E.T.S. Minas: Métodos MatemáticosEjercicios resueltos Tema 8EDOs de orden superior
Francisco PalaciosEscuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa
Universidad Politécnica de Cataluña
Noviembre 2008, Versión 1.3
Ejercicio 1 Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias
1. 4y00 + y0 = 0.
2. y00 − y0 − 6y = 0.
3. y00 + 8y0 + 16y = 0.
4. 12y00 − 5y0 − 2y = 0.
5. y00 + 9y = 0.
6. y00 − 4y0 + 5y = 0.
7. 3y00 + 2y0 + y = 0.
(1.1)4y00 + y0 = 0.
Ecuación característica
4m2 +m = 0,
m (4m+ 1) = 0,
raícesm = 0, m = −1/4,
soluciones
y1 = e0x = 1,
y2 = e−14x.
Solución generaly = c1 + c2e
− 14x, c1, c2 ∈ R.
(1.2)y00 − y0 − 6y = 0.
Ecuación característicam2 −m− 6 = 0,
m =1±√1 + 24
2=1± 52
=
(62 = 3,
−42 = −2.
1
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior 2
Sistema fundamental de soluciones
y1 = e3x,
y2 = e−2x.
Solución generaly = c1e
3x + c2e−2x, c1, c2 ∈ R.
(1.3)y00 + 8y0 + 16y = 0.
Ecuación característicam2 + 8m+ 16 = 0,
m =−8±
√64− 642
= −82= −4 (doble) .
Sistema fundamental de soluciones
y1 = e−4x,
y2 = xe−4x.
Solución generaly = c1e
−4x + c2xe−4x, c1, c2 ∈ R.
(1.4)12y00 − 5y0 − 2y = 0.
Ecuación característica12m2 − 5m− 2 = 0,
m =5±√25 + 4 · 2 · 1224
=5±√25 + 96
24
=5±√121
24=5± 1124
=
(1624 =
23 ,
− 624 = −1/4.
Sistema fundamental de soluciones
y1 = e23x,
y2 = e−14x.
Solución generaly = c1e
23x + c2e
− 14x, c1, c2 ∈ R.
(1.5)y00 + 9y = 0.
Ecuación característicam2 + 9 = 0,
m2 = −9,m = ±
√−9 = ±3i.
Tenemos dos raíces complejas conjugadas (simples)
z = α± βi,
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior 3
con α = 0 y β = 3. Las soluciones son del tipo
y1 = eαx cosβx,
y2 = eαx sinβx.
Solución generaly = eαx (c1 cosβx+ c2 sinβx) ,
y = c1 cos 3x+ c2 sin 3x, c1, c2 ∈ R.(1.6)
y00 − 4y0 + 5y = 0.Ecuación característica
m2 − 4m+ 5 = 0,
m =4±√16− 202
=4±√−4
2
=4± 2i2
= 2± i.
Sistema fundamental de soluciones
y1 = e2x cosx,
y2 = e2x sinx.
Solución general
y = e2x (c1 cosx+ c2 sinx) , c1, c2 ∈ R.
(1.7)3y00 + 2y0 + y = 0.
Ecuación característica3m2 + 2m+ 1 = 0,
m =−2±
√4− 126
=−2±
√−8
6
=−2± 2
√2i
6= −1
3±√2
3i.
Sistema fundamental de soluciones
y1 = e−x
3 cos
Ã√2
3x
!,
y2 = e−x
3 sin
Ã√2
3x
!.
Solución general
y = e−x3
"c1 cos
Ã√2
3x
!+ c2 sin
Ã√2
3x
!#, c1, c2 ∈ R. ¤
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior 4
Ejercicio 2 Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias
1. y000 − 4y00 − 5y0 = 0.
2. y000 − 5y00 + 3y0 + 9y = 0.
3.d3u
dt3+d2u
dt2− 2u = 0.
4. y000 + 3y00 + 3y0 + y = 0.
5. y(4) + y000 + y00 = 0.
6. 16d4y
dx4+ 24
d4y
dx4+ 9y = 0.
7.d5u
dr5+ 5
d4u
dr4− 2d
3u
dr3− 10d
2u
dr2+du
dr+ 5u = 0.
(2.1)y000 − 4y00 + 5y0 = 0.
Ecuación característicam3 − 4m2 − 5m = 0,
m¡m2 − 4m− 5
¢= 0,
m = 0, m2 − 4m− 5 = 0,m2 − 4m− 5 = 0,
m =4±√16 + 20
2=4±√36
2=4± 62
=
(102 = 5,
−22 = −1.
Raícesm = 0, m = 5, m = −1.
Sistema fundamental de soluciones
y1 = e0x = 1,
y2 = e5x,
y3 = e−x.
Solución general
y = c1 + c2e5x + c3e
−x, c1, c2, c3 ∈ R.
(2.2)y000 − 5y00 + 3y0 + 9y = 0.
Ecuación característica
m3 − 5m2 + 3m+ 9 = 0.
Intentamos con los divisores del término independiente
±1,±3,±9.
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior 5
Para m = −1, obtenemos
(−1)3 − 5(−1)2 + 3(−1) + 9 = −1− 5− 3 + 9 = 0.
Descomponemos usando la regla de Ruffini
1 −5 3 9−1) −1 6 −9
1 −6 9 0
m3 − 5m2 + 3m+ 9 = (m+ 1)¡m2 − 6m+ 9
¢.
Resolvemosm2 − 6m+ 9 = 0,
m =6±√36− 362
=6
2= 3 (doble) .
Sistema fundamental de soluciones
y1 = e−x,
y2 = e3x,
y3 = xe3x.
Solución general
y = c1e−x + c2e
3x + c3xe3x, c1, c2, c3 ∈ R.
(2.3)d3u
dt2+d2u
dt2− 2u = 0,
u000 + u00 − 2u = 0.Ecuación característica
m3 +m2 − 2 = 0.Observamos que m = 1 es solución. Descomponemos usando la regla de Ruffini
1 1 0 −21) 1 2 2
1 2 2 0
m3 +m2 − 2 = (m− 1)¡m2 + 2m+ 2
¢.
