ESTADÍSTICA GENERAL – METODOS ESTADÍSTICOS
DISEÑOS EXPERIMENTALES
DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR
1. Se realiza una investigación cuyo objetivo es evaluar el empleo de 5
formulaciones de alimento diferente en la dieta de la trucha “arco iris”. El periodo
de investigación duró 30 días y la variable a cuantificar es el incremento de peso
expresado en gramos. Los resultados obtenidos son los siguientes:
FORMULACIONES
F1 F2 F3 F4 F5
10 19 9 16 24
8 21 9 15 26
9 20 10 14 23
11 23 11 15 25
10 19 12 16 24
8 19 8 13 23
9 20 9 - 22
12 - 10 - -
Se pide:
a) Elaborar el Cuadro de la Varianza (ANVA o ANOVA) y realizar una Prueba “F” (Fisher) a un nivel de
significancia del 5%.
b) Desarrollar las pruebas de Contraste específicas siguientes:
b.1 Prueba de “t” (t-student)
b.2 Prueba DLS (Diferencia límite de significación) a un nivel de significancia del 5%
b.3 Prueba de Duncan a un nivel de significancia del 1%
b.4 Prueba de Tukey a un nivel de significancia del 5%
Solución:
Definiciones básicas:
Factor a estudiar: Formulaciones (dieta) de alimento
Niveles del factor: Se consideran 5 formulaciones de alimento: F1, F2, F3, F4 y F5, lo que equivale a 5
tratamientos.
Número de repeticiones: Diferentes para cada tratamiento
Periodo de investigación: 30 días
Unidad experimental: Trucha “arco iris”, en total se tienen 36 unidades experimentales (36 individuos)
Variable aleatoria a estudiar: Es la medida del efecto de las formulaciones en el alimento de la trucha
“arco iris”, el cual es cuantificado por el incremento de peso expresado en gramos en las truchas. Así por
ejemplo tenemos que en el tratamiento uno (F1), una trucha durante el periodo de la investigación tuvo
un incremento de 10 g, una segunda trucha incrementó su peso en 8 g y así sucesivamente.
a) Análisis de la varianza:
Profesor: Ing. Enrique Morales [email protected]
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FORMULACIONES
F1 F2 F3 F4 F5
10 19 9 16 24
8 21 9 15 26
9 20 10 14 23
11 23 11 15 25
10 19 12 16 24
8 19 8 13 23
9 20 9 - 22
12 - 10 - -
Xi . = 77 141 78 89 167
ri = 8 7 8 6 7
. = 9,62 20,14 9,75 14,83 23,86
Xij = 552
ri = 36
Formulas :
SCTR = [ ( 772/8) + ( 1412/7) + ( 782/8) + ( 892/6) + ( 1672/7) ] - ( 5522/36) = 1182,1
SCTO = [ (102 + 82 + 92 + .......................... + 242 + 232 + 222 ] - ( 5522/36) = 1 238,0 = CSFR
SCEE = 1 238 – 1 182,1 = 55,9
GLTR = 5 – 1 = 4
GLTO = 36 – 1 = 35
GLEE = 35 – 4 = 31
CMTR = 1 182,1 / 4 = 295,5
CMEE = 55,9 / 31 = 1,8
ANOVA (ANVA)
FV SC GL CM
FR 1 182,1 4 295,5
EE 55,9 31 1,8
TO 1 238,0 35 Fc = 164,2
Prueba de Fisher:
Es una prueba de significación que permite evaluar si existe o no existe diferencia entre los tratamientos del
factor, se puede realizar a niveles de significación del 1% y 5%
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SCTR = (Xi .2 /ri) – [(Xij)2/ ri]SCTO = Xij2 – [(Xij)2/ ri]SCEE = SCTO - SCTR
GLTR = t - 1GLTO = ri - 1SCEE = GLTO-GLTR
CMTR=SCTR/GLTR ; CMEE=SCEE/GLEE
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Formulación de las hipótesis:
Ho = i = 0 (El efecto del factor es nulo; i = 1, 2, 3, 4, 5 )
H1 = i 0 (al menos uno de los tratamientos tiene un efecto diferente a los demás; i = 1, 2, 3, 4, 5)
Nivel de significación = 5% = 0,05
Determinación del indicador: Fc = CMTR / CMEE
Fc = 295,5 / 1,8 = 164,2
Determinación de la región de aceptación:
Tabla de decisión:
Si Fc FT Se RECHAZA Ho
Si Fc FT Se ACEPTA Ho
Si se rechaza Ho a un = 0.05 La prueba es significativa (*)
Si se rechaza Ho a un = 0.01 La prueba es altamente significativa (**)
Si se acepta Ho La prueba es No significativa (ns)
Como Fc = 164,2 > FT = 2,68 Se rechaza Ho, por lo tanto la prueba es significativa
Conclusión:
A un nivel de significación del 5% se afirma que existen diferencias significativas entre los efectos de las
formulaciones de alimento en el incremento del peso de la trucha “arco iris”, pues al menos una de las
formulaciones tiene un efecto diferente a las demás.
