E.E.S.T. Nº2
MATEMÁTICA
Primer Año
NOMBRE: ________________________________________
CURSO: __________________________________________
PROFESORA ERICA KALLENBACH
Ciclo Lectivo 2016
EEST Nº2 - 1º AÑO MATEMÁTICA
Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 3
Hoy comienzas un nuevo ciclo, para algunos de
ustedes una nueva escuela, nuevos compañeros,
seguramente tendrás nuevos horarios.
En este y en los próximos cuatro años de tu vida
tendrás un contacto cercano con la Matemática.
Sabes que ella está presente en nuestra vida
cotidiana, en la ciencia, en la economía, en el
deporte,………
Vamos a ayudarte a descubrirla, a que te guste, a
no tenerle miedo
¡¡¡¡ BIENVENIDO !!!!
Y esperemos no te pase como a Manolito
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Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 5
PROGRAMA DE CONTENIDOS
MATEMÁTICA DE PRIMER AÑO SECUNDARIA BASICA – E.E.S.T. N2
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES
Unidad Nº1: GEOMETRÍA Y MAGNITUDES
Unidades de medida. SIMELA Nociones básicas de geometría: rectas y ángulos. Ángulos suplementarios y
complementarios. Ángulos opuestos por el vértice Figuras regulares: Triángulos y cuadriláteros. Propiedades. Perímetros y áreas. Circunferencia y círculo, reconocimiento de diferencias. Construcción de figuras
simples.
Unidad Nº 2: NÚMEROS NATURALES Y RACIONALES POSITIVOS.
DIVISIBILIDAD
Números naturales. Números y las seis operaciones, propiedades.
Ecuaciones de primer grado con una incógnita. Lenguaje coloquial y simbólico. Divisibilidad, MCM y DCM.
Números racionales positivos, las seis operaciones, ubicación en la recta numérica, representaciones gráficas, razón y porcentaje.
Unidad Nº 3: INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA Y AL ESTUDIO DE LAS
FUNCIONES
Lectura, interpretación y construcción de gráficos y tablas.
Proporcionalidad: directa e inversa. Interpretación de gráficos. Introducción al trabajo algebraico.
Unidad Nº 4: CUERPOS
Cuerpos: Construcción. Áreas laterales y totales. Volumen.
Magnitudes. Concepto de volumen y equivalencias
Unidad Nº 5: FENÓMENOS Y EXPERIMENTOS ALEATORIOS. ESTADÍSTICA
Y PROBABILIDAD.
Probabilidad y estadística, construcción de tablas, análisis de variables. Cálculo
de moda, media aritmética y mediana.
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UNIDAD Nº1: GEOMETRÍA Y MAGNITUDES
Recordamos algunos conceptos:
La palabra Geometría proviene del griego y quiere decir “medida de la tierra”. Es
una rama de la matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de
las figuras en el plano o el espacio.
Euclides, un gran matemático griego (300 a.C.) dijo que la base de la geometría son
el punto, la recta y el plano. A partir de ellos estudiamos todo lo que comprende la
geometría.
Punto
Nos sugiere la idea de un punto:
Un granito de arena.
La marca que deja la punta de un lápiz.
La cabeza de un alfiler.
En geometría el punto se utiliza para representar una posición en el espacio.
El punto no tiene dimensión y se lo representa con una letra mayúscula.
Usualmente se lo dibuja con una bolita rellena o una cruz.
A x A
Recta
Nos sugiere la idea de una recta:
Un hilo extendido y tenso.
Las intersecciones de las caras de una caja.
El borde de una página de un libro.
Una recta es una sucesión infinita de puntos alineados.
La recta no tiene ni principio ni fin.
Para representar una recta, dibujamos una línea con un par de flechas en sus
extremos, aunque a veces solo se dibuja una línea.
Las rectas se nombran utilizando una letra minúscula o dos puntos contenidos en la
recta.
AB,bieno,mctaRe
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Una recta:
No tiene grosor ni anchura.
Pasa por dos puntos dados.
Puede tener dirección horizontal, vertical u oblicua:
Plano
Nos sugiere la idea de un plano:
La página de un libro.
La pared del aula.
Un campo de fútbol.
Los planos son conjuntos infinitos de
puntos, sin bordes ni fronteras. No tiene
grosor.
Se suelen representar por medio de figuras
de cuatro lados.
Se nombran generalmente con una letra del alfabeto griego.
Semirrecta
Es una línea recta que tiene principio pero no tiene fin.
Todo punto perteneciente a una recta separa a la misma en dos semirrectas.
Al punto que da lugar a las dos semirrectas opuestas se lo llama origen.
Para diferenciar las semirrectas se determinan dos puntos adicionales, cada uno de
los cuales pertenece a cada semirrecta:
Semirrecta de origen O que pasa por el punto A. Notación:
OA
Semirrecta de origen O que pasa por el punto B. Notación:
OB
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Segmento
Es la porción de una recta limitada por dos puntos, llamados extremos.
El segmento tiene principio y final.
Se designa por los puntos que lo limitan: AB o BA
Circunferencia y Círculo
Se llama circunferencia al conjunto de puntos que están a la misma distancia de un
punto interior llamado centro.
La circunferencia de la derecha tiene como
centro el punto O. Todo segmento que tiene
como extremo el punto O y un punto de la
circunferencia se llama radio.
Todo segmento que tiene por extremos dos
puntos de la circunferencia y que pasa por el centro se denomina diámetro de la
circunferencia.
Observación: el diámetro de una circunferencia mide el doble que su radio.
radioelesOA
diámetroelesAB
BO2AO2AB
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Los puntos de la circunferencia y los interiores a ella forman un círculo.
Además, en una circunferencia podemos distinguir los siguientes elementos:
Cuerda: es el segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia.
Observación: el diámetro es la cuerda que pasa por el centro de la
circunferencia.
Arco: es el segmento de circunferencia comprendido entre dos de sus puntos.
Semicircunferencia: es el arco que abarca la
mitad de la circunferencia
cuerdaunaesCD
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Longitud de la circunferencia
En cualquier circunferencia, al dividir su longitud entre el diámetro, se obtiene
una cantidad fija algo mayor que tres.
Esa división da siempre 3,1415926 ...
Este número se designa por la letra griega π (pi) y tiene infinitas cifras
decimales que no se repiten.
Para calcular la longitud de una circunferencia, vamos a multiplicar su
diámetro por 3,14.
14,3dL
Ejemplo: la longitud de una circunferencia de 5 cm de
diámetro es: 14,35L
Es decir que su longitud es 15, 7 cm.
ACTIVIDADES:
1. Se dibujaron dos semirrectas en cada dibujo.
El punto O es el origen de las semirrectas.
¿En qué se diferencian cada par de semirrectas?
2. A continuación, dibuja 2 semirrectas más, que tengan origen en el punto O.
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3. Con ayuda de una regla, mide los siguientes segmentos.
...............................RS...............................AB..........................MP
4. Usando la regla, traza las semirrectas opuestas a las dibujadas.
5. Dibuja en tu carpeta:
a) Un segmento que mida 3 cm.
b) Una semirrecta que mida 2 cm.
c) Una recta r y el punto S exterior a ella. ¿Cuántas rectas paralelas a la recta r
y que pasen por el punto S puedes trazar?
d) El segmento AB y el punto S exterior a él. ¿Cuántos segmentos
perpendiculares a AB y que pasen por el punto S puedes trazar?
e) Una circunferencia de radio igual a 2 cm.
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6. ¿Cuáles de estos pares de rectas se van a cruzar si se prolongan?
Prolonga las rectas.
7. Encierra en un círculo todos los pares de líneas oblicuas a continuación.
8. ¿Cuáles de estos pares de rectas son perpendiculares? Comprueba usando
una escuadra.
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9. Dibuja una circunferencia y señala su centro. Dibuja un radio. Dibuja una cuerda y
señala los dos arcos que se forman.
10. Observa la figura y completa:
AC es un …………………………….
El punto O es el…………………
EFes una …………………………………
BOes un ……………………………………
11. Completa:
Si el radio de una circunferencia es de 4,5 cm su diámetro mide …………cm
Si el diámetro de una circunferencia es de 11 cm su radio mide …………cm
Si el radio de una circunferencia es de 2 cm su longitud es de………..…………cm
12. Calcula y completa la tabla: (π =3,14)
Radio de la
circunferencia
3,5 cm
Diámetro de la
circunferencia 5 cm 10 cm
Longitud de la
circunferencia 25,12 cm
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ÁNGULOS Y MEDICIONES
Un ángulo es la porción del plano comprendido entre dos semirrectas que tienen el
mismo origen.
.
Un ángulo está formado por:
Lado de un ángulo: cada una de las dos semirrectas.
Vértice de un ángulo: punto en el que coinciden las dos semirrectas.
Amplitud o medida: es la abertura que hay entre los lados.(Importante)
Más conceptos:
Cuando dos ángulos tienen la misma amplitud decimos que estos ángulos son
congruentes.
Para nombrar un ángulo podemos utilizar una de las siguientes formas:
BOA ˆ : se escribe el vértice en el medio.
O : se nombra solo el vértice.
: se utiliza una letra griega.
También podemos usar un número en el
interior de la abertura.
Sistema sexagesimal:
Mientras que en el sistema métrico decimal las unidades van de 10 en 10, en el
sistema sexagesimal las unidades van de 60 en 60. Este sistema sirve para medir
los ángulos y tiempos.
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Medida de ángulos:
La unidad de medida que usaremos es el grado, que es un ángulo cuya medida es
una de las 360 partes en que se divide una circunferencia. Además el grado se
considera dividido en 60 partes iguales llamadas minutos y cada minuto en 60 partes
iguales llamadas segundos.
Este sistema es llamado sexagesimal y los símbolos de sus unidades son:
Un grado se escribe 1º 1º = 60’
Un minuto se escribe 1’ 1’ = 60”
Un segundo se escribe 1” 1º = 3.600” (60 ⋅ 60)
x 60 x 60
Grado Minuto Segundo
x 3600
: 60 : 60
Grado Minuto Segundo
: 3600
Ejemplo: un ángulo puede medir por ejemplo: = 34° 15’ 28”, podemos escribir el
ángulo en segundos haciendo la reducción.
1) Pasa 34° a minutos
1° ____ 60’
34° ____ 60' . 34 = 2040’
2) Suma los 15’ al resultado del paso 1)
2040’ + 15’ = 2055’
3) Paso los minutos del paso 2) a
segundos
1’ _____ 60”
2055’ _____ 60'' . 2055 = 123.300”
4) Sumo los 28” al resultado del paso (3)
123.300” + 28”= 123.328”
Luego = 123.328”
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Y si el ángulo está dado en segundos, ¿cómo se hará para expresarlo en grados y
minutos?
Veamos:
= 34° 15’ 28”
Atención
No es lo mismo 36,5° que 36°5’
36,5° es 36 grados y medio, está escrito en el sistema decimal, para expresarlo en el sistema sexagesimal podemos hacer:
36,5º = 36º + 0,5º
36,5° = 36º 30 0,5º = 0,5 · 60 = 30
36°5’ es 36 grados 5 minutos, está escrito en el sistema sexagesimal, para expresarlo en el decimal hacemos:
5’ =5 : 60 = 0,083°
36°5’ = 36,083º 36°5’ = 36º +0,083°
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OPERACIONES CON ÁNGULOS
Otro ejemplo:
Si = 48° y = 16° 23’ 18”
Podemos expresar : 48º = 47º 59’ 60”
47° 59’
luego podemos restar : 48° 60’ 60”
- : 16° 23’ 18”
------------ -------------------------------
- = 31° 36’ 42”
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Tipos de ángulos
Por su amplitud, distinguimos los siguientes tipos de ángulos.
Ángulo recto: tiene 90º, es aquel cuyos lados son perpendiculares.
Ángulo llano: tiene 180º, es el que resulta al trazar dos semirrectas con igual
origen pero sentido opuesto.
Ángulo nulo: tiene 0º, es el que resulta al trazar dos semirrectas con igual
origen e idéntico sentido.
Por comparación con el ángulo recto:
Es agudo si tiene mayor amplitud que un ángulo nulo y
menor que un recto.
El CBA ˆ es agudo
90CBA0
Es obtuso si tiene mayor amplitud que un recto y menor que un llano.
El BOA ˆ es obtuso
180BOA90
Por comparación con el ángulo llano:
Un ángulo es convexo si es de menor amplitud que el ángulo llano.
El QOP es convexo
180QOP0
Es cóncavo si su amplitud es mayor que la del ángulo llano.
El BOA ˆ es cóncavo
360BOA180
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0bservación: En un plano, dos
semirrectas (no coincidentes ni
alineadas) con un origen común
determinan siempre dos ángulos, uno
convexo (el de menor amplitud) y otro
cóncavo (el de mayor amplitud)
convexoesˆ
cóncavoángulounesˆ
RELACIONES ENTRE ÁNGULOS
Dos ángulos son consecutivos si
tienen solo un lado y un vértice en
común.
y son consecutivos.
