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Problemas de Transporte y AsignaciónProblemas de Transporte y Asignación
Problemas de Transporte y AsignaciónProblemas de Transporte y Asignación
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Introducción 1..
Los problemas de transporte problemas de transporte sonproblemas especiales de programaciónlineal que reciben ese nombre debido a
que muchas de sus aplicacionesinvolucran determinar la manera óptimade transportar bienes.
Los problemas de asignación problemas de asignación incluyen
aplicaciones tales como asignar personasa tareas. Aunque sus aplicacionesparecen diferir de las del problema deltransporte, constituye un caso particular.
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Introducción 2..
Los problemas de transporte yasignación son casos particulares deun grupo más grande de problemas,llamados problemas de fujo enredes.
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Problemas de TransporteProblemas de Transporte
Problemas de TransporteProblemas de Transporte
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Problema de la FosterProblema de la FosterGeneratorsGenerators
Se transporta un producto desde 3
plantas hasta 4 centros de distribución
Origen PlantaCapacidad deProducción en 3
meses (unidades)1 Cleveland 5000
2 Bedford 60003 York 2500
Total 13 500
Destino Centro de
Distribución
Pronóstico de la
demanda a 3
meses (unidades)
1 Boston 6000
2 Chicago 4000
3 St. Lois 2000
4 Le!igton 1500
Total 13 500
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Problema de la FosterProblema de la FosterGenerators CostosGenerators Costos
Origen Boston Chicago St ouis e!igton ProducciónCle"eland 3 2 " 6 5000
Bed#ord " 5 2 3 6000
$or% 2 5 4 5 2500
Demanda 6000 4000 2000 1500
13500
13500
Costo por unidad distribuida
Destino
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S!L
!ptimalcost "#3$%&& 'oston (hicago St Louis Le)igton
(leveland 3%&& *%&&'edford %&& &&& *%&&
-or %&&
/rom 0o Shipment(ost perunit
Shipmentcost
(leveland 'oston 3%&& 3 *&%&&
(leveland (hicago *%&& 3&&&
'edford (hicago %&& % *%&&'edford St Louis &&& 4&&&
'edford Le)igton *%&& 3 4%&&
-or 'oston %&& %&&&
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Problema de la FosterProblema de la FosterGenerators Representación enGenerators Representación enRedRed
!*1%&&&2
!
1&&&2
!3
1%&&2
* 1&&&2
14&&&2
1&&&2
1*%&&2
3
4
3 3
22
7 7 6 6
7 7 5 5
223 3
2 2 5 54455
Plantas
Nodos de Origen
Centros de ist.Nodos de Destino
Rutas deistribución
Arcos
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Planteamiento matem!ticoPlanteamiento matem!ticoSea Z Z el costo total de transporte y sea x x
ijij 5i"*,,36 j"*,,3,47
el n8mero de unidades transportadas de la enlatadora i alalmac9n j.
)4,3,2,1;3,2,1(0
1500
2000
4000
6000
2500
60005000
545232
576723
342414
332313
322212
312111
34333231
24232221
14131211
343332312423
222114131211
==≥
=++
=++
=++
=++
=+++
=+++
=+++
+++++
++++++=
ji x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x Z
ij
nesrestricciolasaSujeta
Max
)4,3,2,1;3,2,1(0
1500
2000
4000
6000
2500
6000
5000
545232
576723
342414
332313
322212
312111
34333231
24232221
14131211
343332312423
222114131211
==≥
=++
=++
=++
=++
=+++
=+++
=+++
+++++
++++++=
ji x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x Z
ij
nesrestricciolasaSujeta
Max
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"olución óptima para el"olución óptima para elproblema del transporte de laproblema del transporte de la
FosterFoster
Origen Boston Chicago St ouis e!igton Producción
Cle"eland 3500 1500 0 0 5000
Bed#ord 0 2500 2000 1500 6000
$or% 2500 0 0 0 2500
Demanda 6000 4000 2000 1500 3#500
&nidades 'ue se en"(an
DestinoOrigen Boston Chicago St ouis e!igton Producción
Cle"eland 3500 1500 0 0 5000
Bed#ord 0 2500 2000 1500 6000
$or% 2500 0 0 0 2500
Demanda 6000 4000 2000 1500 3#500
&nidades 'ue se en"(an
Destino
C#"$#C#"$#
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Problema GeneralProblema General
Se re:ere 5en sentido literal o :gurado7 a ladistribución de cualquier bien desde cualquiergrupo de centros de suministro, llamadosor%&enesor%&enes a cualquier grupo de centros de
distribución llamados destinosdestinos de manera que seminimicen los costos totales de distribuciónminimicen los costos totales de distribución.
