E.D.OEcuaciones Diferenciales Ordinarias
Prof. Jorge Enrique TrivinoFacultad de Matematicas Y Fisica
Universidad De La Amazonia
Fecha: 30, 31 De Mayo
Prof. Jorge Enrique Trivino - Universidad De La Amazonia E.D.O
TallerPROBLEMAS QUE CONDUCEN A ECUACIONES DIFERENCIALES
• El taller esta orientado hacia la construccion de ecuaciones diferen-ciales que modelen situaciones de la vida diaria. Las ecuaciones difer-enciales tratan de como predecir el futuro.
• Para ello, de todo lo que disponemos es el conocimiento de como sonlas cosas y cuales son las reglas que gobiernan los cambios que ocur-riran. Del calculo sabemos que el cambio es medido por las derivadasy usarlas para describir como se modifica una cantidad es de lo quetratan las ecuaciones diferenciales.
• Convertir las reglas que gobiernan la evolucion de una cantidad esuna ecuacion diferencial se llama una modelacion y en este tallerconstruiremos algunos modelos. Nuestra meta es que a traves de lasecuaciones diferenciales podamos predecir el futuro de la cantidad quese esta modelando.
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TallerPROBLEMAS QUE CONDUCEN A ECUACIONES DIFERENCIALES
• El taller esta orientado hacia la construccion de ecuaciones diferen-ciales que modelen situaciones de la vida diaria. Las ecuaciones difer-enciales tratan de como predecir el futuro.
• Para ello, de todo lo que disponemos es el conocimiento de como sonlas cosas y cuales son las reglas que gobiernan los cambios que ocur-riran. Del calculo sabemos que el cambio es medido por las derivadasy usarlas para describir como se modifica una cantidad es de lo quetratan las ecuaciones diferenciales.
• Convertir las reglas que gobiernan la evolucion de una cantidad esuna ecuacion diferencial se llama una modelacion y en este tallerconstruiremos algunos modelos. Nuestra meta es que a traves de lasecuaciones diferenciales podamos predecir el futuro de la cantidad quese esta modelando.
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TallerPROBLEMAS QUE CONDUCEN A ECUACIONES DIFERENCIALES
• El taller esta orientado hacia la construccion de ecuaciones diferen-ciales que modelen situaciones de la vida diaria. Las ecuaciones difer-enciales tratan de como predecir el futuro.
• Para ello, de todo lo que disponemos es el conocimiento de como sonlas cosas y cuales son las reglas que gobiernan los cambios que ocur-riran. Del calculo sabemos que el cambio es medido por las derivadasy usarlas para describir como se modifica una cantidad es de lo quetratan las ecuaciones diferenciales.
• Convertir las reglas que gobiernan la evolucion de una cantidad esuna ecuacion diferencial se llama una modelacion y en este tallerconstruiremos algunos modelos. Nuestra meta es que a traves de lasecuaciones diferenciales podamos predecir el futuro de la cantidad quese esta modelando.
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TallerPROBLEMAS QUE CONDUCEN A ECUACIONES DIFERENCIALES
• Existen tres tecnicas para efectuar dichas predicciones:
1 Las tecnicas analıticas implican hallar metodos para valores futurosde la cantidad.
2 Las tecnicas cualitativas que se apoyan en un esbozo burdo de lagrafica de la cantidad de como funcion del tiempo, y en ladescripcion del comportamiento a largo plazo.
3 Las tecnicas numericas que requieren calculos aritmeticos que denaproximaciones de los valores futuros de la cantidad.
• Se requiere que el asistente al taller tenga una idea mınima del calculode derivadas y de la teoria de integracion.
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TallerPROBLEMAS QUE CONDUCEN A ECUACIONES DIFERENCIALES
• Existen tres tecnicas para efectuar dichas predicciones:
1 Las tecnicas analıticas implican hallar metodos para valores futurosde la cantidad.
2 Las tecnicas cualitativas que se apoyan en un esbozo burdo de lagrafica de la cantidad de como funcion del tiempo, y en ladescripcion del comportamiento a largo plazo.
3 Las tecnicas numericas que requieren calculos aritmeticos que denaproximaciones de los valores futuros de la cantidad.
• Se requiere que el asistente al taller tenga una idea mınima del calculode derivadas y de la teoria de integracion.
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• Existen tres tecnicas para efectuar dichas predicciones:
1 Las tecnicas analıticas implican hallar metodos para valores futurosde la cantidad.
2 Las tecnicas cualitativas que se apoyan en un esbozo burdo de lagrafica de la cantidad de como funcion del tiempo, y en ladescripcion del comportamiento a largo plazo.
3 Las tecnicas numericas que requieren calculos aritmeticos que denaproximaciones de los valores futuros de la cantidad.
• Se requiere que el asistente al taller tenga una idea mınima del calculode derivadas y de la teoria de integracion.
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TallerPROBLEMAS QUE CONDUCEN A ECUACIONES DIFERENCIALES
• Existen tres tecnicas para efectuar dichas predicciones:
1 Las tecnicas analıticas implican hallar metodos para valores futurosde la cantidad.
2 Las tecnicas cualitativas que se apoyan en un esbozo burdo de lagrafica de la cantidad de como funcion del tiempo, y en ladescripcion del comportamiento a largo plazo.
3 Las tecnicas numericas que requieren calculos aritmeticos que denaproximaciones de los valores futuros de la cantidad.
• Se requiere que el asistente al taller tenga una idea mınima del calculode derivadas y de la teoria de integracion.
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• Existen tres tecnicas para efectuar dichas predicciones:
1 Las tecnicas analıticas implican hallar metodos para valores futurosde la cantidad.
2 Las tecnicas cualitativas que se apoyan en un esbozo burdo de lagrafica de la cantidad de como funcion del tiempo, y en ladescripcion del comportamiento a largo plazo.
3 Las tecnicas numericas que requieren calculos aritmeticos que denaproximaciones de los valores futuros de la cantidad.
• Se requiere que el asistente al taller tenga una idea mınima del calculode derivadas y de la teoria de integracion.
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Consideremos las siguientes situaciones de la vida diaria:
Dejar caer un cuerpo de masa m considerando que unicamente sobreel actua la fuerza de gravedad.De la segunda ley de Newton tenemos que:
ma = F ⇐⇒ md2y
dt2= −mg ⇐⇒ a(t) =
d2y
dt2= −g (1)
Que representa la aceleracion con que cae el cuerpo. Integrando una vezla ecuacion (1), obtenemos que:
v(t) =dy
dt= −gt+ c1 (2)
Que representa la velocidad con que cae el cuerpo.
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Consideremos las siguientes situaciones de la vida diaria:
Dejar caer un cuerpo de masa m considerando que unicamente sobreel actua la fuerza de gravedad.
De la segunda ley de Newton tenemos que:
ma = F ⇐⇒ md2y
dt2= −mg ⇐⇒ a(t) =
d2y
dt2= −g (1)
Que representa la aceleracion con que cae el cuerpo. Integrando una vezla ecuacion (1), obtenemos que:
v(t) =dy
dt= −gt+ c1 (2)
Que representa la velocidad con que cae el cuerpo.
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Consideremos las siguientes situaciones de la vida diaria:
Dejar caer un cuerpo de masa m considerando que unicamente sobreel actua la fuerza de gravedad.De la segunda ley de Newton tenemos que:
ma = F ⇐⇒ md2y
dt2= −mg ⇐⇒ a(t) =
d2y
dt2= −g (1)
Que representa la aceleracion con que cae el cuerpo. Integrando una vezla ecuacion (1), obtenemos que:
v(t) =dy
dt= −gt+ c1 (2)
Que representa la velocidad con que cae el cuerpo.
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Consideremos las siguientes situaciones de la vida diaria:
Dejar caer un cuerpo de masa m considerando que unicamente sobreel actua la fuerza de gravedad.De la segunda ley de Newton tenemos que:
ma = F ⇐⇒ md2y
dt2= −mg ⇐⇒ a(t) =
d2y
dt2= −g (1)
Que representa la aceleracion con que cae el cuerpo. Integrando una vezla ecuacion (1), obtenemos que:
v(t) =dy
dt= −gt+ c1 (2)
Que representa la velocidad con que cae el cuerpo.
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Consideremos las siguientes situaciones de la vida diaria:
Dejar caer un cuerpo de masa m considerando que unicamente sobreel actua la fuerza de gravedad.De la segunda ley de Newton tenemos que:
ma = F ⇐⇒ md2y
dt2= −mg ⇐⇒ a(t) =
d2y
dt2= −g (1)
Que representa la aceleracion con que cae el cuerpo. Integrando una vezla ecuacion (1), obtenemos que:
v(t) =dy
dt= −gt+ c1 (2)
Que representa la velocidad con que cae el cuerpo.
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Consideremos las siguientes situaciones de la vida diaria:
Dejar caer un cuerpo de masa m considerando que unicamente sobreel actua la fuerza de gravedad.De la segunda ley de Newton tenemos que:
ma = F ⇐⇒ md2y
dt2= −mg ⇐⇒ a(t) =
d2y
dt2= −g (1)
Que representa la aceleracion con que cae el cuerpo. Integrando una vezla ecuacion (1), obtenemos que:
v(t) =dy
dt= −gt+ c1 (2)
Que representa la velocidad con que cae el cuerpo.
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Consideremos las siguientes situaciones de la vida diaria:
Integrando una vez mas la ecuacion (2) obtenemos que:
y(t) = −1
2gt2 + c1t+ c2 (3)
Es la posicion del cuerpo en el tiempo t.
¿Como hallar las contantes c1 y c2?¿Como podemos llamar la ecuacion (3)?
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Consideremos las siguientes situaciones de la vida diaria:
Integrando una vez mas la ecuacion (2) obtenemos que:
y(t) = −1
2gt2 + c1t+ c2 (3)
Es la posicion del cuerpo en el tiempo t.
¿Como hallar las contantes c1 y c2?¿Como podemos llamar la ecuacion (3)?
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Consideremos las siguientes situaciones de la vida diaria:
Integrando una vez mas la ecuacion (2) obtenemos que:
y(t) = −1
2gt2 + c1t+ c2 (3)
Es la posicion del cuerpo en el tiempo t.
¿Como hallar las contantes c1 y c2?¿Como podemos llamar la ecuacion (3)?
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Consideremos las siguientes situaciones de la vida diaria:
Integrando una vez mas la ecuacion (2) obtenemos que:
y(t) = −1
2gt2 + c1t+ c2 (3)
Es la posicion del cuerpo en el tiempo t.
¿Como hallar las contantes c1 y c2?¿Como podemos llamar la ecuacion (3)?
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2) Determinar la velocidad de una partıcula proyectada en direccion ra-dial fuera de la Tierra, cuando sobre esta actua unicamente la fuerzade gravedad. Supondremos una velocidad inicial en cierta direccionradial de modo que el movimiento de la partıcula se lleve a efectopor completo sobre una recta que pasa por el centro de la Tierra. Lagrafica ilustra la situacion:
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2) Determinar la velocidad de una partıcula proyectada en direccion ra-dial fuera de la Tierra, cuando sobre esta actua unicamente la fuerzade gravedad. Supondremos una velocidad inicial en cierta direccionradial de modo que el movimiento de la partıcula se lleve a efectopor completo sobre una recta que pasa por el centro de la Tierra. Lagrafica ilustra la situacion:
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2) Determinar la velocidad de una partıcula proyectada en direccion ra-dial fuera de la Tierra, cuando sobre esta actua unicamente la fuerzade gravedad. Supondremos una velocidad inicial en cierta direccionradial de modo que el movimiento de la partıcula se lleve a efectopor completo sobre una recta que pasa por el centro de la Tierra. Lagrafica ilustra la situacion:
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La ley de la graverdad de Newton dice: La aceleracion de una partıculasera inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre lapartıcula y el centro de la Tierra.La aceleracion es:
a =dv
dt= −K
r2(1)
Notese que la aceleracion es negativa, pues la velocidad va disminuyendo.Si r = R entonces a = −g −→ aceleracion devida a la gravedad en lasuperficie de la Tierra.
Luego, − g = −Ka
(2)
De (1) K = −ar2 (3)
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La ley de la graverdad de Newton dice: La aceleracion de una partıculasera inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre lapartıcula y el centro de la Tierra.
La aceleracion es:
a =dv
dt= −K
r2(1)
Notese que la aceleracion es negativa, pues la velocidad va disminuyendo.Si r = R entonces a = −g −→ aceleracion devida a la gravedad en lasuperficie de la Tierra.
