UNIVERSIDAD NACIONAL TECNOLOGICA DEL CONO SUR DE LIMA

(UNTECS)

CARRERA PROFESIONAL: INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA

ASIGNATURA : ESTADÍSTICA DESCRIPTIVAUNIDAD I : PRESENTACION, INTERPRETACION Y ANALISIS DE DATOS

CONTENIDO : DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS

Semana N° Contenido

2

1.1 Metodología1.2 Propiedades de las frecuencias1.3 Aplicaciones en variables

continuas unidimensionales1.4 Aplicaciones en variables

discretas unidimensionales1.5 Aplicaciones en casos

multidimensionales1.6 Problemas propuestos

ELABORADO POR: Ing. Walter Eduardo Blas Ramos

LIMA

2013

DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS

Dentro de la Estadística la distribución de frecuencias y los gráficos estadísticos son

los instrumentos descriptivos más usados y con bastante aplicación práctica y común,

debido a que no requieren estudios estadísticos previos y mucho menos complejos.

La distribución de frecuencias consiste en ordenar los datos desordenados provenientes

de una muestra o población en categorías, clases o intervalos utilizando un determinado

procedimiento o método. Si se trata de una muestra, esta debe ser representativa de la

población para que los resultados obtenidos tengan cierto grado de confianza.

1.1. METODOLOGIA

El procedimiento metodológico para elaborar un cuadro de distribución de

frecuencias es el siguiente:

a) Identificar el tipo de variable.

El analista debe evaluar los datos numéricos y establecer si corresponden a una

variable discreta o continua.

Si los datos corresponden a una variable continua, entonces estos deben haberse

obtenido como resultado de una medición utilizando algún instrumento.

En caso contrario si los datos corresponden a una variable discreta, entonces

estos deben haberse obtenido como resultado de un conteo, de una evaluación

sensorial o alguna cualidad o atributo sin utilizar instrumento alguno.

b) Determinar el Rango o Amplitud (R) :

R = Xma - Xme

Donde: R es el Rango o Amplitud

Xma es el dato de mayor valor numérico

Xme es el dato de menor valor numérico

c) Establecer el número de clases (m) empleando la fórmula de

Sturges:

m = 1 + 3,322 log (n)

Donde: m es el número de clases

n es el número de datos

El criterio para establecer el número de clases que debe tener la distribución es

flexible, el analista puede optar por utilizar la formula de Sturges o establecer

un numero de clases en función a la naturaleza de la variable.

El número de clases debe ser un número entero, independiente del tipo de

variable, cuando el resultado de la ecuación de Sturges tenga decimales,

entonces se debe redondear utilizando las reglas matemáticas de redondeo.

d) Determinar el Intervalo de Clase (C) :

El intervalo de clase es la separación que existe entre las clases o categorías, y

es constante para todas las categorías en toda la distribución.

C = Rango / Número de clases

C = R/m

Cuando se está ordenando valores correspondientes a variables continuas, el

valor de “C” puede contener decimales, siendo recomendable procesar la

información con tres decimales para alcanzar errores del milésimo.

En caso de ordenar datos de variables discretas, el valor "C" debe ser entero,

para lo cual se debe emplear el redondeo matemático en primera instancia; y en

caso que no sea posible estructurar las clases, entonces se recurrirá al criterio de

adecuar la estructura de clases o categorías con redondeos a los enteros

inmediatos superiores. Sin embargo algunas variables discretas pueden admitir

decimales tales como: valores monetarios, porcentajes y calificaciones.

e) Establecer la primera clase o categoría

Cuando los datos a procesar corresponden a una la variable continua, la primera

clase tendrá el siguiente intervalo:

Xme -------------------- Xme+ C

En caso de procesar variables discretas, la primera case tendrá la siguiente

estructura:

Xme -------------------- Xme + (C - 1)

Donde: Xme es el dato de menor valor numérico.

C es el intervalo de clase determinado.

f) Construir la estructura de clases

Sean: mj = m1, m2,…………………..mk las clases o categorías

C el intervalo de clase determinado

Xme el dato de menor valor numérico

Xma el dato de mayor valor numérico

Para lo indicado se tendrá la siguiente estructura asumiendo que la variable es

continua:

CLASES ABSOLUTAS

m1

m2

m3

.

