10/24/2012 René Játiva Espinoza
Comunicaciones Ópticas
(IEE431)
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Comunicaciones Ópticas
Bloque 2: Transmisión de
Seañes a través de Fibras
Ópticas
Bloque 2: Transmisión de Señales a
través de Fibras Ópticas
• 2.1: Visión General de la Propagación en medios
guiados.
• 2.2: Propagación en Fibras de Índice Escalonado
• 2.3: Solución de la Ecuación Característica para
fibras ópticas de índice escalonado.
• 2.4: Propagación en fibras de índice gradual.
• 2.5: Características Operacionales de las fibras
ópticas: Atenuación, Producto Distancia-Ancho
de Banda, Propiedades mecánicas.
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Bloque 2: Transmisión de Señales a
través de Fibras Ópticas
• 2.6: Dispersión y esparcimiento de señal
• 2.7: Características no lineales de las fibras
ópticas: automodulación de fase, modulación
cruzada de fase, mezcla de cuatro ondas,
Dispersión Raman Estimulada (SRS), Dispersión
Brillouin Estimulada (SBS).
• 2.8: Solitones
• 2.9: Ruido en sistemas ópticos de comunicación.
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Comunicaciones Ópticas
• Bloque 2: Transmisión de señales a través
de fibras ópticas
– 2.1 Visión General de la propagación en
medios guiados.
– 2.1 Propagación en Fibras de Índice
Escalonado.
– Solución de la ecuación característica
para fibras ópticas de índice escalonado
10/24/2012 René Játiva Espinoza
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Visión General de la
Propagación en medios guiados
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Expresiones de Interés: Las
Leyes de Maxwell
• A continuación dos de ellas la Ley de Faraday y la
de Ampere-Maxwell:
. . . .
. .
C S
C S
Bf e m E dl B ds E
t t
D DH dl I dS H J
t t
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Expresiones de Interés: Las
Leyes de Maxwell
• Las otras dos ecuaciones son las Leyes de Gauss
para el Campo Magnético y para el Campo
Eléctrico respectivamente:
fuente conducción
. 0 . 0
. .
S
o oS
B ds B
QE ds E
con J J J
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Ecuaciones de Maxwell
• En las expresiones anteriores:
• E(r,t): vector de intensidad de campo eléctrico (V/m)
• H(r,t): vector de intensidad de campo magnético (A/m)
• D(r,t): vector de desplazamiento eléctrico (C/m2)
• B(r,t): vector de densidad de flujo magnético (Wb/m2 o T)
• J(r,t): vector de densidad de corriente (A/m2)
• (r,t): densidad volumétrica de carga (C/m3)
• r: vector de posición (m)
• t: tiempo (seg)
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Otras relaciones de interés
• Los vectores de desplazamiento eléctrico y de campo
magnético D y H se relacionan con los de campo
eléctrico y de densidad de de flujo magnético E y B,
respectivamente, a través de los parámetros
constitutivos que caracterizan la naturaleza
electromagnética del material. Para medios lineales,
isotrópicos homogéneos:
( , ) ,
( , ) ,
D r t E r t
B r t H r t
: permitividad o constante
dieléctrica del material (F/m)
: permeabilidad del material
(H/m)
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Otras relaciones de interés
• Recordemos las expresiones para el rotacional y
los campos, cuando se utiliza un sistema de
coordenadas rectangulares:
x y z
x y z
i j kx y z
H H i H j H k
E E i E j E k
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Los Modos Transversal Eléctrico (TE)
• Las guías de onda no pueden transmitir energía electromagnética a frecuencias muy bajas y tampoco pueden guiarlas en el modo TEM.
• En el caso de las guías de onda huecas rectangulares o circulares solo pueden propagarse ondas TE y TM.
• Los modos TE (Transversal Eléctrico) tienen todo su campo eléctrico transversal a la dirección axial (Ez=0), y una componente de campo magnético en la dirección axial (Hz0). Por otro lado los modos TM (Transversal Magnético) tienen todo su campo magnético transversal a la dirección axial (Hz=0), y una componente de campo eléctrico en la dirección axial (Ez 0).
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Patrones de Campo Eléctrico:
Modos TE en guía rectangular
Campo eléctrico en líneas continuas y campo magnético
en líneas punteadas para modos TE10 y TE11
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Teoría General de los Modos TE
• A partir de ecuación de Maxwell para el campo
eléctrico se llega al siguiente conjunto de
ecuaciones simultáneas:
;
;y xz z
x y
y xz
BE E jw H
t
E EE Ejw H jw H
y z z x
E Ejw H
x y
a) b)
c)
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Teoría General de los Modos TE
• A partir de ecuación de Maxwell para el campo
magnético se llega al siguiente conjunto de
ecuaciones simultáneas :
,y xz z
x y
y xz
DH J H jw E
t
H HH Hjw E jw E
y z z x
H Hjw E
x y
d) e)
f)
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Teoría General de los Modos TE
• En el modo “TE” se verifica que Ez=0, y si se asume
que la dependencia de los campos Ex y Ey con relación
a la dirección z está dada por una exponencial
compleja:
';
En a) 0
En b) 0
yz z xy y x x
y x y x
xy x x y
E ESi E Ae E Si E Ae E
z z
jwE jw H E H
E jwjw H E E H
z
g)
h)
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Teoría General de los Modos TE
• Si en forma similar se asume que la dependencia de
los campos magnéticos con relación a la dirección z
también está dada por una exponencial compleja como
en el caso anterior:
'
2 2 2 2
; ;
En d) , En e)
( )
;
yz z xy y x y
z zy x y y
x y
z zy x
H HSi H Ce H Si H C e H
z z
H HH jw E H jw E
y x
A partir de E y E h y g
H HH H
w y w x
i) j)
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Teoría General de los Modos TE
• Reemplazando las expresiones de Ex, Ey y Hy en la
expresión que los relaciona (h, g, i en c), se
obtiene la ecuación a resolver:
2 2
2 2
2 20
y xz
z zz
E Ejw H
x y
H Hw H
x y
La solución se
consigue
usando las
condiciones
de contorno
pertinentes
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Teoría General de los Modos TM
• El procedimiento de deducción de la ecuación de onda
para este caso es análogo al de modos TM,
considerando que ahora Hz=0 y que existe una
componente Ez distinta de cero:
2 2
2 2
2 20z z
z
E Ew E
x y
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Guías Circulares
• El estudio de los campos en una guía circular se
fundamenta en la teoría general para modos TE y TM,
con la particularidad de que es conveniente el trabajar
en coordenadas cilíndricas.
• En forma similar haremos Ez=0 para modos TE y Hz=0
para modos TM.
• Finalmente la solución para los campos termina
asociada a las funciones de Bessel de primera clase, al
hacer cumplir las condiciones de contorno.
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Guías Circulares
22 2
2 2
22 2
2 2
1 10
1 10
z zz
z zz
H Hw H
E Ew E
La ecuación de onda en coordenadas cilíndricas, que son
adecuadas para guías de onda circulares, para modos TE
y TM se muestran a continuación:
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Guías Circulares
21
2 2 2
cos sin
;
0
cos
z
m m
ff
o m
AJ h BN h C m D m e
h
B m
A J h m
Las ecuaciones de onda para guías circulares pueden
resolverse por el método de separación de variables. La
solución general contiene funciones de Bessel de primera y segunda clase, de orden m: Jm(h) y Nm(h) :
Debido a la singularidad de Nm(=0)
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Funciones de Bessel de primera clase y orden variable, Jm(h)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18-0.5
0
0.5
1
Beta [rad]
Jn
(Be
ta)
Funciones de Bessel de primera especie y orden variable
Jo(Beta)
J1(Beta)
J2(Beta)J3(Beta)
J4(Beta)
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Propagación en Fibras de índice
escalonado
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Propagación en una Fibra de índice
Escalonado
• Al ser la fibra una guía dieléctrica geométricamente
circular se han de utilizar coordenadas cilíndricas para su
análisis.
• En forma análoga que para las guías circulares, la
ecuación de onda para los campos eléctrico o magnético () toma la siguiente forma:
22
2 2
2 2 2
1 10h
con h
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Propagación en una Fibra de índice
Escalonado
• La solución para el caso de fibras es más complicada que para guías circulares pues ahora ninguna componente de campo en la dirección de z puede eliminarse, salvando un caso particular.
• Esto da lugar a los modos de propagación denominados híbridos, designados como HE y EH.
• Se dice que el modo es HE cuando la componente Hz contribuye mayoritariamente al campo transversal, se dice que el modo es EH cuando a su vez es la componente Ez la que contribuye mayoritariamente al campo transversal.
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Propagación en una Fibra de índice
Escalonado
• Si bien la solución para el núcleo es similar a la solución
para una guía circular, también debe considerarse el efecto
del revestimiento:
1
2 2 2
1 1
. 2
2 2 2
2 2
cos
cos
z
nucleo m
o
z
revest m
o
J h m e a
h
K h m e a
h
Km es una
función de
Bessel
modificada de
segunda clase.
