Download - El teorema fundamental del cálculo

Definimos la función

donde es una constante

y

es la variable independiente

x

a

F x f d

a

x

x

a

F x f d f x

a

x

Se tiene

x

a

F x f d

dF x f x

dx

b

a

f x dx F b F a

• Clasificación de las ecuaciones diferenciales• Solución de una ecuación diferencial ordinaria• Problema de valores iníciales y de valores a la

frontera• Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden• Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n• Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n

lineales y la transformada de Laplace• Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias• Solución mediante series de ecuaciones diferenciales

ordinarias

Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una función desconocida y sus derivadas

2

2

2 2

22

df xkf x x

dx

d xm F

dt

it m x

Una ecuación diferencial es ordinaria si la función desconocida depende de solo una variable

2

2

2 2

22

df xkf x x

dx

d xm F

dt

it m x

Una ecuación diferencial es ordinaria si la función desconocida depende de solo una variable

0

32 2

3

sin cosdf x

x xf x xdx

dvav x

dt

d y dyx xy y x ydx dx

Una ecuación diferencial es parcial si la función desconocida depende de varias variables

2 2

2

2

2

22

2 2 2 2 2

2

2

, ,, 0

1 1 1sin 4 , ,

sin sin

ˆ

it m x

q x y q x yq x y

x y

r rr r r r r

r

r

El orden de una ecuación diferencial es el orden de la mayor derivada que aparezca en ella

22

2

3

3

5

0

i

i ii

d f x dfkf x x

dx dx

b at x

d za b

dz

d g p

dp

Segundo orden

Tercer orden

Primer orden

Orden 5

Una solución de una ecuación diferencial

en la función desconocida f(x) y en la

variable independiente x en el intervalo I,

es una función f(x) que satisface la

ecuación diferencial idénticamente para

toda x en I

Ya veremos más adelante ejemplos

Una ecuación diferencial con condiciones

subsidiarias en la función desconocida y sus

derivadas, todas ellas dadas para el mismo

valor de la variable independiente, constituye

un problema de condiciones iniciales (initial-

value problem).

Las condiciones subsidiarias son las

condiciones iniciales.

Si las condiciones subsidiarias se dan para más de

un valor de la variable independiente, el problema

se llama de valores a la frontera (boundary-value

problem) y las condiciones se llaman de frontera

(boundary conditions).

Una ecuación diferencial con condiciones subsidiarias en la función

desconocida y sus derivadas, todas ellas dadas para el mismo valor

de la variable independiente, constituye un problema de condiciones

iniciales (initial-value problem). Las condiciones subsidiarias son las

condiciones iniciales.

,dy

y f x ydx

A xdyy

dx B y

Se dice que es de

variables separables si

,dy

y f x ydx

0

,

0

0

dyB y A x

dxx

dyB y dx A x dx

dx

B y dy A x dx

En este caso

Integramos respecto a

y por la regla de la cadena

A xdyy

dx B y

2

2

31

3

dydx x

dyx

d

dxdx

x

y x x c

3

3

3

3

1

3

1

31

531

23

y x c

y x

y x

y x

es la solución general

es una solución particular



2dyx

dx

3

3

0 4

10 0 4,

34.

14

3

y x

y x c

c

y x x

Condición inicial:

Ahora

por lo tanto,

La solución que satisface la condicióninicial es

2 31

3

dyx y x x c

dx ;

31

3y x c

0 i

dva

dt

v t v

con la condición inicial

dv dva dt adt

dt dt

v at c

0 i

dva v t v

dt con la condición inicial

0 i i

i

v t c v c v

v t v at

0 i

dva v t v

dtv at c


0 i

i

dva v t v

dtv at c v t v at


2 4 6 8 1 0

1 5

1 0

5

5

,,

,

, , 0

, , 0

, , 0

M x ydy dyy f x y

dx dx N x y

dyN x y M x y

dxdy

N x y dx M x y dxdx

N x y dy M x y dx

lim

es un simbolo, no una fracción

y "no existen" independientemente

x x

y x y xdyx

dx x x

dy

dx

dx dy

,,

,

, , 0

, , 0

M x ydy dyy f x y

dx dx N x y

N x y dy M x y dx

N x y dy M x y dx

, , 0N x y dy M x y dx

, , 0

, ,

0

Si y

N x y dy M x y dx

M x y A x N x y B y

B y dy A x dx

0

Solución general:

donde es una constante arbitraria

B y dy A x dx

B y dy A x dx c

c

sin 0

sin

n

0

c s 0

si

o

cos

dy xdx

dy xdx

y x c

dyx

dx

y x c x

sin cos 1,2,3,4,5dyx

dxy x c x c ;

2 4 6 8 1 0

1

2

3

4

5

6

2

2

2

2

2

1/

2

2

exp

exp 0

exp 0

1exp 0

02 2

2

1

erf

erf

xdf

dx f

dff xdxdf

f dx x dxdx

d fdx x dx

dx

x

x

f c

f x c

2

1/ 2exp xdfx

dx ff x c

erf

1 2 3 4

2

3

4

5

6

1,2,3,4,5c

0

0

0

0

ln ln

exp exp exp

0 ex

e

p

0

xp

dN dNkdt k dt c

N NN kt c N c kt

N t c

dN tkN t

kt c

N t N k

N Ndt

kt

N c N

t

0

0

exp

100 1/ 4

N t N kt

N k

ln

;

exp ex

0

exp exp

p

m

m

m

m

m m

dT

dT dTdt dt c

T T T T

T T t c T T c t

tT T

d

T t T c t

t

lim exp exp

.

0

0 exp exp 0 exp

e

e

x

xp; p0 e

x

x

p

e p

Condiciones "finales":

independientemente de

Condiciones iniciales:

m m

i

m

m

m i

i m

m i

m

m

tT T c t T

c

T T

T T c T c T

c T T

T t T T T t

dT tT T

tT t T t

dc

exp

40 60 1/ 4m i m

m i

T t T T T t

T T

0

Solución general:


B y dy A x dx

B y dy A x dx c

c

dy yy f

dx x

ln ln ln /

exp

dy dzy zx z x

dx dx

dz dz dxz x f z

dx f z z x

dz dxx c x c

f z z x

dzx c

f

yz

x

z z

dy yy f

dx x

sin

sin

dy dzy zx z x

dx dxdz

z x z

x

dx

yz

z

dz dxxz

sindy y y

dx x x

sin

ln csc cot lnsin

ln csc cot ln ln ln

csc cot

csc / cot /

dz dx

z xdz dx

z z xz x

z z x c cx

cx z z

cx y x y x

sinsin

dy y y y dz dxz

dx x x x z x

más

2 2

2 2

sin cos2 2

sin 2sin cos 2sin cos2 2 2 2

sin cos sin cos1 12 2 2 22 22sin cos 2sin cos cos sin

2 2 2 2 2 2

ln cos ln sin2 2

x xdx

dx dxx x x xx

x x x xdx dx dx dx

x x x x x x

x x

dyy f ax by

dx

1

1

/

/

z ax dy a dzy

b dx b b dx

a dz dzf

z

z bdxb b dx f

x y

z b

a b

a

dz dx x cf z a b

dyy f ax by

dx

2dy

y x ydx

dyy f ax by

dx

2 2

22

ln2

2ln 2 ln ln 2 exp

2 2 exp

ex

2

p 2 2

dy dzy z x

dx dxdz dz

z dxdx z

dzdx x c

zz

z c x z c xc

x y c x

y x x

z x

x

y

c

2dy

y x ydx

exp

ex

2

2

p 2

2 2c x x x

x

d

dx

y

yc x

2 exp 2 2dy

x y y x c x xdx

11

dyy

dx x y

dyy f ax by

dx

22

2

1

11 1

1 1

2 2

2

dy dzy x z

dx dxdz

zdz dxdx z

zdz dx x c

z x c x y x c

x y c

z x

x

y

11

dyy

dx x y

,

, ,

es homogenea si

dyy f x y

dx

f x y f x y

,

1

1,

, ,

dy dvv x

dx dxv x

dvv x f x

d dx

f

y

x

x

x fdx

v

Sustituir con

La ecuación resultante, en y es separable

, , ,dy

y f x y f x y f x ydx

es homogenea si

,

, ,

y xf x y

y x

y x y x y xf x y f x y

y x y x y x

Es homogenea:

dy y xy xdx

1 1

1 1

11

dy dvv x

dx dxxdv x x

v xdx x x x

dvv x

y vx

dx

dy y x

dx y x

2 2

2

1 1 1 2

1 1 1

1

1 2

dvxdx

dxd

x

1

1

dy y x dvy vx v x

dx y x dx

con

2

2

2 2 22

2 2 22

2 2 2

1

1 21

ln ln ln 1 22

1/ 1 2 1 1 2 1

1 2

2

dxd

x

x c

x x y yx c

c c x x

x x y y c

2

1

1 2

dxd

x

2 22

dy y x

dx y x

x xy y c

3 3

3 3

dy x y

dx x y

3 3

3 3

3 3 3 3

3 3 3 3

,

, ,

x yf x y

x y

x y x yf x y f x y

x yx y

Es homogenea:

3 3 3 3

3 3 3 3

1 13 4 3

3 3

3

4 3

1

1

1 1

1 1

1

1

dy dvy vx v x

dx dx

dv x v x vv x

dx x v x v

dx v v v vv dv dv

x v v

vdv

v v v

3 33 3 3 3

3 33 3 3 3, ,

x ydy x y x yf x y f x y

dx x y x yx y

4 33

4 3

3 2

ln

ln 11

1 4

3 7 2 7 2 7 2 7 7arctan

14 7 7 7 7

2 1 73 7arctan

14 7

dxx

x

v v vvdv

v v v

v v v

v

3

4 3

1

1

dx vdv

x v v v




ordinarias

, , 0

, ,

La ecuación

es exacta si y sólo si

N x y dy M x y dx

M x y N x y

y x

, ,, ,

, , 0

,

Resolver y

La solución a

está dada implicitamente por


g x y g x yM x y N x y

x y

N x y dy M x y dx

g x y c

c

2, :g x y

g gdg dx dy

x y

g g

y x x y

R R

Ejemplo

Resolver la ecuación diferencial

ordinaria de primer orden

0ydx xdy

0ydx xdy

, , 0

, ,

La ecuación


N x y dy M x y dx

M x y N x y

y x

0ydx xdy

, , 0

, ,

La ecuación


N x y dy M x y dx

M x y N x y

y x

1y x

y x

¡Sí es exacta!

0ydx xdy

, , 0

, ,

La ecuación


N x y dy M x y dx

M x y N x y

y x

gy

xg

xy

0ydx xdy

, , 0

, ,

La ecuación


N x y dy M x y dx

M x y N x y

y x

1

11

,

,

gy g x y yx c y

xg dc

x x x c cy dy

g x y yx c c

yx

cte

, , 0

, , , 0

La ecuación

es exacta, peN roO

Sí

N x y dy M x y dx

I x y N x y dy M x y dx

, , , 0

,

I x y N x y dy M x y dx

I x y

La función es el llamado "factor integrante"

1. Hay técnicas para saber si existe

2. En ocasiones es posible "verlo"

1

, exp

M Nx

N y x

I x y x dx


Ejemplo

1

, exp

N My

M y x

I x y y dy


Ejemplo

, ,

1,

M x y y xy N x y x xy

I x yxM yN


Ejemplo

, expay

M NaM

y xx

N

I x y e x dx


Ejemplo

Problema 1. 2:30 minutos.

Resuelve el sistema de ecuaciones

2 3

6 - 2 -1

x y

x y

Problema 2. 6:00 minutos.

Los propietarios de un centro comercial en el que

el 70% del área se empleaba para estacionamiento

de coches compraron un terreno adyacente,

dedicando 85% del mismo a estacionamiento y

el resto a edificios. El área así aumentada alcanzo

30,000 metros cuadrados, 75% de la cual se destinó

a estacionamiento. Determínese el área original

del centro comercial y el área comprada.




ordinarias

0dy

p x ydx

1 2 1 2y y ay by

Una ecuación es lineal cuando

la combinación lineal de soluciones

es solución.

Si y son soluciones, ,

también es solución.

0dy

p x ydx

La ecuación

es lineal

1 2 1 2y y ay bySi y son soluciones, , también es solución.

1 2 1 2

1 21 2

1 21 2

0 0 0

day by p x ay by

dxdy dy

a b ap x y bp x ydx dxdy dy

a p x y b p x ydx dx

a b

1 2 1 2y y ay bySi y son soluciones, , también es solución.

2

2

1 2 1 2

2 2 2 21 21 2 1 2

0

2

dyy

dxd

ay by ay bydx

dy dya b a y b y aby y

dx dx

Obviamente NO es lineal

´ 0y p x y

dyp x y

dxdy

p x dxy

ln

exp

dyp x dx

y

y p x dx

y x c p x dx

´ 0y p x y

Ejemplo

5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 0

1 0 0 0 0

2 0 0 0 0

3 0 0 0 0

4 0 0 0 0

ln 61001000

tn t e

dyp x y q x

dx

1 2 1 2

1 21 2

1 21 2

dyp x y q x

dxd

ay by p x ay bydx

dy dya b ap x y bp x y

dx dxdy dy

a p x y b p x ydx dx

a q x b q x

0

exp

hh

h

dyp x y

dx

y x c p x dx

Se resuelve primero la homogenea asociada

dyp x y q x

dx

expy x p x dx

c x

c x Se propone como solución para la inhomogenea

es decir, la homogenea, pero haciendo que

pase de una constante a una función de

dyp x y q x

dx

exp expdc xdy

p x dx p x c x p x dxdx dx

Debemos ahora sustituir la propuesta en la

ecuación original.

Primero vemos que

dyp x y q x

dx

exp exp

exp

dc xp x dx p x c x p x dx

dx

p x c x p x dx q x

Sustituyendo

dyp x y q x

dx

exp exp

exp

exp

p x c x p x dx p x c x p x dx

dc xp x dx

dx

q x

dc xp x dx q x

dx

queda

dyp x y q x

dx

exp

exp

exp

dc xp x dx q x

dx

dc xdx q x p x dx dx

dx

c x q x p x dx dx c

Esta ecuación se integra facilmente

dyp x y q x

dx

exp

exp exp

Regresando a la solución propuesta

c x q x p x dx dx c

cy x q x p x dx dx p x dx

dyp x y q x

dx

•Ejemplo 1

•Ejemplo 2

•Ejemplo 3


frontera• Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer

orden• Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n• Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n


ordinarias

0dy

p x ydx

ln

exp

dyp x dx

y

y p x dx

y x c p x dx

´ 0y p x y

dyp x y q x

dx

0

exp

hh

h

dyp x y

dx

y x c p x dx

Se resuelve primero la homogenea asociada

dyp x y q x

dx

expy x p x dx

c x

c x Se propone como solución para la inhomogenea

es decir, la homogenea, pero haciendo que

pase de una constante a una función de

dyp x y q x

dx

exp expdc xdy

p x dx p x c x p x dxdx dx

Debemos ahora sustituir la propuesta en la

ecuación original.

Primero vemos que

dyp x y q x

dx

exp exp

exp

dc xp x dx p x c x p x dx

dx

p x c x p x dx q x

Sustituyendo

dyp x y q x

dx

exp exp

exp

exp

p x c x p x dx p x c x p x dx

dc xp x dx

dx

q x

dc xp x dx q x

dx

queda

dyp x y q x

dx

exp

exp

exp

dc xp x dx q x

dx

dc xdx q x p x dx dx

dx

c x q x p x dx dx c

Esta ecuación se integra facilmente

dyp x y q x

dx

exp

exp exp

Regresando a la solución propuesta

c x q x p x dx dx c

cy x q x p x dx dx p x dx

dyp x y q x

dx

ny p x y q x y

0 1n Cuando ó es lineal

11

1

1

1

nn

n

n

z yy

ndz dy y

dy y dz n

ó

ny p x y q x y

1

1

n

nn

dy dy dz y dz

dx dz dx n dx

y dzp x y q x y

n dx

1

1

1

nn

n

dy yy p x y q x y z

y dz n

11:

1

1 1

1:

1

n n

dzn p x z n q x

dzy p x y q x

n dxdz

z p x z q xn dx

dx

Dividiendo entre

Cambiando a la variable

1

nn ny dz

y p x y q x y p x y q x yn dx

1

1

1 1

n

n

y p x y q x y

zy

dz n p x z n q xdx

Cambio de variable:

da

que es lineal de primer orden

Ejemplo

1 0 5 5 1 0

0 .1

0 .1

0 .2

2 3 4

66 3 6 4x x x x

Una gota de agua esférica pierde su

volumen por evaporación a una

razon proporcional a el área de su

superficie. Encuentra el radio de la

gota como función del tiempo en

términos de la constante de

proporcionalidad y del radio inicial.