Como la prueba de “F” ha dado resultados significativos, se continua desarrollando más pruebas de contraste
específicas y que requieren una previa prueba de “F”, estas pruebas son: “t – student”, “DLS”, “Scheffe”, etc.
b) Desarrollando las pruebas de Contraste específicas siguientes:
b.1 Prueba de “t” (t-student)
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1-= 0.95 = 0.05
RA / Ho RR / Ho
FT
RA/Ho = [ 0,FT ]
= 0.05 FT = GLTR=4 = 2,68
GLEE =31
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Esta prueba se realiza solamente cuando la prueba de “F” ha dado resultados significativos (una prueba
es significativa cuando existen diferencias entre los efectos de los tratamientos sobre la unidad
experimental, es decir se rechaza Ho).
Es recomendable su empleo cuando el diseño tiene dos tratamientos. Si existieran mas de dos
tratamientos, el nivel de significación a se incrementa perdiendo de esta manera el nivel de confianza
requerido.
Determinación del número de comparaciones:
C(t,2) = C2t = t ! / [(t-2 )! x 2!]
C(5,2) = C25 = 5 ! / [(5-2 )! x 2!] = 10 combinaciones:
Ordenando los tratamientos (formulaciones) de mayor a menor respecto a sus medias poblacionales:
F5 > F2 > F4 > F3 > F1
Estableciendo las comparaciones de dos a dos:
F5 vs F2 F2 vs F3
F5 vs F4 F2 vs F1
F5 vs F3 F4 vs F3
F5 vs F1 F4 vs F1
F2 vs F4 F3 vs F1
Formulación de las hipótesis:
Ho = k = m (la media poblacional de los tratamientos producen el mismo efecto; k, m = 1, 2, 3, 4, 5)
H1 = k m (la media poblacional de los tratamientos tienen efectos diferentes; k, m = 1, 2, 3, 4, 5)
Nivel de significación = 5% = 0,05
Determinación del estadístico de contraste: t c = (k - m) / Sd
Sd = [ (CMEE / rk) + (CMEE / rm) ]1/2
(k - m) : Promedio de los dos tratamientos que se comparan
sd : Desviación estándar de los coeficientes
k y m : Tratamientos comparados
Determinación de la región de aceptación:
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1-= 0.95
RA / Ho RR / HoRR / Ho
= 0.025
+tT
= 0.025
-tT
RA/Ho = [ -tT,+tT ]
= 0.025 tT = GLEE =31= 2,04
tT GLEE
2,042 30
X 31
2,030 35
X-2,042
=
31-30
2,030-2,042 35-30
X = 2,04
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Tabla de decisión:
Si tc t T Se RECHAZA Ho tc RA/Ho [ -tT,+tT ]
Si tc t T Se ACEPTA Ho tc RA/Ho [ -tT,+tT ]
Como los valores tc son siempre positivos podemos decidir en la siguiente tabla en función a tc t T o
tc t T para lo cual consideramos una prueba múltiple de t - Student:
| k - m | DIFERENCIA DE MEDIAS (+) Sd tc tT DECISION
F5 – F2 23,86 - 20,14 = 3,72 0,72 5,19 > 2,04 Se RECHAZA Ho *
F5 – F4 23,86 - 14,83 = 9,03 0,75 12,10 > 2,04 Se RECHAZA Ho *
F5 – F3 23,86 - 9,75 = 14,11 0,69 20,32 > 2,04 Se RECHAZA Ho *
F5 – F1 23,86 - 9,62 = 14,24 0,69 20,51 > 2,04 Se RECHAZA Ho *
F2 – F4 20,14 - 14,83 = 5,31 0,75 7,11 > 2,04 Se RECHAZA Ho *
F2 – F3 20,14 - 9,75 = 10.39 0,69 14,96 > 2,04 Se RECHAZA Ho *
F2 – F1 20,14 - 9,62 = 10,52 0,69 15,15 > 2,04 Se RECHAZA Ho *
F4 – F3 14,83 - 9,75 = 5,08 0,72 7,01 > 2,04 Se RECHAZA Ho *
F4 – F1 14,83 - 9,62 = 5,21 0,72 7,19 > 2,04 Se RECHAZA Ho *
F3 – F1 9,75 - 9,62 = 0,13 0,67 0,19 < 2,04 Se ACEPTA Ho ns
Conclusión:
Las conclusiones se hacen por separado para cada comparación, sin embargo por tratarse de una
prueba múltiple de t - student a nivel de significación del 5% y al obtener resultados similares entre las
comparaciones, se pueden agrupar las comparaciones de resultados homogéneos para dar una
conclusión general para un grupo determinado de comparaciones.