.

mj

.

.

mk

Primera clase

Segunda clase

Tercera clase

.

.

J-ésima clase

.

.

K-ésima clase

Xme … ………Xme + C

Xme + C . ……….. Xme + 2C

Xme + 2C ………… Xme + 3C

. .

. .

Xme + (j-1) C…………Xme + jC

. .

. .

Xme + (k-1).…………..Xme + kC = Xma

A la estructura de la tercera columna del cuadro anterior se le conoce como CLASES

ABSOLUTAS y son aquellas que resultan de la distribución inicial de datos; dentro

de las clases absolutas todos los valores que se encuentran al lado izquierdo del

intervalo se les conoce como LÍMITES DE CLASE INFERIOR y los que se

encuentran a la derecha LÍMITES DE CLASE SUPERIOR. Además cuando la

variable es continua la distribución se inicia con el dato menor en la primera clase

(Xme) y termina con el dato mayor en la última clase (Xma).

g) Tabular o distribuir datos en clases o categorías.

La distribución de frecuencias sirve para presentar información ordenada en clases o

categorías con sus correspondientes frecuencias o cantidades en cada una de ellas; lo

cual resulta económico y útil para su interpretación, análisis y toma de decisiones;

mientras tanto el aspecto negativo se refleja, debido a que dicha distribución

comienza a incorporar otro tipo de error al margen del error experimental.

Construida las clases absolutas, los datos en estudio deben distribuirse a las

categorías respectivas, algo así corno compartimentos, en los cuales se colocarán los

datos que se encuentran en cada una de estas clases.

La Frecuencia Absoluta, lo constituye el número de datos que una vez finalizada

la distribución, se encuentran en cada clase.

Los Límites Superior e Inferior de Clase, deben estar definidos

empleando la simbología matemática de intervalos. Para variables continuas

se emplea como norma, intervalo cerrado en el límite inferior e intervalo

abierto en el límite superior; y para variables discretas cerrando en ambos límites.

1.2. PROPIEDADES DE LAS FRECUENCIAS

a) Numero de datos (n): La suma de todas las frecuencias absolutas, debe

dar como resultado el número total de datos que se está evaluando (n).

b) Clases reales: En caso de variables discretas, dada la discontinuidad de la

función matemática, es necesario determinar Clases Reales; dichas clases se

obtienen determinando en primera instancia la diferencia que existe entre

el límite superior de una clase con el límite inferior de la clase que se

encuentra debajo de la anterior, la cual es constante en toda la distribución;

esta diferencia se divide en dos partes iguales, los que se distribuyen de la

siguiente manera : Una mitad se suma a los límites superiores absolutos y

la otra mitad se resta a los límites inferiores absolutos; de esta manera la

función tendrá continuidad numérica para los análisis posteriores.

c) Frecuencia relativa (f r): Son fracciones que representan a las clases

dentro de la distribución. Se obtienen dividiendo las frecuencias absolutas de

cada clase entre el número total de datos o entre la suma total de las

frecuencias absolutas. La sumatoria de todas las frecuencias relativas, da como

resultado la unidad (1). Es recomendable trabajar con tres decimales, para

disminuir el error de cálculo al milésimo.

d) Frecuencia porcentual (f%): Son porcentajes que representan a las

clases dentro de la distribución. Se determina multiplicando la

frecuencia relativa por 100. La suma total de estas frecuencias es 100 ó sea

cien por ciento.

e) Frecuencia angular (fg): Son frecuencias que están relacionadas a la

circunferencia, donde cada clase forma parte de una región angular cuando

dicha distribución es representada en un gráfico circular. Se obtiene

multiplicando las frecuencias relativas de cada clase por trescientos sesenta

grados (3600). La suma total de todas estas frecuencias angulares debe ser

360. Esta información se utiliza para la construcción de gráficos circulares, y

tiene mas aplicación cuando se describe variables discretas

f) Frecuencia acumulada (fa): Son frecuencias que se obtienen por sumatorias

sucesivas en forma ordenada con un sentido definido. Se pueden

acumular las frecuencias absolutas, relativas y porcentuales. El sentido de la

acumulación puede ser ascendente y descendente.

g) Marca de clase (xi): Son indicadores que representan el valor central de cada

clase, y se obtienen como la semisuma del límite inferior y superior de cada

clase.

