Estado Biaxial de Esfuerzos DefinicionesSi dos caras paralelas de un elemento prismático, representativo del estado de esfuerzos en un sólido, están LIBRES DE ESFUERZO se presentan EL ESTADO PLANO DE ESFUERZOS.
Seleccionemos al eje z como el eje perpendicular a las caras libres de esfuerzo.
La matriz de esfuerzos, es:
zzyzx
yzyyx
xzxyx
Que para el caso, puede representarse:
yyx
xyx
(Matriz representativa del estado plano de esfuerzos).
Esfuerzos del estado plano con signo positivo (CONVENIO).
Transformación de Esfuerzos Bidireccionales
El estado plano de esfuerzos es bastante usado y útil, por cuanto aproximadamente corresponde a innumerables situaciones físicas de interés en Ingeniería.En esta sección estudiaremos las ecuaciones de transformación de esfuerzos, cuando se cambia el sistema de coordenadas de referencia. Sólo analizaremos el caso de rotación de coordenadas, dejando el eje “z” invariante.
00000
´ '''
'''
yyx
yxx
La matriz transformación de coordenadas es:
1000cossen0sencos
A
La matriz de esfuerzos en el sistema rotado, se expresa por T A A'
Luego:
1000cossen0sencos
00000
1000cossen0sencos
00000
yyx
xyx
'y'y'x
'y'x'x
Desarrollando los productos matriciales, e identificando los respectivos elementos, tenemos:
*
cos2cos
coscos
cos2cos
22'
22''
22'
sensen
sensen
sensen
xyyxy
xyxyyx
xyyxx
Esfuerzos PrincipalesEcuación característica:
0
yxy
xyx
Desarrollando el determinante obtenemos: 02
xyyxyx2
Conviene expresar las ecuaciones en términos del ángulo doble:
**
22cos21
21
2cos221
22cos21
21
'
''
'
sen
sen
sen
xyyxyxy
xyyxyx
xyyxyxx
Las ecuaciones o sus equivalentes son las ecuaciones de transformación de esfuerzos planos por rotación de coordenadas. Nota:Observar que primer invariante de esfuerzos (sumar la primera y tercera de las ecuaciones )
Raíces característica:
24 22
1xyyxyx
2
4 22
2xyyxyx
Los Esfuerzos Principales, son:
2
4
24
22
2
22
1
xyyxyx
xyyxyx
0'y'x
(Condición para Esfuerzos Principales).
02cos2sen21
pxypyx
de donde obtenemos:
yx
xyp
22tan
Definición
Las direcciones x’, y’ a lo largo de las cuales actúan los esfuerzos principales se denominan Direcciones Principales. Los planos donde actúan los esfuerzos principales, se denominan Planos Principales.
Estado Inicialx
X’
Direcciones Principales
Esfuerzo Cortante Máximo.
Efectuada la rotación de coordenadas, el esfuerzo cortante es
2cos221
'' xyyxyx sen
Para hallar su valor máximo, hacemos 0d
d 'y'x
de donde obtenemos xy
yxs 2
2tan
La magnitud del máximo Esfuerzo Cortante, es:
xy
xyxy
xy
xyyxMÁX sen
2arctancos
2arctan
21
Evaluando la composición de funciones, tenemos:
xyxyxyxy
MÁX222
2
421
2
xyxy22
21 4
En consecuencia:
221
MÁX
(Coincidente con las expresiones para el caso general).
Notas
yx
xyp
22tan
xy
yxs 2
2tan
(Esfuerzos Principales)
(Esfuerzo Cortante Máximo)
-
2. En un elemento cúbico que está sometido al Estado Principal de Esfuerzos (bidimensionales), los esfuerzos cortantes se presentan en los planos diagonales.
Planos Principales
3. Sobre los planos de Esfuerzo Cortante Máximo, actúan esfuerzos normales, cuyas intensidades son:
xy
xyxy
xy
xyyxyxx sen
-arctan
2-arctancos
21
21
-'
Simplificando se obtiene
yx'x 21
De manera similar, tenemos:
xy
xyxyxy
xyyxyxy arcsenarc
tan
2tan cos
21-
21
-'
Simplificando se obtiene
yx'y 21
xy'x 21
xy'y 21
0
22
902
2tan
12
1
2
SS
xy
yxs
xyxyMAX
Ejercicios
Para el estado plano de esfuerzos representado, determinar:
i) Los planos principalesii) Los esfuerzos principalesiii) El máximo esfuerzo cortante y sus correspondientes esfuerzos normales
1040
4050(MPa)
i) Planos Principales:
3
41050
40222tan
yx
xyp
50 MPa
40 MPa
10 MPa
40 MPa
01P 1.532 00
2P 1.2331.531802 y0
1P 6.26 02P 6.1162 y
ii) Esfuerzos Principales:
MPa 30402
10502
1050
22
MPa 70402
10502
1050
22
22
2
2xy
2yxyx
2
22
1
2xy
2yxyx
1
iii) :MAX
MPa 502
30702
21MÁX
(Coincide con )2xy
2yx
MAX 2
Esfuerzos Normales correspondientes: yxyx21,,
MPa20,,yx
Direcciones de τMAX : xy
yxs
22tan
0002s
01ss
565.71435.1890
435.18,luego,43
40210502tan
Los esfuerzos principales en un punto de un sólido son 1000 y 500 lb/pulg2. Hallar los esfuerzos que actúan en dirección de unos ejes que forman un ángulo de 300, en sentido horario, con los ejes principales.
y
x30
60
500001000
,,,
,,,
yyx
yxx,
(Estado inicial) (Estado Rotado)
Usamos las Ecuaciones:
cos221
2cos21
21
2cos21
21
,,
,
,
xyyxyx
xyyxyxy
xyyxyxx
sen
sen
sen
06050021
060cos500211500
21
060cos500211500
21
,,
,
,
senyx
y
x
El estado de esfuerzo plano en un punto sobre un cuerpo se muestra en el elemento de la figura. Representar este estado de esfuerzo en términos de los esfuerzos principales
De acuerdo con la convención de signos establecida.
yx
xyp
22tan
Al aplicar la ecuación
Esfuerzos principales
2
4
24
22
2
22
1
xyyxyx
xyyxyx