El conocimiento colectivodesde un punto de vista lógico
Julio Ostalé García
Profesor Tutor en el Centro UNED de La Coruña
Investigaciones y prácticas actuales en Filosofía
http://unedfilosofia.wordpress.com
UNED, La Coruña (España), 22 de febrero de 2013
Objetivo y público de la charla
Objetivo:
I Analizar diferentes tipos de conocimiento colectivo mediante la
lógica modal epistémica (nivel proposicional).
I Lógica modal epistémica = Lógica sobre el discurso acerca de
(i) hechos,(ii) el conocimiento sobre hechos.
I Conocimiento colectivo = Aquello que queremos decir con
expresiones de la forma �el grupo G conoce la proposición ϕ�.
Público:
I Alumnos de Filosofía de la UNED que hayan cursado Lógica I.
I Cualquiera con conocimientos de lógica proposicional.
Nota: Estas diapositivas son una versión corregida y sin secuenciar
de las utilizadas en la charla.
Plan de la charla
1. ¾Qué es la lógica modal epistémica?
1.1 Tres lógicos en un bar1.2 Lenguaje S51.3 Semántica S51.4 Cálculo S5
2. ¾Qué es el conocimiento colectivo?
2.1 Conocimiento general, común y distribuido2.2 Lenguaje S5ECD2.3 Semántica S5ECD2.4 Niños con barro en la cara
1. ¾Qué es la lógica modal epistémica? I
I Lógica = teoría general y abstracta de la inferencia.I Un sistema lógico consta de lenguaje, semántica y cálculo.I Sirve para representar y razonar acerca de un dominio.
I Lógica clásica = lógica de los objetos matemáticos.
I Lógica modal = extensión de la lógica clásica donde �ϕ es
�necesariamente ϕ�, �en el futuro ϕ�, �obligatoriamente ϕ�. . .
I Lógica modal epistémica = lógica modal donde �iϕ signi�ca�el agente i sabe que ϕ� y se escribe Kiϕ.
I Relación �saber que� entre agentes y fórmulas.No formalizamos p. ej. �el agente i cree que ϕ�.
I Conocimiento declarativo: �a sabe que p� ⇒ (1) a cree que p,(2) p es verdadero, (3) a tiene una justi�cación de que p.No investigamos p. ej. conocimiento práctico ni directo.
I Fórmulas proposicionales.No analizamos p. ej. la diferencia entre Ki∃xϕ(x) y ∃xKiϕ(x).
1. ¾Qué es la lógica modal epistémica? II
Aplicaciones
I Filosofía: epistemología formal, análisis del conocimiento. . .
I Lingüística: verbos epistémicos, conversación. . .
I Informática: comunicación �able, sistemas multiagente. . .
I Economía: negociaciones con información asimétrica. . .
Bibliografía
I Orígenes históricos:
An Essay in Modal Logic (1951) de Georg Henrik von WrightKnowledge and Belief (1962) de Jaakko Hintikka
I Manuales clásicos:
Epistemic Logic for AI and Computer Science (1995)Reasoning about Knowledge (1995)
I Manuales contemporáneos:
Dynamic Epistemic Logic (2008)
1.1. Tres lógicos en un bar
Fuente: http://spikedmath.com/445.html
1.2. Lenguaje S5 � Gramática
Un lenguaje modal epistémico es relativo a dos conjuntos:
P = {p1, . . . , pm} con m proposiciones atómicas.
A = {1, . . . , n} con n agentes.
El lenguaje LK (P ,A) se de�ne inductivamente:
1. Toda p ∈ P es fórmula.
2. Si ϕ,ψ son fórmulas, también
2.1 ¬ϕ2.2 (ϕ ∧ ψ)2.3 (ϕ ∨ ψ)2.4 (ϕ→ ψ)2.5 (ϕ↔ ψ)
3. Si i ∈ A y ϕ es fórmula, también
3.1 Kiϕ3.2 K̄iϕ
1.2. Lenguaje S5 � Hablando sobre los tres lógicos I
Vocabulario: pi = i quiere cerveza, Kiϕ = i sabe que ϕ.
