8/18/2019 Energia de Deformacion y Metodos de Energia (1)
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nergía deeformación y
METODOS DE
NERGIA
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[ENERGÍA DE DEFORMACIÓN Y METODOSDE ENERGIA]
INTRODUCCIÓN
Se considera que los cuerpos o sisemas mec!nicos es!n formados pormaeria que consise de parículas que denominamos punos maerialesy cuyo con"uno consiuye la con#guración del sisema que despla$a suspunos maeriales% Si se supone un sisema de fuer$as aplicando a uncuerpo& ese se deforma 'asa que el sisema de fuer$as inernasequili(ra al sisema de fuer$as e)ernas%
Esudiaremos las ensiones y deformaciones relacionadas con esfuer$oscoranes y momeno *ecores% Si conocemos las ensiones ydeformaciones& podemos anali$ar y dise+ar disinos elemenosesrucurales a di,ersas condiciones de carga%
-as cargas que ac.an so(re un elemeno esrucural ocasionan que sedeforme%
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F
Δ
F = K
APLICACIÓN GRADUALAplicación lena& por incremenos-os efecos din!micos /aceleraciones& ,i(raciones01 son desprecia(les%
F: con!"n
APLICACIÓN S$%ITA
Aplicación ,iolena-os efecos din!micos /aceleraciones& ,i(raciones0
F
Δ
31
[ENERGÍA DE DEFORMACIÓN Y METODOSDE ENERGIA]
ENERGIA DE DEFORMACION
3uando se aplican cargas a un cuerpo& esas deforman el maerial& siempre ycuando no se pierda energía en forma de calor& el ra(a"o reali$ado por esasacciones e)ernas durane el proceso de Deformación& se con,iere en ra(a"oinerno 4 llamado energía de deformación% Esa energía& que siempre esposii,a& se almacena en el cuerpo y es causada por la acción del esfuer$onormal o corane%
5 es uno de los concepos m!s imporanes denro del esudio de la mec!nicade solidos deforma(les%
Es fundamenal inerprear como ac.an esas cargas e)ernas6
En#&'(" D#)*+" " F,#&-" No&."/
3onsideremos una (arra prism!ica de maerial el!sico lineal& o sea cumplecon la ley de 7oo8e& someida a la acción gradual de una fuer$a a)ial cenrada%
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L
A 0 E
F
Δ
F=KΔ
F
Δ
31
[ENERGÍA DE DEFORMACIÓN Y METODOSDE ENERGIA]
El ra(a"o reali$ado por la fuer$a 9& es6
dWext = Fd
F
F = K
( F)
:or la ecuación #2! = U → U =;
8
4 4 4 4 56
-a ec% /;1 puede escri(irse6 U =
;9
;
<∆
∆ →
U =
∆9;
<
4 4 4 4 536
Δ Δ∫ =
Fd W ext
∫ ∆ ∆
=∆∆=;
e) 8d8>
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[ENERGÍA DE DEFORMACIÓN Y METODOSDE ENERGIA]
En#&'(" +# D#8o&."c*9n +#)*+" "/E8,#&-o Co&!"n!#
3uando el maerial es! someida a un esfuer$o corane como indica en la#gura que se considera el elemeno de un ciero ,olumen% Aquí el esfuer$ocorane 'ace que el elemeno se deforme de modo que solo Ia fuer$acorane%
En#&'(" +# D#8o&."c*9n +#)*+" " /" C"&'" A2*"/
3onsidere una (arra de sección rans,ersal ,aria(le ligeramene a'usada&#gura% -a fuer$a a)ial inerna en una sección siuada a una disancia 2 de une)remo es N% Si el !rea rans,ersal en esa sección es A& enonces el esfuer$onormal en Ia sección es C NA% AI aplicar la ecuación& se iene%
Si elige un elmeno o core diferencial con un ,olumen d CAd)& enonces Iaformula general para la energfa de deformación en Ia (arra es
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[ENERGÍA DE DEFORMACIÓN Y METODOSDE ENERGIA]
:ara el caso mas com.n de una (arra prism!ica de sección rans,ersalconsane A, de longiud L 5 carga a)ial consane N "/ *n!#'&"& /" #c,"c*9n# o)!*#n#4
O en caso de armaduras& odo sisema conformado por elemenos linealmene
el!sicos someidos a fuer$a a)ial cenrada& almacena Energía de
Deformación%
∑=
=n
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[ENERGÍA DE DEFORMACIÓN Y METODOSDE ENERGIA]
1 2
# $
%&
'Fi
Fi
ii
i
;
i
i
AE;
-94 =
∑=
=n
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[ENERGÍA DE DEFORMACIÓN Y METODOSDE ENERGIA]
Aquí el momeno inerno es M& y el esfuer$o normal que ac.a so(re el
elemeno ar(irario a una disancia < del e"e neuro es =My / I% Si el ,olumendV = dAdx donde dA es el area en conaco& y dx es su longitud la energíade deformación es6
O am(i@n6
:ero en esa segunda formula o(ser,amos que al inegrar el area represenarel momeno de inercia 5I6 del area respeco al e"e neuro& por lo ano quedaría
asi%
Nota: por lo tanto para evalúa Ia energía de deformación, primero debe
expresarse el momento interno en funci6n de su posición x a lo largo de Iaviga, y después integrar sobre toda Ia longitud de Ia viga.
