1.- ∬(x2
+ y2
)dxdy si D = {( x , y )∈ IR
2 /x2+ y2≤1}usando coordenadas cartesianas
SULUCIÓN
Usando coordenadas cartesianas, la región de integración es un circulo centrado en el origen uno por lo tanto.
D={(x , y )∈ IR2 /−1≤x≤1 ,−√1−x2≤ y≤√1−x2}
∬D( x2+ y2 )dxdy=∫−1
1
∫−√1− x2√1−x2 ( x2+ y2)dxdy
=∫−1
1( x2+ y
2
3)|
−√1− x2√1−x2 dx
=2∫−1
1( x2√1−x2+2
3√(1−x2 )3 )dx
¿2∫−1
1x2√1−x2dx+2
3∫−1
1 √(1−x2)dx
¿2∫−1
1x2√1−x2dx+2
3∫−1
1 √(1−x2)3 dx
Con la ayuda de una tabla de integrales obtenemos que:
∫−1
1x2√1−x2dx=(−x
4√1−x2+1
8( x√1−x2+arcsen)|
−1
1
¿18
(ar cos sen(1 )−ar cos en(−1)=18
(π2
+π2
)=π8
∫√(1−x2)2 dx=( x4
√(1−x2 )3+3x8
√(1−x2 )+38ar cos enx )|
−1
1
¿3 π8
Por lo tanto:
∫∫D( x2+ y2)dxdy=2 π
8+ 233 π8
=π2. . .. .. . .. .. . .. .RPTA
.
*ejercicio propuesto
∫∫Dxydxdy
Si D es la región acotada por y=√x , y=√3x−18 , y≥0 .Usando coordenadas cartesianas.
RE
SPUESTA:
1852
2.- Halle el volumen del solido en el primer octante que está limitado por el cilindro
x2+ y2=2 y , el cono z=√ x2+ y2 y el plano xy .
cilindro :x2+ y2=2 yr2=2 rsenθr=2 senθ
cono .
z=√ x2+ y2z=r
La región S esta descrita por.
0≤z≤r , 0≤r≤2 senθ , 0≤θ≤π2
Así se tiene.
V=∭ dV=∫D∫∫u (rθ )
v (rθ )r dz dr dθ=∫0
π /2∫02 senθ∫0
rr dz dr dθ
V=∫0π /2∫0
2 senθr2 dr dθ=∫0
2 senθ r3
3|r=0π /2 dθ=8
3∫0π /2sen3θ dθ
V=83 [−cosθ+cos3θ3 ]|π /2
0
=169. .. .. . .. .. . .. .. . .. .RPTA
*PROPUESTO:
Un sólido está limitado por el cilindro x2+z2=a2 y los planos y=0 , z=0 , x=0 , y=x
………………………RPTA
a3
3
3.- Calcular el volumen del sólido S limitado por el plano OXY, el cilindro x2+ y2=2 x ,
y el cono z=√ x2+ y2 .
La proyección del cilindro sobre el plano OXY es la circunferencia ( x−1 )2+ y2=1 ,de
centro (1,0) y radio 1.efectuamos un cambio a coordenadas cilíndricas y usamos la
simetría del recinto respecto al plano y=0 junto con la paridad del integrando para
obtener el volumen pedido, que viene dado por la integral
V=∫∫∫Sdxdydz=∫∫∫rdrd θdz=2∫o
π2 dθ∫0
π2 rdr∫0
rdz163
[ senθ− sen3
3]o
π2=32
9. .. . .. .. .. . .. .. . .RPTA
*PROPUESTO
∫∫∫Se(x
2+ y 2+ z2)dxdydz RPTA:=
4 π3
(e−1)
4.-. Se considera el sólido V de densidad constante µ, limitado por la superficie
esférica de radio
R. Calcular los momentos de inercia:
(i) Respecto a su centro.
(ii) Respecto a un plano que pase por su centro.
(iii) Respecto a un diámetro.
RESOLUCIÓN. Situamos el origen de coordenadas en el centro de la esfera.
(i) llamando v* ala parte de v que está en el primer octante,
Io=μ∫∫∫v(x2+ y2+z )dxdydz=8μ∫∫∫v ( x2+ y2+z2)dxdydz
Hacemos cambio de variables a coordenadas esféricas:
Io=8 μ∫0π
dθ∫ senϑdϑ∫0r /2p4
Entonces por lo tanto es:Io=1
2( Ix+ Iy+ Iz )
Nuevamente por simetría, los momentos de inercia respecto a todos los diámetros
son iguales. Si L es cualquier diámetro, entonces Ix = Iy = Iz = IL, así que:
Io=32Io=8 rR
15μ=32Il . . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. RPTA
*EJERCICIO PROPUESTO
CALCULAR LA INTEGRAL
∫∫∬( x2+ y2 )dxdydx donde es el recinto V esta limitado por superficies
x2+ y2=2 zz=2
16 π3.. .. . .. .. . .. .. . .. .RPTA