1.3. APLICACIONES EN VARIABLES CONTINUAS UNIDIMENSIONALES

Se tiene un lote de producción de 750 cajas de pernos de 2 pulgadas

de longitud, del cual se toma una muestra de tamaño 32,

determinándose el peso bruto de cada una de ellas, y obteniéndose los

siguientes resultados en (Kg).

29,4 28,2 30,8 30,0

29,3 29,6 31,4 30,5

30,4 30,6 31,3 30,6

30,7 31,1 32,4 32,0

31,4 31,0 32,9 33,4

31,5 31,7 31,0 32,5

32,6 33,1 30,9 31,9

34,8 29,9 31,0 30,1

Elaborar un cuadro de distribución de frecuencias, y desarrollar la aplicación

de todas sus propiedades.

Desarrollo. -

a) Identificación del tipo de variable

La variable cuantificada corresponde a una medición que es el peso en (Kg) por

lo tanto es un variable de carácter continua.

a) Cálculo del Rango o Amplitud ( R) :

R = Xma - Xme

Xma = 34,8

Xme = 28,2

R= 34,8 - 28,2 = 6,6

b) Cálculo del número de clases en función a la fórmula de Sturges :

m = 1 + 3,322 log (n)

m = 1 + 3,322 log (32)

m = 6,000

m = 6 clases

c) Determinación del intervalo de clase ( C) :

Es la separación que hay entre clase y clase, y es constante para todas las clases de

una distribución.

C = R/m

C = 6,6/6

C = 1,1

Como la variable es continua, C puede tener decimales.

d) Determinación de la primera clase :

Xme__________Xme + C

Reemplazando valores se tendrá

28,2___________28,2 + 1,1

entonces la primera clase será:

Desde 28,2 hasta 29,3

La primera clase es la base sobre la cual se va construir las demás clases,

sumándoles la constante C

f) Construcción de las clases

Se tendrá en cuenta que en la primera distribución se obtendrá las clases absolutas con

sus respectivas frecuencias absolutas. Además se empleará la simbología matemática

para definir la tendencia del intervalo, el cual será cerrado al lado izquierdo y abierto al

lado derecho.

CLASES ABSOLUTAS

[Xk ………… Xk +1)

[28,2 …………. 29,3)

29,3 …………. 30,4)

30,4 …………. 31,5)

31,5 …………. 32,6)

32,6 …………. 33,7)

33,7 …………. 34,8]

g) Tabulación de datos

Consiste en ordenar la información, ubicando los 32 datos en las respectivas clases o

categorías que la contienen:

CLASES ABSOLUTAS CONTEO FRECUENCIA ABSOLUTA

[Xk …………….. Xk +1) (fi)

28,2 ……………….. 29,3

29,3 ……………….. 30,4

30,4 ……………….. 31,5

31,5 ……………….. 32,6

32,6 ……………….. 33,7

33,7 ……………….. 34,8

II

IIIII

IIIII IIIII IIII

IIIIII

IIII

I

2

5

14

6

4

1

32

Observaciones:

La distribución comienza con el dato menor y termina con el dato

mayor, por ser una variable continua.

El resultado del conteo se define como frecuencia absoluta y queda representada

por (fi) con las unidades originales del problema.

La diferencia entre el límite superior de la primera clase con el límite

inferior de la segunda clase es cero, entonces no es necesario

determinar clases reales, dado que la variable es continua "y por lo tanto

las clases absolutas son a la vez son clases reales”

La suma de las frecuencias absolutas es igual al número de datos n= 32

Los valores que se encuentran al lado izquierdo comenzando con 28,2

constituyen los límites inferiores de clase; mientras que los valores que

se encuentran a la derecha, desde 29,3 se les conoce como límites

superiores de clase.

Los limites inferiores de la distribución son valores abiertos, por lo tanto en el

caso del problema si se tiene un valor de 33,7 este pertenecerá a la última clase y

no a la quinta clase.

Desarrollo de las propiedades de las frecuencias.