En#&'(" +# D#8o&."c*9n +#)*+o " /" Co&!"n!# T&"n#&"/
-a energía de deformación de(ida al esfuer$o corane en un elemeno de,iga puede deerminarse al aplicar Ia ecuación%
Energía de deformación en @rminos σ corane
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[ENERGÍA DE DEFORMACIÓN Y METODOSDE ENERGIA]
Aquí se considerara que Ia ,iga es prism!ica y iene un e"e de simeríaalrededor del e"e% Si Ia fuer$a corane inerna en Ia sección de ) es &enonces el esfuer$o corane que ac.a so(re el elemeno de ,olumen del
maerial& que iene un !rea dA y una longiud d)& es τ
C FI% AI susiuir enIa ecuación anerior& Ia energía dedeformación para lafuer$a corane secon,iere en6
-a inegral en par@nesis se pude simpli#car si se de#ne en el facor de formapara la corane como
Al susiuir la ecuación anerior& se o(iene
En#&'(" +# D#8o&."c*9n +#)*+o "/ Mo.#n!o +# To&*9n
:ara deerminar Ia energía de deformación inerna en un e"e circular o u(o&de(ida a un momeno de orsin aplicado& es necesario aplicar Ia ecuación de
energía de deformación en corane Ui=∫v
❑T
2
2G dv %
5 consideramos el e"e a'usado mosrado en la #gura& una sección del e"eomada una disancia ) de un e)remo se somee a un par de orsión inerno T%-a disri(ución del esfuer$o corane que ocasiona ese par ,aría linealmenedesde el cenro del e"e% En el elemeno ar(irario de !rea dA y longiud d)& el
esfuer$o es :or lo ano& Ia energía de deformación almacenada en ele"e es
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[ENERGÍA DE DEFORMACIÓN Y METODOSDE ENERGIA]
3omo la inegral del !rea represena el momeno polar de inercia H para el e"een Ia sección& el resulado #nal puede escri(irse como
El caso mas común se produce cuando el ee !o tubo" tiene un #rea
transversal constante y el par de torsión aplicado es constante, como se
muestra en la $gura En ese caso, al integrar
Ia ecuación resulta
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[ENERGÍA DE DEFORMACIÓN Y METODOSDE ENERGIA]
METODOS DE ENERGIA PARA CALCULAR DEFORMACIONES
14 T#o." +# C"!*'/*"no
1414 In!&o+,cc*9n
E)isen Teoremas (asados en Energía de Deformación& que permien6
- 3alcular de*e)iones de nudos o punos li(res de Sisemas Deforma(les%
*+
⇒
A∆;
A7∆;
D∆;
D
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Reacciones E)ernas 9uer$as inernas Despla$amienos de Nudos Giro de Jarras
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[ENERGÍA DE DEFORMACIÓN Y METODOSDE ENERGIA]
1 Resol,er Sisemas 7iperes!icos
4no de los Teoremas de Energía& muy imporane en el esudio de Sisemas
El!sicos -ineales& que conri(uyó al desarrollo analíico y la sisemai$ación de
la Mec!nica de 3uerpos Deforma(les& es el Segundo Teorema de 3asigliano%
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[ENERGÍA DE DEFORMACIÓN Y METODOSDE ENERGIA]
144 S#',n+o T#o." +# C"!*'/*"no
En,nc*"+o: ?-a deri,ada parcial de la Energía de Deformación
almacenada en un sisema linealmene el!sico& con respeco a
una fuer$a seleccionada /aplicada gradualmene1 que ac.a so(re
el sisema& es igual al despla$amieno del puno de aplicación de
esa fuer$a en dirección de su propia reca de acción?%
D#.o!&"c*9n:
3onsideremos un sólido el!sico lineal& someido a la acción gradual de
fuer$as :
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[ENERGÍA DE DEFORMACIÓN Y METODOSDE ENERGIA]