;nidades de un bien, m or<genes, n destinos, si recursos en el origen i , de$anda d j en el
destino j , costo cij %or nidad distri&ida desde el
origen i al destino j .
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'l modelo &eneral'l modelo &eneral
) * + n ,ecursos
) c11 c12 ' c1n s1
Origen * c21 c22 ' c2n s2
' ' ' ' '
m c$1 c$2 ' c$n s$
Demanda d1 d2 ' dn
Destino
Costo por unidad distribuida
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Representación de red para el problema &eneralRepresentación de red para el problema &eneral
S*1s*2
S1s
2
S
m
1sm2
* 1=d*2
1=d2
m 1=dm2
c**
c*
c*nc*c
cn
cm*c
m
cmn
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Planteamiento matem!tico modelo &eneralPlanteamiento matem!tico modelo &eneral
.y para,0
,,...,2,1 para
,,...,2,1 para
asujeta
min
1
1
1 1
ji x
n jd x
mi s x
xc Z
ij
m
j
jij
n
j
jij
m
i
n
j
ijij
≥
==
==
=
∑
∑
∑ ∑
=
=
= =
.y para,0
,,...,2,1 para
,,...,2,1 para
asujeta
min
1
1
1 1
ji x
n jd x
mi s x
xc Z
ij
m
j
jij
n
j
jij
m
i
n
j
ijij
≥
==
==
=
∑
∑
∑ ∑
=
=
= =
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(ariantes del Problema
*. La oferta total no es igual a lademanda total
. >a)imi?ación en lugar deminimi?ación
3. (apacidades en las rutas om<nimos en las rutas
4. @utas inaceptables
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)Cómo resol*er en '+cel,
lantear tabla de datos especi:candoor<genes y destinos 5de forma general7.
lantear tabla de soluciones usandofunciones apropiadas para estosproblemas.
!pción de problema de rogramaciónLineal , opción de Bo negatividad.
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Problemas de AsignaciónProblemas de AsignaciónProblemas de AsignaciónProblemas de Asignación
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IntroducciónIntroducción
Cl problema de asi&naciónproblema de asi&nación es untipo especial de problema deprogramación lineal en el que los
asignados son recursos destinados ala reali?ación de tareas
CD.
empleados a trabaDo máquinas a tareas
per<odos a tareas
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"upocisiones de un problema de"upocisiones de un problema deasi&naciónasi&nación
*. Cl n8mero de asignados es igual al n8merode tareas 5se denota por n7. 5esto puedevariar7
. (ada asignado se asigna e)actamente auna tarea.
3. (ada tarea debe reali?arla e)actamente un asignado.
4. C)iste un costo cij asociado con el asignadoi 5i"*,,E,n7.
%. Cl obDetivo es determinar cómo debenhacerse las asignaciones para minimi?ar los
costos totales.
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Caso Fo-le ar/etin& Researc0Caso Fo-le ar/etin& Researc0
* 3
1. Terr( 10 15 #
2. Carla # 1) 5
3. *o&erto 6 14 3
-e#e deProyecto
Cliente
Tiempos estimados de terminación del
proyecto (das)
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!ptimalcost "
# (liente * (liente (liente 3
0erry *& Assign *% $Farla $ *G Assign %
@oberto Assign *4 3
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Problema de la Fo-leProblema de la Fo-leRepresentación en RedRepresentación en Red
H*1*2
H1*2
H31*2
(* 1*2
1*2
1*2
(
(3
111515
2 2
2 2
11
5 5
6 6 1 4 1 433
ees de Pro6ecto
Nodos de Origen
Clientes
Nodos deDestino
7si&nacionesPosibles
Arcos
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Iariables de decisión
=así esnosi
clientealproyectode jefeelasignasesi
0
1 ji x
ij
Pl i ! iPl t i t t !ti
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Planteamiento matem!ticoPlanteamiento matem!ticoSea Z Z teimpo total de terminación
)4,3,2,1;3,2,1(0
1
1
1
1
11
3146518991510
332313
322212
312111
333231
232221
131211
333231232221131211
==≥
=++
=++
=++
=++
=++
=++
++++++++=
ji x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x x x x
x x x x x x x x x Z
ij
