Energía potencial y Conservación de la energía
1
Control inicial1. La friccion es un tipo de fuerza:
a) Conservativab) No conservativac) Potenciald) Cinetica
2. Las fuerzas conservativas:a) El trabajo realizado no depende de la trayectoria del cuerpob) El trabajo realizado depende de la trayectoria del cuerpo.c) Se disipa energia cuando se realiza el trabajo.d) Ninguna
3. El equilibrio es estable si:a) La energia potencial es minimab) La energia potencial es maximac) La energia potencial no es ni maxima ni minima, esta estacionariad) Ninguna
4. La ley de conservacion de la energia mecanica se cumplea) Solo para fuerzas conservativasb) Solo para fuerzas disipativasc) Para todas las fuerzasd) Ninguna
5. La energia mecanica se conserva quiere decir que:a) La suma total de energias cinetica y potencial en cualquier punto es constanteb) La suma de los cambios de energias cinetica y potencial es igual a ceroc) Si aumenta la energia cinetica disminuye la energia potencial por una fuerza restauradora.d) Todas las anteriorese) Ninguna de las anteriores 2
Esquema• Leyes de conservación
– Ley de conservación de la energía
• Fuerzas conservativas• Fuerzas no conservativas• Trabajo realizado por fuerzas conservativas
– Energía potencial gravitatoria• Trayectoria unidimensional• Trayettoria bidimensional
– Energía potencial elástica– Determinación de la energía potencial gravitatoria y elástica– Conservación de la energía mecánica (para fuerzas conservativas)
• Trabajo realizado por fuerzas no conservativas• Determinación de la fuerza a partir de la energía potencial
– Operador nabla– Diagramas de energía potencial– Equilibrio estable, neutro, inestable– Pozo de potencial
• Trabajo realizado en un sistema por una fuerza externa• Conservación de la energía
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Leyes de conservacion• Las leyes de conservación son la consecuencia de una
simetría fundamental en la naturaleza.• Son importantes porque:
– Las leyes de conservación son independientes de los detalles de la trayectoria y, de las fuerza en particular.
– Las leyes de conservación pueden utilizarse aun cuando no se conozca la fuerza
– Las leyes de conservacion tienen una conexión íntima con la invarianza
– Sirven para obtener el movimiento de partíulas.• Los fisicos utilizan las leyes de cons. Más importantes una a una• Luego se trabaja con las ecuaciones diferenciales, metodos
variacionales y de perturbaciones, intuicion, etc.
4
Leyes de conservacion
• Ejemplos
• Ley de conservación de
– Energia
– Cantidad de movimiento
– Numero de bariones (protones, neutrones, particulas elementales mas pesadas)
– Carga
– Extrañeza
5
Fuerzas conservativas y no conservativas
Hay dos tipos de fuerzas
• conservativas (fuerza gravitatoria, fuerza
elastica de resorte)
•Todas las fuerzas microscopicas son conservativas:
Gravedad,
Electromagnetismo,
Fuerza nuclear debil,
Fuerza nuclear fuerte
• no conservativas (fricción, tensión)
Fuerzas macroscopicas son no -conservativas,
6
Fuerzas conservativas
Una fuerza conservativa es aquella en la que el trabajorealizado por un cuerpo para moverlo entre dos puntoses independiente de la trayetoria que se elija.
el trabajo realizado dependeúnicamente de ri y rf
)2()1( atrayectoriWatrayectoriW PQPQ
7
Si un cuerpo se mueve en un camino cerrado (ri = rf ) el trabajo total realizado es igual a cero.
0)2()1(
)2()1(
atrayectoriWatrayectoriW
atrayectoriWatrayectoriW
QPPQ
QPPQ
8
Fuerzas no conservativas o disipativas
Las fuerzas no conservativas disipan la
energia
El trabajo realizado depende de la trayectoria
)2()1( atrayectoriWatrayectoriW PQPQ
0)2()1(
)2()1(
atrayectoriWatrayectoriW
atrayectoriWatrayectoriW
QPPQ
QPPQ
9
Trabajo realizado por fuerzas conservativas
Energia potencial: es aquella energia asociada a la posicion de un cuerpo.