Varios ángulos son consecutivos cuando el
primero es común al segundo, el segundo
al tercero y así sucesivamente.
yˆ son consecutivos
y ………………………………
y ……..………………………
Dos ángulos convexos son opuestos
por el vértice, si tienen el mismo
vértice y si los lados de uno de ellos
son semirrectas opuestas a los lados
del otro.
y son ………………………………………
y son ………………………………………
y son …………………………………………
y son …………………………………………
Propiedad: Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes.
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Dos ángulos son complementarios si
la suma entre ambos es igual a 90°.
y son ………………
Se llama complemento de un ángulo a lo
que falta a éste para completar un ángulo recto.
........................................ˆˆ
es el ……………………………. de
Dos ángulos son suplementarios
cuando la suma de sus amplitudes es igual a 180°.
y son ………………
Por lo tanto el suplemento de un ángulo es lo que le falta a éste para completar los
180º.
43ˆ
137ˆ
........................................ˆˆ
es el ……………………………. de
Dos ángulos son adyacentes cuando
tienen un lado en común y sus otros lados son semirrectas opuestas (es decir, suman 180º).
Luego podríamos decir que: dos ángulos son adyacentes cuando son consecutivos y
suplementarios.
................ˆˆ148ˆ
32ˆ
y son ………………………
Observación: Todos los ángulos adyacentes son suplementarios pero no todos los ángulos suplementarios son adyacentes.
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BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
La bisectriz de un ángulo es la recta que pasando
por el vértice del ángulo lo divide en dos ángulos
iguales.
ˆˆ
Procedimiento:
Dado el ángulo O vamos a trazar su bisectriz.
1º) Con centro en O trazamos un arco, con cualquier
abertura del compás, que corta a los lados del
ángulo en los puntos A y B.
2º) Desde los puntos A y B se trazan dos arcos, que
se cortan en el punto P.
3º) La bisectriz se obtiene dibujando la recta que une
el punto P con el vértice O.
Actividades:
1) Completa la siguiente tabla.
GRADOS (°) MINUTOS (’) SEGUNDOS (’’)
15° 15 ⋅ 60 = 15 ⋅ 3.600 =
60°
100°
278°
360°
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2) Completa esta tabla.
GRADOS (°) MINUTOS (’) SEGUNDOS (’’)
600’
32.400’’
33.600’’
120’
3) Completa la siguiente tabla.
Sistema decimal Sistema sexagesimal
15,5°
38°30’
3,4°
129°15’
4) Dibuja los ángulos que figuran en la tabla siguiente y marca en tu cuaderno una
cruz en la casilla que corresponda.
5) Medí los siguientes ángulos y clasifícalos de acuerdo con su amplitud:
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6) Completa el cuadro:
+ - 3 . : 2
80° 15’ 50°
42° 10’ 16” 30° 34’ 52”
20° 60° 20’ 50”
60° 30’ 9°
7) Realiza los siguientes cálculos:
a) La mitad de 149° 16’ 48”.
b) La tercera parte de 278° 27”.
c) El doble de la quinta parte de 63° 40”.
8) Sea =21° 32’ 18” y = 43° 15’ 16”.
Multiplica al primero por 5 y al segundo divídelo por 2, luego suma los resultados.
a) ¿El ángulo obtenido es agudo u obtuso?
b) ¿Y si los restas?
9) Tres ángulos suman 180°. El menor mide 15° 22’ 43’’ y el mayor es seis veces el
menor. Halla la medida del otro ángulo.
10) Completa la siguiente tabla sabiendo que y son complementarios.
15°
60°
35°
0°
45°
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11) Completa la siguiente tabla sabiendo que y son suplementarios.
115°
72°
135°
90°
0°
12) Los ángulos de una escuadra miden 45°, 45° y 90°, y los ángulos de la otra
escuadra miden 30°, 60° y 90°. Con esta información, observa las imágenes y
calcula los ángulos indicados:
13) Completa sobre las líneas punteadas:
a) Dos ángulos .................................. suman 90°
b) Si dos ángulos suman 180° se llaman ..................................
c) Si dos ángulos complementarios son iguales, cada uno de ellos mide ...............
d) El suplemento de un ángulo de 27° es un ángulo que mide ...............................
e) El suplemento de un ángulo recto también es.................................
f) El suplementarios de un ángulo agudo es un ángulo ...................
g) El complemento de un ángulo recto es un ángulo ……………………………………………….
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14) Traza la bisectriz de los siguientes ángulos:
15) Dibuja un ángulo de 72º y traza su bisectriz.
16) Unir cada par de ángulos con la propiedad correspondiente.
17) Hallar el ángulo correspondiente en cada caso.
a) El complemento de un ángulo de 27˚ 37ʹ 41ʺ.
b) El suplemento de un ángulo de 138˚ 11ʹ 36ʺ.
c) La mitad del suplemento de un ángulo de 61˚ 47ʹ 18ʺ.
d) El triple del complemento de un ángulo de 49˚ 27ʹ 51ʺ.
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18) Teniendo en cuenta los datos que proporciona la figura, calcula, sin medir, la
amplitud de los ángulos:
a)
ˆ
ˆ
ˆ
º80ˆ
b)
ˆ
ˆ
ˆ
19) Calcula, sin medir, la amplitud de todos los ángulos de las figuras
20) Calcula, sin medir, la amplitud de todos los ángulos y
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TRIÁNGULOS: ELEMENTOS Y CLASIFICACIÓN
Para recordar:
Realicemos la siguiente actividad para verificar la condición de
la existencia de un triángulo.
a) Recortamos tiras de cartulina con las siguientes medidas:
Ocho tiras iguales de 4 cm y 0,5 cm de ancho cada una;
Dos tiras de 7 cm y 0,5 cm de ancho cada una;
Una tira de 5 cm y 0,5 cm de ancho cada una;
Dos tiras de 3 cm y 0,5 cm de ancho cada una;
Dos tiras de 2 cm y 0,5 cm de ancho cada una.
b) Con las tiras formamos los siguientes triángulos teniendo en cuenta las medidas
que se indican.
Coloca una cruz en los casos que se haya podido formar un triángulo.
cm
cm
cm
I
4
4
2
)
cm
cm
cm
II
2
4
7
)
cm
cm
cm
III
3
4
7
)
cm
cm
cm
IV
4
3
5
)
cm
cm
cm
V
4
4
4
)
A partir de los resultados anteriores, se puede decir que no siempre es posible
construir un triángulo.
Para poder construir un triángulo se debe cumplir la Propiedad triangular: Cada
lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su
diferencia.
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ALGUNOS CONCEPTOS.
Se denomina triángulo al polígono que tiene tres lados.
En cualquier triángulo CBA
, se pueden reconocer:
Lados: son los tres segmentos que
limitan el triángulo: BCyACAB, .
Vértices: son los extremos de los
lados: CyBA, .
En un triángulo se consideran dos tipos
de ángulos:
Interior: formado por dos lados:
CyBA ˆˆ,ˆ Exterior: formado por un lado y la
prolongación de otro: .
En todo triángulo, la suma de los tres ángulos interiores es 180°.
Lo puedes comprobar de la siguiente manera:
1°) Dibuja en un papel un triángulo acutángulo,
nombra los tres ángulos interiores y márcalos con
un color.
2°) Recorta el triángulo y corta los tres ángulos
interiores, como muestra la figura.
3°) Pega los ángulos del triángulo en forma
consecutiva, notarás que se obtiene un ángulo
llano.
º180CBA
ˆ,ˆ,ˆ
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Los triángulos se pueden clasificar según:
Las medidas de sus lados Las medidas de sus ángulos
Decimos que el lado opuesto a un ángulo en un triángulo es el lado que no contiene al vértice de dicho ángulo.
Ejemplo:
Según el CBA
responde:
a) ¿Cuál es el lado opuesto al ángulo A ?
…………………………………………………………………
b) ¿A qué lado se opone el B ?
…………………………………………………………………
Escaleno Sus tres
lados son distintos.
Isósceles Al menos
dos de sus lados son congruentes.
Equilátero
Sus tres lados son
congruentes.
Rectángulo Un ángulo recto.
Oblicuángulos No tienen ángulos rectos.
Acutángulo
Tres ángulos agudos.
Obtusángulo
Un ángulo obtuso.
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Observa la siguiente figura:
ˆ yB forman un ángulo……………………………….
El ángulo externo es suplementario del ángulo interior que le corresponde y, en
consecuencia cada ángulo exterior y su interior correspondiente son adyacentes.
En todo triángulo, la suma de los tres ángulos exteriores del triángulo es igual a
360°.
Lo puedes comprobar de la siguiente
manera:
1°) Dibuja en un papel un triángulo
cualquiera, nombra los tres ángulos
exteriores y márcalos con un color.
2°) Recorta los tres ángulos exteriores.
3°) Pega los ángulos en forma consecutiva, notarás que se
obtiene un ángulo de un giro.
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La altura de un triángulo, es el segmento perpendicular trazado desde un lado al
vértice opuesto.
El lado que es perpendicular a la altura se llama base.
Importante: En todo triángulo hay tres bases y tres alturas.
Propiedades de los triángulos isósceles:
Tiene al menos dos ángulos iguales.
La altura correspondiente al lado desigual lo divide en
dos triángulos rectángulos iguales y es bisectriz del
ángulo opuesto al lado desigual.
El perímetro de un triángulo es igual a la suma de las medidas de sus lados.
Ejemplo:
¿Cuál es el perímetro del CBA
?
cmcmcmcmACBCABCBAdelPerímetro
cmBC
cmAC
cmAB
80283319
33
28
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ACTIVIDADES:
1) Indica en qué casos, con tres varillas de las siguientes longitudes, se puede construir
un triángulo.
Señala la respuesta correcta.
a) 10 cm ; 12 cm ; 14 cm sí no
b) 8 cm ; 7 cm ; 15 cm sí no
c) 12 cm ; 7 cm ; 3 cm sí no
d) 9 cm ; 9 cm ; 9 cm sí no
e) 12 cm ; 8 cm ; 8 cm sí no
f) 15 cm ; 6 cm ; 6 cm sí no
2) Mide la amplitud de los ángulos interiores de cada uno de los siguientes triángulos y
completa la tabla.
a)
b)
c)
Triángulo A B C Clasificación según sus
ángulos
a)
b)
c)
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3) Mide los lados de los siguientes triángulos y completa la tabla.
a)
b) c)
4) Completa con “ siempre ” , “ a veces ” , “ nunca ” , según corresponda.
a) Un triángulo equilátero ______________ es rectángulo.
b) Un triángulo equilátero ______________ es acutángulo.
c) Un triángulo escaleno ______________ es acutángulo.
d) Un triángulo isósceles ______________ es rectángulo.
e) Un triángulo acutángulo______________ es equilátero.
5) Pablo dice que no se puede construir un triángulo que tenga un ángulo de 80° y otro de
120°. ¿Estás de acuerdo con lo que dice Pablo? ¿Por qué?
6) A continuación se presentan ternas de medidas de ángulos. Indica con cuáles es posible
construir un triángulo y con cuáles no. Justifica tu respuesta en cada caso.
a) A = 30°; B = 120°; C = 30° sí No
b) D = 70°; E = 20°; F = 40° sí No
c) G = 85°; H = 60°; J = 40° sí No
Triángulo AB BC AC Clasificación según sus lados
a)
b)
c)
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7) Calcula la amplitud del ángulo sombreado.
a)
...........ˆ
28C
b)
...........ˆ
58B
c)
71C
.......A
58B
d)
32C
124A
........B
e)
64C
.......A
......B
f)
.......C
.......A
73B
EEST Nº2 - 1º AÑO MATEMÁTICA
Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 36
8) Calcula el perímetro de los siguientes triángulos:
a)
.........CBAperímetro
cm8,2BC
cm4AB
cm5AC
b)
.........CBAperímetro
cm1,4BC
cm9,2AB
cm2,5AC
c)
.........CBAperímetro
cm3,6BC
cm5,4AB
cm4,3AC
d)
.........CBAperímetro
........BC
cm7,2AB
cm5AC
9) Calcula el lado que falta.
cm12CBAperímetro
............BC
cm4AB
cm5AC
cm58CBAperímetro
............BC
cm22AB
........AC
EEST Nº2 - 1º AÑO MATEMÁTICA
Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 37
CUADRILÁTEROS
Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados.
ELEMENTOS DE LOS CUADRILÁTEROS
Vértices: DCBA ,,,
Lados: ADCDBCAB ,,,
Ángulos interiores: DCBA ˆ,ˆ,ˆ,ˆ
Ángulos exteriores: ˆ,ˆ,ˆ,ˆ
Diagonales: BDAC,
Además, decimos que los lados de un cuadrilátero pueden ser:
consecutivos, cuando tienen un vértice en común, u opuestos, cuando no
tienen ningún vértice común.
AB y AD son:
AB y CD son:
Recordá que un vértice es el punto común entre los lados.
Las diagonales son los segmentos que unen dos
vértices no consecutivos. Un cuadrilátero tiene 2
diagonales.