Decrece
exponencial-
mente hacia cero al crecer
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Funciones de Bessel modificadas de segunda clase y orden variable, Km(h)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 410
-2
10-1
100
101
102
beta
Km
(beta
)
Funciones de Bessel modificadas de segundo orden
K1(beta)
Ko(beta)
K2(beta)
K3(beta) Note la
rápida
degradación
de la señal
en la
dirección
radial
(=h)
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Propagación en una Fibra de índice
Escalonado
• Para conseguir que exista propagación a lo largo de la fibra
y evitar que los campos sean radiados a través del
revestimiento debe asegurarse que la constante de
propagación en el núcleo sea imaginaria pura (=j):
2 2 2
2 1
2 1
0
0 0
1
o o
r
n nSi n
c c
con c
=constante de
fase.
1: núcleo
2: revestimiento
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Propagación en una Fibra de índice
Escalonado-Condiciones de Frontera
• En la frontera entre el núcleo y el revestimiento, debe
haber continuidad para todo valor de z en la componente
tangencial axial (z) y en la componente tangencial () de la
dirección de los campos E y H.
1 2
1 2
1 2
1 2
,0 2 , ,0 2 ,
,0 2 , ,0 2 ,
,0 2 , ,0 2 ,
,0 2 , ,0 2 ,
z z
z z
E a z E a z
H a z H a z
E a z E a z
H a z H a z
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Propagación en una Fibra de índice
Escalonado
• Particularizando la solución general, la solución para el
campo magnético en la dirección de propagación (z) toma
la forma siguiente:
1
1
2
2
cos
cos
z
z m
m
z
z m
m
AH J h m e a
J h a
AH K h m e a
K h a
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Propagación en una Fibra de índice
Escalonado
• Así mismo las expresiones para la componente en la
dirección de propagación del campo eléctrico es la
siguiente:
1
1
2
2
sin
sin
z
z m
m
z
z m
m
BE J h m e a
J h a
BE K h m e a
K h a
Aplicando las condiciones de frontera para las
componentes de campo en la dirección de propagación:
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Propagación en una Fibra de índice
Escalonado
Expresiones
para las
componentes
tangenciales
de los
campos
eléctrico y
magnético
2 2
1 1
2 2
2 2
1
2 2
1 1
2
2 2
1 2
z z
z z
z z
z z
H Ej jE a
h h
H Ej jE a
h h
H j EjH a
h h
H j EjH a
h h
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Propagación en una Fibra de índice
Escalonado
Expresiones
para las
componentes
radiales de
los campos
eléctrico y
magnético
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
z z
z z
z z
z z
H EjE a
h
H EjE a
h
H EjH a
h
H EjH a
h
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Ecuación Característica en una Fibra de
índice Escalonado
• Aplicando las condiciones de contorno para las
componentes tangenciales de campo transversales a la dirección de propagación en =a. Es decir que
E1=E2 y H1=H2, se obtiene la ecuación
característica para la fibra de índice escalonado:
1 1
2 2
2 2
1 1
2 2
2 2
z z
z z
H Ej jE a
h h
H Ej j
h h
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Ecuación Característica en una Fibra de
índice Escalonado
• La ecuación característica debe resolverse para
encontrar la constante de fase de cada modo de propagación. Recuerde que p y q dependen de y
a través de h1 y h2, y que fm y gm se relacionan con las
funciones de Bessel como se muestra arriba.
1 2
1 2
2 2 2 2 2 2
1 2 1 1 2 2
1 1;
; ; ;
m m
m m
m ma a
o o
J h K hh f p h g q
J p K q
p h a q h a h h
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Solución de la ecuación característica
para fibras ópticas de índice escalonado
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Ecuación Característica en una Fibra de
índice Escalonado
• Haciendo los reemplazos pertinentes, y despejando
A/B, tenemos:
0
2 2
2 2
1 2
1 1
1 1
m m
m m
f p g q
p qwB
A m
p q
p qB m
A w f p g q
p q
Para E1=E2
Para H1=H2
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Ecuación Característica en una Fibra de
índice Escalonado
1 22
0
2
2 2
2 2
1 1
m m m mf p g q f p g qw
p q p q
mp q
EHmn y HEmn; m1
De donde por igualación se obtiene la ecuación
característica de la Fibra de Índice Escalonado:
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Ecuación Característica en una Fibra de
índice Escalonado
• En forma similar al caso de guías circulares, la característica oscilatoria de la función Jm y de su derivada hacen posible la obtención de múltiples soluciones para un valor de m dado. Si se asocia a la n-ésima raíz de dichas funciones con el valor “n” para cada valor de “m” aparece el modo Hmn o Hnm según sea el caso.
• Los modos TE y TM en una fibra son un caso muy particular que aparece cuando m=0.
• Si se hace m=0 la ecuación característica se simplifica como se muestra a continuación:
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Ecuación Característica en una Fibra de
índice Escalonado (m=0)
• La ecuación característica para los modos TE
y TM en la fibra son las siguientes:
0 0
0
1 0 2 0
0
0
0
m m
n
m m
n
f p g qTE
p q
f p g qTM
p q
La condición de corte se produce cuando q tiende a
cero.
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Ecuación Característica en una Fibra de
índice Escalonado (m=0)
• Un parámetro muy importante relacionado con la
condición de corte de la fibra se define a partir de p y
q, y se le denomina frecuencia normalizada V. El
valor de V está relacionado con el número de modos
diferentes que puede haber simultáneamente en la
fibra a una frecuencia determinada.
2 2 2 2 2
1 2
1/ 22 2
1 2
2
o
o
V p q a
aV n n
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Ecuación Característica en una Fibra de
índice Escalonado (m=0)
• La frecuencia de corte en una fibra define el punto en
el cual el modo ya no queda restringido a propagarse
en la región del núcleo y la zona cercana del
revestimiento, sino que los campos se extienden
mucho más allá de la geometría cilíndrica de la fibra.
Se comporta como una antena. El valor de q entonces
tiende a cero.
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Apertura Numérica y Ángulo de
Aceptación de la Fibra
• Se define la apertura numérica (NA) como la diferencia de
los cuadrados de los índices de refracción. El ángulo de
aceptación es aquel que tiene por seno precisamente el
valor de la apertura numérica y se define como el ángulo
de incidencia máximo permisible de un rayo de luz con
respecto a la superficie de la fibra para el cual se obtiene
reflexión interna total en la interfaz núcleo-revestimiento.
1/ 22 2
1 2
2
; sin
2;
2
a
o
NA n n Arc NA
a VV NA Número de modos
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Ejercicio 1
• La diferencia relativa entre los índices del núcleo y del
revestimiento, , para una fibra multimodo típica es del
1%. Calcule el valor del ángulo de aceptación para estas
fibras cuando el índice de refracción del núcleo es de 1,46.
2 21/ 2 1/ 22 21 2 1 2
1 2 12
1 1
1/ 2
22
1,46 0,02 0,2064
sin sin 0,2064
11,9º
a
a
n n n nNA n n n
n n
NA
Arc NA Arc
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Ejercicio 2
• Una fibra multimodo de índice escalonado tiene
índices de refracción de 1,41 y 1,40, respectivamente,
en el núcleo y revestimiento. El radio del núcleo es de
50um. Diga cuántos modos se propagan
aproximadamente a una longitud de onda de 1300 nm.
1/ 2 1/ 22 2 2 2
1 2
2 2
1,41 1,40 0,1676
2 .500,1676 40,50
1,3
2 40,50 2 820
NA n n
mV
m
Número de modos V
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Solución de la Ecuación Característica para una
Fibra de índice Escalonado: Método Aproximado
• La solución de la ecuación característica puede hacerse
usando un método de aproximación denominado de
“conducción débil”, en el cual se considera que los índices
de refracción en el núcleo (n1) y en el revestimiento son
casi iguales (n1-n2<<1). Al aplicar estas condiciones, su
expresión entonces se simplifica como sigue:
2 2
1 2 1
2 2
2 2 2
1 1 2 2
;
1 1
o
m m
o o
f p g qm
p q p q
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Solución de la Ecuación Característica para una
Fibra de índice Escalonado: Método Aproximado
• Bajo este supuesto, a partir de la ecuación característica
simplificada, y aplicando las siguientes identidades para las
funciones de Bessel relacionadas con fm y gm, es posible de
conseguir un conjunto de condiciones reducidas (Eq. 2 y 3
en 1)
2 2
' '
1 1
' '
1 1
1 1
;
;
m m
m
m m m m m m
m m m m m m
f p g qF m
p q p q
m mJ p J p J p J p J p J p
p p
m mK q K q K q K q K q K q
q q
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Solución de la Ecuación Característica para una
Fibra de índice Escalonado: Método Aproximado
• La condiciones que deben cumplirse para el caso de signo
positivo y negativo respectivamente son:
1 1
1 1
2 2 2
1 1" "
1 1" "
Recuerde que también debe cumplirse que :
m m
m m
m m
m m
J p K qModos EH
p J p q K q
J p K qModos HE
p J p q K q
p q V
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Solución de la Ecuación Característica para una
Fibra de índice Escalonado: Método Aproximado
• A partir de las expresiones anteriores se puede demostrar
que:
1
2 1
2
2 2
o o
o
n n
pn
a
El primer modo en
aparecer es el modo HE11,
y después aparecen TE01 y
TM01, cuando V=2,405
Para valores de V<2,405 el
modo dominante HE11 es
el único en aparecer.
