Ejercicios propuestos
Soluciones de los ejercicios propuestos
1.- Encontrar la derivada de las siguientes funciones polinomiales.
a).-
b).-
c).-
d).-
a). – Solución
como sabemos el operador de derivada se distribuye sobre cada uno
de los términos de las funciones, es decir si
entonces
por lo que para la función planteada en el ejercicio:
Recordando que la derivada de una función potencia
es y que en la derivada de una constante es cero tendremos
es decir
b). – Solución
Para este caso
Distribuyendo la derivada tenemos:
y utilizando directamente la fórmula para la cual
es :
observamos que al derivar, por ejemplo,
obtenemos por lo que :
c). – Solución
De forma similar a los dos ejercicios anteriores obtenemos:
como sabemos si f(x)=a v(x) donde a es constante se
obtiene
por lo tanto:
d). – Solución
derivando cada término
Por lo que:
2.- Obtener los siguientes problemas.
a).-
b).-
c).-
d).-
Para la solución de estos problemas utilizaremos, además de las fórmulas expuestas en el ejercicio anterior la fórmula siguiente:
a).- Solución
para obtener la solución tenemos dos caminos.
1ero
en este caso si comparamos con la fórmula para derivar la división de dos funciones tendríamos el análogo f(x)=x y g(x)=x2+1
derivando cada función obtendríamos:
f´(x)=1
y
g´(x)=2x
sustituyendo en (A.1) tendríamos:
simplificando:
2ada forma Como
ya que x2+1 nunca es cero, entonces:
podremos utilizar la fórmula:
donde f(x)=x y g(x)=(x2+1)-1
derivando cada función obtendríamos:
f´(x)=1
y
sustituyendo en A.2 obtenemos:
b).-Solución
aplicando la fórmula
tenemos:
del ejercicio anterior ya obtuvimos que:
y entonces:
por lo tanto:
c).- Solución
sustituyendo en la ecuación (A.1)
por lo tanto:
d).- Solución
aplicando la fórmula
tenemos:
pero ya hemos calculado del ejercicio a)
y la derivada de x3-x es:
de lo que:
1.-Encontrar las derivadas de las siguiente funciones:
a).-
b).-
c).-
d).-
e).-
a) Solución
para la solución de estos problemas ocuparemos las siguientes fórmulas
utilizando C.5 y haciendo tenemos
pero
por lo que
simplificando
b) Solución
utilizando C.5 y haciendo tenemos:
utilizaremos la derivada de un cociente:
en este caso la f(x)= x2 cos x y g(x)=(2x+1)3 pero la hemos obtenido, del ejercicio anterior el valor de f´(x)
por lo que solo falta calcular la derivada de g(x)
sustituyendo en la fórmula (B.2)
factorizando (2x+1)2 tendremos:
pero
por lo tanto:
finalmente al sustituir en b.1 tenemos:
c) Solución
tomando, en la fórmula C.3, u=x y v=sen x
tenemos:
d) Solución
aplicando directamente C.1 tenemos
e). solución
aplicando primeramente la derivada par aun producto de funciones obtenemos:
2.- Demuestre la fórmula
como
pero de la propiedad:
entonces
derivando tenemos:
utilizando el hecho de que y la derivada de un logaritmo natural tenemos:
simplificando, tenemos:
Derivadas trigonométricas
1.-Encontrar las derivadas de las siguiente funciones:
a).-
b).-
c).-
d).-
a) Solución
aplicaremos la fórmula para derivar un producto de funciones:
tenemos:
pero:
por lo tanto:
b) Solución
utilizaremos la derivada de un cociente:
en este caso la f(x)= x2 cos x y g(x)=(2x+1)3 pero la hemos obtenido, del ejercicio anterior el valor de f´(x)
por lo que solo falta calcular la derivada de g(x)
sustituyendo en la fórmula (B.2)
factorizando (2x+1)2 tendremos:
pero
por lo tanto:
c) Solución
haciendo u=csc 3x tenemos:
aplicando la regla de la cadena
tenemos
pero v= csc 3x
recordando que
tenemos
sustituyendo en y´(x) tenemos:
d) Solución
aplicando la fórmula (B.1) tenemos:
simplificando tenemos:
Top Related