DIPLOMATURA DESTADiacuteSTICA
Comparacioacute de metodes daplicacioacute de processos espaials amb distribucioacute lognormal
Alumnes Clara Foz Altarriba Bibiana Prat Pubill
Directora Vera Pawlowsky Glahn Departament Matematica Aplicada III Data dentrega 4 de juliol del 2000
UNIVERSITATPOLI TEacuteCNICA DECATALUNYA Biblioteca
II111111111111111 11111 11111 11111111111111111111 11111 1111I111 1400351504
Facultat de Matematiques I
i Estadiacutestica
UNIVERSITAT POLITEacuteCNICA DE CATALUNYA
Capitol 1 Introduccioacute
El projecte esta estructurat de manera que en un principi sintrodueixen una seacuterie
dexplicacions de les eines geoestadiacutestiques i en concret es remarquen les que
posteriorment susaran en el desenvolupament de Iestudi
A continuacioacute i duna forma esquematica sexplica el procediment de desenvolupament
i treball del projecte que es detalla al capiacutetol 5
Fmalment en els capiacutetols 6 i 7 sanalitzen els resultats i sextreuen les conclusions
Lobjectiu del projecte eacutes comparar dos meacutetodes destimacioacute de dades amb
dependeacutencia espaial en el cas de dades amb distribucioacute experimental asimeacutetrica El
primer meacutetode sanornena krigeat lognormal el segon krigeat indicador
El krigeat lognormal parteix de la hipoacutetesis que les dades soacuten realitzacions dun
proceacutes espaial lognormal i consiste ix en aplicar la transformacioacute logariacutetmica a les
3
Capitol 2 Nocions de geoestadiacutestica
on E() denota el valor esperat
m eacutes un escalar constant que representa la mitjana
h eacutes la distancia vectorial en Iespai mostrejat
CovO eacutes la covariancia de la funcioacute aleatoria
Requisit 3 El krigeat simple requereix que la mitjana de la variable regionalitzada en
estudi sigui coneguda
Un cop shan tingut en compte aquests requ isits podem passar a la formulacioacute de
Iestimador
Sent Z una funcioacute aleatoria estacionaria de segon ordre amb mitjana m Iestimacioacute
Zk (xo) en la posicioacute Xove donada per la segOent combina cioacute lineal de variables
aleatories a les posicions Xi considerades en la mostra
k
Zk(XO) = m+ Lwiexcl(Z(xiexcl-m) =1
El proposit principal del krigeat simple eacutes trobar un conjunt de pesos per a la estimacioacute
en Iequacioacute anterior de forma que es minimitzi Ierror quadratic migo
La variancia daquest estimador ve donada per
n
OK(U) =C(O)- LWiexcl(u)C(u-uo) O =1
2212 El krigeat ordinari
El krigeat ordinari va sovint acompanyat del qualificatiu de BLUE Eacutes linear (lineal)
perqueacute les seves estimacions soacuten combinacions lineals ponderades de les dades
existents Eacutes unbiased (no esbiaixat) perqueacute intenta que la miijana residual (mr) sia
igual a zero I eacutes bese (millor) perqueacute fa la variancia deis errors (cr2R) miacutenima
15
Capiacutetol 2 Nocions de geoestadiacutestica
Lavantatge que presenta el krigeat ordinari davant daltres metodes destimacioacute eacutes
precisament que fa miacutenima la variancia residual ja que nhi ha que tambeacute soacuten lineals i
no esbiaixats
Com hem dit anteriorment el krigeat simple requereix el coneixement de la mitjana per
resoldre el problema de trobar els pesos que miacutenimitzin la variancia de Ierror
destimacioacute Si la mitjana no eacutes coneguda sera convenient utilitzar el krigeat ordinari
Iestimacioacute del qual eacutes independent de la mitjana ja que safegeix la restriccioacute de que
els pesos han de sumar 1 daquesta manera els pesos de la mitjana a Iequacioacute
(2221) sumen O i Iestimacioacute depeacuten norneacutes de la mostra
(2221)
Aixiacute dones podem afirmar que el krigeat ordinari no eacutes res rneacutes que un krigeat simple
que compleix la condicioacute que els pesos tenen una suma unitaria