3

2

Solución:

Si denotamos como

( )

a el radio de la gota de agua,

su volumen está dado como

4( ) ( )3

y el área de su superficie como

( ) 4 ( )

r t

V t r t

A t r t

3 2

2 2

Si llamamos

a la constante de proporcionalidad,

tenemos la ecuación diferencial

4( ) (4 )3

que al efectuar las derivadas queda como

4 4

y cancelando términos

k

d r k rdt

drr krdt

dr kdt

0

0

Se trata de una ecuación diferencial de

primer orden lineal de variables

separables que se integra como

( )

donde

es el radio inicial de la gota de agua.

r t k t r

r

1 2

1 2

1 2

1 2

, ,..., , ,

, , ,..., , , 0

n n n

n n n

n n n

n n n

d y d y d y dyf y x

dx dx dx dx

d y d y d y dyF y x

dx dx dx dx

1 2

1 2

1

, , ,..., , 0

La ecuación no contiene la función buscada , y sus

derivadas hasta el orden inclusive:

Se hace el cambio de variable

y entonces queda

n n n k

n n n k

k

k

n k

y

k

d y d y d y d yF x

dx dx dx dx

d yp

dx

d pF

1 2

1 2, , ,..., , , 0

que es de orden

n k n k

n k n k n k

d p d p dpp x

dx dx dx dx

n k

•Ejemplo

1 2 1

1 2 1

2

2

, , ,..., , 0

La ecuación no contiene a la variable independiente


Entonces queda

n n n

n n n

x

d y d y d y d yF y

dx dx dx dx

dyp y

dx

d y d dp dy dpp p

dx dx dy dx dy

3

3

222

2

d y d dp d dp dy d dpp p p p

dx dx dy dy dy dx dy dy

d p dpp p

dy dy

1 2 1

1 2 1

2

2

, , ,..., , 0n n n

n n n

x

d y d y d y d yF y

dx dx dx dx

dy d y dpp p

dx dx dy


23 22

3 2

d y d p dpp p

dx dy dy

El orden de la ecuación se reduce en 1

1 2 1

1 2 1

2

2

, , ,..., , 0n n n

n n n

x

d y d y d y d yF y

dx dx dx dx

dy d y dpp p

dx dx dy


•Ejemplo1

•Ejemplo 2

1 2

1 2

1 2

1 2

, ,..., , ,

, , ,..., , , 0

n n n

n n n

n n n

n n n

d y d y d y dyf y x

dx dx dx dx

d y d y d y dyF y x

dx dx dx dx

1 2

1 2

1

, , ,..., , 0

La ecuación no contiene la función buscada , y sus

derivadas hasta el orden inclusive:


y entonces queda

n n n k

n n n k

k

k

n k

y

k

d y d y d y d yF x

dx dx dx dx

d yp

dx

d pF

1 2

1 2, , ,..., , , 0

que es de orden

n k n k

n k n k n k

d p d p dpp x

dx dx dx dx

n k

1 2 1

1 2 1, , ,..., , 0

n n n

n n n

x

d y d y d y d yF y

dx dx dx dx

dyp y

dx

La ecuación no contiene a la

variable independiente


1 2

1 2

1 2

1 2

, , ,..., , , 0

, ,..., , ,

1.

n n n

n n n

n n

n n

d y d y d y dyF y x

dx dx dx dx

d y d y dyy x

dx dx dx

n

El primer miembro de la ecuación

es la derivada de una expresión diferencial

de orden

1 2

1 2

1 2

1 2

, ,..., , , 0

, ,..., , ,

En este caso escribimos

y

n n

n n

n n

n n

d d y d y dyy x

dx dx dx dx

d y d y dyy x c

dx dx dx

Ejemplo

2

Resolver

'' ( ') 0

reduciendo el orden.

yy y

2'' ( ') 0yy y

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

, , ,..., , , 0

, , ,..., , ,

, , ,..., , ,

es homogenea en y sus derivadas

es decir,

n n n

n n n

n n n

n n n

n n n

n n n

F y

d y d y d y dyF y x

dx dx dx dx

d y d y d y dyF k k k k ky x

dx dx dx dx

d y d y d y dyk F y x

dx dx dx dx

22

2

3 23

3 2

( 1)

exp

exp

exp

3 exp

..........

, ,́ ´́ ,..., expk

kk

y zdx

dyz zdx

dx

d y dzz zdx

dx dx

d y dz d zz z zdx

dx dx dx

d yz z z z zdx

dx

Haciendo

F y es homogenea en y sus derivadas

1 2

1 2

1

1

, , ,..., , , 0

exp , , ,́..., 0

, , ,́..., 0

n n n

n n n

n

n

d y d y d y dyF y x

dx dx dx dx

zdx F x z z z

F x z z z

F y es homogenea en y sus derivadas

Ejemplo

2 2'' ( ') 6yy y xy

2 2'' ( ') 6yy y xy

( ) ( 1)1 1 0

1 1

1 1 01 1

0

...

...

n nn n

n n

n nn n

in

i ii

n

b x y b x y b x y b x y g x

d y x d y x d y xb x b x b x b x y x g x

dx dx dx

d y xb x g x

dx

Una ecuación diferencial ordinaria de orden es lineal

si es de la forma

0

10 0 0 1 0 2 0 1

0,1,2,...,

0

, , ....,

j

n

nn

g x b x j n

I x b x I

y x c y x c y x c y x c

Si y , , son continuas en un

intervalo que contiene a y si en ,

entonces el problema de valores iniciales

de la ecuación diferencia

( ) ( 1)1 1 0...

.

n nn n

n


I

l ordinaria de orden lineal

tiene una única solución en

0

j

g x

b x

1) Si entonces la ecuación es homogenea,

si no es inhomogenea

2) Si TODOS los son constantes se dice que

tiene coeficientes constantes, sino se dice que los

coeficientes son variables

( ) ( 1)1 1 0...n n

n n

n


Ecuación diferencial ordinaria de orden lineal

( ) ( 1)1 1 0

0 ,

0,1,2,..., 1

...

n

jj

n n

n nn

b x I

b x g xa x j n x

b x b x

y a x y a x y a x y x

Si en un intervalo podemos escribir

donde

y

1 1

1 1 01 1

( ) ( 1)1 1 0

ˆ ...

ˆ ...

ˆ

n n

nn n

n nn

d d dL a x a x a x

dx dx dx

L y y a x y a x y a x y

n

L y

Definimos ahora el operador

de tal manera que

La ecuación diferencial ordinaria de orden

lineal la escribimos entonces como

x

1 2

ˆ 0

, ,..., n

n

L y

n

y x y x y x

La ecuación diferencial ordinaria de orden lineal

homogenea

siempre tiene soluciones linealmente independientes.

Si representan dichas soluciones,

entonces la solución general de 1 1 2 2

1 2

ˆ 0

...

, ,...,

n n

n

L y

y x c y x c y x c y x

c c c

es

donde representan constantes arbitrarias

ˆ

La solución general de la ecuación diferencial ordinaria

de orden lineal inhomogenea

es

donde

es la solución general a la ecuación homogenea

asociada, y

es cualquier solución par

h

p

n

L y x

y x

y x

phy x y x y x

ticular de la ecuación.

ˆ ˆ

ˆ ˆ 0

h p

h p

L y L y x y x

L y x L y x x

x

ˆh p

n

L y x y x y x y x

La solución general de la ecuación diferencial

ordinaria de orden lineal inhomogenea

es

( ) ( 1)1 1 0... 0n n

ny a y a y a y

11 1 0

11 1 0

exp

exp exp ... exp exp 0

... 0

exp

n nn

n nn

y x x

x a x a x a x

a a a

x

Si se propone una solucion

se tiene

Eliminando la exponencial

Si es raiz de esta ecuación, es solución de la

ecuación diferencial

( ) ( 1)1 1 0... 0n n

ny a y a y a y

11 1 0... 0n n

na a a

A la ecuación

se l Ecuación caractere í llama stica.

( ) ( 1)1 1 0... 0n n

ny a y a y a y

1 2 3

1 2

1 1 2 2

, , ,...,

, ,...,

exp exp ... exp

n

n

n n

n

c c c

y x c x c x c x

Sean las raices de la ecuación

característica

, la solución general es

siendo constantes arbitrarias

Si todas son distintas

( ) ( 1)1 1 0

11 1 0

... 0

... 0

n nn

n nn

y a y a y a y

a a a

Ecuación característica:

1 2 3

2

, , ,...,

exp , exp , exp ,...,

n

k

k k k

n

p

p

x x x x x x

Sean las raices de la ecuación

característica

Si la raiz tiene multiplicidad habrá asociada con ella

soluciones linealmente independientes dadas como

1 exppk x

n

La combinación lineal de las soluciones

linealmente independientes es la solución general.

( ) ( 1)1 1 0

11 1 0

... 0

... 0

n nn

n nn

y a y a y a y

a a a

Ecuación característica:

Ejemplos:123

ˆ

h

p

n

L y x

y x

y x

phy x y x y x


de orden lineal inhomogenea

es

donde es la solución general a la ecuación

homogenea asociada, y es cualquier solución

particular de la ecuación.

Ejemplos:123

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

'' 2 ' 2y y y

'' 2 ' 2y y y

( ) ( 1)1 1 0...

siendo un polinomio de grado

1. El 0 no es raíz de la ecuación característica.

Buscar la solución particular de la forma:

2. El 0 es raíz de la ecuación caracter

n nn m

m

m

y a y a y a y P x

P x m

P x

ística de

multiplicidad .

Buscar la solución particular de la forma:s

m

s

x P x

Ejemplo

7 '' ' 14y y x

7 '' ' 14y y x

( ) ( 1)1 1 0...

con real y un polinomio de grado .

1. El número no es raíz de la ecuación característica.


2. El número es r

n n xn m

m

xm

y a y a y a y e P x

P x m

e P x

aíz de la ecuación característica de

multiplicidad .

Buscar la solución particular de la forma:s x

m

s

x e P x

Ejemplo

(3) (2) (1)3 3 5 expy y y y x x

(3) (2) (1)3 3 5 expy y y y x x

( ) ( 1)1 1 0... cos sin

max ,

siendo y polinomios de grado y respectivamente.