EEST Nº2 - 1º AÑO MATEMÁTICA
Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 38
CLASIFICACIÓN DE CUADRILÁTEROS
Cuadriláteros Cóncavos y Convexos
Un cuadrilátero es convexo si todos sus ángulos interiores
son menores a 180°.
También puedes darte cuenta si es convexo, cuando al trazar
una recta sobre él, la recta lo cortó a lo más en dos lados.
Un cuadrilátero es cóncavo, si uno de sus ángulos interiores
mide más de 180°.
También puedes darte cuenta si es cóncavo, cuando al trazar
una recta sobre él, la recta lo corta en más de dos lados.
CLASIFICACIÓN DE CUADRILÁTEROS CONVEXOS
EEST Nº2 - 1º AÑO MATEMÁTICA
Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 39
ÁNGULOS INTERIORES DE LOS CUADRILÁTEROS
Comenzaremos con el cuadrado y el rectángulo. Estos dos cuadriláteros tienen
propiedades casi similares que los hacen fáciles de resolver.
Recuerda que todos los ángulos interiores tanto de un cuadrado como de un
rectángulo miden 90⁰.
Por lo tanto, la suma de todos los ángulos interiores de un cuadrado y de un
rectángulo es 4 x 90⁰ = 360⁰.
Veamos ahora, los ángulos interiores de cualquier cuadrilátero.
Consideremos el siguiente cuadrilátero CDEF .
Si trazamos la diagonal FD en la figura,
el cuadrilátero queda dividido en dos
triángulos.
Como ya sabemos, la suma de los
ángulos de un triángulo es 180⁰.
Entonces, la suma de los ángulos de un
cuadrilátero es 2 x ………. = ………….
“La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360° ”
ACTIVIDADES:
1. Observa los siguientes cuadriláteros.
EEST Nº2 - 1º AÑO MATEMÁTICA
Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 40
a) completa el siguiente cuadro con el nombre de sus elementos:
Cuadrilátero Clasificación Vértices Lados Ángulos
interiores
Diagonales
I)
II)
III)
b) Traza las diagonales en cada uno de los cuadriláteros.
c) ¿Qué relación existe entre las diagonales y la clasificación de los cuadriláteros?
2. Observa los cuadriláteros y completa la tabla con el número que corresponda:
Ningún par de
lados paralelos
Solo un par de
lados paralelos
Dos pares de
lados paralelos
a) Ningún lado
congruente
b) Solo un par de lados
congruentes
c) Dos pares de lados
congruentes
d) Todos los lados
congruentes
EEST Nº2 - 1º AÑO MATEMÁTICA
Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 41
3. ¿Es posible construir un cuadrilátero con un solo ángulo recto? ¿Y con solo dos? ¿Y
con solo tres?
4. Calcula, sin medir, el valor de x .
x x x x
5. Si tres de los ángulos interiores de un cuadrilátero miden: 65º, 89º y 135º ¿cuánto
mide el cuarto?
6. ¿Qué propiedad cumplen los ángulos consecutivos de
un paralelogramo?
7. ¿Cuánto miden los ángulos interiores de este
paralelogramo?
120ºˆ
8. El cuadrilátero ABCD es un paralelogramo, 70D
¿Es cierto que con estos datos es posible calcular, sin
medir, la amplitud de todos los ángulos de la figura?
En caso de que la respuesta sea afirmativa calcula la
amplitud de los otros tres ángulos.
9. Si los lados de un rectángulo miden, respectivamente, 16 cm y 30 cm, ¿cuál es su
perímetro?
EEST Nº2 - 1º AÑO MATEMÁTICA
Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 42
10. ¿Cuál es la medida de cada lado de un terreno rectangular cuyo largo es de 80 m y
su perímetro de 300 m?
11. El perímetro de un rombo es 28 cm. ¿Cuál es la longitud de sus lados?
12. El cuadrilátero ABCD es un rombo, 130D
¿Es cierto que con estos datos es posible calcular,
sin medir, la amplitud de todos los ángulos de la
figura?
En caso de que la respuesta sea afirmativa calcula
la amplitud de los otros tres ángulos.
13. Si dibujas dos segmentos que sean perpendiculares en sus puntos medios y unes
sus extremos, obtienes un cuadrilátero.
Escribe el nombre del cuadrilátero que construiste en los siguientes casos:
a) Para dos segmentos de distinta longitud.
b) Para dos segmentos de igual longitud.
14. El perímetro de un cuadrado es 12,8 cm. ¿Cuál es la longitud de sus lados?
15. En el trapecio isósceles EFGH ,
cm30EF , cm25FG y cm45EH
calcula su perímetro
16. Calcula la amplitud de los ángulos interiores de cada trapecio.
C
B
A
a
ˆ
ˆ
ˆ
)
EEST Nº2 - 1º AÑO MATEMÁTICA
Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 43
C
D
A
b
ˆ
ˆ
ˆ
)
17. Resolver aplicando propiedades del romboide.
a)
R
S
Q
P
ˆ
ˆ
126ˆ
52ˆ
b)
Q
S
R
P
ˆ
ˆ
101ˆ
69ˆ
c)
PQRSPerímetro
cmPQ
cmRS
5
3
EEST Nº2 - 1º AÑO MATEMÁTICA
Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 45
UNIDAD Nº2: NÚMEROS NATURALES Y RACIONALES POSITIVOS.
DIVISIBILIDAD
Números Naturales
Los primeros números que estudiamos son los naturales, un conjunto infinito de
números que simbolizamos así:
N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . . . . . ,18, 19, . . . . . . . , 53, . . . . . }
Estos números están ordenados, lo que nos permite representarlos sobre una recta
del siguiente modo:
1 2 3 4 5 6
Tiene un primer elemento que es el 1 y no tiene último elemento
Surgieron con la necesidad del hombre de contar objetos.
Cada uno de los números se obtiene sumando 1 al anterior.
El 0, ¿qué sabemos de él?, que se tardó mucho en reconocerlo como un número, era
muy difícil pensar que a la ausencia de objetos le corresponde el número cero.
Si escribimos N0 significa:
N0 = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . . . . . ,18, 19, . . . . . . . , 53, . . . . . }
Operaciones con N0.
Recordamos algunos conceptos:
EEST Nº2 - 1º AÑO MATEMÁTICA
Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 46
Propiedades de las Operaciones:
PROPIEDAD CANCELATIVA
Si en una expresión tenemos el mismo número sumando y restando se puede
cancelar y el resultado no cambia.
281038310
Utilizando las propiedades resultó más fácil realizar las operaciones.
Ejemplo:
Observa la siguiente operación Propiedades aplicadas
65556555
5524413223
5524413223
5524324123
conmutativa
asociativa
cancelativa
EEST Nº2 - 1º AÑO MATEMÁTICA
Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 47
ACTIVIDADES:
1. Ordena de mayor a menor las siguientes distancias. Escribe en cada caso el lugar
que ocupa la cifra de mayor orden.
a) Desde la Tierra hasta el Sol, 150 000 000 kilómetros
b) Una vuelta a la Tierra, 40 000 kilómetros
c) Desde la Tierra hasta la Luna, 384 000 kilómetros
d) Desde el Sol hasta Saturno, 1 400 000 000 kilómetros
e) Un año luz son 9 500 000 000 000 kilómetros
2. Preferencia en las operaciones:
2.318)f
2.318)e
2.3:18)d
2.3:18)c
2318)b
2318)a
3. Completa la tabla. Observa el primer ejemplo resuelto.
Propiedad
conmutativa
Propiedad
Asociativa Resolución
400+15+20+5 400+20+15+5 (400+20)+(15+5) 420+20=440
250+18+50+12
123+24+17+36
4. Para cada situación, descubre la regularidad y completa las rectas con los números que faltan.
EEST Nº2 - 1º AÑO MATEMÁTICA
Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 48
5. Analiza si las siguientes operaciones son verdaderas o falsas, escribe un ejemplo cuando sea posible.
a) Todo número natural tiene consecutivo.
b) Todo número natural tiene antecesor. c) El conjunto IN tiene un último elemento.
d) Entre dos números naturales siempre hay un número natural. e) El conjunto IN tiene infinitos elementos.
6. Completa el cuadro con los resultados de las cuentas indicadas, cuando sea posible resolverlas y el resultado sea un numero natural.
a B a+b a-b a.b a:b
36 4
20 36
27 0
22 44
0 7
6. Calcula:
a) 255 + 45 · 5= e) 28 · ( 24 – 16) · 2 =
b) 215 + 40 : 5= f) 488 · ( 88 + 32) : 8 =
c) 18 · 6 – 45 : 3 + 18= g) 24 · 9 + 36 : 3 .6 - 27 =
d) [3+2.(4+2.3) .2 +6: [2+(30-2.15)= h) [8+3.(4+2.4).[(4+2.8+1).4+1=
7. En el número 611, se cambia la cifra de las decenas por un 7, y se obtiene un nuevo
número. ¿Cuál es la diferencia entre estos dos números?
8. Mi padre tiene 36 años, mi madre 34 y yo 12. ¿Cuántos años tendrá mi madre
cuando yo tenga 21 años?
9. Restando de 91 un número hemos obtenido otro formado por dos cuatros. ¿Cuál
es el número restado?
10. ¿Cuál es el número que al dividirlo por 34 da cociente 17 y resto 7?
EEST Nº2 - 1º AÑO MATEMÁTICA
Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 49
11. Completa el siguiente cuadro según los distintos valores que conozcas de los
elementos que intervienen en la división
Dividendo
A
Divisor
b
Cociente
c
Resto
r
rcba .
29 4
116 9
27 1 6
37 = 7 . 5 + 2
15 5
125 5 0
12. Resuelve haciendo el diagrama de árbol.
a) Felipe quiere ordenar en un estante tres libros ¿De cuántas formas puede
hacerlo?
b) Ainoha quiere comer un sándwich y le ofrecen distintas variedades: de pebete
o de miga, con jamón cocido, o queso o salame, puede elegir mayonesa o sin
aderezo. ¿Cuántas variedades de sándwich puede elegir?
EEST Nº2 - 1º AÑO MATEMÁTICA
Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 50
13. Lee atentamente y responde.
a) Observa la serie de cuadrados y dibuja otro más
b) Calcula la cantidad de puntos que forma cada cuadrado, usando una
multiplicación.
c) Si un cuadrado está formado por 81 puntos. ¿Cuántos puntos tiene cada lado?
Potenciación y Radicación en NO
EEST Nº2 - 1º AÑO MATEMÁTICA
Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 51
ACTIVIDADES:
14. Completa la tabla.
Potencia Se lee…. Se resuelve…….
52 Cinco al cuadrado 5 . 5 = 25
43 Cuatro al cubo 4 . 4 . 4 = 64
72
25
Diez a la cuarta
Seis al cubo
15. Completa la tabla.
Número 0 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 12
Cuadrado
Cubo
16. En un laboratorio se está estudiando el
crecimiento de una población de bacterias. Para
esto, se hace un recuento de las bacterias una
vez por hora, durante seis horas.
a) Completa los datos que faltan en el registro
de la cantidad de bacterias
hora Cantidad de bacterias
1 2
2 4
3
4
5
6
b) ¿Cuántas bacterias habrá después de ocho horas? Escribe el cálculo que usaste
para encontrar el resultado.
EEST Nº2 - 1º AÑO MATEMÁTICA
Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 52
17. Luis y Camila están estudiando para la evaluación. Luis dice que para resolver 24
hay que hacer 2.4 y Camila dice que hay que hacer 2.2.2.2 ¿Quién tiene
razón?¿Por qué?
18. Resuelve. Tené en cuenta el ejemplo
a) 255porque525 2 d) 49porque49 2
b) 64porque64 2 e) 210porque10
c) 8porque8 33 f) 64porque64 33
19. Completa los siguientes cuadros (sin utilizar la calculadora).
Número 0 1 25 36 100 144 16 64 49 9 81 4 121
Raíz Cuadrada
20. Decir si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos.
a) 28 = 22 . 26 = 25 . 23
b) 8 + 3 2 = 82 + 32
c) (8 3)2 = 82 32
d) (23)2 = 25
e) 54 = 45
f) (23)2 = 26
g) 2655 20
h) 743 222
La actividad anterior ejemplifica algunas de las siguientes propiedades de la
potencia:
Número 0 1 125 64 216 27 343 729 512 8 1000
Raíz Cúbica
EEST Nº2 - 1º AÑO MATEMÁTICA
Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 53
PROPIEDADES DE LA POTENCIA
Distributiva con respecto al producto (2 . 6) 3 = 23 . 63
Distributiva con respecto a la división ( 6 : 3) 2 = 62 : 32
Producto de potencias de igual base 54 . 53 = 54+3 = 57
División de potencias de igual base 78 . 75 = 78-5 = 73
Potencia de potencia 124.343 222
Observación: Como se vio en el ejercicio anterior la potencia no es distributiva con
respecto a la suma ni a la resta.
Propiedades de la Radicación
Distributiva con respecto al producto
4 .25 = 4 . 25
100 = 2 . 5
Distributiva con respecto a la división
1000: 83
= 10003
∶ 83
1253
=10 : 2
Observación: La radicación no es distributiva con respecto a la suma ni a la resta.