Considerem una funcioacute aleatoria Z estacionaria de segon ordre Lestimador Zk(XO )
en la posicioacute ve donada per les seguumlents combinacions lineals de les variables Xo
aleatories a les posicions Xi considerades en la mostra
k
Zk(XO) =LwiexclZ(xJ iexcl=l
subjecte a Lk
Wiexcl = 1 =1
Les principals propietats del krigeat ordinari soacuten
- Minimitza error quadratic migo
-Interpolacioacute exacte amb variancia de krigeat O
- Independencia de la translacioacute deis nodes de referencia
- Dependencia del patroacute de la mostra
- Independencia de la variancia de krigeat per les observacions individuals
16
Capiacutetol2 Nocions de geoestadiacutestica
23 Simulacioacute sequumlencial gaussiana
La simulacioacute sequumlencial gaussiana es basa en la simulacioacute de dades a partir duna variable
continua de distribucioacute normal que a meacutes ha de ser estandarditzada En geoestadiacutestica
susa la simulacioacute per tal de poder coneacuteixer el valors de la variable en estudi en punts no
mostrejats En el nostre cas Ihem usat per tal de poder tenir dades a partir de les quals fer
Iestudi Per tant nomeacutes detallarem la seva mecanica
1 Determinar la funcioacute de distribucioacute Fz(z) que representa tota Iarea destudi i no norneacutes
els punts mostrejats
2 Transformar Fz(z) en una distribucioacute Normal (01)
3 Comprovar que realment la nova variable (Y) es distribueix normalment En el cas que
no shagi pogut conservar el model gaussia considerar models aHematius com ara una
barreja de poblacions gaussianes o beacute plantejar-se fer un altre tipus de simulacioacute
estocastica
4 A partir daquiacute ja podem usar meacutetodes computacionals que actuen de la seguumlent
manera
41 Es crea una ruta que consisteix en la visita una sola vegada de cada node (u) de la
xarxa De cada node visitat es reteacute un nombre maxim de nodes veins per tal de
poder fer simulacioacute condicionada
42 Escollir un tipus de krigeat i un tipus de semivariograma per tal de poder determinar
la mitjana i la variancia de la funcioacute de distribucioacute condicionada Y(u) en la localitzacioacute
u
43 Treure un valor simulat yP)(u) de la funcioacute de distribucioacute condicionada
44 Afegir el valor simulat y(I)(U) al conjunt de dades
5 Continuar amb el seguumlent node fins que es simuli el darrer
FLUXOGRAMA DEL DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE
Simulem 625 dades (25x25) duna N(01) amb un variograma
exponencial SGSIM
Fem Iexponencial de les dades per obtenir una distribucioacute lognormai
Prenem una mostra r-1-----i aleatoria de 100 dades r------- ~ MINITAB
Decidim 5 cut-offs a partir
deis percentils MINITAB
Obtenim els variogrames per a cada cut-off i hi aproximem un modelo
GEO-EAS EXCEL
Realitzem el Krigeado indicador simultani per
cada cut-off IK3D
j Realitzem la
interpolacioacute de la mediana
POSTIK
Fem els logaritmes Obtenim el model
de variograma per la mostra GEO-EAS
EXCEL
Realitzem el Krigeado ordinario
KB2D
Realitzem la transformacioacute de les
dades per obtenir una xarxa amb distribucioacute
Iqgnormai
1------1-~ Apliquem la funcioacute ~
logaritme a les dades L-___________-I~ per tal de poder-les 1--___-
comparar
Comparem els dos meacutetodes destimacioacute entre si i amb les dades simulades Calculem ISTRESS i grafiquem els
1 CONCLUSIOacute I resultats FORTRAN MINITA8
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Tot estudi geoestadiacutestic segueix un guioacute de treball
bull Determinacioacute i analisi de Iestructura espaial
bull Modelitzacioacute de la variabilitat espaial
bull Estimacioacute de punts no mostrejats
bull Simulacioacute
bull Conclusions i descripcioacute de la zona estudiada
En el nostre cas malgrat no teniacuter dades reals i que el nostre objectiu no sia el coneixement
