference blend in proportion
Fit
ted
C1
1
0.750.500.250.00-0.25-0.50
4
3
2
1
X1: 1X2: 1X3: 1
ComponentABC
deviation from reference blend in proportion
Fit
ted
C1
1
0.750.500.250.00-0.25-0.50
4
3
2
1
X1: -1X2: -1X3: -1
ComponentABC
Cox Response Trace Plot
Cox Response Trace Plot
Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
123
GRUPO M
Variables de Proceso en Experimentos con Mezclas – Ejemplo 3 Componentes 3 Variables de Proceso
Me
an
of
C1
1
1-1
2.1
1.8
1.5
1-1
1-1
2.1
1.8
1.5
X1 X2
X3
1
-1
1
-11-1
X3
X2
X1
2.49714
1.658571.22143
2.01286
2.65714
1.725711.35429
2.11571
Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
124
GRUPO M
Variables de Proceso en Experimentos con Mezclas – Experimento Fraccionario
¨ Como notamos en el ejemplo anterior a medida que el número de variables de proceso aumenta el número de condiciones experimentales aumenta en ocasiones a niveles prohibitivos.
¨ Cuando esto sucede se considera ejecutar experimentos que consideren solo una fracción de estas condiciones experimentales.
¨ Existen múltiples formas de efectuar estos experimentos fraccionarios con mezclas. Una de las mas utilizadas se basa en los conceptos estudiados para efectuar experimentos factoriales fraccionarios 2k.
Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
125
GRUPO M
Variables de Proceso en Experimentos con Mezclas – Experimento Fraccionario
¨ El ejemplo de la página siguiente considera el experimento con 3 componentes y tres variables de proceso, cuando se establece solo una fracción de las condiciones experimentales efectuadas.
¨ Fundamentalmente se toma un fraccionario del 2k y se ejecutan los experimentos de mezclas en cada uno de esos puntos experimentales, según se muestra en la figura de siguiente página.
Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
126
GRUPO M
Variables de Proceso en Experimentos con Mezclas – Experimento Fraccionario
A
0
1
B1
0
C1
0
A
0
1
B1
0
C1
0
A
0
1
B1
0
C1
0
A
0
1
B1
0
C1
0
A
0
1
B1
0
C1
0
A
0
1
B1
0
C1
0
A
0
1
B1
0
C1
0
A
0
1
B1
0
C1
0
X1
X2
X3
28 Tratamientos
Totales = 7 * 23-1
Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
127
Variables de Proceso en Experimentos con Mezclas – Experimento Fraccionario
z1 z2 z3 (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) (1/2,1/2,0) (1/2,1/2,0)
(1/2,1/2,0)
(1/3,1/3,1/3)
1 -1 -1 2.86 1.10 1.60 1.53 1.81 1.50 1.68
-1 1 -1 3.01 1.21 2.32 1.93 2.57 1.83 1.94
-1 -1 1 1.65 0.58 1.21 1.18 1.45 1.07 1.41
1 1 1 4.13 1.30 2.75 2.06 2.82 2.10 2.32
GRUPO M
Variables de Proceso en Experimentos con Mezclas – Experimento Fraccionario
Estimated Regression Coefficients for y (component proportions) Term Coef SE Coef T P VIF A 2.908 0.05549 * * 1.599 B 1.043 0.05549 * * 1.599 C 1.965 0.05549 * * 1.599 A*B -1.126 0.25508 -4.42 0.012 1.569 A*C -1.021 0.25508 -4.00 0.016 1.569 B*C 0.559 0.25508 2.19 0.094 1.569 A*X1 0.578 0.05549 10.41 0.000 1.599 B*X1 0.148 0.05549 2.66 0.056 1.599 C*X1 0.200 0.05549 3.61 0.023 1.599 A*B*X1 -0.897 0.25508 -3.52 0.025 1.569 A*C*X1 -0.872 0.25508 -3.42 0.027 1.569 B*C*X1 0.078 0.25508 0.31 0.776 1.569 A*X2 0.663 0.05549 11.95 0.000 1.599 B*X2 0.213 0.05549 3.84 0.019 1.599 C*X2 0.570 0.05549 10.28 0.001 1.599 A*B*X2 -0.557 0.25508 -2.18 0.094 1.569 A*C*X2 -0.422 0.25508 -1.66 0.173 1.569 B*C*X2 -0.292 0.25508 -1.15 0.316 1.569 A*X3 -0.027 0.05549 -0.49 0.650 1.599 B*X3 -0.112 0.05549 -2.02 0.113 1.599 C*X3 0.005 0.05549 0.10 0.928 1.599 A*B*X3 0.134 0.25508 0.52 0.628 1.569 A*C*X3 0.009 0.25508 0.03 0.975 1.569 B*C*X3 0.129 0.25508 0.50 0.641 1.569 S = 0.111407 PRESS = 20.9695 R-Sq = 99.68% R-Sq(pred) = 0.00% R-Sq(adj) = 97.83%
Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
129
GRUPO M
Variables de Proceso en Experimentos con Mezclas – Experimento Fraccionario
A
0
1
B1
0
C1
0
A
0
1
B1
0
C1
0
A
0
1
B1
0
C1
0
A
0
1
B1
0
C1
0
A
0
1
B1
0
C1
0
A
0
1
B1
0
C1
0
A
0
1
B1
0
C1
0
A
0
1
B1
0
C1
0
y
1.29 - 2.002.00 - 2.712.71 - 3.423.42 - 4.13
> 4.13
< 0.580.58 - 1.29
X1
X2
X3
Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
130
GRUPO M
Variables de Proceso en Experimentos con Mezclas – Experimento Fraccionario
deviation from reference blend in proportion
Fit
ted
y
0.750.500.250.00-0.25-0.50
4
3
2
1
X1: 1X2: 1X3: 1
ComponentABC
deviation from reference blend in proportion
Fit
ted
y
0.750.500.250.00-0.25-0.50
4
3
2
1
X1: -1X2: -1X3: -1
ComponentABC
Cox Response Trace Plot
Cox Response Trace Plot
Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
131
GRUPO M
Variables de Proceso en Experimentos con Mezclas – Experimento Fraccionario
Residual
Per
cent
0.100.050.00-0.05-0.10
99
90
50
10
1
Fitted Value
Res
idua
l
4321
0.10
0.05
0.00
-0.05
-0.10
Residual
Freq
uenc
y
0.100.050.00-0.05-0.10
12
9
6
3
0
Observation Order
Res
idua
l
282624222018161412108642
0.10
0.05
0.00
-0.05
-0.10
Normal Probability Plot of the Residuals Residuals Versus the Fitted Values
Histogram of the Residuals Residuals Versus the Order of the Data
Residual Plots for y
Experimentos Factoriales y con Mezclas - David R. González Barreto
132
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