EXÁMENES RESUELTOS
ANÁLISIS
MATEMÁTICO
INFORMÁTICA SISTEMAS Y GESTIÓN
DELEGACIÓN DE ALUMNOS
CENTRO ASOCIADO DE BALEARES
EXÁMENES DE ANÁLISIS MATEMÁTICO
1
Asignatura: ANALISIS MATEMATICO Fecha: Septiembre 1995 Tipo examen: General Cuestión 1 (dos puntos) ¿Cuál es el número mínimo de puntos conocidos de la gráfica de una función polinómica que son necesarios para determinar su expresión? Si se dispone de dicho número de puntos, ¿se puede asegurar que se determina la expresión de la función? Cuestión 2 (dos puntos)
Calcular I x dx= ∫ tg •4
Cuestión 3 (dos puntos)
Estudiar el carácter de la serie ( ) •−−
−∑ 12
4 31
2n n
n
Cuestión 4 (dos puntos) Representar gráficamente la función f(x) = x · Ln x - 2x . (Ln es el logaritmo neperiano) Cuestión 5 (dos puntos)
Sea la función f x xn
n Nresto
( ) ,= − = ∈⎧⎨⎪
⎩⎪
11
0
Estudiar si existen los límites de la función en x = 0, x = 1 / 2 .
.
1
ANALISIS MATEMATICO Febrero 1996 - 1ª Semana Tipo examen H 1) Se consideran las funciones:
f x x( ) sen= 2 y g x t dtx
x( ) sen=
−∫2
2
2
.
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?
a) La función f no es integrable y g no está definida. b) La función g es derivable y g x x x' ( ) sen= 4 4 . c) La función f es integrable y g no es derivable en [0, 1].
2) Dada la función ( )f x x( ) = +21
29 en el intervalo [0, 4], un valor c que verifica el teorema del incremento finito es:
a) c = 3 .
b) c = − 3 . c) c = 3 .
3) Sea [ ]f a b R: , → una función continua en ( )x a b0 ∈ , . ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?
a) f es derivable en un entorno de x0 . b) Existe una sucesión (xn) de elementos de [a, b] para los cuales f x f xn( ) ( )− >0 1 .
c) Para toda sucesión (xn) de elementos de [a, b] que converge a x0 se tiene que lim f x f xn n→∞
=( ) ( )0
4) La serie ( )− −
−∑ 13
1
1
n
n
n es:
a) Convergente. b) Divergente pero no condicionalmente convergente. c) Divergente.
5) La función f xx
x x( ) =
− +2 4 3 verifica:
a) La recta y = x + 3 es asíntota oblícua de la función f. b) Las rectas y = 1 e y = 3 son asíntotas horizontales de la función f. c) Las rectas x = 1 y x = 3 son asíntotas verticales de la función f.
6) La función f xx
x x( ) =
− +2 4 3 verifica:
a) f es decreciente en ( ) ( )− ∞ − ∪ +∞, ,3 3 .
b) f es monótona creciente en todo su dominio de definición.
c) f es creciente en ( ) ( )− ∪ +∞3 0 3, , .
2
7) La ecuación f(x) = P(x) tiene cuatro raíces reales unicamente, donde f es una función continua y P(x) es una función polinómica de cuarto grado. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?
a) El polinomio P(x) no es un polinomio interpolador de la función f. b) P(x) es el polinomio interpolador de la función f correspondiente a los nodos constituidos por las
raíces de la ecuación. c) El polinomio interpolador de la función f correspondiente a los nodos constituidos por las raíces de
la ecuación es proporcional a P(x).
8) El polinomio de Taylor de grado 2 de la función f xLn x
x( )
.= en el punto x = 1 es:
a) ( )112
1 2− −x .
b) ( ) ( )x x− + −112
1 2
! .
c) ( ) ( )x x− − −132
1 2 .
9) El valor de ( )lim xx
x→0
1
3 3cos. es:
a) ∞ . b) 0 .
c) −32
.
10) El valor de la integral ( )x x dx3 2
0
122−∫ es:
a) π2
.
b) 79
.
c) 67
.
1
ANALISIS MATEMATICO Febrero 1997 - 1ª Semana Tipo examen A
1. Sea [ ]f R: ,− →11 , donde f xx
x( ) =
+
2
21 y h
ax
xdx
a a
a
lim=+→ −∫0
2
21
2 1 :
A. h = 0 . B. h = 1 . C. Ninguna de las anteriores.
2. Sea f xx
( ) =1
, con x0 = 1. Desarrollar x0 por el polinomio de Taylor.
A. A x Bx x x− + − +10 52 3 4 donde A y B son números naturales.
B. 3 4 2 3 4+ + + +Ax x Bx x donde A y B son números enteros. C. Ninguna de las anteriores.
3. Sea p R R: → , tenemos f(-2) = -16, f(-1) = -5, f(0) = -2 y f(1) = -1 y el grado de f es menor de 4:
A. p(2) = 4 . B. p(2) = -0.5 . C. Ninguna de las anteriores.
4. Sea f R R: → , tenemos f x p x x( ) ( )= − 2 y según el ejercicio 3:
A. f crece en el intervalo (-1,0) . B. f es cóncava en el intervalo (3,5) . C. Ninguna de las anteriores.
5. Sea ( )p a b R: , → siendo discontinua en el intervalo (a,b):
A. | f | es discontinua en el intervalo (a,b) . B. | f | puede ser derivable en el intervalo (a,b) . C. Ninguna de las anteriores.
6. El segundo decimal de la única raíz de p(x) = 0 del ejercicio 3 es:
A. 4 . B. 5 . C. Ninguna de las anteriores.
7. La serie 1
14n + es:
A. Divergente. B. Convergente. C. Ninguna de las anteriores.
8. Sea f R R: → siendo f x x( ) = 25 , entonces: A. f posee una recta tangente para todo x que pertenece a R . B. f no posee una recta tangente para x igual a 0 . C. Ninguna de las anteriores.
9. El valor de la integral tg .3
04 x dxπ
∫ :
A. Es mayor de 0.5 . B. Es menor de 0.3 . C. Ninguna de las anteriores.
10. Si F(x) es la primitiva de f x e xx( ) = + , entonces:
A. F(x) es convexa en R . B. F(x) es creciente en R . C. Ninguna de las anteriores.
Análisis Matemático
Examen de Febrero de 1997 (1ª semana). Tipo A
1) Sea [ ] R→− 1,1:f definida por 1
)(xf+
=
a) 0=h .
b) 1=h .
c) Ninguna de las anteriores.
Respuesta razonada:
La función que se nos da
)(xf =
es continua en toda la recta real por lo que s
también continua. Esto permite asegurar que
en todo compacto [ ]aa,− , donde R∈a . Po
cerrado y acotado es integrable Riemann en d
∫−=a
aaaF
121
)(
está bien definida para todo a perteneciente
¿cuál es el valor de esta función? Basta hallar
aplicar la regla de Barrow:
+−=
+=
−− ∫∫a
a
a
ad
xadx
xx
aaF
11
121
121
)( 22
2
( ) ([ aaaa
−−−−= arctgarctg21
1 La restricción no es más que una nueva función que
1Examen de Análisis. Febrero 97
2
2
xx
y ∫−→ +=
a
aa xx
ah 2
2
0 121
lim . Entonces:
2
2
1 xx+
u restricción1 a todo intervalo cerrado y acotado es
)(xf es continua en el compacto [ ]1,1− y también
r otro lado, toda función continua en un intervalo
icho intervalo y, en consecuencia, la función
+dx
xx
2
2
al intervalo [ ]1,1− y distinto de cero. Ahora bien,
una primitiva de la función racional 2
2
1)(
xx
xf+
= y
[ ] =−=
+−= −−− ∫∫ a
a
a
a
a
axx
adx
xdx
ax arctg
21
11
121
2
( ))] ( )[ ]aaaa
a −+−=− arctgarctg221 .
tiene la misma fórmula pero que actúa en parte del dominio.
2 Examen de Análisis. Febrero 97
Como la función arco tangente es impar (ver figura 1 de la página siguiente) resulta que
( ) aa arctgarctg −=− y por tanto:
( ) ( ) ( ) aaaaa
aaa
aaaa
aF arctgarctg221arctg22
21arctgarctg2
21)( −=−=−=−−= .
Si hacemos el límite de esta función cuando a tiende a cero resulta
( ) 0000arctg0arctglim12
1lim
02
2
0=−=−=−=
+=
→−→ ∫ aax
xa
ha
a
aa.
Figura 1
La respuesta correcta es a.
3Examen de Análisis. Febrero 97
2) Sea x
xf 1)( = y 10 =x , entonces el polinomio de Taylor correspondiente a f en el punto 0x
es:
a) 432 510 xxBxxA +−+− , donde A y B son dos números naturales.
b) 43243 xBxxAx ++++ , donde A y B son dos números enteros.
c) Ninguno de los apartados anteriores.
Respuesta razonada:
Recordemos el teorema de Taylor:
Sea f una función que admita derivada n+1–ésima ( )1+nf en todo el intervalo ),( ba y
supongamos que ( )nf es continua en el intervalo [ ]ba, . Supongamos también que 0x es un
punto de [ ]ba, . Entonces para todo x de [ ]ba, distinto de 0x , existe un punto 1x , interior al
intervalo que une x con 0x tal que
( )
( )( )
( ) 10
11
10
00 !
)(!
)()()( +
+
=−+−+= ∑ n
nn
k
kk
xxn
xfxx
kxf
xfxf .
Es decir, el teorema de Taylor nos garantiza que toda función que admita derivadas continuas
hasta el orden n en un intervalo cerrado y que tenga derivada n+1–ésima en el interior de ese
intervalo cerrado, puede ser aproximada mediante el valor de un polinomio
( )
( )∑=
−+n
k
kk
xxk
xfxf
10
00 !
)()( ,
(llamado de Taylor) con coeficientes calculados por medio de la función y sus primeras n
derivadas en un punto 0x , cometiendo un error medido a través del valor de la n+1–ésima
derivada en otro punto 1x : ( )
( ) 10
11
!)( +
+
− nn
xxn
xf.
La función x
xf 1)( = tiene por dominio el conjunto { }0−R y en su dominio es indefinidamente
derivable. Por ello, si tomamos un intervalo cerrado: [ ]ε+ε− 1,1 , 0>ε , que no contenga al
origen, podemos asegurar que en dicho intervalo se dan las condiciones del teorema de Taylor
(ver figura siguiente)
4 Examen de Análisis. Febrero 97
0 ε 1
ε Para hallar el polinomio de Taylor de grado n-1 necesitamos conocer la expresión de las
derivadas de f . Esto no resulta difícil si escribimos 1)( −= xxf en lugar de x
xf 1)( = . En efecto,
( ) 10 )( −= xxf (la función)
( ) ( ) 21 1)( −−= xxf (primera derivada)
( ) ( )( ) 32 12)( −−−= xxf (segunda derivada)
( ) ( )( )( ) 43 123)( −−−−= xxf (tercera derivada)
...............................................
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )112.....1)( +−−−−−−= nn xnnxf (derivada de orden n)
Recordando que 123!3,12!2,1!1,1!0 ⋅⋅=⋅=== , etc., se tiene
( ) 10 !0)( −= xxf
( ) ( ) 21 !11)( −−= xxf
( ) 32 !2)( −= xxf
( ) ( ) 43 !31)( −−= xxf
....................................
( ) ( )1!)1()( +−−= nnn xnxf .
Los valores obtenidos se sustituyen en el polinomio de Taylor
( )
( )( )
( ) ( ) =−−+=−−+=−+ ∑∑∑==
+−
=
n
k
kkn
k
kkkn
k
kk
xxkk
xxk
xfxf
11
1
10
00 1)1(11
!1!)1(
11
!)(
)(
( ) ( ) ( ) .....1111 32 +−−−+−−= xxx
Esto supone que la respuesta correcta es c.
5Examen de Análisis. Febrero 97
3) De una función polinómica RR →:p , tan sólo se conoce que 2)1(p,16)2(p −=−−=− ,
1)1(p −= y que el grado de p es menor que cuatro. Entonces
a) Es correcto suponer que ( ) 42p = .
b) Es correcto suponer que ( ) 5.02p −= .
c) Ninguno de los dos apartados anteriores
Respuesta razonada:
Supongamos que el polinomio que buscamos es de la forma:
( ) DCxBxAxx +++= 23p .
Esta suposición es razonable ya que el grado de p es como máximo tres. Para hallar este
polinomio (llamado de interpolación) vamos a emplear el método de las diferencias divididas. A
continuación explicamos tal método.
Consideremos una tabla donde se nos dan ciertos puntos nixi ,..,2,1,0, = y los valores de una
función en tales puntos niyi ,..,2,1,0, =
Tabla 1
0x 0y
1x 1y
2x 2y
3x 3y
. .
nx ny
La primera diferencia dividida es la expresión:
[ ] jixxyy
xxij
ijji ≠
−−
= ,, .
6 Examen de Análisis. Febrero 97
Obsérvese que se trata de una especie de cociente incremental. Por ejemplo si tenemos la tabla de
los valores de p
Tabla 2
ix iy
-2 -16
-1 -5
0 -2
1 -1
las primeras diferencias divididas consecutivas serán:
[ ] ( )( ) 11
111
21165
21165,
01
0110 ==
+−+−=
−−−−−−=
−−=
xxyyxx ,
[ ] ( )( ) 3
13
152
1052,
12
1221 ==+−=
−−−−−=
−−=
xxyyxx ,
[ ] ( ) 111
121
0121,
23
2332 ==+−=
−−−−=
−−=
xxyyxx .
Estas diferencias se suelen colocar en la tabla anterior de la siguiente forma:
Tabla 3
ix iy [ ]ji xx ,
-2 -16
-1 -5 11
0 -2 3
1 -1 1
7Examen de Análisis. Febrero 97
Las segundas diferencias divididas consecutivas se construyen a partir de las primeras utilizando la
expresión:
[ ] [ ] [ ]ki
xxxxxx
xxxik
jikjkji ≠
−−
= ,,,
,, .
En nuestro caso, serán:
[ ] [ ] [ ]( ) 4
28
20113,,,,
02
1021210 −=−=
−−−=
−−=
xxxxxxxxx ,
[ ] [ ] [ ]( ) 1
22
1131,,,,
13
2132321 −=−=
−−−=
−−=
xxxxxxxxx .
Estos resultados se añaden a la tabla anterior
Tabla 4
ix iy [ ]ji xx , [ ]kji xxx ,,
-2 -16
-1 -5 11
0 -2 3 -4
1 -1 1 -1
Las terceras diferencias divididas consecutivas serán
[ ] [ ] [ ]ti
xxxxxxxx
xxxxit
kjitkjtkji ≠
−−
= ,,,,,
,,, .
Siguiendo nuestro ejemplo, obtenemos:
[ ] [ ] [ ] 133
2141
)2(1)4(1,,,,,,,
03
2103213210 ==
++−=
−−−−−=
−−=
xxxxxxxxxxxx
y este resultado se añade a la tabla 5:
8 Examen de Análisis. Febrero 97
Tabla 5
ix jy [ ]ji xx , [ ]kji xxx ,, [ ]tkji xxxx ,,,
-2 -16
-1 -5 11
0 -2 3 -4
1 -1 1 -1 1
Una vez que hemos formado todas las diferencias divididas consecutivas posibles se puede
demostrar que el polinomio de interpolación es de la forma:
( ) [ ]( ) [ ]( )( ) [ ]( )( )( ) ...,,,,,,p 2103210102100100 +−−−+−−+−+= xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxyx
En nuestro caso:
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )012112421116p −−−−−+−−−−−+−−+−= xxxxxxx
que simplificado es
( ) 2p 23 −+−= xxxx .