nesrestricciolasaSujeta
Max
)4,3,2,1;3,2,1(0
11
1
1
1
1
3146518991510
332313
322212
312111
333231
232221
131211
333231232221131211
==≥
=++
=++
=++
=++
=++
=++
++++++++=
ji x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x x x x x x x Z
ij
nesrestricciolasaSujeta
Max
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"olución '+cel"olución '+cel
) * 31. Terr( 0 1 0 1 + 1
2. Carla 0 0 1 1 + 1
3. *o&erto 1 0 0 1 + 1
1 1 1+ + + Costo 26
1 1 1
Asignaciones
-e#e de
Proyecto
Cliente
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Representación de red para el problema &eneralRepresentación de red para el problema &eneral
S*1*2
S
1*2
S
m
1*2
* 1*2
1*2
m 1*2
c**
c*
c*n
c* c
cn
cm* cm
cmn
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Planteamiento matem!tico modelo &eneralPlanteamiento matem!tico modelo &eneral
).ytoda para binarias, (y para,0
,,...,2,1 para1
,,...,2,1 para1
asujeta
min
1
1
1 1
ji x ji x
n j x
mi x
xc Z
ijij
m
j
ij
n
j
ij
ij
m
i
n
j
ij
≥
==
==
=
∑
∑
∑∑
=
=
= =
).ytoda para binarias, (y para,0
,,...,2,1 para1
,,...,2,1 para1
asujeta
min
1
1
1 1
ji x ji x
n j x
mi x
xc Z
ijij
m
j
ij
n
j
ij
ij
m
i
n
j
ij
≥
==
==
=
∑
∑
∑∑
=
=
= =
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./emplos de Problemas de./emplos de Problemas de
Transporte y AsignaciónTransporte y Asignación
./emplos de Problemas de./emplos de Problemas de
Transporte y AsignaciónTransporte y Asignación
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Problema (ersatec0Problema (ersatec08$ransporte98$ransporte9La corporación Iersatech producirá tres productos nuevos. Cn
este momento, cinco de sus plantas tienen e)ceso de capacidad
de producción. Cl costo unitario respectivo de fabricación delprimer producto será de #3*, #$, #3, #G y #$, en las plantas*, , 3, 4 y %. Cl costo unitario respectivo de fabricación delsegundo producto será de #4%, #4*, #4, #4 y #43 en lasplantas respectivas *, , 3, 4 y %6 y para el tercer producto será
de #3G, #3% y #4& en las plantas respectivas *, y 3, pero lasplantas 4 y % no pueden fabricar este producto. Los pronósticosde ventas indican que la producción diaria debe ser &&, *&&& yG&& unidades de los productos *, y 3, respectivamente. Lasplantas *, , 3, 4 y % tienen capacidades para producir 4&&, &&,
4&&, && y *&&& unidades diarias6 sin importar el producto ocombinación de productos. Suponga que cualquier planta quetiene capacidad y posibilidad de fabricarlos podrá producircualquiere combinación de productos en cualquier cantidad.
:a &erencia desea asi&nar los nue*os productos a las:a &erencia desea asi&nar los nue*os productos a las
plantas con el m%nimo costo total de abricación.plantas con el m%nimo costo total de abricación.
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Problema (ersatec08$ransporte9
atos
1 2 3,lanta 1 -31 -45 -3) 011
,lanta 2 -2# -41 -35 211
,lanta 3 -32 -46 -40 011
,lanta 4 -2) -42 211
,lanta 5 -2# -43 111Pr Diaria 211 111 11
3111
Capacidad
*011
Origen
Tipo de Producto
Tabla de Costos
Destino
1 2 3,lanta 1 -31 -45 -3) 011
,lanta 2 -2# -41 -35 211
,lanta 3 -32 -46 -40 011
,lanta 4 -2) -42 211
,lanta 5 -2# -43 111Pr Diaria 211 111 11
3111
Capacidad
*011
Origen
Tipo de Producto
Tabla de Costos
Destino
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/rom 0o Shipment(ost per
unitShipment
cost
Lanta * rod 3 && 3G J&&
Lanta * ummy && & &
Lanta rod & 4* &
Lanta rod 3 && 3% *&&&
Lanta 3 ummy 4&& & &Lanta 4 rod * && G *G&&
Lanta % rod * & $ &
Lanta % rod *&&& 43 43&&&
Knterp. La planta * produce del producto tres && unidades a un costo de 3G cutotal SJ&&
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Problema (ersatec08$ransporte9 "olución '+cel
1 2 3
,lanta 1 0 0 200 *11 /+ 011,lanta 2 0 0 600 211 /+ 211