Ejemplo: Cuando se levanta una bola una ciertadistancia, la gravedad realiza un trabajo negativosobre la bola. Este trabajo puede recuperarse comoenergia cinética si se deja caer la bola. La energia“almacenada” en la bola es la energia potencial.
Wc = -DU =-[Ufinal – Uinicial]
Wc = trabajo realizado por una fuerzaconservativa
DU = cambio en la energia potencial
10
Energia potencial
• Veamos dos tipos de energia potencial
• Energia potencial gravitatoria, debida a la gravedad.
• Energia potencial elástica de un resorte
11
Energia Potencial Gravitatoria
La energia potencial gravitatoria
U = mg(y-y0) donde y = altura
U=0 en y=y0 (ej., la superficie de
la tierra)
El trabajo realizado por la gravedad:
Wg = -mg Dy = -mg (y- y0)
12
Energia potencial gravitacional para un movimiento en trayectoria curva
Conclusión: la expresión para determinar la energía potencial es la misma tanto para una trayectoria curva como recta.
13
Energia potencial elastica
Uf – Ui = - [Trabajo realizado por un
resorte sobre la masa]
La masa m inicia enx=0 (Ui =0) y se
mueve hasta que el resorte es deformado a
la posicion x.
Trabajoresorte = - ½ kx2
U(x) – 0 = - (-1/2 kx2)
Uresorte(x) = ½ kx2
x = desplazamiento respecto a la
posición de equilibrio
x
F=-kx
Area del triangulo
= - kx veces el incremento en x
= trabajo realizado por el resorte
14
La Energia mecanica E es la suma de las energias potencialy cinetica de un cuerpo.
E = U + K
La energia mecanica total en un sistema aislado de objetoses constante si los objetos intecturan solo con fuerzasconservativas:
E = constante
Ef = Ei Uf + Kf = Ui+ Ki
DU + DK = DE = 0
Energia mecanica (Fuerzas conservativas)
15
Ejemplo: Una bola de masa m se deja caer desde una altura h por
encima del piso, como se ve en la figura:
(A) Despreciando la resistencia del aire, determine la rapidez de
bola cuando esta a una altura y encima de piso.
2 2
2
1 1
2 2
10
2
2 ( )
f i
f f i i
f f i i
f
f
E E
U K U K
mgy mv mgy mv
mgy mv mgh
v mg h y
-
(B) Despreciando la resistencia del aire, determine la rapidez de
la bola cuando esta en el piso.
16
Ejemplo: Un bloque de 0.5 kg se utiliza para comprimir un
resorte que tiene una constante de 80.0 N/m, a una distancia de
2.0 cm. Despues se libera al resorte, que rapidez final tiene el
bloque?
2 2 2 2
2 2
2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
1 10 0
2 2
80 / (0.02 )0.25 /
0.5
f f i i
f f i i
f i
if
U K U K
kx mv kx mv
mv kx
kx N m mv m s
m kg
Solución
17
Ejemplo: Una particula de masa m = 5.00 kg es liberada desde un
punto A y se deliza sin friccion en el camino mostrado en la Figura.
Determine:
(a) La rapidez de la particula en el punto B y C y
(b) El trabajo neto hecho por la fuerza gravitacional para mover la
particula desde A hasta C.