Para comprobar que este es el polinomio buscado vamos a sustituir los valores conocidos del
argumento
( ) ( ) ( ) ( ) 1644822222-p 23 −=−−−=−−+−−−=
( ) ( ) ( ) ( ) 531121111-p 23 −=−−−=−−+−−−=
( ) ( ) ( ) ( ) 220000p 23 −=−+−=
( ) ( ) ( ) ( ) 1211121111p 23 −=−+−=−+−= .
Como el lector puede comprobar coinciden perfectamente. Veamos lo que vale este polinomio en
2=x
( ) 4224822222p 23 =−+−=−+−= .
La respuesta correcta es a.
Observación: El método de Newton para la búsqueda del polinomio interpolador es más
fácilmente aplicable a este problema pero sólo puede usarse en el caso de que los argumentos
estén equiespaciados (es decir, que las x conocidas estén a la misma distancia unas de otras
como ocurre en este problema). Por el contrario, el método de las diferencias divididas se puede
9Examen de Análisis. Febrero 97
aplicar aunque no se tengan argumentos equiespaciados y por ello nos ha parecido más
conveniente explicarlo para tener un método de alcance general.
10 Examen de Análisis. Febrero 97
4) La función RR →:f definida por 2)(p)( xxxf −= , donde ( )xp es la función de la cuestión
tercera. Entonces
a) f crece en el intervalo. ( )0,1− .
b) f es cóncava en el intervalo. ( )5,3 .
c) Ninguno de los dos apartados anteriores.
Respuesta razonada:
Sabemos que la función del apartado tres es el polinomio
( ) 2p 23 −+−= xxxx ,
por lo que la función f tendrá por valor
222)( 23223 −+−=−−+−= xxxxxxxxf
y será también un polinomio. Para investigar su monotonía y concavidad bastará hallar la primera
y la segunda de sus derivadas. En efecto, su primera derivada
143)( 2 +−=′ xxxf
se anula en los puntos
( )
2,31
644
612164
3213444 2
==−=⋅
⋅⋅−−= mmmx .
La siguiente tabla nos da razón de la monotonía de f
∞−
31
,
1,
31 ( )+ ∞,1
143)( 2 +−=′ xxxf + - +
f Creciente Decreciente Creciente
Como el intervalo ( )0,1− está contenido en el intervalo
∞−
31
, , se sigue que f es creciente en
( )0,1− y la respuesta correcta es a.
11Examen de Análisis. Febrero 97
5) Sea ( ) R→baf ,: una función discontinua en todo punto del intervalo ( )ba, , entonces:
a) f es una función discontinua en ( )ba, .
b) f puede ser una función derivable en ( )ba, .
c) Ninguno de los dos apartados anteriores.
Respuesta razonada:
Sea la función:
=
irracional es si 1-racional es si 1
)(xx
xf
definida en el intervalo ( )2,1 . Esta función es discontinua en todo punto de dicho intervalo. En
efecto, sea a un punto racional del intervalo ( )2,1 . Su imagen es ( ) 1=af , pero si tomamos un
entorno ( )ε;1E de 1 de radio 10 <ε< , veremos que es imposible encontrar algún entorno ( )aE
de a tal que para todo x perteneciente a dicho entorno, la imagen de x , )(xf pertenece a
( )ε;1E . Esto es así, debido a que en dicho entorno de a , habrá algún irracional 0x y la imagen de
tal irracional será 1)( 0 −=xf , valor que no pertenece a ( )ε;1E (ver figura 2 )
Figura 2
Un razonamiento análogo se puede aplicar a todo punto b irracional del intervalo ( )2,1 . En
resumen, f es discontinua en todo punto de ( )2,1 . Sin embargo, su valor absoluto es
12 Examen de Análisis. Febrero 97
==
irracional es si 11-
racional es si 1)(
x
xxf
lo que implica que se trata de una función constante 1)( =xf en el intervalo ( )2,1 . Como
sabemos todas las funciones constantes son continuas y derivables por lo que esta función es un
ejemplo de función discontinua en todo punto de un intervalo y tal que su valor absoluto es
continuo y derivable. Así, la respuesta correcta es c.
13Examen de Análisis. Febrero 97
6) El segundo decimal de la única raíz de la ecuación ( ) 0p =x , donde ( )xp es la función
polinómica de la cuestión tercera es:
a) 4.
b) 5.
c) Ninguno de los dos apartados anteriores.
Respuesta razonada:
Recordemos que el polinomio de la tercera pregunta resultó ser
( ) 2p 23 −+−= xxxx ,
por lo que la ecuación cuyas raíces buscamos es 0223 =−+− xxx . Se trata de una ecuación de
tercer grado para la que existe una fórmula (llamada generalmente de Cardano–Viéta). Sin
embargo, tal fórmula es algo complicada y suele ser preferible una resolución por aproximación
numérica. En primer lugar, probaremos que sólo existe una raíz para dicha ecuación. En efecto,
podemos aplicar el Teorema de Bolzano al intervalo [ ]2,8.0 (este intervalo se determina por
inspección de valores con cambios de signo que se encuentren bastante cerca uno de otro) ya que
se trata de una función continua (como todo polinomio) y además
( ) 0328.10.8p <−= ( ) 042p >= ;
esto garantiza que existe al menos una raíz en el intervalo[ ]2,8.0 . Por otro lado, la derivada de
( )xp es el polinomio ( ) 123q 2 +−= xxx y este polinomio no tiene ceros pues su discriminante
acb 42 −=∆ tiene por valor un número negativo
( ) 81241342 2 −=−=⋅⋅−−=∆ .
Esto significa que la derivada siempre tiene el mismo signo (pues al ser continua si cambiara de
signo habría pasado por cero alguna vez). En este caso el signo es positivo y la función ( )xp es
siempre creciente lo que implica que si corta al eje de abscisas (como así ocurre) lo habrá de hacer
una sola vez. Hemos probado pues que la ecuación tiene una única raíz en el intervalo
2,
32
.
Para hallar el valor de esta raíz vamos a emplear el método de Newton–Raphson. Este método
consiste en la construcción de una sucesión recurrente de la forma:
0)()(
1 ≥′
−=+ nxfxfxx
n
nnn .
14 Examen de Análisis. Febrero 97
El término inicial 0x ha de elegirse adecuadamente. A este respecto, es conveniente recordar el
siguiente teorema:
Sea f dos veces diferenciable continuidad en un intervalo [ ]ba, verificando las siguientes
condiciones:
1. 0)()( <bfaf .
2. 0)( ≠′xf para todo [ ]bax ,∈ .
3. f ′′ no cambia de signo en [ ]ba, .
4. abbfbf
afaf −≤
′′ )()(
,)()(
max .
Entonces existe una única raíz s de la ecuación 0)( =xf en el intervalo [ ]ba, y la sucesión
{ }nx obtenida por el método Newton–Raphson converge hacia s cualquiera que sea el valor
inicial 0x de [ ]ba, .
La función ( ) 2p 23 −+−= xxxx verifica las cuatro condiciones anteriores.
1. Es derivable indefinidamente con continuidad en [ ]2,8.0 (y por tanto, dos veces derivable con
continuidad). Además sabemos que ( ) ( ) 02p8.0p < .
2. Su primera derivada es ( ) 123q 2 +−= xxx y como ya hemos probado no tiene ceros.
3. La segunda derivada es ( ) 26p −=′′ xx , y cambia de signo sólo en 31=x , por lo que en el
intervalo que estudiamos su signo es constante.
4. ( ) ( ) { } 33.1006.144.0,006.1max
94
,32.1328.1
max)2(p
2p,
)8.0(p0.8p
max ≤==
=
′′ .
Aplicamos el método de Newton–Raphson tomando como valor inicial el 10 =x (por sencillez).
Así resulta que:
5.1)1(p)1(p11 =
′−=x ,
( ) 26321,36842105 1926
)2/3(p2/3p
23
2 ==′
−=x ,
21181,35339419 936026/2661)19/26(p)19/26(p
1926
3 ==′
−=x ,
353209992.1)26619/36026(p)26619/36026(p
2661936026
4 =′
−=x .
15Examen de Análisis. Febrero 97
Obsérvese que al cabo de cuatro iteraciones hemos obtenido una cierta estabilidad en los dígitos
del resultado. En efecto, la tercera y la cuarta iteración comparten los dígitos 1,353 por lo que
podemos asegurar que esos dígitos son exactos. Así la respuesta correcta es b.
16 Examen de Análisis. Febrero 97
7. – La serie de término general 1
14 +n
es
a) Divergente.
b) Convergente.
c) Ninguno de los dos apartados anteriores.
Respuesta razonada:
Utilizaremos el llamado criterio de comparación por paso al límite.
Sea an∑ una serie de términos no negativos y supongamos que para una sucesión bn de
términos no negativos se cumple que
limab
n
n= ≠ + ∞λ 0,
entonces las series an∑ y bn∑ tienen el mismo carácter.
En este criterio se compara el término general de una serie de comportamiento conocido con la
serie estudiada. Como a medida que n crece la expresión 1
14 +n
es más similar a 24
11nn
=
utilizaremos esta última para comparar. Así tenemos que
11
lim1
11
lim1
11
lim1
11
lim 4
4
4
4
4
4
2
4
=+
=+=+=+n
n
n
n
n
n
n
n .
Ahora bien, la serie ∑ 2
1n
converge por lo que también converge la serie estudiada. La respuesta
correcta es b.
17Examen de Análisis. Febrero 97
8. – Sea RR →:f definida de forma 5 2)( xxf = , entonces:
a) f posee recta tangente para todo R∈x .
b) f no posee recta tangente para 0=x .
c) Ninguno de los dos apartados anteriores.
Respuesta razonada:
Si calculamos la derivada de la función dada, obtenemos:
5 5
53
531
52
5
2
5
252
52
)(xx
xxxf ====′ −−.
Observamos que no tal derivada no está definida para 0=x . En efecto, el límite
− ∞=======−−
−→→
−
→→→→ −−−−−− 011
lim1
limlimlimlim0
)0()(lim
5 30530
53
0
52
0
5 2
00 xxx
xx
xx
xfxf
xxxxxx
se interpreta como la pendiente de la recta tangente por la izquierda a la función en el punto
0=x . Al tener un valor igual a menos infinito se trata de una recta vertical (pendiente infinita)
obtenida como límite de rectas secantes de pendiente negativa. Por otro lado, el límite
+ ∞=======−−
+→→
−
→→→→ ++++++ 011
lim1
limlimlimlim0
)0()(lim
5 30530
53
0
52
0
5 2
00 xxx
xx
xx
xfxf
xxxxxx
se interpreta como la pendiente de la recta tangente por la derecha a la función en dicho punto. Se
trata también de una recta vertical pero límite de rectas secantes con pendiente positiva. No
podemos asignar la misma pendiente por un lado que por otro y esto implica que en el origen la
curva no tiene recta tangente. La respuesta correcta es b.
18 Examen de Análisis. Febrero 97
9. – El valor de la integral ∫π4
0
3tg xdx es:
a) Mayor que 0.5.
b) Menor que 0.3.
c) Ninguno de los dos apartados anteriores.
Respuesta razonada:
Recordemos que xxx
cossentg = . De esta forma, la integral queda como
∫∫ππ
= 40 3
34
0
3
cossen
tg dxxx
xdx .
Por otro lado, sabemos que 1sencos 22 =+ xx , lo que permite xx 22 sen1cos −= y la integral
resulta
( ) ∫∫∫∫∫πππππ
=−=−=== 40 3
24
0 3
24
0 3
24
0 3
34
0
3
coscossensen
coscos1sen
cossensen
cossen
tg dxx
xxxdx
xxx
dxx
xxdx
xx
xdx
∫∫∫∫ππππ
=−=−= 40
40 3
40 3
24
0 3 cossen
cossen
coscossen
cossen
dxxx
dxxx
dxx
xxdx
xx
.
Para resolver las dos integrales que nos quedan utilizaremos un mismo cambio de variable:
22
4cos;10cos
sensencos
=π===
−=⇒−=⇒=
uu
xdudxxdxduxu
(recordemos que en los cambios de variable de integrales definidas también han de cambiarse los
extremos de integración). Sustituyendo, queda
∫∫ππ
=− 40
40 3 cos
sencossen
dxxx
dxxx =−−−=−−−= ∫∫∫∫ 2
2
122
1 322
122
1 3 sensen
sensen
udu
udu
xdu
ux
xdu
ux
[ ] =+
−
=+−=−
− ∫∫ 22
1
22
1
222
122
1
3 ln2
uuududuu [ ] =+
−
−−
22
1
22
1
2
ln2
uu [ ]22
1
22
12 ln
21
uu
+
−
19Examen de Análisis. Febrero 97
=+=
−+
+−−=
−+
⋅−−
−
−=−21
1
21
22 2ln21
022
ln21
11ln22
ln12
1
222
1 2ln21
21 −= .
Como sabemos que 301030.02ln ≈ es aproximadamente 0.301030, resulta que el valor de la
integral es, también aproximadamente:
( ) 349485.069897.05.030103.015.0301030.05.05.0 =⋅=−⋅=⋅− .
La respuesta correcta es c.
20 Examen de Análisis. Febrero 97
10. – Sea )(xF una función primitiva de la función xexxf +=)( , entonces:
a) )(xF es convexa en todo R .
b) )(xF es creciente en todo R .
c) Ninguno de los dos apartados anteriores.
Respuesta razonada:
Una función )(xF se dice que es una primitiva en R de otra función )(xf si entre ambas se da
la relación
)()( xfxF =′
en todo punto de R . Particularmente, esto nos permite investigar la monotonía de )(xF
estudiando su derivada )(xf . En este caso, la derivada es xexxf +=)( y tal derivada es
continua y cambia de signo ( 0111)1( 1 <+−=+−=− −
eef , 10)0( 0 =+= ef ) . Por ello, la función
primitiva )(xF tiene intervalos de crecimiento (donde f es positiva) e intervalos de
decrecimiento (donde fx es negativa). Esto invalida la respuesta b.
Por otro lado, la relación )()( xfxF =′ implica )()( xfxF ′=′′ , por lo que derivando f
obtenemos la segunda derivada de F y podemos estudiar la concavidad y convexidad. Así,
resulta que
( ) 01)()( >+=′+=′=′′ xx eexxfxF
y la función primitiva F ha de ser convexa en toda la recta real al tener segunda derivada siempre
positiva. La respuesta correcta es a.
.
1
Asignatura: ANALISIS MATEMATICO Tipo examen: A Fecha: 10-Septiembre-1997 1.- De una función polinómica de grado 3 se sabe que f(1) = 2, f(2) = 10, f(3) = 30 y f(4) = 68:
a) f es una función estrictamente creciente en R. b) f posee un máximo y un mínimo local. c) Ninguno de los dos apartados anteriores.
2.- De una función polinómica de grado 3 se sabe que f(1) = 2, f(2) = 10, f(3) = 30 y f(4) = 68:
a) f es una función impar (simétrica respecto al origen). b) x · f(x) NO es una función par (simétrica respecto al eje OY). c) Ningunos de los dos apartados anteriores.
3.- La expresión de una función en un entorno reducido de x = 0 es ( )
f xx
x x( )
sen=
−
2
2 2 :
a) Si f(0) = 1, entonces f es una función continua en x = 0. b) f es una función discontinua en x = 0 para cualquier valor d ∈ [0, 10] tal que f(0) = d. c) Ningunos de los dos apartados anteriores.
4.- Sea f una función CONTINUA, en un entorno de x = 0, de expresión ( )
f xx
x x( )
sen=
−
2
2 2 salvo
para x = 0.
a) f no puede ser una función derivable en x = 0. b) La derivada de f en x = 0 es 2. c) Ninguno de los dos apartados anteriores.
5.- Sea f x x t dt
x( )
sen= − −∫ 1 2
0 :
a) f posee un único máximo local y un único mínimo local. b) f posee infinitos puntos máximos locales e infinito puntos mínimos locales. c) Ninguno de los dos apartados anteriores.
