Ing. Gastón Bonet - Ing. Cristian Bottero - Ing. Marco Fontana
Estructuras de Materiales Compuestos
Mecánica de lámina
Constantes de ingeniería
2
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de lámina
Definición
Son constantes elásticas de un material, independientes que pueden ser utilizados para determinar la matriz rigidez o flexibilidad del mismo.
Se desprenden directamente de ensayos normalizados.
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Módulo de elasticidad
3
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de lámina
• Si y sólo si el material esta sometido a un estado uniaxial detensión normal si en la dirección i
• ei es la deformación normal en la dirección i
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
i
ii
i
Es
e
L L
xs
L
xs
x
L
Le
Módulo de corte
4
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de lámina
• Si y sólo si el material esta sometido a un estado de cortepuro tij en el plano ij.
• gij es la deformación por corte ingenieril en el plano ij
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
ij
ij
ij
Gt
g
xyt
2xy xy g e
Coeficientes de Poisson
5
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de lámina
• Si y sólo si el material esta sometido a un estado uniaxial detensión normal si en la dirección i.
• ei y ej son las deformaciones normales en las direcciones i yj respectivamente.
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
j
ij
i
eu
e
x
L
Le
y
W
We
L L
xs
L
W
W W
xs
Caracterización del material
6
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de lámina
La cantidad de constantes necesarias para definir lasrelaciones constitutivas dependen de las características delmaterial.
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Tipo de Material N
Generalmente anisótropo 21
Generalmente ortótropo 13
Especialmente ortótropo 9
Transversalmente isótropo 5
Especialmente ortótropo transversalmente isótropo (sólo
considerando tensiones y deformaciones en el plano)4
Isótropo 2
Caracterización del material
7
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de lámina
Estas constantes adquieren mayor sentido físico cuando las expresamos en función de constantes de ingeniería.
Recordando la matriz para un material especialmente ortótropo:
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
1 11 12 13 1
2 21 22 23 2
3 31 32 33 3
4 44 4
5 55 5
6 66 6
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
S S S
S S S
S S S
S
S
S
e s
e s
e s
g t
g t
g t
Matriz flexibilidad
Ensayo mental - Axil
8
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de lámina
Si imaginamos que el material esta sometido a un estado uniaxial de tensión s1
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
1 11 12 13 1
2 21 22 23
3 31 32 33
4 44
5 55
6 66
0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
S S S
S S S
S S S
S
S
S
e s
e
e
g
g
g
Ensayo mental - Axil
9
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de lámina
Escribiendo explícitamente las 6 ecuaciones y despejando
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
0
0
0
6
5
4
1313
1212
1111
g
g
g
se
se
se
S
S
S
1
331
1
221
1
111
s
e
s
e
s
e
S
S
S
Ensayo mental - Axil
10
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de lámina
Recordando las definiciones de las constantes de ingeniería y considerando que el estado es uniaxial en x:
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
11
11
1S
E 12
21
11
SE
u 13
31
11
SE
u
Análogamente, si se realizan los ensayos en x e y, se obtiene
21
12
22
SE
u 22
22
1S
E 23
32
22
SE
u
31
13
33
SE
u 32
23
33
SE
u 33
33
1S
E
Ensayo mental - Corte
11
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de lámina
Si imaginamos que el material está sometido a un estado corte puro t4
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
1 11 12 13
2 21 22 23
3 31 32 33
4 44 4
5 55
6 66
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