En los grupos de comparaciones con resultados homogéneos, tendrán un mayor efecto sobre la unidad
experimental, aquellas formulaciones que alcancen un mayor promedio de incremento de peso (g)
- La prueba tiene evidencia estadística para afirmar que el promedio alcanzado por las
comparaciones de las formulaciones de alimento:
F5 vs F2 (*) F5 vs F1 (*) F2 vs F1 (*)
F5 vs F4 (*) F2 vs F4 (*) F4 vs F3 (*)
F5 vs F3 (*) F2 vs F3 (*) F4 vs F1 (*)
Producen un efecto diferente sobre el incremento del peso de la trucha “arco iris”, observándose un
mayor efecto positivo en las formulaciones ubicadas en el primer término para cada par comparado,
por ejemplo: F5 vs F2, tiene un mayor efecto la F5 por tener un mayor promedio, F4 produce un
mejor efecto sobre F3 y F1, pero un efecto menor en comparación a F2 y F5.
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- La prueba tiene evidencia estadística para afirmar que el efecto producido por las formulaciones F3
y F1 es el mismo sobre el incremento de peso de la truca “arco iris”, no observándose diferencias
significativas entre estas formulaciones sobre el alimento, por lo que la prueba “t” para esta
comparación F3 vs F1 (ns) ha dado resultados no significativos.
b.2 Prueba DLS (Diferencia Límite de Significación)
Es una prueba significativa de “t” en la cual con un solo valor DLS se realizan todas las comparaciones a
nivel de promedios, ésta prueba al igual que la prueba de “t” requiere una previa prueba de “F” y se
realiza solamente cuando la prueba de “F” ha dado resultados significativos, es decir cuando existen
diferencias significativas entre los tratamientos en comparación ósea se rechaza Ho.
Determinación del número de comparaciones:
El número y ordenamiento de comparaciones se calcula de igual manera que en la prueba de “t”
C(5,2) = C25 = 5 ! / [(5-2 )! x 2!] = 10 combinaciones:
Ordenando los tratamientos (formulaciones) de mayor a menor respecto a sus medias poblacionales:
F5 > F2 > F4 > F3 > F1
Formulación de las hipótesis:
Ho = k = m (la media poblacional de los tratamientos producen el mismo efecto; k, m = 1, 2, 3, 4, 5)
H1 = k m (la media poblacional de los tratamientos tienen efectos diferentes; k, m = 1, 2, 3, 4, 5)
Nivel de significación = 5% = 0,05
Determinación del valor: DLS = tT . (Sd)
Sd = [ (CMEE / rk) + (CMEE / rm) ]1/2
Determinación de la región de aceptación: RA/Ho = [ -tT , +tT ]
tT = [ = 0.025; GLEE =31 ]= 2,04
Tabla de decisión:
Si | k - m | DLS Se RECHAZA Ho
Si | k - m | DLS Se ACEPTA Ho
Como los valores | k - m | son siempre positivos podemos decidir en la siguiente
tabla en función al valor DLS para lo cual consideramos una prueba múltiple
DLS:
| k - m | DIFERENCIA DE MEDIAS tT . Sd DLS DECISION
F5 – F2 23,86 - 20,14 = 3,72 > (2,04) (0,72) = 1,47 Se RECHAZA Ho *
F5 – F4 23,86 - 14,83 = 9,03 > (2,04) (0,75) = 1,53 Se RECHAZA Ho *
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F5 – F3 23,86 - 9,75 = 14,11 > (2,04) (0,69) = 1,42 Se RECHAZA Ho *
F5 – F1 23,86 - 9,62 = 14,24 > (2,04) (0,69) = 1,42 Se RECHAZA Ho *
F2 – F4 20,14 - 14,83 = 5,31 > (2,04) (0,75) = 1,53 Se RECHAZA Ho *
F2 – F3 20,14 - 9,75 = 10.39 > (2,04) (0,69) = 1,42 Se RECHAZA Ho *
F2 – F1 20,14 - 9,62 = 10,52 > (2,04) (0,69) = 1,42 Se RECHAZA Ho *
F4 – F3 14,83 - 9,75 = 5,08 > (2,04) (0,72) = 1,47 Se RECHAZA Ho *
F4 – F1 14,83 - 9,62 = 5,21 > (2,04) (0,72) = 1,47 Se RECHAZA Ho *