Resolvemosm2 + 2m+ 2 = 0,
m =−2±
√4− 8
2=−2±
√−4
2=−2± 2i2
= −1± i.
Raíces de la ecuación característica
m = 1, m = −1± i.
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior 6
Sistema fundamental de soluciones
y1 = et,
y2 = e−t cos t,
y3 = e−t sin t.
Solución general
y = c1et + e−t (c2 cos t+ c3 sin t) , c1, c2, c3 ∈ R.
(2.4)y000 + 3y00 + 3y0 + y = 0.
Ecuación característica
m3 + 3m2 + 3m+ 1 = 0,
(m+ 1)3= 0.
Raícesm = −1, (triple).
Sistema fundamental de soluciones
y1 = e−x,
y2 = xe−x,
y3 = x2e−x.
Solución general
y = c1e−x + c2xe
−x + c3x2e−x, c1, c2, c3 ∈ R.
(2.5)y(4) + y000 + y00 = 0.
Ecuación característicam4 +m3 +m2 = 0,
m2¡m2 +m+ 1
¢= 0.
Resolvemosm2 +m+ 1 = 0,
m =−1±
√1− 4
2=−1±
√−3
2
=−1±
√3 i
2= −1
2±√3
2i.
Raíces de la ecuación característica
m = 0 (doble) ,
m = −12±√3
2i (complejas conjugadas, simples) .
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior 7
Sistema fundamental de soluciones
y1 = e0 = 1,
y2 = xe0 = x,
y3 = e−12x cos
Ã√3
2x
!,
y4 = e−12x sin
Ã√3
2x
!.
Solución general
y = c1 + c2x+ e− 12x
Ãc3 cos
Ã√3
2x
!+ c4 sin
Ã√3
2x
!!, c1, c2, c3, c4 ∈ R.
(2.6)
16d4y
dx4+ 24
d2y
dx2+ 9y = 0,
16y(4) + 24y(2) + 9y = 0.
Ecuación característica16m4 + 24m2 + 9 = 0.
Se trata de una ecuación bicuadrada, realizamos el cambio t = m2
16t2 + 24t+ 9 = 0,
t =−24±
√242 − 4 · 16 · 932
=−24±
√576− 57632
=−2432
= −8 · 38 · 4 = −
3
4(doble).
m2 = −34,
m = ±r−34,
m = ±√3
2i (dobles).
Sistema fundamental de soluciones
y1 = cos
Ã√3
2x
!,
y2 = x cos
Ã√3
2x
!,
y3 = sin
Ã√3
2x
!,
y4 = x sin
Ã√3
2x
!.
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior 8
Solución general
y = c1 cos
Ã√3
2x
!+ c2x cos
Ã√3
2x
!+ c3 sin
Ã√3
2x
!+ c4 sin
Ã√3
2x
!, cj ∈ R.
(2.7)d5u
dr5+5d4u
dr4− 2d
3u
dr3− 10d
2u
dr2+du
dr+ 5u = 0.
Ecuación característica
m5 + 5m4 − 2m3 − 10m2 +m+ 5 = 0.
Descomponemos usando la regla de Ruffini
1 5 −2 −10 1 51) 1 6 4 −6 5
1 6 4 −6 −5 01) 1 7 11 5
1 7 11 5 0−1) −1 −6 −5
1 6 5 0−1) −1 −5
1 5 0
Raícesm = 1 (doble) , m = −1 (doble) , m = −5.
Sistema fundamental de soluciones
y1 = er,
y2 = rer,
y3 = e−r,
y4 = re−r,
y5 = e−5r.
Solución general
y = c1er + c2re
r + c3e−r + c4re
−r + c5e−5r, cj ∈ R. ¤
Ejercicio 3 Resuelve el problema de valor inicial⎧⎨⎩ y00 + 16y = 0,y(0) = 2,y0(0) = −2.
Se trata de una EDO lineal homogénea con coeficientes constantes.Ecuación característica
m2 + 16 = 0,
m2 = −16,m =
√−16 = ±4i.
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior 9
Solución generaly = c1 cos 4x+ c2 sin 4x, c1, c2 ∈ R.
Imponemos las condiciones iniciales, de
y(0) = 2,
obtenemosc1 cos 0 + c2 sin 0 = 2,
c1 = 2.
Para imponer la segunda condición, necesitamos previamente calcular la derivadade la solución general
y0 = −4c1 sin 4x+ 4c2 cos 4x,
de la condicióny0(0) = −2,
obtenemos−4c1 sin 0 + 4c2 cos 0 = −2,
4c2 = −2,c2 = −1/2.
Solución del problema de valor inicial
y = 2 cos 4x− 12sin 4x. ¤
Ejercicio 4 Resuelve el problema de valor inicial⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩d2y
dx2−4dydx− 5y = 0,
y(1) = 0,y0(1) = 2.
EDO lineal homogénea con coeficientes constantes.Ecuación característica
m2 − 4m− 5 = 0,
m =4±√16 + 20
2=4±√36
2=4± 62
=
(102 = 5,
−22 = −1.
Solución generaly = c1e
5t + c2e−t, c1, c2 ∈ R.
Calculamosy0 = 5c1e
5t − c2e−t,e imponemos las condiciones iniciales; de
y(1) = 0,
obtenemosc1e
5 + c2e−1 = 0.
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior 10
Dey0(1) = 2,
resulta5c1e
5 − c2e−1 = 2.Tenemos el sistema ½
c1e5 + c2e
−1 = 0,5c1e
5 − c2e−1 = 2.Sumamos las ecuaciones y resulta
6c1e5 = 2,
c1 =2
6e5=
1
3e5.
Sustituimos enc1e
5 + c2e−1 = 0
y obtenemos1
3e5e5 + c2e
−1 = 0,
c2e−1 = −1
3,
c2 = −1
3e.