S S S
S S S
S S S
S
S
S
e
e
e
g t
g
g
Ensayo mental - Corte
12
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de lámina
Escribiendo explícitamente las 6 ecuaciones y despejando
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
0
0
0
0
0
6
5
4444
3
2
1
g
g
tg
e
e
e
S
4
44
4
Sg
t
Ensayo mental - Axil
13
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de lámina
Recordando las definiciones de las constantes de ingeniería y considerando que el estado es de corte puro en el plano 23:
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Analogamente, si se realiza el mismo ensayo en los planos 13 y 12
44
23
1S
G
55
13
1S
G
66
12
1S
G
Matriz flexibilidad
14
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de lámina
Introduciendo los resultados en la matriz flexibilidad
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
3121
1 2 3
3212
1 11 2 3
2 213 23
3 31 2 3
4 4
235 5
6 6
13
12
10 0 0
10 0 0
10 0 0
10 0 0 0 0
10 0 0 0 0
10 0 0 0 0
E E E
E E E
E E E
G
G
G
uu
uu
e s
e su u
e s
g t
g t
g t
Matriz flexibilidad
15
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de lámina
De la simetría de la matriz se obtienen las siguientes relaciones:
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
12 21
1 2E E
u u
13 31
1 3E E
u u
23 32
2 3E E
u u
ij ji
i jE E
u u
Matriz rigidez
16
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de lámina
Invirtiendo la matriz flexibilidad se obtiene la matriz rigidez expresada en función de las constantes de ingeniería
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
23 32 12 13 32 31 21 32
2 3 1 3 2 3
1
12 13 32 13 31 23 21 13
2
1 3 1 3 1 2
3
31 21 32 23 21 13 12 21
4
2 3 1 2 1 2
5
23
6
13
12
10 0 0
10 0 0
10 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
E E E E E E
E E E E E E
E E E E E E
G
G
G
u u u u u u u u
su u u u u u u u
s
su u u u u u u u
t
t
t
1
2
3
4
5
6
e
e
e
g
g
g
21 31
12 32
1 2 3
13 23
11
1
1E E E
u u
u u
u u
donde
Tensión plana
17
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de lámina
Recordando la hipótesis de tensión plana en el plano 12para láminas delgadas, podemos reducir las dimensiones de la matriz flexibilidad:
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
3121
1 2 3
3212
1 11 2 3
2 213 23
3 1 2 3
4
235
6 6
13
12
10 0 0
10 0 0
10 0 0
0
010 0 0 0 0
0
10 0 0 0 0
10 0 0 0 0
E E E
E E E
E E E
G
G
G
uu
uu
e s
e su u
e
g
g
g t
Tensión plana
18
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de lámina
Explícitamente
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
21
1 1 2
1 2
12
2 1 2
1 2
13 23
3 1 2
1 2
4
5
6
6
12
1
1
0
0
E E
E E
E E
G
ue s s
ue s s
u ue s s
g
g
tg
21
1 1 2
1 2
12
2 1 2
1 2
6
6
12
1
1
E E
E E
G
ue s s
ue s s
tg
Las tensiones y deformaciones en el plano son independientes de las deformaciones fuera del plano.
Tensión plana - flexibilidad
19
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de lámina
En forma matricial
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
21
1 2
1 1
12
2 2
1 2
6 6
12
10
10
10 0
E E
E E
G
u
e su
e s
g t
12 21
1 2E E
u u
' 'Se s
4 constantes elásticas independientes que caracterizan la lámina en su plano
donde
Tensión plana - rigidez
20
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de lámina
Invirtiendo la matriz flexibilidad reducida, se obtiene una matriz rigidez mucho más sencilla que la completa
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
4 constantes elásticas independientes que caracterizan la lámina en su plano
1 12 2
12 21 12 21
1 1
12 2 2
2 2
12 21 12 21
6 6
12
01 1
01 1
0 0
E E
E E
G
u
u u u us e
us e
u u u ut g
' 'Qs e
1
Q S
Tensión plana - rigidez
21
Ejemplo
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de lámina
1
2
12
12
160
8
4.5
0.3
E GPa
E GPa
G GPa
u
Tensión plana - rigidez
22
Ejemplo
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de lámina
1
2
12
12
160
8
4.5
0.3
E GPa
E GPa
G GPa
u