Luego, − g = −Ka
(2)
De (1) K = −ar2 (3)
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La ley de la graverdad de Newton dice: La aceleracion de una partıculasera inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre lapartıcula y el centro de la Tierra.La aceleracion es:
a =dv
dt= −K
r2(1)
Notese que la aceleracion es negativa, pues la velocidad va disminuyendo.Si r = R entonces a = −g −→ aceleracion devida a la gravedad en lasuperficie de la Tierra.
Luego, − g = −Ka
(2)
De (1) K = −ar2 (3)
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La ley de la graverdad de Newton dice: La aceleracion de una partıculasera inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre lapartıcula y el centro de la Tierra.La aceleracion es:
a =dv
dt= −K
r2(1)
Notese que la aceleracion es negativa, pues la velocidad va disminuyendo.Si r = R entonces a = −g −→ aceleracion devida a la gravedad en lasuperficie de la Tierra.
Luego, − g = −Ka
(2)
De (1) K = −ar2 (3)
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La ley de la graverdad de Newton dice: La aceleracion de una partıculasera inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre lapartıcula y el centro de la Tierra.La aceleracion es:
a =dv
dt= −K
r2(1)
Notese que la aceleracion es negativa, pues la velocidad va disminuyendo.Si r = R entonces a = −g −→ aceleracion devida a la gravedad en lasuperficie de la Tierra.
Luego, − g = −Ka
(2)
De (1) K = −ar2 (3)
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La ley de la graverdad de Newton dice: La aceleracion de una partıculasera inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre lapartıcula y el centro de la Tierra.La aceleracion es:
a =dv
dt= −K
r2(1)
Notese que la aceleracion es negativa, pues la velocidad va disminuyendo.Si r = R entonces a = −g −→ aceleracion devida a la gravedad en lasuperficie de la Tierra.
Luego, − g = −Ka
(2)
De (1) K = −ar2 (3)
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y de (2) K = gR2 (4)
De (3) y (4): a = −gR2
r2(4)
Ahora, como a =dv
dty V =
dr
dt, entonces
a =dv
dt=dr
dt.dv
dr= v
dv
dr, 0 , a = v
dv
dr(5)
Reemplazando (5) en (4) tenemos que:
vdv
dr=−gR2
r2(6)
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y de (2) K = gR2 (4)
De (3) y (4): a = −gR2
r2(4)
Ahora, como a =dv
dty V =
dr
dt, entonces
a =dv
dt=dr
dt.dv
dr= v
dv
dr, 0 , a = v
dv
dr(5)
Reemplazando (5) en (4) tenemos que:
vdv
dr=−gR2
r2(6)
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y de (2) K = gR2 (4)
De (3) y (4): a = −gR2
r2(4)
Ahora, como a =dv
dty V =
dr
dt, entonces
a =dv
dt=dr
dt.dv
dr= v
dv
dr, 0 , a = v
dv
dr(5)
Reemplazando (5) en (4) tenemos que:
vdv
dr=−gR2
r2(6)
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y de (2) K = gR2 (4)
De (3) y (4): a = −gR2
r2(4)
Ahora, como a =dv
dty V =
dr
dt, entonces
a =dv
dt=dr
dt.dv
dr= v
dv
dr, 0 , a = v
dv
dr(5)
Reemplazando (5) en (4) tenemos que:
vdv
dr=−gR2
r2(6)
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y de (2) K = gR2 (4)
De (3) y (4): a = −gR2
r2(4)
Ahora, como a =dv
dty V =
dr
dt, entonces
a =dv
dt=dr
dt.dv
dr= v
dv
dr, 0 , a = v
dv
dr(5)
Reemplazando (5) en (4) tenemos que:
vdv
dr=−gR2
r2(6)
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y de (2) K = gR2 (4)
De (3) y (4): a = −gR2
r2(4)
Ahora, como a =dv
dty V =
dr
dt, entonces
a =dv
dt=dr
dt.dv
dr= v
dv
dr, 0 , a = v
dv
dr(5)
Reemplazando (5) en (4) tenemos que:
vdv
dr=−gR2
r2(6)
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y de (2) K = gR2 (4)
De (3) y (4): a = −gR2
r2(4)
Ahora, como a =dv
dty V =
dr
dt, entonces
a =dv
dt=dr
dt.dv
dr= v
dv
dr, 0 , a = v
dv
dr(5)
Reemplazando (5) en (4) tenemos que:
vdv
dr=−gR2
r2(6)
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Separando variables en (6) e integrando obtenemos
v2
2=gR2
r+ c1, 0 , v
2 =2gR2
r+ C, donde C = 2c (7)
Supongamos que v(0) = v0 cuando r = R, luego la ecuacion (7) toma laforma
v2 =2gR2
r+ v20 − 2gR (5)
Que es la velocidad con que viaja la particula
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Separando variables en (6) e integrando obtenemos
v2
2=gR2
r+ c1, 0 , v
2 =2gR2
r+ C, donde C = 2c (7)
Supongamos que v(0) = v0 cuando r = R, luego la ecuacion (7) toma laforma
v2 =2gR2
r+ v20 − 2gR (5)
Que es la velocidad con que viaja la particula
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Separando variables en (6) e integrando obtenemos
v2
2=gR2
r+ c1, 0 , v
2 =2gR2
r+ C, donde C = 2c (7)
Supongamos que v(0) = v0 cuando r = R, luego la ecuacion (7) toma laforma
v2 =2gR2
r+ v20 − 2gR (5)
Que es la velocidad con que viaja la particula
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Separando variables en (6) e integrando obtenemos
v2
2=gR2
r+ c1, 0 , v
2 =2gR2
r+ C, donde C = 2c (7)
Supongamos que v(0) = v0 cuando r = R, luego la ecuacion (7) toma laforma
v2 =2gR2
r+ v20 − 2gR (5)
Que es la velocidad con que viaja la particula
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Separando variables en (6) e integrando obtenemos
v2
2=gR2
r+ c1, 0 , v
2 =2gR2
r+ C, donde C = 2c (7)
Supongamos que v(0) = v0 cuando r = R, luego la ecuacion (7) toma laforma
v2 =2gR2
r+ v20 − 2gR (5)
Que es la velocidad con que viaja la particula
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La ecuacion (5) es positiva si y solamente si v20 − 2gR ≥ 0.
Si v20 − 2gR ≤ 0, habra un punto crıtico de r para el cual el miembroderecho de la ecuacion (5) es cero. Es decir la partıcula se detendra, lavelocidad cambiara de positiva a negativa y la particula regresaria a laTierra.
Luego, si v0 ≥√2gR = V e, la partıcula escapara de la Tierra.
Ejemplo: Hallar la velocidad de escape de la Tierra. Considerarg = 9,81m/seg2 y R = 6370Km
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La ecuacion (5) es positiva si y solamente si v20 − 2gR ≥ 0.
Si v20 − 2gR ≤ 0, habra un punto crıtico de r para el cual el miembroderecho de la ecuacion (5) es cero. Es decir la partıcula se detendra, lavelocidad cambiara de positiva a negativa y la particula regresaria a laTierra.
Luego, si v0 ≥√2gR = V e, la partıcula escapara de la Tierra.
Ejemplo: Hallar la velocidad de escape de la Tierra. Considerarg = 9,81m/seg2 y R = 6370Km
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La ecuacion (5) es positiva si y solamente si v20 − 2gR ≥ 0.
Si v20 − 2gR ≤ 0, habra un punto crıtico de r para el cual el miembroderecho de la ecuacion (5) es cero. Es decir la partıcula se detendra, lavelocidad cambiara de positiva a negativa y la particula regresaria a laTierra.
Luego, si v0 ≥√2gR = V e, la partıcula escapara de la Tierra.
Ejemplo: Hallar la velocidad de escape de la Tierra. Considerarg = 9,81m/seg2 y R = 6370Km
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La ecuacion (5) es positiva si y solamente si v20 − 2gR ≥ 0.
Si v20 − 2gR ≤ 0, habra un punto crıtico de r para el cual el miembroderecho de la ecuacion (5) es cero. Es decir la partıcula se detendra, lavelocidad cambiara de positiva a negativa y la particula regresaria a laTierra.
Luego, si v0 ≥√2gR = V e, la partıcula escapara de la Tierra.
Ejemplo: Hallar la velocidad de escape de la Tierra. Considerarg = 9,81m/seg2 y R = 6370Km
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La ecuacion (5) es positiva si y solamente si v20 − 2gR ≥ 0.
Si v20 − 2gR ≤ 0, habra un punto crıtico de r para el cual el miembroderecho de la ecuacion (5) es cero. Es decir la partıcula se detendra, lavelocidad cambiara de positiva a negativa y la particula regresaria a laTierra.
Luego, si v0 ≥√2gR = V e, la partıcula escapara de la Tierra.
Ejemplo: Hallar la velocidad de escape de la Tierra. Considerarg = 9,81m/seg2 y R = 6370Km
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ENFRIAMIENTO DE CUERPOS
La ley de Newton sobre el enfriamiento de un cuerpo establece que la razonde cambio de la temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferenciaentre la temperatura de este y la del medio ambiente. Esto es si T es latemperatura del cuerpo y Tm es la temperatura del medio ambiente, setiene entonces
dT
dt= K(T − Tm)
donde K < 0. La ecuacion se puede resolver por el metodo de separacionde variables, para obtener la solucion general:
T (t) = Tm + (T0 − Tm)ekt
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ENFRIAMIENTO DE CUERPOS
La ley de Newton sobre el enfriamiento de un cuerpo establece que la razonde cambio de la temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferenciaentre la temperatura de este y la del medio ambiente. Esto es si T es latemperatura del cuerpo y Tm es la temperatura del medio ambiente, setiene entonces
dT
dt= K(T − Tm)
donde K < 0. La ecuacion se puede resolver por el metodo de separacionde variables, para obtener la solucion general:
T (t) = Tm + (T0 − Tm)ekt
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ENFRIAMIENTO DE CUERPOS
La ley de Newton sobre el enfriamiento de un cuerpo establece que la razonde cambio de la temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferenciaentre la temperatura de este y la del medio ambiente. Esto es si T es latemperatura del cuerpo y Tm es la temperatura del medio ambiente, setiene entonces
dT
dt= K(T − Tm)
donde K < 0. La ecuacion se puede resolver por el metodo de separacionde variables, para obtener la solucion general:
T (t) = Tm + (T0 − Tm)ekt
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ENFRIAMIENTO DE CUERPOS
La ley de Newton sobre el enfriamiento de un cuerpo establece que la razonde cambio de la temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferenciaentre la temperatura de este y la del medio ambiente. Esto es si T es latemperatura del cuerpo y Tm es la temperatura del medio ambiente, setiene entonces
dT
dt= K(T − Tm)
donde K < 0. La ecuacion se puede resolver por el metodo de separacionde variables, para obtener la solucion general:
T (t) = Tm + (T0 − Tm)ekt
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ENFRIAMIENTO DE CUERPOS
La ley de Newton sobre el enfriamiento de un cuerpo establece que la razonde cambio de la temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferenciaentre la temperatura de este y la del medio ambiente. Esto es si T es latemperatura del cuerpo y Tm es la temperatura del medio ambiente, setiene entonces
dT
dt= K(T − Tm)
donde K < 0. La ecuacion se puede resolver por el metodo de separacionde variables, para obtener la solucion general:
T (t) = Tm + (T0 − Tm)ekt
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ENFRIAMIENTO DE CUERPOS
Ejemplo: Un termometro que ha presentado una lectura de 70◦F en elinterior de una casa, es colocado afuera donde la temperatura ambiente es10◦F . Tres minutos despues se descubre que la lectura del termometro esde 25◦F .
¿Cual es la temperatura en el tiempo t ?.
Solucion:Sea T (t) : Temperatura en el tiempo t. De los datos dados obtenemos queT (0) = T0 = 70◦F , Tm = 10◦F , T (3) = 25◦F y al aplicarlos en lasolucion general obtenemos que
T (t) = 10 + 60e−0,46t
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ENFRIAMIENTO DE CUERPOS
Ejemplo: Un termometro que ha presentado una lectura de 70◦F en elinterior de una casa, es colocado afuera donde la temperatura ambiente es10◦F . Tres minutos despues se descubre que la lectura del termometro esde 25◦F .
¿Cual es la temperatura en el tiempo t ?.
Solucion:Sea T (t) : Temperatura en el tiempo t. De los datos dados obtenemos queT (0) = T0 = 70◦F , Tm = 10◦F , T (3) = 25◦F y al aplicarlos en lasolucion general obtenemos que
T (t) = 10 + 60e−0,46t
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ENFRIAMIENTO DE CUERPOS
Ejemplo: Un termometro que ha presentado una lectura de 70◦F en elinterior de una casa, es colocado afuera donde la temperatura ambiente es10◦F . Tres minutos despues se descubre que la lectura del termometro esde 25◦F .