Sea

1. Los números no son raices de la ecuación característica.

Buscar la solución p

n nn n m

n m

y a y a y a y P x x Q x x

P x Q x n m

k n m

i

cos sin

cos sin

articular de la forma:

2. Los números son raices de la ecuación característica

de multiplicidad .


k k

sk k

P x x Q x x

i

s

x P x x Q x x

Ejemplo

(2) 2 siny y x x

(2) 2 siny y x x

( ) ( 1)1 1 0... cos sin

max ,

siendo y polinomios de grado y respectivamente.

Sea

1. Los números no son raices de la ecuación característica.

Buscar la so

n n xn n m

n m

y a y a y a y e P x x Q x x

P x Q x n m

k n m

i

cos sin

cos sin

lución particular de la forma:

2. Los números son raices de la ecuación característica

de multiplicidad .


xk k

s xk k

e P x x Q x x

i

s

x e P x x Q x

x

Ejemplo 1

Ejemplo 2

2'' 4 ' 5 10 cosxy y y e x

( ) ( 1)1 1 0

1

,1

,

...

cos sin

c

Si

donde cada es de la forma

La solución particular se debe buscar de la forma

donde cada es de la forma

n nn

l

i ii

i

xn m

l

i i pi

i p

x sk

y a y a y a y x

x f x

f x

e P x x Q x x

y

y

e x P x

os sinkx Q x x

( ) ( 1)1 1 0...


n nn

n



de orden lineal inhomogenea es

donde

es la solución general a la ecuación homogenea

asociada, y

es cualquier solución particula

h

p

n

y x

y x

phy x y x y x

r de la ecuación.

h

p

y x

y x

Si conocemos

la solución general a la ecuación homogenea

asociada, debemos ahora estudiar métodos

para encontrar,

,

cualquier solución particular de la ecuación.

1 1 2 2

1,2,3,..

...

1,2 ,

.

,3 ...

i i

p n n

i i

y x v y v y v y

y y

v v

x

i

x i

x

Proponemos

donde son las

soluciones linealmente independientes

de la ecuación h

son funciones de

omoge

p

nea asociada

or determ

y

inar.

1 1 1 1 2 2 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

...

... ...

... 0,

...

pn n n n

n n n n

n n

pn n

dyv y v y v y v y v y v y

dxv y v y v y v y v y v y

v y v y v y

dyv y v y v y

dx

Ahora

si pedimos que

2

1 1 2 2 1 1 2 22

1 1 2 2

2

1 1 2 22

... ...

... 0

...

pn n n n

n n

pn n

d yv y v y v y v y v y v y

dx

v y v y v y

d yv y v y v y

dx

Ahora

si pedimos que

3

1 1 2 2 1 1 2 23

1 1 2 2

3

1 1 2 23

... ...

... 0

...

pn n n n

n n

pn n

d yv y v y v y v y v y v y

dx

v y v y v y

d yv y v y v y

dx

Ahora

si pedimos que

1 1 1 11 2

1 21 1 1 1

2 2 21 2

1 22 2 2

...

... 0

n n n np n

nn n n n

n n nn

nn n n

d y d y d y d yv v v

dx dx dx dx

d y d y d yv v v

dx dx dx

Ahora

con la condición

1 21 2

1 1 11 2

1 21 1 1

...

...

n n n np n

nn n n n

n n nn

nn n n

d y d y d y d yv v v

dx dx dx dx

d y d y d yv v v

dx dx dx

Ahora

con la condición

1

0

( ) ( 1)1 1 0

( )

...

nj

jj

n nn

n

n

a y


y


De manera más concisa y práctica, la podemos

escribir como

1

0

1

1

( )

( )


Condiciones impuestas a las nos dan

nj

jj

i

nn

i ii

nj j

i ii

n

n

n

a y

v

v y

y v y

y

y

1

0

1 1

1 0 1 1 1 0

1

1 0

( )n

jj

j

n n n n n nn j n j

i i j i i i i i j ii j i i i j

n nn j

i i j ii j

n a y

v y a v y v y v a y

v y a y

y

Sustituyendo en

nos da

1

1 0

1

0

0

n nj j

i i j ii j

nn j

i j ij

i

v y a y

y a y i

y

pero

para todo

ya que las son soluciones de la

ecuación homogenea

Así que

1 1 2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

2 2 21 1 2 2

1 1 11 1 2 2

... 0

... 0

... 0...

... 0

...

n n

n n

n n

n n nn n

n n nn n

v y v y v y

v y v y v y

v y v y v y

v y v y v y

v y v y v y

Si se satisface que

1 1 2 2 ...p n ny v y v y v y

entonces

es una solución particular de la

ecuación no homogenea

1 1 2 2

1 1 2 2

2 2 21 1 2 2

1 1 11 1 2 2

... 0

... 0...

... 0

...

1,2,3,...,

n n

n n

n n nn n

n n nn n

i

v y v y v y

v y v y v y

v y v y v y

v y v y v y

v i n

es un sistema de ecuaciones lineales

para las

1

1

1 2

1 11

...

...

. ., ,...,

. .

. .

...

n

n

n

n nn

y y

y y

W v v v

y y

Introducimos la matriz

1 1

1 2

1 11

... 0

0...

.. . .

.. . .

.. . .

...

n

n

n nn n

y y v

y y v

y y v

y el sistema de ecuaciones se escribe

1,2,3,...,iv i n

Hay que resolver el sistema de

ecuaciones simultaneas lineales,

y después integrar cada una de

las despreciando

las constantes de integración, ya

que sólo nos interesa una solución

particular.

1,2iv i

Debemos, por tanto, preguntarnos:

1. ¿Tiene solución el sistema de

ecuaciones lineales impuesto como

condición?

2. Una vez encontrada la solución,

¿es posible hacer la integración de

cada una de las ,...,n ?

1 1

1 2

1 11

... 0

0...

.. . .

.. . .

.. . .

...

El sistema de ecuaciones

tiene solución única, si y sólo si,

n

n

n nn n

y y v

y y v

y y v

1

1

1 2

1 11

...

...

. ., ,..., det

. .

. .

...

el determinante

es diferente de cero.

n

n

n

n nn

y y

y y

W v v v

y y

1

1

1 11

...

...

. .

. .

. .

...

1,2,...,

El determinante

se llama el WRONSKIANO de las

funciones

n

n

n nn

i

y y

y y

y y

n

y i n

1 2

1 2

, ,...,

0

.

, ,..., 0

n

n

y y y n

L y

I

W y y y

x I

Sean , soluciones de la

ecuación lineal homogenea ,

en un intervalo

Estas son linealmente independientes,

si y sólo si,

para toda

Por tanto, la respuesta a la pregunta 1

es afirmativa: Existe una solución única

al sistema de ecuaciones lineales

La pregunta 2 no puede ser respondida

de manera general, en ocasiones será

posible integrar y en otras no




ordinarias

• Clasificación de las ecuaciones diferenciales• Solución de una ecuación diferencial ordinaria• Problema de valores iníciales y de valores a la frontera• Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden• Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n• Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n lineales• Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n lineales y la transformada de Laplace• Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias• Solución mediante series de ecuaciones diferenciales