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Solución de la Ecuación Característica para una
Fibra de índice Escalonado: Método Aproximado
• A partir de la restricción de V<2,405 necesaria en fibras monomodo, se comprende que el radio “a” impone un límite práctico a la frecuencia más baja que puede usarse en este tipo de fibras. El rango práctico para operación en fibras monomodo se extiende en frecuencias de corte en el rango 1,8<V<2,4.
• En forma general la frecuencia de corte debe buscarse de las expresiones simplificadas de la ecuación característica.
• Para el caso de modos EH, se parte de la expresión para signo “+”, mientras que para modos HE se parte de la expresión para signo “-”. En ambos casos el orden de aparecimiento de la raíz n-ésima en Jm(p) que además verifica la condición caracteriza el modo mn.
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Solución de la Ecuación Característica para
una Fibra de índice Escalonado: Modos EH
• De esta manera:
1 1
1 1
1
2 2
1 1" "
0 0
0 ; 0
m m
m m
m m
m m
m
m
m c
J p K qModos EH
p J p q K q
J p K qp q
J p K q
J pSi q p
J p
J p y V p p
Si m 0 entonces
p0 para que
Jm+1(0) 0
Si m=0 entonces
tenemos modos TE
y TM.
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Solución de la Ecuación Característica para
una Fibra de índice Escalonado: Modo HE1n
• Así mismo:
1 1
1 1
1
2 2
1 1 0
1 1" "
0 0
0 0 0; ;
m m
m m
m m
m m
m
m
m m c
J p K qModos HE
p J p q K q
J p K qp q
J p K q
J pSi q p
J p
J p y J p p puede ser V p
Particularizando para m=1
determinamos que p=0
resuelve la ecuación
característica:
Vc(HE11)=0
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Solución de la Ecuación Característica para una
Fibra de índice Escalonado: Modos HEmn
• Generalizando la solución de la ecuación característica:
1 1
2 2
1 1 1 1
2
1
2 2
2 1
1 1
0 0 2
0 0 0;
m m
m m
m m m m
m m m m
m
m
m m c
J p K q
p J p q K q
J p K q J p K qp q o p q
J p K q J p K q
J pSi q p m
J p
J p y J p p V p
Esta forma de la expresión
permite revelar la existencia
de modos HE que pasarían
inadvertidos
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Condiciones para la frecuencia de corte
normalizada (Vc=p) de los modos de propagación
en una fibra de índice escalonado
m modo Condición Primeras raíces
n=1 n=2 n=3
0 TEon,TMon Jo(Vc)=0 2,405 5,520 8,654 Vc0
1 HE1n J1(Vc)=0 0 3,832 7,016
1 EH1n J1(Vc)=0 3,832 7,016 10,173 Vc0
>=2 HEmn Jm-2(Vc)=0
Vc0
2,405 5,520 8,654 m=2
3,832 7,016 10,173 m=3
5,136 8,417 11,620 m=4
>=2 EHmn Jm(Vc)=0
Vc0
5,136 8,417 11,620 m=2
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Ejercicio 3
• El índice de refracción del núcleo de una fibra es de 1,5.
Se desea que la fibra trabaje únicamente con un modo de
propagación, transmitiendo luz en segunda ventana
(1300nm). Encuentre una relación matemática entre el
rango de radios permisibles para el núcleo y el rango del
índice de refracción permisible para el revestimiento.
Muestre la gráfica correspondiente.
2
2
0,4976
2,25a m
n
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Ejercicio 4
• Una fibra óptica de índice escalonado tiene índices de
refracción de 1,470 y 1,460 en el núcleo y el
revestimiento, respectivamente. El radio del núcleo es de
8 um. Encuentre la apertura numérica de la fibra, el
ángulo de aceptación, la frecuencia de corte normalizada
Vc y la frecuencia de corte en Hz para los primeros doce
modos que se propagan en ella.
1/ 2 1/ 22 2 2 2
1 2 1,47 1,46 0,1712
sin sin 0,1712 9,86ºa
NA n n
Arc NA Arc
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Ejercicio 4 (cont)
modo condición Vc fc (THz)
HE11 J1(Vc)=0 0 0
TE01, TM01, HE21 J0(Vc)=0 2,405 83,84
HE12, EH11, HE31 J1(Vc)=0 3,832 133,58
EH21, HE41 J2(Vc)=0 5,136 179,04
TE02, TM02, HE22 J0(Vc)=0 5,520 192,43
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Ejercicio 5
• Demuestre que las expresiones matemáticas para las
tres componentes Ez, E y E, de campo eléctrico en el
núcleo de una fibra óptica para los modos HE1n son las
siguientes:
1 1
1 1
1 1
1 1
cos
sin
z
m
m
z
m
m
jw AE J h m e
h J h a
jw AE J h m e
h J h a
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Ejercicio 5 (cont)
• Obtenga también las expresiones del campo eléctrico
para el modo dominante HE11.
1
1
sin z
z m
m
BE J h m e
J h a
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Ejercicio 6
• Demuestre que el modo dominante HE11 está
linealmente polarizado.
1 1
1
cos ; sin ;
cos sin ; sin cos
sin cos ; cos sin
; 0
o o
t
x y x y
y x
y o x
j aA j aAE J p E J p
pJ p a pJ p a
E E u E u
E E E E E E
E E E E E E
j aAE J p E
pJ p a
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Modo Dominante y Modos
Superiores
Modo Dominante Tres primeros Modos Superiores
HE11 TM01 HE21 TE01
Vista transversal de las líneas de campo eléctrico.
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El Modo Dominante (HE11)
• Se puede demostrar que para el modo dominante todo el
campo eléctrico transversal está orientado en la dirección “y” (para toda y para todo ), y que la relación entre p y
V está dada por la expresión siguiente, de donde puede
graficarse la magnitud del campo.
1
44
; 0
2,414213
1 4
y o x
j aAE J p E
pJ p a
Vp
V
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La Constante de Propagación Normalizada
• La constante de propagación normalizada se nota por “b”,
y puede demostrarse que toma la siguiente expresión:
2 222
2 2 2
1 2
2 2 1 21
1
2
2
11 244
/; 0 1
1 1
2,414213 1
1 4
o
o
nqb b b
V n n
b
VPara HE b V
VV
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Ejercicio 7
• Una fibra de índice escalonado tiene índices de refracción
de 1,460 y 1,457 en el núcleo y el revestimiento, respectivamente. El radio del núcleo es de 5 m.
Encuentre la constante de fase del modo dominante a una
frecuencia de trabajo igual al 90% del valor de la
frecuencia de corte del primer modo superior.
1/ 22 2
8
6
; 1,46 1,457 0,093552
3 10 2,405245,5
2 5 10 0,09355
cc
c
cVf NA
a NA
xf THz
x x
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Ejercicio 7 (cont)
8
0 14
2
1144
2 2 2
1 2 2
6 6
3 1090% 221 1,357
221 10
90% 0,9 2,405 2,16
2,4142131 1 0,5508 0,4492
1 4
1,4583
24,63 10 / 6,752 10 /
c o
o
c
o
o
o
o
c xf f THz nm
f x
V V x
Para HE bV
n n b n
x rad m x rad m
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Parámetro p vs frecuencia normalizada para los
modos HE11, TE01, TM01, HE21
B/Bo es mayor
para el modo
dominante. La
velocidad de
propagación de
la señal para
este modo es
ligeramente
superior.
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Parámetro p vs frecuencia normalizada para los
modos HE11, TE01, TM01, HE21
Las
características
de los tres
modos
superiores son
cuasi-
idénticas.
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Modos Linealmente Polarizados
• Los modos linealmente polarizados son combinaciones lineales de los anteriores (TM, EM, HE y EH).
• En particular los modos HEm+1,n y EHm-1,n tienen características de propagación cuasi-idénticas por lo cual se consideran modos degenerados.
• Por ejemplo si se emplea la combinación HEm+1,n+EHm-1,n se llega a un campo totalmente polarizado en la dirección de y.
• En definitiva aquellas combinaciones de modos posibles que permiten obtener patrones de campo linealmente polarizados se denominan modos linealmente polarizados. La fibra monomodo opera exclusivamente en el modo LP01=HE11.