I El lógico 1 sabe que 2 quiere cerveza.
K1p2
I El lógico 1 sabe que 2 no quiere cerveza.
K1¬p2I El lógico 1 no sabe que 2 quiere cerveza. (ambiguo)
¬K1p2
I El lógico 1 no sabe que 2 no quiere cerveza. (ambiguo)
¬K1¬p2I Si el lógico 1 quiere cerveza, lo sabe y sabe que lo sabe.
p1 → K1p1 ∧ K1K1p1
I Si el lógico 1 quiere cerveza, lo sabe 2 o lo sabe 3.
p1 → K2p1 ∨ K3p1
1.2. Lenguaje S5 � Hablando sobre los tres lógicos II
I El lógico 1 sabe que al menos uno quiere cerveza.
K1(p1 ∨ p2 ∨ p3)
I El lógico 1 sabe que sólo uno quiere cerveza.
K1[(p1 ∧ ¬p2 ∧ ¬p3) ∨ (¬p1 ∧ p2 ∧ ¬p3) ∨ (¬p1 ∧ ¬p2 ∧ p3)]
I El lógico 1 sabe que 2 sabe que 3 quiere cerveza, pero 2 ignora
que 1 sabe todo eso.
K1K2p3 ∧ ¬K2K1K2p3
I El lógico 1 sabe si 3 quiere cerveza.
K1p3 ∨ K1¬p3I El lógico 1 no sabe si 3 quiere cerveza.
¬K1p3 ∧ ¬K1¬p3I El lógico 1 no sabe si 2 ha leído sus pensamientos en lo
referente a 3, del que 1 sabe que 2 sabe que quiere cerveza.
¬K1(K2K1K2p3) ∧ ¬K1¬(K2K1K2p3)
1.3. Semántica S5 � Modelos de Kripke
Sea un lenguaje LK (P ,A) con n agentes.
Un modelo M = (W ,R1, . . . ,Rn,V ) está formado por
1. Un conjunto no vacío W de estados.
2. Una relación Ri ⊆ W ×W por cada i ∈ A.
3. Una aplicación V : P −→ P(W ).
Ejemplo:
{p, q,¬r} = w2
w1 = {p, q, r}a 22eeeeeeeeee
a,,YYYYY
YYYY
{p,¬q,¬r} = w3
I Un estado se identi�ca con un conjunto de hechos atómicos.
I En cada estado el agente considera �alternativas epistémicas�.
1.3. Semántica S5 � Verdad en un modelo
¾Relación entre una fórmula y un modelo?
I Las fórmulas son verdaderas o falsas respecto de un estado
dentro de un modelo.
I Dado un modelo M = (W ,R1, . . . ,Rn,V ) y un estado
w ∈ W , la expresión M,w � ϕ se lee �ϕ es verdadera en el
estado w del modelo M� y se de�ne inductivamente:
M,w � p sii w ∈ V (p)M,w � ¬ϕ sii M,w 2 ϕ
M,w � ϕ ∧ ψ sii M,w � ϕ y M,w � ψM,w � ϕ ∨ ψ sii M,w � ϕ o M,w � ψM,w � ϕ→ ψ sii M,w � ϕ implica M,w � ψM,w � ϕ↔ ψ sii M,w � ϕ→ ψ y M,w � ψ → ϕ
M,w � Kiϕ sii M,w ′ � ϕ para todo w ′ ∈ W tal que wRiw′
M,w � K̄iϕ sii M,w ′ � ϕ para algún w ′ ∈ W tal que wRiw′
I M � ϕ sii M,w � ϕ para todo w ∈ W .
1.3. Semántica S5 � Ejemplo
Consideramos de nuevo el modelo:
{p, q,¬r} = w2
w1 = {p, q, r}a 22eeeeeeeeee
a,,YYYYY
YYYY
{p,¬q,¬r} = w3
1. M,w1 � p ∧ q ∧ r
2. M,w1 � p ↔ q
3. M,w1 � Kap
4. M,w1 � ¬Kaq (a pesar de 2 y 3, pues S5 es intensional)
5. M,w1 � Ka¬r6. M,w1 � r ∧ Ka¬r (se evitaría si Ra fuese re�exiva)
1.3. Semántica S5 � La clase S5 de modelos
¾Relación entre una fórmula y una clase de modelos?