ACTIVIDADES:
21. Resuelve aplicando propiedades de potenciación. Expresa como única potencia.
a) 51 . 52 b) 33 . 312. 323 c) 20 . 2 . 22 . 23
d) 1318 6:6 e)
18 16:16 f) 314 5:5
g) (82)1 h) (122)3 i) (43)3
j) (105)2 : 104 k) 53 .54 :56 l) 35 . (32 )4 : 315
EEST Nº2 - 1º AÑO MATEMÁTICA
Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 54
22. Revisa si los ejercicios están bien resueltos, si están correctos marca con si
están incorrectos marca :
a) 333 632 ............
b) 853 1010 .........
c) 1022222 ..........
d) 413 331 ..........
e) 65 : 64 = 6.........
f) 85 : 85 = 8.........
g) 165 : 16 = 164.........
h) 333 125.8125.8 …………
i) 64366436 …………
j) 4:644:64 …………
k) 16251625 …………
EEST Nº2 - 1º AÑO MATEMÁTICA
Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 55
ACTIVIDADES:
23. Une con flechas cada cálculo y resultado
24. Resuelve cada uno de los siguientes cálculos
25. Coloca los números que faltan en los siguientes cálculos:
26. Resuelve:
a) 2 1449 3210 b) 323 812555
21236
c) 3 278 38 33 d) 91443622315
e) 24·32 – 32· 4 = f) 25·42 + 34: 3 – 42· 5 =
EEST Nº2 - 1º AÑO MATEMÁTICA
Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 56
Lenguaje Coloquial y simbólico
El lenguaje coloquial es el que utilizamos para expresarnos y el lenguaje simbólico es
el que utiliza la matemática.
Lenguaje coloquial Lenguaje simbólico
El doble de trece 2 . 13
La mitad de cincuenta 50 : 2
La suma entre cinco y doce 5 +12
El producto entre ocho y diez 8 . 10
La diferencia entre nueve y cuatro 9 - 4
El cubo de 8 83
También se puede expresar en lenguaje simbólico situaciones que hagan
referencia a un número cualquiera, al que se lo denomina generalmente con la
letra x.
Lenguaje coloquial Lenguaje simbólico
El triplo de un número 3 . x
La tercera parte de un número x : 3
El producto entre un número y ocho
El cociente entre un número y seis x : 6
El siguiente de un número x + 1
El anterior de un número
La diferencia entre un número y tres x - 3
La raíz cuadrada de 25
El doble del cubo de un número
El cubo del doble de un número
La diferencia entre el cuadrado de 12 y
un número
EEST Nº2 - 1º AÑO MATEMÁTICA
Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 57
“Plantear una ecuación significa expresar en símbolos matemáticos una
condición formulada con palabras; es una traducción de un lenguaje
corriente al lenguaje de las fórmulas matemáticas. Las dificultades que
podamos tener al plantear ecuaciones son dificultades de traducción.”
"Cómo resolverlo"George Polya
Ecuaciones
El lenguaje simbólico te servirá de ayuda para resolver problemas, podrás traducir
del lenguaje coloquial al simbólico y resolver fácilmente.
Observa el siguiente ejemplo:
“Agustín, haciéndose el misterioso, les decía a sus compañeros: ``Elije un número,
Súmale siete, Multiplica el resultado por dos, Réstale ocho, Divide el resultado por
dos, Réstale el número que elegiste”
La curiosidad radica en que cualquiera sea el número elegido, se obtiene siempre el
mismo resultado: 3 ; lo que podríamos mostrar de distintas formas.
Si usamos lo que aprendimos podemos escribir:
1. Elije un número x
2. Sumale siete x + 7
3. Multiplica el resultado por dos 2 ( x + 7 ) = 2x + 14
4. Restale ocho 2x + 14 – 8 = 2x + 6
5. Dividel resultado por dos (2x + 6) : 2 = x + 3
6. Restale el número que eligiste x + 3 - x = 3
EEST Nº2 - 1º AÑO MATEMÁTICA
Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 58
Una ecuación es una igualdad en la que aparece por lo menos una letra (llamada incógnita) que representa un número desconocido. Resolver una ecuación es encontrar el valor de la incógnita que verifique a la
igualdad.
Ejemplos de cómo se resuelve una ecuación
En una expresión más compleja debemos, primero, separar los términos de cada
uno de los miembros luego resolver y por último verificar la solución hallada.
EEST Nº2 - 1º AÑO MATEMÁTICA
Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 59
ACTIVIDADES:
27. Si la edad de Ana en años se designa con x, expresa simbólicamente:
a) la edad de Ana dentro de tres años:......................................................
b) la edad de Andrés, que es la cuarta parte de la de Ana:.........................
c) la edad de Andrés hace dos años:..........................................................
d) el triple de la edad de Ana:......................................................................
e) el triple de la edad de Ana dentro de 5 años:..........................................
28. Relaciona uniendo con flechas:
a) la diferencia entre dos números es 55 x – y = 55
b) la suma entre un número y el doble de otro es 55
c) el doble de la suma de las edades de Ana y Juan es 55 x + 2y = 55
d) el número de niños supera al de niñas en 55
e) el doble de la edad de Juan agregada a la de Roque es 55 x + y = 55
f) un kg de un producto más 2kg de otro cuestan $55
g) el doble del dinero invertido por dos niños en artículos
escolares es $55 2 (x+y) = 55
h) el número de Ha. sembradas con trigo supera al
de las sembradas con avena en 55Ha.
29. Juana gastó en la librería $250. Después en la tienda quiso comprar 3 metros de
una tela que valía $90 el metro, pero le faltaban $60. ¿ Cuánto dinero tenía Juana
antes de entrar a la librería? ¿ Cuál de las siguientes expresiones permite
resolver el problema?
a) (250 + 90 ) . 3 – 60
b) 250 + 90 . 3 – 60
c) 250 – ( 90 . 3 – 60 )
d) 250 + 90 : 3 – 60
30. Une que una flecha las expresiones equivalentes:
2x +2x 3x
5x-2x x
x+x 6x
4x+2x 4x
7x-6x 2x
EEST Nº2 - 1º AÑO MATEMÁTICA
Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 60
31. Señala cual de los valores de la incógnita es solución de la ecuación.
a) x + 6 = 1 0 x = 1 6 x = 4 x = 5
b) 7 = Y + 2 y = 5 Y = 9 Y = 6
c) b-3=8 b=lO b=5 b=11
d) 5 - x = 3 x = 1 x = 2 x = 3
e) 13 . m = 260 m = 2 m = 20 m = 13
f) 36 : y = 4 Y = 32 Y = 10 Y = 9
g) 5 . x - 4 = 11 x = 3 x = 1 x = 7
h) x + 14 = 20 - x x = 6 x = 1 7 x = 3
32. Resuelve:
a) 175.2 x d) 1514 xxx g) 245.5 2 x j) 732.3 2 x
b) 742 xx e) 1611)27( x h) 91x k) 342
x
c) 3538 xx f) 213)2.(2 xx i) 42.3 x l) 3862
2
x
33. Plantea y resuelve las siguientes ecuaciones
a) En un cine hay 511 personas. ¿Cuál es el número de hombres y cuál el de
mujeres, sabiendo que el de ellas sobrepasa en 17 al de ellos?
b) Marisa es tres años más joven que su hermana Rosa y un año mayor que su
hermano Roberto. Entre los tres igualan la edad de su madre, que tiene 38
años. ¿Cuál es la edad de cada uno?
c) Pedro, Pablo y Paloma reciben $ 1 200 como pago por su trabajo de
socorristas en una piscina. Si Pablo ha trabajado el triple de días que Pedro, y
Paloma el doble que Pablo, ¿cómo harán el reparto?
d) Marta gasta la mitad de su dinero en la entrada para un concierto, y la quinta
parte del mismo, en una hamburguesa. ¿Cuánto tenía si aún le quedan $2,70?
EEST Nº2 - 1º AÑO MATEMÁTICA
Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 61
Divisibilidad
Múltiplos y Divisores
Recordamos algunos conceptos:
“Un número es múltiplo de otro cuando éste lo contiene una cantidad exacta de
veces”, ó lo que es lo mismo, ”Un número a es múltiplo de b, si el resto de la división
de a por b es cero”
O también podemos decir que:
“b es divisor de a cuando b está contenido en a una cantidad exacta de veces
Ejemplo: 20 es múltiplo de 5
5 es divisor de 20.
Escribe ahora los múltiplos de 7, 9 y de 12
M(7)=
M(9)=
M(12)=
Podemos ver que:
“Todos los números tienen infinitos múltiplos.”
“ 0 es múltiplo de todos los números.”
Ahora vamos a escribir los divisores de 18,48 y de 19
D(18)=
D(48)=
D(19)=
Vemos que:
“ El conjunto de divisores de un número es finito.”
“ 1 es divisor de todos los números.”
EEST Nº2 - 1º AÑO MATEMÁTICA
Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 62
Números primos y números compuestos
Vamos a seguir investigando y sacando conclusiones, para eso te pido que escribas:
¿Cuáles son los divisores . . .
de 14?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
de 5?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de 6? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
de 1? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .de 25? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
de 13? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
De los números anteriores:
a) ¿Cuáles tienen un único divisor?
b) ¿y solo dos divisores?
c) ¿más de dos divisores?
“Un número natural es primo si tiene solo 2 divisores distintos” ( El mismo
número y el 1)
“Un número natural, distinto de 0, es compuesto si tiene más de 2 divisores
distintos. ”
¡El 1 no es ni PRIMO ni COMPUESTO!
Factoreo de un número
Todo número compuesto puede escribirse como producto de dos o más factores primos. Esta forma de expresar un número se llama Factorizacion o Descomposicion en factores primos. Ejemplo: Escribimos al número 210 como un producto de sus factores primos de dos maneras distintas.
a) ......................x.......272
........
...............
.........
.......4
........
8
72
EEST Nº2 - 1º AÑO MATEMÁTICA
Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 63
b)
72
36
18
9
3
1
2
2
2
3
3
Observación:
2310
770
110
10
5
1
3
7
11
2
5
2310
330
110
55
11
1
7
3
2
5
11
2310
210
105
21
3
1
11
2
5
7
3
Si miraste detenidamente el 2310 se ha descompuesto en factores primos
comenzando de diferentes maneras pero siempre llegamos a lo mismo, sus factores
primos son 2, 3, 5, 7 y 11
Pues: La descomposición en factores primos de un número natural cualquiera es única.
Para factorear un número, por comodidad, solemos empezar por el 2, luego 3 y así en
orden creciente, como para no olvidar a ninguno de los primos, pero no es indispensable
que lo hagas así, puedes comenzar por el que quieras, pero CUIDADO debe ser
PRIMO.
EEST Nº2 - 1º AÑO MATEMÁTICA
Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 64
m.c.m y D.C.M
Lean atentamente y respondan:
Ainoha, Norma y Karina son
azafatas y trabajan para distintas compañías aéreas. Cada vez que se encuentran almuerzan juntas en el
aeropuerto de Buenos Aires. Ainoha vuela a Buenos Aires cada 6
días, Norma cada 8 días y Karina cada 12 dias.
a) Si almorzaron juntas el 1 de abril, ¿dentro de cuantos días volverán a
encontrarse?
b) ¿Cuántas veces se reunirán en un año?
EEST Nº2 - 1º AÑO MATEMÁTICA
Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 65
Método Práctico para hallar el D.C.M.
D.C.M. (12;18)
1º) Se descompone cada número en sus factores primos
12
6
3
1
2
2
3
18
9
3
1
2
3
3
12 = 2 . 2 . 3 =22 . 3 18 = 2 .3 .3 = 2 . 32
2º) Se eligen los factores comunes a la mínima con su menor exponente.
El 2 es común a los dos números. En el 12 está 2 veces
En el 18 está una vez
se elige una vez 2
El 3 es común a ambos números.
En el 12 está una vez En el 18 está 2 veces
se elige una vez 3
luego como no hay más factores comunes, se multiplican los valores hallados.
D.C.M. (12;18) = 2 . 3 = 6
Observa el siguiente ejemplo más complicado
D.C.M.(45, 30, 60)
45
9
3
1
5
3
3
30
15
5
1
2
3
5
60
30
15
5
1
2
2
3
5
45 = 5 . 3 . 3 = 5 . 32 30 = 2 . 3 . 5 60 = 2 . 2 . 3 . 5 = 22 . 3 . 5
D.C.M.(45, 30, 60) = 3 . 5 =15
EEST Nº2 - 1º AÑO MATEMÁTICA
Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 66
Método Práctico para hallar el m.c.m.:
m.c.m.(45,30,60)
1º) Factorear los números:
45
9
3
1
5
3
3
30
15
5
1
2
3
5
60
30
15
5
1
2
2
3
5
45 = 5 . 3 . 3 = 5 . 32 30 = 2 . 3 . 5 60 = 2 . 2 .3. 5 = 22 . 3 . 5
2º) Buscamos los factores comunes con su mayor exponente.