Solución del problema de valor inicial
y =1
3e5e5t − 1
3e · e−t.
Podemos reescribir la solución en la forma
y =1
3e5t−5 − 1
3e−t+1,
y =1
3e5(t−1) − 1
3e−(t−1). ¤
Ejercicio 5 Resuelve el problema de valor inicial½y00 + y0 + 2y = 0,y(0) = y0(0) = 0.
EDO lineal homogénea con coeficientes constantes.Ecuación característica
m2 +m+ 2 = 0,
m =−1±
√1− 8
2=−1±
√−7
2= −1
2±√7
2i.
Solución general
y = e−x2
"c1 cos
Ã√7
2x
!+ c2 sin
Ã√7
2x
!#, c1, c2 ∈ R.
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior 11
Dey(0) = 0,
obtenemose0 (c1 cos 0 + c2 sin 0) = 0
c1 = 0.
Como c1 = 0, sabemos que la solución es de la forma
y = e−x2 c2 sin
Ã√7
2x
!.
Calculamos
y0 = −12e−x/2c2 sin
Ã√7
2x
!+ e−x/2c2
√7
2cos
Ã√7
2x
!,
de la condicióny0(0) = 0,
obtenemos
−12e0c2 sin 0 + e
0c2
√7
2cos 0 = 0,
c2 = 0.
La solución esy(x) = 0.
Este resultado puede deducirse sin realizar ningún cálculo, ya que sabemos queel sistema tiene solución única y la función y(x) = 0 es solución. ¤
Ejercicio 6 Resuelve el problema de valor inicial⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩y000 + 12y00 + 36y0 = 0,y(0) = 0,y0(0) = 1,y00(0) = −7.
EDO lineal homogénea con coeficientes constantes.Ecuación característica
m3 + 12m2 + 36m = 0,
m¡m2 + 12m+ 36
¢= 0,
m2 + 12m+ 36 = (m+ 6)2.
Raíces de la ecuación característica
m = 0, m = −6 (doble).
Solución general
y = c1 + c2e−6x + c3xe
−6x, c1, c2, c3 ∈ R.
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior 12
Imponemos las condiciones iniciales. De
y(0) = 0,
obtenemosc1 + c2e
0 + c3 · 0 · e0 = 0,c1 + c2 = 0.
Calculamosy0 = −6c2e−6x + c3e−6x − 6c3xe−6x.
De la condicióny0(0) = 1,
resulta−6c2 + c3 = 1.
Calculamos
y00 = 36c2e−6x − 6c3e−6x − 6c3e−6x + 36c3xe−6x
= 36c2e−6x − 12c3e−6x + 36c3xe−6x.
De la condicióny00(0) = −7,
resulta36c2 − 12c3 = −7.
Tenemos el sistema ⎧⎨⎩ c1 + c2 = 0,−6c2 + c3 = 1,36c2 − 12c3 = −7.
Multiplicamos la 2a ecuación por 6 y la sumamos a la 3a⎧⎨⎩ c1 + c2 = 0,−6c2 + c3 = 1,−6c3 = −1,
resultac3 =
1
6.
Sustituimos en la 2a
−6c2 +1
6= 1,
−6c2 = 1−1
6=5
6,
c2 =−536.
Sustituimos en la 1a
c1 = −c2 =5
36.
Solución del problema de valor inicial
y =5
36− 5
36e−6x +
1
6xe−6x. ¤
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior 13
Ejercicio 7 Resuelve el problema de condiciones de contorno⎧⎨⎩ y00 − 10y0 + 25y = 0,y(0) = 1,y(1) = 0.
EDO lineal homogénea con coeficientes constantes.Ecuación característica
m2 − 10m+ 25 = 0,
m =10±
√100− 1002
= 5 (doble) .
Solución generaly = c1e
5x + c2xe5x, c1, c2 ∈ R.
Imponemos las condiciones de contorno½y(0) = 1,y(1) = 0.
y obtenemos el sistema ½c1 = 1,c1e
5 + c2e5 = 0,½
c1 = 1,c1 + c2 = 0,
c1 = 1, c2 = −1.Solución
y = e5x − xe5x.= e5x (1− x) . ¤
Ejercicio 8 Resuelve el problema de condiciones de contorno⎧⎨⎩ y00 + y = 0,y0(0) = 0,y0(π2 ) = 2.
Ecuación característicam2 + 1 = 0,
raícesm2 = −1,
m = ±√−1 = ±i.
Solución general
y = e0x (c1 cosx+ c2 sinx) ,
y = c1 cosx+ c2 sinx, c1, c2 ∈ R.
Calculamos y0
y0 = −c1 sinx+ c2 cosx
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior 14
e imponemos las condiciones de contorno½y0(0) = 0,y0(π2 ) = 2.
Obtenemos ½−c1 · 0 + c2 · 1 = 0,−c1 · 1 + c2 · 0 = 2,½
c2 = 0,−c1 = 2,½c1 = −2,c2 = 0.
La solución esy = −2 cosx. ¤
Ejercicio 9 Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales completas
1. y00 + y = secx.
2. y00 + y = cos2 x.
3. y00 − y = coshx.
4. y00 + 3y0 + 2y =1
1 + ex.
5. y00 + 3y0 + 2y = sin (ex) .
6. y00 + 2y0 + y = e−t ln t.
7. 3y00 − 6y0 + 6y = ex secx.
(9.1)y00 + y = secx.
Homogénea asociaday00 + y = 0,
ecuación característicam2 + 1 = 0,
m2 = −1,m = ±
√−1 = ±i.
Sistema fundamental de soluciones
y1 = cosx,
y2 = sinx.
Solución de la EDO homogénea
yh = c1 cosx+ c2 sinx, c1, c2 ∈ R.
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior 15
Solución particularyp = u1y1 + u2y2,
que verifica ½y1u
01 + y2u
02 = 0,
y01u01 + y
02u02 = f(x) = secx.
u01 =W1
W, u02 =
W2
W.