I Axioma K � Distribución del conocimiento
K (ϕ→ ψ) → (Kϕ→ Kψ)
Verdadero en todos los modelos.
I Axioma T � Verdad del conocimiento
Kϕ→ ϕ
Verdadero en M sii R re�exiva.
I Axioma 4 � Introspección positiva
Kϕ→ KKϕ
Verdadero en M sii R transitiva.
I Axioma 5 � Introspección negativa
¬Kϕ→ K¬KϕVerdadero en M sii R euclídea.
S5 = clase de modelos con R de equivalencia
1.3. Semántica S5 � Consecuencia
¾Cuándo puede decirse que una fórmula �se sigue� de otras?
I Dijimos que la lógica era la teoría de la inferencia.
I Mediante la noción de verdad podemos construir una noción
semántica de inferencia.
I Relativizamos la noción de consecuencia a la clase S5 de
modelos cuyas relaciones de accesibilidad son de equivalencia.
I Idea: en cualquier estado de cualquier modelo de S5, una
fórmula (conclusión) será consecuencia de otras (premisas) si
la verdad de éstas entraña la verdad de aquélla.
Consecuencia semántica: {ϕ1, . . . , ϕn} �S5 ψLa fórmula ψ es consecuencia semántica (en la clase de modelos
S5) del conjunto {ϕ1, . . . , ϕn} sii M,w � ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕn implica
M,w � ψ para cualquier modelo M de S5 y estado w en M.
1.3. Semántica S5 � Ejemplo de no-consecuencia
I Queremos demostrar K (p ∨ q) 2S5 (Kp ∨ Kq)
I Bastará mostrar un modelo con al menos un estado que haga
verdadera a la premisa pero falsa a la conclusión.
I Como R es de equivalencia, en su representación se omiten las
�echas re�exivas y cada línea es una �echa de doble dirección.
{p,¬q} = w2
w1 = {p, q}
eeeeeeeeeeee
YYYYYYYYYYYY
{¬p, q} = w3
M,w1 � K (p ∨ q)
M,w1 2 Kp ∨ Kq
1.4. Cálculo S5 � Derivabilidad
Axiomas y reglas del sistema S5
A1.1 ϕ→ (ψ → ϕ)A1.2 [ϕ→ (ψ → χ] → [(ϕ→ ψ) → (ϕ→ χ)]A1.3 (¬ϕ→ ¬ψ) → (ψ → ϕ)A2 K (ϕ→ ψ) → (Kϕ→ Kψ)A3 Kϕ→ ϕA4 Kϕ→ KKϕA5 ¬Kϕ→ K¬KϕR1 De ϕ, ϕ→ ψ extraer ψR2 De ϕ extraer Kϕ
Derivabilidad formal: {ϕ1, . . . , ϕn} ⊢S5 ψψ es S5-derivable de {ϕ1, . . . , ϕn} sii hay secuencia de fórmulas
acabada en ψ tal que cada fórmula está en {ϕ1, . . . , ϕn} o es
axioma de S5 o se sigue de fórmulas previas por R1, R2 (no siendo
aplicable R2 a ϕ1, . . . , ϕn ni a fórmulas que dependan de ellas).
1.4. Cálculo S5 � Ejemplo de derivabilidad
I Queremos demostrar Kp ∨ Kq ⊢S5 K (p ∨ q)
I Bastará una S5-derivación desde Kp ∨ Kq hasta K (p ∨ q).
A1 será cualquier teorema de la lógica proposicional clásica.