El 3 es común a los tres.
En el 30 está 1 vez En el 45 está 2 veces. 32
En el 60 está 1 vez.
se elige 2 veces. 32
El 5 está 1 vez en cada número. 5
3º) Luego lo multiplico por los factores no comunes también con su mayor
exponente: 32 . 5 . 22 = 9 . 5 .4 = 180
m.c.m (45,30, 60)=180
Podemos obtener las siguientes conclusiones:
El divisor común mayor de dos números es el producto de los factores
primos comunes a ambos números elevados al menor exponente.
El múltiplo común menor de dos números es el producto de los factores
primos comunes y no comunes, elevados al mayor exponente.
Dos números son COPRIMOS Ó PRIMOS ENTRE SÍ cuando el d.c.m. de
ambos es 1, es decir, cuando no tienen factores primos comunes.
EEST Nº2 - 1º AÑO MATEMÁTICA
Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 67
ACTIVIDADES:
1. Descompone os siguientes números en factores primos:
a) 66 b) 84 c) 495 d) 90
2. A la pregunta ¿cuántos divisores tiene 252?, alguien respondió: 5. Esta
respuesta es incorrecta pues el número de divisores de 252 es mayor a 10.
¿Cuántos tiene y cuáles son?
3. Determina el número de divisores de 60. ¿Puedes escribir 10 de ellos?
4. Lee cada enunciado y escribe una V si es verdadero y F si es falsa:
a) ______ El número 72 es divisible por 2 y 3 entonces también es por 6
b) ______ El 10 es divisible por 1 - 2 y 5
c) ______ 780 es divisible por 5
d) ______ El 40 es divisible por : 1 - 2 - 4 - 5 - 8 - 10 - 20 y 40
e) ______ El 1.000 es divisible por 2 y 5
f) ______ Todos los múltiplos de 10 son divisibles por dos
5. Unan con una flecha cada número con su correspondiente factoreo:
177 3 . 52
124 3 . 59
384 3 . 5 . 7
270 27 . 3
380 2 . 33 . 5
75 22 . 5 . 19
105 31 . 22
6. Calcula el D.C.M. de:
a) 24, 30,y 36 b) 150, 75, y 35 c) 1134; 945 y 1764
7. Calcula el m.c.m. entre:
a) 18, 15 y 10 b) 4, 20 y 25 c) 24, 30 y 36
EEST Nº2 - 1º AÑO MATEMÁTICA
Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 68
8. Decide si las siguientes frases son verdaderas o falsas. Pon ejemplos de lo que se
dice:
a) Decir que a es múltiplo de b es lo mismo que decir que b es divisor de a.
b) Si al realizar una división esta da exacta, entonces el “dividendo” es
múltiplo tanto del “cociente” como del “divisor”.
c) Decir que x es divisible por y es lo mismo que decir que x es múltiplo de y.
d) Si a es múltiplo de b, entonces a es mayor que b.
9. Calcula el D.C.M. y el m.c.m. entre:
a) 3, 9 y 18 b) 5 y 14
10. Resuelve las siguientes situaciones:
a) Laurita está revisando su caja con fichas y descubre que al hacer montones
con 5 fichas cada uno, le sobran 2 fichas y que al hacer montones con 2 fichas
cada uno, le sobra 1 ficha. Si en total hay más de 10 fichas; pero menos de 30
fichas. ¿Cuántas fichas tiene?
b) ¿Cuál es la menor cantidad de paquetes de salchichas (10 en cada paquete) y de
panes (6 en cada paquete) que debe comprar para tener tantas salchichas como
panes?
c) Daniel y Vicente trabajan como guardias en una compañía de seguridad. Daniel
tiene libre cada sexta noche trabajada y Vicente tiene libre cada décima
noche. Si los dos han disfrutado de noche libre el primero de marzo ¿cuál es la
siguiente noche en que ambos descansarán a la vez?
d) El Cine del paseo y el cine del shopping proyectan películas de forma continua
y cada uno de ellos comienza su primera función a las 2:00 p.m. Si la película
proyectada en el Cine del paseo dura 80 minutos y la proyectada en el shopping
dura 2 horas ¿a qué hora volverán a comenzar las películas al mismo tiempo?
e) Una computadora puede realizar un trabajo en 40 minutos y se anexa otra, en
red, que puede realizar el mismo trabajo en 20 minutos. ¿Cuánto tiempo tardan
en realizar ambas computadoras, funcionando simultáneamente, el trabajo?
f) Si el Sr. Enrique ocupa 3 días en hacer la estructura de una casa y su hijo
Fernando ocupa 2 días en realizar el mismo trabajo ¿cuántos días tardaran si
trabajan juntos en la tarea?
EEST Nº2 - 1º AÑO MATEMÁTICA
Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 69
NÚMEROS RACIONALES POSITIVOS
FRACCIONES Y DECIMALES
Calentando Motores!!!!!!
EEST Nº2 - 1º AÑO MATEMÁTICA
Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 71
Fracciones Equivalentes
Lean atentamente y resuelvan:
Cuatro amigas compraron 2 pizzas y calcularon comer media pizza cada una.
Norma propuso dividir cada piza por la mitad y Karina propone cortar cada pizza en 8
partes iguales.
a) ¿Cuántas porciones le corresponde a cada una, según lo que propone Karina?
b) Representa gráficamente las dos opciones y pinta con un color la cantidad de
porciones que le queda a cada una
EEST Nº2 - 1º AÑO MATEMÁTICA
Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 72
ACTIVIDADES:
Partes de un todo: Las Fracciones
1. ¿Cómo lees las siguientes fracciones?
Fracción de una cantidad numérica
2. Calcula:
a) los 7
4 de 63 litros
b) los 8
3 de 72 kilogramos
3. Calcula:
300de3
2 100de4
3 150de3
1
160de8
5 36de9
7 2400de
6
5
4. Tenía 200 palomas y he vendido los 5
4 de las palomas. ¿Cuántas he vendido?
¿Cuántas me quedan?
5. Un padre decide repartir $2100 entre sus tres hijos. Al mayor decide darle las
5
2 partes; al siguiente los 7
3 , y al menor el resto. ¿Qué cantidad se llevó cada
uno?
a) _______________________________________9
2
b) _______________________________________3
4
c) _______________________________________
10
5
d) _______________________________________
6
9
EEST Nº2 - 1º AÑO MATEMÁTICA
Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 73
6. a) Tengo que poner 900 ladrillos en una pared. Hoy pondré4
1del total. ¿Cuántos
son?
b) Si mañana pongo 9
2de los que me faltan, ¿cuántos pondré?
c) ¿Cuántos faltaran por poner?
Representación gráfica de fracciones
7. Representa aproximadamente en la recta real los números.
a) 2
5,
2
3,
2
1
b) 10
25,
10
11
c) 3
8,
3
4,
3
1
3. Representa el 1 en cada recta.
Comparación de fracciones con la unidad-Números Mixtos
8. Señala, en las fracciones siguientes, aquellas que son mayores, iguales o menores
que la unidad: 3
3,
21
12,
2
15,
16
16,
2
5,
5
4
9. Escribe tres fracciones menores que la unidad; dos fracciones mayores que la
unidad y cuatro tracciones iguales que la unidad.
EEST Nº2 - 1º AÑO MATEMÁTICA
Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 74
10. Relaciona cada fracción con su número mixto:
7
12
2
5
4
7
4
31
2
12
7
51
11. Expresa con un número mixto estas fracciones:
5
17 9
20
12. Expresa con una fracción los siguientes números mixtos:
5
32
3
15
Fracciones equivalentes
13. Estudia si son equivalentes o no las siguientes parejas de fracciones.
140
20y
14
2)d
6
75y
2
25)c
3
12y
4
15)b
24
20y
6
5)a
14. Completa para que sean equivalentes:
3
15)e
100
125
4)d
75
204)c
1030
18)b
164
3)a
15. Escribe tres fracciones equivalentes a:
15
2)e
3
7)d
2
13)c
5
8)b
4
3)a
16. Rodea con un círculo las fracciones equivalentes a la primera que te dan:
45
36,
35
27,
25
20,
21
16,
15
12
5
4)b
56
24,
56
27,
35
15,
14
6,
21
12
7
3)a
EEST Nº2 - 1º AÑO MATEMÁTICA
Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 75
Reducción de fracciones a común denominador
17. Reduce a común denominador las fracciones:
60
12,
20
15,
75
21)
5
7,
60
28,
18
14,
36
24)
12
5,
3
2,
4
3) cba
Simplificación o reducción de fracciones
18. Simplifica las siguientes fracciones:
a) 3
6
b) 15
45
c) 114
9
19. ¿Cuáles de las siguientes fracciones son irreducibles? Simplifica las que no lo
sean.
45
9,
11
8,
21
7,
42
6,
15
5,
13
4,
27
3,
8
2,
7
1
Comparación de fracciones
20. Compara las siguientes fracciones (<,>): 13
8
13
12)
8
5
8
3) ba
21. Indica qué fracción es mayor. Utiliza el signo de > (mayor que) y < (menor que):
a. 6 2
11 9
b. 4 6
11 7
c. 3 5
4 6
d. 10 12
3 5
22. Un estudiante ha acertado 4 preguntas de un total de 5 y otro 20 preguntas de
un total de 25. ¿Cuál de los dos tendrá mayor puntuación?
23. Ordena de mayor a menor las siguientes fracciones. Utiliza el método del m.c.m.
8
7,
12
3,
9
3,
4
2)
70
12,
7
4,
5
3)
15
3,
20
5,
10
3,
5
2)
c
b
a
EEST Nº2 - 1º AÑO MATEMÁTICA
Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 76
Operaciones con fracciones
Suma y resta de fracciones
Multiplicación de un número natural por una fracción
EEST Nº2 - 1º AÑO MATEMÁTICA
Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 77
Multiplicación y división de Fracciones
EEST Nº2 - 1º AÑO MATEMÁTICA
Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 78
ACTIVIDADES:
24. Efectúa las siguientes sumas y restas de fracciones, tratando de simplificar el
resultado siempre que se pueda.
26
4
5
2
6
3
3
1)
36
1
3
2)
4
2
6
3
3
1)
4
2
6
1)
4
3
3
2)
e
d
c
b
a
f) 5
1
5
2
8
3
g) 3
1
2
1
4
3
h) 4
3
24
18
i) 24
8
3
2
25. Realiza las siguientes operaciones con fracciones. Recuerda que primero debes
efectuar las operaciones entre paréntesis y después, calcula. Trata de simplificar
el resultado siempre que sea posible.
410
2
5
31)
10
2
3
1
5
2
6
4
6
3)
10
3
5
2
6
3
3
1)
3
1
6
3
6
4)
d
c
b
a
EEST Nº2 - 1º AÑO MATEMÁTICA
Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 79
26. Resuelve las multiplicaciones y divisiones siguientes. Trata de simplificar el
resultado siempre que se pueda.
2
3:
4
3:
4
6
12
2)
3
2:
3
5
5
3)
4
53
9
2)
10
5:
5
13)
3
2
5
1
5
3)
7
2
3
2)
f
e
d
c
b
a
27. Resuelve y recuerda: “En una serie de operaciones combinadas con fracciones, se
efectúan primero las operaciones indicadas entre paréntesis, después los
productos y las divisiones en el orden en el que aparezcan de izquierda a derecha
y, finalmente, se realizan las sumas y las restas en el orden en el que aparezcan de
izquierda a derecha.”
14
9
42
7:
24
5)
5
2
3
2
5
3)
2
3
5
3
6
5
3
1)
11
10
9
33
22
7)
5
3:
2
31)
e
d
c
b
a
EEST Nº2 - 1º AÑO MATEMÁTICA
Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 80
Expresión decimal
Toda expresión decimal consta de una parte entera y otra decimal:
Lo leemos “1 entero con 54 centésimos”
Pasaje de una expresión decimal a fracción
FORMA
DECIMAL EJEMPLO
Exactas
0,75 = 100
75
0,015 = 1000
15
2,23 = 100
223
Periódic
as
Puras
0,333... = 30, =
9
3
0,2525... =
250, = 99
25
1,282828... =
281, = 1 + 99
28 =
99
127
Mixtas
0,8333... = 30,8 =
90
8 - 83 =
90
75
12,75454... =
5412,7 = 12 + 990
7 - 754 = 12 +
990
747
= 990
12627
5,12444... = 45,12 = 5 +
900
12 - 124 = 5 +
900
112 =
900
4612
EEST Nº2 - 1º AÑO MATEMÁTICA
Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 81
Pasaje de una fracción a expresión decimal Para expresar una fracción como número decimal basta con dividir el numerador por
el denominador.
33 4 0,75
4
20 0
0
,75
0
Comparación de números decimales
Si dos o más números decimales tienen un entero del mismo valor, será mayor aquel que tenga el primer número mayor después de la coma; y si este es igual, será mayor aquel que tenga el siguiente número más grande.
Ejemplo: 2,156<2,157<2,160
Operaciones con los números decimales
Suma y Resta
Primero, debemos ordenar los números y luego sumar (o restar).