8
8
TOTA- d::
444
∂∂+=
4 4 4 4 516
Siendo 4 la energía generada por :
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[ENERGÍA DE DEFORMACIÓN Y METODOSDE ENERGIA]
d,/ alicado grad-almente
dΔ/
,n
2
( )( )K K
d dP Δ2
1
0 1
,/
Δ/
=
,1
dΔ/
,n
,1
Δ/
d,/
rimero
,/ de-é
2
1 (d,K)(dΔK)0 0(d,K)(dΔK)
Tra(a"o reali$ado por las fuer$as e)ernas6
? C
11/d:/1d1/d:/;
<8888 ∆+∆+
/3uando se aplica :8 sucede que ya se aplicó el d:8 en oda su magniud10
siendo6
→ ra(a"o reali$ado por la aplicación gradual de las fuer$as aplicadas :
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[ENERGÍA DE DEFORMACIÓN Y METODOSDE ENERGIA]
K C11/d:/ 88 ∆+& pueso que
1d1/d:/;
<88 ∆
es un in#ni@simo de orden
superior%
:or el principio fundamenal6 K TOTA-4=
% -uego& enemos6
88
88 d::
4411/d:/
∂∂+=∆+
/4sando la ecuación
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[ENERGÍA DE DEFORMACIÓN Y METODOSDE ENERGIA]
Si el maerial del sólido en esudio es de comporamieno el!sicolineal y
las deformaciones son in#niesimales& el efeco de un con"uno de acciones
es la suma /superposición1 de odos los efecos producidos indi,idualmene
por las acciones%
d
,
45
,
d1
=+
4
d2
+
5
d#
d= d1+d2+d3
4,
( Fe r a i a l e )
=
(F-er.a xiale)Fi
4
0
Fi6
Fi = Fi60Fi
66
,
Fi66
En paricular:
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[ENERGÍA DE DEFORMACIÓN Y METODOSDE ENERGIA]
4
Fi =7
1
, i6
+arga Unitariaadimenional(aralela a la 3-er.a 4 8 del mimo entido)
Fi = 4 ,i
Fi: F-er.a xial 5eal ,i
6: F-er.a xial debida a la +59 U;
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[ENERGÍA DE DEFORMACIÓN Y METODOSDE ENERGIA]
,K ,2
,1
,>
Si → 9uer$as A)iales /NO REA-ES1
Si C ƒ/:
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[ENERGÍA DE DEFORMACIÓN Y METODOSDE ENERGIA]
?i
=
,K ,2
,1
,>
3-er.a no reale
?66i
,2
,1 =
,>
carga 3icticia
/Si → no son las fuer$as a)iales reales& de(ido a
M,:
1
→ Si C SKi S?i
Tam(i@n por el mismo principio6
?i
,>
?i
1
KKKiS
→ 9uer$as A)iales ocasionadas por una 94ERBA 4NITARIA% -uego1:1/S/S M,
KKKi
Ki =
/9acores de carga uniaria1
Enonces1:1/S/SS M,
KKKi
Kii +=
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[ENERGÍA DE DEFORMACIÓN Y METODOSDE ENERGIA]
:ueso que las fuer$as SKi son independienes de los facores de 9uer$a 4niaria
KKKiS
y de la fuer$a #cicia
M,:
& enemos6
KKKiM
,
i S:
S =∂∂
% En consecuencia6
-as deri,adas parciales
M,
i
:
S
∂∂
son num@ricamene iguales a las 94ERBAS AIA-ES
que se producen en la Armadura por efeco de una 3ARGA 4NITARIA que ac.a en
la dirección del despla$amieno deseado& aplicada en el puno donde se e,al.a
al despla$amieno%
Reempla$ando en /∗1& enemos6KKK
i
n
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erno
E)erno
Inerno E)erno
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[ENERGÍA DE DEFORMACIÓN Y METODOSDE ENERGIA]
,K ,2
,1 Fi: F-er.a xiale 5eale
1
3 i: Factore de F-er.a Unitaria
-os c!lculos con,ienen ser reali$ados en un esquema a(ular
Jarr
i
-ongiu
d
-i
Pre
a
Ai
Elasicida
d
Ei
9uer$a
Real
9i
9acor
4niario
i
ii
iii
AE
-S
<
m
a r
; CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
CCCCCCn
→ ∆ C Σ
No!"6% El procedimieno para calcular
M7∆ es similar% Sólo cam(iar!n los
9acores de 9uer$a 4niaria% :ara ese caso& la fuer$a uniaria acuar!