1. Kp ∨ Kq Premisa
2. p → p ∨ q A1
3. K (p → p ∨ q) R2 en 2
4. K (p → p ∨ q) → (Kp → K (p ∨ q)) A2
5. Kp → K (p ∨ q) R1 en 3,4
6. q → p ∨ q A1
7. K (q → p ∨ q) R2 en 6
8. K (q → p ∨ q) → (Kq → K (p ∨ q)) A2
9. Kq → K (p ∨ q) R1 en 7,8
10. (5) → [(9) → (Kp ∨ Kq → K (p ∨ q))] A1
11. (9) → (Kp ∨ Kq → K (p ∨ q)) R1 en 5,10
12. Kp ∨ Kq → K (p ∨ q) R1 en 9, 11
13. K (p ∨ q) R1 en 1, 12
1.4. Cálculo S5 � Relación entre semántica y cálculoSemántica y cálculo son cosas muy distintas:
I Consecuencia se de�ne mediante la noción de verdad.
I Derivabilidad se de�ne mediante la noción de derivación.
¾Cómo se relacionan consecuencia semántica y derivabilidad formal?
I Teorema de Corrección Fuerte:
{ϕ1, . . . , ϕn} ⊢S5 ψ implica {ϕ1, . . . , ϕn} �S5 ψI Teorema de Completud Fuerte:
{ϕ1, . . . , ϕn} �S5 ψ implica {ϕ1, . . . , ϕn} ⊢S5 ψ¾Por qué complicarlo tanto?
I Para demostrar que ϕ se sigue de {ϕ1, . . . , ϕn} conviene usar
la derivabilidad, que depende de una sola derivación (la
consecuencia depende de in�nitos modelos).
I Para demostrar que ϕ no se sigue de {ϕ1, . . . , ϕn} conviene
usar la no-consecuencia, que depende de un solo modelo (la
no-derivabilidad depende de in�nitas derivaciones).
2. ¾Qué es el conocimiento colectivo?
Tenemos una herramienta formal y un problema conceptual:
I Herramienta: Sistema S5 (lenguaje, semántica, cálculo)
I Problema: ¾Qué signi�ca �en A se sabe que ϕ�?
Tres tipos de conocimiento colectivo o de grupo:
I Conocimiento general (o universal o conjunto)
Todos saben que ϕ.
Todos saben que todos saben n veces que ϕ.
I Conocimiento común
Todos saben que todos saben in�nitas veces que ϕ.
I Conocimiento distribuido (o implícito)
Entre todos pueden concluir que ϕ.
Nota:
I Conocimiento mutuo puede signi�car general o común
dependiendo de las fuentes consultadas.
2.1. Conocimiento general, común y distribuido I
I Situación A:
En Microsoft se convoca a las personas 1 y 2 a una reunión
mediante correos electrónicos. En ellos se dice que va a
hablarse de un nuevo proyecto. A 1 se le dice que Bill Gates o
Melinda Gates presentarán el proyecto. A 2 se le dice que
Melinda Gates no va a presentarlo. Al reunirse 1 y 2 guardan
silencio sobre lo que han leído en sus respectivos correos.
I Situación B:
Como A, pero 1 y 2 han leído a escondidas el correo del otro.
I Situación C:
Como A, pero en cada correo aparecen los dos destinatarios.
I Formalización:
p = Va a presentarse un nuevo proyecto.
b = Bill Gates va a presentar el nuevo proyecto.
m = Melinda Gates va a presentar el nuevo proyecto.
2.1. Conocimiento general, común y distribuido II
I Conocimiento general
En A todos saben que p.
En A no todos saben que todos saben que p.
En B todos saben que p.
En B todos saben que todos saben que p.
En B no todos saben que todos saben que todos saben que p.
I Conocimiento común
En C todos saben que todos saben (in�nitas veces) que p.
I Conocimiento distribuido
En A existe conocimiento distribuido de p (obvio).
En A existe conocimiento distribuido de b, ya que por un lado
K1(b ∨m) y por otro lado K2(¬m).
2.2. Lenguaje S5ECD � Operadores
Dado un lenguaje LK (P ,A), añadimos tres operadores modales:
I Eϕ = Hay en A conocimiento general de ϕ.
I Cϕ = Hay en A conocimiento común de ϕ.
