Electricidad y Magnetismo 2009/2010
Electrostática: Introducción, Gauss, Superposición EyM 3-a 1
J.L. Fernández JambrinaEyM 3a-1
Electrostática
• Definición
• Los conductores en electrostática.
• Campo de una carga puntual.
• Aplicaciones de la Ley de Gauss
• Integrales de superposición.
• Potencial electrostático.
– Definición e Interpretación. Ecuaciones de Poisson y Laplace. Condiciones de Interfase. Integrales de superposición. Condiciones de regularidad. Teorema de unicidad, teorema del valor medio.
• Campo y potencial eléctrico en puntos alejados: dipolo, momento dipolar, ...
• Polarización de materiales.
• Método de las imágenes.
• Sistemas de conductores. Condensadores.
• Energía y Fuerzas.
J.L. Fernández JambrinaEyM 3a-2
Electrostática: Definición.
• Es el caso más simple de las Ecuaciones de Maxwell.
• Condiciones:
– No hay variación con el tiempo:
– No hay movimiento de cargas:
» Esta última condición es necesaria:
• Puede haber corrientes aunque
• Ejemplo: esfera con carga uniforme que gira alrededor de uno de sus diámetros.
• Comentarios:
– No pueden existir situaciones estáticas desde un punto de vista estricto:
» Los campos precisan de un tiempo infinito para alcanzar su valor estático.
» Siempre hay corrientes de conducción en los medios.
– No obstante, es una buena aproximación para muchos casos en que las corrientes y las velocidades de las cargas son pequeñas.
0J
0dtd
0 dtd
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Electrostática: Introducción, Gauss, Superposición EyM 3-a 2
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– En estas condiciones las ecuaciones de Maxwell se simplifican notablemente:
– Puede suponerse sin problema que el campo magnético es nulo, aunque no se sigue directamente de sus ecuaciones.
– Las ecuaciones de la electrostática son:
Campo Estático
ED
EDrE
0
0
rE
rHrBrErD
rJ
rBrrD
rH
rE
Jt
trEtrJ
trHtrBtrEtrDt
trtrJ
trBtrtrDt
trDtrJtrH
t
trBtrE
0
0
0
0
0
0
0
,,
,,,,
0,
,
0,,,
,,,
,,
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El campo electrostático en el interior de los conductores.
• Antes de pasar al estudio en profundidad de las ecuaciones de la electrostática conviene analizar el comportamiento de los conductores.
– Puesto que las corrientes son nulas y la conductividad de los conductores no es nula, el campo eléctrico en los conductores es nulo:
» Partiendo de la ley de Ohm generalizada:
» Para conseguir este efecto la cargadel conductor se distribuye sobre su superficie de forma que cancela cualquier campo exterior.
» La carga neta en el interior del + conductor es nula:
0
0,0
E
J
JEEJ
0 ED
00E
0
-
+
+
+
-
-
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• Se trata de aplicar las condiciones de frontera sabiendo que en el interior de los conductores el campo es nulo:
– Suponiendo que el conductor es el medio 1:
– Resulta que el campo en la parte exterior de lasuperficie de los conductores es normal a lasuperficie.
– Por comodidad se suele denominar al campoen la parte exterior de la superficie de los conductores como campo en la superficie del conductor.
nE
E
E
En
DDn
DE
EEn
DDn
S
S
t
Sn
S
SnS
S
SS
ˆ
00ˆ
ˆ
00
0ˆ
ˆ
2
2
2
2
2
2
22
11
12
12
El campo electrostático en la superficie de los conductores.
n̂
12 0
0
1
1
11
DE0
,
2
2
22
DE
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Campo de una carga puntual en espacio libre
• Es necesario para justificar la utilización de las simetrías en la aplicación de la Ley de Gauss.
– Planteamiento del problema:Se supone que la carga está en el origen de coordenadas.
– Por la linealidad del medio:
– Se conoce que:
– Luego:
0
00
0
EED
Dr
000 DDr
0
002
v
rvr
r
kv
ˆ
SOSdDqS
SOkSdvSS 4
rr
qv
qD ˆ
244
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Campo de una carga puntual en espacio libre
• La expresión del campo creado por una carga en el origen de coordenadas es:
• Propiedades:
– Es radial.
– Su módulo sólo depende (del inverso del cuadrado) de la distancia entre la carga y el punto de observación.
rr
qrD ˆ
24
J.L. Fernández JambrinaEyM 3a-8
Aplicaciones directas de la Ley de Gauss.
• La ley de Gauss en su forma integral permite en determinadas condiciones calcular el campo creado por una distribución de carga.