en el nudo de iner@s en dirección 'ori$onal%
414 P&*nc*?*o +#/ T&")"o M(n*.o4 S*!#." B*?#!!*co
4sando los Teoremas de 3asigliano y concepos so(re energía de deformación
pueden solucionarse Sisemas 7iperes!icos Inernos o E)ernos& (a"o 3arga
A)ial%
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[ENERGÍA DE DEFORMACIÓN Y METODOSDE ENERGIA]
41414 P&*nc*?*o +#/ T&")"o M(n*.o
3onsideremos una armadura 'iperes!ica inerna /e)ernamene
deerminada1 someida a un Sisema de 9uer$as e)ernas gradualmene
aplicadas% El maerial de las (arras se considera linealmene el!sico%
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:<
:;
:Q
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[ENERGÍA DE DEFORMACIÓN Y METODOSDE ENERGIA]
Requerimos enconrar las 9uer$as en las (arras de la armadura%P&oc#+*.*#n!o6
i1 Deerminamos el grado u orden de 'iperesaicidad inerna%
/N.mero de (arras e)isenes N.mero de (arras de la condición
es!ica1
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[ENERGÍA DE DEFORMACIÓN Y METODOSDE ENERGIA]
ii1 ?-i(eramos? anas (arras como es el grado de 'iperesaicidad
inerna% En cualquier caso& la armadura resulane /denominada
armadura primaria1 de(e ser Esa(le e Isos!ica Inerna%
iii1 Se ?reempla$an? las (arras suprimidas por sus 9uer$as Inernas%
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:<
:;
:Q
?? es la fuer$a a)ial en la (arra suprimida /llamada (arra redundane o 'iperes
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[ENERGÍA DE DEFORMACIÓN Y METODOSDE ENERGIA]
i,1Se e,al.a la Energía de Deformación en la armadura primaria& en función
de las cargas realmene aplicadas y de las fuer$as redundanes%
4 C 4/:
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;
;
Jarra 'iperes!ica /suprimida1-0 E0 A
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[ENERGÍA DE DEFORMACIÓN Y METODOSDE ENERGIA]
,1 Se calcula el ?cam(io de disancia? enre los nudos que de#nen la ?(arra
suprimida?& por aplicación del Segundo Teorema de 3asigliano
K
4∆=
∂∂
% % % % /
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[ENERGÍA DE DEFORMACIÓN Y METODOSDE ENERGIA]
( ) =4
TOTA- =
∂∂
0 denominado :rincipio del Tra(a"o Mínimo%
El :rincipio del Tra(a"o Mínimo /Teorema de Mena(rea1 esa(lece que6 ?En un
sisema linealmene el!sico& con elemenos redundanes o 'iperes!icos& el
,alor de una fuer$a 'iperes!ica es aquel que 'ace mínima la Energía Toal de
Deformación almacenada en el sisema?%
No!"6% El principio del Tra(a"o Mínimo de(e usarse anas ,eces como es el
n.mero de elemenos redundanes% Asimismo& puede aplicarse en
sisemas 'iperes!icos inernos yo e)ernos%
34 E8,#&-o < D#8o&."c*on# A2*"/# ?o& C"&'" +# I.?"c!o4
3414 In!&o+,cc*9n4 D#@n*c*on#4
En los pro(lemas esudiados aneriormene& se consideró que las cargas
e)ernas se aplica(an gradualmene& y que los elemenos esrucurales o
sólidos deforma(les esa(an en equili(rio esa(le en odas las eapas del
proceso cargadeformación%
En esa sección& esudiaremos los casos simples de Esfuer$os yDeformaciones A)iales pro,enienes de la aplicación de cargas de impaco%
D#@n*c*9n1 3arga Din!mica → -a carga causada por un cuerpo en
mo,imieno%
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[ENERGÍA DE DEFORMACIÓN Y METODOSDE ENERGIA]
rígido
X
h
Qcarga dinámica
La energía del cuerpo en movimiento
e tran!iere a lo elemento reitente"
-os concepos de Energía pueden usarse para calcular los esfuer$os y las
deformaciones unia)iales producidos por cargas de impaco& acepando que
σm!) y εm!) no so(repasan los límies de Elasicidad -ineal del maerial&
o(enidos mediane Ensayos en -a(oraorio%
3on frecuencia& los pro(lemas de impaco& son consecuencia de 3argas
Din!micas& mediane las cuales un sisema rans#ere su energía a oro& por
medio de un c'oque o impaco%
El mecanismo simple para esudiar la ransmisión de cargas din!micas& es una