6.- Sea f x x t dt
x( )
sen= − −∫ 1 2
0 :
a) f posee un único punto de inflexión. b) f posee punto de inflexión en x = k · π para k ∈ Z. c) Ninguno de los dos apartados anteriores.
2
7.- Sea f : R → R una función continua tal que f t dt( ) =−∫ 0
1
1 :
a) f es idénticamente nula o impar. b) Existe d ∈ (-1, 1) tal que f(d) = 0. c) Ninguno de los dos apartados anteriores.
8.- La serie ( )• ( )
−+−∑ 1
115
n n nn
es:
a) Condicionalmente convergente. b) Absolutamente convergente. c) Ninguno de los dos apartados anteriores.
9.- El valor de la integral sencos
2
40
4 xx
dxπ
∫ es:
a) Mayor que 1. b) Menor que 1/4. c) Ninguno de los dos apartados anteriores.
10.- Sea f la función primitiva de la función g(x) = x · Ln x tal que f(1) = - 1/4 :
a) La gráfica de f no corta al eje OX. b) La gráfica de f corta al eje OX en un único punto. c) Ninguno de los dos apartados anteriores.
1
Asignatura: ANALISIS MATEMATICO Fecha: 28 - Febrero - 1998 Tipo examen: A 1 - De la función polinómica P(x) se sabe que es la única raíz de su grado que cumple P(-1) = 0, P(0)
= A, P(1) = 0, P(2) = -A, P(3) = 0 y que ( )P x dx−∫ =
1
11
a) A = 13
b) A = 34
c) Ninguno de los dos apartados anteriores Como los nodos son equidistantes vamos a utilizar la fórmula del polinomio interpolador en la forma de Newton-Gregory en diferencias progresivas:
( ) ( ) ( )∑ ∏=
−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
∆=
n
k
k
iik
k
n xxhkxfxP
0
1
0
0
!
Calculamos el triángulo de las diferencias progresivas: x0 = -1 f(-1) = 0 ∆f(-1)= A-0 = A x1 = 0 f(0) = A ∆2f(-1) = -A – A = -2A ∆f(0) = 0 – A= -A ∆3f(-1) = 0 – (-2A) = 2A x2 = 1 f(1) = 0 ∆2f(0) = -A – (-A) = 0 ∆4f(-1) = 2A – 2A = 0 ∆f(1) = -A – 0 = -A ∆3f(0) = 2A -- 0 = 2A x3 = 2 f(2) = -A ∆2f(1) = A – (-A) = 2A ∆f(2) = 0 – (-A) = A x4 = 3 f(3) = 0 Y aplicamos la fórmula:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) AxAAxxAxxxAxxAxAxP +−−=−+++−
+++=33
11!3
21!2
21!1
0 233
Calculamos la integral:
34
631233
1
1
2341
1
23 AAxxAxAxAdxAxAAxxA=+−−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−−
−−∫
Y la igualamos a 1:
431
34
=⇒= AA
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) AxAAxxAxxxAxxAxAxPn +−−=−+++−
+++=33
11!3
21!2
21!1
0 23
AAxxAxAxAdxAxAAxxA34
631233
1
1
2341
1
23 =+−−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−−
−−∫
431
34
=⇒= AA
2
2 - De la función polinómica P(x) se sabe que es la única raíz de su grado que cumple P(-1) = 0, P(0)
= A, P(1) = 0, P(2) = -A, P(3) = 0 y que ( )P x dx−∫ =
1
11
a) P(x) posee un mínimo relativo en x = 2
b) P(x) posee un máximo relativo en x = 1 - 23
3
c) Ninguno de los dos apartados anteriores
La función polinómica la calculamos en el ejercicio anterior el cual es igual a
Y “A” es igual a 34
, con lo cual el polinomio queda así:
( )34
94
34
94 23 +−−= xxxxP
Para averiguar los máximos y los mínimos primero hay que calcular su derivada:
Y buscamos sus raíces:
Ahora solo falta averiguar si 3321− es un máximo relativo. Para eso calculamos la derivada 3ª del
polinomio:
( )38
38
−=′′ xxP
Y al ser 39
16283
321
383
321 −=−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −′′P menor que 0, el punto es un máximo
relativo, y la respuesta correcta es la “b”. 3 - Sea T3(x) = Ax3 + Bx2 + Cx + D el polinomio de Taylor de grado 3 correspondiente a la
función f(x) = ( )Ln t dtx
12
2
∫ en el punto x = 1
a) C = -2 b) B = -1 c) Ninguno de los dos apartados anteriores Primero vamos a averiguar ( )∫ dxxLn . Para ello utilizaremos el método de integración por partes.
Elegiremos ( )x
uxLnu 1=′⇒= , y xvv =⇒=′ 1 .
( ) AxAAxxAxP +−−=33
23
( )94
38
34 2 −−=′ xxxP
( ) ( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
+=
×−××−−±
=
=−−⇒=−−
3321
3321
3213466
0163094
38
34
2
22
x
xxxx
3
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )111 −=−=⋅
⋅′−⋅=′⋅
∫∫
∫ ∫xLnxxdx
xxxLndxxLn
dxxvxuxvxudxxvxu
El polinomio de Taylor es igual a:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )33
23 1
!311
!211
!111 −+−
′′+−
′+= xfxfxffxT
Calculamos f(1):
( ) ( ) ( )( ) ( )( )[ ] ( )212
211
21
2111111 1
21
1
21
2
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−−=−== ∫ LnLnLnxLnxdxxLnf
Calculamos f’(1): ( ) ( ) ( )( ) 01
422
=′⋅=⋅=′
fxLnxxxLnxf
Calculamos f’’(1):
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) 44141
441444
=+=′′
+=+=′⋅=′′
Lnf
xLnx
xxLnxLnxxf
Calculamos f(3)(1):
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) 4141
444
3
3
==
=′+=
f
xxLnxf
Con lo cual el polinomio queda:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )652
212
321
!341
!2410
212
21 332
3 ++−=−+−+−⋅+−= LnxxxxxLnxT
Por lo tanto 2−=C . 4 - Sea T3(x) = Ax3 + Bx2 + Cx + D el polinomio de Taylor de grado 3 correspondiente a la
función f(x) = ( )Ln t dtx
12
2
∫ en el punto x = 1
a) D = 12
Ln(2) + 56
b) D = 43
c) Ninguno de los dos apartados anteriores El polinomio de Taylor es el mismo al del ejercicio anterior:
( ) ( )652
212
32 3
4 ++−= LnxxxT
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) 01141
422
21
2
=⋅⋅=′
⋅=⋅=′
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=′ ∫
Lnf
xLnxxxLndttLnxfx
4
En él se puede ver que ( )652
21
+= LnD .
5 - Sean g(x) = 0 01 0
si xsi x
≤>
⎧⎨⎩
y f(x) = g(x)x2 + g(-x)x3
a) f no es derivable en x = 0
b) f ‘(0) = 0 c) Ninguno de los dos apartados anteriores Reconstruimos de nuevo la función f(x):
f(x) = ⎩⎨⎧
>≤
00
2
3
xsixxsix
Vemos si la función es continua en el punto 0: ( )
( ) 0
02
00
3
00
==
==
++
−−
→→
→→
xlimxflim
xlimxflim
xx
xx
Como la función es continua en el punto x=0 solo falta averiguar si es derivable en dicho punto y calcularla:
( )( ) 02
03
00
2
00
==′
==′
++
−−
→→
→→
xlimxflim
xlimxflim
xx
xx
Por lo tanto, f ‘(0) = 0
6 - Sean g(x) = 0 01 0
si xsi x
≤>
⎧⎨⎩
y f(x) = g(x)x2 + g(-x)x3
a) f posee un mínimo relativo en x = 0 b) f posee un máximo relativo en x = 0
c) Ninguno de los dos apartados anteriores La función es la misma que la del ejercicio anterior:
( )⎩⎨⎧
>≤
=00
2
3
xsixxsix
xf
Su derivada es:
( )⎩⎨⎧
>≤
=′0203 2
xsixxsix
xf
La igualamos a 0:
002003 2
=⇒==⇒=
xxxx
El punto x=0 es un posible candidato a ser un máximo o un mínimo relativo. Para averiguarlo vamos a calcular las derivadas sucesivas de la función hasta que el punto x=0 de un resultado diferente a 0:
5
( )
02003
0206
>=⇒=
⎩⎨⎧
>≤
=′′
xxxsixsix
xf
El punto x=0 es un mínimo relativo a la derecha del punto (x>0) de la función. Pero aún no sabemos nada sobre la izquierda del punto:
( )
06063
≠≤= xsif
En el punto x=0 no hay un punto máximo ni mínimo, por ser la derivada 3ª en ese punto diferente de 0, y al ser el 3 un número impar. Para demostrar que el punto x=0 no es un mínimo ni un máximo relativo vasta coger el punto x=-1 y x=1:
( ) ( )( ) 0111
01112
3
>==
<−=−=−
ff
7 - Sean f : [0, 1] → R y g : [0, 1] → R dos funciones integrables
a) Si ( ) ( )( )f x g x dx− =∫01
0 entonces f(x) = g(x) para todo x ∈ [0, 1]
b) Si ( ) ( )f x g x dx− =∫01
0 entonces f(x) = g(x) para todo x ∈ [0, 1]
c) Ninguno de los dos apartados anteriores . Para demostrar que la respuesta correcta es la c), vamos a poner un contraejemplo:
( )
baba
baxbxadxbxaxdxbxax
bxax
43034
3434
1
0
341
0
231
0
23
23
=⇒=−
−=−=−=−
≠
∫∫
Si ponemos a=4 y b=3, ya tenemos el contraejemplo.
8 - Sea A la serie ( )2 1n nn
n+∑ !
a) 1 < A < ∞
b) A = ∞ c) Ninguno de los dos apartados anteriores Comparamos el término general con el término siguiente:
( ) ( )( )
2 1 2 21
1 1n n n nnn
nn
+≤
++
+ +
! !
Como la serie es DIVERGENTE, su sumatorio es infinito (A = ∞)
9 - Sean f(x) una función polinómica y g(x) = ( )x af x−
donde a es una raíz de la ecuación f(x) = 0
6
a) Existe limx a→
g(x) y es finito
b) Existe limx a→
g(x) y puede ser infinito
c) Ninguno de los dos apartados anteriores Supongamos que f(x)=(x-a)h(x):
( ) ( ) ( ) ( ) ( )xhlim
xhaxaxlim
xfaxlimxglim
axaxaxax
1→→→→
=⋅−
−=
−=
El límite depende de h(x). Por lo tanto no se puede asegurar si tiene límite, y si este es finito o infinito. 10 - Sea f(x) = x4 + Ax2 + Bx + C a) f posee dos puntos de inflexión b) Para A = 0, f posee un único punto de inflexión
c) Ninguno de los dos apartados anteriores Averiguamos la derivada segunda de la función:
( )( ) Axxf
BAxxxf+=′′
++=′2
3
124
Buscamos sus raíces:
12012 2 AxAx −±=⇒=+
Viendo esto, podemos deducir que si “A” es menor que cero, entonces la derivada segunda de la función no tiene raíces, y por lo tanto tampoco punto de inflexión. Vamos a ver el caso de A=0. La función quedaría de la forma:
( ) CBxxxf ++= 4 Su derivada segunda sería:
( )( ) 2
3
124
xxfBxxf
=′′
+=′
Buscamos sus raíces:
0012 2 =⇒= xx El punto x=0 es un candidato para ser un punto de inflexión. Para comprobarlo veremos si la derivada tercera en este punto da un resultado distinto de cero:
( ) ( )( ) ( ) 00120
123
3
=⋅=
=
fxxf
Al dar también cero, aún no se puede asegurar si es un punto de inflexión, necesitamos seguir derivando. Si la derivada cuarta de la función en el punto x=0, da un resultado diferente a cero, entonces este punto no es de inflexión, porque el número de veces que se derivó la función es par:
( ) ( )( ) ( ) 0120
124
4
≠=
=
fxf
Por lo tanto el punto x=0 no es de inflexión, y la función no tiene ningún otro.
Examen 1 (febrero 2000)
Nota: e � 2,71 ; tg�4
� 1
1. La serie� � n! � 24n� 2n � ! es:
Convergente.Divergente.Ningunadelasanterioresrespuestas.
2. De la ecuaciónex � x � 0 :Podemosasegurarquetienemasdeunaraízenel intervalo � � 1,0 .Podemosasegurarquetieneunaúnicaraízenel intervalo � � 1,0 y quedicharaízse
encuentraen � 1, � 12
.
Ningunadelasanterioresrespuestas.
3. Si f : R R esunafunciónconderivadadécimacontinuaentodoR, tal quef � � 1� � 0,f � � 1
2� � � 1 y f � 0� � 0, entoncesel valoraproximadodela derivadadela funciónf enel
puntox � 1, calculadomedianteinterpolación, es:12.5.Ningunadelasanterioresrespuestas.
4. El valordela integral �0�2 dx
1 � cosxes:
1.2.Ningunadelasanterioresrespuestas.
5. La serie�
n4 rn
2n es:
Convergenteparar � 1.Convergenteparar � 2.Ningunadelasanterioresrespuestas.
6. Sea � R y f : R R la funcióndefinidapor f � x � � x � |x|x si x � 0
si x � 0.
Si � 2 entoncesla funciónf escontinuaenR.Si � 0 entoncesla funciónf escontinuapor la izquierdaenx � 0.Ningunadelasanterioresrespuestas.
7. La funciónf definidaen � 0, � � � por f � x � � xe1x :
Tieneunaasíntotaoblicuadeecuacióny � x � 1 y unaasíntotaverticaldeecuaciónx � 0.Tieneunmáximorelativoenel puntox � 1.Ningunadelasanterioresrespuestas.
8. Seaf : � 1, � � � � R la funcióndefinidapor f � x � � arctg x � 1 � arcsen x � 1x paratodo
x � 1. El valordela derivadadela funciónf enx � 2 es:12
.
0.Ningunadelasanterioresrespuestas.
9. El valordex � 0lim 1
x � cosx
senxes:
0.12
.
Ningunadelasanterioresrespuestas.
10. Seanf : R � R unafuncióncontinuaenR y G : R � R la funcióndefinidaporG � x � � �
0
xxf � t � dt paratodox � R. La derivadadela funciónG enx � 0 :
Esiguala0.Esiguala1.Ningunadelasanterioresrespuestas.
Corregir Examen 1
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1/3
EXAMEN DE ANÁLISIS MATEMÁTICO 1ª semana – Febrero 2001 Modelo A
1.- Sean f y g funciones derivables en ℜ y h: ℜ → ℜ la función definida por h(x) =
1 (g(x)) 1 g(x)
2 ++ para todo x∈ℜ. Si g(1) = -1, f ´(0) = -1 y g´(1) = 2, entonces la derivada
de la función compuesta f ο h en el punto x = 1 es:A) (f ο h)´(1) = 1.B) (f ο h)´(1) = -2.C) Ninguna de las anteriores respuestas.
2.- En x = 0 la función F(x) = ∫ +2 x
0 21
3 dt) t (1 tiene:
A) Un mínimo relativo.B) Un máximo relativo.C) Ninguna de las anteriores respuestas.
3.- La serie ∑ ++
3 n 2 5
3
n
es:
A) Divergente.B) Convergente.C) Ninguna de las anteriores respuestas.
4.- La serie ( )∑ nn 1 - n es:A) Divergente.B) Convergente.C) Ninguna de las anteriores respuestas.
5.- Sea P2 (x) el polinomio de segundo grado cuya gráfica pasa por los puntos (-2,3),(0,0) y (1,-3).
A) La derivada de P2 (x) es P´2(x)25 -x - = .
B) P2 (-1) = -2.C) Ninguna de las anteriores respuestas.
6.- La ecuación x4 + 2x – 1 = 0:
A) Posee una única raíz en [0, 2] y si se toma 21 x = como valor aproximado de
dicha raíz, el error cometido es menor o igual que 321 .