Ejemplos: a) 0,025 + 8,7 + 12,48 = 21,205 b) 2,4 + 34,52 + 23= …………..
Ejemplos: a) 18,35 - 12,48 = 5,87 b) 3,45 – 3,2 = ……………………………..
18,35 3,45
- 12,48 - 3,2_
5,87
EEST Nº2 - 1º AÑO MATEMÁTICA
Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 82
Multiplicación
Se multiplican los números y luego se cuentan las cifras decimales que tiene cada
uno, se suman y se coloca la coma teniendo en cuenta este resultado.
4
3,06
x 1,8
2448
306 .
5,508
2 cifras decimales
+ 1 cifra decimal
3 cifras decimales
División
División de dos números naturales.
100 8
20 12,5
40
0
División de dos expresiones Decimales
58,22 8,2 divisor decimal, veamos cómo se resuelve.
Multiplicamos por 10 ambos números. 1058,22 8 1,2 0
Ahora dividimos.
582,2 82
082 7,1
0
EEST Nº2 - 1º AÑO MATEMÁTICA
Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 83
ACTIVIDADES:
28. Une con flechas cada fracción con su expresión decimal correspondiente.
29. Tomás quiere resolver la siguiente suma y la realizó de dos maneras:
Manera I Manera II
42,13
27,3
4,2
75,7
42,13100
1342
100
327240775
100
327
10
24
100
77527,34,275,7
100
32727,3
10
244,2
100
77575,7
Resuelve los siguientes ejercicios de las dos maneras planteadas arriba.
a) 3,24+0,16+1,6= d) 2,56+2,1+12,81=
b) 5+3,07+2,195= e) 8-4,36=
c) 7,28-5,35= f) 4,75+12,3-5,874=
EEST Nº2 - 1º AÑO MATEMÁTICA
Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 84
30. Transforma en fracción y resuelve. Observa los ejemplos para usar como
modelo:
554,31000
3564
10
4.
100
8914,0.91,8
9,2250
725
25
10.
100
725
10
25:
100
7255,2:25,7
a) 16,7 x 0,2= d) 4 : 0,1=
b) 14,6 x 0,5= e) 3,08 : 0,06=
c) 12 x 0,32= f) 19,45 : 5=
31. Escribe el número que haga verdadera la igualdad:
EEST Nº2 - 1º AÑO MATEMÁTICA
Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 85
32. Une con flechas cada cálculo y su resultado:
33. Plantea y resuelve las siguientes situaciones:
a) Teníamos 1,5 kg de arroz y compramos 3,5 kg. ¿Cuántos kilos de arroz
tenemos?
b) Una jarra vacía pesa 0.64 kg, y l lena de agua 1.728 kg. ¿Cuánto
pesa el agua?
c) Un ciclista ha recorrido 145.8 km en una etapa, 136.65 km en
otra etapa y 162.62 km en una tercera etapa. ¿Cuántos
ki lómetros le quedan por recorrer si la carrera es de 1000 km?
d) KHristian mide 1,66 m ; Nahuel 0,28 m más, y Fernando, 0,23 m menos que
Nahuel. ¿Cuánto mide Fernando?
e) Juana salió de comprar con $180,75. Esta cantidad era insuficiente para la
comprar que debía realizar así que decidió ir al cajero y sacar $350 más. En el
supermercado se gastó $251,48 y en la verdulería $159. ¿Sabrías decir
cuánto dinero le debe quedar en la cartera?
f) Un almacenista compra 1 200 litros de refresco y lo envasa en botellas de 1,5
litros. ¿Cuántas botellas llenará?
g) Para la fiesta de fin de curso, los 28 alumnos de una clase compraron 30 litros
de refresco a $7,2 el litro, 12,5 kg de papas fritas a $25,7 el kilo y adornos
para la clase por $178,5 . ¿Cuánto tuvo que pagar cada uno?
EEST Nº2 - 1º AÑO MATEMÁTICA
Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 86
EL ÁREA DE LAS FIGURAS
Repasamos algunos conceptos: PERÍMETRO DE ALGUNAS FIGURAS
Medir una cantidad es compararla con otra de la misma magnitud, a la que
consideraremos como unidad de medición.
Se denomina perímetro de una figura plana a la longitud del borde de la
figura.
El perímetro de esta figura es:
Para medir el perímetro se emplean las unidades de longitud.
Para saber el perímetro de un polígono cualquiera debemos medir sus lados
y luego sumar sus longitudes.
Algunas figuras tienen lados iguales por lo que se pueden deducir fórmulas
para calcular su perímetro.
EEST Nº2 - 1º AÑO MATEMÁTICA
Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 87
ACTIVIDADES:
1. Calcula el perímetro de las siguientes figuras:
Perímetro: Perímetro:
Perímetro: Perímetro:
No te olvides que el perímetro se mide en unidades de longitud: cm, m, km,
etc...
EEST Nº2 - 1º AÑO MATEMÁTICA
Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 88
MEDIR SUPERFICIES
Además de medir el perímetro de una figura, puedo medir su superficie.
Observa que la figura 1 y la figura 2 tienen la misma superficie porque ocupan la misma cantidad de cuadraditos iguales.
La figura 3 tiene menor superficie que las otras dos, porque ocupa menor cantidad
de los mismos cuadraditos.
Si tomamos como unidad de medida el cuadrado , vemos que el cuadrado
está contenido: 9 veces en las figuras 1 y 2, y 7 veces en la figura 3.
Llamamos área de una figura al número de veces que la unidad elegida “cabe” en
esa superficie.
= 1 unidad cuadrada = 2u1 En nuestro caso resulta: 1
Superficie figura 1 = 9
Área figura 1 = 2u9
Superficie figura 2 = 9
Área figura 2 =2u9
Superficie figura 3 = 7
Área figura 3 =2u7
EEST Nº2 - 1º AÑO MATEMÁTICA
Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 89
Medir la superficie de una figura es hallar el número de veces que ésta contiene a
otra superficie que se toma como unidad.
Ejemplo:
Si pintamos 6 cuadrículas, que se consideran 6 unidades cuadradas, de la figura nos queda la siguiente superficie.
Si pintamos 10 cuadrículas, que se consideran10 2u , entonces la superficie de la
figura será:
ACTIVIDADES:
2. Tomando como unidad de medida una unidad cuadrada, calcula la superficie de las
figuras.
EEST Nº2 - 1º AÑO MATEMÁTICA
Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 90
3. Pinta, en las siguientes figuras, 12 unidades cuadradas de superficie.
4. Compara cada una de las figuras numeradas con el rectángulo. Para cada una, indica:
a) Si su área es mayor, menor o igual que la del rectángulo.
b) Si su perímetro es mayor, menor o igual que el del rectángulo.
EEST Nº2 - 1º AÑO MATEMÁTICA
Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 91
EL METRO CUADRADO. SUBMÚLTIPLOS Y MÚLTIPLOS
Para medir superficies hay diferentes unidades.
Por ejemplo, decimos:
“Este departamento tiene 130 m2” “La chacra de Juan mide 22 hectáreas”.
El metro cuadrado (m2) es la superficie de un cuadrado de un metro de lado y es la
unidad de superficie que se toma como base. Las unidades mayores son múltiplos del
m2 y las menores son submúltiplos del m2.
Las unidades de superficie.
Unidades de superficie
Múltiplos u submúltiplos
Km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
Para poder expresar dos medidas en la misma unidad, se debe reducir.
¿Cómo? Multiplicando ó dividiendo cada valor por 102 ó 100, siempre desde la última
cifra entera.
La superficie de un cuadrado de un metro de lado es un metro cuadrado (1 m2)
El metro cuadrado es la unidad de superficie
EEST Nº2 - 1º AÑO MATEMÁTICA
Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 92
x 102 x 102 x 102 x 102 x 102 x 102
: 102 : 102 : 102 : 102 : 102 : 102
Ejemplos:
3 Hm2 a dm2 = 3 . 102 . 102 . 102 dm2 = 3000000 dm2
29 m2 a Hm2 = 29 : 102 : 102 Hm2= 0,0029 Hm2
Km2
Hm2
Dam2
m2
dm2
cm2
mm2
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Profesora Erica Kallenbach 93
ACTIVIDADES:
5. Completa el siguiente cuadro:
19,2 dm² . . . . . . . . . .m² 192000 . . . . . .
0,00095 Km² 0,95 . . . . . . . 9500 . . . . .
187,2 cm² 0,01872 . . . . . . . . . . . . . . . . .mm²
0,174 dm² 0,00174 . . . . . . . . . . . . . . . . .Hm²
6. Calcula el área y el perímetro de estos rectángulos ¿Qué observas?
Área= Área=
Perímetro= Perímetro=
Área= Perímetro=
7. Dibuja un cuadrado que tenga dentro, en total, 16 cuadrados. ¿Cuántos cuadrados
tiene cada lado?
8. El lado mayor de un rectángulo mide 20 cm y el menor, la mitad. Calcula el área y
el perímetro de este rectángulo.
EEST Nº2 - 1º AÑO MATEMÁTICA
Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 94
9. Marina dibuja rectángulos de 60 cm de perímetro.
Completa la tabla:
Medida de la base
(cm) 2 5 10 15 20 25 29
Medida de la
altura (cm)
Área (cm2)
10. Cada cuadrado tiene 0.48 metros de perímetro.
Con 6 cuadrados iguales se formó esta figura:
a) ¿Cuál es el perímetro de la figura?
b) Determina la superficie total de la figura.
11. Una baldosa cuadrada tiene 10 cm de lado. ¿Cuántas baldosas hacen falta para
cubrir el piso de una habitación de 3 m de largo y 2 m de ancho?
12. Calcula el perímetro de un rectángulo cuya área es 63 m2 y su base es 9 m.
13. a) Calcula la superficie en Has de cada una de las tres parcelas en la que está
dividido este campo.
b) ¿Cuál es la superficie total del campo?
Observación: 2Hm1Ha1
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Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 95
14. Calcula el área de las siguientes figuras:
¿Qué observas?
15. Un paralelogramo tiene 25 cm de altura y una base que mide cinco veces más que
la altura. Calcula su área.
16. Halla la superficie en m2 de cada uno de los paralelogramos (b indica la base y h
la altura):
a) b= 8 dm h=32 cm
b) b=15 dm h=0,6 m
17. Halla la superficie en m2 de cada uno de los siguientes trapecios isósceles (B
indica la base mayor, b la menor y h la altura):
a) B= 6 m b= 3 m h=2m
b) B=15 dm b= 1,2 m h=0,6 m
18. Mide las longitudes de los lados de los siguientes trapecios y completa el cuadro:
Trapecio Base mayor Base menor Altura Perímetro Área
a)
b)
c)
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Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 96
19. Un trapecio isósceles tiene un perímetro de 189 cm y las bases miden 65cm y
46cm.
a) Calcula la medida de cada uno de los lados iguales
b) Si la altura del trapecio es 20 cm, ¿Cuál es su área?
20. Una piscina está formada por un rectángulo para los adultos y un trapecio para
los niños.
Observa el dibujo y calcula:
a) El área de cada piscina.
b) El perímetro de la piscina de adultos
23. Observa la figura y calcula:
a) La longitud de las diagonales del rombo inscrito en un rectángulo de 210
cm2 de área y 30 cm de altura.
b) El área del rombo.
c) ¿Qué relación existe entre el área del rectángulo y la del rombo inscrito
en él?
24. Calcula el área del rombo cuya diagonal mayor mide 8 m y la diagonal menor
mide 6 m.
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Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 97
25. Observa la figura sombreada y responde:
a) ¿Qué clase de cuadrilátero es?
b) ¿Cuánto miden las diagonales del rombo?
c) Calcula su área.
26. Un rombo tiene un área de 24 cm2 y una de sus diagonales mide 8 cm. ¿Cuál es la
longitud de la otra diagonal?
27. Calcula el área de los siguientes rombos:
a)
D= 6 cm
d= 4,25 cm
b)
D= 5,25 cm
d= 4,75 cm
28. Nico quiere construir un barrilete que tiene forma de romboide. Para eso
dispone de dos maderitas de 60 cm y de 80 cm. ¿Cuántos cm2 de papel
necesitará?
29. Halla la superficie en m2 de cada uno de los siguientes romboides (D indica la
diagonal mayor y d la diagonal menor):
a) D= 6 m d= 3 m b) D=15 dm d= 1,2 m
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Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 98
30. ¿Cuál es el área de cada uno de los siguientes triángulos?
Si calculaste bien, obtuviste el mismo resultado en todos los casos. ¿Por qué?
31. Calcula el área de los siguientes triángulos:
32. Calcula la superficie del
trapecio sumando las
superficies de los triángulos
en que se ha dividido.
33. Si el lado del cuadrado mide 3 cm., ¿Cuál es el área de la zona sombreada?
34. Calcula la base de un triángulo de 14 cm2 de área y 4 cm de altura.
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Profesora Erica Kallenbach 99
35. Calcula la altura de un triángulo de 735 cm2 de área y 42 cm de base.
36. En la figura:
El área del triángulo BCD es 3
1del área del
cuadrado ABDE.