W =
¯̄̄̄y1 y2y01 y02
¯̄̄̄=
¯̄̄̄cosx sinx− sinx cosx
¯̄̄̄= cos2 x+ sin2 x = 1.
W1 =
¯̄̄̄0 y2f(x) y02
¯̄̄̄=
¯̄̄̄0 sinx
secx cosx
¯̄̄̄=
¯̄̄̄¯̄ 0 sinx
1
cosxcosx
¯̄̄̄¯̄ = − sinxcosx
.
W2 =
¯̄̄̄y1 0y01 f(x)
¯̄̄̄=
¯̄̄̄¯̄ cosx 0
− sinx 1
cosx
¯̄̄̄¯̄ = 1.
Determinamos u1(x)
u01 =W1
W= − sinx
cosx,
u1 =
Z − sinxcosx
dx = ln |cosx| .
Determinamos u2(x)
u02 =W2
W= 1,
u2 =
Zdx = x.
Solución particular de la EDO completa
yp = cosx ln |cosx|+ x sinx.
Solución general de la EDO completa
y = c1 cosx+ c2 sinx+ cosx ln |cosx|+ x sinx, c1, c2 ∈ R.
(9.2)y00 + y = cos2 x.
EDO lineal completa con coeficientes constantes. Homogénea asociada
y00 + y = 0,
ecuación característicam2 + 1 = 0,
m2 = −1,m = ±
√−1 = ±i.
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior 16
Sistema fundamental de soluciones
y1 = cosx,
y2 = sinx.
Solución general de la EDO homogénea asociada
yh = c1 cosx+ c2 sinx, c1, c2 ∈ R.
Solución particular de la EDO completa
yp = u1y1 + u2y2
que verifica ½y1u
01 + y2u
02 = 0,
y01u01 + y
02u02 = cos
2 x.
Wronskiano
W =
¯̄̄̄y1 y2y01 y02
¯̄̄̄=
¯̄̄̄cosx sinx− sinx cosx
¯̄̄̄= cos2 x+ sin2 x = 1,
W1 =
¯̄̄̄0 y2f(x) y02
¯̄̄̄=
¯̄̄̄0 sinx
cos2 x cosx
¯̄̄̄= − sinx cos2 x,
W2 =
¯̄̄̄y1 0y01 f(x)
¯̄̄̄=
¯̄̄̄cosx 0− sinx cos2 x
¯̄̄̄= cos3 x,
determinamos u1
u01 =W1
W=− sinx cos2 x
1= − sinx cos2 x,
u1 =
Z− sinx cos2 xdx =
Zcos2 x(− sinx) dx
=1
3cos3 x.
Determinamos u2u02 = cos
3 x,
u2 =
Zcos3 xdx =
Zcos2 x cosx dx
=
Z ¡1− sin2 x
¢cosxdx
=
Zcosx dx−
Zsin2 x cosx dx
= sinx− 13sin3 x.
Solución particular de la EDO completa
yp =
µ1
3cos3 x
¶cosx+
µsinx− 1
3sin3 x
¶sinx
=1
3cos4 x+ sin2 x− 1
3sin4 x.
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior 17
Solución general de la EDO completa
y = yh + yp = c1 cosx+ c2 sinx+1
3cos4 x+ sin2 x− 1
3sin4 x, c1, c2 ∈ R.
Podemos simplificar
1
3cos4 x+ sin2 x− 1
3sin4 x =
1
3
£cos4 x− sin4 x
¤+ sin2 x
=1
3
⎡⎢⎣¡cos2 x+ sin2 x¢| {z }=1
¡cos2 x− sin2 x
¢| {z }cos 2x
⎤⎥⎦+ sin2 x=
1
3cos 2x+ sin2 x
=1
3cos 2x+
1− cos 2x2
=1
2+1
3cos 2x− 1
2cos 2x
=1
2− 16cos 2x.
Finalmente
y = c1 cosx+ c2 sinx+1
2− 16cos 2x, c1, c2 ∈ R.
(9.3)y00 − y = coshx.
EDO lineal completa con coeficientes constantes. Homogénea asociada
y00 − y = 0,
ecuación característicam2 − 1 = 0,
raícesm = ±1,
sistema fundamental de soluciones
y1 = ex,
y2 = e−x.
Solución de la EDO homogénea
yh = c1ex + c2e
−x, c1, c2 ∈ R.
Solución particular de la EDO completa
yp = u1y1 + u2y2
con ⎧⎨⎩ y1u01 + y2u
02 = 0,
y01u01 + y
02u02 = coshx =
ex + e−x
2.
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior 18
u01 =W1
W, u02 =
W2
W.
Wronskiano
W =
¯̄̄̄y1 y2y01 y02
¯̄̄̄=
¯̄̄̄ex e−x
ex −e−x¯̄̄̄= −exe−x − exe−x
= −1− 1 = −2.
Calculamos
W1 =
¯̄̄̄0 y2f(x) y02
¯̄̄̄=
¯̄̄̄0 e−x
coshx −e−x¯̄̄̄= −e−x coshx
= −e−x ex + e−x
2= −1 + e
−2x
2.
Determinamos u1
u01 =W1
W=
³−1+e2x2
´−2 =
1 + e−2x
4,
u1 =1
4
Z ¡1 + e−2x
¢dx =
1
4x− 1
8e−2x.
Calculamos
W2 =
¯̄̄̄y1 0y01 f(x)
¯̄̄̄=
¯̄̄̄ex 0ex coshx
¯̄̄̄= ex coshx = ex
ex + e−x
2=e2x + 1
2,
determinamos u2
u02 =W2
W=
³e2x+12
´−2 = −1
4
¡e2x + 1
¢,
u2 =
Z µ−14
¶¡e2x + 1
¢dx = −1
4
µ1
2e2x + x
¶= −1
8e2x − 1
4x.