F3 – F1 9,75 - 9,62 = 0,13 < (2,04) (0,67) = 1,37 Se ACEPTA Ho ns
Conclusión:
Las conclusiones se hacen por separado para cada comparación, sin embargo por tratarse de una
prueba múltiple DLS a nivel de significación del 5% se puede concluir en forma general agrupando
resultados homogéneos entre las comparaciones:
- La prueba tiene evidencia estadística para afirmar que el promedio alcanzado por las
comparaciones de las formulaciones de alimento:
F5 vs F2 (*) F5 vs F1 (*) F2 vs F1 (*)
F5 vs F4 (*) F2 vs F4 (*) F4 vs F3 (*)
F5 vs F3 (*) F2 vs F3 (*) F4 vs F1 (*)
Producen un efecto diferente sobre el incremento del peso de la trucha “arco iris”, observándose un
mayor efecto positivo en las formulaciones ubicadas en el primer término para cada par comparado,
por ejemplo: F5 vs F2, tiene un mayor efecto la F5 por tener un mayor promedio, F4 produce un
mejor efecto sobre F3 y F1, pero un efecto menor en comparación a F2 y F5.
- La prueba tiene evidencia estadística para afirmar que las formulaciones F3 y F1 producen el mismo
efecto sobre el incremento de peso de la truca “arco iris”, en este caso F3 vs F1 (ns)
b.3 Prueba de Duncan
Se emplea para diseños que tengan mas de dos tratamientos, siendo más confiable, en este caso, que
las pruebas “t” y DLS. Por lo general se realiza a 2 niveles de significación: = 1% y 5%. Esta prueba
no requiere una previa prueba de “F”.
Determinación del número de comparaciones:
El número y ordenamiento de comparaciones se calcula de igual manera que en la prueba de “t”
C(5,2) = C25 = 5 ! / [(5-2 )! x 2!] = 10 combinaciones:
Ordenando los tratamientos (formulaciones) de mayor a menor respecto a sus medias poblacionales:
F5 > F2 > F4 > F3 > F1
Formulación de las hipótesis:
Ho = k = m (la media poblacional de los tratamientos producen el mismo efecto; k, m = 1, 2, 3, 4, 5)
H1 = k m (la media poblacional de los tratamientos tienen efectos diferentes; k, m = 1, 2, 3, 4, 5)
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Nivel de significación = 1% = 0,01
Determinación del valor: ALSD = AESD . (S)
S = (CMEE)1/2* { ½ * [(1/ rk)+ (1/ rm)] }1/2 = [ CMEE * (rm+ rk) / (2 rK * rm) ] 1/2
S = Desviación estándar de los promedios
AESD = Amplitud estudiantizada significativa de Duncan (valor de tabla)
ALSD = Amplitud Límite Significativo de Duncan
Determinación de la región de aceptación:
El valor de “P” siempre parte del valor 2 hasta “n” tratamientos, para el presente ejercicio tenemos 5
formulaciones ósea 5 tratamientos, por lo tanto P = 2, 3, 4, 5; a estos valores les corresponderá sus
respectivos AESD (según tabla de Duncan):
P
2 3 4 5
AESD 3,79 4,04 4,15 4,21
Se ordenan los promedios de los tratamientos en forma decreciente y se comienza a comparar el
promedio mas alto con el segundo mas alto y así sucesivamente, de la siguiente manera:
TR: F5 F2 F4 F3 F1
: 23,86 20,14 14,83 9,75 9,62
Una vez ordenados de mayor a menor, la diferencia en los pares de tratamientos se compara con el
valor ALSD que corresponde al valor de “P” del número de lugares que hay entre los tratamientos que se
comparan incluyendo a ellos (extremos), luego se siguen comparando en forma ordenada
sucesivamente hasta terminar con las C(t,2) comparaciones. Por ejemplo en la comparación F5 vs F4
existen 3 lugares correspondiendo el valor P = 4,04; en la comparación F2 vs F1 existen 4 lugares
correspondiendo al el valor P = 4,15; etc.
