Ecuaciones de Ginzburg-Landau
Yohana Bonilla Gutierrez
Universidad del Valle
17 de febrero de 2012
Yohana Bonilla Gutierrez (Univalle) Ginzburg-Landau 17 de febrero de 2012 1 / 15
Recordemos que un superconductor perfecto es un material que exhibe dospropiedades caracterısticas:
? Resistencia electrica cero.? Diamagnetismo perfecto...cuando se enfrıa el material por debajo de una temperatura particular Tc,llamada la temperatura crıtica.
*C.P. Poole, H. A. Farach, R. Creswick and R. Prozorov, Superconductivity (Academic Press. Inc, 2007 2nd ed).
Tipo I: Diamagnetismo perfecto. Efecto Meissner (1933, Meissner yOchsenfeld)
Tipo II: Diamagnetismo de tipo mixto, dando lugar al denominadoestado de vortice. (Alexei Abrikosov, 1950)
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Figura: Curvatura de las lıneas de un campo magnetico aplicado, constante, alrededorde una esfera superconductora.
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Teorıa ψ (Ginzburg y Landau, 1950)
Landau (1937) ⇒ Teorıa de transiciones de fase de segundo orden.
Parametro de orden ⇒ Cantidad fısica que se anula en la fase dealta temperatura. (Ej : magnetizacion espontanea en la transicionferromagnetica).
Parametro de orden varıa continuamente desde cero para T < Tc ⇒Se expande la energıa libre en serie de potencias.
Transicion ferromagnetica en un cristal cubico ⇒ la energıa libre se puedeescribir:
F (M,T ) = F (0, T )+α(M2x +M
2y +M
2z )+
1
2β1(M)2+
1
2β2(MxMy+MxMz+MyMz)
2
(1)
En una primera aproximacion se asume β = cte y una dependencia de α con latemperatura:
α(T ) = α0
(T
Tc− 1
), α0 < 0 (2)
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Teorıa ψ (Ginzburg y Landau, 1950)
Landau (1937) ⇒ Teorıa de transiciones de fase de segundo orden.
Parametro de orden ⇒ Cantidad fısica que se anula en la fase dealta temperatura. (Ej : magnetizacion espontanea en la transicionferromagnetica).
Parametro de orden varıa continuamente desde cero para T < Tc ⇒Se expande la energıa libre en serie de potencias.
Transicion ferromagnetica en un cristal cubico ⇒ la energıa libre se puedeescribir:
F (M,T ) = F (0, T )+α(M2x +M
2y +M
2z )+
1
2β1(M)2+
1
2β2(MxMy+MxMz+MyMz)
2
(1)
En una primera aproximacion se asume β = cte y una dependencia de α con latemperatura:
α(T ) = α0
(T
Tc− 1
), α0 < 0 (2)
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Teorıa ψ (Ginzburg y Landau, 1950)
Parametro de orden ψ(r):
|ψs(r)|2 = ns(r) (3)
Densidad de energıa libre Fs(r):
Fs(r) = FN − α |ψ|2 +1
2β |ψ|4 +
1
2m|(−i~∇− qA/c)|2 −
Ba∫0
M .dBa, (4)
Aporte del campo magnetico a la energıa ⇒ 18πB
2(r)donde B(r) = ∇×A(r).
Fs(r) = FN −α |ψ|2 +1
2β |ψ|4 + 1
2m|(−i~∇− qA/c)|2−
Ba∫0
M .dBa+1
8πB2(r). (5)
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Ecuaciones de Ginzburg-Landau
Minimizacion de Fs(r) ⇒ procedimientos del calculo variacional, por ser una fun-cional.
Minimizamos la energıa libre total∫dV Fs(r) con respecto a ψs(r):
δFs(r) =
[−αψ + β |ψ|2 ψ +
1
2m(−i~∇− qA/c)ψ. (−i~∇− qA/c)
]δψ∗ + c.c.
(6)e integrando por partes, obtenemos∫
dV (∇ψ) (∇δψ∗) = −∫dV(∇2ψ
)δψ∗, (7)
δψ∗ = 0 en la frontera.Finalmente
δ
∫dV Fs(r) =
∫dV δψ∗
[−αψ + β |ψ|2 ψ +
1
2m(−i~∇− qA/c)2 ψ
]+c.c (8)
Primera ecuacion de Ginzburg-Landau[−α+ β |ψ|2 ψ +
1
2m(−i~∇− qA/c)2
]ψ = 0 (9)
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Ecuaciones de Ginzburg-Landau
Minimizacion de Fs(r) ⇒ procedimientos del calculo variacional, por ser una fun-cional.
Minimizamos la energıa libre total∫dV Fs(r) con respecto a ψs(r):
δFs(r) =
[−αψ + β |ψ|2 ψ +
1
2m(−i~∇− qA/c)ψ. (−i~∇− qA/c)
]δψ∗ + c.c.
(6)e integrando por partes, obtenemos∫
dV (∇ψ) (∇δψ∗) = −∫dV(∇2ψ
)δψ∗, (7)
δψ∗ = 0 en la frontera.Finalmente
δ
∫dV Fs(r) =
∫dV δψ∗
[−αψ + β |ψ|2 ψ +
1
2m(−i~∇− qA/c)2 ψ
]+c.c (8)
Primera ecuacion de Ginzburg-Landau[−α+ β |ψ|2 ψ +
1
2m(−i~∇− qA/c)2
]ψ = 0 (9)
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Minimizamos la energıa libre total∫dV Fs(r) con respecto a δA,
conduce a la ley de Ampere:
∇×B =4π
cJ(r) (10)
∇2A = −4π
cj =
2πiq~mc
(Ψ∗∇Ψ−Ψ∇Ψ∗) +4πq2
mc2|Ψ|2 A, (11)
el lado derecho contiene la expresion para la supercorriente
Segunda ecuacion de Ginzburg-Landau
j = − iq~2m
(Ψ∗∇Ψ−Ψ∇Ψ∗)− q2
mcΨ∗ΨA. (12)
⇒ Una expresion identica a la de la densidad de corriente en Mecanica Cuantica.