015.01
21221
E
Euu
GPaGPaQ
5,400
004,841,2
041,272,160
5,400
0015,03,01
8
015,03,01
160015,0
0015,03,01
83,0
015,03,01
160
Nomenclatura
23Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de lámina
1
x
y
2z=3
q
6
2
1
'
t
s
s
s
xy
y
x
t
s
s
s
Vector de tensiones en el sistema 123
Vector de tensiones en el sistema XYZ
Nomenclatura
24Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de lámina
2 2
1
2 2
2
2 2
6
2
2
x
y
xy
m n mn
n m mn
mn mn m n
s s
s s
t t
1
x
y
2z=3
q
' Ts q s
q
q
senn
m cos
Nomenclatura
25Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de lámina
6
2
1
'
g
e
e
e
xy
y
x
g
e
e
e
6
2
1
*'
e
e
e
e
xy
y
x
e
e
e
e *
Vector de deformaciones
ingenieriles en el sistema 123
Vector de deformaciones
ingenieriles en el sistema XYZ
Vector de deformaciones
tensoriales en el sistema 123
Vector de deformaciones
tensoriales en el sistema XYZ
Matriz R
26Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de lámina
1 1
2 2
6 6
' * '
1 0 0
0 1 0
0 0 2
Re e
e e
e e
g e
1
*
1 0 0
0 1 0
0 0 1/ 2
x x
y y
xy xy
Re e
e e
e e
e g
1
1 1
2 2
6 6
* ' '
1 0 0
0 1 0
0 0 1/ 2
Re e
e e
e e
e g
*
1 0 0
0 1 0
0 0 2
x x
y y
xy xy
Re e
e e
e e
g e
Podemos definir una matriz R que transforme las deformaciones de tensoriales a ingenieriles
Nomenclatura
27Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de lámina
1
x
y
2z=3
q
2 2
1
2 2
2
2 2
6
2
2
x
y
xy
m n mn
n m mn
mn mn m n
e e
e e
e e
q
q
senn
m cos
* ' *Te q e
Transformación de coordenadas
28
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de lámina
Ya sea a través de ensayos o de estimaciones micromecánicas, podemos caracterizar el comportamiento de la lámina en sus ejes principales
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
En un laminado, nos interesa saber el comportamiento observado en el sistema XYZ del laminado. En este sistema, el material no es especialmente ortótropo.
1
x
y
2z=3
q
6
2
1
66
2212
1211
6
2
1
00
0
0
g
e
e
t
s
s
Q
Transformación de coordenadas
29
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de lámina
De acuerdo a la nomenclatura adoptada
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
' 'Qs e
1 12 2
12 21 12 21
12 2 2
12 21 12 21
12
01 1
01 1
0 0
E E
E EQ
G
u
u u u u
u
u u u u
Sistema 123 Deformaciones ingenieriles Sistema 123
1
x
y
2z=3
q
Qs e ?Sistema XYZ Deformaciones
ingenieriles Sistema XYZ
Transformación de coordenadas
30Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de lámina
' 'Qs e
1
' R T Re q e
' Ts q s
' Ts q s
' * 'Re e
* ' *Te q e
1
* Re e
Transformación de coordenadas
31Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de lámina
' 'Qs e
1
T Q R T Rq s q e
1 1
T Q R T Rs q q e
1 1
Q T Q R T Rq q
Qs e
Reemplazando las expresiones obtenidas para la tensión y la deformación
Premultiplicando por la inversa de la matriz T(q)
Recordando que
Transformación de coordenadas
32Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de lámina
4 4 2 2 2 2
11 22 12 66
4 4 2 2 2 2
11 22 12 66
2 2 2 2 4 4 2 2
11 22 12 66
22 2 2 2 2 2 2 2
11 22 12 66
3 3 3 3 3 3
11 22 12 66
3 3 3
11 22
2 4
2 4
4
2
xx
yy
xy
ss
xs
ys
Q m Q n Q m n Q m n Q
Q n Q m Q m n Q m n Q
Q m n Q m n Q m n Q m n Q
Q m n Q m n Q m n Q m n Q
Q m nQ mn Q mn m n Q mn m n Q
Q mn Q m nQ m
3 3 3
12 66n mn Q m n mn Q
xx xy xs
xy yy ys
xs ys ss
Q Q Q
Q Q Q Q
Q Q Q
1 1
Q T Q R T Rq q
q
q
senn
m cos
Transformación de coordenadas
33
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de lámina
Se puede realizar el mismo análisis con la matriz flexibilidad
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
21
1 2
12
1 2
12
10
10
10 0
E E
SE E
G
u
u
1 1
S R T R S Tq q
Se s
' 'Se s
Transformación de coordenadas
34Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de lámina
4 4 2 2 2 2
11 22 12 66
4 4 2 2 2 2
11 22 12 66
2 2 2 2 4 4 2 2
11 22 12 66
22 2 2 2 2 2 2 2
11 22 12 66
3 3 3 3 3 3
11 22 12 66
3 3
11 2
2
2
4 4 8
2 2 2
2 2
xx
yy