,lanta 3 0 0 0 1 /+ 011
,lanta 4 600 0 1 211 /+ 211
,lanta 5 0 1000 1 111 /+ 111
Pr Diaria 211 111 11 45011611+ + +
211 111 11
Costo 7nimo
Destino
Origen
CapacidadTipo de Producto
Tabla Cantidades (asignaciones a cada planta)
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Problema o*e;It 8$ransporte9 IProblema o*e;It 8$ransporte9 I
La compaM<a >ove=Kt tiene dos plantas que
producen montacargas que se mandan a trescentros de distribución. Los costos de producciónunitarios son los mismos para las dos plantas y loscostos de transporte 5en cientos de dólares7 por
unidad para todas las combinaciones de planta ycentro de distribución son los siguientes
1 2 3
,lanta -)00 -"00 -400 81
,lanta B -600 -)00 -500 81
Dist6 Sem6 9 9 9
Suma
Destino
Centro de Distribución
Tabla de Costos de Transporte
Origen
)11
Capacidad
21
1 2 3
,lanta -)00 -"00 -400 81
,lanta B -600 -)00 -500 81
Dist6 Sem6 9 9 9
Suma
Destino
Centro de Distribución
Tabla de Costos de Transporte
Origen
)11
Capacidad
21
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Problema o*e;It 8$ransporte9 IIProblema o*e;It 8$ransporte9 II
Se debe producir y mandar un total de &
unidades por semana. (ada planta puedeproducir y mandar cualquier cantidad hastaun má)imo de %& unidades a la semana, demanera que hay una gran Ne)ibilidad paradividir la producción total entra las dosplantas y reducir los costos de transporte.
'l ob<eti*o de la &erencia es determinar'l ob<eti*o de la &erencia es determinar
cu!nto se debe producir en cada plantacu!nto se debe producir en cada planta6 despu=s> cu!l debe ser el patrón de6 despu=s> cu!l debe ser el patrón deembar?ue de manera ?ue se minimiceembar?ue de manera ?ue se minimice
el costo total de transporteel costo total de transporte
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Problema o*e I$atos 6 "ol. '+cel
1 2 3
,lanta -)00 -"00 -400 81
,lanta B -600 -)00 -500 81
Dist6 Sem6 9 9 9
Suma
Destino
Centro de Distribución
Tabla de Costos de Transporte
Origen
)11
Capacidad
21
1 2 3,lanta 0 0 50 81 :; 81
,lanta B 0 0 10 )1 :; 81
Dist6 Sem6 1 1 21 4*8511161
Suma COSTO 7in6
+
21
21
OrigenDestino
CapacidadCentro de Distribución
Cantidades por planta
Problema o*e It 8$ransporte9Problema o*e;It 8$ransporte9
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Problema o*e;It 8$ransporte9Problema o*e;It 8$ransporte9odi@cadoodi@cado
@esolver el problema de >ove=Kt
si cualquier centro dedistribución puede recibircualquier cantidad entre *& y 3&montacargas por semana parareducir más el costo total de
env<o, siempre que el env<o totala los tres centros sea igual a &montacargas por semana.
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Problema o*e I$ 8$ransporte9odi@cado atos 6 "ol. '+cel
1 2 3
,lanta -)00 -"00 -400 81
,lanta B -600 -)00 -500 81
Dist6 Sem6 )1<31 )1<31 )1<31
Suma
Destino
Centro de Distribución
Tabla de Costos de Transporte
Origen
)11
Capacidad
21
1 2 3
,lanta 0 10 30 01 :; 81,lanta B 20 0 0 *1 :; 81
Dist6 Sem6 *1 )1 31 43)511161
=;)1 =;)1 =;)1 COSTO 7in6
:;31 :;31 :;31
Suma
+
21
21
OrigenDestino
CapacidadCentro de Distribución
Cantidades por planta
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Cl entrenador de un equipo de natación debe
asignar competidores para la prueba de &&metros de relevo combinado que irán a las!limpiadas Huveniles. (omo muchos de sus meDoresnadadores son rápidos en más de un estilo, no esfácil decidir qu9 nadador asignar cada uno de loscuatro estilos. Los cinco meDores nadadores y susmeDores tiempos 5en segundos7 en cada estilo sonlos siguientes.
Problema Aatación 87si&nación9Problema Aatación 87si&nación9
Carlos Cristy Da"id Antony -os>Dorso 3"." 32.# 33.) 3" 35.4
Pecho 43.4 33.1 42.2 34." 41.)
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