El área del cuadrilátero ACDE es de 48
cm2.
Calcula:
a) El área del cuadrado.
b) El área del triángulo.
37. Observa la figura y calcula:
a) Área del cuadrado
b) Área del trapecio
c) Área del rectángulo
d) Área total de la figura
38. Dany hizo un dibujo de rombos como el de la figura. La franja mide 24 cm de
largo y 10 cm de ancho.
Calcula el área total de la figura.
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Profesora Erica Kallenbach 101
UNIDAD Nº 3: INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA Y AL ESTUDIO DE LAS
FUNCIONES
¿Qué tienen en común? Observa las imágenes que aparecen en esta página. Intenta encontrar qué cosas pueden tener en común. ¡Ánimo!.
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Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 102
EL PLANO CARTESIANO
Conceptos Importantes
Un plano cartesiano es una región limitada por una recta horizontal y otra
vertical que se intercepta en un punto. Las rectas se llaman ejes y el punto de
intersección, origen.
En matemática, es muy importante respetar el orden de cada coordenada.
El punto (3,2) representa otro punto distinto al punto A=(2,3).
Si el segundo elemento, del par ordenado, es
cero, el punto está en el eje horizontal.
Si el primer elemento es cero, el punto está en
el eje vertical.
S = (0,3)
T = (2,0)
Muchas veces utilizamos letras en lugar de números.
EEST Nº2 - 1º AÑO MATEMÁTICA
Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 103
Por ejemplo el punto (2,C), lo
representamos:
ACTIVIDADES:
1. Los mapas de las ciudades a veces contienen cuadrículas para mostrar dónde se localizan
los lugares. Usa la cuadrícula para responder.
a) ¿Qué hay en el punto (3, 2)?
b) ¿Qué par ordenado nombra la localización de la estación de policía?
c) ¿Qué edificio está localizado tres unidades a la derecha de la escuela?
d) ¿Cuál está más cerca de la escuela, el parque o la biblioteca? Explica cómo lo sabes.
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Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 104
2. Observa la ubicación de los puntos (cruce) donde están las letras y completa
El punto A está ubicado en el par ordenado ( , )
El punto B está ubicado en el par ordenado ( , )
El punto C está ubicado en el par ordenado ( , )
El punto D está ubicado en el par ordenado ( , )
El punto E está ubicado en el par ordenado ( , )
3. Ubica los pares ordenados en el plano cartesiano:
A=( 1 , 3 ) B=( 2 , 1 ) C=( 5 , 2 ) D=( 3, 3 )
E=( 0 , 5 ) F=( 3 , 1 ) G=( 2 , 0 ) H=( 2 , 5 )
4. Los vértices de un cuadrilátero son: A=(1,1) , B= (3;2), C=(4; 4) y D=(2;3). Dibújalo
en un sistema de ejes cartesianos e indica qué tipo de cuadrilátero es.
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Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 105
Interpretar gráficos
En la imagen de abajo se ve un ejemplo de gráfica cartesiana. Cada punto de la
gráfica está relacionado con la edad (eje de ordenadas, o eje y) y la altura (eje
de abscisas, o eje x) de las personas que hacen cola para entrar en un cine.
La edad y la altura son las variables relacionadas.
¿Cómo se interpreta?
Diana es la más alta ya que el punto que la representa está más a la
derecha. Antonio es el de mayor edad puesto que el punto que lo
representa es el que se encuentra más arriba en la gráfica.
Así mismo puedes ver que Blanca e Inés tienen la misma estatura ya
que sus puntos están a la misma distancia del eje de ordenadas (eje y);
y Blanca y Félix tienen la misma edad ya que sus puntos se encuentran
a la misma distancia del eje de abscisas (eje x).
El más bajito sería Julio y Elena es la más joven de todas las personas
de la fila.
EEST Nº2 - 1º AÑO MATEMÁTICA
Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 106
En la siguiente gráfica se describe el recorrido realizado por un ciclista y, a diferencia
del anterior, no se trata de puntos aislados sino que es una línea continua:
Observa: los tramos de la gráfica que indican que el ciclista se aleja, regresa o está
parado.
La interpretación de la gráfica:
El ciclista empieza su recorrido y a las dos horas se encuentra a 40 km.
Recorre 20 km más pero volviendo hacia atrás.
Vuelve a alejarse 10 km y se para a descansar durante una hora.
Finalmente se vuelve a andar en su bicicleta y regresa al punto de partida
tardando en esa última parte del recorrido, de 30km, dos horas.
En este ejemplo las variables que se relacionan son el tiempo y la distancia.
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Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 107
ACTIVIDADES
5. Un fin de semana cinco personas
hicieron llamadas telefónicas a varias
partes del país. Anotaron el costo de sus
llamadas y el tiempo que estuvieron en el
teléfono en la siguiente gráfica:
Responde:
a) ¿Qué variables están relacionadas?
b) ¿Quién pagó más por la llamada?
c) ¿Quién pagó menos por la llamada?
d) ¿Quién habló durante más tiempo?
6. Norma y Karina son compañeras de clase y quedan un día para salir. Norma sale
de su casa y pasa a buscar a Karina, que tarda un poco en bajar. Después dan un
paseo y se sientan en una cafetería a tomar una gaseosa. Al regreso se acercan a
casa de unos compañeros a buscar unas tareas y allí se entretienen un tiempo.
Después regresan a casa. La gráfica del paseo está representada:
Responde:
a) ¿Qué variables se relacionan?
b) ¿A qué distancia queda la casa de Norma de la de Karina?
c) ¿Cuánto tiempo esperó Norma a que bajara Karina ?
d) ¿Cuánto tiempo tardaron en llegar a la cafetería?
e) ¿A qué hora salieron de la cafetería?
f) ¿A qué casa regresaron?
g) ¿Cuánto tiempo pasearon las dos juntas?
h) ¿Cuándo pasearon más rápido: de la cafetería a casa de sus amigos o de ésta al
final del paseo? ¿Por qué?
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Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 108
NOCIÓN DE FUNCIÓN
Una función es una relación en la que a cada valor de x (variable independiente) le
corresponde un único valor de y (variable dependiente).
Una función puede estar definida por:
Ejemplo: Consideremos la siguiente tabla de valores:
Su gráfica es:
Su fórmula es: x2y
Una tabla de valores
que muestra la
relación
entre los valores de
las variables
Una fórmula que permite
calcular los valores de la
variable dependiente y
a partir de los valores de
la variable independiente x
Un gráfico en un
sistema de coordenadas
cartesianas, que permite
ver como varían x e y
x 0 1 7/3 3
y 0 2 14/3 6
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Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 109
ACTIVIDADES
7. Imaginémonos que se tiene un auto que da 14 km por litro de nafta (con 1 litro de
nafta recorrer 14 km) .
a) Con esta información completa la
siguiente tabla:
b) Encuentra la fórmula que se ajusta a este problema.
c) Representa la función en los ejes cartesianos.
PROPORCIONALIDAD DIRECTA
Dos magnitudes son directamente proporcionales si: Al aumentar una de ellas
(doble, triple...) la otra aumenta de igual manera (doble, triple...)
Ejemplo: Un robot a pilas recorre 1 metro cada 4 segundos. Suponiendo que camina
siempre a la misma velocidad, ¿cuánto tarda en recorrer 2 metros? ¿y a los 4
metros?
Podemos completar la siguiente tabla y realizar el grafico correspondiente
Metros 1 2 3 4 5
Segundos 4 8
x
( litros de
nafta)
Y
( distancia
en km)
0 0
0,5 7
1 14
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
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Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 110
Contestá:
a) ¿Por qué número se multiplica la cantidad de metros para calcular los
segundos que pasan?
b) ¿Por qué número se divide la cantidad de segundos para calcular los metros
recorridos?
c) ¿Qué pasa cuando aumentan los metros recorridos con la cantidad de
segundos?
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Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 111
ACTIVIDADES:
8. Indicá si las siguientes relaciones son directamente proporcionales
a. El peso y la altura de una persona.
b. Los litros de combustible y su precio.
c. La cantidad de agua por minuto que deja salir una canilla y el tiempo que
tarda en llenarse una bañera.
d. La edad de una planta y el grosor de su tallo.
e. La cantidad de ropa lavada y el tiempo que lleva que se seque.
f. El precio pagado y la cantidad comprada de un mismo producto.
9. Juan sale cada día a correr como entrenamiento para participar en el Triatlón de
Balcarce. Un día decide entrenarse en un circuito de 3 kilómetros de longitud y
comienza a cronometrarse el tiempo desde la línea de meta. La siguiente tabla
muestra la posición de Juan en función del tiempo transcurrido:
a) Determina la fórmula que describe la posición de Juan respecto del
tiempo.
b) ¿cómo están relacionadas las dos magnitudes (segundos y metros)?
c) Realiza un gráfico con los datos de la tabla
d) Determina cuántos segundos tardará Juan en recorrer 150 metros.
10. Un camión avanza por una ruta a 50 km/h
a) Completa la siguiente tabla que relaciona el espacio recorrido con el tiempo
invertido:
TIEMPO (h) 1 2 3 5 1/2 1/4
ESPACIO (km) 50
b) ¿Es el espacio directamente proporcional al tiempo?
x (segundos) 1 5 10 12 15 20
y (metros) 3 15 30 36 45 60
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Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 112
PROPORCIONALIDAD INVERSA
Dos magnitudes son inversamente proporcionales si:
Al aumentar una de ellas (doble, triple...) la otra disminuye de igual manera
(mitad, tercio...)
Ejemplo: Tenemos que fraccionar 1200 litros de agua oxigenada y relacionamos las
capacidades de los posibles envases con el número necesario de los mismos
obtenemos por ejemplo:
x
(capacidad de c/envase)
y
(cantidad de envases)
0,25
0,5
0,75
1
1,5
4800
2400
1600
1200
800
En este caso se verifica que el producto de ambas magnitudes es constante
x
kyókyx . , siendo k = 1200
Si realizamos la representación gráfica de estas dos magnitudes vinculadas por
xy
1200 obtendremos el siguiente gráfico:
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Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 113
ACTIVIDADES:
11. Un coche a velocidad de 60 km/h, tarda 30 minutos de ir de una población A a
otra B.
a) Si fuera más deprisa ¿tardaría más o menos en el mismo recorrido?
b) ¿Y si fuera más despacio?
c) Completa la siguiente tabla que relaciona la velocidad y el tiempo invertido:
Velocidad (km/h) 60 120 180 30 10 40
Tiempo (minutos) 30
d) ¿cómo están relacionadas las dos magnitudes (velocidad y tiempo)?
e) Realiza la gráfica correspondiente.
12. Sabiendo que cuatro tractores aran un campo en 6 horas, completa la siguiente
tabla con los tiempos que se tardaría si hubiese otro número de tractores:
Nº DE TRACTORES 4 2 1 3 6 8
TIEMPO (horas) 6
a) ¿Cómo están relacionadas las dos magnitudes?
b) Realiza la gráfica correspondiente.
13. Señala con una cruz los pares de magnitudes inversamente proporcionales:
a. El peso de un libro y el número de páginas que tiene
b. El volumen de las cajas y el número de ellas que se pueden
almacenar en una nave
c. El número de hijos de una familia y el número de días de
vacaciones
d. La cantidad de agua que arroja una fuente y el tiempo que
tarda en llenar un cántaro de 20 litros
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Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 115
ANEXO 1 Aprender con la Calculadora
1. Forma con las siguientes cifras y la operación pertinente el número que se indica o una
buena aproximación.
a) Con 2, 3, 4 forma un número tal que al multiplicarlo por 5 nos da un número cercano al
2.160.
b) Con 2, 3, 5, 7, 8 un número tal que al multiplicarlo por 7 se acerque el máximo a 5.000.
c) Con 6, 7, 8, y 9 un número que al dividirlo por 5 se acerque el máximo a 200.
Nota: A la hora de formar los números no se pueden repetir las cifras, no es necesario
emplear todas y se puede emplear la coma.
2. Calcula cuatro números pares consecutivos tales que su suma sea 396.
3. Calcula cinco números impares consecutivos tales que su producto sea 28.035.315.
4. Toma tu calculadora y señala cuál de las siguientes divisiones es exacta. En caso de que no
lo sea, calcula su cociente y su resto.
5. a) 43 : 5 b) 25 : 3 c) 46 : 73 d) 163 : 37
6. Tocando las teclas de los números 3, 4. 5, 6 y la operación - y el símbolo = obtén en la
pantalla los siguientes resultados: (los números se pueden tocar una sola vez)
a) 18 b) 21 c) 22 d) 31 e) 6
Usando paréntesis
La calculadora permite poner paréntesis, para aquellas operaciones más largas.
Un error muy frecuente es poner en la pantalla una operación que tenemos en el papel y
que luego no da el resultado que no debería, sólo porque se nos ha olvidado ordenar las
operaciones con paréntesis.