– En general se requiere un conocimiento previo del comportamiento del campo en la superficie en que se aplica la ley de Gauss.
– Este comportamiento se suele inferir a partir de
» Las simetrías que presente el sistema.
» El hecho de que el campo debido a una carga puntual es radial.
• Importante:
– La ley de Gauss se puede aplicar siempre.
– Las simetrías sólo son necesarias para poder utilizar la Ley de Gauss para obtener el campo eléctrico.
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Ley de Gauss:Distribuciones con simetría esférica.
• Una distribución tiene simetría esférica cuando sólo hay variación con la coordenada esférica r:
• Bajo estas condiciones el campo eléctrico es radial y sólo depende de la coordenada esférica r:
– Demostración:
» Dado un punto arbitrario para el cálculo del campo y un dq arbitrario, siempre resulta posible encontrar otro dq’ tal que su contribución al campo total cancele las componentes no radiales del primer dq :
» El campo no depende de las coordenadas q y j: una carga vería la distribución de igual forma al variar estas coordenadas.
rrDD
rrEE
r
r
ˆ
ˆ
j
q
0d
d
d
d
dq
dq’
dE
dE
dE dE
J.L. Fernández JambrinaEyM 3a-10
Ley de Gauss:Distribuciones con simetría esférica. (2)
• Con estos presupuestos basta aplicar la ley de Gauss a una superficie esférica centrada en el centro de simetría de la distribución:
– Donde q(r) es la carga encerrada en la superficie de radio r.
• Ejemplo:
– El campo creado por una bola de carga de radio R y densidad de carga es:
0
rRr
r
R
Rrrr
r
qrD
rRR
Rrr
dVrqrV
;ˆ3
0;ˆ3
4;
3
4
0;3
4
2
3
0
0
23
0
3
0
rDrdSrDSdDrqdV rS
rSV rr
24
rr
rqEr
r
rqrD
r
rqrDr
ˆ4
ˆ44 222
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Electrostática: Introducción, Gauss, Superposición EyM 3-a 6
J.L. Fernández JambrinaEyM 3a-11
Ley de Gauss: Distribuciones invariantes en una dirección con simetría de revolución.
• Una distribución tiene simetría de revolución alrededor de un eje, el eje Z, y es invariante en esa dirección cuando sólo hay variación con la coordenada cilíndrica :
• Bajo estas condiciones el campo eléctrico es radial y sólo depende de la coordenada cilíndrica :
– Demostración:
• Dado un punto arbitrario para el cálculo del campo y un dq arbitrario, siempre resulta posible encontrar otro dq’ tal que su contribución al campo total cancele las componentes no radiales del primer dq :
• Una carga vería la distribución de la misma forma aunque varíen j y z.
j
0dz
d
d
d
ˆ
ˆ
DD
EE
dq
dE
dE
dE dE
dq’
J.L. Fernández JambrinaEyM 3a-12
Ley de Gauss: Distribuciones invariantes en una dirección con simetría de revolución. (2)
• Con estos presupuestos basta aplicar la ley de Gauss a una superficie cilíndrica con eje el el eje de simetría de longitud arbitraria L:
– Observese que el flujo a través de las tapas es nulo porque el campo eléctrico es tangencial a la superficie.
– Donde qL es la carga por unidadde longitud dentro del cilindro deradio .
• Ejemplo: Distribución lineal de carga a lo largo del eje z:
ˆ2
ˆ22
LLL qE
qD
qD
D D
D D
n
n z
L
LDdSDSdDSdDSdDLqdVSlatTapasSlatS
LVL
2,
L
ˆ2
E
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• Estas distribuciones sólo dependen de una coordenada lineal, si ésta es la coordenada z:
• Son indefinidas en las direcciones a la coordenada de la que dependen.
– Para comenzar su estudio conviene empezar por el caso más simple: una distribución de carga superficial constante en el plano z=0.
– El campo tiene sólo componente normal a la distribución: dado un dq siempre se puede encontrar otro, en posición simétrica, de forma que se cancelan las componentes del campo paralelas al plano de la distribución.
– Para puntos simétricos respecto del plano, uno a un lado y el otro al otro lado, el campo tiene el mismo módulo y sentidos contrarios: cuestión de simetría.
– El módulo del campo no depende de la distancia a la distribución:
Ley de Gauss: Distribuciones con variación en una dirección.
0dy
d
dx
d
z
s
D
D
zEzzEzzEzE zz
ˆˆ
J.L. Fernández JambrinaEyM 3a-14
zz
zzzDhD
S
S
Sz
0;ˆ2
0;ˆ2
2
ShDdShDdShD
SdDSdDSdDSdD
SdSq
zhzS
zhzS
z
hzShzSSlatS
SzS
S
2
0
0
Ley de Gauss: Distribuciones con variación en una dirección. (2)
– El módulo del campo no depende de la distancia a la distribución:
» Basta con tomar una superficie de Gauss como la de la figura: un cilindro con recto con sus tapas paralelas a la distribución y en posiciones simétricas respecto a ellas.
