ENERGÍA DE
DEFORMACIÓN
ENERGÍA DE DEFORMACIÓN
En la figura se observa una barra de longitud L y sección
transversal A, empotrada en B y sometida en C a una carga
axial P que se incrementa lentamente.
A
B
C
L
B
C
x
P
ENERGÍA DE DEFORMACIÓN
Graficando la magnitud de la carga
contra la deformación de la barra se
obtiene un diagrama carga-
deformación que es característico de
la barra
El trabajo elemental realizado
por la carga cuando la barra se
alarga una pequeña cantidad es
igual al producto de la magnitud de
la carga y del pequeño alargamiento
. Se tiene:
dU
P
x
BC
P
dx
P
dx
dxPdU *
P
0
P
xdx
1x
ÁreaU
P
x0
ENERGÍA DE DEFORMACIÓN
El trabajo realizado por la carga cuando se le aplica
lentamente a la barra, debe producir el incremento de
energía asociada con la deformación de la barra. Esta
energía es la energía de deformación de la barra.
Por definición:
P
1
0
x
PdxUEnergía de deformación
ENERGÍA DE DEFORMACIÓN
El trabajo se transforma parcial o totalmente en energía
potencial de deformación
2
*PU
AE
PL
Ley de Hooke
L
EA
EA
LP
EA
LPPU
222
22
***
Deformación permanente
p
Energía se disipa en forma de
calor
P
0f
Deformación permanente
P
DENSIDAD DE ENERGÍA DE DEFORMACIÓN
Es igual a la relación entre la Energía de deformación y el volumen del elemento y se designará por la letra .
Se tiene entonces:
V
Uu
u
1
1
0
0x
x
AL
Pdx
LA
Pdx
V
Uu
*
0
u
1
0
duDensidad de Energía de
deformación
MÓDULO DE TENACIDAD
Es la densidad de energía del material cuando llega a la
rotura, nos da la idea de la ductilidad de un material.
21 uu
0
RUPTUR
A
0
RUPTUR
A
1u
RUPTUR
A
2u
0
> ductilidad < ductilidad
Módulo
de
Tenacida
d
u
MÓDULO DE RESILIENCIA
Es la densidad de energía de deformación que el material puede absorber sin fluir.
La capacidad de una estructura para soportar una carga de impacto sin deformase en forma permanente depende de la tenacidad y de la resiliencia del material utilizado.
0f
Módulo de
Resiliencia
f
EEu
u
fff
f
22
22
Eu
f
2
2 Módulo de
Resiliencia
ENERGÍA DE DEFORMACION ELÁSTICA PARA
ESFUERZOS NORMALES
En un elemento estructural con distribución de esfuerzos no
uniforme, la densidad se define considerando un
pequeño elemento de material de volumen .
dVU
udVdUdV
dUu
2
u
V
0
Esto se usa para el rango elástico antes de llegar a la
fluencia.
dVE
U 2
2Energía de deformación
elástica bajo esfuerzos
uniaxiales
ENERGÍA DE DEFORMACIÓN ELÁSTICA BAJO
ESFUERZOS CORTANTES
Cuando un material está sometido a esfuerzo cortante plano la
densidad de energía de deformación en un punto dado se
expresa:
0
u
G
*
G
HookedeLey
udVdUdV
dUu
Guu
du
2
2
* 2
(En el rango
elástico)
es la deformación
cortante
correspondiente a
V
dVG
U2
2Energía de deformación
elástica bajo esfuerzos
cortantes
ENERGÍA DE DEFORMACIÓN DEBIDA A .