18
2 2
2
2
1 1
2 2
15 9.8 3.20 5 5 9.8 5 0
2
156.8 2.5 245
245 156.85.94 /
2.5
B B A A
B B A A
B
B
B
U K U K
mgy mv mgy mv
v
v
v m s
-
(a) La rapidez de la particula en el punto B
Encuentre la rapidez de la particula en el punto C luego
encuentre el trabajo con la relacion
W U -D19
Trabajo realizado por fuerzas no conservativasLas fuerzas no conservativas cambian la cantidad de energia
mecanica de un sistema
0
0f i
nc
E
E E
E W
D
-
D
Wnc = trabajo realizado por una fuerza no
conservativa
20
Problema: Unos niños montado en un trineo con masa total de 50 kg se
deslizan cuesta abajo con una alturra de 0.46 m. Si el trineo arranca desde el
reposo y tiene una rapidez de 2.6 m/s al llegar abajo, ¿cuanta energia térmica se
pierde por la friccion(i.e. cual es el trabajo que realiza la fuerza de friccion)? Si
la inclinacion es de un angulo de 20° por encima de la horizontal ¿cuál era la
fuerza de fricción.
2 2
( ) ( )
1 1
2 2
f f i i nc
f f i i
U K U K W
mgh mv mgh mv Wnc
-
-
Ya que vi = 0, and hf =
0,
JW
mghmvW
nc
fnc
5646.08.9506.2502
1
2
11
2
--
-
21
La fuerza hecha por la fricci`0n se determina por
cos
5642
cos 1.24 cos180
fr
fr
W F d
WF N
d
-
22
Diagrama de energia
Equilibrio
Estable (U minima)
Inestable (U maxima)
Neutro (U constante)
Punto de retorno: energia cinetica K=0
28
29
Determinación de la fuerza a partir de la energia potencial
Para un pequeño desplazamiento, el trabajo realizado por una fuerza Fx es
x
UxF
UxxF
x
x
D
D-
D-D
)(
)(
dx
dUxFx -)(
Para tres dimensiones,
Uz
Uk
y
Uj
x
UiF -
- )ˆˆˆ(
30
Conservacion de la energia
• La energia ni se crea ni se destruye solo se transforma.
• La energia de un sistema aislado permanececonstante.
int
1 1 1 2 2 2
0erna
grav elas otras grav elas
K U U
K U U W K U U
D D D
31
Ejemplos adicionales
32
33
[1] Una fuerza F = (4xˆi + 3yˆj) N actua en un objeto que se
mueve en la direccion x desde el origen a x = 5.00 m.
Encuentre el trabajo realizado sobre el objeto por la fuerza.
Jx
dxxidxjyixdrFW
f
i
r
r
50)2
(4)4(ˆ).ˆ3ˆ4(.5
0
25
0
5
0
[2] Un objeto de 3.00 kg tiene una velocidad (6.00ˆi - 2.00ˆj) m/s.
(a) Cuanto es su energia cinetica en ese tiempo? (b) Encuentre el
trabajo total realizado en el objeto si su velocidad cambia a (8.00ˆi
+ 4.00ˆj) m/s.
JvvmKWb
JmvKa
vv
if
ii
fi
60)4080(2
3)(
2
1][
60)40)(3(2
1
2
1][
801664,40436
22
2
--D
33
34
[3] Un carrro de 1300 kg car viaja en 17.0 m cuesta arriba. Durante el viaje
actuan dos fuerzas no conservativas que realiza trabajo sobre el carro:
(i) La fuerza de friccion, y
(ii) La fuerza generada por el motor del carro.
El trabajo realizado por la friccion es –3.31 105 J;
El trabajo realizado por el motor es +6.34 105 J.
Encuentre el cambio de energia cinetica en el carro desde abajo hasta arriba en la
cuesta.
5 5
5 5 5
-3.31 10 6.34 10 1300 9.8 17
3.03 10 2.16 10 6.5 10
ncW k u
k
k J
D D
D
D -
34
35
Un carro de 1500 kg car acelera uniformemente desde el
reposo a una velocidad de 10 m/s en 3s. Encuentre (a) el
trabajo realizado sobre el carro en este tiempo, (b) la potencia
promedio entregada al motor en los primeros 3s.