Tabla de decisión:
Si | k - m | ALSD Se RECHAZA Ho
Si | k - m | ALSD Se ACEPTA Ho
Como los valores | k - m | son siempre positivos podemos decidir en la siguiente tabla en función al valor
ALSD para lo cual consideramos una prueba múltiple de Duncan:
| k - m | DIFERENCIA DE MEDIAS AESD . S ALSD DECISION
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= 0.01 AESD = GLEE = 31
P = 2, 3, 4, 5
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DISEÑOS EXPERIMENTALES
F5 – F2 23,86 - 20,14 = 3,72 > (3,79) (0,51) = 1,92 Se RECHAZA Ho *
F5 – F4 23,86 - 14,83 = 9,03 > (4,04) (0,53) = 2,13 Se RECHAZA Ho *
F5 – F3 23,86 - 9,75 = 14,11 > (4,15) (0,49) = 2,04 Se RECHAZA Ho *
F5 – F1 23,86 - 9,62 = 14,24 > (4,21) (0,49) = 2,07 Se RECHAZA Ho *
F2 – F4 20,14 - 14,83 = 5,31 > (3,79) (0,53) = 2,00 Se RECHAZA Ho *
F2 – F3 20,14 - 9,75 = 10.39 > (4,04) (0,49) = 1,98 Se RECHAZA Ho *
F2 – F1 20,14 - 9,62 = 10,52 > (4,15) (0,49) = 2,04 Se RECHAZA Ho *
F4 – F3 14,83 - 9,75 = 5,08 > (3,79) (0,51) = 1,94 Se RECHAZA Ho *
F4 – F1 14,83 - 9,62 = 5,21 > (4,04) (0,51) = 2,07 Se RECHAZA Ho *
F3 – F1 9,75 - 9,62 = 0,13 < (3,79) (0,47) = 1,79 Se ACEPTA Ho ns
Conclusión:
Las conclusiones son similares a la prueba anterior, ósea se hacen por separado para cada
comparación, sin embargo por tratarse de una prueba múltiple de Duncan ( = 1%) concluimos que:
- El promedio alcanzado por las comparaciones de las formulaciones de alimento: F5 vs F2(*), F5 vs
F4(*), F5 vs F3(*), F5 vs F1(*), F2 vs F4(*), F2 vs F3(*), F2 vs F1(*), F4 vs F3 (*), F4 vs F1 (*);
producen un efecto diferente sobre el incremento del peso de la trucha “arco iris”.
- La prueba tiene evidencia estadística para afirmar que las formulaciones F3 y F1 producen el mismo
efecto sobre el incremento de peso de la truca “arco iris”, en este caso F3 vs F1 (ns)
b.4 Prueba de Tukey
Esta prueba se caracteriza por su alto grado de discriminación en los contrastes, pues considera a todos
los tratamientos como una sola unidad experimental.
Es recomendable emplear en las investigaciones de poco riesgo y tiene la ventaja que a medida que se
incrementa el número de tratamientos, el nivel de significación permanece constante.
Esta prueba no requiere una previa prueba de “F”.
Determinación del número de comparaciones:
El número y ordenamiento de comparaciones se calcula de igual manera que en la prueba de “t”
C(5,2) = C25 = 5 ! / [(5-2 )! x 2!] = 10 combinaciones:
Ordenando los tratamientos (formulaciones) de mayor a menor respecto a sus medias poblacionales:
F5 > F2 > F4 > F3 > F1
Formulación de las hipótesis:
Ho = k = m (la media poblacional de los tratamientos producen el mismo efecto; k, m = 1, 2, 3, 4, 5)
H1 = k m (la media poblacional de los tratamientos tienen efectos diferentes; k, m = 1, 2, 3, 4, 5)
Nivel de significación = 5% = 0,05
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DISEÑOS EXPERIMENTALES
Determinación del valor: ALST = AEST . (S)
S = (CMEE)1/2* { ½ * [(1/ rk)+ (1/ rm)] }1/2 = [ CMEE * (rm+ rk) / (2 rK * rm) ] 1/2
S = Desviación estándar de los promedios
AES T = Amplitud estudiantizada significativa de Tukey (valor de tabla, Student-Newman-Keul)
ALS T = Amplitud Límite Significativo de Tukey
Determinación de la región de aceptación:
Interpolando:
El valor de “P”, a diferencia de la prueba de Duncan, solo corresponde al número de tratamientos que
tiene el diseño, en este caso existen 5 formulaciones, por lo que P = 5 tratamientos.