Cargas Axiales
Momentos Flectores
Energía de deformación bajo carga
axial
xP xP
dx
x
x
A
P
dxAdV x
* .........
dx
AE
PU
L
x
x
0
2
2
Si un elemento de longitud L y área transversal se encuentra sujeto a una
carga axial siendo el esfuerzo normal o axial P y se tienen en cuenta las
relaciones entre tensión normal σ = P/A se obtiene:
vv
2P 1P3P
xA
x
dx
L
Energía de deformación bajo carga axial
L A
P
Para una carga constante y sección constante
AE
LPU
xAE
PU
dxAE
PU
L
L
2
2
2
2
0
2
0
2
Sabiendo que también se
puede llegar con la expresión
general (*) Ejemplo
Para una carga constante y sección constante
1P2P
1A
1L 2L
2
2
2
2
1
1
2
21
2
*
2 EA
LP
EA
LPPU
2A
ENERGÍA DE DEFORMACIÓN DEBIDA A
Energía de deformación bajo momentos
flectores
I
yxM *
iP
x
y
xW
x
xM
Si el elemento se encuentra bajo un momento flector, el esfuerzo
normal viene dado por:
Energía de deformación bajo momentos
flectores
Idx
I
xM
EUdxdAy
I
xM
EU
dAdxI
yxM
EUdV
EU
LL A
I
L AV
*2
1 *
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
22
dxdAdV *
y
x
ydA
xMNE.
y
dx
Esfuerzo varía en cada diferencial de
área
dx
I
xM
EU
L
*2
1
2
Energía de deformación bajo momentos
flectores
EI
LPU
LLPL
LPL
PEI
U
XLPX
LPX
PEI
U
dxLPPXPLXPEI
U
dxI
PLPX
EU
LLL
L
L
6
22
32
1
22
32
1
22
1
2
1
32
222
23
2
0
22
0
22
0
32
2222
2
*
Problema:
xP
PL
xM
PLPXM x
Solución:
LP
PL P
ENERGÍA DE DEFORMACIÓN DEBIDA A .
Torsión
Fuerza Cortante
Energía de deformación bajo
torsión
dVG
UJ
T 2
2
1
*
d
Sección
Circular
Energía de deformación bajo torsión
*
x
x
J
T
dxddV
dA
*2
dxd
J
T
GU
dxdJ
T
GU
x
x
L R
x
x
V
x
3
2
2
2
2
22
1
22
1 2
**
***
1T
v
2T3T
x
L
dx
xTxT
L
x
L xR
xJ
x
x
dxxJ
T
GU
dxdJ
T
GU
2
2
2
2
*2
1
2*2
1
La energía de deformación bajo
torsión se define:
Energía de deformación bajo fuerza cortante
ENERGÍA DE DEFORMACIÓN DEBIDA A .
22
33
22
3
22
26
12
1
22
12
1
22
22
1
2
22
yhbh
V
bhb
yhbV
dxbdydVhbIbt
yhb
yAQ
yhyh
yyyhbA
xx
/
**
//*
* , ,
*
//
, /
x
Q
y NE.
x
2/h
2/h
yy
L
h
h
x
L
h
h
x
V
x
V
x
V
x
V
dxyyh
yh
hGb
VU
dxdyyyhh
hGb
VU
dxdybyyhhhGb
VU
dxdybyhhb
V
GU
dVyhbh
V
GUdV
GU
2
2
5324
6
2
2
2
4224
6
2
4224
62
2
222
62
2
2
22
3
2
53216
18
216
18
22218
236
2
1
26
2
1
2
/
/
/
/
*
*
//
/
/
Energía de deformación bajo fuerza
cortante
dxV
Gbhdxh
hGb
VU x
L
x
25
6
260
30
118 .*
Energía de deformación bajo fuerza
cortante
dxxVGbh
dxhhGb
VU
L
x
25
6
26.0
30
1*
18
L
dxxVGA
U26.0 Energía de deformación
elástica bajo fuerza
cortante
Ejemplo 1
Problema: Hallar la Energía de deformación del
sistema
jouleU mNU
xxxx
x
xxxx
xU
EA
LPU
67.6 * 67.6
10150102002
50.1 10000
1090102002
50.1 10000
2
*69
2
69
22
KNFKNFFF , 1010125
3
5
32111
º37
KN12
mL
mmA
.
51
90
1
21
mL
mmA
.
