Ecuaciones de Saint-Venant en 1D

Las ecuaciones de Saint-Venant en 1D son un conjuntode ecuaciones diferenciales, que modelan los cambios decaudal y nivel de un lquido a lo largo del espacio unidi-mensional y el tiempo de manera no permanente en uncanal a supercie libre o abierto.[1]

El conjunto de ecuaciones puede ser utilizado en ml-tiples contextos como en la transformacin de lluvia enescorrenta en una cuenca para luego ser transitada a tra-vs de una corriente de agua de un ro o de un sistema detuberas, tambin puede ser utilizada para transitar ujosde aguas someras como en los sistemas de irrigacin atravs de un sistema de canales o de ros. En general es-tos procesos se presentan en tres dimensiones pero paramuchas aplicaciones prcticas es suciente utilizar unaaproximacin unidimensional en la direccin de mayorrelevancia que usualmente longitudinal al canal o direc-cin de ujo.[1][2]

1 Historia

Las ecuaciones de Saint-Venant fueron desarrolladaspor primera vez por el matemtico e ingeniero fran-cs Adhmar Jean Claude Barr de Saint-Venant en1871 en su trabajo Thorie du mouvement non perma-nent des eaux, avec application aux crues des rivires et l'introduction des mares dans leur lit, publicado por laAcademia de Ciencias de Francia,[1] aunque la forma dela ecuacin de continuidad fue publicada en 1848 en sutrabajo tudes thoriques et pratiques sur le mouvementdes eaux courantes.[3]

Las ecuaciones de Saint-Venant pueden ser deducidashoy a partir de las ecuaciones de Navier-Stokes realizan-do un proceso de integracin en dos dimensiones. Sin em-bargo, se desconocen las relaciones histricas que existenen los procesos originales deductivos entre estos dos con-juntos de ecuaciones ya que para muchos el conjunto deecuaciones publicado por George Gabriel Stokes en 1845fue presentado antes por Saint-Venant, en 1843, sieteaos despus de la muerte de Claude-Louis Navier, quiena su vez haba publicado una parte de las bases de estasecuaciones en 1822; de esta manera, Saint-Venant habraencontrado de manera correcta la solucin dos aos antesque Stokes. Sin embargo, por alguna razn su nombre y sutrabajo intermedio no ha sido reconocido para referirse aestas ecuaciones a travs de la historia.[4]

2 Supuestos de las ecuacionesEl desarrollo de las ecuaciones requiere de las siguientessuposiciones:[1]

La profundidad y la velocidad de ujo solamentevara en la direccin longitudinal del canal.

Las variaciones de profundidad y velocidad a lo lar-go del canal se realizan de manera gradual.

El canal es aproximadamente lineal. La pendiente es pequea. El lecho es jo, es decir que no hay erosin ni acre-cin.

La resistencia puede ser calculada a partir de los mo-delos de ujo uniforme permanente.

El uido es incomprensible y de densidad constante.

3 Sistema de ecuacionesEl sistema de ecuaciones de Saint-Venant est compues-to por las ecuaciones de continuidad y las ecuaciones decantidad de movimiento o momentum.[1]

3.1 Ecuacin de continuidadLa ecuacin de continuidad en forma conservativa puedeescribirse en trminos del caudal (Q) y del rea (A) dela siguiente manera:

@Q

@x+@A

@t= 0

O de manera no conservativa en trminos de la velocidadmedia longitudinal (V ) y la profundidad (y) as:

V@y

@x+ y

@V

@x+@y

@t= 0

3.2 Ecuacin de momentumLa ecuacin de momentum en forma conservativa puedeescribirse en trminos del caudal (Q) , rea (A) , pro-fundidad (y) , pendiente del canal (S0) , pendiente defriccin (Sf ) y de la gravedad (g) de la siguiente mane-ra:

1

2 7 REFERENCIAS

1

A

@Q

@t+

1

A

@

@x

Q2

A

+ g

@y

@x g (S0 Sf ) = 0

O de manera no conservativa en trminos de la velocidadmedia longitudinal (V ) as:

