CARACTERIZACIONES Y ALGORITMOS DE
RESOLUCIÓN
Palacin Palacios Daniel www.palacinp.es.tl
ECUACIONES DE VARIABLES SEPARABLES
•Caracterización
Si la condición necesaria y suficiente para que la ecuación diferencial ordinaria de primer orden sea de variables separables es que la función verifique la relación.
(1.1)
GUÍA PARA EL ALUMNO
1.
2.
3.
4.
5. 6. 7. 8. 9.
EjerciciosComprobar que el programa anterior resuelva correctamente las siguientes ecuaciones:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
Solución:
Solución:
Solución:
Solución:
Solución:
Solución:
Solución:
Solución:
Solución:
Solución:
No es de variables separables
No es de variables separables
2.2. Guión para el alumno
Clear["Global`*"]; f[x_,y_] = Input["Introduce la función f(x,y) que aparece en la ecuación y' = f(x,y)"];
ux_, y_ FullSimplifyxfx, yyfx, y;h[w]=FullSimplify[f[x,w-u[x,y]x]];
2.3. Ejercicios
Comprobar que el programa anterior resuelva correctamente las siguientes ecuaciones:
3. Ecuaciones homogéneas
3.1. Caracterización
La condición necesaria y suficiente para que la ecuación diferencial ordinaria de primer orden y´ = f(x, y) sea homogénea es que la función f verifique la relación.
(3.1)
Vamos a demostrar que, en defecto, la condición (3.1) caracteriza las ecuaciones homogéneas.
3.2. Guión para el alumno
Clear["Global`*"]; f[x_,y_] = Input["Introduce la función f(x,y) que aparece en la ecuación y'= f(x,y)"];
g[u_]=FullSimplify[f[1,u]];
3.3 EjerciciosComprobar que el programa anterior resuelve correctamente las siguientes ecuaciones.
4 Ecuaciones lineales4.1 Caracterización la condición necesaria y suficiente para que la
ecuación diferencial ordinaria de primer orden sea lineal es que la función verifique la relación.
(4.1)
Vamos a demostrar que, en efecto la condición (4.1) caracteriza las ecuaciones lineales.
4.2 Guion para el alumno
1º
2º
3º
4º
4.3 EjerciciosComprobar que el programa anterior resuelve correctamente las siguientes
ecuaciones.
5 Ecuaciones de Bernoulli
5.1 Caracterización
La condición necesaria y suficiente para que la ecuación diferencial ordinaria de primer orden sea de Bernoulli es que la función verifique la relación
(5.1)
Donde hemos designado
Teniendo en cuenta que la condición (5.1) implica, por un lado, que y, por otro lado, que , vamos a demostrar que, en efecto dicha condición caracteriza las ecuaciones de Bernoulli.
5.2 Guion para el alumno
1º
2º
PASO :1 RECONOCIENDO NUESTRA ALFA
PASO :2
PASO :3
En el programa quedaría de la siguiente manera
Ejercicios
(6( (6.1)
6. ECUACIONES DE RICCATI
6.1. CaracterizaciónLa condición necesaria y suficiente para
que la ecuación diferencial ordinaria de primer orden = f(x, y) sea de Riccati es que la función f verifique la relación
Vamos a demostrar que ,en efecto, la relación (6.1) caracteriza las ecuaciones de Riccati.
3fx, yy3
0.
