Estadística Aplicada a las Ciencias Políticas
2.2: Resumen numérico
Medidas de localización. Medidas de dispersión. Medidas de forma.
Lecturas recomendadas:
• Capítulos 2 a 6 del libro de Peña y Romo (1997)• Capítulos 3 a 7 del libro de Portilla (2004)
Estadística Aplicada a las Ciencias Políticas
MEDIDAS DESCRIPTIVAS
¿Para qué nos sirven?
¿Se pueden calcular todas con todo tipo de variables?
¿Cuáles son las más adecuadas en cada caso?
¿De qué forma podemos sacar partido a nuestra calculadora?
Estadística Aplicada a las Ciencias Políticas
Medidas de localización
Existen tres medidas comunes: la moda, la mediana y la media.
Una muestra del número de años en el ayuntamiento de los últimos 24 alcaldes de Madrid
3 1 1 1 1 1 2 17 6 13 8 3 2 1 12 1 1 7 3 2 12 6
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La moda
Clase Frecuencia1 102 43 34 05 06 27 28 19 0
10 011 012 113 1
y mayor... 0
Es el valormás frecuente
Puede haber más de una moda: bimodal-trimodal-plurimodal
¿Podemos calcular la moda con datos cualitativos?
¿Tiene sentido esta definición con datos continuos?
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La moda con datos (continuos) agrupados
Tenemos una clase modal
¿Qué hacemos si las clases son de distintas anchuras?
Ingresos y Derechos liquidados
(millones de PTAS)
Frecuencia absoluta
≤ 30 0
(30,45] 2
(45,60] 9
(60,75] 9
(75,90] 10
(90,105] 3
(105,120] 3
> 120 0
Total 60
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Un valor exacta para la moda con datos agrupados
Ingresos de ayuntamientos de Madrid (millones de PTAS)
0
2
4
6
8
10
12
15 37,5 52,5 67,5 82,5 97,5 112,5 >120
Ingresos
El centro del intervalo modal
La moda
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La mediana
Es la observación que ocupa el lugar central.
5 3 11 21 7 5 2 1 3
¿Qué valor toma la mediana?
1. Ordenamos los datos de menor a mayor.
2. Tenemos en cuenta también los que se repiten.
3. La mediana, es el “CENTRO FÍSICO”
¿Cómo cambia el cálculo si N es par o impar?
¿Podemos calcular la mediana para datos cualitativos?
Estadística Aplicada a las Ciencias Políticas
3 1 1 1 1 1 2 17 6 13 8 3 2 1 12 1 1 7 3 2 12 6
1 1 1 1 1 1 1 11 1 2 2 2 2 3 33 6 6 7 7 8 12 13
La mediana es ½*(2+2)=2
Los alcaldes
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x i n i N i f i F i
1 10 10 0,41666667 0,416666672 4 14 0,16666667 0,583333333 3 17 0,125 0,708333334 0 17 0 0,708333335 0 17 0 0,708333336 2 19 0,08333333 0,791666677 2 21 0,08333333 0,8758 1 22 0,04166667 0,916666679 0 22 0 0,91666667
10 0 22 0 0,9166666711 0 22 0 0,9166666712 1 23 0,04166667 0,9583333313 1 24 0,04166667 1
y mayor... 0 24 0 1
Mediana<0,5>0,5
La mediana a través de la tabla de frecuencias (datos discretos)
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La mediana con datos agrupados
Ingresos ni Ni fi Fi
≤ 30 0 0 0 0
(30,45] 2 2 0,05555556 0,05555556
(45,60] 9 11 0,25 0,30555556
(60,75] 9 20 0,25 0,55555556
(75,90] 10 30 0,27777778 0,83333333
(90,105] 3 33 0,08333333 0,91666667
(105,120] 3 36 0,08333333 1
> 120 0 36 0 1
Total 36 1
Intervalo mediano
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Frecuencias relativas acumuladas de los ingresos de ayuntamientos
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
15 37,5 52,5 67,5 82,5 97,5 112,5 >120
Ingresos
0,5
La mediana
Un valor exacta para la mediana con datos agrupados
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Una fórmula para calcular la mediana con datos agrupados
donde el intervalo mediano es (ai-1,ai] de tamaño li = ai-ai-1
¿Cuál es el valor de la mediana de los ingresos de ayuntamientos?
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La media
La media o media aritmética es el promedio de todos los datos de la muestra.
Para los alcaldes, la suma de los datos es:
3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 17 + 6 + 13 + 8 + 3 + 2 + 1 + 12 + 1 + 1 + 7 + 3 + 2 + 12 + 6 = 86
Luego, la media es 86/24 ≈ 3,583 años.
¿Podemos calcular la media para datos cualitativos?
Estadística Aplicada a las Ciencias Políticas
La media a través de la tabla de frecuencias (datos discretos)
xi ni ni * xi
1 10 102 4 83 3 94 0 05 0 06 2 127 2 148 1 89 0 0
10 0 011 0 012 1 1213 1 13
y mayor … 0 0Total 24 86 3,58333333
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La fórmula
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La media con datos agrupados
Ingresos xi ni xi*ni
<= 30 22,5 0 0(30,45] 37,5 2 75(45,60] 52,5 9 472,5(60,75] 67,5 9 607,5(75,90] 82,5 10 825(90,105] 97,5 3 292,5(105,120] 112,5 3 337,5> 120 127,5 0 0Total 36 2610 72,5
Es la misma fórmula pero usando la marca de clase.
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La moda, mediana y media para datos asimétricos
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Otros puntos de la distribución: mínimo, máximo y cuartiles
Ordenando los datos, el mínimo y máximo son fáciles de calcular.
1 1 1 1 1 1 1 11 1 2 2 2 2 3 33 6 6 7 7 8 12 13
¿Y los cuartiles?
1 1 1 1 1 1 1 11 1 2 2 2 2 3 33 6 6 7 7 8 12 13
3er cuartil = (6+6)/2 2º cuartil = mediana = (2+2)/2
1er cuartil = (1+1)/2
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Cálculo de cuartiles
Tenemos el siguiente conjunto de datos:
47 52 52 57 63 64 69 7172 72 78 81 81 86 91
1. Ordenamos los datos de menor a mayor.
2. Calculamos c2 , que ocupa la posición correspondiente a la “mitad”,
¿con qué parámetro visto ya coincide este segundo cuartil?
3. Ahora calculamos, la “mitad” de la primera parte: c1 .
4. Y la “mitad” de la segunda parte: c3 .
Estadística Aplicada a las Ciencias Políticas
47 47
52 52
52 52
57 57
63 63
64 64
69 69
71 71 71
72 72
72 72
78 78
81 81
81 81
86 86
91 91
c2 = 71
c1 = 60
c3 = 79,5
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Representación gráfica de los datos con los cuartiles
1. Los cálculos:Primer cuartil: 60Segundo cuartil: 71Tercer cuartil: 79,5Media aritmética: 69,07
2. Hay datos que pueden provenir de observaciones “mal tomadas”: datos atípicos.
Para detectarlas, calculamos:LI=c1-1,5(c3-c1)
LS=c3+1,5(c3-c1)
Box-and-Whisker Plot
47 57 67 77 87 97
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Ejercicio
Construir un diagrama de caja para el siguiente conjunto de datos.
35 45 45 55 57 62 64 64
64 65 73 74 74 76 78 80
82 84 86 92 92 92 93 94
97 112 116 116 123 123 124 128
140 143 173 214 255 277
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