¿Cual es la temperatura en el tiempo t ?.
Solucion:Sea T (t) : Temperatura en el tiempo t. De los datos dados obtenemos queT (0) = T0 = 70◦F , Tm = 10◦F , T (3) = 25◦F y al aplicarlos en lasolucion general obtenemos que
T (t) = 10 + 60e−0,46t
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ENFRIAMIENTO DE CUERPOS
Ejemplo: Un termometro que ha presentado una lectura de 70◦F en elinterior de una casa, es colocado afuera donde la temperatura ambiente es10◦F . Tres minutos despues se descubre que la lectura del termometro esde 25◦F .
¿Cual es la temperatura en el tiempo t ?.
Solucion:
Sea T (t) : Temperatura en el tiempo t. De los datos dados obtenemos queT (0) = T0 = 70◦F , Tm = 10◦F , T (3) = 25◦F y al aplicarlos en lasolucion general obtenemos que
T (t) = 10 + 60e−0,46t
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ENFRIAMIENTO DE CUERPOS
Ejemplo: Un termometro que ha presentado una lectura de 70◦F en elinterior de una casa, es colocado afuera donde la temperatura ambiente es10◦F . Tres minutos despues se descubre que la lectura del termometro esde 25◦F .
¿Cual es la temperatura en el tiempo t ?.
Solucion:Sea T (t) : Temperatura en el tiempo t. De los datos dados obtenemos queT (0) = T0 = 70◦F , Tm = 10◦F , T (3) = 25◦F y al aplicarlos en lasolucion general obtenemos que
T (t) = 10 + 60e−0,46t
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ENFRIAMIENTO DE CUERPOS
Ejemplo: Un termometro que ha presentado una lectura de 70◦F en elinterior de una casa, es colocado afuera donde la temperatura ambiente es10◦F . Tres minutos despues se descubre que la lectura del termometro esde 25◦F .
¿Cual es la temperatura en el tiempo t ?.
Solucion:Sea T (t) : Temperatura en el tiempo t. De los datos dados obtenemos queT (0) = T0 = 70◦F , Tm = 10◦F , T (3) = 25◦F y al aplicarlos en lasolucion general obtenemos que
T (t) = 10 + 60e−0,46t
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CONVERSION QUIMICA SIMPLE
La conversion quimica simple se utiliza cuando mediante una reaccionquimica una sustancia A se transforma en una sustancia B. Si x(t) es lacantidad de sustancia presente en el tiempo t, entonces la cantidad dex de sustancia sin transformar es proporcional a la cantidad de sustanciapresente. Lo anterior se puede expresar mediante la ecuacion diferencial
dx
dt= −kx, donde k > 0
y cuya solucion es de la forma:
x(t) = x0e−kt
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CONVERSION QUIMICA SIMPLE
La conversion quimica simple se utiliza cuando mediante una reaccionquimica una sustancia A se transforma en una sustancia B. Si x(t) es lacantidad de sustancia presente en el tiempo t, entonces la cantidad dex de sustancia sin transformar es proporcional a la cantidad de sustanciapresente. Lo anterior se puede expresar mediante la ecuacion diferencial
dx
dt= −kx, donde k > 0
y cuya solucion es de la forma:
x(t) = x0e−kt
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CONVERSION QUIMICA SIMPLE
La conversion quimica simple se utiliza cuando mediante una reaccionquimica una sustancia A se transforma en una sustancia B. Si x(t) es lacantidad de sustancia presente en el tiempo t, entonces la cantidad dex de sustancia sin transformar es proporcional a la cantidad de sustanciapresente. Lo anterior se puede expresar mediante la ecuacion diferencial
dx
dt= −kx, donde k > 0
y cuya solucion es de la forma:
x(t) = x0e−kt
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CONVERSION QUIMICA SIMPLE
La conversion quimica simple se utiliza cuando mediante una reaccionquimica una sustancia A se transforma en una sustancia B. Si x(t) es lacantidad de sustancia presente en el tiempo t, entonces la cantidad dex de sustancia sin transformar es proporcional a la cantidad de sustanciapresente. Lo anterior se puede expresar mediante la ecuacion diferencial
dx
dt= −kx, donde k > 0
y cuya solucion es de la forma:
x(t) = x0e−kt
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CONVERSION QUIMICA SIMPLE
La conversion quimica simple se utiliza cuando mediante una reaccionquimica una sustancia A se transforma en una sustancia B. Si x(t) es lacantidad de sustancia presente en el tiempo t, entonces la cantidad dex de sustancia sin transformar es proporcional a la cantidad de sustanciapresente. Lo anterior se puede expresar mediante la ecuacion diferencial
dx
dt= −kx, donde k > 0
y cuya solucion es de la forma:
x(t) = x0e−kt
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CONVERSION QUIMICA SIMPLE
La grafica de la solucion es de la forma:
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CONVERSION QUIMICA SIMPLE
La grafica de la solucion es de la forma:
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CONVERSION QUIMICA SIMPLE
La grafica de la solucion es de la forma:
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CONVERSION QUIMICA SIMPLE
Ejemplo: Supongamos que al final de medio minuto en t = 30s, dosterceras partes de la cantidad original x0 se han transformado. Determinarla cantidad de sustancias sin transformar en t = 60s.
Del x(30) = x0e−30K =
x03
, obtenemos que K =Ln3
30y
x(t) = x0e−Ln3
30 t, luego x(60) =x09
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CONVERSION QUIMICA SIMPLE
Ejemplo: Supongamos que al final de medio minuto en t = 30s, dosterceras partes de la cantidad original x0 se han transformado. Determinarla cantidad de sustancias sin transformar en t = 60s.
Del x(30) = x0e−30K =
x03
, obtenemos que K =Ln3
30y
x(t) = x0e−Ln3
30 t, luego x(60) =x09
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CONVERSION QUIMICA SIMPLE
Ejemplo: Supongamos que al final de medio minuto en t = 30s, dosterceras partes de la cantidad original x0 se han transformado. Determinarla cantidad de sustancias sin transformar en t = 60s.
Del x(30) = x0e−30K =
x03
, obtenemos que K =Ln3
30y
x(t) = x0e−Ln3
30 t, luego x(60) =x09
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CRECIMIENTO POBLACIONAL
Hallar la ecuacion diferencial que expresa el numero de habitantes y de unpais en funcion del tiempo. Como el aumento de la poblacion se rige porla mortalidad y la natalidad, entonces la cantidad de personas esta dadapor:
dy
dt= ky − hy = (k − h)y,
donde k y h son los cocientes de natalidad y mortalidad respectivamente.La ecuacion anterior se puede escribir como:
dy
dt= ay donde a = k − h
Si hay inmigracion, la nueva ecuacion es:
dy
dt= ay + b,
donde b representa el numero de inmigrantes.
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CRECIMIENTO POBLACIONAL
Hallar la ecuacion diferencial que expresa el numero de habitantes y de unpais en funcion del tiempo. Como el aumento de la poblacion se rige porla mortalidad y la natalidad, entonces la cantidad de personas esta dadapor:
dy
dt= ky − hy = (k − h)y,
donde k y h son los cocientes de natalidad y mortalidad respectivamente.La ecuacion anterior se puede escribir como:
dy
dt= ay donde a = k − h
Si hay inmigracion, la nueva ecuacion es:
dy
dt= ay + b,
donde b representa el numero de inmigrantes.
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CRECIMIENTO POBLACIONAL
Hallar la ecuacion diferencial que expresa el numero de habitantes y de unpais en funcion del tiempo. Como el aumento de la poblacion se rige porla mortalidad y la natalidad, entonces la cantidad de personas esta dadapor:
dy
dt= ky − hy = (k − h)y,
donde k y h son los cocientes de natalidad y mortalidad respectivamente.La ecuacion anterior se puede escribir como:
dy
dt= ay donde a = k − h
Si hay inmigracion, la nueva ecuacion es:
dy
dt= ay + b,
donde b representa el numero de inmigrantes.
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CRECIMIENTO POBLACIONAL
Hallar la ecuacion diferencial que expresa el numero de habitantes y de unpais en funcion del tiempo. Como el aumento de la poblacion se rige porla mortalidad y la natalidad, entonces la cantidad de personas esta dadapor:
dy
dt= ky − hy = (k − h)y,
donde k y h son los cocientes de natalidad y mortalidad respectivamente.
La ecuacion anterior se puede escribir como:
dy
dt= ay donde a = k − h
Si hay inmigracion, la nueva ecuacion es:
dy
dt= ay + b,
donde b representa el numero de inmigrantes.
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CRECIMIENTO POBLACIONAL
Hallar la ecuacion diferencial que expresa el numero de habitantes y de unpais en funcion del tiempo. Como el aumento de la poblacion se rige porla mortalidad y la natalidad, entonces la cantidad de personas esta dadapor:
dy
dt= ky − hy = (k − h)y,
donde k y h son los cocientes de natalidad y mortalidad respectivamente.La ecuacion anterior se puede escribir como:
dy
dt= ay donde a = k − h
Si hay inmigracion, la nueva ecuacion es:
dy
dt= ay + b,
donde b representa el numero de inmigrantes.
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CRECIMIENTO POBLACIONAL
Hallar la ecuacion diferencial que expresa el numero de habitantes y de unpais en funcion del tiempo. Como el aumento de la poblacion se rige porla mortalidad y la natalidad, entonces la cantidad de personas esta dadapor:
dy
dt= ky − hy = (k − h)y,
donde k y h son los cocientes de natalidad y mortalidad respectivamente.La ecuacion anterior se puede escribir como:
dy
dt= ay donde a = k − h
Si hay inmigracion, la nueva ecuacion es:
dy
dt= ay + b,
donde b representa el numero de inmigrantes.
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CRECIMIENTO POBLACIONAL
Hallar la ecuacion diferencial que expresa el numero de habitantes y de unpais en funcion del tiempo. Como el aumento de la poblacion se rige porla mortalidad y la natalidad, entonces la cantidad de personas esta dadapor:
dy
dt= ky − hy = (k − h)y,
donde k y h son los cocientes de natalidad y mortalidad respectivamente.La ecuacion anterior se puede escribir como:
dy
dt= ay donde a = k − h
Si hay inmigracion, la nueva ecuacion es:
dy
dt= ay + b,
donde b representa el numero de inmigrantes.
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CRECIMIENTO POBLACIONAL
Hallar la ecuacion diferencial que expresa el numero de habitantes y de unpais en funcion del tiempo. Como el aumento de la poblacion se rige porla mortalidad y la natalidad, entonces la cantidad de personas esta dadapor:
dy
dt= ky − hy = (k − h)y,
donde k y h son los cocientes de natalidad y mortalidad respectivamente.La ecuacion anterior se puede escribir como:
dy
dt= ay donde a = k − h
Si hay inmigracion, la nueva ecuacion es:
dy
dt= ay + b,
donde b representa el numero de inmigrantes.
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CRECIMIENTO POBLACIONAL
Separando variables e integrando obtenemos que la solucion general es dela forma:
y(t) = ceat − b
a.
De la condicion inicial y(0) = c − b
a= y0, obtenemos que c = y0 +
b
ay
por lo tanto una solucion particular es
y(t) =
(y0 +
b
a
)eat − b
a.
¿Como es la grafica de y(t)?
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CRECIMIENTO POBLACIONAL
Separando variables e integrando obtenemos que la solucion general es dela forma:
y(t) = ceat − b
a.
De la condicion inicial y(0) = c − b
a= y0, obtenemos que c = y0 +
b
ay
por lo tanto una solucion particular es
y(t) =
(y0 +
b
a
)eat − b
a.
¿Como es la grafica de y(t)?
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CRECIMIENTO POBLACIONAL
Separando variables e integrando obtenemos que la solucion general es dela forma:
y(t) = ceat − b
a.
De la condicion inicial y(0) = c − b
a= y0, obtenemos que c = y0 +
b
ay
por lo tanto una solucion particular es
y(t) =
(y0 +
b
a
)eat − b
a.
¿Como es la grafica de y(t)?
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CRECIMIENTO POBLACIONAL
Separando variables e integrando obtenemos que la solucion general es dela forma:
y(t) = ceat − b
a.
De la condicion inicial y(0) = c − b
a= y0, obtenemos que c = y0 +
b
ay
por lo tanto una solucion particular es
y(t) =
(y0 +
b
a
)eat − b
a.
¿Como es la grafica de y(t)?
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CRECIMIENTO POBLACIONAL
Separando variables e integrando obtenemos que la solucion general es dela forma:
y(t) = ceat − b
a.