Se ordenan los promedios de los tratamientos en forma decreciente y se comienza a comparar el
promedio mas alto con el segundo mas alto y así sucesivamente, de la siguiente
manera:
TR: F5 F2 F4 F3 F1
: 23,86 20,14 14,83 9,75 9,62
Tabla de decisión:
Si | k - m | ALS T Se RECHAZA Ho
Si | k - m | ALS T Se ACEPTA Ho
Como los valores | k - m | son siempre positivos podemos decidir en la siguiente tabla en función al valor
ALST para lo cual consideramos una prueba múltiple de Tukey:
| k - m | DIFERENCIA DE MEDIAS AEST . S ALST DECISION
F5 – F2 23,86 - 20,14 = 3,72 > (4,09) (0,51) = 2,08 Se RECHAZA Ho *
F5 – F4 23,86 - 14,83 = 9,03 > (4,09) (0,53) = 2,17 Se RECHAZA Ho *
F5 – F3 23,86 - 9,75 = 14,11 > (4,09) (0,49) = 2,00 Se RECHAZA Ho *
F5 – F1 23,86 - 9,62 = 14,24 > (4,09) (0,49) = 2,00 Se RECHAZA Ho *
F2 – F4 20,14 - 14,83 = 5,31 > (4,09) (0,53) = 2,17 Se RECHAZA Ho *
F2 – F3 20,14 - 9,75 = 10.39 > (4,09) (0,49) = 2,00 Se RECHAZA Ho *
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= 0.05 AES T = GLEE = 31 = 4,09
P = 5
AES T GLEE
4,10 30
X 31
4,04 40
X - 4,10
=
31 - 30
4,04 – 4,10 40 - 30
X = 4,094
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DISEÑOS EXPERIMENTALES
F2 – F1 20,14 - 9,62 = 10,52 > (4,09) (0,49) = 2,00 Se RECHAZA Ho *
F4 – F3 14,83 - 9,75 = 5,08 > (4,09) (0,51) = 2,08 Se RECHAZA Ho *
F4 – F1 14,83 - 9,62 = 5,21 > (4,09) (0,51) = 2,08 Se RECHAZA Ho *
F3 – F1 9,75 - 9,62 = 0,13 < (4,09) (0,47) = 1,92 Se ACEPTA Ho ns
Conclusión:
Las conclusiones son similares a las obtenidas en la prueba de Duncan, es decir se hacen por separado
para cada comparación, sin embargo por tratarse de una prueba múltiple de Tukey a un nivel de
significancia = 5%, podemos concluir que:
- El promedio alcanzado por las comparaciones de las formulaciones de alimento:
F5 vs F2(*), F5 vs F4(*), F5 vs F3(*), F5 vs F1(*), F2 vs F4(*), F2 vs F3(*), F2 vs F1(*), F4 vs F3 (*),
F4 vs F1 (*); producen un efecto diferente sobre el incremento del peso de la trucha “arco iris”;
produciendo un mayor efecto sobre el alimento y por lo tanto mejor rendimiento en el peso, aquellas
formulaciones ubicadas en primer orden en cada comparación, y ello por tener un mayor promedio.
- La prueba tiene evidencia estadística para afirmar que las formulaciones F3 y F1 producen el mismo
efecto sobre el incremento de peso de la truca “arco iris”, en este caso F3 vs F1 (ns)
2. Un Ingeniero Acuicultor experto en Nutrición de Pejerrey de río, realizó un
ensayo por el cual se Formularon 4 tipos de alimento, dos de ellos están
elaborados en base a harina de pescado: A1, A2; y los otros dos restantes han
sido elaborados en base a harina de soya: A3, A4. Estas formulaciones se han
empleado en la alimentación de 29 pejerreyes especialmente seleccionados y
luego de 45 días de empleo se han obtenido incrementos de peso expresado en
gramos que se presentan en la siguiente tabla:
A1 A2 A3 A4
10 19 9 16
8 21 9 15
9 20 10 14
11 23 11 15
10 19 12 16
8 19 8 13
9 20 9 -
12 - 10 -Se pide:
a) Hacer el Análisis de la Varianza (ANVA) y realizar una Prueba “F” a un nivel de significancia del 1%.
b) Evaluar Estadísticamente a través de una prueba de Contraste que se ajuste a esta investigación:
Solución:
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ESTADÍSTICA GENERAL – METODOS ESTADÍSTICOS
DISEÑOS EXPERIMENTALES
Factor a estudiar: Formulaciones (dieta) de alimento
Niveles del factor: 4 formulaciones de alimento: A1, A2, A3, y A4 (4 tratamientos).
