1. Calcular
1
2 2 24D
dx dy
x y , donde D es el recinto dado por 2 2 2 0x y x
SOLUCIÓN:
Si transformamos a coordenadas polares:
2 2 2
2 2
2
2 2
2 2
2
2
2
1 1
x y r
x y x
r rCos
x y x
x y
Donde los limites son:
0 2 os2 2
r C
; dA rdrd
2
22 22
1 22 2 20
2 2 0
444
CosCos
D
dA rdrI r d
rx y
2 22 2
2 2
4 4 2 2 2 1I Cos d Cos d
2
2 2
2
2
2 2 1 2 2I Cos d Cos
2 2 2 2 0 0 22 2 2 2
I Cos Cos
2. Calcular 2 2x y
D
e dxdy
,donde D es la región acotada por la circunferencia
2 2 1x y y 2 2 9x y
SOLUCIÓN:
Si transformamos a coordenadas polares:
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1
9 9 3
x y r x y r r
x y r x y r r
De donde los limites son:
1 3 0 2r ; dA rdrd
2 2 2 2
32 3 229 1 8 8
0
0 1 0 1
1 1 11 2 1
2 2 2
x y r r
D
I e dA e rdrd e d e e e e e e
8 1I e e
3. Calcular la integral doble
2 2
22 2
D
x y dx dy
x y , donde D es el anillo 2 21 4x y
Si transformamos a coordenadas polares:
2 2 2
2 2
2
1 4
1 4
1 2
x y r
x y
r
r
De donde los limites son:
1 2 0 2r ; dA rdrd
2 22 2
2 2
2 20 12 2 2D
rCos rSen rdrx y dx dyI
x y r
22
2 2 22 2
0 1 0
1
1 2 1 2
2 2 2
Cos Cos rI Cos Sen rdrd d
2
2 22
0 0
0
1 4 4 3 23 3 3 32
8 8 2 16 4 16 8
Cos SenI Sen d d
4. Calcular la integral doble
2 2
2 21
D
x ydxdy
a b 0a , 0b , donde D es la
región limitada por la elipse 2 2
2 21
x y
a b
SOLUCION:
Si transformamos a coordenadas polares:
x raCos ; 2 2 2 2 2 2
2 21 1
r a Cos r b Seny rbSen r
a b
De donde los limites son:
0 1 0 2r ; dA abrdrd
2 2 2 2 2 2
2
2 21 1
D D
r a Cos r b SenI abrdrd ab r rdrd
a b
13 2 22
2
00
0
1 1 20 2
3 3 3 3
r ab abI ab d ab
5. Calcular la integral doble
D
xy dxdy , donde D es un dominio limitado por la
elipse 2 2
2 21
x y
a b y situado en el primer cuadrante.
Si transformamos a coordenadas polares:
x raCos ; 2 2 2 2 2 2
2 21 1
r a Cos r b Seny rbSen r
a b
De donde los limites son:
0 1 0 2r ; dA abrdrd
2 2
2 2 3 3( ) 22
D D D
a bI raCos rbSen abrdrd a b r Sen Cos drd r Sen drd
2
2 2 2 2 2 2124
0 00
2 2 4 08 16 16
a b a b a bI r Sen d Cos Cos Cos
2 2 2 2
1 116 8
a b a bI
6. Calcular la integral doble 2 2
2 24
D
dxdy
x y
a b
0a , 0b , donde D es la región
limitada por la elipse 2 2
2 21
x y
a b
Si transformamos a coordenadas polares:
x raCos ; 2 2 2 2 2 2
2 21 1
r a Cos r b Seny rbSen r
a b
De donde los limites son:
0 1 0 2r ; dA abrdrd
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 24 4
D D
dxdy abrdrdI
x y r a Cos r b Sen
a b a b
122
2 02 2 2 0
444D D
rdrd rdrdI ab ab ab r d
rr Cos Sen
2
0
5 2 2 5 2I ab ab
7. Calcular la integral doble 2 2
D
xydxdy
x y , donde D es el disco acotado por
2 2
2 21
x y
a b
Si transformamos a coordenadas polares:
x raCos ; 2 2 2 2 2 2
2 21 1
r a Cos r b Seny rbSen r
a b
De donde los limites son:
0 1 0 2r ; dA abrdrd
3
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2D D D
xy dxdy rCos rSen abrdrd r Cos Sen drdI ab
x y a r Cos b r Sen r a Cos b Sen
13
2 2
2 2 2 2 2 2 2 20 0
0
33
r Cos Sen d Cos Sen dabI ab
a Cos b Sen a Cos b Sen
1
2 2 2 2 203
Cos Sen dabI
a a Sen b Sen
2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 22
0
( ) ( )3 3
ab abI a b a Sen a b a Sen
b a b a
32
22 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 23
2
( ) ( )3 3
ab aba b b a Sen a b a Sen
b a b a
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 23 3
ab abI a b a a a a b a
b a b a
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 23 3
ab aba b a a a a b a
b a b a
2 2 2 2 2 2 2 23 3 3 3
ab ab ab abI b a a b b a a b
b a b a b a b a
4 4
3 3
ab b a abI
b a b a b a
8. Calcular 2 2 2
D
a x y dxdy , donde D es la región limitada por la hoja de
Lemniscata 2
2 2 2 2 2x y a x y , 0x
Grafiquemos y transformamos a coordenadas polares:
2
2 2 2 2 2x y a x y ;
0 x a ; x rCos ;
y rSen ; 2 2 2r x y
22 24
04
a Cos
I a r rdrd
cos 2
3 32
4 42 2 2 2 32
4 40
1 12
3 3
a
I a r d a a Cos a d
3 3
4 2
4
1 2 13
aI Cos d
43 3
4
2 23 3
a CosI Cos
3 16 2 20
3 3 9
aI
9. Calcular 2 2
2 2
0 0
a a x
x y dydx
Transformamos a coordenadas polares.
2 2y a x ; 0 x a ; x rCos ; y rSen ; 2 2 2r x y
0 0 2r a
23 3 3
2 22
0 0 00 0
3 3 6
aa r a a
I r rdrd d
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