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Modos Linealmente Polarizados
Modos LP Modos que lo
originan
LP0n HE1n
LP1n TE0n, TM0n y HE2n
LPmn(m2) HEm+1,n y EHm-1,n
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Modos Linealmente Polarizados
Modos LP Modos que lo originan Vc
LP01 HE11 0
LP11 HE21, TE01, TM01 2,405
LP21 HE31, EH11 3,832
LP02 HE12 3,832
LP31 HE41, EH21 5,136
LP12 HE22, TE02, TM02 5,520
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Ejercicio 8
• ¿Cuánto debe valer el radio de una fibra óptica
monomodo de índice escalonado que trabaje en primera ventana de propagación (=850nm) y tenga
en su núcleo un índice de refracción igual a 1,465, y
en el revestimiento uno de 1,46?
2 2
2 2
2 2
1
6
2( ) 2,405
0,12091,465 1,46 0,1209; 0,34%
2 2 1,465
2,405 2,405 0,85 102,69
2 2 0,1209
o
o
aV NA
NANA
n x
x xa m
NA
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Ejercicio 8 (Cont.)
• Si el radio de la fibra es de 25um, ¿cuál debería ser el
valor de la diferencia relativa de índices para mantener
el carácter monomodo de la fibra? ¿Qué puede
concluir al respecto?
1/ 2
1
2 2
2 26
6
1
2 2( ) 2,405 2 2,405
1,465 1,46 0,1209
2,4051 1 2,405 0,85 100,0039%
2 2 2 2 .25 10 .1,465
o o
o
a aV NA n
NA
x x
an x
La diferencia de índices es demasiado pequeña para
ser físicamente realizable.
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Teoría de la Óptica Radial o Geométrica
• Las longitudes de onda que se emplean en fibras se encuentran entre 0,8 y 1,6 um, mientras que el diámetro del núcleo se encuentra entre 10 y 200 um, por lo cual el núcleo es grande comparado por la longitud de onda.
• Los frentes de onda pueden aproximarse como planos por la apertura en la cual inciden, y en este caso pueden usarse los conceptos de óptica geométrica para el estudio de la fibra.
• Este método es mucho más adecuado para el estudio de fibras multimodo.
11 1 1 2 2
1
; sin sinr
cn n n
v Ley de
Snell
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Teoría de la Óptica Radial o Geométrica
Reflexión y Refracción de un rayo de luz en la fibra óptica
1
2
1
o 90º-1
z
no
n1
n2
C. aceptación
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Teoría de la Óptica Radial o Geométrica
• Los campos al incidir sobre el revestimiento son
reflejados y refractados debido a la variación de índice de
refracción.
• El ángulo crítico es aquel a partir del cual se produce el
fenómeno de refracción. Para valores en el ángulo de
incidencia menores se dice que se tiene reflexión total
interna. El ángulo crítico se calcula como sigue:
2
1
arcsinc
n
n
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Teoría de la Óptica Radial o Geométrica
• Adicionalmente, el rayo incidente al reflejarse sufrirá un
cambio de fase.
• Si se nota por n y p a las componentes normal y paralela
al plano de incidencia de la onda incidente, puede
demostrarse que estos desfasamientos son:
2 2
1
1
2 2
1
1 2
1
cos 12arctan
sin
cos 12arctan ; /
sin
n
p
n
n
n nn n n
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Propagación en fibras multimodo de índice
escalonado
• Las fibras multimodo de índice escalonado tienen un núcleo con índice de refracción n1 aproximadamente igual a 1,48. Si el índice del revestimiento se nota por n2, puede definirse una diferencia de índices como sigue:
• La diferencia de índices se encuentra entre 1% y 3% en fibras multimodo y entre 0,2% y 1% en fibras monomodo
• Cada modo de propagación puede considerarse conforma-do por un conjunto de ondas planas superpuestas y cada onda puede asociarse a un rayo de luz perpendicular al frente de onda, pudiendo analizarse el modo en cuestión por un conjunto de rayos llamado congruencia de rayos.
2 1 1 1 1n n n n
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Propagación en fibras multimodo de índice
gradual
m1
v3>v2>v1
z núcleo
revestimiento m3
Trayectorias de modos diferentes en el núcleo de una
fibra de índice gradual.
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Propagación en fibras multimodo de índice
gradual
• Las fibras multimodo de índice gradual varían su índice de refracción en función de la distancia al centro del núcleo:
2 1 1 1 1n n n n
22;
22
021
2
1
2/1
1
VM
anV
aa
nn
o
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Ejercicio 9
• Un rayo de luz viaja con una velocidad de 2,05x108
m/s en el núcleo de una fibra de índice escalonado. Si
el ángulo crítico en la interfaz núcleo-revestimiento es
de 72º, diga cuánto valen la apertura numérica de la
fibra y el ángulo de aceptación.
2 2
1 1
8
1 1 8
1 1
1
arcsin 0,9510 0,0489
3 101,4634
2,05 10
sin cos 0,3090 1,4634 0,4522
sin 0,4522 26,9º
c
a c
a a
n n
n n
c c xv n
n v x
n
NA
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Ejercicio 10
• Una fibra multimodo de índice escalonado se construye y
alimenta como se muestra en la figura. Esta se ha diseñado
para tener una Apertura Numérica de 0,25. Determine: a)
el índice de refracción requerido en el revestimiento (n2),
b) el ángulo 1 en la fibra, c) el ángulo crítico en el
interfaz núcleo-revestimiento, y d) el ángulo de aceptación
2 de los rayos que entran en el núcleo desde el aire.
1 c 1
2 1
z no
n1
n2
Fuente
de luz
n1=1,5
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Ejercicio 10
1/ 22 2
1 2
1/ 22 2 2
2 2
2
1 1
2
2
1
1
sin
0,25 1,5 0,0625 2,25
1,4790 )
sin sin 0,25 14,48º )
1,479arcsin arcsin 80,40º )
1,5
90º 90º 80,40º 9,60º )
a
c
c
NA n n
n n
n a
NA d
nc
n
b
10/24/2012 René Játiva Espinoza
Bibliografía
• Líneas de Transmisión, Rodolfo Neri Vela, McGraw-Hill, México, 1999.
• Comunicaciones por Fibra Óptica – Manual de Ingeniería, Raimundo Díaz de la Iglesia, Marcombo-Boixareu Editores, España, 1985
• www.fiber-optics.info/fiber-history.htm
• www.bell.ac.uk
Comunicaciones Ópticas
• Bloque 2: Transmisión de señales a
través de fibras ópticas
–2.5 Características operacionales
de la fibra óptica: Atenuación,
Producto Distancia-Ancho de
Banda, Propiedades mecánicas.
10/24/2012 René Játiva Espinoza
10/24/2012 10/24/2012 René Játiva Espinoza
Características operacionales de la
Fibra Óptica
10/24/2012 10/24/2012 René Játiva Espinoza
Características de la Fibra
Atenuación
Dispersión CromáticaLineales
Dispersión de los modos de Polarización
Optical Signal to Noise Ratio (OSNR)
Auto Modulación de Fase (SPM)
Modulación Cruzada de Fase (XPM)
No Lineales Mezcla
de Cuatro Ondas (FWM)
Dispersión Raman Estimulada (SRS)
Dispersión Brillouin Estimulada (SBS)
10/24/2012 10/24/2012 René Játiva Espinoza
Mecanismos de Atenuación
Picos de absorción en infrarrojoPor absorción
y ultravioleta
Intrínsecos Fluctuaciones en la composición
Por esparcimiento y/o anisotropía del vidrio
Efectos Brillouin y Raman
Por
Extrínsecos
-
Difusión de hidrógeno
impurezas Impurezas en la preforma (iones
metálicos, grupos OH , etc)
MicrocurvaturasPor defectos físicos
Curvaturas localizadas
10/24/2012 10/24/2012 René Játiva Espinoza
Atenuación en Fibras Ópticas
• La atenuación para cada fibra en particular depende de varios factores, tanto intrínsecos (sustancias inherentes a la fibra) como extrínsecos (fuerzas externas tales como curvaturas).
• Cuando la luz choca contra una impureza en la fibra, ésta se dispersa (Dispersión Rayleigh) o en su defecto es absorbida por el material.
• La impureza más común en la molécula hidroxilo (OH-), la cual se mantiene como un residuo a pesar de las exigentes técnicas de manofactura. Su presencia causa incrementos de atenuación en 950nm, 1380 nm y 2730nm. Contribuyen entre 3 y 5% a la atenuación total.
10/24/2012 10/24/2012 René Játiva Espinoza
Atenuación y Ventanas de Operación
1º V: 850 nm
2º V: 1310 nm
3º V: 1550 nm
4º V: 1625 nm
Zero-water-
peak- fiber
(ZWPF) en
1380 nm.