De la condicion inicial y(0) = c − b
a= y0, obtenemos que c = y0 +
b
ay
por lo tanto una solucion particular es
y(t) =
(y0 +
b
a
)eat − b
a.
¿Como es la grafica de y(t)?
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CRECIMIENTO POBLACIONAL
Separando variables e integrando obtenemos que la solucion general es dela forma:
y(t) = ceat − b
a.
De la condicion inicial y(0) = c − b
a= y0, obtenemos que c = y0 +
b
ay
por lo tanto una solucion particular es
y(t) =
(y0 +
b
a
)eat − b
a.
¿Como es la grafica de y(t)?
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CRECIMIENTO POBLACIONALEjemplo: Un modelo simple
Se sabe que la poblacion de cierta comunidad aumenta proporcionalmentea la cantidad presente. Si la poblacion se duplico en cinco anos. ¿En cuantotiempo se triplicara y cuadruplicara?
Si P (t) es el mınimo de personas en el tiempo t, entonces el problema devalor inicial asociado es:
dP
dt= kP
P (0) = Po
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CRECIMIENTO POBLACIONALEjemplo: Un modelo simple
Se sabe que la poblacion de cierta comunidad aumenta proporcionalmentea la cantidad presente. Si la poblacion se duplico en cinco anos. ¿En cuantotiempo se triplicara y cuadruplicara?
Si P (t) es el mınimo de personas en el tiempo t, entonces el problema devalor inicial asociado es:
dP
dt= kP
P (0) = Po
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CRECIMIENTO POBLACIONALEjemplo: Un modelo simple
Se sabe que la poblacion de cierta comunidad aumenta proporcionalmentea la cantidad presente. Si la poblacion se duplico en cinco anos. ¿En cuantotiempo se triplicara y cuadruplicara?
Si P (t) es el mınimo de personas en el tiempo t, entonces el problema devalor inicial asociado es:
dP
dt= kP
P (0) = Po
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CRECIMIENTO POBLACIONALEjemplo: Un modelo simple
Se sabe que la poblacion de cierta comunidad aumenta proporcionalmentea la cantidad presente. Si la poblacion se duplico en cinco anos. ¿En cuantotiempo se triplicara y cuadruplicara?
Si P (t) es el mınimo de personas en el tiempo t, entonces el problema devalor inicial asociado es:
dP
dt= kP
P (0) = Po
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CRECIMIENTO POBLACIONALEjemplo: Un modelo simple
Cuya solucion general es P (t) = Poekt. Utilizando los datos del problema
obtenemos que la poblacion es:
P (t) = Poe0,138629t
Notese que P (3) = 7,92 anos y P (4) = 10 anos.
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CRECIMIENTO POBLACIONALEjemplo: Un modelo simple
Cuya solucion general es P (t) = Poekt. Utilizando los datos del problema
obtenemos que la poblacion es:
P (t) = Poe0,138629t
Notese que P (3) = 7,92 anos y P (4) = 10 anos.
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CRECIMIENTO POBLACIONALEjemplo: Un modelo simple
Cuya solucion general es P (t) = Poekt. Utilizando los datos del problema
obtenemos que la poblacion es:
P (t) = Poe0,138629t
Notese que P (3) = 7,92 anos y P (4) = 10 anos.
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CRECIMIENTO POBLACIONALEjemplo: Un modelo simple
Cuya solucion general es P (t) = Poekt. Utilizando los datos del problema
obtenemos que la poblacion es:
P (t) = Poe0,138629t
Notese que P (3) = 7,92 anos y P (4) = 10 anos.
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ACUMULACION DE CAPITAL
Consideremos el problema sobre la acumulacion de capital. La funciony = f(t) representa el capital presente en el tiempo t. Como el interesaumenta el capital y el consumo lo disminuye, tenemos que:
(incremento de capital) = (interes) - (consumo) , o,
dy
dt= ky − b,
Donde k > 0 y la solucion general de la ecuacion es de la forma y(t) =cekt + b. Al analizar la condicion inicial y(0) = ce0t + b = yo, obtenemosque c = y − b y la solucion particular toma la forma:
y(t) =
(yo −
k
b
)ekt +
b
k
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ACUMULACION DE CAPITAL
Consideremos el problema sobre la acumulacion de capital. La funciony = f(t) representa el capital presente en el tiempo t. Como el interesaumenta el capital y el consumo lo disminuye, tenemos que:
(incremento de capital) = (interes) - (consumo) , o,
dy
dt= ky − b,
Donde k > 0 y la solucion general de la ecuacion es de la forma y(t) =cekt + b. Al analizar la condicion inicial y(0) = ce0t + b = yo, obtenemosque c = y − b y la solucion particular toma la forma:
y(t) =
(yo −
k
b
)ekt +
b
k
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ACUMULACION DE CAPITAL
Consideremos el problema sobre la acumulacion de capital. La funciony = f(t) representa el capital presente en el tiempo t. Como el interesaumenta el capital y el consumo lo disminuye, tenemos que:
(incremento de capital) = (interes) - (consumo) , o,
dy
dt= ky − b,
Donde k > 0 y la solucion general de la ecuacion es de la forma y(t) =cekt + b. Al analizar la condicion inicial y(0) = ce0t + b = yo, obtenemosque c = y − b y la solucion particular toma la forma:
y(t) =
(yo −
k
b
)ekt +
b
k
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ACUMULACION DE CAPITAL
Consideremos el problema sobre la acumulacion de capital. La funciony = f(t) representa el capital presente en el tiempo t. Como el interesaumenta el capital y el consumo lo disminuye, tenemos que:
(incremento de capital) = (interes) - (consumo) , o,
dy
dt= ky − b,
Donde k > 0 y la solucion general de la ecuacion es de la forma y(t) =cekt + b. Al analizar la condicion inicial y(0) = ce0t + b = yo, obtenemosque c = y − b y la solucion particular toma la forma:
y(t) =
(yo −
k
b
)ekt +
b
k
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ACUMULACION DE CAPITAL
Consideremos el problema sobre la acumulacion de capital. La funciony = f(t) representa el capital presente en el tiempo t. Como el interesaumenta el capital y el consumo lo disminuye, tenemos que:
(incremento de capital) = (interes) - (consumo) , o,
dy
dt= ky − b,
Donde k > 0 y la solucion general de la ecuacion es de la forma y(t) =cekt + b. Al analizar la condicion inicial y(0) = ce0t + b = yo, obtenemosque c = y − b y la solucion particular toma la forma:
y(t) =
(yo −
k
b
)ekt +
b
k
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ACUMULACION DE CAPITAL
Consideremos el problema sobre la acumulacion de capital. La funciony = f(t) representa el capital presente en el tiempo t. Como el interesaumenta el capital y el consumo lo disminuye, tenemos que:
(incremento de capital) = (interes) - (consumo) , o,
dy
dt= ky − b,
Donde k > 0 y la solucion general de la ecuacion es de la forma y(t) =cekt + b. Al analizar la condicion inicial y(0) = ce0t + b = yo, obtenemosque c = y − b y la solucion particular toma la forma:
y(t) =
(yo −
k
b
)ekt +
b
k
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ACUMULACION DE CAPITAL
Notese que si:
si yo >b
kel capital y(t) crece.
si yo <b
kel capital y(t) decrece.
si yo =b
kel capital y(t) permanece constante.
La siguiente grafica ilustra la situacion anterior.
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ACUMULACION DE CAPITAL
Notese que si:
si yo >b
kel capital y(t) crece.
si yo <b
kel capital y(t) decrece.
si yo =b
kel capital y(t) permanece constante.
La siguiente grafica ilustra la situacion anterior.
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ACUMULACION DE CAPITAL
Notese que si:
si yo >b
kel capital y(t) crece.
si yo <b
kel capital y(t) decrece.
si yo =b
kel capital y(t) permanece constante.
La siguiente grafica ilustra la situacion anterior.
Prof. Jorge Enrique Trivino - Universidad De La Amazonia E.D.O
ACUMULACION DE CAPITAL
Notese que si:
si yo >b
kel capital y(t) crece.
si yo <b
kel capital y(t) decrece.
si yo =b
kel capital y(t) permanece constante.
La siguiente grafica ilustra la situacion anterior.
Prof. Jorge Enrique Trivino - Universidad De La Amazonia E.D.O
ACUMULACION DE CAPITAL
Notese que si:
si yo >b
kel capital y(t) crece.
si yo <b
kel capital y(t) decrece.
si yo =b
kel capital y(t) permanece constante.
La siguiente grafica ilustra la situacion anterior.
Prof. Jorge Enrique Trivino - Universidad De La Amazonia E.D.O
ACUMULACION DE CAPITAL
Notese que si:
si yo >b
kel capital y(t) crece.
si yo <b
kel capital y(t) decrece.
si yo =b
kel capital y(t) permanece constante.
La siguiente grafica ilustra la situacion anterior.
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ACUMULACION DE CAPITAL
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ACUMULACION DE CAPITAL
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ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOSEcuacion diferencial homogenea con coeficientes constantes
La ecuacion de la forma
ay′′+ by
′+ cy = 0 (1)
Si y(x) = eλx es solucion de (1), entonces y′(x) = λeλx y y
′′(x) = λ2eλx.
Reemplazando las ecuaciones anteriores en (1), obtenemos que:
(λ2 + bλ+ c)eλx = 0
Como eλx 6= 0, λ2 + bλ+ c = 0 se llama ecuacion auxiliar.
Las raices de la ecuacion auxiliar son λ1, λ2 =−b±
√b2 − 4ac
2a
La naturaleza de las raices depende del discriminante√b2 − 4ac. Consid-
eremos tres casos:
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ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOSEcuacion diferencial homogenea con coeficientes constantes
La ecuacion de la forma
ay′′+ by
′+ cy = 0 (1)
Si y(x) = eλx es solucion de (1), entonces y′(x) = λeλx y y
′′(x) = λ2eλx.
Reemplazando las ecuaciones anteriores en (1), obtenemos que:
(λ2 + bλ+ c)eλx = 0
Como eλx 6= 0, λ2 + bλ+ c = 0 se llama ecuacion auxiliar.
Las raices de la ecuacion auxiliar son λ1, λ2 =−b±
√b2 − 4ac
2a
La naturaleza de las raices depende del discriminante√b2 − 4ac. Consid-
eremos tres casos:
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ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOSEcuacion diferencial homogenea con coeficientes constantes
La ecuacion de la forma
ay′′+ by
′+ cy = 0 (1)
Si y(x) = eλx es solucion de (1), entonces y′(x) = λeλx y y
′′(x) = λ2eλx.
Reemplazando las ecuaciones anteriores en (1), obtenemos que:
(λ2 + bλ+ c)eλx = 0
Como eλx 6= 0, λ2 + bλ+ c = 0 se llama ecuacion auxiliar.
Las raices de la ecuacion auxiliar son λ1, λ2 =−b±
√b2 − 4ac
2a
La naturaleza de las raices depende del discriminante√b2 − 4ac. Consid-
eremos tres casos:
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ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOSEcuacion diferencial homogenea con coeficientes constantes
La ecuacion de la forma
ay′′+ by
′+ cy = 0 (1)
Si y(x) = eλx es solucion de (1), entonces y′(x) = λeλx y y
′′(x) = λ2eλx.
Reemplazando las ecuaciones anteriores en (1), obtenemos que:
(λ2 + bλ+ c)eλx = 0
Como eλx 6= 0, λ2 + bλ+ c = 0 se llama ecuacion auxiliar.
Las raices de la ecuacion auxiliar son λ1, λ2 =−b±
√b2 − 4ac
2a
La naturaleza de las raices depende del discriminante√b2 − 4ac. Consid-
eremos tres casos:
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ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOSEcuacion diferencial homogenea con coeficientes constantes
La ecuacion de la forma
ay′′+ by
′+ cy = 0 (1)
Si y(x) = eλx es solucion de (1), entonces y′(x) = λeλx y y
′′(x) = λ2eλx.
Reemplazando las ecuaciones anteriores en (1), obtenemos que:
(λ2 + bλ+ c)eλx = 0
Como eλx 6= 0, λ2 + bλ+ c = 0 se llama ecuacion auxiliar.
Las raices de la ecuacion auxiliar son λ1, λ2 =−b±
√b2 − 4ac
2a
La naturaleza de las raices depende del discriminante√b2 − 4ac. Consid-
eremos tres casos:
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ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOSEcuacion diferencial homogenea con coeficientes constantes
La ecuacion de la forma
ay′′+ by
′+ cy = 0 (1)
Si y(x) = eλx es solucion de (1), entonces y′(x) = λeλx y y
′′(x) = λ2eλx.