En primer lugar debemos introducir la ecuacion que deseamos resolver
6.3. Ejercicios Comprobar que el programa anterior resuelve correctamente las siguientes ecuaciones, teniendo en cuenta las soluciones particulares que se proponen en cada apartado:
))(2(' yxyxy
xxc
y
1
1
Con
1)
solución:
)1)(1(' yxy xxy )(1
3)
2)
xxy 1)(1
Con
solución: Es de Riccati , pero y1(x) =x no es una solución particular
23 )(' yxxx
yy Con xxy )(1
solución:
5
51
xcxy
22' 2 xyyy4)
)(
22
2
xErfic
exy
x
Con
solución:
Xxy 2)(1
42 3' yyxy 5)
Con
solución: No es de Riccati
6)
7)
8)
9)
10)
Con
Con
Con
Con
solución: Es de Riccati , pero y1(x)=cosx no es una solución particular
solución:
solución:
solución:
solución:
2
2
4' y
x
y
xy
5
4
4
)4(2
xcx
xcy
xxy
2)(1
21' xyyxy 1)(1 xy
14
1
)2))2/1(((412
xErficey
xx
22 )21(' yyeey xx xexy )(1
1)1( xx ceey
ytgxxyy 22 sec' tgxxy )(1
)))2/()2/cos(
)2/()2/cos(ln((sec
xsenx
xsenxcxtgxy
ytgxxy cos' xxy cos)(1
7. Ecuaciones exactas 7.1. Caracterización
La condición necesaria y suficiente para que la ecuación diferencial ordinaria de primer
orden sea exacta es que las funciones P y Q sean de
clase sobre una región elemental , y que verifique la relación
0),(),( dyyxQdxyxP
1c 2RD
X
Q
Y
P
(7.1)
Sobre la región D
2RDRba ],[:1 Rba ],[:2 2c
Recordamos que una región se denomina de tipo 1 si existen dos funciones
y , ambas de clase a trozos sobre [a, b],
tales que la región D puede describirse mediante
]},[)()(:),{( 21 baxxyxRyxD
Una región se denomina de tipo 2 si existen dos funciones y
, ambas de clase a trozos sobre [a, b], tales que la región D puede describirse mediante :
2RD Rba ],[:1
Rba ],[:2 2c
]},[)()(:),{( 21 bayyxyRyxD
7.2 Guión para el alumno : En primer lugar debemos introducir la ecuación que deseamos resolver:
Clear ["Global '*"];P [x_, y_]=Input ["introduce la función P(x, y) que aparece en la ecuación P(x, y) dx+Q(x, y) dy=0"];Q [x_,y_]=Input["Introduce la función Q(x ,y) que aparece en la ecuación P(x, y) dx+Q(x, y) dy=0"];
Ejercicios:Comprobar que el programa anterior resuelve correctamente las siguientes ecuaciones:
0)35()52( 2 dyyxdxyx solución: cyxyx 32 5
0)2()sec2( 22 dyyxdxxxy ctgxyxy )( 2
0)2()1( dyxedxxyeye xxx cxyeyx x 2
solución:
solución:
1)
2)
3)
a=FullSimplify [ ];dxyxp ],[
b=FullSimplify [ ] ;
c=FullSimplify [ ] ;
d=FullSimplify [ a+c ] ;
ayxQ y],[
bdy
Print[“La solución de (“,P[x,y],”)dx+(“,Q[x,y],”)dy=0 es “,d,”=c”]]
0)()( 2332 dyyxdxyx cyx 3/)( 33
0)1()3( 2 dyxdxyx cyxxy )( 3
0)2()3( dyxdxyx
0)ln()/( 23 dyxydxxyx cxyyx ln3/4/( 34
0)1()2( 2 dyxdxxy cyx )1( 2
0)()( 22 dytgyxdxxy
0))1(()cos( 22 dyyxdxxsenxxy cxyx 222 cos)1(
solución:
solución: No es exacta
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
solución:
solución:
solución:
solución:
solución: No es exacta
8. Ecuaciones con factores integrantes 8.1 caracterización En general la ecuación diferencial P(x, y) dx+Q(x, y) dy=0 no es exacta, pero multiplicando la ecuación por un factor adecuado , de modo que quede
, se puede transformar en una ecuación exacta.
),( yx
odyyxQyxdxyxPyx ),(),(),(),(
)(1 Dc
),( yx )(1 Dc
Dada la ecuación P(x, y) dx+Q(x, y) dy=0, con P y Q de clase (D es una región
elemental del plano), se dice que la función , también de clase , es
un factor integrante de la ecuación si
Es exacta
0 QdyPdx
La condición necesaria y suficiente para que la función sea un factor
integrante de la ecuación P(x, y) dx+Q(x, y) dy=0 es que se verifique la relación
),( yx
)(x
Q
y
P
yP
xQ
(8.1)
0// yzPxzQ
Por otro lado, si es un factor integrante de Pdx+Qdy=0 , depende de cierta
función , y además se verifica que
Entonces :
),( yxzz
dzzf
ez)(
)(
Guion para el alumno1º
2º
3º
4º
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