ordinarias

4³ '''- 3 ² '' 6 '- 6 sinxx y x y xy y x e x

Resuelve la ecuación

diferencial ordinaria de tercer orden lineal

con coeficientes variables no homogénea

2

4

3 6 6''' '' ' sin

³ ² 6''' 3 '' 6 ' sin

³ ³ ³ ³ ³

³

x

x

x x x xy y y y e

y y y y xe xx x

x x x

x

xx x

Paso 0. Ponerla en la forma estanda

r

4³ '''- 3 ² '' 6 '- 6 sinxx y x y xy y x e x

2

3 6 6''' '' ' 0

³y y y y

x x x

Paso 1. Resolver la ecuación

homogénea asociada

2

3 6 6''' '' ' sin

³xy y y y xe x

x x x

En este caso es fácil "ver" una

de las soluciones particulares,

2

3 6 6''' '' ' 0

³y y y y

x x x

1y x x

En este caso es fácil "ver" una

de las soluciones particulares,

2

3 6 6''' '' ' 0

³y y y y

x x x

1y x x2

3 6 6''' '' ' 0

³y y y y

x x x

3 2

3 2 2 3

2 2

2 2

3 6 6

3 6 60 0 1

6 60

d d dx x x x

dx x dx x dx x

x x x

x x

1y x x2

3 6 6''' '' ' 0

³y y y y

x x x

1

1h

y x x

y zy zx

Conociendo una solución,

podemos determinar las otras

haciendo el cambio de variable

12

3 6 6''' '' ' 0,

³y y y y y x x

x x x

h

h

h

y xz

dy d dx dz dzxz z x z x

dx dx dx dx dx

dy dzz x

dx dx

12

3 6 6''' '' ' 0, ,

³ hy y y y y x x y xzx x x

2

2

2

2

2

2

2 2

2

2h

hd y d dz d dzx

dx dx dx dx dx

dz dx dz d dzx

dx dx dx dx dx

dz d zx

dzz x

d y dz d zx

dx dx dx

x x

x

d

d

d

12

3 6 6''' '' ' 0, ,


3 2 2

3 2 2

2 2 2

2 2 2

2

2

2

3 2

3

3 2

3

3

2

3

2

2

3

2

3

h

h

d y d d z d d zx

dx dx dx dx dx

d z dx d z d d zx

dx dx dx dx

dz d zx

d

d y d z d zx

dx dx

dx

d z d zx

dx d

x

x

dx

dx

12

3 6 6''' '' ' 0, ,


2 2

2 2

3 2 3

3 2 3

2

3

h

h

h

dy dzz x

dx dx

d y dz d zx

dx dx dx

d y d z d zx

dx dx dx

12

3 6 6''' '' ' 0, ,


2 3

2 3

2

2

2

3

32

6

6

³

d z d zx

dx dxdz d z

xx dx dx

dzz x

x dx

xzx

12

3 6 6''' '' ' 0, ,


2 3 2

2 3 2 2

3 6 63 2

³

d z d z dz d z dzx x z x xz

dx dx x dx dx x dx x

3 2 2

3 2 2 2 2

6 6 6 63 3

d z d z d z dz dz z zxdx dx dx x dx x dx x x

12

3 6 6''' '' ' 0, ,


3

3

3

3

0

0d z

d

zxdx

x

d

12

3 6 6''' '' ' 0, ,


3

3

3 2

33 2

2

3 3 22

23 2 3 2 1

0

1

2

d z

dx

d z d zdx c

dx dx

d z dzdx c dx c x c

dx dxdz

dx z c x c dx c x c x cdx

12

3 6 6''' '' ' 0, ,


3 2

2

3 2 1

3 2 1

1

2

1

2h

h

z x c x c x c

y xz

y x c x c x c x

2

3 6 6''' '' ' 0

³y y y y

x x x

2 3

3 23 2 1

, ,

1

2h

x x x

y x c x c x c x

Las soluciones linealmente independientes

de la ecuación homogénea asociada son

21y x x2

3 6 6''' '' ' 0

³y y y y

x x x

3 22 2 2 2

3 2 2 3

2

3 6 6

3 6 60 2 2

6 12 60

d d dx x x x

dx x dx x dx x

xx x x

x x x

31y x x2

3 6 6''' '' ' 0

³y y y y

x x x

3 23 3 3 3

3 2 2 3

22

3 6 6

3 66 6 3 6

6 18 18 6 0

d d dx x x x

dx x dx x dx x

x xx x

Paso 2. Encontrar una solución

particular de la ecuación

no homogénea

2

3 6 6''' '' ' sin

³xy y y y xe x

x x x

Paso 2. Encontrar una solución

particular de la ecuación

no homogénea.

Usaremos el método de variación

de constantes o variación de parámetros

2

3 6 6''' '' ' sin

³xy y y y xe x

x x x

3 23 2 1

3 23 2 1

1

2hy x c x c x c x

y x v x x v x x v x x

2

3 6 6''' '' ' sin

³xy y y y xe x

x x x

2 31 2

2 31 2 3

2 2 31 1 2

3

21 2

2 3 3

2 2 31 2 3 1 2 3

3

1 2 3

2

0

2 3

3

y v x v x v x

dyv x v x v x v x v x v

dx

v

xv

xv x v xv x v x

x v x v

dyv xv x v

dx

v

2

3 6 6''' '' ' sin

³xy y y y xe x

x x x

2 3 21 2 3 1 2 3

22

1 2 32

2

21 2 2 3 3

21 2 2 3 3

21 2 3 2 3

2 3

2 3

322 3

2 2 6 3

2 3 2 6

dyy v x v x v x v xv x v

dx

d y dv xv x v

dx dx

d xd xv v xv v x v

dx dx

v v xv xv x v

v xv x v v xv

2

3 6 6''' '' ' sin

³xy y y y xe x

x x x

2 3 21 2 3 1 2 3

22

1 2 3 2

21 2 3

2

2

2

32

3

2 3

2 3 2 6

2 3 0

2 6

v xv x v

d yv xv

dx

dyy v x v x v x v xv x v

dx

d yv xv x v v xv

dx

2

3 6 6''' '' ' sin

³xy y y y xe x

x x x

2 3

3

33

22 3

1 2 3 2 32

3

2 3 2 3 33

2 6

6 6

6

2 2 6

2

6

d yy v x v x v x v xv

dx

d y dv xv v xv v

dx d

v xv

d

x

yv

dx

2

3 6 6''' '' ' sin

³xy y y y xe x

x x x

2 31 2 3

21 2 3

2

2 32

3

33

2 3

2 6

6

y v x v x v x

dyv xv x v

dx

d yv xv

dx

d yv

dx

2

3 6 6''' '' ' sin

³xy y y y xe x

x x x

2 31 2 3

21 2 3

2 3

0

2 3 0

2 6

xv x v x v

v xv x v

v xv

2

3 6 6''' '' ' sin

³xy y y y xe x

x x x

3

2 3

21 2 32

2 31 2 3

6

32 6

62 3

6

³

v

v xvx

v xv x vx

v x v x v xx

2 31 2 3

21 2 3

2

2 32

3

33

2 3

2 6

6

y v x v x v x

dyv xv x v

dx

d yv xv

dx

d yv

dx

2

3 6 6''' '' ' sin

³xy y y y xe x

x x x

3

2 3

12 32

1 2 32

6

618

6 1218

6 66

v

v vxv

v vx x

v v vx x

3

2 3

21 2 32

2 31 2 3

6

32 6

62 3

6

³

v

v xvx

v xv x vx

v x v x v xx

2

3 6 6''' '' ' sin

³xy y y y xe x

x x x

12

12

2

3

3

3

3

2

2

6

6

6

18

18

6

6

12

6

vx

vx

v

x

vx

v

v

vvx

v

2

3 6 6''' '' ' sin

³xy y y y xe x

x x x

2 31 2 3

21 2 3

2 3

2 31

22

3

0

2 3 0

2 6

0

1 2 3 0

0 2 6

xv x v x v

v xv x v

v xv

x x x v

x x v

x v

2

3 6 6''' '' ' sin

³xy y y y xe x

x x x

2 31

22

3

2 3

2

0

1 2 3 0

0 2 6

det 1 2 3 2

0 2 6

x x x v

x x v

x v

x x x

x x x

x

2

3 6 6''' '' ' sin

³xy y y y xe x

x x x

12 3

22

3 2

32

23 3

1 2 3 1

0 2 6 1 1 1

2

x

xx x x

x xx x

x

x x x

2

3 6 6''' '' ' sin

³xy y y y xe x

x x x

1

2 2

3

3 2

32

2 0 23 3

1 0

1 1 122

xx

xv

vx x

v

xx x x

2

3 6 6''' '' ' sin

³xy y y y xe x

x x x

2

1

2

3

sin2

sin

sin

2

x

x

x

xe xv

v xe x

v e x

2

3 6 6''' '' ' sin

³xy y y y xe x

x x x

2

1

2

3

sin2

sin

sin

2

1 cos sin cos sin

2 cos cos sin4

sin cos

x

x

x

x

xe xv

v xe x dx

v e x

x x x x x x xe

x x x x x

x x

2 31 2 3

1

2

3

1 cos sin cos sin

2 cos cos sin4

sin

cos sin4

cosx

p

p

x

y x v x x v x x v x x

v x x x x x x xe

v x x x x x

v x x

xey x x

2

3 6 6''' '' ' sin

³xy y y y xe x

x x x

2

2 31 2 3

3 6 6''' '' ' sin

³

cos sin4

x

x

y y y y xe xx x x

xey x c x c x c x x x

Clase del jueves 4 de febrero del 2010 de 16:30 A 18:00


ordinarias

Ejemplos: 1, 2, 3


ordinarias

( ) ( 1)1 1 0...


con coeficientes constantes

n nn

n

y a y a y a y x

( ) ( 1)1 1 0

( ) ( 1)1 1 0

...

...



sx sx sx sx sx

n nn

n nn

n

y a y a y a y x

e y e a y e a y e a y e x

( ) ( 1)1

0 0

( ) ( 1)1 1 0

( ) ( 1)1 1 0

...

...

...



sx sx sx sx sx

sx n sx n sn

n nn

n nn

n

e y x dx e a y x dx e

y a y a y a y x


1 0

0 0 0

x sx sxa y x dx e a y x dx e x dx

( ) ( 1)1

0 0

( ) ( 1)1 1 0

( ) ( 1)1 1 0

...

...

...



sx sx sx sx sx

sx n sx n sn

n nn

n nn

n

e y x dx e a y x dx e

y a y a y a y x


1 0

0 0 0

( ) ( 1)

0 0 0 0 01 1 0...

x sx sx

sx n sx n sx sx sx

n

a y x dx e a y x dx e x dx

e y x dx e y x dx e y x dx e y x dx e x dxa a a

( ) ( 1)

0 0 0 0 0

( ) ( 1)1 1 0

1 1 0

...