Solución particular de la EDO completa
yp =
µ1
4x− 1
8e−2x
¶ex +
µ−18e2x − x
4
¶e−x
=1
4xex − 1
8e−x − 1
8ex − x
4e−x.
Solución general de la EDO completa
y = c1ex + c2e
−x +1
4x¡ex − e−x
¢− 18
¡ex + e−x
¢, c1, c2 ∈ R.
Como
sinhx =ex − e−x
2, coshx =
ex + e−x
2,
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior 19
la solución puede reescribirse en la forma
y = c1ex + c2e
−x +1
2x sinhx− 1
4coshx.
(9.4)
y00 + 3y0 + 2y =1
1 + ex.
EDO lineal completa con coeficientes constantes. Homogénea asociada
y00 + 3y0 + 2y = 0,
ecuación característicam2 + 3m+ 2 = 0,
raíces
m =−3±
√9− 8
2=−3± 12
=
⎧⎨⎩−3+12 = −1,
−3−12 = −2.
Sistema fundamental de soluciones
y1 = e−x,
y2 = e−2x.
Solución general de la EDO homogénea
yh = c1e−x + c2e
−2x, c1, c2 ∈ R.
Solución particular de la EDO completa
yp = u1y1 + u2y2,
que verifica (y1u
01 + y2u
02 = 0,
y01u01 + y
02u02 = f(x) =
1
1 + ex.
Wronskiano
W =
¯̄̄̄y1 y2y01 y02
¯̄̄̄=
¯̄̄̄e−x e−2x
−e−x −2e−2x¯̄̄̄
= e−x(−2)e−2x + e−xe−2x = −2e3x + e−3x
= −e−3x.
También puede calcularse como sigue
W =
¯̄̄̄e−x e−2x
−e−x −2e−2x¯̄̄̄= e−xe−2x
¯̄̄̄1 1−1 −2
¯̄̄̄= e−3x(−2 + 1)
= −e−3x.
Calculamos
W1 =
¯̄̄̄0 y2f(x) y02
¯̄̄̄=
¯̄̄̄0 e−2x1
1+ex −2e−2x¯̄̄̄
=−e−2x1 + ex
,
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior 20
determinamos u1
u01 =W1
W=
³−e−2x1+ex
´−e−3x =
e−2x
(1 + ex) e−3x=
ex
1 + ex,
u1 =
Zex
1 + exdx = ln (1 + ex) .
Calculamos
W2 =
¯̄̄̄y1 0y01 f(x)
¯̄̄̄=
¯̄̄̄e−x 0−e−x 1
1+ex
¯̄̄̄=
e−x
ex + 1,
determinamos u2
u02 =W2
W=
³e−x
ex+1
´−e−3x =
−1e−2x (ex + 1)
= − e2x
ex + 1.
u2 = −Z
e2x
ex + 1dx.
Realizamos el cambio de variable
ex = tdt = ex dxdx = 1
t dt
⎫⎬⎭⇒ −Z
e2x
ex + 1dx = −
Zt2
t+ 1· 1tdt
= −Z
t dt
t+ 1= −
Zt+ 1− 1t+ 1
dt
= −Z µ
1− 1
t+ 1
¶dt = −t+ ln(t+ 1)
= −ex + ln (ex + 1) .
Solución particular de la EDO completa
yp = e−x ln (1 + ex) + e−2x (−ex + ln (ex + 1))= e−x ln (1 + ex)− e−x + e−2x ln (ex + 1)= −e−x +
¡e−x + e−2x
¢ln (ex + 1) .
Solución general de la EDO completa
y = c1e−x + c2e
−2x − e−x +¡e−x + e−2x
¢ln (ex + 1) , c1, c2 ∈ R.
Podemos reescribir la solución en la forma
y = e−x (c1 − 1) + c2e−2x +¡ex + e−2x
¢ln (ex + 1)
= c01e−x + c2e
−2x +¡e−x + e−2x
¢ln (ex + 1) .
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior 21
con c01 = (c1 − 1) , resulta
y = c01e−x + c2e
−2x +¡e−x + e−2x
¢ln (ex + 1) , c01, c2 ∈ R
(9.5)y00 + 3y0 + 2y = sin (ex) .
EDO lineal completa con coeficientes constantes.EDO homogénea asociada
y00 + 3y0 + 2y = 0,
ecuación característicam2 + 3m+ 2 = 0,
raíces
m =−3±
√9− 8
2=−3± 12
=
⎧⎨⎩−3+12 = −1,
−3−12 = −42 = −2.
Sistema fundamental de soluciones
y1 = e−x,
y2 = e−2x.
Solución general de la EDO homogénea
yh = c1e−x + c2e
−2x, c1, c2 ∈ R.
Solución particular de la EDO completa
yp = u1y1 + u2y2,
que verifica ½y1u
01 + y2u
02 = 0,
y01u01 + y
02u02 = f(x) = sin (e
x) .
Wronskiano
W =
¯̄̄̄y1 y2y01 y02
¯̄̄̄=
¯̄̄̄e−x e−2x
−e−x −2e−2x¯̄̄̄
= −2e−3x + e−3x = −e−3x.
Calculamos
W1 =
¯̄̄̄0 y2f(x) y02
¯̄̄̄=
¯̄̄̄0 e−2x
sin ex −2e−2x¯̄̄̄= −e−2x sin (ex) ,
determinamos u1
u01 =W1
W=−e−2x sin (ex)−e−3x =
sin (ex)
e−x
= sin (ex) · ex,
u1 =
Zsin (ex) ex dx.
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior 22
Con el cambio ½t = ex,dt = ex dx,
resulta
u1 =
Zsin t dt = − cos t,
u1 = − cos (ex) .
Calculamos
W2 =
¯̄̄̄y1 0y01 f(x)
¯̄̄̄=
¯̄̄̄e−x 0−e−x sin (ex)
¯̄̄̄= e−x sin (ex) ,
determinamos u2
u02 =W2
W=e−x sin (ex)
−e−3x =− sin (ex)e−2x
,
u02 = −e2x sin (ex) ,
u2 = −Ze2x sin (ex) dx.