B) No posee ninguna raíz en [0, 2].C) Ninguna de las anteriores respuestas.
7.- La función f(x) = sen x 2
xsen+
:
A) Tiene un máximo relativo en 2
x π= y es creciente en el intervalo
ππ ,
2 .
B) Tiene un mínimo relativo en 2
- x π= y es creciente en el intervalo
π
2, 0 .
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2/3
C) Ninguna de las anteriores respuestas.
8.- Sea λ∈ℜ La función f : ℜ → ℜ definida por f(x) =
=λ
≠+
0 x si
0 x si e 1
e
x1
x1
A) La función f es continua en x = 0 si λ = 1.B) La función f no es continua en x = 0, cualquiera que sea el número real λ.C) Ninguna de las anteriores respuestas.
9.- El valor de la integral ∫4
1dx
x Ln x es:
A) 2 – Ln 4.B) –4 + 4Ln4.C) Ninguna de las anteriores respuestas.
10.- Sea F : [0, 4] → ℜℜ Una función continua tal que f(0) = -1, f(1) = -2, f(2) = 0, f(3) =
1 y f(4) = 3. Al calcular I = ∫4
1dx f(x) x por la fórmula del trapecio se obtiene:
A) I = 14.B) I = 7C) Ninguna de las anteriores respuestas.
NOTA: Ln a denota el logaritmo neperiano de a.
Los exámenes Tipo B y C solo tienen las preguntas y las respuestas cambiadas de ordenpero los ejercicios son los mismos.
Soluciones:
EXAMEN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10TIPO A C A A B A A B B B C
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3/3
COMENTARIO A LAS SOLUCIONES DEL EXAMEN TIPO A
1.- Aplicando la Regla de la cadena, (f ο h)´(1) = f ´(h(1)).h ´(1) = -1, luego la soluciónes C
[ ] [ ][ ]22
2
1 (g(x))
´(x) 2g(x)g1 g(x) - 1 (g(x))´(x) g ´(x)h +
++= sustituyendo h `(1) = 1, h(1) = 0 y f
´(0) = -1
2.- F ´(x) = 2x(1 + x6)1/2 , ( ) ( )′′ = + + +−
F x x x x x( )/ /
2 1 212
1 66 1 2 6 1 2 5 . ′′ = >F ( ) ,0 2 0
luego es un mínimo.
3.- Como ∞=++
∞→
3 n2 5 lím
3
n
n, la serie es divergente (el límite se calcula fácilmente
cambiando n por x y aplicando tres veces la Regla de L´Hopital.
4.- Aplicando el criterio de la Raíz, queda ( ) 0 1- 1 1 - n lím n
n ==
∞→ , luego es convergente.
5.- Interpolando queda P2(x) = x25 -
2 x -
2
, y entonces P 2́(x) = - x - 25
6.- Como f(0) = -1 < 0 y f(2) = 19 > 0 , por lo menos tiene una raíz; además f ´(x) = 4x3
+ 2 tiene signo positivo en (0,2), por tanto, la raíz es única. Aplicando el Teorema 12
– 1.3 (pág. 291) sale fácilmente la acotación 321 .
7.- f ´(x) = ( )2sen x 2 xcos2
+ , que es creciente en 0
2,π
, pues el coseno es positivo en el
cuarto cuadrante, y tiene un mínimo relativo en x = 2π− .
8.- Como los límites laterales no coinciden (0 por la izquierda y 1 por la derecha) lafunción no puede ser continua en x=0. La respuesta es B.
9.- [ ] 4 - 44Ln x4 - x Lnx2 x x Ln 4
1
4
1==∫ . La integral se hace fácilmente por partes.
10.- Al aplicar el método de los trapecios queda: 1.f(1) = -2 ; 2.f(2) = 0 ; 3.f(3) = 3 y
4.f(4) = 12 Luego 8 3 0 2
12 2-1. dx x.f(x)4
1=
+++=∫ . Entonces, la solución es la
C.
Examen 2 (Febrero 2000)
1. El valordex � 0lim cos
�2x � � cos
�6x �
x2 es:
20.16.Ningunadelasanterioresrespuestas.
2. La serie� � �n � !
n!�n � 1� ! , donde
�esunnúmeronatural:
Convergesi� �
2.No convergesi
� �1.
Ningunadelasanterioresrespuestas.
3. Si f esunafuncióncontinuatal quef�0� �
6, f�1� � � 1, f
�2� � � e � 1
2, f
�3� �
3e � 2 y
f�4� � � e � 3, el valordela integral
0
4f
�x � exdx, calculadomediantela fórmuladeSimpson,
vale:2 � 2e.2 � 4e.Ningunadelasanterioresrespuestas.
4. La serie� 24n � 3�4n � 3� ! es:
Divergente.Convergente.Ningunadelasanterioresrespuestas.
5. El valordela integral 1
e dxx
�1 � Lnx � es:
2Ln2.Ln2.Ningunadelasanterioresrespuestas.
6. La funciónF�x � �
0
x2
1 � t3 dt paratodox R,
tieneenx�
0:Un máximorelativo.Un puntodeinflexión.Ningunadelasanterioresrespuestas.
7. Consideremoslasfuncionesf�x � �
x2 y g�x � � � 4 si x � 0
|x � 4| si x � 0.
La funcióncompuestag f escontinuaenx�
0.La funcióncompuestaf g escontinuaenx
�0.
Ningunadelasanterioresrespuestas.
8. Seanf,g : � 1,2 � � R dosfuncionesdefinidaspor f � x � � x2 � 1 y g � x � � senx, conx � � 1,2 � .Lasgráficasdelasfuncionesf y g secortanendospuntos.
Lasgráficasdelasfuncionesf y g tienenunúnicopuntodecorteenel intervalo 32
,2 .
Ningunadelasanterioresrespuestas.
9. Seaf : � 1, � � � � R la funcióndefinidapor f � x � � Ln cos � arctg 1x2 � 1
� . Entonces:
f � � x � � xx2 � 1
paratodox � 1.
f � � x � � 1x � x2 � 1� paratodox � 1.
Ningunadelasanterioresrespuestas.
10. La funciónf � x � � 3 x2 � x � 1� es:
Decrecienteen � 23
,0 y crecienteen � 0, � � � .Derivableenx � 0.Ningunadelasanterioresrespuestas.
Corregir Examen 2
Examen 3 (septiembre 2000)
Nota: sen�4
� cos�4
� 12
, f�y F
�denotanlasderivadasdef y F respectivamente.
1. Seanf :�0, � � � � R y F :
�0, � � � � R lasfuncionesdefinidasparacadax � 0 por
f x � � 1 1 � x2 � 2 y F x � � 0
x8
f t � dt respectivamente. El valordela derivadadela funciónF
enx � 1 es:3.2.Ningunadelasanterioresrespuestas.
2. Seaf : R � R unafunciónderivableenR tal quef 12
� � 1 y f� 1
2� � 1. Si F : R � R esla
funcióndefinidaporF x � � e f � sen2 x � paratodox R, entonces:F
� �4
� � 2e.
F� �
4� � e.
Ningunadelasanterioresrespuestas.
3. La serie� � 1� n n1 � n
es:
Condicionalmenteconvergente.Absolutamenteconvergente.Ningunadelasanterioresrespuestas.
4. El valormediodela funcióncos5x en 0,�2
es:
1516� .
815
.
Ningunadelasanterioresrespuestas.
5. El valordex � � �lim 3x
1 � x� 2x
1 � xes:
5.1.Ningunadelasanterioresrespuestas.
6. La funciónf x � � x1 � x2 :
Tieneunmínimorelativoenx � 1 y unmáximorelativoenx � � 1.Escóncavaenel intervalo 0, 3 y crecienteenel intervalo � 1,1 � .Ningunadelasanterioresrespuestas.
7. Sea� � R. La funcióndefinidapor f � x � � x2 � x3 � � x si x � 1
� x2 � � x3 si x � 1.
EscontinuaenR, paratodo � � 0.EscontinuaenR, sólosi � � � 2.Ningunadelasanterioresrespuestas.
8. El polinomiointerpoladordegrado2 dela funciónf � x � � senx relativoa losnodosx0 � � � ,x1 � 0 y x2 � � :
Esidenticamentenulo.Tieneunaraizenel intervelo � 0,2� � .Ningunadelasanterioresrespuestas.
9. La serie� � � 1� n n!� 5 � 1� � 5 � 2� ... � 5 � n � es:
Absolutamenteconvergente.Condicionalmenteconvergente.Ningunadelasanterioresrespuestas.
10. Si f esunafunciónderivabletal quef � 0� � 1, f � 2� � � 1 y f � 4� � 0, entoncesel valoraproximadodela derivadadela funciónf enel puntox � 1, obtenidoapartir dela derivadaenx � 1 delpolinomiointerpoladordesegundogradodela funciónf relativoa losnodosx0 � 0, x1 � 2, x2 � 4, es:� 1.
1.Ningunadelasanterioresrespuestas.
Corregir Examen 3
Examen 4 (septiembre 2000)
Nota: lna esel logaritmoneperianodea.
1. La funciónf�x � � sen2 x si x � 0
x ln�1 � x � si x � 0
:
Tieneunmínimorelativoenx � 0.Tieneunmáximorelativoenx � 0.Ningunadelasanterioresrespuestas.
2. Si f�x � � ln
�1 � x2 � paratodox � R, el polinomiodeTaylordegradomenoro igualquetres
dela funciónf enel puntox � 0 es:x2.
x2 � 16
x3.
Ningunadelasanterioresrespuestas.
3. La serie� � �1� n 1 1
2n�
1es:
Absolutamenteconvergente.Condicionalmenteconvergente.Ningunadelasanterioresrespuestas.
4. Si P4 esel polinomiointerpoladordegrado4 dela funciónf�x � � senx � cosx, relativoa5
nodosdistintosx0, x1, x2, x3, x4 � � �,
� �, entonces:
|P4�0� �
1| � 815
� 5.
P4� � �
2� � � 5.
Ningunadelasanterioresrespuestas.
5. La derivadadela funciónF�x � �
x2
xxcostdt enel puntox � �
es:�1
� �.
1 � �.
Ningunadelasanterioresrespuestas.
6. El valordex � �lim x2 �
x�
2x2 � 1 es:
1.� .Ningunadelasanterioresrespuestas.
7. La ecuaciónx�
senx�
5 � 0:Tieneal menosunasoluciónen
� � � ,0�.
No tienesoluciónen 0, � � � .Ningunadelasanterioresrespuestas.
8. El valordela integral �0� � 3x2 � 4� cosxdx es:� 6� .
4� .Ningunadelasanterioresrespuestas.
9. La serie� 1 � rsen2 nn2 � 2
, donder esunnúmeroreal, verifica:
Convergesólocuando0 � r � 1.No convergenteparar � 1.Ningunadelasanterioresrespuestas.
10. Si f esunafuncióncontinuatal quef � 0� � � 1, f � �4
� � 1, f � �2
� � 1, f � 3�4
� � � 1, f � � � � � 1,
f � 5�4
� � 1 y f � 3�2
� � � 1, el valorde �0
3�2
f � x � sen2 xdx, calculadomediantela fórmuladel
trapeciovale:�16
.�4
.
Ningunadelasanterioresrespuestas.
Corregir Examen 4
Febrero 2001Nota: Lna denotael logaritmoneperianodea.
1. Dadala funciónf : R � R definidapor f�x � �
� 3senx si x � � �2
asenx � b si � �2 � x � �
2cosx si x �
2
con
a,b R.
A) f escontinuaentodoR, si a � � 32
y b � 32
. [correcta]
B) f escontinuaentodoR, si a � 32
y b � � 32
.
C) Ningunadelasanterioresrespuestas.
2. El polinomiodeTaylordegradomenoro igualque2 dela función f�x � � Lnx
x2 enel punto
x � 1 es:
A) P2�x � � �
x � 1� � 32
�x � 1� 2.
B) P2�x � � �
x � 1� � 52
�x � 1� 2.
C) Ningunadelasanterioresrespuestas. [correcta]
3. Seaf�x � � 1 � x2 paratodox � � 1,1� . La ecuacióndela tangentea la gráficadela
funciónf enel punto� 1
2, 1
2� es:
A) y � � x � 2 . [correcta]
B) y � x � 2 .C) Ningunadelasanterioresrespuestas.
4. El valordela integral �1
e2dx
x�2 � 3Lnx � es:
A) 23
Ln2. [correcta]
B) 13
Ln8.
C) Ningunadelasanterioresrespuestas.
5. La derivadadela funciónF�x � � �
x2
x1 � t2 dt enel puntox � � 2 es:
A) 5 � 4 17 .B) � 2 5 � 4 17 .
C) Ningunadelasanterioresrespuestas. [correcta]
6. La serie� 1 � cos2nn es:
A) Esconvergentesi 0 � � � 1.B) Esdivergentesi 1 � � .
C) Ningunadelasanterioresrespuestas. [correcta]
7. La serie� � � 1� n
n � 3es:
A) Condicionalmenteconvergente. [correcta]
B) Absolutamenteconvergente.C) Ningunadelasanterioresrespuestas.
8. La ecuaciónx4 � 2x � 5 � 0:A) Poseeunaúnicaraízenel intervalo � 0,2 � y notieneningunaraízenel intervalo� 0,1 � . [correcta]
B) Tieneal menosdosraicesenel intervalo � 0,2 � .C) Ningunadelasanterioresrespuestas.
9. Si f : � 0, � � � R esunafuncióncontinuatal quef � 0� � 1, f � �4 � � � 1 , f � �2 � � � 1,
f � 3�4 � � � 1 y f � � � � 1, el valordeI � �0
� f � x � cosxdx, calculadomediantelasfórmulasde
Simpson, es:
A) I � 0. [correcta]
B) I � �12
.
C) Ningunadelasanterioresrespuestas.
10. Seaf : � � 2,1 � � R unafuncióncontinuaen � � 2,1 � tal quef � � 2� � 0, f � � 1� � 1 , f � 0� � 1 yf � 1� � 1, y seaP3 � x � el polinomiointerpoladordetercergradodela funciónf relativoa losnodosx0 � � 2, x1 � � 1, x2 � 0 y x3 � 1. Entonces
A) P3 � � 32
� � 1116
. [correcta]
B) P3 � � 32
� � 716
.
C) Ningunadelasanterioresrespuestas.
Febrero 2001Nota: lna esel logaritmoneperianodea.
1. El valordex � � �lim x2 � x � 2x2 � 1 es:
A) 1.B) � .
C) Ningunadelasanterioresrespuestas. [correcta]
2. La ecuaciónx � senx � 5 � 0:A) Tieneal menosunasoluciónen
� � � ,0 � .B) No tienesoluciónen 0, � � .C) Ningunadelasanterioresrespuestas. [correcta]
3. La funciónf�x � sen2 x si x � 0
x ln�1 � x si x � 0
:
A) Tieneunmínimorelativoenx � 0. [correcta]
B) Tieneunmáximorelativoenx � 0.C) Ningunadelasanterioresrespuestas.
4. La derivadadela funciónF�x �
x2
xxcostdt enel puntox � � es:
A) � 1 � � . [correcta]
B) 1 � � .C) Ningunadelasanterioresrespuestas.
5. El valordela integral 0�
�3x2 � 4 cosxdx es:
A) � 6� . [correcta]
B) 4� .C) Ningunadelasanterioresrespuestas.
6. Si f�x � ln
�1 � x2 paratodox � R, el polinomiodeTaylordegradomenoro igualquetres
dela funciónf enel puntox � 0 es:
A) x2. [correcta]
B) x2 � 16
x3.
C) Ningunadelasanterioresrespuestas.
7. La serie� 1 � rsen2 nn2 � 2
, donder esunnúmeroreal, verifica:
A) Convergesólocuando0 � r � 1.B) No convergenteparar � 1.