10/24/2012 10/24/2012 René Játiva Espinoza
La Atenuación
• El esparcimiento Rayleigh se origina por colisiones
elásticas entre la onda de luz y las moléculas de Silicio en la
fibra. Este fenómeno es el causante del 96% de la
atenuación en la fibra óptica. Parte de la señal dispersa
escapa del núcleo de la fibra, e incluso parte se refleja hacia
la fuente de luz.
• Este fenómeno se incrementa para longitudes de onda más
pequeñas, de forma que para longitudes menores a 800nm,
las fibras no pueden utilizarse para comunicaciones ópticas.
Así mismo la absorción infrarroja por sobre los 1700 nm
imposibilita las comunicaciones por este medio.
10/24/2012 10/24/2012 René Játiva Espinoza
Esparcimiento Rayleigh
4
Rayleigh / 1 /
0,8 : 40 100
A B dB km
A B
Se origina en el esparcimiento ante pequeñas partículas de radio a (2a/<<1). Estas pérdidas son inversamente
proporcionales a la cuarta potencia de la longitud de onda.
La expresión se refiere a fibras con núcleo de SiO2 dopadas
con P2O5 y GeO5 respectivamente
Vidrio =1um =1,6um =4um
SiO2
ZrF4
0,8
0,4
0,12
0,06
0,003
0,0015
10/24/2012 10/24/2012 René Játiva Espinoza
Absorción Ultravioleta
uv
4
uv
exp / /
1,474 4,626
, 8,5 10 exp 4,626 / /
A B dB km
A B
W x W dB km
Estas pérdidas son prácticamente despreciables a
longitudes de onda superiores a 1um (inferiores a 10-8
dB/km para el SiO2)
La expresión anterior se refiere a fibras con núcleo de
SiO2 – GeO2 y W depende de la concentración de GeO2.
10/24/2012 10/24/2012 René Játiva Espinoza
Absorción Infraroja
11
ir 7,81 10 exp 48,48/ /x dB km
Estas pérdidas tienen su origen en un fenómeno de
vibración por interacción entre átomos de Silicio y
Oxígeno. Este fenómeno debe tenerse en cuenta en el
margen 1,3 – 1,6 um. La absorción se ve más acentuada
en función del óxido que se use para modelar el perfil de
índice. Para fibras dopadas con P2O5 y/o B2O3 se espera
una fuerte contribución de absorción infrarroja a las
pérdidas totales.
La expresión se refiere a fibras con núcleo de SiO2 – GeO2
y se asume independencia de la concentración de Ge.
10/24/2012 10/24/2012 René Játiva Espinoza
Contribución de los mecanismos de
pérdidas en fibras ópticas
Pérdidas a 1,3um (dB/km) Pérdidas a 1,5um (dB/km)
(%) Rayleigh Absorción Totales Rayleigh Absorción Totales
0
0,18
0,27
0,39
0,22
0,29
0,33
0,38
-
0,06
0,09
0,13
0,22
0,40
0,46
0,55
0,11
0,145
0,16
0,19
-
0,035
0,05
0,07
0,13
0,25
0,27
0,32
Fibras con núcleo de SiO2 – GeO2 en fibras monomodo
10/24/2012 10/24/2012 René Játiva Espinoza
Factores Extrínsecos: Pérdidas por
curvaturas y microcurvaturas
4 / : 0,8 1o oL a L mm
Puede considerarse un radio de curvatura mínimo cuya
dimensión sea diez veces el diámetro exterior de la fibra o
del cable, según se trate.
Respecto a microcurvaturas, el acoplamiento es máximo
cuando la longitud de onda perturbadora coincide con la
correspondiente al batido entre modos adyacentes. Para
una fibra ideal, con perfil de índice parabólico, la longitud
de onda de batido , Lo está dada por:
Estas pérdidas se disparan cuando es menor de 0,2 –
0,4%. El problema es más crítico en 3º ventana que en 2º.
10/24/2012
Factores Extrínsecos: Pérdidas por
curvaturas
Se producen
cuando el radio
de curvatura es
excesivamente
pequeño (menor
a 4 o 5 cm)
10/24/2012
Factores Extrínsecos: Pérdidas por
microcurvaturas
Corresponden a perturbaciones mecánicas complejas
en general aleatorias. Pueden originarse cuando las
fibras se curvan dentro del tubo debido al calor como
resultado de la diferencia de los coeficientes de
dilatación térmica entre las fibras y el búffer.
10/24/2012
Factores Extrínsecos: Pérdidas por
curvaturas y microcurvaturas
10/24/2012 10/24/2012 René Játiva Espinoza
Respuesta en Banda Base
22 2
modal cromática guiaondas
3 180 / Respuesta Gaussiana
Total
dB TotalB GHz ps
Los tres factores que contribuyen al ensanchamiento
de los impulsos en su propagación a través de la fibra
son:
1) Dispersión modal
2) Dispersión cromática (debida al material)
3) Dispersión del guía de ondas
Modelo de Dispersión en fibras bajo
difusión [Ref: Optical Communications; Gagliardi R. y Karp S.]
10/24/2012 René Játiva Espinoza
2
1
,
;
;
1;
2
zz f f
tz
f
f f
f f f f
f f
Q t z P e e
z z zz
z z z z z
NAB
cn z
Q(t,z): Respuesta
impulsional de la
fibra en la
distancia z
Pf: Potencia inicial
de la fuente.
zf, τf: Parámetros
de la fibra.
βf: dispersión
modal por unidad
de longitud.
10/24/2012 10/24/2012 René Játiva Espinoza
Dispersión de los Modos de
Polarización (PMD)
• PMD es causada por asimetrías en la fibra respecto de su geometría cilíndrica perfecta.
• Las fibras monomodo soportan un modo fundamental, que consiste de dos modos polarizados ortogonales. Las asimetrías introducen pequeñas diferencias en los índices de refracción para los dos estados de polarización (birefrigencia), originando una diferencia en sus tiempos de propagación (Retardo de grupo diferencial DGD), creando un ensanchamiento en el pulso. La PMD de primer orden es la DGD, y la PMD de segundo orden (SOPMD) es la dispersión que se origina de la dependencia de la longitud de onda de la señal y la anchura espectral.
10/24/2012 10/24/2012 René Játiva Espinoza
Dispersión de los Modos de
Polarización (PMD)
• PMD no es un problema en bajas tasas de transmisión, sí lo es sobre tasas de 5Gbps.
• La PMD puede compensarse introduciendo dispositivos que mantienen ciertos grados de bi-refrigencia, que se usan sobre grandes distancias de fibras y redes de área metropolitana operando con tasas de transmisión por sobre los 10Gbps.
• Es usual reservar un margen de potencia de 0,5 dB para considerar los efectos de la dispersión en los modos de polarización a altas tasas de transmisión.
10/24/2012 10/24/2012 René Játiva Espinoza
Dispersión Modal
2 2
modal 1 2 1
2
modal,óptima 1 2 1
modal,óptima
óptimo
/ 2 Fibras multimodo de salto de índice
0,14 / / F. de índice gradual
=1%; 14 /
2 1 / /
n n n c
n n n us km
Si ps km
g c d d
La dispersión modal puede caracterizarse como sigue:
Alta dificultad en conseguir el perfil óptimo, y por ende en
reducir la dispersión modal a valores inferiores a 150 ps/km.
Para servicios de distribución en banda ancha se requieren
fibras con dispersiones entre 0,8 y 0,3 ns/km.
modal (SI)~20ns/km
10/24/2012 10/24/2012 René Játiva Espinoza
Dispersión Modal para segmentos
concatenados de fibra
1/ 1/
modal,T modal,i
1
Dispersión para segmentos concatenadosN
i
La dispersión modal para segmentos concatenados de
fibra puede caracterizarse como sigue:
La constante de concatenación tiene relación con el grado
de trasvase energético de unos modos a otros al propagarse
por la fibra y tiene valores entre 0,5 y 1.
=0,5 para fibras multimodo de salto de índice
=0,6-0,8 para fibras de índice gradual
10/24/2012 10/24/2012 René Játiva Espinoza
Dispersión Cromática
• Corresponde al ensanchamiento de los pulsos de luz conforme se propagan a lo largo de la fibra.
• Las componentes espectrales de la luz viajan a diferentes velocidades de grupo, lo cual origina Dispersión en la velocidad de Grupo (GVD). Debido a la dependencia de esta dispersión con la longitud de onda, este fenómeno toma el nombre de Dispersión Cromática, y puede corregirse dopando el núcleo de la fibra con óxido de Germanio para conseguir dispersiones negativas. Estas fibras se denominan DSF (Dispersion-Shifted Fibers).
• Es usual reservar un margen de potencia de 1dB para considerar los efectos de la dispersión cromática.
10/24/2012 10/24/2012 René Játiva Espinoza
Dispersión Cromática para diversos
tipos de fibra y longitudes de onda.
Las fibras DSF
funcionan bien
para portadoras
únicas pero las
no linearidades
cercanas al punto
de mínima
dispersión
originan
problemas en
DWDM.