2 21( )
2
11500 (100 0) 75000
2
f i
f i
W k k k
W m
W J
D -
-
-
750002500
3
WP wat
t
a)
b) Watt
35
36
[5] Cuando una masa de 4 kg se cuelga verticalmente en un
resorte ligero que cumple con la Ley de de Hooke, el resorte se
estira 2.5cm. Si se quita la masa de 4 kg, (a) cuanto se estira el
resorte si se cuelga una masa de 1.5kg, y (b) cuanto trabajo debe
realizar un agente externo para estirar el mismo resorte 4.0 cm
desde la posicion de equilibrio?
1568
0.9
mgF kx k N m
x
mgF kx x cm
k
-
- - -
a)
b)
J
mNmmN
kxkx
UW elas
25.1
)0)/1568(2
1)04.0()/1568(
2
1(
]2
1
2
1[
22
2
1
2
2
-
--
--
D-
36
37
[6] Una fuerza conservativa Fx = (2x + 4) N actua sobre una
particula de 5kg, donde x esta expresada en m. Al moverse una
particula en el eje x desde x = 1 m a x = 5 m, calcule (a) el trabajo
realizado por esta fuerza (b) el cambio en la energia potencial de la
particula, y (c) su energia cinetica en x = 5 m si su velocidad en x
=1m es de 3 m/s.
55
2
11
(2 4) 4 40W x dx x x J
40
W u
u J
-D
D -
40
W K
K J
D
D
c)
b)
a)
37
General Physics 1 ,ceL14nayelE .A.T /yB , 38
[7] Use la conservacion de la energia para determinar la velocidad
final de una masa de 5.0kg atada a una cuerda ligera, en una polea
sin friccion y atada a otra masa de 3.5 kg cuando la masa de 5.0
kg mass cae (iniciando desde el reposo) una distancia de 2.5 m
como se muestra en la figura
2 2
1 2 1 2
0
1 1
2 2
f f i i
E
k u k u
m m m gh m gh
D
Sustituya y encuentre v
38
39
[8] Un bloque de 5kg se pone en movimiento hacia arriba en un
plano inclinado como se ve en la Figura con una velocidad inicial
de 8 m/s. El bloque llega al reposo despues de viajar 3 m en el
plano, tal como se aprecia en el diagrama. El plano esta
inclinado en un angulo de 30° respecto a la horizontal. (a)
Determine el cambio de energia cinetica. (b) Determine el
cambio en energia potencial. (c) Determine la fuerza de friccion
en el bloque. (d) Cual es el coeficiente de friccion cinetica?
39
40
2
k
10
2
( ) ( )
f = mg cos30
f i
i
f i
f i
nc f i
f f i i
k k k
k m
u u u
u mgh mgh
W E E
fs k u k u
D -
D -
D -
D -
-
- -
a)
b)
c)
d)
40
41
[9] Un bloque con masa de 3 kg inicia a una altura h = 60 cm sobre
un plano con un angulo de inclinacion de 30°, como se muestra en la
Figura. Al llegar al fondo de la rampa, el bloque se desliza en una
superficie horizontal. Si el coeficiente de friccion en ambas
superficies es Uk = 0.20, que tan lejos el bloque se deslizara en la
superficie horizontal hasta llegar al reposo?
41
42
2
1
2
2
2
2
1( 0) (0 )2
1(0 0) ( 0)
2
1=
2
nc f i
f
i
i
W E E
fs mv mgh
fs mv
fs mv
-
- -
- -
-
Y encuentre v
Y encuentre s2
42
43
[10] Inicialmente un bloque se desliza a una velocidad de 1.7 m/s, a
1.7 kg block y colisiona con un resorte al cual comprime 0.35 m
antes de llegar al reposo. Cual es la constante de fuerza del resorte?
2 21 10 0
2 2
40.1 /
f i
resorte
E E
kx m
K N m
43
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