Reemplazando las ecuaciones anteriores en (1), obtenemos que:
(λ2 + bλ+ c)eλx = 0
Como eλx 6= 0, λ2 + bλ+ c = 0 se llama ecuacion auxiliar.
Las raices de la ecuacion auxiliar son λ1, λ2 =−b±
√b2 − 4ac
2a
La naturaleza de las raices depende del discriminante√b2 − 4ac. Consid-
eremos tres casos:
Prof. Jorge Enrique Trivino - Universidad De La Amazonia E.D.O
ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOSEcuacion diferencial homogenea con coeficientes constantes
La ecuacion de la forma
ay′′+ by
′+ cy = 0 (1)
Si y(x) = eλx es solucion de (1), entonces y′(x) = λeλx y y
′′(x) = λ2eλx.
Reemplazando las ecuaciones anteriores en (1), obtenemos que:
(λ2 + bλ+ c)eλx = 0
Como eλx 6= 0, λ2 + bλ+ c = 0 se llama ecuacion auxiliar.
Las raices de la ecuacion auxiliar son λ1, λ2 =−b±
√b2 − 4ac
2a
La naturaleza de las raices depende del discriminante√b2 − 4ac. Consid-
eremos tres casos:
Prof. Jorge Enrique Trivino - Universidad De La Amazonia E.D.O
ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOSEcuacion diferencial homogenea con coeficientes constantes
La ecuacion de la forma
ay′′+ by
′+ cy = 0 (1)
Si y(x) = eλx es solucion de (1), entonces y′(x) = λeλx y y
′′(x) = λ2eλx.
Reemplazando las ecuaciones anteriores en (1), obtenemos que:
(λ2 + bλ+ c)eλx = 0
Como eλx 6= 0, λ2 + bλ+ c = 0 se llama ecuacion auxiliar.
Las raices de la ecuacion auxiliar son λ1, λ2 =−b±
√b2 − 4ac
2a
La naturaleza de las raices depende del discriminante√b2 − 4ac. Consid-
eremos tres casos:
Prof. Jorge Enrique Trivino - Universidad De La Amazonia E.D.O
ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOSEcuacion diferencial homogenea con coeficientes constantes
a) Si b2 − 4ac > 0, o λ1, λ2 son numeros reales y λ1, 6= λ2. En estecaso y1(x) = eλ1x, y2(x) = eλ2x y la solucion general es:
y(x) = c1eλ1x + c2e
λ2x
b) Si b2 − 4ac = 0, λ1 = λ2 = − b
2a= λ. En este caso y1(x) = eλx y
y2(x) = xeλx y la solucion general es:
y(x) = c1eλx + c2xe
λx
c) Si b2 − 4ac < 0, λ1 = a + bi y λ2 = a − bi. En este caso y1(x) =eax cos(bx); y2(x) = eax sin(bx) y la solucion general es:
y(x) = c1eax cos(bx) + c2 sin(bx)
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ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOSEcuacion diferencial homogenea con coeficientes constantes
a) Si b2 − 4ac > 0, o λ1, λ2 son numeros reales y λ1, 6= λ2. En estecaso y1(x) = eλ1x, y2(x) = eλ2x y la solucion general es:
y(x) = c1eλ1x + c2e
λ2x
b) Si b2 − 4ac = 0, λ1 = λ2 = − b
2a= λ. En este caso y1(x) = eλx y
y2(x) = xeλx y la solucion general es:
y(x) = c1eλx + c2xe
λx
c) Si b2 − 4ac < 0, λ1 = a + bi y λ2 = a − bi. En este caso y1(x) =eax cos(bx); y2(x) = eax sin(bx) y la solucion general es:
y(x) = c1eax cos(bx) + c2 sin(bx)
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ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOSEcuacion diferencial homogenea con coeficientes constantes
a) Si b2 − 4ac > 0, o λ1, λ2 son numeros reales y λ1, 6= λ2. En estecaso y1(x) = eλ1x, y2(x) = eλ2x y la solucion general es:
y(x) = c1eλ1x + c2e
λ2x
b) Si b2 − 4ac = 0, λ1 = λ2 = − b
2a= λ. En este caso y1(x) = eλx y
y2(x) = xeλx y la solucion general es:
y(x) = c1eλx + c2xe
λx
c) Si b2 − 4ac < 0, λ1 = a + bi y λ2 = a − bi. En este caso y1(x) =eax cos(bx); y2(x) = eax sin(bx) y la solucion general es:
y(x) = c1eax cos(bx) + c2 sin(bx)
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ECUACIONES LINEALES DE ORDEN DOSEcuacion diferencial homogenea con coeficientes constantes
a) Si b2 − 4ac > 0, o λ1, λ2 son numeros reales y λ1, 6= λ2. En estecaso y1(x) = eλ1x, y2(x) = eλ2x y la solucion general es:
y(x) = c1eλ1x + c2e
λ2x
b) Si b2 − 4ac = 0, λ1 = λ2 = − b
2a= λ. En este caso y1(x) = eλx y
y2(x) = xeλx y la solucion general es:
y(x) = c1eλx + c2xe
λx
c) Si b2 − 4ac < 0, λ1 = a + bi y λ2 = a − bi. En este caso y1(x) =eax cos(bx); y2(x) = eax sin(bx) y la solucion general es:
y(x) = c1eax cos(bx) + c2 sin(bx)
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Vibraciones en sistemas mecanicos
¿Cuando se producen vibraciones?Siempre que se rompe el equilibrio de un sistema fısico estable. En este casoel sistema queda sujeto a fuerzas que tendran que restaurar el equilibrio.Las situaciones anteriores conducen a ecuaciones de la forma:
d2x
dt2+ P (t)
dx
dt+Q(t)x = R(t)
Tipo 1: Vibraciones armonicas no amortiguadas.
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Vibraciones en sistemas mecanicos
¿Cuando se producen vibraciones?
Siempre que se rompe el equilibrio de un sistema fısico estable. En este casoel sistema queda sujeto a fuerzas que tendran que restaurar el equilibrio.Las situaciones anteriores conducen a ecuaciones de la forma:
d2x
dt2+ P (t)
dx
dt+Q(t)x = R(t)
Tipo 1: Vibraciones armonicas no amortiguadas.
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Vibraciones en sistemas mecanicos
¿Cuando se producen vibraciones?Siempre que se rompe el equilibrio de un sistema fısico estable. En este casoel sistema queda sujeto a fuerzas que tendran que restaurar el equilibrio.Las situaciones anteriores conducen a ecuaciones de la forma:
d2x
dt2+ P (t)
dx
dt+Q(t)x = R(t)
Tipo 1: Vibraciones armonicas no amortiguadas.
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Vibraciones en sistemas mecanicos
¿Cuando se producen vibraciones?Siempre que se rompe el equilibrio de un sistema fısico estable. En este casoel sistema queda sujeto a fuerzas que tendran que restaurar el equilibrio.Las situaciones anteriores conducen a ecuaciones de la forma:
d2x
dt2+ P (t)
dx
dt+Q(t)x = R(t)
Tipo 1: Vibraciones armonicas no amortiguadas.
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Vibraciones en sistemas mecanicos
¿Cuando se producen vibraciones?Siempre que se rompe el equilibrio de un sistema fısico estable. En este casoel sistema queda sujeto a fuerzas que tendran que restaurar el equilibrio.Las situaciones anteriores conducen a ecuaciones de la forma:
d2x
dt2+ P (t)
dx
dt+Q(t)x = R(t)
Tipo 1: Vibraciones armonicas no amortiguadas.
Prof. Jorge Enrique Trivino - Universidad De La Amazonia E.D.O
Vibraciones en sistemas mecanicos
¿Cuando se producen vibraciones?Siempre que se rompe el equilibrio de un sistema fısico estable. En este casoel sistema queda sujeto a fuerzas que tendran que restaurar el equilibrio.Las situaciones anteriores conducen a ecuaciones de la forma:
d2x
dt2+ P (t)
dx
dt+Q(t)x = R(t)
Tipo 1: Vibraciones armonicas no amortiguadas.
Prof. Jorge Enrique Trivino - Universidad De La Amazonia E.D.O
Vibraciones en sistemas mecanicos
La carreta al desplazarse x unidades el resorte ejerce una fuerza de restau-racion FR = −kx (Ley Hooke), k > 0. k: Donde k es una medida de larigidez del resorte.
Segunda Ley De Newton:
FR = -kx = ma = md2x
dt2
d2x
dt2+k
mx = 0, o,
d2x
dt2+ a2x = 0 ; a2 =
k
m
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Vibraciones en sistemas mecanicos
La carreta al desplazarse x unidades el resorte ejerce una fuerza de restau-racion FR = −kx (Ley Hooke), k > 0. k: Donde k es una medida de larigidez del resorte.
Segunda Ley De Newton:
FR = -kx = ma = md2x
dt2
d2x
dt2+k
mx = 0, o,
d2x
dt2+ a2x = 0 ; a2 =
k
m
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Vibraciones en sistemas mecanicos
La carreta al desplazarse x unidades el resorte ejerce una fuerza de restau-racion FR = −kx (Ley Hooke), k > 0. k: Donde k es una medida de larigidez del resorte.
Segunda Ley De Newton:
FR = -kx = ma = md2x
dt2
d2x
dt2+k
mx = 0, o,
d2x
dt2+ a2x = 0 ; a2 =
k
m
Prof. Jorge Enrique Trivino - Universidad De La Amazonia E.D.O
Vibraciones en sistemas mecanicos
La carreta al desplazarse x unidades el resorte ejerce una fuerza de restau-racion FR = −kx (Ley Hooke), k > 0. k: Donde k es una medida de larigidez del resorte.
Segunda Ley De Newton:
FR = -kx = ma = md2x
dt2
d2x
dt2+k
mx = 0, o,
d2x
dt2+ a2x = 0 ; a2 =
k
m
Prof. Jorge Enrique Trivino - Universidad De La Amazonia E.D.O
Vibraciones en sistemas mecanicos
La carreta al desplazarse x unidades el resorte ejerce una fuerza de restau-racion FR = −kx (Ley Hooke), k > 0. k: Donde k es una medida de larigidez del resorte.