...sx n sx n sx sx sx

n nn

ne y x dx e y x dx e y x dx e y x dx e x dx

y a y a y a y x

a a a

0

sx

g x

g x G s e g x dx

Definición:

Dada una función (con condiciones

que estableceremos más adelante) se

define su cotransformada de Laplace mo

L

( ) ( 1)1 1 0

0 0 0

0

0

( ) ( 1)1 1 0...

...

Donde,

y

sx n sx n sxn

sx

sx

n nn

e y x dx e y x dx e y x dx s s

Y s e y x dx

s e x dx

y a y a y a y x

a a a Y

d dg dffg f g

dx dx dx

d dg dffg dx f dx g dx

dx dx dx

dg dffg f dx g dx

dx dx

dg dff dx fg g dxdx dx

b b

b

aa a

dg dff dx fg g dxdx dx

( ) ( 1)1 1 0

0 0 0

00 0 0

( ) ( 1)1 1 0

0

0

...

...

Ahora,

sx n sx n sxn

sx sx sx sx

n nn

e y x dx e y x dx e y x dx s s

dy xe y x dx e dx e y x s e y x dx y sY s

dx

y x y sY s

y a y a y a y x

a a a Y

L

00 0 0

2

2

0

0

0 0 0

0

Ahora,

sx sx sx sx

sx

dy xe y x dx e dx e y x s e y x dx

dx

y s e y x dx

sy

y sy s Y s

y x y s Y s

L

00 0 0

2

2

3

3

0

0 0 0

0

0

00

Ahora,

sx sx sx sx

sx

dy xe y x dx e dx e y x s e y x dx

dx

y s e y x dx y s

sy

y s y s Y

s y

s

y x y s Y s

L

0 0

1 2 11 2 30 0 ... 0

Ahora,m

m msx sxm

mm m m m

d y xy x e y x dx e dx

dx

s y s y s y y s Y s

L

( ) ( 1)1 1 0

0 0 0

11 1 0

1 21 2 1

12 32 3 2

1

( ) ( 1)1 1 0

...

... 0

... 0 ...

0

...

...sx n sx n sxn

n nn

n nn

n nn

n

n nn

e y dx e y dx e y dx s s

s a s a s a Y s

s a s a s a y

s a s a s a y

y s

y a y a y a y x

a a a Y

1 11 2 2 3

1 2 1 2 3 2

11 1 0

... 0 ... 0 ... 0

...

nn n n nn n

n nn

Y s

s a s a s a y s a s a s a y y s

s a s a s a

1 10 1

1 2 2 31 2 1 1 2 3 2 2

11 1 0

0 , 0 ,..., 0

... ... ...

...

Si denotamos

tenemos

nn

n n n nn n n

n nn

y c y c y c

Y s

s a s a s a c s a s a s a c c s

s a s a s a

1 2 2 31 2 1 1 2 3 2 2

11 1 0

... ... ...

...

Así que encontrar la transformada de Laplace de la solución es un

problema algebraíco.

Si ya tenemos la transfo

n n n nn n n

n nn

Y s

s a s a s a c s a s a s a c c s

s a s a s a

y x

rmada de Laplace de la solución , ¿cómo

encontramos ahora la función misma?

Calculando la transformada inversa.

Y s y x

y x

-1

Definición:

La transformada de Laplace inversa de la

función , denotada como ,

es una función tal que

F s F s

f x

f x F s

L

L

11

0 01

0

( )

01

0

i n

n ii jj

ii j

ni

ii

ni

i

n

a

x a s y

y xa s

a y x



con

Solución

LL

- 1

F s

F s f x

f x F s

La transformada de Laplace

de la función , denotada como

es una función t

in

a

versa

l

que

L

L

1) Usando una computadora

(Maple, Mathematica, etc)

2) Usando tablas

Usando tablas:

i) Está exactamente lo que buscamos.

ii) La transformada no está directamente

y hay que manipularla para poder usar

las tablas.

2 22

2 2

b bas bs c a s c

a a

Completar cuadrados:

1 22

1 1 2 2222 2 2

...

...

mm m

p pp p

a sa s b s

b s

a s A A A

s as a s a s a

B s Ca s B s C B s C

s bs cs bs c s bs c s bs c

Fracciones parciales:

con grado grado

s a s b b a

aa b

b

i)

ii)

22 0y ay a y

2

2

2 0

2 0

y ay a y

y a y a y

L L

L L L

1 2 11 2 30 0 ... 0m mm m m my x s y s y s y y s Y s L

2

0

0 0

y x Y s

y x y sY s

y x sy y s Y s

L

L

L

22 0y ay a y

2

2

2

2 0

0 0

2 0

0

sy y s Y s

y a

a y sY s

y y

a Y s

a

L L L

22 0y ay a y

2 2

2 2

2 2

12 2

0 0 2 0 2 0

2 2 0 0 0 0

0 2 0 0

2

0 2 0 0

2

sy y s Y s ay asY s a Y s

s as a Y s ay sy y

y ay syY s

s as a

y ay syy x

s as a

L

12 2

0 2 0 0

2

y ay syy x

s as a

L

2 22 2

12

12

0 2 0 0 0 2 0 0

2

1

1

ax

ax

y ay sy y ay sy

s as a s a s a

xes a

sax e

s a

L

L

0 2 0 0 1

0 0 0

ax ax

ax ax

y ay xe y ax e

y ay xe y e

2 22 2

12

12

0 2 0 0 0 2 0 0

2

1

1

ax

ax

y ay sy y ay sy

s as a s a s a

xes a

sax e

s a

L

L

22 0

0 0 0ax ax

y ay a y

y x y ay xe y e

La ecuación

tiene la solución general

4 4

1 2 30 0 0 0 0

y k y f x

y y y y

Resolver la ecuación

con las condiciones iniciales

4 1 2 34 ; 0 0 0 0 0y k y f x y y y y

4 4

4 4

4 4

y k y f x

y k y F s

y k Y s F s

L L

L L

L

4 4

4 4

1 11 2

4 1 2 33 2 4

0 0 ... 0

0 0 0 0

m mm m m

y k Y

y

s F s

y x s y s y y s Y s

y s y s y sy y s Y

Y

s

s s

L

L

L

L

4 1 2 34 ; 0 0 0 0 0y k y f x y y y y

4 4

4 4

14 4

s Y s k Y s F s

F sY s

s k

F sy x

s k

L

4 1 2 34 ; 0 0 0 0 0y k y f x y y y y

14 4

F s

s k

L

0

1 1

1

x

f g x f g x d

F s g s

F s g s

f g x F s g s

f g x

f g x

L

L L L

L

14 4

F s

s k

L

1

14 4

1

s k

F f

L

L

4 4 2 2 2 22 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

4 4 2 2 2 2 2

1 1

10,

1,

21 1 1 1

2

A B

s k s k s ks k s k

A s k B s k s A B k A B

s k s k s k s k

A B A Bk

B A Ak

s k k s k s k

1 14 4 2 2 2 2 2

1 12 2 2 2 2 2

12 2

12 2

14 4 3

1 1 1 1

2

1 1 1 1

2 2

1 sinh

1 sin

1 1sinh sin

2

s k k s k s k

k s k k s k

kx

s k k

kx

s k k

kx kxs k k

L L

L L

L

L

L

1 14 4 4 4

30

1

1sinh sin

2

x

F sy x f x

s k s k

y x k k f x dk

L L

4 1 2 34 ; 0 0 0 0 0y k y f x y y y y

4 4

1 2 3

30

0 0 0 0 0

1sinh sin

2

x

y k y f x

y y y y

y x k k f x dk

La solución de la ecuación

con condiciones iniciales

es

Ejemplos: 1, 2

0

Definición:

Dada una función (con condiciones

que estableceremos más ad

transformada de Laplace

elante) se

define su como

sx

f x

f x F s e f x dx

L

:f R R

L

0

0

0 0 0

1

1 1

0

11 0

con

con

sx

sx

sxsx sx

f x F s e f x dx

e dx

d ee dx e dx

s dx s s

s

ss

L

L

L

0

0

0 0 00

20

1 1

1 1

0con

sx

sx

sxsx sx sx

sx

f x F s e f x dx

x xe dx

d xexe dx x e dx e dx

s dx s s

e dxs s

s

L

L

0

2

2

10

10

con

sxf x F s e f x dx

x ss

x ss

L

L

L

0

0

0 0 0 0

1 1

0

10

con

con

sx

ax sx

s a xs a x s a xax sx

ax

f x F s e f x dx

e e dx

d ee e dx e dx e dx

s a dx s a s a

s a

e s as a

L

L

L

0

2 2

0

22 2

0 0 00

30

1 2

2 20con

sx

sx

sxsx sx sx

sx

f x F s e f x dx

x x e dx

d x ex e dx x e dx xe dx

s dx s s

xe dx ss s

L

L

0

0

0 0 00

1 2

sx

n n sx

n sxn sx n sx n sx

f x F s e f x dx

x x e dx

d x e dx e dx x e dx x e dx

s dx s s dx

L

L

11( )

0

0

)

) 0

) 1

)

)

Propiedades:

nn in n i

i

n nn

s

x

a af x bg x a f x b g x

b f x s f x s f

c x f x F s

f xd F d

x

F se f d

s

L L L

L L

L

L

L

1)

)

)

ax

sf f ax F

a a

g e f x F s a

h f g x F s g s

f g x f x g x d

Propiedades:

L

L

L

- 1

Definición:



es una función

in

tal

que

e s

v r a

F s

F s f x

f x F s

L

L

:f R R

-1L

- 1

- 1 1

2

ist

i

F s F s

f t F s e F s dsi

La transformada de Laplace de la

función , denotada como , es

donde es un número real, de tal manera

que la trayectoria de integración e

invers

sté e l

a

n a

L

L

.F sregión de convergencia de

( ) ( 1)1 1 0

( )

0

...