C) Ningunadelasanterioresrespuestas. [correcta]
8. La serie� � � 1� n � 1 12n � 1
es:
A) Condicionalmenteconvergente. [correcta]
B) Absolutamenteconvergente.C) Ningunadelasanterioresrespuestas.
9. Si P4 esel polinomiointerpoladordegrado4 dela funciónf � x � � senx � cosx, relativoa5nodosdistintosx0, x1, x2, x3, x4 � � � � , � � , entonces:
A) |P4 � 0� � 1| � 815
� 5. [correcta]
B) P4 � � �2
� � � 5.
C) Ningunadelasanterioresrespuestas.
10. Si f esunafuncióncontinuatal quef � 0� � � 1, f � �4
� � 1, f � �2
� � 1, f � 3�4
� � � 1, f � � � � � 1,
f � 5�4
� � 1 y f � 3�2
� � � 1, el valorde �0
3 2
f � x � sen2 xdx, calculadomediantela fórmuladel
trapeciovale:
A) �4
. [correcta]
B) �16
.
C) Ningunadelasanterioresrespuestas.
Febrero 2001Nota: sen
�4
� cos�4
� 12
, f�y F
�denotanlasderivadasdef y F respectivamente.
1. El valordex � � �lim 3x
1 � x� 2x
1 � xes:
A) 1. [correcta]
B) 5.C) Ningunadelasanterioresrespuestas.
2. Sea�
R. La funcióndefinidapor f x � � x2 � x3 � �x si x � 1�
x2 � �x3 si x 1
.
A) EscontinuaenR, sólosi� � � 2. [correcta]
B) EscontinuaenR, paratodo� 0.
C) Ningunadelasanterioresrespuestas.
3. La funciónf x � � x1 � x2 :
A) Escóncavaenel intervalo 0, 3 y crecienteenel intervalo � 1,1 � . [correcta]
B) Tieneunmínimorelativoenx � 1 y unmáximorelativoenx � � 1.C) Ningunadelasanterioresrespuestas.
4. Seanf : � 0, � � � � R y F : � 0, � � � � R lasfuncionesdefinidasparacadax � 0 por
f x � � 1 1 � x2 � 2 y F x � � �0
x8
f t � dt respectivamente. El valordela derivadadela funciónF
enx � 1 es:
A) 2. [correcta]
B) 3.C) Ningunadelasanterioresrespuestas.
5. El valormediodela funcióncos5x en 0,�2
es:
A) 815
.
B) 1516� .
C) Ningunadelasanterioresrespuestas. [correcta]
6. Seaf : R � R unafunciónderivableenR tal quef 12
� � 1 y f� 1
2� � 1. Si F : R � R esla
funcióndefinidaporF x � � e f � sen2 x � paratodox
R, entonces:
A) F� �
4� � e. [correcta]
B) F� �
4� � 2e.
C) Ningunadelasanterioresrespuestas.
7. La serie� � � 1� n n1 � n
es:
A) Condicionalmenteconvergente. [correcta]
B) Absolutamenteconvergente.C) Ningunadelasanterioresrespuestas.
8. La serie� � � 1� n n!� 5 � 1� � 5 � 2� ... � 5 � n � es:
A) Absolutamenteconvergente. [correcta]
B) Condicionalmenteconvergente.C) Ningunadelasanterioresrespuestas.
9. El polinomiointerpoladordegrado2 dela funciónf � x � � senx relativoa losnodosx0 � � � ,x1 � 0 y x2 � � :
A) Esidenticamentenulo. [correcta]
B) Tieneunaraizenel intervelo � 0,2� � .C) Ningunadelasanterioresrespuestas.
10. Si f esunafunciónderivabletal quef � 0� � 1, f � 2� � � 1 y f � 4� � 0, entoncesel valoraproximadodela derivadadela funciónf enel puntox � 1, obtenidoapartir dela derivadaenx � 1 delpolinomiointerpoladordesegundogradodela funciónf relativoa losnodosx0 � 0, x1 � 2, x2 � 4, es:
A) � 1. [correcta]
B) 1.C) Ningunadelasanterioresrespuestas.
Febrero 2001Nota: Lna denotael logaritmoneperianodea.
1. Sea� �
R. La funciónf : R � R definidapor f � x � � e1x
1 � e1x
si x � 0�si x � 0
.
A) La funciónf noescontinuaenx � 0, cualquieraqueseael númeroreal�. [correcta]
B) La funciónf escontinuaenx � 0 si� � 1.
C) Ningunadelasanterioresrespuestas.
2. Seanf y g funcionesderivablesenR y h : R � R la funcióndefinidapor
h � x � � g � x � � 1� g � x � � 2 � 1paratodox
�R. Si g � 1� � � 1, f � 0� � � 1 y g � 1� � 2, entoncesla
derivadadela funcióncompuestaf h enel puntox � 1 es:A) � f h � � 1� � 1.B) � f h � � 1� � � 2.
C) Ningunadelasanterioresrespuestas. [correcta]
3. La funciónf � x � � senx2 � senx
:
A) Tieneunmínimorelativoenx � � �2
y escrecienteenel intervalo 0, �2
. [correcta]
B) Tieneunmáximorelativoenx � �2
y escrecienteenel intervalo �2
, � .
C) Ningunadelasanterioresrespuestas.
4. El valordela integral �1
4 Lnxx
dx es:
A) � 4 � 4Ln4. [correcta]
B) 2 � Ln4.C) Ningunadelasanterioresrespuestas.
5. Enx � 0 la funciónF � x � � �0
x2 � 1 � t3 � 12 dt tiene:
A) Un mínimorelativo. [correcta]
B) Un máximorelativo.C) Ningunadelasanterioresrespuestas.
6. La serie 5n � 2n3 � 3
es:
A) Divergente. [correcta]
B) Convergente.C) Ningunadelasanterioresrespuestas.
7. La serie � n n � 1� n es:
A) Convergente. [correcta]
B) Divergente.C) Ningunadelasanterioresrespuestas.
8. La ecuaciónx4 � 2x � 1 � 0:
A) Poseeunaúnicaraízen � 0,2 � y si setomax � 12
comovaloraproximadodedicharaíz,
el errorcometidoesmenoro igualque 132
. [correcta]
B) No poseeningunaraízen � 0,2 � .C) Ningunadelasanterioresrespuestas.
9. Seaf : � 0,4 � � R unafuncióncontinuatal quef � 0� � � 1, f � 1� � � 2 , f � 2� � 0, f � 3� � 1 y
f � 4� � 3. Al calcularI � �1
4x f � x � dx por la fórmuladel trapecioseobtiene:
A) I � 7.B) I � 14.
C) Ningunadelasanterioresrespuestas. [correcta]
10. SeaP2 � x � el polinomiodesegundogradocuyagráficapasapor lospuntos� � 2,3� , � 0,0� y� 1, � 3� .A) La derivadadeP2 � x � esP2� � x � � � x � 5
2. [correcta]
B) P2 � � 1� � � 2.C) Ningunadelasanterioresrespuestas.
Septiembre 2001Nota: Lna denotael logaritmoneperianodea; � � 3,1416; e � 2,71; sen
�3
� 32
;
cos�3
� 12
;
1. Sea f�x � � x � Lnx si x � 1
x2 si x � 1.
A) Existec � �1,e2 � tal quef
�c � � �
2. [correcta]
B) f noescontinuaentodoR.C) Ningunadelasanterioresrespuestas.
2. El valordex 0lim tgnx n tgx
nsenx sennx es:
A) 2. [correcta]
B) 2.C) Ningunadelasanterioresrespuestas.
3. Seaf : R � R unafunciónconderivadaterceraenx � 0, cuyopolinomiodeTaylordegradomenoro igualque2 enx � 0 esP2
�x � � 1 � x � 3x2. El polinomiodeTaylordegradomenor
o igualque2 dela funcióng�x � � sen
�f
�x � 1� enx � 0 es:
A) x � 6x2.B) x 3x2.
C) Ningunadelasanterioresrespuestas. [correcta]
4. El valorde �0 2 ex cos2x dx, es:
A) 15
�e 2 � 1� . [correcta]
B) 15
�e 2 1� .
C) Ningunadelasanterioresrespuestas.
5. La derivadadeF�x � � � �
x2
x2
x2 sent2dt es:
A) F � �x � � 4x3 senx4 � 2 � �
x2
x2
xsent2dt. [correcta]
B) F � �x � � 4x3 senx4.
C) Ningunadelasanterioresrespuestas.
6. La serie� �n! � 24n�2n � ! es:
A) Divergente. [correcta]
B) Convergente.C) Ningunadelasanterioresrespuestas.
7. La serie� cosn �n � 1
es:
A) Condicionalmenteconvergente. [correcta]
B) Absolutamenteconvergente.C) Ningunadelasanterioresrespuestas.
8. La ecuaciónx � senx � �2
:
A) Poseeunaúnicaraízen � � , �2
. [correcta]
B) Tieneunaraízen � � � ,0 � .C) Ningunadelasanterioresrespuestas.
9. Al calcularI � �0
4�3 sen2xcos2x dx, apartir delosnodosx0 � 0, x1 � �
3, x2 � 2�
3, x3 � � y
x4 � 4�3
, empleandolasfórmulasdeSimpson, seobtiene:
A) I � 7�48
. [correcta]
B) I � 716
.
C) Ningunadelasanterioresrespuestas.
10. Seanf � x � � 2cosx paratodox � �2
, � y P3 � x � el polinomiointerpoladordetercergrado
dela función f correspondienteacuatronodosdistintos �2
� x0 � x1 � x2 � x3 � � .
A) |P3 � x � � 2cosx| � 2 � 3 � 4
4!paratodox � �
2, � . [correcta]
B) P3 � x0 � � 0 y P3 � x3 � � 2.C) Ningunadelasanterioresrespuestas.
Septiembre 2001NOTA: Lna denotael logaritmoneperianodea; e � 2,71.
1. El valordex � � �lim
�x2 � x3 � Ln 1 � 1
x3 es:
A) � 1.B) 0.
C) Ningunadelasanterioresrespuestas. [correcta]
2. Seaf�x � � Lnx
x , parax 0. El polinomiodeTaylordegradomenoro igualque2 def enelpunto1 es:
A) P2�x � � �
x � 1� � 32
�x � 1� 2. [correcta]
B) P2�x � � �
x � 1� � 32
�x � 1� 2.
C) Ningunadelasanterioresrespuestas.
3. La funciónf : R R definidapor f�x � � � 2x � 1 si x � � 1
x2 si � 1 � x � 0
cosx si x 0
A) Esderivableenx � � 1 y f � � � 1� � � 2. [correcta]
B) Esderivableenx � 0 y f � �0� � 1.
C) Ningunadelasanterioresrespuestas.
4. Seanf : � � 1,5 � R unafunciónintegrableen � � 1,5 � , e I � � �1
5f
�x � dx.
A) Si f�x � 2 paratodox � � � 1,5 � , entoncesI 7. [correcta]
B) Si f�x � � x paratodox � � � 1,5 � , entoncesI � 10.
C) Ningunadelasanterioresrespuestas.
5. SeaF�x � � � �x cost
t dt paratodox � � � ,2� � .A) F escrecienteen � , 3�
2.
B) F tieneunmáximorelativoenx � 3�2
.
C) Ningunadelasanterioresrespuestas. [correcta]
6. La serie� rn nn2 � 2
A) Convergeparar � 1. [correcta]
B) Convergeparar � 32
.
C) Ningunadelasanterioresrespuestas.
7. De la seriedenúmerosreales� xn seconocequela sucesióndesussumasparciales�Xn
�
vienedadaporXn � 3n � 2n � 4
paracadan � N.
A) La serie� xn esconvergentey susumaes3. [correcta]
B) x1 � 3.C) Ningunadelasanterioresrespuestas.
8. Seaf : � 0,1� � R definidapor f � x � � x5 � 5x � r.A) La ecuaciónf � x � � 0, notienedosraícesenel intervalo � 0,1� paratodo
r � R. [correcta]
B) f escrecienteen � 0,1� paraalgúnr � R.C) Ningunadelasanterioresrespuestas.
9. Si P2 � x � esel polinomiodegrado2 cuyagráficapasapor lospuntos� � 2,0� , � 0,0� , � 1, � 1� , el
valordeI � � 1
1P2 � x � dx es:
A) I � � 29
. [correcta]
B) I � � 23
.
C) Ningunadelasanterioresrespuestas.
10. Seanf � x � � senx � cosx paratodox � ! 0, " # y P2 � x � el polinomiointerpoladordesegundogradodef correspondientea tresnodosdistintos0 � x0 $ x1 $ x2 � " , entonces:
A) P2 � "7
� � sen "7
� cos "7 % 1
3" 3. [correcta]
B) Si losnodosx0 � 0, x1, x2 � " sonequidistantesentoncesP2 � x1 � � � 1.C) Ningunadelasanterioresrespuestas.
Septiembre 2001Nota: Lna denotael logaritmoneperianodea.
1. Dadala funciónf : R � R definidapor f�x � �
� 3senx si x � � �2
asenx � b si � �2 � x � �
2cosx si x �
2
con
a,b R.
A) f escontinuaentodoR, si a � � 32
y b � 32
. [correcta]
B) f escontinuaentodoR, si a � 32
y b � � 32
.
C) Ningunadelasanterioresrespuestas.
2. El polinomiodeTaylordegradomenoro igualque2 dela función f�x � � Lnx
x2 enel punto
x � 1 es:
A) P2�x � � �
x � 1� � 32
�x � 1� 2.
B) P2�x � � �
x � 1� � 52
�x � 1� 2.
C) Ningunadelasanterioresrespuestas. [correcta]
3. Seaf�x � � 1 � x2 paratodox � � 1,1� . La ecuacióndela tangentea la gráficadela
funciónf enel punto� 1
2, 1
2� es:
A) y � � x � 2 . [correcta]
B) y � x � 2 .C) Ningunadelasanterioresrespuestas.
4. El valordela integral �1
e2dx
x�2 � 3Lnx � es:
A) 23
Ln2. [correcta]
B) 13
Ln8.
C) Ningunadelasanterioresrespuestas.
5. La derivadadela funciónF�x � � �
x2
x1 � t2 dt
enel puntox � � 2 es:A) 5 � 4 17 .B) � 2 5 � 4 17 .
C) Ningunadelasanterioresrespuestas. [correcta]
6. La serie� 1 � cos2nn es:
A) Esconvergentesi 0 � � � 1.B) Esdivergentesi 1 � � .
C) Ningunadelasanterioresrespuestas. [correcta]
7. La serie� � � 1� n
n � 3es:
A) Condicionalmenteconvergente. [correcta]
B) Absolutamenteconvergente.C) Ningunadelasanterioresrespuestas.
8. La ecuaciónx4 � 2x � 5 � 0:A) Poseeunaúnicaraízenel intervalo � 0,2 � y notieneningunaraízenel intervalo� 0,1 � . [correcta]
B) Tieneal menosdosraicesenel intervalo � 0,2 � .C) Ningunadelasanterioresrespuestas.
9. Si f : � 0, � � � R esunafuncióncontinuatal quef � 0� � 1, f � �4 � � � 1 , f � �2 � � � 1,
f � 3�4 � � � 1 y f � � � � 1, el valordeI � �0
� f � x � cosxdx, calculadomediantelasfórmulasde
Simpson, es:
A) I � 0. [correcta]
B) I � �12
.
C) Ningunadelasanterioresrespuestas.
10. Seaf : � � 2,1 � � R unafuncióncontinuaen � � 2,1 � tal quef � � 2� � 0, f � � 1� � 1 , f � 0� � 1 yf � 1� � 1, y seaP3 � x � el polinomiointerpoladordetercergradodela funciónf relativoa losnodosx0 � � 2, x1 � � 1, x2 � 0 y x3 � 1. Entonces
A) P3 � � 32
� � 1116
. [correcta]
B) P3 � � 32
� � 716
.