Segunda Ley De Newton:
FR = -kx = ma = md2x
dt2
d2x
dt2+k
mx = 0, o,
d2x
dt2+ a2x = 0 ; a2 =
k
m
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Vibraciones en sistemas mecanicos
Ecuacion auxiliar: λ2 +k
m= 0⇐⇒ λ = ±
√k
mi
x1t = cos
(√k
mt
)= cos(at)
x2t = sin
(√k
mt
)= sin(at)
x(t) = c1 cos(at) + c2 sin(at)︸ ︷︷ ︸
Solucion General
Prof. Jorge Enrique Trivino - Universidad De La Amazonia E.D.O
Vibraciones en sistemas mecanicos
Ecuacion auxiliar: λ2 +k
m= 0⇐⇒ λ = ±
√k
mi
x1t = cos
(√k
mt
)= cos(at)
x2t = sin
(√k
mt
)= sin(at)
x(t) = c1 cos(at) + c2 sin(at)︸ ︷︷ ︸
Solucion General
Prof. Jorge Enrique Trivino - Universidad De La Amazonia E.D.O
Vibraciones en sistemas mecanicos
Ecuacion auxiliar: λ2 +k
m= 0⇐⇒ λ = ±
√k
mi
x1t = cos
(√k
mt
)= cos(at)
x2t = sin
(√k
mt
)= sin(at)
x(t) = c1 cos(at) + c2 sin(at)︸ ︷︷ ︸
Solucion General
Prof. Jorge Enrique Trivino - Universidad De La Amazonia E.D.O
Vibraciones en sistemas mecanicos
Si la carreta se lleva a la posicion inicial x(0) = xo y se suelta con unavelocidad inicial v(0) = vo = 0. Entonces de:
x(t) = c1 cos(at) + c2 sin(at) y x′(t) = −ac1 sin(at) + ac2 cos(at)
x(0) = c1 + c2(0) = xo −→ c1 = xox
′(0) = −ac1(0) + ac2 = 0 −→ c2 = 0
La solucion particular es:
x(t) = xo cos(at)
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Vibraciones en sistemas mecanicos
Si la carreta se lleva a la posicion inicial x(0) = xo y se suelta con unavelocidad inicial v(0) = vo = 0. Entonces de:
x(t) = c1 cos(at) + c2 sin(at) y x′(t) = −ac1 sin(at) + ac2 cos(at)
x(0) = c1 + c2(0) = xo −→ c1 = xox
′(0) = −ac1(0) + ac2 = 0 −→ c2 = 0
La solucion particular es:
x(t) = xo cos(at)
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Vibraciones en sistemas mecanicos
Si la carreta se lleva a la posicion inicial x(0) = xo y se suelta con unavelocidad inicial v(0) = vo = 0. Entonces de:
x(t) = c1 cos(at) + c2 sin(at) y x′(t) = −ac1 sin(at) + ac2 cos(at)
x(0) = c1 + c2(0) = xo −→ c1 = xox
′(0) = −ac1(0) + ac2 = 0 −→ c2 = 0
La solucion particular es:
x(t) = xo cos(at)
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Vibraciones en sistemas mecanicos
Si la carreta se lleva a la posicion inicial x(0) = xo y se suelta con unavelocidad inicial v(0) = vo = 0. Entonces de:
x(t) = c1 cos(at) + c2 sin(at) y x′(t) = −ac1 sin(at) + ac2 cos(at)
x(0) = c1 + c2(0) = xo −→ c1 = xo
x′(0) = −ac1(0) + ac2 = 0 −→ c2 = 0
La solucion particular es:
x(t) = xo cos(at)
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Vibraciones en sistemas mecanicos
Si la carreta se lleva a la posicion inicial x(0) = xo y se suelta con unavelocidad inicial v(0) = vo = 0. Entonces de:
x(t) = c1 cos(at) + c2 sin(at) y x′(t) = −ac1 sin(at) + ac2 cos(at)
x(0) = c1 + c2(0) = xo −→ c1 = xox
′(0) = −ac1(0) + ac2 = 0 −→ c2 = 0
La solucion particular es:
x(t) = xo cos(at)
Prof. Jorge Enrique Trivino - Universidad De La Amazonia E.D.O
Vibraciones en sistemas mecanicos
Si la carreta se lleva a la posicion inicial x(0) = xo y se suelta con unavelocidad inicial v(0) = vo = 0. Entonces de:
x(t) = c1 cos(at) + c2 sin(at) y x′(t) = −ac1 sin(at) + ac2 cos(at)
x(0) = c1 + c2(0) = xo −→ c1 = xox
′(0) = −ac1(0) + ac2 = 0 −→ c2 = 0
La solucion particular es:
x(t) = xo cos(at)
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Vibraciones en sistemas mecanicos
aT = 2π ; T =2π
a=
2π√k
m
= 2π
√m
k
Tambien f =1
T=
a
2π=
1
2π
√k
m
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Vibraciones en sistemas mecanicos
aT = 2π ; T =2π
a=
2π√k
m
= 2π
√m
k
Tambien f =1
T=
a
2π=
1
2π
√k
m
Prof. Jorge Enrique Trivino - Universidad De La Amazonia E.D.O
Vibraciones en sistemas mecanicos
aT = 2π ; T =2π
a=
2π√k
m
= 2π
√m
k
Tambien f =1
T=
a
2π=
1
2π
√k
m
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Tipo 2 : Vibraciones amortiguadas
Ocurren cuando se considera el efecto adicional de una fuerza de amor-tiguacion. (Debido al medio en que se desplaza la cuerda).
Fa = −cdxdt, c > 0: c: Mide la resistencia del medio.
Luego, la nueva ecuacion es:
md2x
dt2= FR + Fa ⇐⇒ m
d2x
dt2+ kx+ c
dx
dt= 0
⇐⇒ md2x
dt2+ c
dx
dt+ kx = 0⇐⇒ d2x
dt2+
c
m
dx
dt+k
mx = 0
⇐⇒ d2x
dt2+ 2b
dx
dt+ a2x = 0, donde 2b =
c
m⇐⇒ b =
c
2my a2 =
k
m
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Tipo 2 : Vibraciones amortiguadas
Ocurren cuando se considera el efecto adicional de una fuerza de amor-tiguacion. (Debido al medio en que se desplaza la cuerda).
Fa = −cdxdt, c > 0: c: Mide la resistencia del medio.
Luego, la nueva ecuacion es:
md2x
dt2= FR + Fa ⇐⇒ m
d2x
dt2+ kx+ c
dx
dt= 0
⇐⇒ md2x
dt2+ c
dx
dt+ kx = 0⇐⇒ d2x
dt2+
c
m
dx
dt+k
mx = 0
⇐⇒ d2x
dt2+ 2b
dx
dt+ a2x = 0, donde 2b =
c
m⇐⇒ b =
c
2my a2 =
k
m
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Tipo 2 : Vibraciones amortiguadas
Ocurren cuando se considera el efecto adicional de una fuerza de amor-tiguacion. (Debido al medio en que se desplaza la cuerda).
Fa = −cdxdt, c > 0: c: Mide la resistencia del medio.
Luego, la nueva ecuacion es:
md2x
dt2= FR + Fa ⇐⇒ m
d2x
dt2+ kx+ c
dx
dt= 0
⇐⇒ md2x
dt2+ c
dx
dt+ kx = 0⇐⇒ d2x
dt2+
c
m
dx
dt+k
mx = 0
⇐⇒ d2x
dt2+ 2b
dx
dt+ a2x = 0, donde 2b =
c
m⇐⇒ b =
c
2my a2 =
k
m
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Tipo 2 : Vibraciones amortiguadas
Ocurren cuando se considera el efecto adicional de una fuerza de amor-tiguacion. (Debido al medio en que se desplaza la cuerda).
Fa = −cdxdt, c > 0: c: Mide la resistencia del medio.
Luego, la nueva ecuacion es:
md2x
dt2= FR + Fa ⇐⇒ m
d2x
dt2+ kx+ c
dx
dt= 0
⇐⇒ md2x
dt2+ c
dx
dt+ kx = 0⇐⇒ d2x
dt2+
c
m
dx
dt+k
mx = 0
⇐⇒ d2x
dt2+ 2b
dx
dt+ a2x = 0, donde 2b =
c
m⇐⇒ b =
c
2my a2 =
k
m
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Tipo 2 : Vibraciones amortiguadas
Ocurren cuando se considera el efecto adicional de una fuerza de amor-tiguacion. (Debido al medio en que se desplaza la cuerda).
Fa = −cdxdt, c > 0: c: Mide la resistencia del medio.
Luego, la nueva ecuacion es:
md2x
dt2= FR + Fa ⇐⇒ m
d2x
dt2+ kx+ c
dx
dt= 0
⇐⇒ md2x
dt2+ c
dx
dt+ kx = 0⇐⇒ d2x
dt2+
c
m
dx
dt+k
mx = 0
⇐⇒ d2x
dt2+ 2b
dx
dt+ a2x = 0, donde 2b =
c
m⇐⇒ b =
c
2my a2 =
k
m
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Tipo 2 : Vibraciones amortiguadas
Ocurren cuando se considera el efecto adicional de una fuerza de amor-tiguacion. (Debido al medio en que se desplaza la cuerda).
Fa = −cdxdt, c > 0: c: Mide la resistencia del medio.
Luego, la nueva ecuacion es:
md2x
dt2= FR + Fa ⇐⇒ m
d2x
dt2+ kx+ c
dx
dt= 0
⇐⇒ md2x
dt2+ c
dx
dt+ kx = 0⇐⇒ d2x
dt2+
c
m
dx
dt+k
mx = 0
⇐⇒ d2x
dt2+ 2b
dx
dt+ a2x = 0, donde 2b =
c
m⇐⇒ b =
c
2my a2 =
k
m
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Tipo 2 : Vibraciones amortiguadas
Ocurren cuando se considera el efecto adicional de una fuerza de amor-tiguacion. (Debido al medio en que se desplaza la cuerda).
Fa = −cdxdt, c > 0: c: Mide la resistencia del medio.
Luego, la nueva ecuacion es:
md2x
dt2= FR + Fa ⇐⇒ m
d2x
dt2+ kx+ c
dx
dt= 0
⇐⇒ md2x
dt2+ c
dx
dt+ kx = 0⇐⇒ d2x
dt2+
c
m
dx
dt+k
mx = 0
⇐⇒ d2x
dt2+ 2b
dx
dt+ a2x = 0, donde 2b =
c
m⇐⇒ b =
c
2my a2 =
k
m
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Vibraciones amortiguadas
La ecuacion auxiliar: λ2 + 2bλ+ a2 = 0
λ1,2 =−2b±
√4b2 − 4a2
2=−2b± 2
√b2 − a2
2= −b±
√b2 − a2
La naturaleza de las raices dependen del discriminante√b2 − a2. Consid-
eremos los siguientes casos:
a) Si b2−a2 > 0⇐⇒ b > a: La fuerza de friccion debida a la viscocidades grande en comparacion con la rapidez del resorte. En este casoλ1, λ2 ∈ R y λ1 6= λ2.
x1(t) = eλ1t, x2(t) = eλ2t, y, x(t) = c1eλ1t + c2e
λ2t
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Vibraciones amortiguadas
La ecuacion auxiliar: λ2 + 2bλ+ a2 = 0
λ1,2 =−2b±
√4b2 − 4a2
2=−2b± 2
√b2 − a2
2= −b±
√b2 − a2
La naturaleza de las raices dependen del discriminante√b2 − a2. Consid-
eremos los siguientes casos:
a) Si b2−a2 > 0⇐⇒ b > a: La fuerza de friccion debida a la viscocidades grande en comparacion con la rapidez del resorte. En este casoλ1, λ2 ∈ R y λ1 6= λ2.
x1(t) = eλ1t, x2(t) = eλ2t, y, x(t) = c1eλ1t + c2e
λ2t
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Vibraciones amortiguadas
La ecuacion auxiliar: λ2 + 2bλ+ a2 = 0
λ1,2 =−2b±
√4b2 − 4a2
2=−2b± 2
√b2 − a2
2= −b±
√b2 − a2
La naturaleza de las raices dependen del discriminante√b2 − a2. Consid-
eremos los siguientes casos:
a) Si b2−a2 > 0⇐⇒ b > a: La fuerza de friccion debida a la viscocidades grande en comparacion con la rapidez del resorte. En este casoλ1, λ2 ∈ R y λ1 6= λ2.
x1(t) = eλ1t, x2(t) = eλ2t, y, x(t) = c1eλ1t + c2e
λ2t
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Vibraciones amortiguadas
La ecuacion auxiliar: λ2 + 2bλ+ a2 = 0
λ1,2 =−2b±
√4b2 − 4a2
2=−2b± 2
√b2 − a2
2= −b±
√b2 − a2
La naturaleza de las raices dependen del discriminante√b2 − a2. Consid-
eremos los siguientes casos:
a) Si b2−a2 > 0⇐⇒ b > a: La fuerza de friccion debida a la viscocidades grande en comparacion con la rapidez del resorte. En este casoλ1, λ2 ∈ R y λ1 6= λ2.