de la variable regionalitzada sinoacute el comparar dos metodes destimacioacute el proceacutes sera el
mateix Luacutenica diferencia eacutes que nosaltres fem una simulacioacute per tal dobtenir una base de
realitat a partir de la qual comenyar a treballar i no per tenir realitzacions de punts no
mostrejats Per tant en el nostre cas la simulacioacute esdeveacute el primer pas a realitzar
Capitol 5 Desenvolupament del projecte
51 La simulacioacute
Per tal de tenir una regi6 en la que poder treballar construim una xarxa de 25x25x1 eacutes a
dir treballem a R2bull
Volem obtenir una realitzaci6 en cada un deis nodes de la xarxa per tant realitzem una
simulaci6 de 625 dades Figura 511
Ix= o 1 2 23 24
~ yslz= 004 J
l
~] iexcllo
-t yrnn==O
-- xsiz== 004T-Eshy
o 11
~
Figura 511 Xarxa sobre la que es treballa i punts mostrejats
En el camp de la geologiacutea eacutes molt difiacutecil obtenir gaires mostres duna regi6 per aix6 els
meacutetodes de simulaci6 i destimaci6 s6n tant importants en geoestadiacutestica Com que a
nosaltres ens interesa tenir una xarxa complerta (perqueacute el que ens interessa eacutes veure quin
deis dos meacutetodes destimaci6 eacutes millor i no el saber com eacutes la regi6) el que fem eacutes simular
realitzacions duna N(O1) amb semiacutevariograma exponencial de meseta unitat en tots els
nodes de la nostre xarxa Sha escollit aquest tipus de semivariograma per ser el meacutes
habitual en el camp de la geologiacutea [ref 2]
En aquestes dad es els hi apliquem exponencials i per tant la nostra realitat segueix una
distribuci6 lognormal de mitjana unitat
El fet de treballar sobre dades lognormals ve justificat perque hi ha molts fenomens naturals
que segueixen aquesta distribuci6 [ref 11] (cerca de determinat mineral bosses de petrali
quantitat de sediments exploracions geoquimiques )
Per tant la nostre realitat eacutes aquesta eacutes a dir la distribuci6 lognormal de la variable
regionalitzada La N(O1) tant sois la fem servir per ser facil de maniobrar
computacionalment [ref 16]
Capiacutetol5 Desenvolupament del projecte
Per tal dassegurant-se que la nostre realitat eacutes mes o menys exacta mirem la seguumlent taula
Variable N Mean Median StDev SE Mean Hin 121 123
exp(siacutem) 625 10546 07742 10075 00403 00250 95965 03934 13721
Taula 511 Descriptiva de la variable regionalitzada exp(sim)
Amb els seguumlents grafics comprovem que realment les nostres dades segueixen una
distribucioacute lognormal
-200
() e Q) J CT 100 ~
IJ -
o
o 5 10 exp(sim)
Figura 512 Histograma de la realitat
Jo
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Lognormal Probablllty Plot tor exp(sim)
Ml Estimates
l ocatiolt -0325300
Scale 0910009
99
95 90
80 70
e 60 (lJ 50 Uuml 40 shy 30 (lJ 20 a
10
5
001 010 100 1000
Data
Figura 513 Lognormal probability plot de la variable regionalitzada exp(sim)
exp(sim)
10
B
7
6 5
4
2
20
Figura 514 Surface plot de la variable exp(sim)
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
El surface plot eacutes una eina molt uacutetil ja que ens doacutena una visioacute de com es la nostra realitat a
Iespai A meacutes un cop haguem fet les dues estimacions tambeacute podrem fer el surface plot i
amb un cop dull podrem treure una primera impressioacute de si les estimacions han estat bones
o no
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
52 La mostra
A partir de les dades que hem obtingut amb la simulacioacute prenem una mostra aleatoria
de 100 dades a partir de la qual realitzarem les dues estimacions de la realitat Cal
tenir en compte que a partir daquest moment es treballara sobre la mostra i no sobre
les dades simulades que en Iexperimentacioacute real soacuten desconegudes
La mostra sha pres de forma que constitueixi una bona representacioacute del total de la