@V

@t+ V

@V

@x+ g

@y

@x g (S0 Sf ) = 0

4 Aproximaciones y simplicacio-nes

Debido a que en varios contextos la solucin de las ecua-ciones de Saint-Venant presenta dicultades para encon-trar una respuesta satisfactoria o que en ocasiones no esnecesario utilizar todos los trminos de las ecuacionesexisten tres simplicaciones bsicas conocidas como on-da dinmica, onda difusiva y onda cinemtica, quese diferencian entre s de acuerdo con los trminos de laecuacin demomentum tenidos en cuenta, como se mues-tra a continuacin:

Tambin es posible a partir de la ecuacin de momentumal expresar la pendiente de prdida de energa Sf en fun-cin de los otros trminos, deniendo tres tipos de ujodiferentes como se muestra a continuacin:

4.1 Onda dinmica frente a onda cinem-tica

En principio la aproximacin de la onda dinmica se-ra el mejor modelo ya que utiliza todos los trminos dela ecuacin diferencial de momentum. Sin embargo, en laprctica esto no siempre es cierto pues se ha encontradoque en algunas situaciones las ondas dinmicas se disipanrpidamente dejando como predominantes las ondas ci-nemticas, que viajan a menor velocidad. Otros autoreshan encontrado que para ondas de inundacin el compor-tamiento de la atenuacin de la onda en condiciones realeses ms semejante al caso de la onda cinemtica que al dela onda dinmica ya que la atenuacin es nula o muy baja,como se espera de la solucin de la aproximacin de laonda cinemtica y no de la onda dinmica.[5]

5 Implementaciones en paquetes desoftware

La solucin de las ecuaciones de Saint-Venant en 1D hasido implementada en varias aplicaciones de software co-munes usualmente a travs de mtodos numricos y en

particular por diferencias nitas, entre los ms reconoci-dos se pueden mencionar los siguientes:

HEC-RAS. MIKE 11. Resuelve el modelo de onda dinmica,pero en el caso de condiciones de ujo supercrti-co desprecia el efecto del trmino convectivo de laecuacin de momentum.[6]

EPASWMM. Resuelve el modelo de la onda din-mica completa o la onda cinemtica, y el usuariopuede elegir si desea despreciar totalmente o atenuarel efecto de los trminos incerciales de la ecuacinde momentum.

Autodesk Storm and Sanitary Analysis.

6 Vase tambin Ecuaciones de Navier-Stokes

7 Referencias[1] Chow, Ven Te; Maidment, David R.; Mays, Larry W.

(1994). Captulo 9: Trnsito distribuido de crecientes.Applied Hydrology [Hidrologa Aplicada]. Traducido porJuan G. Saldarriaga. Bogot: McGraw-Hill Interamerica-na S.A. ISBN 958-600-171-7.

[2] Gallica-Math: Rpertoire Bibliographique des SciencesMathmatiques (1894-1912) (en francs). Consultado el30 de junio de 2013.

[3] Chow, Ven Te (1994). Open Channel Hydraulics [Hidru-lica de canales abiertos]. Traducido por Juan G. Salda-rriaga. Bogot: McGraw-Hill Interamericana S.A. ISBN958-600-228-4.

[4] Adhmar Jean Claude Barr de Saint-Venant (en in-gls). Consultado el 30 de junio de 2013.

[5] Ponce, Vctor Miguel. La competencia entre ondas din-micas y cinemticas. Consultado el 3 de julio de 2013.

[6] Universidad del Valle; Corporacin Autonoma Regionaldel Valle del Cauca - CVC. Fase I, Volumen VIII, Mo-delacin matemtica del Ro Cauca tramo Salvajina - LaVirginia, Captulo 4: Modelo matemtico unidimensionalMike 11 (PDF). Proyecto de modelacin del Ro Cauca- PMC Tramo Salvajina - La Virginia. Consultado el 3 dejulio de 2013.

38 Texto e imgenes de origen, colaboradores y licencias8.1 Texto

Ecuaciones de Saint-Venant en 1D Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_de_Saint-Venant_en_1D?oldid=83113977 Cola-boradores: Oblongo, CEM-bot, Davius, Urdangaray, Tecsie, Grillitus, KLBot2, Invadibot y Annimos: 3

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Historia Supuestos de las ecuaciones Sistema de ecuaciones Ecuacin de continuidad Ecuacin de momentum

Aproximaciones y simplificaciones Onda dinmica frente a onda cinemtica

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