C) Ningunadelasanterioresrespuestas.
Septiembre 2001Nota: Lna denotael logaritmoneperianodea;e � 2,71.
1. El valordex � 0lim
�1 � cosx � senx
x3 es:
A) � 12
.
B) 56
.
C) Ningunadelasanterioresrespuestas. [correcta]
2. La ecuación3 � x � x:
A) Tieneunaúnicasoluciónrealenel intervalo� � 2,2� . [correcta]
B) Tieneunasoluciónrealenel intervalo� � 1
2, 1
2� .
C) Ningunadelasanterioresrespuestas.
3. Seaf : � �2
, �2 � R la funcióndefinidapor f
�x � � x3 x tgx paratodox � �
2, �
2.
A) La funcióninversaf � 1 esderivableenel punto0 � f�0� y
�f � 1 � � �
0� � 12
. [correcta]
B) La funcióninversaf � 1 esestrictamentedecrecienteenel intervalof�I � , siendo
I � � �2
, �2
.
C) Ningunadelasanterioresrespuestas.
4. El valordela integral �4
5 dxx2 � 4x 3
es:
A) Ln 32
. [correcta]
B) Ln 16
.
C) Ningunadelasanterioresrespuestas.
5. La funciónF�x � � � � x
xxcostdt tieneenx � 0:
A) Un puntodeinflexión.B) Un máximorelativo.
C) Ningunadelasanterioresrespuestas. [correcta]
6. La serie r 1n
n, conr � 0,
A) Convergesi r � 1.B) Divergesi r � 1.
C) Ningunadelasanterioresrespuestas. [correcta]
7. Sea xn unaseriedenúmerosreales. Si la serie xn esconvergente, entoncesla serie xn
n 2:
A) Esconvergente. [correcta]
B) Esdivergente.C) Ningunadelasanterioresrespuestas.
8. La ecuaciónx � cosx � � :
A) Poseeunaúnicaraízen � �2
, � . [correcta]
B) Tieneunaraízen � �2
, �2
.
C) Ningunadelasanterioresrespuestas.
9. Seaf : � � 2,3 � � R unafuncióncontinuatal quef � � 1� � � 1, f � 0� � 1 y f � 2� � 0. Si P2 � x � esel polinomiointerpoladordegrado2 dela funciónf relativoa losnodosx0 � � 1, x1 � 0 y
x2 � 2, el valordeI � � �1
1P2 � x � dx es:
A) 139
. [correcta]
B) 76
.
C) Ningunadelasanterioresrespuestas.
10. SeaP100 � x � el polinomiodeTaylordegradomenoro igualque100 dela funcióne2x enelpuntox � 0.
A) El coeficientedex100 enP100 � x � es 2100� 100� ! . [correcta]
B) El coeficientedex100 enP100 � x � es 1� 100� ! .
C) Ningunadelasanterioresrespuestas.
U.N.E.D ANÁLISIS MATEMÁTICO CENTRO ASOCIADO DE BURGOS Escuela Técnica de INFORMÁTICA
1 FEBRERO 2001-02
ANÁLISIS MATEMÁTICO SOLUCIONES FEBRERO 2001-02
1.- El valor de ������
−−→ xx
xx ln
1
1lim
1 es:
A) 2 B) 1 C) Ninguna de las anteriores La respuesta es C.
=−+
=����
=−
+−=∞−∞=����
−− →→→
x
xx
x
xx
xxx
xx
xxHôpitalRxx 1
ln
lnlim
0
0
ln)1(
1lnlim)(
ln
1
1lim
1..11
2
1
11ln
1lnlim
0
0
1ln
lnlim
1..1=
+++=
� ����=
−+=
→→ x
x
xxx
xxxHRx
2.- El número de raíces de la ecuación 09165 =+− xx es: A) 5 B) 1 C) Ninguna de las anteriores
La respuesta es C. La función 916)( 5 +−= xxxf es continua en todo ℜ .
5
160165)´( 44 =⇔=−= xxxf
5
42 ±=⇔ x Las únicas soluciones reales de
0165 4 =−x son 4 5
2±=x . Como la derivada de la función f se anula en dos puntos, la
función f a lo sumo se anulará en tres puntos (Consecuencia del Teorema de Rolle (T.5-3.1 pág. 96)) Por otra parte : 0)3( <−f ; ;0)0( >f 0)1( <f ; 0)2( >f . Teniendo en cuenta el Teorema de Bolzano (T. 4-2.6 pág. 76) la función tiene al menos un cero en cada uno de los siguientes intervalos: [-3,0], [0,1] y [1,2] con lo que queda demostrado que la ecuación tiene exactamente tres raíces reales.
3.- La ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función ������+
=x
senxarctgxf
cos1)( en
el punto 0=x es:
A) xy2
1= B) xy = C) Ninguna de las anteriores
La respuesta es A. La ecuación de la recta tangente será )0)(0´()0( −=− xffy . En este caso 0)0( =f y
...)cos1(
)cos1(cos
cos11
1
cos1
cos11
1)´(
2
2
2
/
2=
+++⋅������
++
=������
+⋅������
++
=x
xsenxx
x
senxx
senx
x
senxxf
Sustituyendo queda 2
1)0´( =f por tanto la recta pedida es
2
xy =
4.- El valor de la integral � −1
0
2 )1( dxex x es:
A) –1 B) e C) Ninguna de las anteriores
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2 FEBRERO 2001-02
La respuesta es A.
( ] ( ] =+−=−−=− ���==
==
===−=
1
0
1
0
22partespor Integrando
1
0
1
02
21partespor Integrando
1
0
2 2212)1()1(2
dxexedxxeexdxex xx
evdxedv
dxduxu
xx
evdxedv
xdxduxu
x
xxxx
( ] 12221221 10 −=−+−=+−= eeee x
5.- La serie �������
+
n
n
nn
5
3
134
es:
A)Divergente B) Convergente C) Ninguna de las anteriores La respuesta es B.
Es una serie de términos positivos de término general n
n
n
nn
x5
3
134 ���
+= . Aplicando el
Criterio de la Raíz queda:
15
3
53
13
lim5
3
13
limlim
44
<=
������+
=
������+
=∞→∞→∞→
nn
nn
x
n
n
n
n
n
n
nn
n por tanto convergente.
Nota: Aplicando el Criterio de Cauchy para el cálculo de límites queda:
11
limlim =+=∞→∞→ n
nn
n
n
n
6.- Si 012
2 axaxa ++ es el polinomio de grado 2 cuya gráfica pasa por los puntos (-2,6), (0,2), (1,-3) entonces:
A) 41 =a B) 12 −=a C) Ninguna de las anteriores
La respuesta es B. 01
22)( axaxaxP ++= cumple 6)2( =−P ; 2)0( =P ; 3)1( −=P
Se puede obtener resolviendo el sistema ������++=−
=+−=
012
0
012
3
2
246
aaa
a
aaa
1;4;2 210 −=−== aaa
(También se puede obtener por otros métodos: Lagrange, diferencias divididas)
7.- El polinomio de Taylor de orden 3 de la función �=x
dtsentxf0
2)( en 0=x es:
A) xx +32 B) 3
3
1x C) Ninguna de las anteriores
La respuesta es B.
El polinomio de Taylor pedido es 323 !3
)0´´´(
!2
)0´´()0´()0()( x
fx
fxffxP +++=
�=x
dtsentxf0
2)( 0)0( =f
teniendo en cuenta el Primer Teorema Fundamental del Cálculo (T.8-1.3 pag. 168): 2)´( senxxf = 0)0´( =f
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3 FEBRERO 2001-02
2cos2)´´( xxxf = 0)0´´( =f
222 4cos2)´´´( senxxxxf −= 2)0´´´( =f
33 !3
2)( xxP =
3)(
3
3
xxP =
8.- Para qué valores de a y b la función ���� �
≥+<<
−≤−−=
0si
0x1-si
1si2
)( 2
xbxsenx
x
xax
xf es derivable
en todo ℜ : A) 1=a y 0=b B) 1=a y 1−=b C) Ninguna de las anteriores
La respuesta es B. Si 1−≠x y 0≠x es inmediato que la función es continua y derivable. En 1−=x : Para que f sea derivable, en primer lugar tiene que ser continua, por tanto
1)(lim)(lim2)1(11
===−=−+− −→−→
xfxfafxx
por tanto .1=a
En este caso ya queda también derivable en 1−=x pues 2)1´()1´( −=−=− −+ ff En 0=x : f es continua en 0=x para cualquier valor de b pues:
0)(lim)(lim0)0(00
====+− →→
xfxffxx
Para que f sea derivable en 0=x debe ser bff +=== +− 1)0´(0)0´( por tanto 1−=b
9.- La serie �+ !)!1(
)!2(
nn
n es:
A) Divergente B) Convergente C) Ninguna de las anteriores
La respuesta es A.
Es una serie de términos positivos de término general !)!1(
)!2(
nn
nxn +
= . Aplicando el
Criterio del Cociente queda:
14)1)(2()12)(22(
lim
!)!1()!2(
)!1()!2(
)!22(
limlim 1 >=++
++=
+
+++
=∞→∞→
+
∞→ nn
nn
nn
nnn
n
x
xnn
n
n
n por tanto divergente.
10.- Sea [ ] ℜ→− 3,1:f una función continua tal que 1)0(,2)1( −=−=− ff , 1)1( =f ,
0)2( =f y 2)3( =f . Al calcular la integral �−
3
1)( dxxf a partir de los nodos
2,1,0,1 3210 ===−= xxxx y 34 =x empleando la fórmula de Simpson el valor obtenido es:
A) 3
2−=I B) 3
2=I C) Ninguna de las anteriores
La respuesta es A. Teniendo en cuenta la Fórmula de Simpson (Th. 14-2.2 ) queda:
( ) ( ) ( )( ) ( )3
220242
3
1)3(241204)1(
3)(
3
1−=+++−−=++++−≅
�−
fffffh
dxxf
En este caso las distancia entre los nodos es 1, es decir 1=h
.
����������� ������������������ � �������������! #"%$&$' � (��������� )*"+��"�,��.-/���������
0&01010&010&01010&010&01010&010&01010&010&01010&010&01010&010&01010&010&01010&010&01010&010&01010&010&01010&010&01010&010&01010&010&01010&010�2�43657���#89�������:���!�������6;�<�� =7��3?>1
EXAMEN TIPO F 1.- ¿Para que valores de a y b la función: @ACB
>+≤+
=0 x si 5 sen x b
0 x si ae x - 1 f(x)
x
, es derivable en R?
A) a = 4 , b = 3 B) a = 3 , b = 4 C) Ninguna de las anteriores Como la función debe ser derivable sus derivadas por la derecha y por la izquierda han de coincidir:
a 1- a·e 1- (0) f ; b 0 b·cos (0) f 0'-
' +=+===+ D b = a – 1 (1) . Por ser derivable ha de ser continua y por tanto los límites laterales en x = 0 también han de ser iguales:
a 1 5 a 1 a·e 0 - 1 f(x) lim ; 5 5 0b.sen f(x) lim 0
0 x 0 x -+=E+=+==+=
→→ +(2)
Y de (1) y (2) se deduce a = 4 b = 3 Por tanto Sol: A)
2.- Sea f : [2
1 ,
2
1−] → R una función contínua en [
2
1 ,
2
1−] y derivable en (
2
1 ,
2
1−), tal que 4
2
1-f =
FGHIJK, f(0)= 1
y 22
1f −=
LMNOPQ. Si h : [
2
1 ,
2
1−] → R es la función definida por h(x) = x·f(x), para todo x ∈ [
2
1 ,
2
1−] y )x(P2
es el polinomio interpolador de la función h relativo a los nodos 2
1 x, 0 x,
2
1- x 210 === , entonces:
A) 3- 3
1 P'
2 =RSTUVW
B) ( )4
1 0 P'
2 = C) Ninguna de las anteriores
Tenemos que 2- 4 · 2
1-
2
1-·f
2
1-
2
1-h ==XYZ[\]^_`abc
=XYZ[\] ; [ ] ( ) [ ] 0 ·1 0 0·f 0 0h === ; ( ) 1- 2- · 2
1
2
1·f
2
1
2
1h ==defghijklmno
=defghi
Calculamos el polinomio interpolador resolviendo: a·2
2
1 pqrstu −+ b·
^_`abc −2
1 + c = -2 ; a·
2
2
1 vwxyz{+ b· |}~���
2
1 + c = -1 y
c = 0 ; esto da, a = -6 ; b = 1 ; c = 0 y x 6x- (x) P 22 += y 1 12x - (x) P'
2 += . Por tanto 3- 3
1 P'
2 =������
y la Sol: A)
3.- La serie �+
+4 n
n cos 1
3
2
es:
A) Divergente B) Convergente C) Ninguna de las anteriores
Como �<+
≤+
+3333
2
n
1 y
n
2
4 n
2
4 n
ncos 1 es una p-serie con p = 3 > 1 convergente (si 0 ≤ p ≤ 1 es
divergente); la serie dada es convergente. Sol: B)
4.- Sean h y g : → R dos funciones derivables y f la función dada por f(x) = h[g(x) ln x] para todo x > 0, entonces:
A) ������ +=x
g(x) ln x (x)gh (x)f '' B) [ ]
x
g(x) ln x (x)g · xln)x(gh )x(f ''' ������ += C) Ninguna de las anteriores
Aplicando la Regla de la Cadena para derivar funciones compuestas, es claro que la Sol: B)
����������� ������������������ � �������������! #"%$&$' � (��������� )*"+��"�,��.-/���������
0&01010&010&01010&010&01010&010&01010&010&01010&010&01010&010&01010&010&01010&010&01010&010&01010&010&01010&010&01010&010&01010&010&01010&010�2�43657���#89�������:���!�������6;�<�� =7��3?>2
5.- Si P3(x) es el polinomio de grado 3 cuya gráfica pasa por los puntos (-2,1), (0,-1), (2, -2) y (4,0), entonces:
A) ( )4
7- 1 P3 = B) ( )
4
9 1 P3 = C) Ninguna de las anteriores
Aplicando el Método de Newton, o resolviendo el sistema que determina P3(x) = ax3 +bx2 + cx + d al imponer
que P3 (-2) = 1, P3 (0) = -1, P3 (2) = -2 y P3 (4) = 0 , sale P3 (x) = 1 - x12
11 - x
8
1 x
24
1 23 + , y sustituyendo en
P3(1) = 4
7− , luego la Sol: A)
6.- Sea la función F(x) = ( )
@+
17
2-x
t-2
2
dt ·e 2
1 - ¿Qué se puede afirmar sobre F(x)?