xy
ss
xs
ys
S m S n S m n S m n S
S n S m S m n S m n S
S m n S m n S m n S m n S
S m n S m n S m n S m n S
S m nS mn S mn m n S mn m n S
S mn S m nS
3 3 3 3
2 12 662 m n mn S m n mn S
xx xy xs
xy yy ys
xs ys ss
S S S
S S S S
S S S
1 1
S R T R S Tq q
q
q
senn
m cos
Transformación de coordenadas
35
Ejemplo
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de lámina
Calcule las matrices Q de una lámina unidireccional calculada anteriormente, orientada 45° y -45° respecto al eje Xde un laminado siendo
GPaQ
5,400
004,841,2
041,272,160
Transformación de coordenadas
36
Ejemplo
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de lámina
1 1
Q T Q R T Rq q
2 2
2 2
2 2
2
2
m n mn
T n m mn
mn mn m n
q
1cos 45º
2
145º
2
m
n sen
45ºq
1 1 12 2
1 145 12 2
1 1 02 2
T
1
1 1 12 2
1 145 45 12 2
1 1 02 2
T T
Transformación de coordenadas
37
Ejemplo
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de lámina
1 1
4545 45Q T Q R T R
GPa
GPaQ
412,382,38
2,389,479,38
2,389,389,47
2100
010
001
02121
12121
12121
200
010
001
5,400
004,841,2
041,272,160
02121
12121
12121
45
Transformación de coordenadas
38
Ejemplo
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de lámina
Para la lámina -45°, puedo utilizar las propiedades de la matriz transformación e invertir las posiciones de la matriz T-1 y T
1 11 1
45 45 45 45Q T Q R T R T Q R T R
GPa
GPaQ
412,382,38
2,389,479,38
2,389,389,47
2100
010
001
02121
12121
12121
200
010
001
5,400
004,841,2
041,272,160
02121
12121
12121
45
Términos de acoplamiento
39Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de lámina
Al realizar la transformación de coordenadas, aparecen nuevos términos Sxs y Sys. Eso significa que al aplicar una carga normal pura podemos tener distorsión.
0
0
x xx xy xs x
y xy yy ys
s xs ys ss
S S S
S S S
S S S
e s
e
g
s xs xSg s
sg sxsx
1 2
X
Y
Términos de acoplamiento
40Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de lámina
De la misma manera, al aplicar una carga de corte puro podemos tener extensión normal
0
0
x xx xy xs
y xy yy ys
s xs ys ss s
S S S
S S S
S S S
e
e
g t
x xs s
y ys s
S
S
e t
e t
X tsts
1 2Y
Coeficientes de influencia
41Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de lámina
Coeficientes de influencia mutua de primer tipo
Si y sólo si el estado de tensión es decorte puro en el plano ij,
i
ij i
ij
e
g
Coeficientes de influencia mutua de segundo tipo
,
ij
i ij
i
g
e
Si y sólo si el estado es de tensiónuniaxial en la dirección i
Los coeficientes de influencia mutua representanrelaciones de deformaciones específicas tal como elcoeficiente de Poisson.
Constantes de ingeniería equivalentes
42Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de lámina
Para caracterizar el comportamiento de una lámina en elsistema XYZ, podemos definir las constantes de ingenieríaequivalentes a partir de la matriz flexibilidad.
Tomando el caso de tensión normal uniaxial en la direcciónx, tendremos:
0
0
x xx xy xs x
y xy yy ys
s xs ys ss
S S S
S S S
S S S
e s
e
g
1x
xx
x xx
y
xy xy xx
x
s
xs xs xx
x
ES
S E
S E
s
e
eu
e
g
e
Constantes de ingeniería equivalentes
43Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de lámina
Explícitamente y en función del ángulo de laminación
2 2 2 22 2 2 2
12 21
1 2 12
2 2 2 22 2 2 2
12 21
1 2 12
2 2 2 22 2 2 2
12 21
1 2 12
22 22 2 2 2
12 21
1 2 12
2 2 2 2
12 21
1 2
1
1
1 4 41 1
2 2
x
y
xy yx
x y
xy
xs sx
x xy
m n m nm n n m
E E E G
n m m nn m m n
E E E G
m n m nm n n m
E E E E G
m nm n m n
G E E G
mn mnm n n m
E G E E
u u
u u
u uu u
u u
u u
3 3
12
3 32 2 2 2
12 21
1 2 12
2 2ys sy
y xy
mn m n
G
mn mn m n mnn m m n
E G E E G
u u
q
q
senn
m cos
Transformación de coordenadas
44
Ejemplo
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de lámina
Calcule la rotación que sufre un tubo laminado a 45°, de radio R=50mm y montado sobre un rodamiento plano, al desplazar el apoyo derecho 1mm hacia la izquierda.