I Dϕ = Hay en A conocimiento distribuido de ϕ.
¾Son de�nibles en términos de LK (P ,A)?
I Eϕ = K1ϕ ∧ · · · ∧ Knϕ (fórmula)
I Cϕ = Eϕ ∧ EEϕ ∧ EEEϕ ∧ · · · (pseudo-fórmula)
I Dϕ = ? (ausencia de fórmula)
Ejemplos:
I DCp ∧ ¬CDpI EEp ∧ ¬EEEpϕ→ ¬CpI (K1Cp → CK1p) ∨ (CK1p → K1Cp)
I Dp ↔ K1b ∨ K2b
2.3. Semántica S5ECD � Verdad en un modelo
Informalmente:
I Eϕ en w sii ϕ es verdadera en los estados que algún miembro
del grupo considere posible desde w .
I Cϕ en w sii ϕ es verdadera en los estados que algún miembro
considere posible desde cualquier estado alcanzable desde w .
I Dϕ en w sii ϕ es verdadera en todos los estados que todo
miembro del grupo considera posibles desde w .
Formalmente:
M,w � Eϕ sii M,w ′ � ϕ para todo w ′ tal que(w ,w ′) ∈ R1 ∪ . . . ∪ Rn
M,w � Cϕ sii M,w ′ � ϕ para todo w ′ quesea �alcanzable� desde w en R1 ∪ . . . ∪ Rn
M,w � Dϕ sii M,w ′ � ϕ para todo w ′ tal que(w ,w ′) ∈ R1 ∩ . . . ∩ Rn
2.3. Semántica S5ECD � Ejemplo
{p, q, r} = w2 a{p, q,¬r} = w5
w1 = {p, q, r}
a
lllllllllllllllll
b RRRRRR
RRRRRR
RRRRR a,b
{p, q, r} = w3
{p,¬q, r} = w4
M,w1 � Cp ∧ Ep ∧ Dp
M,w1 � ¬Cq ∧ ¬Eq ∧ Dq
M,w1 � ¬Cr ∧ Er ∧ Dr
2.3. Semántica S5ECD � Relevancia de Cϕ
¾Qué relación existe entre los diferentes tipos de conocimiento?
Cϕ⇒ Eϕ⇒ Kiϕ⇒ Dϕ⇒ ϕ
¾Por qué interesa en �losofía el conocimiento común?
I Aparentemente es muy débil, luego sus objetos deberían ser o
bien verdades lógicas o bien obviedades.
I Presupuestos conversacionales: �¾Te ha gustado la película?�
I Normas sociales: cortesía, ajedrez, señales de trá�co. . .
I Lo público: anuncios verbales, escenarios visuales. . . .
I Lewis, en Convention (1969), sostiene que la diferencia entre
una convención social y una mera regularidad es que aquélla es
objeto de conocimiento común.
I Comprobar si hay conocimiento común es una �supertarea�.
2.4. Niños con barro en la cara
I Origen incierto: ¾1950? Existen muchas variantes.
I Popular desde Barwise, �Scenes and other situations� (1981).
2.4. Niños con barro en la cara � Planteamiento
I Situación:
De n niños hay k (1 < k ≤ n) con la cara manchada de barro.
El padre los coloca a su alrededor. Cada niño puede ver la cara
de los demás, aunque no su propia cara; no hay espejos y no se
puede hablar. Son capaces de entender lo que está a punto de
decir el padre, así como de razonar y sacar conclusiones.
También se les supone obedientes. Y todo esto es además
conocido por cada uno de los niños.
I Acciones del padre:
1. Anuncia ϕ = �Al menos uno de vosotros tiene barro en la cara�.2. Ordena ω = �Quien tenga barro en la cara que dé un paso�.3. Si nadie da un paso al frente, vuelve al paso 2.