x1(t) = eλ1t, x2(t) = eλ2t, y, x(t) = c1eλ1t + c2e
λ2t
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Vibraciones amortiguadas
Como x(0) = xo y x′(0) = v(0) = vo = 0, entonces de:
x(t) = c1eλ1t + c2e
λ2t y x′(t) = c1λ1e
λ1t + c2λ2eλ2t
x(0) = c1 + c2 = xo y x′(0) = v(0) = c1λ1 + c2λ2 = 0
{c1 + c2 = xo −→ (−λ1) −→ −c1λ1 − c2λ2 = −λ1xo
c1λ1 + c2λ2 = 0 −→ (1) −→ c1λ1 + c2λ2 = 0
(λ2 − λ1)c2 = −λ1xo, c2 =−λ1xoλ2 − λ1
=λ1xoλ1 − λ2
c1 = xo − c2 =xo1
+λ1xoλ1 − λ2
=λ1xo − λ2xo + λ1xo
λ1 − λ2=−λ2xoλ1 − λ2−λ2xoλ1 − λ2−λ2xoλ1 − λ2
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Vibraciones amortiguadas
Como x(0) = xo y x′(0) = v(0) = vo = 0, entonces de:
x(t) = c1eλ1t + c2e
λ2t y x′(t) = c1λ1e
λ1t + c2λ2eλ2t
x(0) = c1 + c2 = xo y x′(0) = v(0) = c1λ1 + c2λ2 = 0
{c1 + c2 = xo −→ (−λ1) −→ −c1λ1 − c2λ2 = −λ1xo
c1λ1 + c2λ2 = 0 −→ (1) −→ c1λ1 + c2λ2 = 0
(λ2 − λ1)c2 = −λ1xo, c2 =−λ1xoλ2 − λ1
=λ1xoλ1 − λ2
c1 = xo − c2 =xo1
+λ1xoλ1 − λ2
=λ1xo − λ2xo + λ1xo
λ1 − λ2=−λ2xoλ1 − λ2−λ2xoλ1 − λ2−λ2xoλ1 − λ2
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Vibraciones amortiguadas
Como x(0) = xo y x′(0) = v(0) = vo = 0, entonces de:
x(t) = c1eλ1t + c2e
λ2t y x′(t) = c1λ1e
λ1t + c2λ2eλ2t
x(0) = c1 + c2 = xo y x′(0) = v(0) = c1λ1 + c2λ2 = 0
{c1 + c2 = xo −→ (−λ1) −→ −c1λ1 − c2λ2 = −λ1xo
c1λ1 + c2λ2 = 0 −→ (1) −→ c1λ1 + c2λ2 = 0
(λ2 − λ1)c2 = −λ1xo, c2 =−λ1xoλ2 − λ1
=λ1xoλ1 − λ2
c1 = xo − c2 =xo1
+λ1xoλ1 − λ2
=λ1xo − λ2xo + λ1xo
λ1 − λ2=−λ2xoλ1 − λ2−λ2xoλ1 − λ2−λ2xoλ1 − λ2
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Vibraciones amortiguadas
Como x(0) = xo y x′(0) = v(0) = vo = 0, entonces de:
x(t) = c1eλ1t + c2e
λ2t y x′(t) = c1λ1e
λ1t + c2λ2eλ2t
x(0) = c1 + c2 = xo y x′(0) = v(0) = c1λ1 + c2λ2 = 0
{c1 + c2 = xo −→ (−λ1) −→ −c1λ1 − c2λ2 = −λ1xo
c1λ1 + c2λ2 = 0 −→ (1) −→ c1λ1 + c2λ2 = 0
(λ2 − λ1)c2 = −λ1xo, c2 =−λ1xoλ2 − λ1
=λ1xoλ1 − λ2
c1 = xo − c2 =xo1
+λ1xoλ1 − λ2
=λ1xo − λ2xo + λ1xo
λ1 − λ2=−λ2xoλ1 − λ2−λ2xoλ1 − λ2−λ2xoλ1 − λ2
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Vibraciones amortiguadas
Como x(0) = xo y x′(0) = v(0) = vo = 0, entonces de:
x(t) = c1eλ1t + c2e
λ2t y x′(t) = c1λ1e
λ1t + c2λ2eλ2t
x(0) = c1 + c2 = xo y x′(0) = v(0) = c1λ1 + c2λ2 = 0
{c1 + c2 = xo −→ (−λ1) −→ −c1λ1 − c2λ2 = −λ1xo
c1λ1 + c2λ2 = 0 −→ (1) −→ c1λ1 + c2λ2 = 0
(λ2 − λ1)c2 = −λ1xo, c2 =−λ1xoλ2 − λ1
=λ1xoλ1 − λ2
c1 = xo − c2 =xo1
+λ1xoλ1 − λ2
=λ1xo − λ2xo + λ1xo
λ1 − λ2=−λ2xoλ1 − λ2−λ2xoλ1 − λ2−λ2xoλ1 − λ2
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Vibraciones amortiguadas
Como x(0) = xo y x′(0) = v(0) = vo = 0, entonces de:
x(t) = c1eλ1t + c2e
λ2t y x′(t) = c1λ1e
λ1t + c2λ2eλ2t
x(0) = c1 + c2 = xo y x′(0) = v(0) = c1λ1 + c2λ2 = 0
{c1 + c2 = xo −→ (−λ1) −→ −c1λ1 − c2λ2 = −λ1xo
c1λ1 + c2λ2 = 0 −→ (1) −→ c1λ1 + c2λ2 = 0
(λ2 − λ1)c2 = −λ1xo, c2 =−λ1xoλ2 − λ1
=λ1xoλ1 − λ2
c1 = xo − c2 =xo1
+λ1xoλ1 − λ2
=λ1xo − λ2xo + λ1xo
λ1 − λ2=−λ2xoλ1 − λ2−λ2xoλ1 − λ2−λ2xoλ1 − λ2
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Vibraciones amortiguadas
Como x(0) = xo y x′(0) = v(0) = vo = 0, entonces de:
x(t) = c1eλ1t + c2e
λ2t y x′(t) = c1λ1e
λ1t + c2λ2eλ2t
x(0) = c1 + c2 = xo y x′(0) = v(0) = c1λ1 + c2λ2 = 0
{c1 + c2 = xo −→ (−λ1) −→ −c1λ1 − c2λ2 = −λ1xo
c1λ1 + c2λ2 = 0 −→ (1) −→ c1λ1 + c2λ2 = 0
(λ2 − λ1)c2 = −λ1xo, c2 =−λ1xoλ2 − λ1
=λ1xoλ1 − λ2
c1 = xo − c2 =xo1
+λ1xoλ1 − λ2
=λ1xo − λ2xo + λ1xo
λ1 − λ2=−λ2xoλ1 − λ2−λ2xoλ1 − λ2−λ2xoλ1 − λ2
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Vibraciones amortiguadas
Reemplazando los valores anteriores en la solucion general, obtenemos:
x(t) =−λ2xoλ1 − λ2
eλ1t +λ1xoλ1 − λ2
eλ2t
x(t) =xo
λ1 − λ2[λ1e
λ2t − λ2eλ1t], λ1 6= λ2
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Vibraciones amortiguadas
Reemplazando los valores anteriores en la solucion general, obtenemos:
x(t) =−λ2xoλ1 − λ2
eλ1t +λ1xoλ1 − λ2
eλ2t
x(t) =xo
λ1 − λ2[λ1e
λ2t − λ2eλ1t], λ1 6= λ2
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Vibraciones amortiguadas
Reemplazando los valores anteriores en la solucion general, obtenemos:
x(t) =−λ2xoλ1 − λ2
eλ1t +λ1xoλ1 − λ2
eλ2t
x(t) =xo
λ1 − λ2[λ1e
λ2t − λ2eλ1t], λ1 6= λ2
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Vibraciones amortiguadas
b) Si b2 − a2 = 0⇐⇒ b = a, esto significa la viscocidad disminuye.λ1 = λ2 = −b = −a = λ.x1(t) = e−at, x2(t) = te−at, x(t) = c1e
−at + c2te−at
x′(t) = −ac1e−at+ c2e
−at− ac2te−at = −ac1e−at+ c2e−at(1− at)
Aplicando las condiciones iniciales:x(0) = c1 + c2(0) = xo, c1 = xox
′(0) = −ac1 + c2 = −axo + c2 = 0, c2 = axoc2 = axoc2 = axo
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Vibraciones amortiguadas
b) Si b2 − a2 = 0⇐⇒ b = a, esto significa la viscocidad disminuye.λ1 = λ2 = −b = −a = λ.x1(t) = e−at, x2(t) = te−at, x(t) = c1e
−at + c2te−at
x′(t) = −ac1e−at+ c2e
−at− ac2te−at = −ac1e−at+ c2e−at(1− at)
Aplicando las condiciones iniciales:x(0) = c1 + c2(0) = xo, c1 = xox
′(0) = −ac1 + c2 = −axo + c2 = 0, c2 = axoc2 = axoc2 = axo
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Vibraciones amortiguadas
b) Si b2 − a2 = 0⇐⇒ b = a, esto significa la viscocidad disminuye.λ1 = λ2 = −b = −a = λ.x1(t) = e−at, x2(t) = te−at, x(t) = c1e
−at + c2te−at
x′(t) = −ac1e−at+ c2e
−at− ac2te−at = −ac1e−at+ c2e−at(1− at)
Aplicando las condiciones iniciales:x(0) = c1 + c2(0) = xo, c1 = xox
′(0) = −ac1 + c2 = −axo + c2 = 0, c2 = axoc2 = axoc2 = axo
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Vibraciones amortiguadas
b) Si b2 − a2 = 0⇐⇒ b = a, esto significa la viscocidad disminuye.λ1 = λ2 = −b = −a = λ.x1(t) = e−at, x2(t) = te−at, x(t) = c1e
−at + c2te−at
x′(t) = −ac1e−at+ c2e
−at− ac2te−at = −ac1e−at+ c2e−at(1− at)
Aplicando las condiciones iniciales:
x(0) = c1 + c2(0) = xo, c1 = xox
′(0) = −ac1 + c2 = −axo + c2 = 0, c2 = axoc2 = axoc2 = axo
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Vibraciones amortiguadas
b) Si b2 − a2 = 0⇐⇒ b = a, esto significa la viscocidad disminuye.λ1 = λ2 = −b = −a = λ.x1(t) = e−at, x2(t) = te−at, x(t) = c1e
−at + c2te−at
x′(t) = −ac1e−at+ c2e
−at− ac2te−at = −ac1e−at+ c2e−at(1− at)
Aplicando las condiciones iniciales:x(0) = c1 + c2(0) = xo, c1 = xo
x′(0) = −ac1 + c2 = −axo + c2 = 0, c2 = axoc2 = axoc2 = axo
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Vibraciones amortiguadas
b) Si b2 − a2 = 0⇐⇒ b = a, esto significa la viscocidad disminuye.λ1 = λ2 = −b = −a = λ.x1(t) = e−at, x2(t) = te−at, x(t) = c1e
−at + c2te−at
x′(t) = −ac1e−at+ c2e
−at− ac2te−at = −ac1e−at+ c2e−at(1− at)
Aplicando las condiciones iniciales:x(0) = c1 + c2(0) = xo, c1 = xox
′(0) = −ac1 + c2 = −axo + c2 = 0, c2 = axoc2 = axoc2 = axo
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Vibraciones amortiguadas
x(t) = xoe−at + axote
−at = xoe−at [1 + at]
c) Si b2 − a2 < 0⇐⇒ b < a. En este caso se hace disminuir la viscoci-dad para cualquier cantidad por pequena que sea. El movimiento esvibratorio y decimos que esta sub-amortiguado.
λ1 = −b±√a2 − b2i = −b± αi, α =
√a2 − b2
x1(t) = e−bt cos(αt), x2(t) = e−bt sin(αt)
x(t) = c1e−bt cos(αt) + c2e
−bt sin(αt)
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Vibraciones amortiguadas
x(t) = xoe−at + axote
−at = xoe−at [1 + at]
c) Si b2 − a2 < 0⇐⇒ b < a. En este caso se hace disminuir la viscoci-dad para cualquier cantidad por pequena que sea. El movimiento esvibratorio y decimos que esta sub-amortiguado.
λ1 = −b±√a2 − b2i = −b± αi, α =
√a2 − b2
x1(t) = e−bt cos(αt), x2(t) = e−bt sin(αt)
x(t) = c1e−bt cos(αt) + c2e
−bt sin(αt)
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Vibraciones amortiguadas
x(t) = xoe−at + axote
−at = xoe−at [1 + at]
c) Si b2 − a2 < 0⇐⇒ b < a. En este caso se hace disminuir la viscoci-dad para cualquier cantidad por pequena que sea. El movimiento esvibratorio y decimos que esta sub-amortiguado.
λ1 = −b±√a2 − b2i = −b± αi, α =
√a2 − b2
x1(t) = e−bt cos(αt), x2(t) = e−bt sin(αt)
x(t) = c1e−bt cos(αt) + c2e
−bt sin(αt)
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Vibraciones amortiguadas
x(t) = xoe−at + axote
−at = xoe−at [1 + at]
c) Si b2 − a2 < 0⇐⇒ b < a. En este caso se hace disminuir la viscoci-dad para cualquier cantidad por pequena que sea. El movimiento esvibratorio y decimos que esta sub-amortiguado.
λ1 = −b±√a2 − b2i = −b± αi, α =
√a2 − b2
x1(t) = e−bt cos(αt), x2(t) = e−bt sin(αt)
x(t) = c1e−bt cos(αt) + c2e
−bt sin(αt)
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Vibraciones amortiguadas
x(t) = xoe−at + axote
−at = xoe−at [1 + at]
c) Si b2 − a2 < 0⇐⇒ b < a. En este caso se hace disminuir la viscoci-dad para cualquier cantidad por pequena que sea. El movimiento esvibratorio y decimos que esta sub-amortiguado.
λ1 = −b±√a2 − b2i = −b± αi, α =
√a2 − b2
x1(t) = e−bt cos(αt), x2(t) = e−bt sin(αt)
x(t) = c1e−bt cos(αt) + c2e
−bt sin(αt)
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Vibraciones amortiguadas
x(t) = xoe−at + axote
−at = xoe−at [1 + at]
c) Si b2 − a2 < 0⇐⇒ b < a. En este caso se hace disminuir la viscoci-dad para cualquier cantidad por pequena que sea. El movimiento esvibratorio y decimos que esta sub-amortiguado.