1



La escribimos en forma resumida como

con

n nn

i n

ni

i

n

y a y a y a y x

aa y x

( )

0

ni

ii

a y x

L L

( )

0; 1i n

ni

iaa y x

( )

0

( )

0

ni

ii

ii

n

i

a y x

a y x

L L

L L

( )

0; 1i n

ni

iaa y x

( )

0

( )

( )

0

0

ni

ii

ii

ii

n

in

i

a y x

a y x

y xa

L L

L L

L L

( )

0; 1i n

ni

iaa y x

1

1( )

0

0i

i ji i j

j

y s y s y

La transformada de Laplace de la

derivada es

L L

( )

0

( )

0; 1

ni

i i ni

ni

ia y x aa y x

L L

1

1

000

ii ji j

ij

n

is y s y xa

Sustituyendo

L L

( )

0

11( )

0

; 1

0

ni

i ni

ii ji i j

j

a y x a

y s y s y

L L

LL

1

1

1

0

1

0 0 0

00

0

ii ji j

ij

i ji ji i

n n i

i i

n

i

jy

s y s y x

a s xa s y

a

Queda

L L

L L

( )

0

11( )

0

; 1

0

ni

i ni

ii ji i j

j

a y x a

y s y s y

L L

LL

11

11

0 0

0

0 0-1

1

0

1

0 0 0

0

0

0

n ii jj

ii j

n ii jj

ii j

n

i ji ji i

i

n

ii

i

i

i

n n i

i i j

x a

y

x a s y

s y

ya s

s

x

y xa

a s a s y

L L

L

L

L

L

Hasta aquí llegué el jueves 4 de febrero del 2010




ordinarias

( 1)1 1 0...n n

n

n


Ecuación diferencial ordinaria de orden

lineal

( 1)1 1 0...n n

n

n


n


lineal

Vamos a transformarla en un sistema de

ecuaciones diferenciales de primer orden

(en un sistema de ecuaciones diferenciales)

( 1)1 1 0

( ) ( 1)1 1 0

...

...

n nn

n nn

n


n

y a y a y a y x


lineal

Despejando la derivada -esima

( ) ( 1)1 1 0

( ) ( 1)1 1 0

11 2

...

...

, ,...,

n nn

n nn

nn

n

y a y a y a y x

y a y a y a y x

y x y x y x y x y x y x


lineal

Definimos ahora

1 2

2 3

3 4

1

.

.

.

Es obvio que

n n

y x y x

y x y x

y x y x

y x y x

1

2

3

1

.

.

.n

n

y x y x

y x y x

y x y x

y x y x

( )1 1 2 0 1...n

n ny a y a y a y x

( ) ( 1)1 1 0

11 2

...

, ,...,

n nn

nn

y a y a y a y x


( )1 1 2 0 1

0 1 1 2 2 3 1

...

...

nn n

n n n

y a y a y a y x

y a y a y a y a y x

( ) ( 1)1 1 0

11 2

...

, ,...,

n nn

nn

y a y a y a y x


( )1 1 2 0 1

0 1 1 2 2 3 1

1 1 2 2 3 3

...

...

...

nn n

n n n

n n n

y a y a y a y x

y a y a y a y a y x

y b y b y b y b y x

( ) ( 1)1 1 0

11 2

...

, ,...,

n nn

nn

y a y a y a y x


1 2

2 3

3 4

1

1 1 2 2 3 3

.

.

.

...

n n

n n n

y x y x

y x y x

y x y x

y x y x

y b x y b x y b x y b x y x

1

2

1

0

0

..

..

..

0n

n

y x

y x

y x x

y x

xy x

1 2 3 4

0 1 0 0 ... 0

0 0 1 0 ... 0

0 0 0 1 ... 0

. . . . .

. . . . .

. . . . .

0 0 0 0 ... 1

... n

A x

b x b x b x b x b x

y x A x y x x

0 0

0 1

20 2

110

. .

. .

. .

Las condiciones iniciales

nn

nn

y x cy x c

c

y x c

cy x

0 0

1 0 1

1 0 2

0 1

. .

. .

. .

se expresan ahora como

n n

n n

y x c

y x c

c

y x c

y x c

0

y x A x y x x

y x c

Condiciones iniciales

2 4 siny y y y x x Transformar la ecuación de tercer orden

en un sistema de 3 ecuaciones de primer

orden


en un sistema de 3 ecuaciones de primer orden

1 2 3y y y y y y Introducimos las funciones

1 2 3

3 2 1

2 4 sin

2 4 sin

y y y y y y

y y y y x x

y y y y x x

Introducimos las funciones

Despejando la ecuación

y sustituyendo


en un sistema de 3 ecuaciones de primer orden

1 2

2 3

3 3 2 12 4 sin

y y

y y

y y y y x x

1 2 3

3 2 1

2 4 sin

2 4 sin

y y y y x x

y y y y y y

y y y y x x

1 2

2 3

3 3 2 1

1 1

2 2

3 3

2 4 sin

0 1 0 0

0 0 1 0

1 4 2 sin

y y

y y

y y y y x x

y y

y y

y y x x

2

1 2

2 2 1

1 2

ln 1

1

ln 1

1

ln 1

x

x

x

x x y xy y xe

y y y y

y y y xex x

y y y xex x

y y

1 2

2 2 1

1 1

2 2

1

ln 1

0 10

11

ln 1

x

x

y y

y y y xex x

y y

y y xex x

0

y x A x y x x

y x c


1 1

2 2

1 1

. .

. .

. .

n n

n n

y x x

y x x

y x x

y x x

y x x

11 12 13 14 1

21 22 23 24 2

31 32 33 34 3

1,1 1,2 1,3 1,4 1,

,1 ,2 ,3 ,4 ,

...

...

...

. . . . .

. . . . .

. . . . .

...

...

n

n

n

n n n n n n

n n n n n n

a x a x a x a x a x

a x a x a x a x a x

a x a x a x a x a x

A x

a x a x a x a x a x

a x a x a x a x a x

0 0

1 0 1

1 0 2

0 1

. .

. .

. .

n n

n n

y x c

y x c

c

y x c

y x c

0

)

y x Ay x x

c

A

x

y x

(no depende de

Condiciones in

es una matriz co

iciales:

nstante

exp exp

dyp x y q x

dx

y x q x p x dx dx c p x dx

y x Ay x x

dyp x y q x

dx

0

0

0

xA x x Ax A

x

y x Ay x x y x c

y x e c e e d

0

0

A x x

y x Ay x y x c

y x e c

)

A

y x Ay x x

x

es una matri

(no depen

z constante

de de

0

0

)xA x x At A

x

A

y x Ay x x

x

y x e k e e d

(no d

es una matriz co

ep

n

e

st

nd

ante

e de

0 !

nAt n

n

Ae t

n

0 !

nAt n

n

Ae t

n

22

2

2 33

2 3

0

0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

.........

0

0

nn

n

A

A

A

A

0 !

nAt n

n

Ae t

n

0

0

0

0 0exp exp

0 !

0

0

!

0

0

n

n

n

n

n

e

A

n e

n

1

.Sean y dos matrices

Si existe una matriz no singular que

las relaciona de la siguiente manera

entonces y representan la misma

transformación lineal

A B n n

C

B C AC

A B

1

.Sean y dos matrices

Si existe una matriz no singular que

las re

SIMILARE

laciona de la siguiente manera

entonces se dice que son

S

A B n n

C

B C AC

n nDos matrices son similares

si y sólo si

representan la misma

transformación lineal

1

: ; ; dim

,..., n

T V V V n

T n

V

lineal

Suponemos que el polinomio característico

de tiene raices diferentes (en el campo

correspondiente):

a) Los correspondientes vectores propios

forman una base de

1

1

: ; ; dim

,...,

,...,

n

n

T V V V n

T n

T

u u

lineal



correspondiente):

b) La matriz que representa a , respecto

a la base ordenada ,

,..., n 1

es la matriz

diagonal

=diag

1

1

: ; ; dim

,...,

,...,

n

T V V V n

T n

A T

E e

lineal



correspondiente):

c) Si es la matriz que representa a , respecto

a otra base -1

ne

C AC

C

U EC

, entonces

donde es la matriz que relaciona las dos bases

k

Si los valores propios no son todos

diferentes,no quiere decir que no haya

una representación diagonal.