• El flujo a través de la superficie lateral es nulo ya que el campo es tangencial.
• El flujo a través de las caras se suma debido a la simetría del campo y de las normales.
D
n
n̂
n̂D
Sh2
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02
a
Ley de Gauss: Distribuciones con variación en una dirección. (3)
• El campo es constante a cada lado de la distribución superficial y con el mismo módulo y sentidos contrarios a cada lado.
• En caso de distribuciones mas complejas, debe recordarse que cada dz define un elemento infinitesimal de carga equivalente a una distribución superficial de carga de densidad: S=dz y que la simetría de los campos debe mantenerse fuera de la distribución.
02
0Z
z=az=-a
Zz=a
z=-a
zD
0a
02
a
02
3
a
0a
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• Supongamos un conjunto de cargas puntuales en el vacío.
– El campo producido por ellas será la suma de los que producen cada una de ellas por separado, es decir:
siendo el campo producido por la carga i-ésima qi.
Campo producido por un sistema de cargas puntuales
ii
ii
i
i
i
i
i
i
rr
rrqR
rr
qrErE
3'
'
2' 4
ˆ
4
O
q2
q1
r2
r1
E1
r
ri qi
E2
Ei
E ETotal i
i
rEi
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• Un elemento de volumen dV' situado en tendrá una carga y producirá un campo eléctrico en el punto de observación que viene dado por:
• El campo total vendrá dado por la integral:
– Análogamente, para distribuciones superficiales y lineales:
– Estas expresiones permiten obtener el campo producido por distribuciones arbitrarias y por tanto son de aplicación más general que la ley de Gauss.
Integrales de Superposición:(Aportaciones infinitesimales)
3344 rr
rrVdr
rr
rrrdqrEd
dVrdq
dE r
r
dV’
dq
O
V
r
rEd
r rr
VQ rr
Vdrrr
rr
dqrrrE
334
1
4
1
S
S
rr
SdrrrrE
34
1
C
L
rr
ldrrrrE
34
1
r
dlr
dSr
dVr
dq
l
s
J.L. Fernández JambrinaEyM 3a-18
• Calcular el campo creado por un disco de carga uniforme, , de radio R en su eje.
– Se aplica:
– Dada la geometría:
– Debido a la simetría solo hay componente z.
Integrales de Superposición: Ejemplo 1
X
Y
Z
r
r
R
SS
S
rr
dSrr
rr
dSrrrrE
33
'
4
'
4
1
S
j
ddSd
zrr
zzrr
r
zzr21
22
ˆˆ
ˆ
ˆ
zz
zRzzzz
z
dzz
ddz
zzd
zzzE
R
R
R
ˆ11
2
1ˆ
2ˆ
4
2
ˆ
0
ˆ4
ˆ
22
0
220 22
0
2
022
2
022
21
23
23
23
j
j
j
j
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Integrales de Superposición: Ejemplo 1 (2)
Líneas de campo eléctrico de un disco cargado con densidad uniforme.
0 +1-1
0
+1
-1
z/a
/a
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Integrales de Superposición: Ejemplo 1 (3)
• Notas:
–
– El campo presenta una discontinuidad en el origen de valor /, como se podría haber predicho a partir de la condición de interfase:
– Cuando la distancia al disco es muy grande, comparada con su tamaño, el campo se comporta como el de una carga puntual de valor igual a la del disco.
0ˆsenˆcosˆ2
0
2
0jjjj
dyxd zzz 2
zzzEzzE
zzzzRz
zzE
zzzzRz
zzE
zz
zz
zz
ˆˆlimˆlim
ˆ2
ˆ11
2limˆlim
ˆ2
ˆ11
2limˆlim
00
2200
2200
zz
zQz
zz
Qz
zz
Rz
z
R
z
z
zzRz
zzz
zRzzzE
Rz
DISCODISCO ˆ4
ˆ4
ˆ4
ˆ2
11
2
ˆ1
11
2ˆ
11
2ˆ
3
2
2
2
2222
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1
0.5
Integrales de Superposición: Ejemplo 1 (4)
• Representación gráfica de:
z
zRz
zEz
22
112
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
0
0.5
1
3
2,
2
2
z
zRzE lejz
Rz
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Ejemplo 2: Línea de carga uniforme.
• Sea ahora una línea de carga uniforme de longitud L.