λ1 = −b±√a2 − b2i = −b± αi, α =
√a2 − b2
x1(t) = e−bt cos(αt), x2(t) = e−bt sin(αt)
x(t) = c1e−bt cos(αt) + c2e
−bt sin(αt)
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Vibraciones amortiguadas
Aplicando las condiciones iniciales x(0) = xo; x′(0) = v(0) = vo = 0
x(t) = c1e−bt cos(αt) + c2e
−bt sin(αt) yx
′(t) = −bc1e−bt cos(αt)−αc1e−bt sin(αt)−bc2e−bt sin(αt)+αc2e−bt cos(αt)
x(0) = c1 + 0.c2 = xo ⇐⇒ c1 = xo
x′(0) = −bc1 + αc2 = 0; −bxo + αc2 = 0; αc2 = bxo =
b
αxo
La solucion particular es de la forma:
x(t) = xoe−bt cos(αt) +
b
αxoe
−bt sin(αt)
x(t) =xoαe−bt [α cos(αt) + b sin(αt)]
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Vibraciones amortiguadas
Aplicando las condiciones iniciales x(0) = xo; x′(0) = v(0) = vo = 0
x(t) = c1e−bt cos(αt) + c2e
−bt sin(αt) yx
′(t) = −bc1e−bt cos(αt)−αc1e−bt sin(αt)−bc2e−bt sin(αt)+αc2e−bt cos(αt)
x(0) = c1 + 0.c2 = xo ⇐⇒ c1 = xo
x′(0) = −bc1 + αc2 = 0; −bxo + αc2 = 0; αc2 = bxo =
b
αxo
La solucion particular es de la forma:
x(t) = xoe−bt cos(αt) +
b
αxoe
−bt sin(αt)
x(t) =xoαe−bt [α cos(αt) + b sin(αt)]
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Vibraciones amortiguadas
Aplicando las condiciones iniciales x(0) = xo; x′(0) = v(0) = vo = 0
x(t) = c1e−bt cos(αt) + c2e
−bt sin(αt) y
x′(t) = −bc1e−bt cos(αt)−αc1e−bt sin(αt)−bc2e−bt sin(αt)+αc2e−bt cos(αt)
x(0) = c1 + 0.c2 = xo ⇐⇒ c1 = xo
x′(0) = −bc1 + αc2 = 0; −bxo + αc2 = 0; αc2 = bxo =
b
αxo
La solucion particular es de la forma:
x(t) = xoe−bt cos(αt) +
b
αxoe
−bt sin(αt)
x(t) =xoαe−bt [α cos(αt) + b sin(αt)]
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Vibraciones amortiguadas
Aplicando las condiciones iniciales x(0) = xo; x′(0) = v(0) = vo = 0
x(t) = c1e−bt cos(αt) + c2e
−bt sin(αt) yx
′(t) = −bc1e−bt cos(αt)−αc1e−bt sin(αt)−bc2e−bt sin(αt)+αc2e−bt cos(αt)
x(0) = c1 + 0.c2 = xo ⇐⇒ c1 = xo
x′(0) = −bc1 + αc2 = 0; −bxo + αc2 = 0; αc2 = bxo =
b
αxo
La solucion particular es de la forma:
x(t) = xoe−bt cos(αt) +
b
αxoe
−bt sin(αt)
x(t) =xoαe−bt [α cos(αt) + b sin(αt)]
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Vibraciones amortiguadas
Aplicando las condiciones iniciales x(0) = xo; x′(0) = v(0) = vo = 0
x(t) = c1e−bt cos(αt) + c2e
−bt sin(αt) yx
′(t) = −bc1e−bt cos(αt)−αc1e−bt sin(αt)−bc2e−bt sin(αt)+αc2e−bt cos(αt)
x(0) = c1 + 0.c2 = xo ⇐⇒ c1 = xo
x′(0) = −bc1 + αc2 = 0; −bxo + αc2 = 0; αc2 = bxo =
b
αxo
La solucion particular es de la forma:
x(t) = xoe−bt cos(αt) +
b
αxoe
−bt sin(αt)
x(t) =xoαe−bt [α cos(αt) + b sin(αt)]
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Vibraciones amortiguadas
Aplicando las condiciones iniciales x(0) = xo; x′(0) = v(0) = vo = 0
x(t) = c1e−bt cos(αt) + c2e
−bt sin(αt) yx
′(t) = −bc1e−bt cos(αt)−αc1e−bt sin(αt)−bc2e−bt sin(αt)+αc2e−bt cos(αt)
x(0) = c1 + 0.c2 = xo ⇐⇒ c1 = xo
x′(0) = −bc1 + αc2 = 0; −bxo + αc2 = 0; αc2 = bxo =
b
αxo
La solucion particular es de la forma:
x(t) = xoe−bt cos(αt) +
b
αxoe
−bt sin(αt)
x(t) =xoαe−bt [α cos(αt) + b sin(αt)]
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Vibraciones amortiguadas
Aplicando las condiciones iniciales x(0) = xo; x′(0) = v(0) = vo = 0
x(t) = c1e−bt cos(αt) + c2e
−bt sin(αt) yx
′(t) = −bc1e−bt cos(αt)−αc1e−bt sin(αt)−bc2e−bt sin(αt)+αc2e−bt cos(αt)
x(0) = c1 + 0.c2 = xo ⇐⇒ c1 = xo
x′(0) = −bc1 + αc2 = 0; −bxo + αc2 = 0; αc2 = bxo =
b
αxo
La solucion particular es de la forma:
x(t) = xoe−bt cos(αt) +
b
αxoe
−bt sin(αt)
x(t) =xoαe−bt [α cos(αt) + b sin(αt)]
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Vibraciones amortiguadas
Aplicando las condiciones iniciales x(0) = xo; x′(0) = v(0) = vo = 0
x(t) = c1e−bt cos(αt) + c2e
−bt sin(αt) yx
′(t) = −bc1e−bt cos(αt)−αc1e−bt sin(αt)−bc2e−bt sin(αt)+αc2e−bt cos(αt)
x(0) = c1 + 0.c2 = xo ⇐⇒ c1 = xo
x′(0) = −bc1 + αc2 = 0; −bxo + αc2 = 0; αc2 = bxo =
b
αxo
La solucion particular es de la forma:
x(t) = xoe−bt cos(αt) +
b
αxoe
−bt sin(αt)
x(t) =xoαe−bt [α cos(αt) + b sin(αt)]
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Vibraciones amortiguadas
Aplicando las condiciones iniciales x(0) = xo; x′(0) = v(0) = vo = 0
x(t) = c1e−bt cos(αt) + c2e
−bt sin(αt) yx
′(t) = −bc1e−bt cos(αt)−αc1e−bt sin(αt)−bc2e−bt sin(αt)+αc2e−bt cos(αt)
x(0) = c1 + 0.c2 = xo ⇐⇒ c1 = xo
x′(0) = −bc1 + αc2 = 0; −bxo + αc2 = 0; αc2 = bxo =
b
αxo
La solucion particular es de la forma:
x(t) = xoe−bt cos(αt) +
b
αxoe
−bt sin(αt)
x(t) =xoαe−bt [α cos(αt) + b sin(αt)]
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Vibraciones amortiguadas
Ahora:
α cos(αt) + b sin(αt) = 1 cos(αt− θ)= cos(αt). cos θ − sin(αt). sin θ
m
La igualdad anterior es cierta si y solo siα = cos θ; sin θ = −b | α2 = cos2 θ; sin2 θ = b2, α2 + b2 = 12
− bα
=sin θ
cos θ= tan θ | θ = tan−1
(− bα
)
x(t) =xoαe−bt [cos(αt− θ)] | x(t) =
xo√a2 + b2
αe−bt [cos(αt− θ)]x(t) =
xo√a2 + b2
αe−bt [cos(αt− θ)]x(t) =
xo√a2 + b2
αe−bt [cos(αt− θ)]
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Vibraciones amortiguadas
Ahora:
α cos(αt) + b sin(αt) = 1 cos(αt− θ)= cos(αt). cos θ − sin(αt). sin θ
m
La igualdad anterior es cierta si y solo siα = cos θ; sin θ = −b | α2 = cos2 θ; sin2 θ = b2, α2 + b2 = 12
− bα
=sin θ
cos θ= tan θ | θ = tan−1
(− bα
)
x(t) =xoαe−bt [cos(αt− θ)] | x(t) =
xo√a2 + b2
αe−bt [cos(αt− θ)]x(t) =
xo√a2 + b2
αe−bt [cos(αt− θ)]x(t) =
xo√a2 + b2
αe−bt [cos(αt− θ)]
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Vibraciones amortiguadas
Ahora:
α cos(αt) + b sin(αt) = 1 cos(αt− θ)= cos(αt). cos θ − sin(αt). sin θ
m
La igualdad anterior es cierta si y solo siα = cos θ; sin θ = −b | α2 = cos2 θ; sin2 θ = b2, α2 + b2 = 12
− bα
=sin θ
cos θ= tan θ | θ = tan−1
(− bα
)
x(t) =xoαe−bt [cos(αt− θ)] | x(t) =
xo√a2 + b2
αe−bt [cos(αt− θ)]x(t) =
xo√a2 + b2
αe−bt [cos(αt− θ)]x(t) =
xo√a2 + b2
αe−bt [cos(αt− θ)]
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Vibraciones amortiguadas
Ahora:
α cos(αt) + b sin(αt) = 1 cos(αt− θ)= cos(αt). cos θ − sin(αt). sin θ
m
La igualdad anterior es cierta si y solo siα = cos θ; sin θ = −b | α2 = cos2 θ; sin2 θ = b2, α2 + b2 = 12
− bα
=sin θ
cos θ= tan θ | θ = tan−1
(− bα
)
x(t) =xoαe−bt [cos(αt− θ)] | x(t) =
xo√a2 + b2
αe−bt [cos(αt− θ)]x(t) =
xo√a2 + b2
αe−bt [cos(αt− θ)]x(t) =
xo√a2 + b2
αe−bt [cos(αt− θ)]
Prof. Jorge Enrique Trivino - Universidad De La Amazonia E.D.O
Vibraciones amortiguadas
Ahora:
α cos(αt) + b sin(αt) = 1 cos(αt− θ)= cos(αt). cos θ − sin(αt). sin θ
m
La igualdad anterior es cierta si y solo siα = cos θ; sin θ = −b | α2 = cos2 θ; sin2 θ = b2, α2 + b2 = 12
− bα
=sin θ
cos θ= tan θ | θ = tan−1
(− bα
)
x(t) =xoαe−bt [cos(αt− θ)] | x(t) =
xo√a2 + b2
αe−bt [cos(αt− θ)]x(t) =
xo√a2 + b2
αe−bt [cos(αt− θ)]x(t) =
xo√a2 + b2
αe−bt [cos(αt− θ)]
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Vibraciones amortiguadas
Ahora:
α cos(αt) + b sin(αt) = 1 cos(αt− θ)= cos(αt). cos θ − sin(αt). sin θ
m
La igualdad anterior es cierta si y solo siα = cos θ; sin θ = −b | α2 = cos2 θ; sin2 θ = b2, α2 + b2 = 12
− bα
=sin θ
cos θ= tan θ | θ = tan−1
(− bα
)
x(t) =xoαe−bt [cos(αt− θ)] | x(t) =
xo√a2 + b2
αe−bt [cos(αt− θ)]x(t) =
xo√a2 + b2
αe−bt [cos(αt− θ)]x(t) =
xo√a2 + b2
αe−bt [cos(αt− θ)]
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Vibraciones amortiguadas
Como αT = 2π, T =2π
α=
2π√a2 − b2
=2π√
k
m− c2
4m2
, y
f =1
T=
α
2π=
1
2π
√a2 − b2 =
1
2π
√k
m− c2
4m2
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Vibraciones amortiguadas
Como αT = 2π, T =2π
α=
2π√a2 − b2
=2π√
k
m− c2
4m2
, y
f =1
T=
α
2π=
1
2π
√a2 − b2 =
1
2π
√k
m− c2
4m2
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Vibraciones amortiguadas
Como αT = 2π, T =2π
α=
2π√a2 − b2
=2π√
k
m− c2
4m2
, y
f =1
T=
α
2π=
1
2π
√a2 − b2 =
1
2π
√k
m− c2
4m2
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Bibliografia
• Dennis G. Zill. Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modela-do. Editorial Thomson. Sexta Edicion.
• Rainville - Bedien. Ecuaciones Diferenciales. Ed. Prentice Hill. OctaveEdicion 1998.
• R. Kent Nagle, Eduard B. Saff. Fundamentos de Ecuaciones Diferen-ciales. Ed. Addison Wesley. Iberoamericana 1998.
• J. E. Trivino M. Ecuaciones Diferenciales. Libro en proceso de edicion.
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