Tendremos una representación diagonal,

si y sólo si se tienen vectores linealmente

independientes c

.k

on cada valor propio de

multiplicidad

• Calcular todos los valores propios

• Calcular los vectores propios correspondientes

• Formar la matriz C con los vectores propios

• Aplicar C-1AC

1

1 1

1

1

A n n

C

C AC

C CC AC AC

C

C A

C ACC

C

Sea una matriz diagonalizable.

Sea la matriz de similaridad que la

diagonaliza.

Tenemos

0 !

nAt n

n

Ae t

n

1

1

0 0! !

nn

A

n n

A n n

C

A C C

C CAe

n n



diagonaliza.

Como tenemos

0 !

nAt n

n

Ae t

n

1

0 0

1 1 1 1 1

1 11

0 0 0 0

! !

...

! ! ! !

nn

A

n n

n n

nn n n

A

n n n n

C CAe

n n

C C C C C C C C C C

C CA C Ce C C

n n n n

pero

así que

0 !

nAt n

n

Ae t

n

1 11

0 0 0 0

1

1

! ! ! !

exp ex

xp

p

e

nn n n

A

n n n n

C CA C Ce C C

n n n n

C

C

C

C

A

El resultado es

5 4. exp .

1 2A A

Sea Calcula

5 4. exp .

1 2A A

Sea Calcula

2

5 4

1 2

5 4det det

1 2

5 2 4 7 6 1 6

1 0

0 6

A

f I A

5 4.

1 2A

Valores propios 1 y 6

5 4

1 2

4 4 0

0

0

1, 1 , , 0

Ax x

x x

y y

x y

x y

x y

t t R t

5 4.

1 2A

Valores propios 1 y 6

6

5 46

1 2

4 0

4 0

4 0

4,1 , , 0

Ax x

x x

y y

y x

x y

y x

t t R t

5 4

1 2A

Valores propios: 1 y 6

1 4Vectores propios: y

-1 1

1

1

1 4 1 41

1 1 1 15

1 4 5 4 1 41

1 1 1 2 1 15

1 0

0 6

C C

C AC

5 4. exp .

1 2A A

Sea Calcula

6

1

6 6

6

6

exp exp

5 4 1 4 1 0 1 41exp exp

1 2 1 1 0 6 1 15

1 4 0 1 41

1 1 0

5 4 4 4 41exp

1 2 5 4

1 15

e e e e

e e e

A C C

e

e

e

0

0

det

0

nn

nj

nn

nj

p I A b

p A b A

Toda matriz cuadrada satisface su propia

ecuación característica. Es decir, si

entonces

2 2

2

2 1

3 1

2 1det det

3 1

2 1 3 3

3

2 3

5

5

0

3

A

A

p I

A I

A

22 13 5 0

3 1A A A I

2

3 2

4 2

5 2

3 5

3 5 3 5 3 3 5 5 4 15

4 15 4 15 4 3 5 15 3 20

3 20 3 3 5 20 29 15

...........

A A I

A A A I A A A I A A I

A A A I A A A I A A I

A A A A I A A I

0

1 1 2 21 2 1 0

1 1

!

...

, ,...,

.

iAt i

i

At n n n nn n

n

Ae t

i

A n n

e A t A t At I

t

A

0

Si es una matriz , entonces

donde

son funciones de que deben ser

determinadas para cada matriz

1 1 2 21 2 1 0

1 21 2 1 0

...

...

At n n n nn n

n nn n

A n n

e A t A t At I

r

Sea es una matriz , sabemos que

y definamos

1 1 2 21 2 1 0

1 21 2 1 0

...

...

At n n n nn n

n nn n

A n n

e A t A t At I

r


y definamos

i

i

i

At

e r

Si es un valor propio de ,

2

2

1

1

1

.............................

i

i

i

i

i

i

i

k

k

k

k At

de r

d

de r

d

de r

d

Además, si es un valor propio de multiplicidad ,

, de la matriz entonces las siguientes

ecuaciones se cumplen

1 0

2 22 1 0

At

At

A

e At I

A

e A t At I

Si es una matriz 2 2


2

01

1

10

1 1 1 1

1 1

, ,..., .

, , 1,2,3,...,

exp

, 0 1

n

k

k mm

n

k kk

k k k

A n n

P A I P A A I k n

tA r t P A

r t r t r

r t r

1Sean los valores propios de una matriz ,

Definimos la sucesión de polinomios

Entonces se tiene

donde

1 1, 0 0k kt r t r

Ejemplo: 1

0

0

0

xA x x Ax A

x

y x Ay x x y x c

y x e c e e d

Ejemplos: 1, 2, 3

1 4 5

2 7 9

4 4 7

dxx

dt

4 5

2 7 9

4 4 7

dxx y z

dtdy

x y zdtdz

x y zdt

1 4 5

2 7 9

4 4 7

x xd

y ydt

z z

3 2

2

1 2 3

1 0 0 1 4 5

det 0 1 0 2 7 9

0 0 1 4 4 7

1 4 5

det 2 7 9 1

4 4 7

1 1

0 1, 1, 1

f

f

2 22 1 0

At

A

e A t At I


22 1 0

Entonces,

r

2 22 1 0

22 1 0

At

A

e A t At I

r


2 22 1 0 2 1 0

te t t t t

2 22 1 0

22 1 0

2 12

At

A

e A t At I

r

r


2 1 2 12 2te t t

22 1 0

22 1 0

2 12

t

t

t

e t t

e t t

e t

22

21

0

1

1

2 1 0

t

t

t

t t e

t t e

t e

22 1 0

22 1 0

2 12

t

t

t

e t t

e t t

e t

22

21

0

1

1

2 1 0

t

t

t

t t e

t t e

t e

2 212

2

1 1 1

4 4 211 1

1 02 2

2 1 01 3 1

4 4 2

t t tt t

t tt t

t

t

2 2122

21

0

2 4 41

12 2

2 1 03

4 4 2

t t t

t

t tt

tt t t

e e e

t t tt t ee e

t t et t

t ee e te

22 1 0

22 1 0

2 12

t

t

t

e t t

e t t

e t

2 22 1 0

At

A

e A t At I


2 2

2

1

0

2 4 4

2 2

3

4 4 2

t t t

t t

t t t

e e e

t t t

e e

t t

e e te

2 1 3

2 4 4 2 4 4 2

t t t t t tAt t tte e e e e te

e A e e A I

2 2

22 2

2 1 0 1

0

2 4 4

2 2

3

4 4 2

t t t

t tAt

t t t

e e e

t t t

e ee A t At I

t t

e e te

2 1 3

2 4 4 2 4 4 2


e A e e A I

4 6 3 6 3

6 10 6 10 2 2 5 2

8 6 6 2 8 2 4 2

t t t t t t t t t

At t t t t t t t t t

t t t t t t t t t

e te e te e e e te e

e e te e te e e e te e

te e e e te e e te e

1

2

3

4 6 3 6 3

6 10 6 10 2 2 5 2

8 6 6 2 8 2 4 2

At

t t t t t t t t t

t t t t t t t t t

t t t t t t t t t

x t e c

x t e te e te e e e te e c

y t e te e te e e e te e c

z t te e e e te e e te e c

1 4 5

2 7 9

4 4 7

dxx

dt

1 2 3

1 2 3

1 2 3

4 6 3 6 3

6 10 6 10 2 2 5 2

8 6 6 2 8 2 4 2

t t t t t t t t t

t t t t t t t t t

t t t t t t t t t

x t e te e c te e e c e te e c

y t e te e c te e e c e te e c

z t te e e c e te e c e te e c

4 6 3 6 3

6 10 6 10 2 2 5 2

8 6 6 2 8 2 4 2

t t t t t t t t t


t t t t t t t t t




1 2 3

1 2 3

1 2 3

4 6 3 6 3

6 10 6 10 2 2 5 2

8 6 6 2 8 2 4 2

t t t t t t t t t

t t t t t t t t t

t t t t t t t t t




1 2 3

1 2 3 3

1 2 3 3

5 5 12

3 3 9

4 4 12

3 3 9

t t t

t t t t

t t t t

x t a e a e a te

y t a e a e a te a e

z t a e a e a te a e

1 2 3

1 2 3 3

1 2 3 3

5 5 12

3 3 9

4 4 12

3 3 9

t t t

t t t t

t t t t

x t a e a e a te



4 5

2 7 9

4 4 7

dxx y z

dtdy

x y zdtdz

x y zdt

Hasta aquí en la quinta clase el viernes 20 de junio del 2008

Lunes 23 de junio del 2008. Sexta clase

• Clasificación de las ecuaciones diferenciales• Solución de una ecuación diferencial ordinaria• Problema de valores iniciales y de valores a la frontera• Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden• Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n• Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n


ordinarias

( ) ( 1)1 1 0

( )

0

...

1



La escribimos en forma resumida como

con

n nn

i n

ni

i

n

y a y a y a y x

aa y x

11

0 01

0

( )

01

0

i n

n ii jj

ii j

ni

ii

ni

i

n

a

x a s y

y xa s

a y x



con

Solución

LL

- 1

F s

F s f x

f x F s



es una función t

in

a

versa

l

que

L

L