Unidad experimental: Pejerrey, en total se tienen 29 unidades experimentales (29 individuos)
Variable cuantificada: Incremento de peso expresado en gramos
a) Análisis de la varianza:
A1 A2 A3 A4
10 19 9 16
8 21 9 15
9 20 10 14
11 23 11 15
10 19 12 16
8 19 8 13
9 20 9 -
12 - 10 -
Xi . = 77 141 78 89 Xij = 385
ri = 8 7 8 6 ri = 29
. = 9,62 20,14 9,75 14,83
SCTR = [ ( 772/8) + ( 1412/7) + ( 782/8) + ( 892/6) ] - ( 3852/29) = 550,7
SCTO = [ (102 + 82 + 92 + .......................... + 152 + 162 + 132 ] - ( 3852/29) = 595,8
SCEE = 595,8 – 550,7 = 45,1
GLTR = 4 – 1 = 3
GLTO = 29 – 1 = 28
GLEE = 28 – 3 = 25
CMTR = 550,7 / 3 = 183,6
CMEE = 45,1 / 25 = 1,8
ANOVA (ANVA)
FV SC GL CM
TRA 550,7 3 183,6
EE 45,1 25 1,8
TO 595,8 28 Fc = 102
Prueba de Fisher:
Formulación de las hipótesis:
Ho = i = 0 (El efecto del factor es nulo; i = 1, 2, 3, 4 )
H1 = i 0 (al menos uno de los tratamientos tiene un efecto diferente a los demás; i = 1, 2, 3, 4 )
Nivel de significación = 1% = 0,01
Determinación del indicador: Fc = CMTRA / CMEE
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DISEÑOS EXPERIMENTALES
Fc = 183,6 / 1,8 = 102
Determinación de la región de aceptación: RA / Ho = [ 0,FT ]
= 0.01 FT = GLTR = 3 = 4,08
GLEE = 25
Tabla de decisión:
Si Fc FT Se RECHAZA Ho
Si Fc FT Se ACEPTA Ho
Si se rechaza Ho a un = 0.05 La prueba es significativa (*)
Como Fc = 102 > FT = 4,08 Se rechaza Ho, por lo tanto la prueba es altamente significativa (**)
Conclusión:
A un nivel de significación del 1% se afirma que existen diferencias significativas entre los efectos de las
formulaciones de alimento en el incremento del peso del “pejerrey”, pues al menos una de las
formulaciones tiene un efecto diferente a las demás, por lo tanto procede la Prueba de Scheffe.
b) Prueba de Scheffe:
Es una prueba específica para comparar grupos de tratamientos, los cuales deben tener características
similares y a la vez el objetivo de la investigación debe esta orientado a la avaluación de estos grupos.
Esta prueba requiere una previa prueba de “F” y se realiza solo cuando la prueba de “F” da resultados
significativos (cuando se ha rechazado la hipótesis nula Ho).
Determinación de grupos:
G1 = A1, A2 (harina de pescado)
G2 = A3, A4 (harina de soya)
Formulación de las hipótesis:
Ho = G1 = G2 (la media poblacional de los grupos producen el mismo efecto)
H1 = G1 G2 (la media poblacional de los grupos tienen efectos diferentes)
Nivel de significación = 1% = 0,01
Determinación del valor: ALS (Sc) = [ FT ( t –1 ) * S * (Ci 2 / ri ) ]1/2
S : Desviación estándar de los coeficientes S = [ CMEE ]1/2
Ci : Coeficientes
t : Tratamientos
FT : Valor determinado en la tabla de Fisher.
Determinando los coeficientes (Ci ):
G1 : A1 C1
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(+) C1 : +1
(+) C2 : +1
(-) C3 : -1
(-) C4 : -1
= 0 (la sumatoria de los coeficientes debe
dar cero)
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DISEÑOS EXPERIMENTALES
A2 C2
G2 : A3 -C3
A4 -C4
ALS (Sc) = { 4,68 ( 4 –1 ) * (1,8)1/2 * [ ((+1)2/ 8) + ((+1)2/ 8) + ((-1)2/ 7) + ((-1)2/ 6) ] } ½
ALS(Sc) = 3,246
Determinación del indicador: Cx = Ci.i
Donde,
i : Promedio de los tratamientos
Cx = (+1)(9,625) + (+1)(9,75) + (-1)(20,143) + (-1)(14,83) Cx = -15,59
Nota: El resultado de este producto siempre debe ser considerado positivo porque:
- El resultado ALS(Sc) es positivo, entonces la comparación esa siempre positiva.
- El ordenamiento de los signos, cambia el signo final.
Tabla de decisión:
Si Cx ALS(Sc) Se RECHAZA Ho
Si Cx ALS(Sc) Se ACEPTA Ho
Como Cx = -15,59 ALS(Sc) = 3,246 Se rechaza Ho
Conclusión:
A un nivel de significación del 1% la prueba tiene evidencia estadística que nos permita afirmar que el
promedio alcanzado por el G1 es diferente al promedio alcanzado por el G2.