I Problema:
A. ¾Cuántas veces tiene que repetirse la orden ω para que todoslos niños con barro den un paso al frente?
B. ¾Qué ocurre si el padre no anuncia ϕ antes de dar las órdenes?
2.4. Niños con barro en la cara � Solución y paradoja
I Solución:
A. Tras el anuncio ϕ, los k niños con barro en la cara darán unpaso al frente después de k repeticiones de la orden ω.
B. Sin el anuncio ϕ, ningún niño dará un paso al frente pormucho que el padre repita la orden ω.
I Paradoja:I El anuncio ϕ es imprescindible: sin él ningún niño con barro en
la cara llega a saber que tiene barro en la cara.I El anuncio ϕ es super�uo: no dice nada que los niños no sepan.
I Observaciones:I Antes de la lógica epistémica ya se conocía la solución.I Pero no se entendía bien la paradoja.I El anuncio público de ϕ convierte Eϕ en Cϕ.I Cuidado con las distintas formulaciones del problema, pues no
todas son equivalentes (a veces se exige que todos los niños�no sólo los manchados� sepan si tienen o no barro en la cara).
2.4. Niños con barro en la cara � Formalización
A nivel sintáctico:
I b1 = �El niño 1 tiene barro en la cara�
I b2 = �El niño 2 tiene barro en la cara�
I b3 = �El niño 3 tiene barro en la cara�
I ϕ1 = b1 ∨ b2 ∨ b3
I ϕ2 = (b1 ∧ b2) ∨ (b1 ∧ b3) ∨ (b2 ∧ b3)
I ψ2 = (b1 ∧ b2 ∧ ¬b3) ∨ (b1 ∧ ¬b2 ∧ b3) ∨ (¬b1 ∧ b2 ∧ b3)
A nivel semántico:
I El nombre de cada estado son tres dígitos que informan sobre
las fórmulas atómicas verdaderas en él.
I Ejemplo: en el estado 010 sólo el niño 2 tiene barro en la cara.
I Para cada niño i ∈ {1, 2, 3} la relación Ri vincula estados
indistinguibles para i .
I Ejemplo: 010 R2 000 porque 2 ignora si b2.
2.4. Niños con barro en la cara: escenario 1
I El estado 110 es el real.
I Cada niño sabe que ϕ1, por tanto Eϕ1.
I Todavía no se ha anunciado ϕ1.
011 111
010
����110
����
001 101
000
����100
����
M, 110 � b1 ∧ b2 ∧ ¬b3M, 110 � ¬K1b1 ∧ ¬K2b2 ∧ ¬K3¬b3M, 110 � Eϕ1 ∧ ¬Cϕ1 ∧ ¬Cϕ2 ∧ ¬Cψ2
2.4. Niños con barro en la cara: escenario 2
I El padre acaba de anunciar ϕ1.
I Con ello se ha generado Cϕ1.
I Nadie sabe aún si tiene barro en la cara.
011 111
010
����110
����
001 101
100
����
M, 110 � b1 ∧ b2 ∧ ¬b3M, 110 � ¬K1b1 ∧ ¬K2b2 ∧ ¬K3¬b3M, 110 � Eϕ1 ∧ Cϕ1 ∧ ¬Cϕ2 ∧ ¬Cψ2
2.4. Niños con barro en la cara: escenario 3
I Se acaba de ordenar ω por primera vez.
I Nadie se ha movido.
I 1 y 2 saben que tienen barro en la cara, 3 no sabe si lo tiene.
011 111
110
����
101
M, 110 � b1 ∧ b2 ∧ ¬b3M, 110 � K1b1 ∧ K2b2 ∧ ¬K3¬b3M, 110 � Eϕ1 ∧ Cϕ1 ∧ Cϕ2 ∧ ¬Cψ2
2.4. Niños con barro en la cara: escenario 4
I Se acaba de ordenar ω por segunda vez.
I 1 y 2 han dado un paso al frente.
I 1 y 2 saben que tienen barro en la cara, 3 sabe que no lo tiene.
110
M, 110 � b1 ∧ b2 ∧ ¬b3M, 110 � K1b1 ∧ K2b2 ∧ K3¬b3M, 110 � Eϕ1 ∧ Cϕ1 ∧ Cϕ2 ∧ Cψ2
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