Por ejemplo, en el papel tenemos: 26
24
Esta operación da 3. Pero si escribimos en la
calculadora 24[:]6[+]2 = 6 ¿Se ha equivocado la máquina? No. Se ha limitado a responder a
lo que le hemos preguntado, pero la calculadora no tiene la culpa de que le hayamos
introducido mal los datos.
Realiza las operaciones según las reglas de prioridad que nos enseñan desde primaria:
primero multiplicaciones y divisiones, luego sumas y restas. Ha hecho 24 entre 6 (=4) y
luego ha sumado 2 (=6). Tendríamos que haber escrito: 24 [:] [(] 6 [+] 2 [)] = 3 Sin
embargo, para operaciones más largas, es aconsejable ir resolviéndolas paso a paso, y no
querer meter todo de una vez en una única operación.
7. Resuelve
a) [3+2.(4+2.3) .2 +6: [2+(30-2.15)= b) 2+3.[4+(2+5):7+(8+2.3).2 =
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Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 116
8. A tu calculadora sólo le funcionan estas teclas:
Utilizando cada vez sólo cuatro de ellas, tienes que obtener los siguientes números,
anotando las teclas elegidas en cada operación:
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Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 117
Usando fracciones
Para escribir un número en forma de fracción, está la tecla [a b/c]. Si queremos
escribir ¾, pulsaríamos 3[a b/c]4. En la pantalla aparecerá algo parecido a esto: 3¸4
Si tenemos una fracción en pantalla y pulsamos [d/c] (está arriba de la tecla anterior),
nos convertirá esa fracción en un decimal.
Un número de este tipo: 2¸3¸5 es un número mixto, en este caso 2 y 3/5, o lo que es
lo mismo, 2+(3/5). Recuerda que los números mixtos son otra forma de escribir
fracciones mayores que la unidad. Si te molesta tener una fracción escrita así, pulsa
una vez [d/c] (aparecerá 13/5).
Si pulsas [a b/c], te convertirá el número mixto a decimal.
9. Realiza las actividades de la página 77
10. Realiza la actividad 6 de la página 22.
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Profesora Erica Kallenbach 118
ANEXO 2
APRENDER CON LA COMPUTADORA
GeoGebra es un software matemático interactivo libre para la educación en colegios
y universidades. Su creador, Jose Antonio Mora, comenzó el proyecto en el año 2001
en la Universidad de Alicante y lo continúa en la Universidad de Alicante.
Es básicamente un "procesador geométrico" y un "procesador algebraico", es decir,
un compendio de matemática con software interactivo que reúne geometría, álgebra
y cálculo y por eso puede ser usado también en física, proyecciones comerciales,
estimaciones de decisión estratégica y otras disciplinas.
A partir de elementos conocidos como el punto, la recta o el círculo se pueden
generar nuevas construcciones por procedimientos básicos, usando ideas
matemáticas mediante el empleo directo de herramientas operadas con el mouse o
la anotación de comandos en la Barra de Entrada, con el teclado o seleccionándolos
del listado disponible.
Todo lo trazado es modificable.
En esta sección les proponemos reemplazar el lápiz, el papel, la regla y el compás
por estas herramientas en la pantalla, con las ventajas del hacer, deshacer y
"pensar en lo matemático" de nuestras construcciones personales.
EEST Nº2 - 1º AÑO MATEMÁTICA
Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 119
Acerca del programa
Cuando abren el programa aparece una ventana con una vista algebraica a la
izquierda y una vista gráfica, la cual inicialmente, tiene un par de ejes cartesianos,
esta es la ventana principal del GeoGebra, allí se realizan las construcciones. Se
puede mover o cambiar el tamaño de la pantalla como habitualmente se hace en
Windows, también podemos ocultar los ejes y trabajar con el espacio en blanco o
cambiar la vista gráfica a cuadricula.
En la parte superior de la construcción está la barra de herramientas; al dejar el
cursor sobre cada icono, haciendo clic con el botón izquierdo del mouse, aparece
una breve información.
ACTIVIDADES:
1. Investiga cómo ocultar los ejes en la vista gráfica y que esta se vea cuadriculada.
2. Investiga que función cumple cada uno de estas herramientas:
¿Qué sucede cuando haces clic en el triángulo rojo?
3. Representación de puntos
1°. Abrimos una hoja nueva
2°. Seleccionamos Vista de la Barra de Menú y desactivamos Ejes y Vista
algebraica.
3°. Seleccionamos en el botón 2, la opción Nuevo Punto.
4°. Desplazamos el mouse hasta el área de trabajo, hacemos clic y soltamos.
Luego hacemos clic con el botón derecho del mouse, elegimos la opción
renombra y lo nombramos P;Q; etc.
EEST Nº2 - 1º AÑO MATEMÁTICA
Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 120
4. ¿Cómo podemos representar segmentos?
I. Marcando los extremos
1°. Marcamos dos puntos: A y B.
2°. Hacemos clic sobre la opción Segmento entre dos puntos (botón 3)
3°. Llevamos el mouse hasta el punto A, hacemos clic sobre el punto A,
soltamos el botón del mouse y hacemos clic en el punto B.
4°. Practica trazando segmentos entre otros puntos.
5°. En el menú Archivo encontrarás el comando para Guardar tu trabajo en la
carpeta correspondiente.
II. Sin marcar los extremos previamente.
1°. Abrimos una hoja nueva
2°. Seleccionamos Vista de la Barra de Menú y desactivamos Ejes y Vista
algebraica.
3°. Elegimos la opción Segmento entre dos puntos (botón 3)
4°. Llevamos el mouse hasta la hoja
5°. Hacemos un clic y soltamos el botón.
6°. Deslizamos el mouse y hacemos otro clic. Nos quedó determinado un
segmento.
7°. A continuación, le ponemos nombre.
8°. Guardamos nuestro trabajo.
5. ¿Cómo nos desplazamos en el área de trabajo?
1°. Trazamos un segmento.
2°. Elegimos la opción Elige y Mueve, posicionamos el mouse sobre el segmento
que deseamos desplazar, apretamos el botón del mouse y sin soltar lo
deslizamos por la hoja.
3°. Ahora, posicionamos el mouse en un extremo del segmento oprimimos el
botón izquierdo del mouse y sin soltar deslizamos el mouse por la hoja.
4°. Responde:
a) ¿Qué ocurrió en ambos casos?
b) El segmento, ¿mantuvo la misma longitud en las dos opciones? ¿En cuál de
ellas cambió?
IMPORTANTE: En cualquier momento, si cometes algún error, recuerda la
utilidad del botón Deshacer (arriba a la derecha) para anular la última
operación y de la tecla Supr para eliminar cualquier objeto.
EEST Nº2 - 1º AÑO MATEMÁTICA
Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 121
6. Dibujando rectas, segmentos y círculos
I) Resuelve las siguientes consignas, anóta los pasos que vas haciendo en tu carpeta.
a) Traza un segmento AB de longitud 4 cm , renombralo segm .
b) Marca un punto C que no pertenezca al segmento.
c) Traza una recta perpendicular a AB por B.
d) Marca el punto medio M de AB
e) Traza una recta que contenga a C y sea perpendicular a AB .
f) Dibuja una recta paralela a AB
g) Construye una circunferencia con centro en C y radio AB ¿es cierto que si
cambia la longitud del segmento, cambia la circunferencia?
II) Abre un nuevo archivo en GeoGebra y construye. 1°. Dibuja una recta r y un punto A que no esté en ella.
2°. Encuentra un punto B de modo tal que r sea la mediatriz del segmento AB. Anota los pasos y las propiedades que usan para encontrarlo.
III) Construye las siguientes figuras. Escribe los comandos que usaste.
EEST Nº2 - 1º AÑO MATEMÁTICA
Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 122
CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS
Actividad 1: Construcción de un triángulo cuyos lados sean a = 5cm;
b= 3cm, c= 5cm
1. Construye el segmento de origen A que tenga longitud 5. . ¿El segmento es
único??
2. Por uno de los extremos del segmento anterior dibuja una circunferencia igual a
la longitud de otro lado (c= 4 cm, por ejemplo) mediante la herramienta , y por
el otro extremo, una circunferencia de radio igual a la longitud del otro lado, con
la misma herramienta.
3. Con marca la intersección de las dos circunferencias que proporciona el
tercer vértice buscado.
4. Con la herramienta dibuja el triángulo
Puedes cambiar los nombres, colores y estilos por defecto de los vértices y
los lados haciendo clic con el botón derecho eligiendo la opción Propiedades
del menú contextual que aparece.
Con intenta mover cada uno de los elementos del triángulo.
Registra las observaciones.
Actividad 2: Construcción de un triángulo cuyos lados sean a = 4cm; b=
3cm y el ángulo comprendido C= 70°
1. A partir de un punto cualquiera A, traza una semirrecta horizontal
2. Con la herramienta traza el ángulo de 70°, tomando como vértice el punto A.
3. A partir del punto A puedes trazar los lados de longitudes 4 cm y 3 cm en las dos
semirrectas dibujadas, utilizando la herramienta circunferencia dado su centro y
su radio.
4. Con la herramienta dibuja el triángulo.
Actividad 3: Construcción de un triángulo isósceles
Vamos a construir un triángulo isósceles cuya base y
altura se puedan modificar arrastrando los vértices del
triángulo con el mouse.
EEST Nº2 - 1º AÑO MATEMÁTICA
Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 123
Usaremos los comandos siguientes:
Para entregar
a. Cualquier trío de longitudes pueden formar triángulo? Intenta construir
triángulos con las siguientes longitudes de sus lados.
Triángulo I II III IV
Lado mayor 6 6 8 8
Lado intermedio 4 4 4 5
Lado menor 3 2 3 3
b. Utilizando el Geogebra, construye un triángulo equilátero sabiendo que uno de
sus lados mide 5 cm. Escribe en tu carpeta las herramientas utilizadas.
c. Si se sabe que el lado distinto de un triángulo isósceles no equilátero mide 5 cm,
y los lados iguales
miden 7 cm, ¿cuántos triángulos se pueden construir? ¿Por qué? Realiza la construcción en geogebra y comprueba tus suposiciones.
d. Construye un triángulo con dos lados que midan 3,5 cm y 2,5 cm, de tal manera
que ambos determinen un ángulo de 45°.
e. Construye los siguientes triángulos:
º100Rycm5RS,cm4QRconQRS
º40Tyº80U,cm4TUconTUV
EEST Nº2 - 1º AÑO MATEMÁTICA
Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 124
PERÍMETRO Y ÁREA DE FIGURAS
ACTIVIDAD 1:
Abre GeoGebra. Activa la cuadrícula y oculta los ejes.
Elige la herramienta polígono, y construye los siguientes polígonos. (Recuerda
que el último punto marcado debe coincidir con el primero)
Determinando una unidad de medida, escribe el perímetro y área aproximada de
cada polígono en el siguiente cuadro:
Figura A B C D E F
Perímetro )(u
Área )( 2u
En la ventana de la derecha (Vista Algebraica) aparecen las coordenadas de los
puntos y los nombres y medidas de los segmentos.
Utiliza estos datos para calcular su perímetro, sumando en la barra de entrada las
longitudes de los lados. Comprueba los resultados de la tabla anterior.
Figura A B C D E F
Perímetro )(cm
Con la herramienta área y pinchando dentro de cada polígono, obtienes el
área de dicho polígono. Comprueba los resultados de la tabla anterior.
Figura A B C D E F
Área )( 2cm
ACTIVIDAD 2:
Activa los ejes.
Introduce los siguientes puntos con la herramienta : (2,1); (3,0); (-1,1); (2,-2)
Une los puntos mediante segmentos. Utiliza la herramienta segmento entre dos
puntos ¿De qué polígono se trata?
EEST Nº2 - 1º AÑO MATEMÁTICA
Fecha:
Profesora Erica Kallenbach 125
Calcula su perímetro. ¿Se te ocurre otra forma de calcular su perímetro?, ¿cuál?
ACTIVIDAD 3:
Activa los ejes.
Introduce los puntos (-2,0); (2,1); (3,3); (1,5); (-2,4) y (-4, 2).
Con la herramienta segmento , marca entre cada dos puntos, formando así un
polígono.
Según su número de lados, ¿cómo se llama este polígono?
¿Cuántos cuadritos ocupa? Ayúdate de polígonos más pequeños que puedas
contar.
ACTIVIDAD 4:
Construye, utilizando la cuadrícula de la vista gráfica:
Al menos 3 polígonos diferentes de área igual a 4 cm2.
Un rectángulo de 1 cm por 2 cm. Calcula su perímetro y su área.
A continuación construye un segundo rectángulo cuyos lados midan el doble del
original. Calcula su perímetro y su área. ¿Qué relación se puede establecer entre
el perímetro del primer rectángulo y el segundo? ¿Qué relación se puede
establecer entre las áreas de los dos rectángulos?
¿Cuántos rectángulos diferentes de área 24 cm2 se pueden encontrar?, ¿Los
perímetros son iguales?
ACTIVIDAD 5:
Utilizando la cuadrícula de la vista gráfica, construye cada una de las siguientes
figuras y calcula el área de la región sombreada (en cm2):
::: CÁreaBÁreaAÁrea