(arra el!sica lineal con una plaaforma rígida& y por la cual res(ala sin
fricción un cuerpo rígido de masa m%
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[ENERGÍA DE DEFORMACIÓN Y METODOSDE ENERGIA]
L
∆d
plata!orma rígido
h
v=#
ecci$n %;
material &
collar ' de peo ()
*
∆d → De*e)ión Din!mica%
El
(loque& de peso >& reali$a el impaco& rans#riendo su energía cin@ica al
cuerpo con el cual 'ace el conaco%
5No!"6 Se o(ser,ar! que una carga de impaco genera esfuer$os y
deformaciones m!s ele,ados que los que produciría una carga de la
misma inensidad& aplicada gradualmene%
344 E8,#&-o < D#8o&."c*on# ?o& I.?"c!o4
3onsideremos una (arra de maerial el!sico lineal& sección rans,ersal
consane& y un peso > que cae li(remene /sin fricción1 pariendo del
reposo& desde una alura '% Acepamos que el peso de la (arra es
desprecia(le con respeco al peso >%
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[ENERGÍA DE DEFORMACIÓN Y METODOSDE ENERGIA]
L (
h
∆d (
&
ecci$n
tranveral
%
:rincipio fundamenal6
?El ra(a"o reali$ado por el peso al caer& es igual a la energía de deformación
almacenada en los elemenos el!sicos?%>/' ∆d1 C 4 % % % % /-;
d
;
d =−∆−∆ 3uyas raíces son6
'EA
>-;
EA
>-
EA
>-;
d
+
±=∆
% % % % /Q1
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[ENERGÍA DE DEFORMACIÓN Y METODOSDE ENERGIA]
:or las condiciones físicas del pro(lema& ∆d =% -uego sólo es acepa(le una
raí$6
'EA
>-;
EA
>-
EA
>-;
d
+
+=∆
% % % % /1
d6 alargamieno din!mico& de(ido al impaco
Si el peso > se aplicase gradualmene en la sección donde se reUali$a el
impaco& se produciría un Alargamieno Es!ico& ∆s6
(
L
&%
'aplicado
gradualmente)
EA
>-s =∆
& con lo cual la ecuación /1 puede reescri(irse6
'EA
>-;
EA
>-;
sd
+
+∆=∆
ó
∆++∆=∆ ssd';
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[ENERGÍA DE DEFORMACIÓN Y METODOSDE ENERGIA]
s
d
';
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[ENERGÍA DE DEFORMACIÓN Y METODOSDE ENERGIA]
4sando la -ey de 7oo8e en condiciones es!icasEA
>-s =∆
& o(enemos
s
<A>
-E
∆=
→ s
s
-
E
∆σ=
y reempla$ando en la ecuación /U1& enemos6
∆++σ=
∆σ
+σ+σ=σs
ss
;s;
ssd
';
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[ENERGÍA DE DEFORMACIÓN Y METODOSDE ENERGIA]
(
v=#
h
v= 2gh
s
d';
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[ENERGÍA DE DEFORMACIÓN Y METODOSDE ENERGIA]
s
d4
X
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[ENERGÍA DE DEFORMACIÓN Y METODOSDE ENERGIA]
Auor6 S% Timos'en8o
• Separaa6 YApoyo did!cico para la ense+an$a y aprendi$a"e de
la asignaura de esrucuras 'iperes!icasZ
A+o6 ;==V
Auor6 Ing% 9ran$ argas -oay$a
• Separaa6 Mec!nica de sólidos II
Auor6 Ing% 3arlos Espar$a Día$
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[ENERGÍA DE DEFORMACIÓN Y METODOSDE ENERGIA]
An#2o
Problemas
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[ENERGÍA DE DEFORMACIÓN Y METODOSDE ENERGIA]
A4 ENERGÍA DE%IDA A FUERHA NORMAL51R Y DO TEOREMA DE
CASTIGLIANO6
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[ENERGÍA DE DEFORMACIÓN Y METODOSDE ENERGIA]
%4 5MTODO DE LA CARGA FICTÍCIA6
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[ENERGÍA DE DEFORMACIÓN Y METODOSDE ENERGIA]
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[ENERGÍA DE DEFORMACIÓN Y METODOSDE ENERGIA]
C4 MTODO DE LA CARGA UNITARIA PARA CALCULAR
DESPLAHAMIENTOS
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[ENERGÍA DE DEFORMACIÓN Y METODOSDE ENERGIA]
D4 PRINCIPIO DEL TRA%AJO MÍNIMO
D%
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D%;% ETERNA6
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E4 CARGAS DE IMPACTO
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F4 ENEREGIA DE%IDA A FUERHA CORTANTE Y MOMENTO TORSOR
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