10/24/2012 10/24/2012 René Játiva Espinoza
Dispersión Cromática para diversos
tipos de fibra y longitudes de onda.
Las fibras NZ-
DSF presentan
dispersiones
diferentes de
cero en tercera
ventana y se
utilizan para
compensación
de dispersión
en enlaces de
alta longitud.
10/24/2012 10/24/2012 René Játiva Espinoza
Dispersión cromática (debida al
material)
2
1cromática 2
d nL M L
c d
Se origina en la dependencia del índice de refracción
con la longitud de onda y en la anchura espectral de las
fuentes ópticas
L: Longitud de la fibra en km.
: anchura espectral del emisor óptico en nm.
: Longitud de onda de emisión en nm.
M: coeficiente cromático de dispersión en ps/(km.nm).
10/24/2012 10/24/2012 René Játiva Espinoza
Dispersión debida al guíaondas
guíaondas 2 2
14
L
n c a
Está estrechamente unida a la dispersión debida al
material y depende de las características geométricas
de la guía y del índice de refracción del núcleo.
En la práctica esta dispersión sólo tiene peso en las fibras
monomodo. En este tipo de fibras, pueden diseñarse los
perfiles de índice de forma de que la dispersión del
material y la del guíaondas se compensen o se mantengan
razonablemente acotadas en un margen amplio, por
ejemplo entre 1,3 y 1,8um.
10/24/2012 10/24/2012 René Játiva Espinoza
Ejercicio
• Una ruta de 14 km está constituida por siete tramos de fibra de unos 2 km fabricados para trabajar a 1300nm. Se trata de fibras multimodo con un coeficiente de dispersión del material de 3ps/km.nm a 1300nm. Las dispersiones modales de los siete tramos de 2km, según medidas en fábrica son: 0.2; 0.3; 0,15; 0,22; 0,21; 0,18 y 0,25 ns. A) Calcule la dispersión total para la ruta en caso de que se use un láser de anchura espectral de 1nm y en caso de que se use un LED con anchura espectral de 15nm. B) Estime el ancho de Banda de la ruta.
10/24/2012 10/24/2012 René Játiva Espinoza
Características No Lineales de la
Fibra Óptica
• Auto Modulación de Fase (SPM): Se debe a la automodulación de los pulsos (desplazamiento de fase y dispersión no lineal de los pulsos). Generalmente ocurre en sistemas monomodo, y se produce con altos niveles de señal de entrada. Sin embargo SPM tiende a cancelar la dispersión en altas tasas de transmisión. Un margen de potencia de 0,5 dB se reserva para tomar en cuenta este efecto al trabajar con niveles de potencia y tasas de bits elevados.
10/24/2012 10/24/2012 René Játiva Espinoza
Características No Lineales de la
Fibra Óptica
• Modulación Cruzada de Fase (XPM): Se presenta en sistemas multiplexados en longitud de onda (WDM). Corresponde a la modulación de una señal causada por una señal adyacente en la misma fibra. Esto significa que la fase de una portadora incluye desplazamientos relacionados con la fase de otra. La fase se induce por la presencia de dos pulsos a diferentes tasas de bit o con diferentes velocidades de grupo. El máximo desplazamiento de fase se produce cuando se tienen bits que pertenecen a canales adyacentes de alta potencia. Un margen de potencia de 0,5 dB se reserva para tomar en consideración este efecto.
10/24/2012 10/24/2012 René Játiva Espinoza
Características No Lineales de la
Fibra Óptica
• Mezcla de Cuatro Ondas: Puede compararse a la
distorsión por intermodulación. Cuando tres
longitudes de onda 1, 2, y 3 interactúan en un
medio no lineal, dan origen a una cuarta longitud
de onda 4, la cual se forma por la dispersión de
los tres fotones incidentes, produciendo un cuarto
fotón. Este fenómeno afecta a sistemas
multiplexados por división en longitud de onda
(WDM).
10/24/2012 10/24/2012 René Játiva Espinoza
Características No Lineales de la
Fibra Óptica
• Mezcla de Cuatro Ondas: Los canales 1 y 2 interfieren
produciendo un índice de refracción que oscila a la
frecuencia de la diferencia. Esta modulación en el
índice de refracción modula el canal 4, produciendo
bandas laterales en los canales 3 y 5.
10/24/2012 10/24/2012 René Játiva Espinoza
Características No Lineales de la
Fibra Óptica
• Dispersión Raman Estimulada (SRS): Cuando la luz se propaga en el medio, los fotones interactúan con las moléculas de Silicio durante la propagación. Los fotones también interactúan entre ellos y causan efectos dispersivos, en las direcciones de avance y retroceso a lo largo de la fibra. Esto resulta en una distribución esporádica de energía en una dirección aleatoria.
• SRS se refiere a que las longitudes de onda inferiores (de bombeo) transfieren energía a las superiores, lo cual resulta en la supresión de las inferiores. SRS es pronunciado a altas tasas de bits y altos niveles de potencia. Para paliar este efecto debe reducirse la potencia de entrada. Un margen de potencia de 0,5 dB se reserva para tomar en consideración este efecto. Efecto pronunciado en bandas C y L (1530-1625 nm).
10/24/2012 10/24/2012 René Játiva Espinoza
Características No Lineales de la
Fibra Óptica
• Dispersión Raman Estimulada (SRS): SRS produce un desplazamiento e frecuencia de alrededor de 400 cm-1 de la línea láser incidente. La ecuación que gobierna el crecimiento en potencia del modo desplazado Raman es la siguiente donde PR corresponde a la potencia de la luz Stokes desplazada, PP es la potencia de bombeo, es decir del modo inicialmente excitado, y ap es el área efectiva de bombeo. La ganancia Raman gr típica en fibras monomodo de Silicio es de alrededor de 10-11 cm/W.
R RR R P R
P
dP gP P P
dz a
10/24/2012
Características No Lineales de la
Fibra Óptica
• Dispersión Brillouin Estimulada (SBS): SBS se origina en las propiedades acústicas de la interacción del fotón con el medio. Durante la propagación de la luz en la fibra, los fotones interactúan con las moléculas de Silicio, pero también interactúan entre ellos. Cuando haces intensos de luz láser por ejemplo, se propagan a través de la fibra, las variaciones en el campo eléctrico de estos haces producen vibraciones acústicas en el medio vía electrostricción; y el haz se dispersa a partir de la interacción con estas vibraciones, en la dirección opuesta al haz incidente. Se origina una onda a baja longitud de onda (onda de Stoke) debido a la dispersión de la energía, la cual amplifica a las longitudes de onda superiores.
René Játiva Espinoza
10/24/2012
Características No Lineales de la
Fibra Óptica
• La electrostricción es el fenómeno por el cual un dieléctrico cambia su forma ante la aplicación de un campo eléctrico.
• El angosto pico en la ganancia de Brillouin se encuentra cerca de la banda C (1530-1570nm). SBS es pronunciado a altas tasas de bits y altos niveles de potencia. Un margen de potencia de 0,5 dB se reserva para tomar en consideración este efecto. Para incrementar el umbral de potencia SBS se distribuye la energía del láser sobre un espectro más amplio. Para esto se usan moduladores externos o se aplica “dithering” de baja frecuencia (10-100 kHz), consiguiendo ampliar el umbral desde menos de 50mW con un ancho espectral de alrededor de 1GHz hasta 350 mW con un ancho espectral de 10GHz.
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10/24/2012
Características No Lineales de la
Fibra Óptica
• Umbrales de Potencia para Dispersión Raman Estimulada (SRS) y Dispersión Brillouin Estimulada (SBS): La ganancia de Brillouin, gB es mucho más alta que la de Raman en las fibras (gB =5x10-9 cm/W). Los valores de los umbrales de Potencia para estos dos tipos de dispersión estimulada se muestran a continuación.
René Játiva Espinoza
16SRS
25SBS
PCR
R
PCR
B
aP
g
aP
g
El ancho de banda de
ganancia para SBS es
bastante angosto (100 MHz
en fibras típicas). Fuentes
láser no moduladas pueden
ser altamente susceptibles de
SBS.
10/24/2012
Compresión de Pulsos y
Propagación de Solitones
• En general, los pulsos que se propagan en la fibra producen cambios locales en el índice de refracción, originando el fenómeno conocido como automodulación de fase. Usualmente el borde anterior del pulso produce un incremento en el índice de refracción y consecuentemente un corrimiento hacia el rojo de este extremo, mientras que el borde posterior produce un decremento en el índice de refracción y un corrimiento hacia el azul. El resultado temporal final es un ensanchamiento del pulso. Cuando la fibra exhibe dispersión anómala (más allá de 1,3um para fibras monomodo), el efecto se invierte y el pulso se comprime. Cerca del mínimo de dispersión en el régimen de dispersión anómalo, la dependencia de orden superior del retardo de grupo con la longitud de onda es importante y pueden originarse fenómenos de compensación entre dispersión y compresión.