- Determinación de las frecuencias relativas (fr): fr=(1/ fi) fi ó fr=(1/ n)fi

fi fr = (1/n) fi fr

2

5

14

6

4

1

2 / 32

5 / 32

14 / 32

6 / 32

4 / 32

1 / 32

0,062

0,156

0,438

0,188

0,125

0,031

32 1,000

- Determinación de las frecuencias porcentuales (f%): f % = fr (100)

fi fr f% = frx100 f%

2

5

14

6

4

1

0,062

0,156

0,438

0,188

0,125

0,031

0,062 (100)

0,156 (100)

0,438 (100)

0,188 (100)

0,125 (100)

0,031 (100)

6,2

15,6

43,8

18,8

12,5

3,1

32 1,000 1,000 (100) 100,0

- Determinación de las frecuencias angulares (fg): fg = fr (360)

fi fr f% fg = frx360 fg

2

5

14

6

4

1

0,062

0,156

0,438

0,188

0,125

0,031

6,2

15,6

43,8

18,8

12,5

3,1

0,062 (360)

0,156 (360)

0,438 (360)

0,188 (360)

0,125 (360)

0,031 (360)

22,32

56,16

157,68

67,68

45,00

11,16

32 1,000 100,0 1,000 (360) 360.00

- Determinación de frecuencias acumuladas.

Acumulando en forma ascendente, en el sentido que indica la flecha ( ) tenemos:

fi fia fr fra f% f% a

2

5

14

6

4

1

2

7

21

27

31

32

0,062

0,156

0,438

0,188

0,125

0,031

0,062

0,218

0,656

0,844

0,969

1,000

6,2

15,6

43,8

18,8

12,5

3,1

6,2

21,8

65,6

84,4

96,9

100,0

Acumulando en forma descendente, en el sentido que indica la flecha ( ) tenemos:

fi fia fr fra f% f% a

2

5

14

6

4

1

32

30

25

11

5

1

0,062

0,156

0,438

0,188

0,125

0,031

1,000

0,938

0,782

0,344

0,156

0,031

6,2

15,6

43,8

18,8

12,5

3,1

100,0

93,8

78,2

34,4

15,6

3,1

donde:

fia es la frecuencia absoluta acumulada ascendente.

fra es la frecuencia relativa acumulada ascendente.

f%a es la frecuencia porcentual acumulada ascendente.

fia es la frecuencia absoluta acumulada descendente.

fra es la frecuencia relativa acumulada descendente.

f% a es la frecuencia porcentual acumulada descendente.

1.4 APLICACIONES EN VARIABLES DISCRETAS UNIDIMENSIONALES

Problema

La siguiente información corresponde al número de alumnos por aula en una escuela

primaria del Cercado de Lima.

38 46 51 42 54 36 50 45 53 56

50 53 58 31 47 55 56 49 60 64

47 43 65 51 50 44 49 40 46 53

53 63 56 50 37 51 33 57 61 49

39 55 42 63 45 59 57 47 55 66

49 58 35 54 46 41 49 43 62 51

Desarrollar un cuadro de distribución de frecuencias, complementando con todas sus

propiedades:

Solución:

a) Determinación del tipo de variable

El conteo del número de alumnos por aula es una variable discreta cualitativa.

b) Cálculo del Rango o Amplitud ( R ):

R = Xma – Xme

R = 66 – 31

R = 35

c) Cálculo del Número de clases empleando la fórmula de Sturges:

m = 1 + 3,322 log (n)

m = 1 + 3,322 log (60)

m = 69

como el número de clases no puede ser un valor con decimales, éste debe ser

redondeado en base al principio matemático.

m = 7

d) Determinación del Intervalo de Clase (C):

c = R/m

c = 35/7

c = 5

e) Construcción de la primera clase.

Xme ----------- Xme + (c=1)

31 ----------- 31 + ( 5 – 1)

31 ----------- 35

Entonces la primera clase será el intervalo desde 31 hasta 35, lo cual debe ser

considerado en el cuadro cerrado en ambos extremos.

f) Construcción de las clases absolutas

Clases Absolutas

Xk_________ Xk+1

31 35

36 40

41 45

46 50

51 55

56 60

61 65

66 70

g) Tabulación de datos.