– Supongamos que está sobre el eje Zy centrada en el origen:
XY
Z
L/2
-L/2
L
zdld
zzrr
zzzrr
zzr
zzr
22
ˆˆ
ˆ
ˆˆ
zzLzL
zL
zL
zL
zL
zz
zzzzd
zz
zzzld
rr
rrrrE
L
L
L
LL
L
ˆ2
1
2
1
ˆ2
2
2
21
4
ˆˆ
4
ˆˆ
44
1
21222122
21222122
2
2
2122
2
2
23223
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Ejemplo 2: Línea de carga uniforme. (2)
• Representación del campo.
0
1
2
-1
-20-1-2 1 2
L
Lz
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Ejemplo 2: Línea de carga uniforme. (3)
• La expresión anterior no está definida en el eje Z, aunque se puede intentar obtener una:
– La componente radial
» Fuera de la distribución es nula.
» Sobre la distribución no está definida. Esto es común a todas las distribuciones lineales.
– La componente z en los extremos de la distribución se hace infinita.
zzLzL
zzE ˆ2
1
2
1
4)ˆ(
0 L 2L-L-2L
0
-5
5
4)ˆ( zzEz
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Distribuciones Invariantes en z
• Una distribución es invariante en z si ni su geometría ni su densidad dependen de la coordenada z.
– queda definida por su intersección con un plano z=cte y su densidad.
• Cálculo del campo:
– Se pueden definir elementos de carga lineal a partir de diferenciales de superficie:
– Partiendo del campo creado por una línea de carga:
– Y sumando las contribuciones:
» Importante: Todos los vectores de posición implicados deben pertenecer a un mismo plano z=cte: son bidimensionales.
rldrrqdrldr
rSdrrqdrSdr
SLS
L
,
,
2
2 rr
rrrE L
z
S
dS
LS
S
LL
ldrrr
rr
Sdrrr
rr
qd
rr
rrrE
2
2
2
2
1
2
1
2
1
J.L. Fernández JambrinaEyM 3a-26
Distribuciones Invariantes en z: Ejemplo
• Calcular el campo creado por una tira indefinida de densidad superficial de carga constante en los puntos del eje Y.
– Se aplica:
– De la geometría:
– Sustituyendo:
» La componente x se cancela por simetría.
Z
Y
X
S
w
LS ldr
rr
rrrE
22
1
y
wy
y
xyyx
x
xdyx
yyxxzzyyE
w
w
w
w
2arctgˆarctgˆln
2
ˆ
2
ˆˆ
2ˆˆ
2/
2/
22
2/
2/ 22
xdldyxrr
yyxxrr
xxr
yyr
21
22
ˆˆ
ˆ
ˆ
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J.L. Fernández JambrinaEyM 3a-27
Distribuciones Invariantes en z: Ejemplo (2)
• Existe una discontinuidad en y=0 de valor /como se podría haber predicho a partir de la condición de interfase:
yyyEyyE
yy
wyyyE
yy
wyyyE
yy
yy
yyˆˆlimˆlim
2ˆ
2arctgˆlimˆlim
2ˆ
2arctgˆlimˆlim
00
00
00
E yy ( )
y/w
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 50.5
0
0.5
J.L. Fernández JambrinaEyM 3a-28
Distribuciones Invariantes en z: Ejemplo (3)
• Cuando la distancia a la tira es mucho mayor que su ancho el campo tiende al de una línea indefinida de carga con la misma carga por unidad de longitud que la línea:
y
qy
y
wy
y
wy
y
wyzzyyEwy L
2ˆ
2ˆ
2ˆ
2arctgˆˆˆ
y/w
E y
E y
y
y LJE
( )
( ).
0.1 1 100.01
0.1
1
10
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Distribuciones Invariantes en z: Ejemplo (bis)
• Calcular el campo creado por una tira indefinida de densidad superficial de carga constante en todos los puntos del espacio.
– Se aplica:
– De la geometría:
– Sustituyendo:
Z
Y
X
S
w
LS ldr
rr
rrrE
22
1
222
ˆˆ
ˆ
ˆˆ
yxxrr
yyxxxrr
xxr
yyxxr
y
xw
y
xwy
ywx
ywxx
y
xxyyxx
x
xdyxx
yyxxxrE
w
wx
w
wx
2arctan
2arctanˆ
2
2ln2
ˆ
2
arctanˆln2
ˆ
2
ˆˆ
2)(
22
22
2
2
22
2
2
22
J.L. Fernández JambrinaEyM 3a-30
Distribuciones Invariantes en z: Ejemplo (4)
1
0
1
1 0 1
y/w
x/w
• Representación del campo.
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