René Játiva Espinoza
10/24/2012
Compresión de Pulsos y
Propagación de Solitones
René Játiva Espinoza
10/24/2012
Compresión de Pulsos y
Propagación de Solitones
• En un medio dispersivo no lineal, ondas solitarias pueden existir siempre y cuando la no-linearidad y la dispersión actúen de forma de balancearse la una con la otra. En el caso de propagación de solitones, la no-linearidad es un índice de refracción que sigue a la intensidad del pulso de forma casi instantánea:
• La ecuación escalar que gobierna la propagación del pulso en tal medio dispersivo no lineal se conoce como ecuación no lineal de Schrödinger:
René Játiva Espinoza
2on t n n I t n2=3x10-16 cm2/W en fibras
de silicio.
222
2
10
2
dU d Ui N U U
d d
10/24/2012
Compresión de Pulsos y
Propagación de Solitones
• Los parámetros en la ecuación se definen a continuación:
René Játiva Espinoza
Parámetro Descripción
A
Z
T
Po
To
U
β1
β2
LD
n2
τ
ξ
N
Amplitud del pulso
Coordinada Longitudinal
Tiempo
Potencia Pico
Ancho del Pulso
Amplitud del Pulso normalizada [A/sqrt(Po)]
Constante de propagación
Dispersión (segundo orden)
Longitud de dispersión [To2/|β2|]
Índice de refracción no lineal
Tiempo normalizado para mover la ventana [(t-β1z)/To]
Distancia normalizada [z/LD]
Orden del solitón [n2β1PoTo2/|β2|]
10/24/2012
Compresión de Pulsos y
Propagación de Solitones
• Existen algunas soluciones de esta ecuación en las cuales el pulso se propaga sin cambiar su forma. Estas se conocen como solitones. Los solitones pueden excitarse en las fibras y propagarse grandes distancias.
• El solitón de menor orden se propaga enteramente sin cambio en su forma, mientras que los solitones de órdenes mayores (de mayor energía) experimentan una evolución periódica en la forma del pulso.
• Experimentos de laboratorio en recirculación (2002) y con inclusión de ganancia para compensar las pérdidas, han permitido la propagación de solitones en distancias tan grandes como 10 mil kilómetros.
René Játiva Espinoza
10/24/2012
Compresión de Pulsos y
Propagación de Solitones
• La ganancia se introduce mediante amplificadores de fibras ópticas dopadas con tierras raras. Los solitones son excitados usando fuentes láseres de modo encadenado de bajo ciclo de trabajo con tasas de repetición inferiores a 1GHz y con el uso de moduladores externos. Los láseres de alto ciclo de trabajo y modulación directa se han mostrado inútiles para la comunicación de solitones debido al ensanchamiento espectral que ocurre bajo modulación.
René Játiva Espinoza
10/24/2012 10/24/2012 René Játiva Espinoza
Propiedades mecánicas y de
envejecimento de la fibra
• La probabilidad de ruptura en función de la tensión o
alargamiento suelen modelarse como:
1 exp
m
o
p
Sin embargo los parámetros de la expresión anterior (m y o) dependen de la longitud de la fibra e incluso de .
Además puede presentarse el fenómeno de fatiga
estática por el cual pequeñas fisuras pueden crecer ante
pequeñas tensiones y originar una fractura con el paso
del tiempo.
10/24/2012 10/24/2012 René Játiva Espinoza
Propiedades mecánicas y de
envejecimento de la fibra
• A partir de los datos de prueba a plena carga pueden
estimarse la elongación permitida en el cable durante
la instalación, y la elongación residual para asegurar
una vida media de 20 años sin roturas.
1 2
2 1
n
T
T
T1, 1: condiciones a plena carga
T2, 2: condiciones de planta
n: 14-25
La prueba a plena
carga suele hacerse
sobre largos de
1km durante 0,6 s y
se producen
elongaciones del
0,6%.
10/24/2012 10/24/2012 René Játiva Espinoza
Ejercicio
• Si la duración típica de la operación de tendido de una bobina de cable de 1 km aproximado de longitud es de una hora, estime el porcentaje de elongación máximo al que puede someterse a la fibra para evitar la rotura durante el tendido. También calcule la tensión residual máxima al que puede someterse a la fibra para esperar que no se produzca una rotura en 20 años. Si una elongación del 0,32% se produce con una tracción de 1200N, ¿cuál sería la tracción máxima permitida durante la instalación?, y ¿cuál la tracción residual máxima?
10/24/2012 10/24/2012 René Játiva Espinoza
Producto Ancho de Banda-Distancia
• La mayor limitante para la transmisión de pulsos a altas velocidades en la fibra se debe a la dispersión, pues las pérdidas por absorción son pequeñas.
• La dispersión crece con la distancia, originando pulsos más anchos lo cual origina que sea necesario ampliar la distancia entre los pulsos, reduciendo la tasa de transmisión.
• Fibras de índice escalonado con núcleos anchos transmiten cientos de modos de propagación, originando que estas fibras tengan un límite cercano a 20MHz x Km en su producto ancho de banda-distancia.
10/24/2012 10/24/2012 René Játiva Espinoza
Producto Ancho de Banda-Distancia
• En fibras de índice escalonado este límite puede alcanzar un producto de alrededor de 1GHz x km o más. También puede especificarse el producto tasa de transmisión x distancia, pero este en realidad depende del esquema de modulación y codificación, además del ancho efectivo de la fibra.
• Por ejemplo una fibra multimodo 50/125 um en primera ventana (850 nm) alcanza 3 dB/km de atenuación y un producto ancho de banda x distancia de 600 MHz-km. En segunda ventana (1300 nm) su atenuación se reduce a 1 dB/m y su producto ancho de banda x distancia aumenta hasta 800 MHz-km.
10/24/2012 10/24/2012 René Játiva Espinoza
Relación entre Ancho de Banda Espectral, Respuesta
Temporal y Tasa de Transferencia de Datos
10/24/2012 10/24/2012 René Játiva Espinoza
Ventana de Operación y Tasa de
Transferencia de Datos en Fibras Multimodo
Catálogo de Corning
10/24/2012 10/24/2012 René Játiva Espinoza
Ventana de Operación y Tasa de
Transferencia de Datos en Fibras Monomodo
Catálogo de Corning
10/24/2012 10/24/2012 René Játiva Espinoza
Origen de los mecanismos de ruido
en comunicaciones por fibra
Ampl. Excitación
Fibra: Ruido
de Partición
Detector:
Ruido cuántico
Ruido de fotomultiplicación
Fuente Óptica:
Ruido cuántico
Ruido de partición
Amplificador:
Ruido Térmico
Acoplamientos:
Ruido Modal
10/24/2012 10/24/2012 René Játiva Espinoza
Mecanismos de ruido en sistemas de
comunicaciones por fibra óptica
Ruido Fuente Características
Receptor Cuántico
Térmico
Fotomultipli-
cación
Detector
Resist. de entrada
y/o realimentación
Detector
Ruido Básico
Dominante en
fotodiodos de
avalancha
Fuente Óptica y
Medio de
Transmisión
Cuántico
Partición
Modal
LED o láser
Láser y Dispersión
cromática de la fibra
Láser y fibra
multimodo
Pequeño
Importante en
sistemas por fibra
monomodo
Por conexiones
imperfectas.
10/24/2012 10/24/2012 René Játiva Espinoza
Tasa de Errores y SNR en Detección
Directa
• La detección directa implica que la corriente de salida del
fotodetector es proporcional a la señal óptica incidente, y
la información se transmite modulando en intensidad la
señal óptica generada por el fotoemisor. En el caso de
modulación binaria, típicamente la relación de niveles
P1/P00,1-0,2. La Tasa de error en términos de bit (BER)
es:
2
1
2 2
1exp ; mucho mayor que 1
SBER ferc
N
ferc x x xx
10/24/2012 10/24/2012 René Játiva Espinoza
Ruido Cuántico
• Se origina por el carácter aleatorio en la conversión
de fotones a electrones, que se lleva a cabo en el
fotodetector. Es un ruido intrínseco y constituye
un límite que no puede sobrellevarse. Cuando el
receptor está condicionado por este ruido, la S/N es: 2
1
4
om PS R
hvBF
Po: Potencia óptica media
m: índice de modulación de la luz
F: Ganancia de corriente
B: Banda de ruido equivalente
v: frecuencia (c/)
h: cte. de Planck
: Eficiencia cuántica fotodetector (<80%)
10/24/2012 10/24/2012 René Játiva Espinoza
Ruido Térmico
• Cuando el fotodetector no presenta un proceso de
ganancia interna de corriente, la relación S/N viene
normalmente condicionada por el ruido térmico.