3. Una empresa para manufacturar sus productos utiliza el insuma A frente a la
oferta de otro tipo de insumos: X1, X2 y X3 y al bajo costo en la cual se
encuentran, la empresa realiza una investigación de tal manera que le permita
conocer los resultados respecto a sus productos que se vienen comercializando.
A continuación se presenta un cuadro de resultados en la cual la variable
aleatoria cuantificada representa una valoración del sabor en escala de 0 a 20:
X1 X2 A X3
10 19 9 16
8 21 9 14
9 20 10 15
11 20 11 16
10 19 12 15
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DISEÑOS EXPERIMENTALES
8 19 8 13
9 20 9 -
12 10 - -Se pide:
a) Hacer el Análisis de la Varianza (ANVA).
b) Desarrollar una prueba de Contraste que se ajuste a esta investigación (=5%)
Solución:
Factor a estudiar: Influencia de los insumos en la manufactura de un producto específico.
Niveles del factor: 4 tratamientos: insumo patrón A, comparado respecto a los insumos: X1, X2 y X3.
Unidad experimental: Producto comercializado, en total se tienen 29 unidades experimentales.
Variable cuantificada: Valoración del sabor en la escala 0 - 20
a) Análisis de la varianza:
X1 X2 A X3 ANOVA (ANVA)
10 19 9 16 FV SC GL CM
8 21 9 14 TR 510,5 3 170,16
9 20 10 15 EE 35,6 25 1,42
11 20 11 16 TO 546,1 28
10 19 12 15
8 19 8 13
9 20 9 -
12 10 - -
Xi . = 77 188 78 89 Xij = 432
ri = 8 8 8 6 ri = 30
. = 9,63 19,71 9,75 14,83
b) Prueba de Dunett:
Esta prueba específica se usa solo cuando en una investigación existe un tratamiento patrón o control,
comparándose los demás tratamientos en experimentación respecto al control o patrón.
Esta prueba es independiente de la prueba de Fisher por lo que no requiere una previa prueba de “F”.
Determinación de tratamientos:
Tratamiento control : A
Tratamiento experimental: X1, X2 y X3.
Comparaciones de tratamientos: A vs. X1, A vs. X2, A vs. X3
Formulación de las hipótesis:
Ho : A = X1 = X2 = X3 (el insumo A produce el mismo efecto respecto a los insumos X1, X2 y X3)
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DISEÑOS EXPERIMENTALES
H1 : A X1 X2 X3 (el insumo A produce un efecto diferente respecto a los insumos X1, X2 y X3)
Nivel de significación = 5% = 0,05
Determinación del valor: ALS(Dt) = TD . (Sd)
Sd = [ (CMEE / rc) + (CMEE / rk) ]1/2
Sd= Desviación estándar de las diferencias Sd; rc (número de repeticiones del testigo o
control), rk (número de repeticiones del nuevo tratamiento)
T D = Valor de tabla de Dunett (, GLEE, P: número de tratamientos sin considerar el control)
ALS(Dt) = Amplitud Límite Significativo de Dunett
Determinación de la región de aceptación:
Interpolando:
Determinación de las diferencias entre el control y los tratamientos a comparar (Dc):
Se hallan (t -1) diferencias, donde t: Número de tratamientos, entonces:
Dc = | C - K |
Tabla de decisión:
Si Dc ALS(Dt) Se RECHAZA Ho
Si Dc ALS(Dt) Se ACEPTA Ho
Como los valores | C - K | son siempre positivos podemos decidir en la siguiente tabla en función al valor
ALS(Dt) para lo cual consideramos una prueba múltiple de Dunett:
| C - K | DIFERENCIA DE MEDIAS TD . Sd ALS(Dt) DECISION
A – X1 | 9,75 - 9,63 | = 0,12 < (2,50) (0,60) = 1,50 Se ACEPTA Ho ns
A – X2 | 9,75 - 19,71 | = 9,46 > (2,50) (0,60) = 1,50 Se RECHAZA Ho *
A – X3 | 9,75 - 14,83 | = 5,08 > (2,50) (0,64) = 1,60 Se RECHAZA Ho *
Conclusión:
A un nivel de significancia = 5%, se concluye que el insumo A produce el mismo efecto respecto al
insumo X1.
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= 0.05 T D = GLEE = 25 = 2,50
P = 3T D GLEE
2,51 24
X 25
2,47 30
X – 2,51
=
25 – 24
2,47 – 2,51 30 – 24
X = 2,50
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