Clases absolutas

Xk_________ Xk+1

Conteo Frecuencia absoluta

fi

31 35

36 40

41 45

46 50

51 55

56 60

61 65

66 70

III

IIIII

IIIII III

IIIII IIIII IIIII

IIIII IIIII III

IIIII IIII

IIIII I

I

3

5

8

15

13

9

6

1

La diferencia entre el límite superior de la primera clase y el límite inferior de la

segunda clase es uno (36-35 = 1) por lo tanto será necesario determinar CLASES

REALES para que esta diferencia sea cero en todas las categorías de la distribución.

La suma de todas las frecuencias absolutas es igual a n: (n = 60).

Desarrollo de las propiedades complementarias.-

- Determinación de frecuencias relativas (fr):

fr = fi /n

fi Fr

3

5

8

15

13

9

6

1

0,050

0,083

0,133

0,250

0,217

0,150

0,100

0,017

60 1,000

- Determinación de Frecuencias Porcentuales (f%):

f% = fr (100)

fi fr

3

5

8

15

13

9

6

1

5,0

8,3

13,3

25,0

21,7

15,0

10,0

1,7

60 100,0

La sumatoria de todas las frecuencias porcentuales debe ser exactamente

igual a cien.

- Determinación de Frecuencias Angulares (fg°)

fg° = fr(360)

fr fg°

0,050

0,083

0,133

0,250

0,217

0,150

0,100

0,017

18,00

29,88

47,88

90,00

78,12

54,00

36,00

6,12

1,000 360,00

La suma de todas las frecuencias angulares es igual a 3600

- Determinación de Frecuencias Acumuladas Ascendentes (fa↓) y

Descendentes (fa↑)

fi Fia↓

3

5

8

15

13

9

6

1

3

8

16

31

44

53

59

60

Fr fra↓

0,050

0,083

0,133

0,250

0,217

0,150

0,100

0,017

0,050

0,133

0,266

0,516

0,733

0,883

0,983

1,000

f% f%↓

3,0

8,3

13,3

25,0

21,7

15,0

10,0

1,8

5,0

13,3

26,6

51,6

73,3

88,3

98,3

100,0

fi fia↑

3

5

8

15

13

9

6

1

60

57

52

44

29

16

7

1

Fr fra↑

0,050

0,083

0,133

0,250

0,217

0,150

0,100

0,017

1,000

0,950

0,867

0,734

0,484

0,267

0,117

0,017

f% f%a↑

5,0

8,3

13,3

25,0

21,7

15,0

10,0

1,7

100,0

95,0

86,7

73,4

48,4

26,7

11,7

1,7

En el primer caso se llama ascendente por que las frecuencias acumuladas

van aumentando en el sentido de la lectura normal.

En el segundo caso se llama descendente por que las frecuencias

acumuladas van descendiendo o disminuyendo en el sentido de la lectura

normal

- Determinación de Marcas de clase (xi):

Xi = (LIC + LSC) / 2

Donde: LIC = Límite Inferior de Clase

LSC = Límite Superior de Clase

Clases Absolutas

Xk_________ Xk+1

Marcas de clase

Xi

31 35

36 40

41 45

46 50

51 55

56 60

61 65

66 70

33

38

43

48

53

58

63

68

- Determinación de las Clases Reales:

Clases Absolutas

Xk_________ Xk+1

Clases Reales

Xk_________ Xk+1)

31 35

36 40

41 45

46 50

51 55

56 60

61 65

66 70

30,5 ------------ 35,5

35,5 ------------ 40,5

40,5 ------------ 45,5

45,5 ------------ 50,5

50,5 ------------ 55,5

55,5 ------------ 60,5

60,5 ------------ 65,5

65,5 ------------ 70,5

En las clases absolutas la diferencia entre el LSC y el LIC de la clase inmediata

inferior es uno, lo cual es constante para toda la distribución. Esta diferencia

dividiendo en dos partes iguales es 0,5. Este valor se resta a los LIC de cada clase y

se obtienen los LIC de las clases Reales. Luego el mismo valor 0,5 hallado, se

suman a los LSC de cada clase y se obtienen los LSC de las Clases Reales.

Matemáticamente se fundamenta en el hecho que si a un número le restas y luego

de sumas el mismo valor, el número no se altera.