Con el cambio ½t = ex,dt = ex dx,
resulta
u2 = −Zt sin t dt = −
µ−t cos t+
Zcos t dt
¶,
u2 = − (−t cos t+ sin t) ,= t cos t− sin t,
deshacemos el cambio
u2 = ex cos (ex)− sin (ex) .
La solución particular de la EDO completa es
yp = − (cos ex) e−x + (ex cos (ex)− sin (ex)) e−2x
= −e−x cos (ex) + e−x cos (ex)− e−2x sin (ex)= −e−2x sin (ex) .
Solución general de la EDO completa
y = c1e−x + c2e
−2x − e−2x sin (ex) , c1, c2 ∈ R.
(9.6)y00 + 2y0 + y = e−t ln t.
EDO lineal completa con coeficientes constantes. La EDO homogénea asociadaes
y00 + 2y0 + y = 0,
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior 23
ecuación característicam2 + 2m+ 1 = 0,
raíces
m =−2±
√4− 4
2= −1 (doble) .
Sistema fundamental de soluciones
y1 = e−t,
y2 = t e−t.
Solución general de la EDO homogénea asociada
yh = c1e−t + c2te
−2t. c1, c2 ∈ R.
Solución particular de la EDO completa
yp = u1y1 + u2y2,
que verifica ½y1u
01 + y2u
02 = 0,
y01u01 + y
02u02 = f(t) = e
−t ln t.
Wronskiano
W =
¯̄̄̄y1 y2y01 y02
¯̄̄̄=
¯̄̄̄e−t te−t
−e−t e−t − te−t¯̄̄̄
= e−t(e−t − te−t) + te−2t
= e−2t − te−2t + te−2t = e−2t.
Calculamos
W1 =
¯̄̄̄0 y2f(t) y02
¯̄̄̄=
¯̄̄̄0 te−t
e−t ln t (1− t)e−t¯̄̄̄
= −¡e−t ln t
¢ ¡te−t
¢= −e−2tt ln t.
Determinamos u1
u01 =W1
W=−e−2tt ln te−2t
= −t ln t,
u1 =
Z(−t ln t) dt = −
µt2
2ln t−
Z1
2t2 · 1
tdt
¶= −
µt2
2ln t− 1
2
Zt dt
¶= − t
2
2ln t+
1
4t2.
Calculamos
W2 =
¯̄̄̄y1 0y01 f(t)
¯̄̄̄=
¯̄̄̄e−t 0−e−t e−t ln t
¯̄̄̄= e−2t ln t.
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior 24
Determinamos u2
u02 =W2
W=e−2t ln t
e−2t= ln t,
u2 =
Zln t dt = t ln t−
Zt · 1tdt
= t ln t−Zdt
= t ln t− t.
Solución particular de la EDO completa
yp = e−tµ− t
2
2ln t+
1
4t2¶+ te−t (t ln t− t)
= e−tµ− t
2
2ln t+
1
4t2 + t2 ln t− t2
¶= e−t
µt2
2ln t− 3
4t2¶.
Solución general de la EDO completa
y = c1e−t + c2te
−t + e−tµt2
2ln t− 3
4t2¶, c1, c2 ∈ R.
(9.7)3y00 − 6y0 + 6y = ex secx.
EDO lineal completa con coeficientes constantes, la forma estándar es
y00 − 2y0 + 2y = 1
3ex secx.
Ecuación homogénea asociada
y00 − 2y0 + 2y = 0,
ecuación característicam2 − 2m+ 2 = 0,
raíces
m =2±√4− 82
=2±√−4
2=2± 2i2
,
m = 1± i.
Tenemos un par de raíces complejas conjugadas, el sistema fundamental desoluciones es
y1 = ex cosx,
y2 = ex sinx.
Solución general de la EDO homogénea
y = c1ex cosx+ c2e
x sinx, c1, c2 ∈ R.
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior 25
Solución particular de la EDO completa
yp = u1y1 + u2y2,
que verifica ½y1u
01 + y2u
02 = 0,
y01u01 + y
02u02 = f(x) =
13ex secx.
Wronskiano
W =
¯̄̄̄y1 y2y01 y02
¯̄̄̄=
¯̄̄̄ex cosx ex sinx
ex cosx− ex sinx ex sinx+ ex cosx
¯̄̄̄= e2x
¡cosx sinx+ cos2 x
¢− e2x
¡cosx sinx− sin2 x
¢= e2x
¡cosx sinx+ cos2 x− cosx sinx+ sin2 x
¢= e2x
¡sin2 x+ cos2 x
¢= e2x.
Calculamos
W1 =
¯̄̄̄0 y2f(x) y02
¯̄̄̄=
¯̄̄̄0 ex sinx
13ex secx ex (sinx+ cosx)
¯̄̄̄= −1
3e2x sinx · secx = −1
3e2x sinx
1
cosx
= −13e2x
sinx
cosx,
determinamos u1
u01 =W1
W=−13e2x
¡sinxcosx
¢e2x
= −13
sinx
cosx
u1 =1
3
Z − sinxcosx
dx =1
3ln | cosx|.
Calculamos
W2 =
¯̄̄̄y1 0y01 f(x)
¯̄̄̄=
¯̄̄̄ex cosx 0
ex (cosx− sinx) 13ex secx
¯̄̄̄=
1
3e2x cosx · secx = 1
3e2x cosx
1
cosx=1
3e2x.
Determinamos u2
u02 =W2
W=
13e2x
e2x= 1/3,
u2 =1
3
Zdx = x/3.
Solución particular de la EDO completa
yp =
µ1
3ln |cosx|
¶ex cosx+
x
3ex sinx.
Solución general de la EDO completa
y = c1ex cosx+ c2e
x sinx+1
3ex cosx ln |cosx|+ 1
3xex sinx, c1, c2 ∈ R.