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Condiciones de frontera
Consideramos el termino de frontera
∝∫δψ∗
(−i~∇− q
cA)ψdσ + c.c (13)
Exigimos que no haya flujo de corriente fuera del superconductor en el vacıo:n.J(r) = 0 donde n es el vector normal a la superficie.
La condicion de frontera natural en la frontera superconductora:(−i~∇− q
cA)ψ∣∣∣n
= 0, (14)
Asegura que no haya flujo de corriente a traves de la superficie.
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Longitud de correlacion
Las ecuaciones de Ginzburg-Landau Ecs. (9), (12) introducen dos longitudescaracterısticas:
Consideramos el caso en ausencia de campo A = 0 y tal que lasvariaciones del parametro de orden de segundo orden sondespreciables β |ψ|2 → 0.
En una dimension Ec. (9)
− ~2
2m
dψ2
dx2= αψ, (15)
Que tiene soluciones del tipo exp(ix/ξ) donde ξ se define como
ξ =(~2/2mα
)1/2(16)
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ξ =~√
2m |α|=
~√2mα′c (Tc − T )
=~τ−1/2√2mα′cTc
= ξ(0)τ−1/2, (17)
donde τ = (Tc − T ) /Tc y ξ(0) = ~/√
2mα′cTc es un radio de correlacioncondicional para T = 0; condicional puesto que la teorıa Ψ, es estrictamenteaplicable solamente en la vecindad de Tc.
ξ(T ) = ξ(0)
(Tc
Tc − T
)1/2
(18)
de modo que las variaciones de Ψ que tienen lugar dentro de la longitudξ(T ) son suaves respecto a ξ(0) si T es cercana a Tc
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Consideremos ahora la longitud de penetracion de un campomagnetico debil (B � Hc) en el superconductor.
Asumimos que |ψ|2 = |ψ0|2 el valor en la ausencia de campo. Entonces laecuacion para la supercorriente se reduce a
J(r) = −(q2/mc
)|ψ0|2A, (19)
que es justamente la ecuacion de la Teorıa de London.
J(r) = −(c/4πλ2
)A, (20)
con la longitud de penetracion
λ2 =mc2
4πq2 |Ψ0|2=
mc2β
4πq2 |α|(21)
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Parametro de Ginzburg-Landau
Hasta el momento se han definido las dos longitudes caracterısticas ξ(T )y λ(T ), que determinan el comportamiento de un superconductor cerca alpunto de transicion. Ambas divergen cuando T → Tc. Se define la razon
κ =λ(T )
ξ(T )(22)
como el parametro de Ginzburg-Landau.Usando las definiciones de ξ(T ) y λ
κ =mc
q2~
(β
2π
)1/2
. (23)
Cuando κ . 1, (λ < ξ) el superconductor es de tipo I, cuando κ & 1,(λ > ξ) el material es del segundo tipo.Se encontro que la separacion exacta entre los dos tipos de superconduc-tores, ocurre para κ = 1/
√2.
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Una aplicacion simple: nucleacion de lasuperconductividad en muestras volumetricas
Consideraremos el problema de la nucleacion de la superconductividad enuna muestra volumetrica, en presencia de un campo H dirigido en la direc-cion z.Un gauge conveniente es:
Ay = Hx (24)
Para esto se despreciara el termino no lineal en la primera ecuacion deGinzburg-Landau, bajo el supuesto de que |Ψ|2 � Ψ2
∞, para un campoexterno determinado. En la aproximacion lineal(
−i~∇− q
cA)2
Ψ = −αΨ, (25)
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Utilizando el resultado conocido, que establece que el flujo magnetico debeestar cuantizado, se representa el cuanto de flujo por Φ0 = hc/e con h, laconstante de Planck, ası:(
1
i∇− 2π
Φ0A
)2
Ψ = −2m
~2αΨ ≡ Ψ
ξ2(T ). (26)
*M. Thinkam, Introduction to Superconductivity (Mc Graw-Hill, New York, 1996 2nd ed).
Sustituyendo el gauge para el campo magnetico en (26), encontramos:[−∇2 +
4πi
Φ0Hx
∂
∂y+
(2πH
Φ0
)2
x2
]Ψ =
Ψ
ξ2(T )(27)
ası es razonable buscar soluciones del tipo
Ψ = eikyyeikzzf(x). (28)
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Sustituyendo en (27) y reagrupando terminos, encontramos:
− f ′′(x) +
(2πH
Φ0
)2
(x− x0)2f =
(1
ξ2− k2z
)f (29)
x0 =kyΦ0
2πH. (30)
Se pueden obtener soluciones de Ec.(29) inmediatamente, notando que estacorresponde a la ecuacion de Schrodinger para una partıcula de masa m enun potencial armonico con fuerza constante (2πH/Φ0)
2 /m ⇒ niveles deLandau, separados por la frecuencia ciclotronica ~ω.
εn =
(n+
1
2
)~ω =
(n+
1
2
)~(
2eH
mc
)(31)
igualando con ~2/2m(
1ξ2 − k2z
),
H =Φ0
2n(2n+ 1)
(1
ξ2− k2z
), (32)
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