2 2
2
8
om P RS R
hKTB
q
R: Resistencia equivalente de
carga
T: Temperatura equivalente de
ruido
K: Constante de Boltzmann
q: carga del electrón
h=6,6260x10-34 J.s
K=1,38x10-23 J/K
10/24/2012 10/24/2012 René Játiva Espinoza
Ruido de Avalancha
• En caso de que el receptor presenta ganancia interna
en la conversión fotones-electrones, la relación (S/N)
óptima se consigue cuando la contribución de ruido
cuántico (amplificado por la ganancia del APD) es
de igual magnitud a la del térmico.
2
2 1
2 4o
a
h h KBTP BF
q R
F G
R: Velocidad de transmisión en línea
a: 0,15-0,25 APD Silicio y 0,5 APD de Germanio
10/24/2012 10/24/2012 René Játiva Espinoza
Ruido de Partición
• Solo tiene verdadero alcance en sistemas por fibras
monomodo por sobre 40km. La potencia óptica,
aunque se mantenga constante, se distribuye
aleatoriamente entre diversas rayas espectrales.
2
2
4 22
4
1
2
1
4
o
i i i i
i i
NP P
P PR
i: Retardo relativo entre i, y la longitud central de emisión
P(i): promedio de tiempo durante el cual la fuente emite en i.
10/24/2012 10/24/2012 René Játiva Espinoza
Ruido Modal
• Se manifiesta como una modulación indeseada en la
amplitud de la señal óptica. La frecuencia puede ser
desde algunos hercios hasta varios kilohercios, e implica
variaciones de nivel que pueden sobrepasar los 10 dB.
• El ruido modal se produce cuando se realizan empalmes
o conexiones defectuosos situados a una distancia de la
fuente óptica inferior a la longitud de coherencia.
• Para solventar este problema deben evitarse empalmes y
conexiones defectuosa, deben usarse LEDs, y dejarse un
margen de fibra dentro de la tarjeta láser para que la
primera conexión se produzca a una distancia superior a
la longitud de coherencia.
10/24/2012 10/24/2012 René Játiva Espinoza
Velocidad de Transmisión y Anchura
de Banda
• La degradación de los pulsos produce interferencia
entre símbolos (ISI) y por ende una limitación en el
ancho de banda de transmisión. La ISI puede
modelarse como un decremento efectivo del nivel de
señal óptica, es decir como una penalización en
potencia P (dB), que depende de la velocidad binaria
de transmisión en la línea, R, y de la frecuencia de
corte del sistema, fc.
2
4
5
0,2 3,7 10 % 0,5 1,7
c
RP C P dB
f
R ISI x P dB
C 0,4 - 1,5
10/24/2012 10/24/2012 René Játiva Espinoza
Relación Señal a Ruido Óptica
(OSNR)
• Se observa ruido en sistemas que incluyen amplificación
óptica, que resulta de la presencia de emisiones
espontáneas amplificadas (ASE) que se originan en el
proceso de amplificación y que son relativamente de
banda ancha. La OSNR se mide en decibelios, es una
figura de calidad que se relaciona con la BER del sistema.
10
_
10log /
/
/ .
s n salida
entrada salida
s entrada n
n
OSNR P P
F OSNR OSNR
OSNR P F P
P hfB
h=6,6260x10-34 J.s
(constante de Planck)
f=193THz;
10/24/2012 10/24/2012 René Játiva Espinoza
Relación Señal a Ruido Óptica
(OSNR)
• Para el cálculo de la OSNR en un enlace con varios
amplificadores, se calcula la Figura de Ruido equivalente
de la cascada, a partir del valor más alto de la figura de
ruido de entre todos los amplificadores en el sistema.
10
_ 1 _
_ _
. ;
10log
ampN
Sys a amp Sys i
i
Sys a ampdBdB
final s entrada S Sys n entradadBm dB dBm
s salida s entrada enlace SysdBdBm dBm dB
F F N G G
F F N
OSNR P L F P
P P L G
10/24/2012 10/24/2012 René Játiva Espinoza
Ejercicio
• Considere el esquema del sistema WDM de la figura. Determine: a) la OSNR a la entrada del receptor; b) la potencia de la señal en el receptor; y c) si el sistema es viable si el margen dinámico del receptor se especifica entre -25 y -7,5 dBm. La ganancia del amplificador en cada etapa de 21 dB con una figura de ruido de 6 dB. El coeficiente de atenuación de la fibra en uso es de 0,2; y la pérdida introducida por cada conector es de 0,25 dB.
Tx Rx
10 km 100 km 89 km 99 km
G=21 dB; F=6dB PT min=5dBm
PT max=-2dBm
PR min=-7,5dBm
PR max=-25dBm
10/24/2012 10/24/2012 René Játiva Espinoza
Ejercicio (continuación)
34 12 9
9
3
6,6240.10 . .193.10 .12,5.10
1,598.10
10log 5810
58
dB dB dBinsys sysout in
out
dB dBm dBm dB
sysout in in
c
dBm
in
dB dB dB
sysout in
OSNRF OSNR OSNR F
OSNR
OSNR S N F
N hf B J s Hz Hz
W
NN dBm
W
OSNR S dBm F
10/24/2012 10/24/2012 René Játiva Espinoza
Ejercicio (continuación)
1
2
3
4
0,2 10 2 0,25 2,50
0,2 100 2 0,25 20,50
0,2 89 2 0,25 18,30
0,2 99 2 0,25 20,30
dB
i i ci ciSi
dB
s
dB
s
dB
s
dB
s
L l N
dBL km x dB dB
km
dBL km x dB dB
km
dBL km x dB dB
km
dBL km x dB dB
km
Atenuaciones sobre segmentos
de F.O.
10/24/2012 10/24/2012 René Játiva Espinoza
Ejercicio (continuación)
10
1 2 3 4
1
1
1
10
1 2 3
10
1,78; 112,2; 67,61; 107,15
1; 1
1; 1
10 125,89
dBSi
dB
ai
L
Si
S S S S
i Si i
Si
a iSii ia i
Sia i
G
ai a a a
L
L L L L
F L G iL
GLF F G i
G L
G G G G
Figuras de Ruido y
Ganancias Equivalentes
en cada segmento
(Conjuntos F.O.+Amp)
10/24/2012 10/24/2012 René Játiva Espinoza
Ejercicio (continuación)
1 2 3 4
1 1 1
1
22 1
1
12
2
3 3 4 4
1,78; 112,2; 67,61; 107,15
11,78; 0,56
1 112,2 13,98 4,86
125,89
125,891,12
112,20
4,51; 1,86; 4,82; 1,18
S S S S
S
S
Sa
a
a
S
L L L L
F L GL
LF F
G
GG
L
F G F G
10/24/2012 10/24/2012 René Játiva Espinoza
Ejercicio (continuación)
32 41
1 1 2 1 2 3
11 1
3,86 3,51 3,821,78
0,56 0,56 1,12 0,56 1,12 1,86
17,54
12,44
58 2 58 12,44
43,56
sys
sys
sys
dB
sys
dB dB dB
sysout in
dB
out
FF FF F
G G G G G G
F
F
F dB
OSNR S dBm F dBm dBm dB
OSNR dB
10/24/2012 10/24/2012 René Játiva Espinoza
Ejercicio (Solución alternativa)
1 2 3 4
1 2 1 2
1 2 3 4
2
1,78 112,2
1,78 4,86
0,56 1,12
3,86 3,86 3,861,78 1,78 3,86(4,80)
0,56 0,56 1,12 0,56 1,12
20,32
13,07
58 2 58
S S S S
sys
sys
dB
sys
dB dB dB
sysout in
Si L y L L L
F y F F F
G y G G G
F
F
F dB
OSNR S dBm F dBm dB
13,07
42,93dB
out
m dB
OSNR dB
Generalizando el
peor caso.
10/24/2012 10/24/2012 René Játiva Espinoza
Ejercicio (Usando la expresión)
1
1
2,5 ; 6
58 10log
2 2,5 58 6 10log(3)
42,73
dB dB
S a
dB dB dB
S a aout in
dB
out
dB
out
L dB F dB
OSNR S L dBm F N
OSNR dBm dB dBm dB
OSNR dB
La expresión teórica confía en que las ganancias
equivalentes de los conjuntos amplificador y fibra
óptica son aproximadamente iguales a 1, y que el
ruido es aproximadamente igual a la entrada y a la
salida del primer segmento de fibra.
10/24/2012 10/24/2012 René Játiva Espinoza
Bibliografía
• Líneas de Transmisión, Rodolfo Neri Vela, McGraw-Hill, México, 1999.
• Optical Communications, Robert M. Gagliardi, Sherman Karp, Wiley Series in Telecommunications and Signal Processing, 1995.
• Comunicaciones por Fibra Óptica – Manual de Ingeniería, Raimundo Díaz de la Iglesia, Marcombo-Boixareu Editores, España, 1985.
• Fiber Optics Handbook – Fiber, Devices and Systems for Optical Communications, Michael Bass y Eric W. Van Stryland, McGraw-Hill TELECOM, U.S.A, 2002.
• Optical Network Design and Implementation; Cisco Systems, U.S.A, 2004.
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