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior 26
Ejercicio 10 Resuelve el problema de valor inicial⎧⎨⎩ 4y00 − y = x ex/2,y(0) = 1,y0(0) = 0.
Se trata de una EDO lineal completa de segundo orden con coeficientes con-stantes, escribimos la ecuación en forma estándar
y00 − 14y =
1
4xex/2.
Homogénea asociada
y00 − 14y = 0,
ecuación característicam2 − 1
4= 0,
raícesm2 =
1
4,
m = ±12.
Sistema fundamental de soluciones
y1 = e12x,
y2 = e−x/2.
Solución general de la EDO homogénea
y = c1ex/2 + c2e
−x/2, c1, c2 ∈ R.
Solución particular de la EDO completa
yp = u1y1 + u2y2,
que verifica ½y1u
01 + y2u
02 = 0,
y01u01 + y
02u02 = f(x) =
14xe
x/2.
Wronskiano
W =
¯̄̄̄y1 y2y01 y02
¯̄̄̄=
¯̄̄̄ex/2 e−x/212ex/2 −12e−x/2
¯̄̄̄= −1
2− 12= −1.
Calculamos
W1 =
¯̄̄̄0 y2f(x) y02
¯̄̄̄=
¯̄̄̄0 e−x/2
14xe
x/2 −12e−x/2¯̄̄̄
= −14xex/2e−x/2 = −1
4x.
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior 27
Determinamos u1
u01 =W1
W=−14x(−1) =
1
4x,
u1 =
Z1
4x dx =
1
8x2.
Calculamos
W2 =
¯̄̄̄y1 0y01 f(x)
¯̄̄̄=
¯̄̄̄ex/2 012ex/2 1
4xex/2
¯̄̄̄= ex/2
1
4xex/2 =
1
4x ex.
Determinamos u2
u02 =W2
W=
14xe
x
−1 = −14xex,
u2 =
Z µ−14xex
¶dx = −1
4
Zxex dx =
−14(x− 1) ex = 1
4(1− x) ex.
Solución particular de la EDO completa
yp =
µ1
8x2¶ex/2 +
(1− x)4
ex · e−x/2
=
µ1
8x2 − x
4+1
4
¶ex/2.
Solución general de la EDO completa
y = c1ex/2 + c2e
−x/2 +
µ1
8x2 − x
4+1
4
¶ex/2, c1, c2 ∈ R.
Imponemos las condiciones iniciales½y(0) = 1,y0(0) = 0.
De la condicióny(0) = 1
resultac1 + c2 +
1
4= 1,
c1 + c2 = 3/4.
Calculamos
y0 =1
2c1e
x/2 − 12c2e−x/2 +
µ1
4x− 1
4
¶ex/2 +
µ1
8x2 − x
4+1
4
¶1
2ex/2
e imponemos la condicióny0(0) = 0,
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior 28
resulta1
2c1 −
1
2c2 −
1
4+1
8= 0,
1
2c1 −
1
2c2 −
1
8= 0,
c1 − c2 =1
4.
Resolvemos el sistema ½c1 + c2 = 3/4,c1 − c2 = 1/4.
Sumando, resulta
2c1 = 1,
c1 = 1/2.
Restando, la 2a ecuación a la 1a, obtenemos
2c2 = 1/2,
c2 = 1/4.
La solución del problema de valor inicial es
y =1
2ex/2 +
1
4e−x/2 +
µ1
8x2 − x
4+1
4
¶ex/2
=3
4ex/2 +
1
4e−x/2 +
µ1
8x2 − x
4
¶ex/2. ¤
Ejercicio 11 Resuelve el problema de valor inicial⎧⎨⎩ y00 + 2y0 − 8y = 2e−2x − e−x,y(0) = 1,y0(0) = 0.
EDO lineal completa de segundo orden con coeficientes constantes. La ho-mogénea asociada es
y00 + 2y0 − 8y = 0.Ecuación característica
m2 + 2m− 8 = 0,raíces
m =−2±
√4 + 32
2=−2± 62
=
⎧⎨⎩−2+62 = 2,
−2−62 = −4.
Sistema fundamental de soluciones
y1 = e2x,
y2 = e−4x.
Solución general de la EDO homogénea
y = c1e2x + c2e
−4x, c1, c2 ∈ R.
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior 29
Solución particular de la EDO completa
yp = u1y1 + u2y2,
que verifica ½y1u
01 + y2u
02 = 0,
y01u01 + y
02u02 = f(x) = 2e
−2x − e−x.Wronskiano
W =
¯̄̄̄y1 y2y01 y02
¯̄̄̄=
¯̄̄̄e2x e−4x
2e2x −4e−4x¯̄̄̄
= −4e−2x − 2e−2x = −6e−2x.
Calculamos
W1 =
¯̄̄̄0 y2f(x) y02
¯̄̄̄=
¯̄̄̄0 e−4x
2e−2x − e−x −4e−4x¯̄̄̄
= −e−4x¡2e−2x − e−x
¢.
Determinamos u1
u01 =W1
W=−e−4x
¡2e−2x − e−x
¢−6e−2x
=1
6e−2x
¡2e−2x − e−x
¢=
1
6
¡2e−4x − e−3x
¢=1
3e−4x − 1
6e−3x.
u1 =
Z µ1
3e−4x − 1
6e−3x
¶dx
= − 112e−4x +
1
18e−3x.
Calculamos
W2 =
¯̄̄̄y1 0y01 f(x)
¯̄̄̄=
¯̄̄̄e2x 02e2x 2e−2x − e−x
¯̄̄̄= e2x
¡2e−2x − e−x
¢= 2− ex,
y determinamos u2
u02 =W2
W=2− ex−6e−2x =
µ−16
¶e2x (2− ex)
= −16
¡2e2x − e3x
¢= −1
3e2x +
1
6e3x,
u2 =
Z µ−13e2x +
1
6e3x¶dx,
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior 30
u2 = −1
6e2x +
1
18e3x.