A) F es creciente sobre todo R B) Tiene un máximo en x = 2 C) Ninguna de las anteriores
F’(x) = -2·(x-2) · ( )42xe −− ; se anula para x = 2 y F”(x) = -2· ( )42xe −− -2·(x-2) · ( )42xe −− [-4 (x-2)3] =
= -2· ( )42xe −− [1 - 4 (x-2)4] y F”(2) = -2 < 0 luego tiene un máximo en x = 2 y la Sol: B)
7.- La ecuación 8x11 + 4x + 10 = 0 verifica:
A) No tiene solución en R B) Tiene dos soluciones en R C) Ninguna de las anteriores
Sea f(x) = 8x11 + 4x + 10 f(x) es continua y derivable en todo R. Tiene al menos una raíz en [-1,0] , pues
f(-1) = -2 < 0 y f(0) = 10 > 0 (T. de Bolzano) y, como f’ (x) = 88x10 + 4 es siempre positiva, la función es creciente en todo R y no tiene más raíces reales, luego Sol: C)
8.- El valor de la integral definida A e
1
2 dxln x x es:
A) 3
e3
B) 9
1 e2 3 + C) Ninguna de las anteriores
Se integra por partes: u = ln x ; du = dx x
1 ; dv = x2 ; v =
3
x3
Luego I = B dx 3
x -
3
ln x x 23
= 3
ln x x3
- 9
x3
y C e
1
2 dxln x x = 3
ln x x3
- 9
x3
e
1 =
9
1
9
e -
3
e 33
=+9
1 e2 3 + y por tanto la Sol: B)
9.- La serie D +
λ1n
n2
2
n es:
A) Convergente para 2 >λ B) Convergente para 2 ≤λ C) Ninguna de las anteriores
����������� ������������������ � �������������! #"%$&$' � (��������� )*"+��"�,��.-/���������
0&01010&010&01010&010&01010&010&01010&010&01010&010&01010&010&01010&010&01010&010&01010&010&01010&010&01010&010&01010&010&01010&010&01010&010�2�43657���#89�������:���!�������6;�<�� =7��3?>3
Aplicando el criterio de la raíz: n1n
n2
n 2
n lím +∞→
λ =
2
2
n lím
2n
2
n
λ=λ∞→
y es convergente si λ < 2 , luego Sol C)
Nota: n
2
n 2
n lím
∞→ = 1
10.- Sea P(x) = x3 – 3x + 3 el polinomio de Taylor de grado 3 en a = 1 de la función f . Sobre f podemos afirmar:
A) f tiene un mínimo local en x = 1 B) f tiene un máximo local en x = 1 C) Ninguna de las anteriores
Como P’(x) = 3x2 – 3 , se anula para x = 1 y como P”(x) = 6x P”(1) = 6 > 0 luego tiene un mínimo local en x = 1 y por tanto, Sol: A)
Zamora, a 15 de febrero de 2.002
.
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- 2 -
EExxaammeenn ddee AAnnáálliissiiss MMaatteemmááttiiccoo SSeeppttiieemmbbrree ((44 ddee sseeppttiieemmbbrree ddee 22000022))
MMOODDEELLOO AA EEjjeerrcciicciioo 11
20 0 0
'( )· ( ) 0 "( )· '( ) '( ) "(0) 4'(0) lim '( ) lim lim 20 2 2 2x x x
g x x g x g x x g x g x gf f xx x→ → →
− + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = = = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Se aplica la regla de L’Hopital SOL: A)
EEjjeerrcciicciioo 22 Se integra por cambio de variable: ex = t ; exdx = dt ; e0 = 1 ; e1 = e
]1
12 20 1
1 1 41 1
x e exe dx dt arctg t arctg e arctg arctg e
e tπ
= = = − = −+ +∫ ∫
SOL: B)
EEjjeerrcciicciioo 33 3
202 20 0 0 0 0
13· ·3 · 0 3· 3 3· 3 0 9 9cos 3lim lim lim lim lim0 2 cos 2 0 2cos 2 2sen 2cos 2 cos 3
x
x x x x x
tg t dt tg x tg x xsenx x sen x xx x x→ → → → →
= = = = = = =∫
Se aplica la Regla de L'Hopital
SOL: B)
EEjjeerrcciicciioo 44 Se aplica la Fórmula de Newton-Cotes para 2n+1 nodos (pág. 356); en nuestro caso, 4
nodos:
[ ]
[ ] [ ]
3
0
0 1 2 33( ) ( ) 3 ( ) 3 ( ) ( )8
3·2 3 3·6 9( 1) 3 (1) 3 (3) (5) 2 3·1 3·2 18 4 4 2
x
x
hf x dx f x f x f x f x
f f f f
= + + + =
= − + + + = − + + − = =
∫
donde 3 0 5 ( 1) 23 3
x xh − − −= = =
SOL: A)
EEjjeerrcciicciioo 55
Se compara la serie 32 1n nn++∑ con la p-serie 2
1n∑ , que por ser p = 2 > 1 es
convergente.
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- 3 -
3 23
3
2
12 1lim lim 11 2 1 2x x
n nn n nn
nn
→∞ →∞
+++ = = <
+ Luego por el segundo criterio de comparación, la
serie es convergente. SOL: A)
EEjjeerrcciicciioo 66
Se calculan los límites laterales:
a) Límite por la izquierda: 2
1 1
3 3 3lim ( ) lim 2 2 2x x
f x x sen senxπ π
− −→ →
⎛ ⎞= + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
b) Límite por la derecha: 2
21 1 1
2 1 0 4 1 3lim ( ) lim lim1 0 2 2x x x
x x xf xx x+ + +→ → →
− − −= = = =
−
Luego el límite existe, pero no es cero, luego la solución es la c) SOL: C)
EEjjeerrcciicciioo 77
P(0) = λ y P(1) = λ - 6 . Para que la función P(x) tenga una raíz en el intervalo [0, 1], tiene que cambiar de signo en los extremos; P(0)·P(1) < 0 ; P(0)·P(1) = λ (λ -6) = λ 2- 6λ . Si se dibuja la parábola y = λ 2- 6λ , corta al eje de abscisas en los puntos 0 y 6 y es negativa en (0, 6)
SOL: A) EEjjeerrcciicciioo 88
La serie ( ) 2
2 2
1 12 2
n
n n
+
+ +
−=∑ ∑ , que es convergente por ser una serie geométrica de
razón 1 12
r = < , luego la serie: ( ) 2
2
12
n
n
+
+
−∑ es absolutamente convergente (pág. 281)
SOL: A)
EEjjeerrcciicciioo 99 Se aplica la Regla de la Cadena para derivar la función compuesta f(x):
( )( ) ( )( )( )
22
1 1'( ) 3· 1 · ' 1 · ·21 1
f x g arctg x g arctg xxx
= − −+ −
( )( ) ( )( )( )
22
1 1'(1) 3· 1 1 · ' 1 1 · ·2 11 1 1
f g arctg g arctg= − − =+ −
( )( ) ( )( )( )
( ) ( )2 2 22
1 1 1 13· 0 · ' 0 · · 3· 0 · ' 0 · 3·2 ·2· 3·4 122 22 11 0
g arctg g arctg g g= = = = =+
SOL: B)
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- 4 -
EEjjeerrcciicciioo 1100 Se calcula la primera derivada y se buscan los valores que la anulan:
3 2 2
4 3 4 3
12 12 6 ( 1)'( )2 3 4 2 3 4 2
x x x xf xx x x x
+ += =
+ + + + , que se anula para 0x = (doble) y para 1x = −
Por otro lado el signo de la primera derivada es el de ( 1)x + , que es positivo para 1x > − y
negativo para 1x < − , luego en 1x = − tiene un mínimo relativo (pasa de ser decreciente a ser creciente) y en 0x = tiene un punto de inflexión pues, aunque '(0) 0f = , la función siempre es creciente (tanto a la derecha como a la izquierda de 0x = ).
SOL: A) Zamora, 10 de Septiembre de 2.002
.
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EEjjeerrcciicciioo 11 Sea 3 2( )f x ax bx cx d= + + + . Esta función tiene que pasar por los puntos (0, 0) y (2, 2) y, además,
ha de anularse su derivada para x = 0 y para x = 2. 2'( ) 3 2f x ax bx c= + + .
Como (0) 0 y '(0) 0f d f c= = = = se reduce a resolver el sistema:8 4 2 1 3;
12 4 0 2 2a b
a ba b+ = ⎫ −
= =⎬+ = ⎭
Luego 3 21 3( )2 2
f x x x= − + , pero esta función tiene un mínimo relativo en (0, 0), y un máximo
relativo en (2, 2), ya que "( ) 3 3, "(0) 3 0 y "(2) 3 0f x x f f= − + = > = − < Luego la solución es la c) Ninguna de las anteriores respuestas. SSooll:: CC)) EEjjeerrcciicciioo 22
cos( ) ( ) xf x g x= . Hay que derivar logarítmicamente: [ ] ( )cosln ( ) ln ( ) cos ·ln ( )xf x g x x g x⎡ ⎤= =⎣ ⎦
( )'( ) '( )ln ( ) cos( ) ( )
f x g xsenx g x xf x g x
= − + luego ( ) cos'( )'( ) ln ( ) cos · ( )( )
xg xf x senx g x x g xg x
⎡ ⎤= − +⎢ ⎥⎣ ⎦
( ) ( ) ( ) cos(0) cos(0) 1'(0) '(0) 2'(0) 0 ln (0) cos 0 · (0) (0) 1 2(0) (0) 1
g gf sen g g gg g
⎡ ⎤= − + = = =⎢ ⎥⎣ ⎦
SSooll:: AA))
EEjjeerrcciicciioo 33
( ) ( )2
3/ 2 5/ 22 2 1/ 2 3/ 20 0
0
4 22 2 2 8 323 5 3 52 2
x xx xdx x x dx
⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤− = − = − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫ =
4 2 8 8 8 8 40 24 162 2 4 2 2 2 2 2 23 5 3 5 3 5 15 15
−⎡ ⎤ ⎛ ⎞= − = − = − = =⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠ SSooll:: AA))
EEjjeerrcciicciioo 44 Como ( ) cosf x senx x= − + , calculamos:
( ) ( )( ) cos 1f senπ π π= − + = − ; 3 3 3cos 12 2 2
f senπ π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( ) ( )(2 ) 2 cos 2 1f senπ π π= − + = ; 5 5 5cos 12 2 2
f senπ π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Aplicamos el Método de Newton para calcular el polinomio interpolador 2 3
1 2 2 03 1 0 22
2 1 25 12
x y y y yππ
ππ
∆ ∆ ∆− −
−
−
−
2
h π= ( ) ( )2
2 1 3( ) 1 222!2 4
P x x x x ππ ππ π⎛ ⎞= − + − − − −⎜ ⎟⎝ ⎠
=
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22 2
4 14 8 14 8 14 6 3 12 14 2( ) 11 ; '( ) ; '( ) ; '2
P x x x P x x P P πππ π π π π π π π π π
⎛ ⎞= − + − = − + = − + = = − + =⎜ ⎟⎝ ⎠
Luego la solucion es B) SSooll:: BB)) EEjjeerrcciicciioo 55 Como 2(2) 2 2·2 2 4 4 2 2f = − + + = − + + = , pero ( )2
2 2lim ( ) lim 2 2 2
x xf x x x
− −→ →= − + + = y
( )2 2
lim ( ) lim 1 3x x
f x x+ +→ →
= + = .
Entonces2 2
lim ( ) lim ( )x x
f x f x+ −→ →
≠ , el límite de la función, cuando x tiende a 2 no existe. La función
( )f x no es continua en x = 2 y por tanto, tampoco es derivable (toda función derivable es continua), luego la solución es la c) Ninguna de las anteriores respuestas. SSooll:: CC)) EEjjeerrcciicciioo 66
La serie 3!
n
n∑ es convergente. Si aplicamos el criterio del cociente tenemos:
( )( )
1
11
31 ! 3 ! 3lim lim lim lim 0
13 3 1 !!
n
nn
n nn n n nn
na na nn
n
+
++
→∞ →∞ →∞ →∞
+= = = =
++ < 1 por tanto Convergente SSooll:: AA))
EEjjeerrcciicciioo 77
( ) ( )3 3 2 3
0( ) ( ) '( ) 3 3 3
x xF x f t dt F x x f x x
−= ⇒ = − −∫ ; como ( ) 0f x > para todo x, el signo de
'( )F x es igual al signo de 23 3x − , que es negativo en (-1, 1) y por tanto ( )F x es decreciente en ( 1, 1)− SSooll:: BB))
EEjjeerrcciicciioo 88
La serie ( ) 112
n nn
+−+∑ es condicionalmente convergente, ya que la serie alternada converge por
el Criterio de Libnitz (La sucesión 2
nn +
es decreciente y además lim 02n
nn→∞
=+
), pero la serie de
los valores absolutos: 2
nn +∑ es divergente, pués si la comparamos con 1
n∑ , que es
divergente, 2lim lim 11 2n n
nnn
nn
→∞ →∞+ = =
+. Luego la serie
2n
n +∑ también es divergente. SSooll:: AA))
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EEjjeerrcciicciioo 99 Sea 5( ) 5 1f x x x= − + ; como ( 1) 5 0 y (1) 3 0f f− = > = − < , el Teorema de Bolzano nos asegura
que hay al menos una raíz en [-1, 1]. Como 4'( ) 5 5f x x= − es siempre negativa en [-1, 1] , el teorema 12-1.2 (pág. 290), nos asegura que sólo hay una solución de la ecuación en [-1, 1], luego la solucion es la c) Ninguna de las anteriores respuestas. SSooll:: CC)) EEjjeerrcciicciioo 1100
El ( )1
0lim 1x x
xe x
+
∞
→+ = . Para poder aplicar la Regla de L’Hôpital se toman primero ln.
Si ( ) ( ) ( )1 1 1
0 0 0lim ; ln ln lim lim lnx x xx x x
x x xy e x y e x e x
+ + +→ → →
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= + = + = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
=
( ) 0
00 0 0
1ln 1 1 1 1lim lim lim 2
1 10
xx xx
xx x x
ee x e ee x
x e x e+ + +→ → →
+⎡ ⎤+ + + ++⎢ ⎥= = = = = =⎢ ⎥ + +⎢ ⎥⎣ ⎦
2 y e⇒ = SSooll:: AA))
Zamora, 29 de Enero de 2.003
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EEjjeerrcciicciioo 11
El ( )1
0lim 1x x
xe x
+
∞
→+ = . Para poder aplicar la Regla de L’Hôpital se toman primero ln.
Si ( ) ( ) ( )1 1 1
0 0 0lim ; ln ln lim lim lnx x xx x x
x x xy e x y e x e x
+ + +→ → →
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= + = + = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
=
( ) 0
00 0 0
1ln 1 1 1 1lim lim lim 2
1 10
xx xx
xx x x
ee x e ee x
x e x e+ + +→ → →
+⎡ ⎤+ + + ++⎢ ⎥= = = = = =⎢ ⎥ + +⎢ ⎥⎣ ⎦
2 y e⇒ = SSooll:: AA))
EEjjeerrcciicciioo 22
( ) ( )3 3 2 3
0( ) ( ) '( ) 3 3 3
x xF x f t dt F x x f x x
−= ⇒ = − −∫ ; como ( ) 0f x > para todo x, el signo de
'( )F x es igual al signo de 23 3x − , que es negativo en (-1, 1) y por tanto ( )F x es decreciente en ( 1, 1)− SSooll:: BB)) EEjjeerrcciicciioo 33
( )( ) cos2xf x sen xπ π⎛ ⎞= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
( )(1) cos 1 ( 1) 02
f sen π π⎛ ⎞= + = + − =⎜ ⎟⎝ ⎠
( ) ( )(2) cos 2 0 1 1f sen π π= + = + =
( ) ( )3(3) cos 3 1 ( 1) 22
f sen π π⎛ ⎞= + = − + − = −⎜ ⎟⎝ ⎠
el polinomio 22( )P x ax bx c= + + pasa por los puntos (1, 0) (2, 1) y (3, -2), luego aplicando el
Método de Newton, o resolviendo el sistema: 0
4 2 1 2 ; 7 ; 59 3 2
a b ca b c a b c
a b c
+ + = ⎫⎪+ + = = = = −⎬⎪+ + = − ⎭
Se tiene que 2
22 2
1 1 1 1 7( ) 2 7 5 y 2 7 5 5 22 2 2 2 2
P x x x P ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − = − + − = − + − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
SSooll:: BB))
EEjjeerrcciicciioo 44
La serie ( ) 112
n nn
+−+∑ es condicionalmente convergente, ya que la serie alternada converge por
el Criterio de Libnitz (La sucesión 2
nn +
es decreciente y además lim 02n
nn→∞
=+
), pero la serie de
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los valores absolutos: 2
nn +∑ es divergente, pués si la comparamos con 1
n∑ , que es
divergente, 2lim lim 11 2n n
nnn
nn
→∞ →∞+ = =
+. Luego la serie
2n
n +∑ también es divergente. SSooll:: BB))
EEjjeerrcciicciioo 55 Como 2(2) 2 2·2 2 4 4 2 2f = − + + = − + + = , pero ( )2
2 2lim ( ) lim 2 2 2
x xf x x x
− −→ →= − + + = y
( )2 2
lim ( ) lim 1 3x x
f x x+ +→ →
= + = .