u = 1mmr
x
L = 1 m
Transformación de coordenadas
45
Ejemplo
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de lámina
y
x
019,0
286,0
97,3
10
4,151
21
12
12
2
1
u
u
GPa G
GPa E
GPa E
Propiedades del material
Transformación de coordenadas
46
Ejemplo
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de lámina
Trabajando con las propiedades del material, podemos hallar el coeficiente de influencia de la lámina cuyas fibras están orientadas a 45°
2 2 2 22 2 2 2
12 21
1 2 12
3 32 2 2 2
12 21
1 2 12
1 1
11.27
2 2 10.047
x
xs sx
x xy
m n m nm n n m
E E E G GPa
mn mn mn m nm n n m
E G E E G GPa
u u
u u
Transformación de coordenadas
47
Ejemplo
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de lámina
Recordando las expresiones halladas para el coeficiente de influencia, podemos hallar el coeficiente de influencia de la lámina cuyas fibras están orientadas a 45°
0.00053xyg 0.53
xy
xs
x
g
e
0.001xe
Transformación de coordenadas
48
Ejemplo
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de lámina
La longitud de arco desplazado es
j
xyS L Rg j
º,rad m
m
R
Lxy6100106,0
05,0
100053,0
gj
Constantes de ingeniería equivalentes
49
Ejemplo de aplicación
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de lámina
Lámina unidireccional de carbono-epoxy
Calculamos y graficamos las constantes de ingeniería para diferentes ángulos de laminación entre -90° y 90°
014,03,010170
1089
9
12
1
221
uu
E
E
3,0
5,4
8
170
12
12
2
1
u
GPa G
GPa E
GPa E
Constantes de ingeniería equivalentes
50Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de lámina
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 800
2
4
6
8
10
12
14
16
18
x 1010
q [grados]
Ex ,
Ey [
GP
a]
x
y
Constantes de ingeniería equivalentes
51Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de lámina
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 800
1
2
3
4
5
6
7
8
x 109
q [grados]
Gxy
[G
Pa]
Constantes de ingeniería equivalentes
52Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de lámina
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 800
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
q [grados]
xy
,
yx
xy
yx
Constantes de ingeniería equivalentes
53Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de lámina
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80
-3
-2
-1
0
1
2
3
q [grados]
xs
,
sx ,
ys
,
sy
xs
sx
ys
sy
Coeficientes de influencia
54Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de lámina
Observaciones
• Se puede observar que el máximo coeficiente de Poisson es mayor que ambos coeficientes correspondientes a los ejes principales de la lámina
• Si bien el módulo de corte es máximo a +45° y -45° de ángulo de laminación, el incremento no es demasiado grande
• Los coeficientes de influencia mutua son siempre nulos para -90°, 0° y 90°
• El módulo elástico cae muy rápidamente con el ángulo de laminación.
Constantes de ingeniería equivalentes
55
Ejemplo de aplicación
Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de lámina
Lámina tejida 0-90 de carbono-epoxy
05,005,01066
10669
9
12
1
221
uu
E
E
05,0
6,4
66
66
12
12
2
1
u
GPa G
GPa E
GPa E
Calculamos y graficamos las constantes de ingeniería para diferentes ángulos de laminación entre -90° y 90°
Constantes de ingeniería equivalentes
56Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de lámina
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 800
1
2
3
4
5
6
7
x 1010
q [grados]
Ex ,
Ey [
GP
a]
x
y
Constantes de ingeniería equivalentes
57Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de lámina
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 800
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x 1010
q [grados]
Gxy
[G
Pa]
Constantes de ingeniería equivalentes
58Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de lámina
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 800
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
q [grados]
xy
,
yx
xy
yx
Constantes de ingeniería equivalentes
59Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de lámina
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
q [grados]
xs
,
sx ,
ys
,
sy
xs
sx
ys
sy
Coeficientes de influencia
60Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP
Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de lámina
Observaciones
• En este caso se puede observar que el módulo de corte aumenta hasta casi 7 veces su valor en los ejes principales. Esto sucede ya que las fibras a +45 y -45 actúan como resortes en serie. El módulo de corte estará dominado por el más débil de los resortes.
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