Solución particular de la EDO completa
yp =
µ− 112e−4x +
1
18e−3x
¶e2x +
µ−16e2x +
1
18e3x¶e−4x
= − 112e−2x +
1
18e−x − 1
6e−2x +
1
18e−x
=−312e−2x +
2
18e−x
=−14e−2x +
1
9e−x.
Solución general de la EDO completa
y = c1e2x + c2e
−4x − 14e−2x +
1
9e−x, c1, c2 ∈ R.
Imponemos la condicióny(0) = 1
y resulta
c1 + c2 −1
4+1
9= 1,
c1 + c2 +−9 + 436
= 1,
c1 + c2 −5
36= 1,
c1 + c2 = 1 +5
36=41
36.
Calculamosy0 = 2c1e
2x − 4c2e−4x +1
2e−2x − 1
9e−x
e imponemos la condicióny0(0) = 0,
resulta2c1 − 4c2 +
1
2− 19= 0,
2c1 − 4c2 +9− 218
= 0,
2c1 − 4c2 +7
18= 0,
2c1 − 4c2 = −7/18,
c1 − 2c2 =−736.
Resolvemos el sistema ⎧⎪⎨⎪⎩c1 + c2 =
41
36,
c1 − 2c2 =−736.
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior 31
Restamos la 2a ecuación a la 1a
3c2 =48
36=4 · 123 · 12 =
4
3,
c2 =4
9.
Sustituimos en la 1a ecuación
c1 +4
9=41
36,
c1 =41
36− 49=41− 1636
=25
36.
Solución del problema de valor inicial
y =25
36e2x +
4
9e−4x − 1
4e−2x +
1
9e−x. ¤
Ejercicio 12 Resuelve la EDO y000 + y0 = tanx.
EDO lineal completa de tercer orden con coeficientes constantes. La EDO ho-mogénea asociada es
y000 + y0 = 0.
Ecuación característicam3 +m = 0,
m¡m2 + 1
¢= 0,
raícesm = 0, m = ±i.
Sistema fundamental de soluciones
y1 = 1,
y2 = cosx,
y3 = sinx.
Solución general de la EDO homogénea
yh = c1 + c2 cosx+ c3 sinx, c1, c2, c3 ∈ R.
Solución particular de la EDO completa
yp = u1y1 + u2y2 + u3y3,
que verifica ⎧⎨⎩ y1u01 + y2u
02 + y3u
03 = 0,
y01u01 + y
02u02 + y
03u03 = 0,
y001u01 + y
002u
02 + y
003u
03 = f(x) = tanx.
Wronskiano¯̄̄̄¯̄ y1 y2 y3y01 y02 y03y001 y002 y003
¯̄̄̄¯̄ =
¯̄̄̄¯̄ 1 cosx sinx0 − sinx cosx0 − cosx − sinx
¯̄̄̄¯̄ = ¯̄̄̄ − sinx cosx
− cosx − sinx
¯̄̄̄,
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior 32
W = sin2 x+ cos2 x = 1.
Calculamos
W1 =
¯̄̄̄¯̄ 0 y2 y3
0 y02 y03f(x) y002 y003
¯̄̄̄¯̄ =
¯̄̄̄¯̄ 0 cosx sinx
0 − sinx cosxtanx − cosx − sinx
¯̄̄̄¯̄
= tanx
¯̄̄̄cosx sinx− sinx cosx
¯̄̄̄= tanx
¡cos2 x+ sin2 x
¢= tanx.
Determinamos u1u01 = tanx,
u1 =
Zsinx
cosxdx = − ln |cosx| .
Calculamos
W2 =
¯̄̄̄¯̄ y1 0 y3y01 0 y03y001 f(x) y003
¯̄̄̄¯̄ =
¯̄̄̄¯̄ 1 0 sinx0 0 cosx0 tanx − sinx
¯̄̄̄¯̄
=
¯̄̄̄0 cosx
tanx − sinx
¯̄̄̄= − tanx cosx = − sinx.
Determinamos u2
u02 =W2
W= − sinx,
u2 =
Z(− sinx) dx = cosx.
Calculamos W3
W3 =
¯̄̄̄¯̄ y1 y2 0y01 y02 0y001 y002 f(x)
¯̄̄̄¯̄ =
¯̄̄̄¯̄ 1 cosx 00 − sinx 00 − cosx tanx
¯̄̄̄¯̄ = − sinx tanx
= −sin2 x
cosx.
Determinamos u3
u03 =W3
W=− sin2 xcosx
u3 =
Z − sin2 xcosx
dx =
=
Z(− sinx) tanxdx.
Integramos por partes
u = tanx du = sec2 x dxdv = − sinx dx v = cosx
¶
Ejercicios resueltos: EDO’s de orden superior 33
u3 = cosx tanx−Zcosx sec2 xdx
= sinx−Z
1
cosxdx = sinx−
Zsecx dx
= sinx− ln |secx+ tanx| .
Recordamos el cálculo de la primitiva de secxZsecxdx =
Zsecx
secx+ tanx
secx+ tanxdx
=
Zsec2 x+ secx tanx
secx+ tanxdx,
comod
dxsecx = secx tanx,
d
dxtanx = sec2 x,
resulta Zsecxdx = ln |secx+ tanx| .
Finalmente, la solución particular de la EDO completa es
yp = − ln |cosx| · 1 + cosx · cosx+ (sinx− ln |secx+ tanx|) sinx= − ln |cosx|+ cos2 x+ sin2 x− sinx ln |secx+ tanx|= 1− ln |cosx|− sinx ln |secx tanx| .
Solución general de la EDO completa
y = c1 + c2 cosx+ c3 sinx+ 1− ln |cosx|− sinx ln |secx tanx| .
Finalmente, podemos incluir el 1 con la constante c1
y = c01 + c2 cosx+ c3 sinx+ ln |cosx|− sinx ln |secx tanx| . ¤
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