Entonces2 2
lim ( ) lim ( )x x
f x f x+ −→ →
≠ , el límite de la función, cuando x tiende a 2 no existe. La función
( )f x no es continua en x = 2 y por tanto, tampoco es derivable (toda función derivable es continua), luego la solución es la c) Ninguna de las anteriores respuestas. SSooll:: CC)) EEjjeerrcciicciioo 66
( ) ( )2
3/ 2 5/ 22 2 1/ 2 3/ 20 0
0
4 22 2 2 8 323 5 3 52 2
x xx xdx x x dx
⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤− = − = − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫ =
4 2 8 8 8 8 40 24 162 2 4 2 2 2 2 2 23 5 3 5 3 5 15 15
−⎡ ⎤ ⎛ ⎞= − = − = − = =⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠ SSooll:: AA))
EEjjeerrcciicciioo 77 Sea 5( ) 5 1f x x x= − + ; como ( 1) 5 0 y (1) 3 0f f− = > = − < , el Teorema de Bolzano nos asegura
que hay al menos una raíz en [-1, 1]. Como 4'( ) 5 5f x x= − es siempre negativa en [-1, 1] , el teorema 12-1.2 (pág. 290), nos asegura que sólo hay una solución de la ecuación en [-1, 1], luego la solucion es la c) Ninguna de las anteriores respuestas. SSooll:: CC)) EEjjeerrcciicciioo 88
La serie 3!
n
n∑ es convergente. Si aplicamos el criterio del cociente tenemos:
( )( )
1
11
31 ! 3 ! 3lim lim lim lim 0
13 3 1 !!
n
nn
n nn n n nn
na na nn
n
+
++
→∞ →∞ →∞ →∞
+= = = =
++ < 1 por tanto Convergente
EEjjeerrcciicciioo 99 cos( ) ( ) xf x g x= . Hay que derivar logarítmicamente: [ ] ( )cosln ( ) ln ( ) cos ·ln ( )xf x g x x g x⎡ ⎤= =⎣ ⎦
( )'( ) '( )ln ( ) cos( ) ( )
f x g xsenx g x xf x g x
= − + luego ( ) cos'( )'( ) ln ( ) cos · ( )( )
xg xf x senx g x x g xg x
⎡ ⎤= − +⎢ ⎥⎣ ⎦
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________________________________________________________________________________ Examen de Análisis Matemático 29-Enero 2003 - 4 - Miguel Sobrino Morchón
( ) ( ) ( ) cos(0) cos(0) 1'(0) '(0) 2'(0) 0 ln (0) cos 0 · (0) (0) 1 2(0) (0) 1
g gf sen g g gg g
⎡ ⎤= − + = = =⎢ ⎥⎣ ⎦
SSooll:: AA))
EEjjeerrcciicciioo 1100 Sea 3 2( )f x ax bx cx d= + + + . Esta función tiene que pasar por los puntos (0, 0) y (2, 2) y, además,
ha de anularse su derivada para x = 0 y para x = 2. 2'( ) 3 2f x ax bx c= + + .
Como (0) 0 y '(0) 0f d f c= = = = se reduce a resolver el sistema:8 4 2 1 3;
12 4 0 2 2a b
a ba b+ = ⎫ −
= =⎬+ = ⎭
Luego 3 21 3( )2 2
f x x x= − + , pero esta función tiene un mínimo relativo en (0, 0), y un máximo
relativo en (2, 2), ya que "( ) 3 3, "(0) 3 0 y "(2) 3 0f x x f f= − + = > = − < Luego la solución es la c) Ninguna de las anteriores respuestas. SSooll:: CC))
Zamora, 29 de Enero de 2.003
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.
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EEjjeerrcciicciioo 11
Estudiamos la serie de valores absolutos: ( )2 2
1 1
2 2! !
n n
n n
n nn n
∞ ∞
= =
−=∑ ∑
Si aplicamos el Criterio del Cociente:
( )( ) ( )
( )( )
( )
2 1
2 21
2 2 2 2
1 21 ! 1 2 ! 1 2 2 2lim lim lim lim 0 1
2 2 1 ! 1!
n
n
n nn n n n
nn n n n nn n n n n n
n
+
+
→∞ →∞ →∞ →∞
++ + + += = = = <
+ + y por tanto
converge. La serie es absolutamente convergente y la solución correcta es SSooll:: CC)) EEjjeerrcciicciioo 22 Aplicamos el Criterio de la Raíz:
( ) ( )( )
2 2
22 2
1 12 2lim lim 2
nn
n
nn n
sen senn n sen
n n
α αα
→∞ →∞
+ + = = , ya que 1lim 0n n→∞
= , y 2lim 1n
nn
→∞= =
Ahora, si 3πα = ,
22 3 3 32 2 2 1
3 2 4 2sen π = = = >
y la serie diverge. La solución es A)
Si 6πα = ,
22 1 1 12 2 2 1
6 2 4 2sen π = = = <
y la serie convergería. SSooll:: AA))
EEjjeerrcciicciioo 33 Construimos ( )3T x :
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) 3 3 ; 0 0
' 3cos 3cos 3 ; ' 0 3 3 0
" 3 9 3 ; " 0 0
'" 3cos 27cos 3 ; '" 0 3 27 24
f x sen x sen x f
f x x x f
f x sen x sen x f
f x x x f
= − == − = − == − + == − + = − + =
Luego ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 3 33
' 0 " 0 '" 0 240 41! 2! 3! 6
f f fT x f x x x x x= + + + = = SSooll:: BB))
EEjjeerrcciicciioo 44 La concavidad y la convexidad se estudia con la segunda derivada:
( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
22
22 2 2 2 2
4 3 32 2 2
2'1
2 1 2 ·2 1 2 2 2 8 6 2"
1 1 1
xf xx
x x x x x x xf x
x x x
−=+
− + + + − − + −= = =+ + +
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El signo de ( )"f x lo decide el numerador, y este es negativo en el intervalo 3 3,
3 3
−
y aquí es
cóncava, y positivo en 3 3, ,
3 3
−∞ − ∞
∪ , luego es convexa en 3,
3
−∞ −
SSooll:: CC))
EEjjeerrcciicciioo 55 Se aplica tres veces la Regla de L’Hôpital
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( )
2
3 20 0
2
022 2 2
0
1 cos0 0lim lim0 03
2 1 0lim6 0
2 1 4 1 cos 2 1 1lim6 6 2
x x
x
x
tg x xtg x sen x
x x
tg x tg x sen x
x
tg x tg x tg x x
→ →
→
→
+ −− = = = = =
+ += = =
+ + + + += = =
La solución es por tanto la A) A=1/2 SSooll:: AA)) EEjjeerrcciicciioo 66
La función ( ) ( )( )
2 si 0
1 si 0
sen x xf x
xLn x x
≤= + >
es contínua en 0x = (se comprueba viendo que
( )0 0f = y que los límites por la derecha y por la izquierda valen cero. Calculamos ahora la primera y la segunda derivada en el origen (por la derecha y por la izquierda):
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )
0 0
0
0
0
' 0 lim 2 cos lim 2 0
' 0 lim 1 01
" 0 lim 2cos 2 2
1 1" 0 lim 1 1 21 1
x x
x
x
x
f sen x x sen x
xf Ln xx
f x
x xfx x
− −
+
−
+
−→ →
+→
−→
+ →
= = = = + + = +
= = + − = + = + = + +
Luego tiene derivada segunda en x = 0 y vale 2. La solución es la A) SSooll:: AA)) EEjjeerrcciicciioo 77 Este ejercicio es muy simple, pues al ser ( )f x una función polinómica, ( ) ( )3P x f x= , y por tanto,
( ) ( ) 3 23 1 1 1 1 1 1P f= = + − = SSooll:: AA))
EEjjeerrcciicciioo 88
Teniendo en cuenta las fórmulas: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
cos cos cos
cos cos cos
a b a b sen a sen b
a b a b sen a sen b
+ = −− = +
, sumando y
despejando se tiene que: ( ) ( ) ( ) ( )cos coscos cos
2a b a b
a b+ + −=
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y en nuestro caso, ( ) ( ) ( ) ( )cos 5 coscos 3 cos 2
2 2x x
x x = + , Luego:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
22 2
cos 5 cos 5cos 2 cos 3
2 2 10 2
55 1 1 32 2 0 010 2 10 2 10 2 5
x x sen x sen xx x dx dx
sen sensen sen
π π π
ππ π
π ππ π
= + = + =
= + − − = + − − = −
∫ ∫
SSooll:: BB)) EEjjeerrcciicciioo 99 Construimos el polinomio interpolador aplicando el método de Newton:
2 3
2 donde 20 2 0 5
2 2 54 7
x y y y y
h
∆ ∆ ∆−
=1 1 -1 6
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 30 0 0
3 0 0 0 1 0 1 22 3
3 2
23 3 3
1! 2! 3!1 1 6 11 2 2 2 2 2 162 8 48 8
1 1 6 3' 3 2 2 ; " 6 2 ; P'"8 8 8 4
y y yP x y x x x x x x x x x x x x
h h h
x x x x x x x x x
P x x x P x x x
∆ ∆ ∆= + − + − − + − − − =
= + + − + + + − = − − +
= − − = − = =
SSooll:: BB)) EEjjeerrcciicciioo 1100
( ) ( ) ( )2 2
2 2
x x
x xF x xsen t dt x sen t dt= =∫ ∫ Se saca la x fuera de la integral y ahora se deriva como
producto:
( ) ( ) ( )2
2
1' 1· 2 22 2
x
xxF x sen t dt x sen x sen = + − ∫
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
1' 2 22 2
1cos 0 cos cos 12 2 2 2
F sen t dt sen sen
t
ππ
ππ
ππ π π
π π ππ π
= + − =
= + − = − − = − −
∫
SSooll:: AA)) Zamora, 4 de Septiembre de 2.003
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SSoolluucciioonneess nnoo ooffiicciiaalleess ddeell eexxaammeenn ddee AAnnáálliissiiss MMaatteemmááttiiccoo ccoorrrreessppoonnddiieennttee aa llaa pprriimmeerraa sseemmaannaa ddee FFeebbrreerroo ddee 22..000044
PPrreegguunnttaa nnºº 11 22 33 44 55 66 77 88 99 1100 MMooddeelloo AA AA AA AA CC AA BB CC CC CC BB MMooddeelloo CC AA CC AA BB AA CC AA AA CC CC
ZZaammoorraa,, 2288 ddee EEnneerroo ddee 22..000044
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________________________________________________________________________________ Análisis Matemático-2ª sem Feb 2004 – mod B - 1 - Miguel Sobrino Morchón
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EExxaammeenn ddee AAnnáálliissiiss MMaatteemmááttiiccoo FFeebbrreerroo ((1111 ddee FFeebbrreerroo ddee 22..000044))
MMOODDEELLOO BB EEjjeerrcciicciioo 11
La serie ( )5
1
1
n n
n
−
+∑ es absolutamente convergente ya que la serie de valores absolutos
5 1
n
n +∑ es convergente. Para verlo basta con comparar la serie con 21n∑ , que es
convergente (p serie, con p =2 y por tanto convergente).
La comparación la haríamos: 25 5 4
1 1
1
n nnn n n
≤ = =+
SOL: B)
EEjjeerrcciicciioo 22
Para calcular los extremos de la función ( ) ( ) x
21 2
Ln tF x dt
t= ∫ , calculamos la primera
derivada de . ( )F x ( ) ( )2'
Ln xF x
x= . Se iguala a cero ( ) ( )' 0 0F x Ln x x 1= ⇒ = ⇒ =
Ahora calculamos la segunda derivada: ( )( ) ( )
2
4 3
1 2 1 2''
x xLn x Ln xxF xx x
− −= =
Y como ( ) ( )1 2 1'' 1 1 > 0
1Ln
F−
= = , ( )F x tiene un mínimo local en 1x =
SOL: A)
EEjjeerrcciicciioo 33
La integral se hace por partes, y vale ( )Ln x dx∫ ( ) ( ) 1Ln x dx x Ln x C= − +⎡ ⎤⎣ ⎦∫
Luego ( ) ( ) ( ) ( )Ln−⎤ ⎡⎦ ⎣ ( ) 2
2 1
1
1 2 2 1 1 1 2 2 1Ln x dx x Ln x Ln Ln= − = − − = −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ SOL: C)
EEjjeerrcciicciioo 44 La familia de funciones ( ) 3 3mf x x x m= − + son continuas.
, ya que m > 10. ( ) ( )0 0 ; 1 1 3 2f m f m m= > = − + = − > 0
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Por otro lado, ( ) 2' 3f x x= −3, es decreciente en el intervalo [ ]0, 1 (Basta con dibujar la
parábola ), con lo cual 23y x= −3 ( )mf x no se anula nunca en el intervalo [ ]0, 1 SOL: C)
EEjjeerrcciicciioo 55 Sean x el radio de la base e y la altura. El volumen del cono es:
( ) ( )2 21 1 100 1003 3 3
V x y y y y y3π= π = π − = − . Téngase en cuenta que 2 2 100x y+ =
( 2' 100 33
V π= − )y y al igualar a cero sale 10
3y = ±
( )'' 6 23
V yπ= − = − πy , que al dar el valor de y positivo, sale menor que cero y por tanto
máximo. Para 103
y = , sale 2 100 200 10 2 10 6100 1003 3 33
x y= − = − = = =
SOL: A) EEjjeerrcciicciioo 66
( )2 2lim 9 3 1 9 1x
x x x→+∞
+ − − + = ∞−∞ , Indeterminado. Para quitar la indeterminación se
multiplica y se divide por el conjugado del binomio:
( ) ( )( )2 2 2 22 2
2 2
9 3 1 9 1 9 3 1 9 1lim 9 3 1 9 1 lim
9 3 1 9 1x x
x x x x x xx x x
x x x→+∞ →+∞
+ − − + + − + ++ − − + = =
+ − + +
2 2
2 2 2 2
9 3 1 9 9 3 10 3 3lim lim6 29 99 3 1 9 1 9 3 1 9 1x x
x x x x
x x x x x x→+∞ →∞
+ − − − −= = =
++ − + + + − + +
1= =
Para quitar esta última indeterminación se divide numerador y denominador por x. SOL: C)
EEjjeerrcciicciioo 77
( ) ( )2
1
n
i
i
f x x a
=
= −∑ . Derivamos: ( ) ( )1 1
' 2 2
n n
i i
i i
f x x a nx
= =
a⎡ ⎤⎢ ⎥= − = −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
∑ ∑ Sea
Si igualamos a cero la primera derivada:
( )1 1
1' 0 2 0
n n
i i
i i 1
n
i
i
f x nx a nx a xn
= =
⎡ ⎤⎢ ⎥= = − ⇒ − = ⇒ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∑ ∑a
=
Como , ( )'' 2 0f x n= > ( )f x tiene un mínimo local en
1
1n
i
i
x an
=
= ∑
SOL: A)
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SSoolluucciioonneess nnoo ooffiicciiaalleess ddeell eexxaammeenn ddee AAnnáálliissiiss MMaatteemmááttiiccoo ccoorrrreessppoonnddiieennttee aa llaa sseegguunnddaa sseemmaannaa ddee FFeebbrreerroo ddee 22..000044
PPrreegguunnttaa nnºº 11 22 33 44 55 66 77 88 99 1100 MMooddeelloo BB BB AA CC CC AA CC AA AA AA AA MMooddeelloo DD CC BB AA BB BB AA AA CC AA CC
ZZaammoorraa,, 1111 ddee FFeebbrreerroo ddee 22..000044
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