1.5 APLICACIONES EN CASOS MULTIDIMENSIONALES

Estas distribuciones se realizan cuando el estudio está interesado en evaluar dos o

más variables. El caso más simple es el bidimensional o de doble entrada.

El siguiente cuadro presenta una distribución bidimensional de

doble entrada.

PESO (kg)

Xk – Xk+1)

ESTATURA (m)

Yk ----------- Yk+1)

1,55 – 1,61 1,61 – 1,67 1,67 – 1,73 1,73 – 1,79 1,79 – 1,85

50 – 55

55 – 60

60 – 65

65 – 70

70 – 75

75 – 80

80 – 85

3

5

4

1

15

14

7

4

27

23

6

1

9

14

12

2

1

6

15

13

4

1

Si se quisiera obtener una distribución unidimensional a partir de este cuadro se

tiene lo siguiente:

Peso (kg)

Xk _____ Xk+1)

fi

50 _______55

55 _______60

60 _______65

65 _______70

4

25

60

59

70 _______75

75 _______80

80 _______85

31

6

2

187

En el cuadro bidimensional, se pueden hacer

más clasificaciones en cada una de las

variables estatura o peso, convirtiéndose así en

multidimensional.

Por ejemplo, cada grupo de estatura se puede

subdividir en masculino y femenino; y por

otro lado cada grupo de peso también se puede

subdividir en masculino y femenino y de esta

manera se puede ir incorporando más variables en el cuadro.

El análisis debe realizarse en forma individual a cada variable.

1.6. PROBLEMAS PROPUESTOS

P.1 La siguiente muestra corresponde a la longitud en centímetros de brocas aceradas

para minería.

Estatura (m)

Yk _____ Yk+1)

fi

1,55_______1,61

1,61_______1,67

1,67 _______1,73

1,73_______1,79

1,79_______1,85

12

37

60

39

39

187

22,4

22,1

20,4

20,1

21,8

23,6

21,4

23,3

22,8

20,6

20,9

21,6

22,6

22,9

23,1

23,8

23,7

22,7

23,2

22,8

22,5

21,2

22,8

23,8

22,6

21,9

23,3

21,6

20,7

22,5

22,7

22,6

20,4

20,2

21,9

23,8

20,9

23,2

21,9

23,5

a) Construir un cuadro de distribución de frecuencias utilizando el criterio de

Sturges.

b) Construir un cuadro que contenga: fr, f%, fg°, fia↓, fra↓, f%a↑, Xi, y Clases

Reales.

P.2 Al calibrar una selladora de conservas se han obtenido las siguientes dimensiones

en milímetros.

74

79

75

66

74

72

73

64

77

61

71

70

73

62

71

62

70

71

70

63

61

63

65

71

69

72

63

64

75

71

66

66

62

71

62

77

68

65

72

62

72

74

68

65

68

73

65

70

68

74

64

68

78

78

63

70

76

79

a) Construir un cuadro de distribución de frecuencias utilizando la fórmula de

Sturges.

b) Construir un cuadro que contenga: fr, f%, fg°, fia↑, fra↓, f%a↓, Xi, Clases

Reales.

P.3. Luego de una evaluación en la asignatura de Matemática Aplicada

se obtuvieron los siguientes resultados:

9

12

4

13

5

15

8

6

15

2

6

11

12

9

13

10

11

12

12

14

17

11

9

5

14

14

12

10

8

15

15

14

14

15

16

12

14

16

12

13

7

10

8

16

14

5

12

8

10

14

12

16

11

15

3

12

14

18

8

3

4

16

12

11

9

18

19

8

10

11

12

10

19

17

8

14

13

17

7

13

12

14

19

11

7

17

10

a) Construya un cuadro de distribución de frecuencias utilizando el criterio de

Sturges.

b) Construya un cuadro de distribución de frecuencias con 6 clases.

c) Construya un cuadro que contenga: fr, f%, fg°, fia↓, fra↑, f%a↓, xi y Clases

Reales.

P.4. El siguiente cuadro representa el diámetro de una pieza metálica de motor.

Diámetro (cm)

Xk _____ Xk+1)

fi

30 40

40 50

50 60

60 70

70 80

80 90

90 100

5

11

19

28

16

8

2

Xk _____ Xk+1) fi Hi

20 _________30

30 _________40