51
150
2
22
m90.
m90. KN12
1F
2F
2121 3737
0
200
FFCosFCosF
F
GPaE
x
Ejemplo 2
Problema: Calcular la Energía de deformación para una carga
puntual.
2
PV x
Primer tramo
2
PV x
Segundo
tramo
2/P
P
2/P
M
V
2/P
2/P
xV
Momentos por tramos:
Primer tramo
2/P
x
xM XPM x 2/ 22 // LXPXPM x
P
2/P
x
xM
2
L
Segundo tramo
Ejemplo 2
La energía debida a :
dxXLP
EI
X
EI
PU
dxLxPxPEI
dxxP
EI
dxMEI
U
L
L
L
L
L
L
L
x
222
2
2
0
32
2
2
22
0
2
42
1
38
222
1
22
1
2
1
/
/
//
Operando
:
EI
LPU
96
32
Esto es debido a
normales
Ejemplo 2
La energía debida a :
GA
LPU
LP
AGU
dxP
AGdx
P
AGUdxV
AGU
L
L
L
x
2
2
2
2
22
0
2
150
224
60
2
60
2
6060
.
****
.
*
.
*
.
*
.
/
/
TRABAJO Y ENERGÍA BAJO UNA SOLA
CARGA
P carga la de dirección la en
P
M momento del dirección la en giro M
T del dirección la en giro de ángulo T
P
P
d
PddW 2
PW
TRABAJO Y ENERGÍA BAJO UNA SOLA
CARGA
UWext
En el problema anterior2
676P
mNU *.
mmmx
NmN
11110111
2
12000676
3 . .
**.
T
2
TW
M
2
MW
Donde ya no es o en las barras, sino la carga externa que produce
deformación
P 1F 2F
KN12
TRABAJO Y ENERGÍA BAJO UNA SOLA
CARGA
EI
PLP
EI
LP
WEI
LPU ext
48296
96
332
32
*
También se tiene que:
TRABAJO Y ENERGÍA BAJO VARIAS
CARGAS
222
212
121
111
PX
PX
PX
PX
2
1
2
1
a debidoen entodesplazami
a debidoen entodesplazami
a debidoen entodesplazami
a debidoen entodesplazami
Las cargas se aplican
lentamenteP
11X 21X
1P 2P
Si luego aplica la carga 2
1P
11X 21X
12X 22X
2P
TRABAJO Y ENERGÍA BAJO VARIAS
CARGAS
22222
21212
12121
11111
PX
PX
PX
PX
1 .........
22
222
2
2222
2112
2111
222121
111222
121111
PPP
PW
XPXP
XPW
XPW
XPXP
W
totalext
totalextext
ext
1P
11X 12X
2P
21X 22X
TRABAJO Y ENERGÍA BAJO VARIAS
CARGAS
Si cambiamos la secuencia de aplicación de carga ( es decir primero y
luego ) 2P 1P
Reemplazando los
queda:s
2 .........
2121
2222
2111
212222111
22
22
PPPP
W
XPXPXP
W
totalext
totalext
1P
12X 11X
22X 21X
1P
El trabajo total es independiente del orden de secuencia de aplicación de
las cargas. Entonces:
Las dos expresiones son iguales (1) =(2) 2112
TEOREMAS ENERGÉTICOS
Teorema Betti
“El trabajo externo realizado por un conjunto de cargas a lo largo
de los desplazamientos producidos por un segundo conjunto de
cargas es igual al trabajo producido por el segundo grupo de
cargas a lo largo de los desplazamientos producidos por ”.
1P
2P
2P
1P
1P
12X
2P
22X
1P
11X
2P
21X
TEOREMAS ENERGÉTICOS
Teorema de Maxwell - Betti
“La deflexión originada en el punto (2) bajo la aplicación de un
carga unitaria en el punto (1) será igual a la deflexión del punto (1)
debido a una carga unitaria en el punto (2)”.
1P
11X 21X
12X 22X
2P 1P
12X
2P
12
21
PP
PP
Betti Teorema 2112 1
1
2
1
P
P