xarxa La figura 521 mostra la localitzacioacute de cada una de les dades que formen part
de la mostra sobre la xarxa inicial de 25x25 nodes
20 shy
gt x middotcv 10 _
o shy
middot o
bull It bullbullbullbullbullbull bull middot 4 bull bull bull bullbullbull bullbullbullbull bull bull bullbullbullbullbull bull bull bull bull bull bullbullbullbullbull bull bull bullbullbull -Jf bull middot middot middot bull middot 1t bullbullbullbull bullbullbullmiddot o bull bull bull bull bullbull bull bull bull bullbull II JI Jt bull bullbullbull lttt bullbullbull bullbullbull bullbull bull bull bull bullbull bull shy ~ ~ ~ ~ ~ It bull bull bullbullbull bull bull bullbullbull bullbull bull bullbullbullbull bullbull bull bull bull bullbullbullbullbullbull ti bull bull -41 bull bull bull bull bull bull jf middot bull bullbullbull -If bull bull bull 1( bull bullbull bull middot middot - bullbullbullbullbull bull bullbull bullbullbullbullbullbull bull bull bull bullbullbullbull bullbull bull
o 10 20
eix x
Figura 521 Distribucioacute de la mostra dins la xarxa real
La mostra obtinguda conserva les propietats de les dades provinents de la simulacioacute
daquesta manera podem afirmar que eacutes una bona extrapolacioacute de la realitat Vegem a
continuacioacute la descriptiva (Taula 52 1) i Ihistograma de la mostra (Figura 522) amb el
grafic de probabilitats (Figura 52 3) Podem observar que segueix efectivament una
distribucioacute lognormal
Variable N Mean Median TrMean StDev SE Mean rnos tra 1 00 1 0552 0 8330 0 9458 0 9566 0 0957
Variable Minimum Maximum Ql Q3 rnost ra 0 0250 441 85 0 328 1 1 3714
Taula 521 Descriptiva de la mostra
33
Capiacutetol 5 Desenvoluparnent del proiecte
30
gtshyo 20c Q) J oshy~
LL 10
-
1--
- --r--
n I Io
o 2 3 4 5 mostra
Figura 522 Histograma de la mostra
Lognormal Probability Plot for mostra
99
I 95
_ 90 - l -~80 70c jIQ) 60
50e 40Q) 30a 20
10 5
bull
~
001 010 100 1000
Data
MLEstimaacutee5
LocaIion -0341481
Scaacutee 0946372
Figura 523 Plot de probabilitat lognormal
34
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
La superfiacutecie descrita per la mostra podem representar-la tambeacute graficament (Figura
524)
mostra
45
40
3 5
30
25
20 15
10
05
00
eixy 20
Figura 524 Superfiacutecie definida per la mostra
35
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
53 Lestimacioacute per krigeat indicador
Per tal de realitzar el krigeat indicador definim 5 punts de tall o cut-off Aquests punts de tall
els escollim de forma que guardin simetria respecte el percentil del 50 tal i com mostra la
taula 531
Categoria Percentil Percentatge
1 90 009952
2 300 037637
3 500 073142
4 700 127046
5 910 254092
Taula 531 Els cinc punts de tall escollits
Un cop decidides les categories o punts de tall necessitem saber el semivariograma que
segueixen cada una delles per a poder dur a terme el krigeat indicador ja que Iestimacioacute
realitzada a partir daquest rneacutetode requereix una modelitzacioacute deis cinc semivariogrames
experimentals
El procediment eacutes el seguumlent
Partim de la mostra de 100 dades que segueix una distribucioacute 10gnormaL
Per cada una de les categories creem una columna de O i 1 de manera que si aquell
punt concret eacutes per sota del punt de tall el valor que pren la variable dicotoacutemica eacutes 1 i si eacutes
per sobre pren el valor O
Els semivariogrames els creem amb aquestes cinc columnes de zeros i uns
Per cada semivariograma provem dajustar un model esfeacuteric i un dexponencial Aquests dos
tipus de models els anirem ajustant a ull movent el valor del rang i de Iabast Partim
daquests models per ser els meacutes habituals en la realitat i ens quedarem amb el que ajusti millor deis dos [ref 2]
A continuacioacute presentem els resultats daquests ajustaments per a cada punt de tall
Capiacutetol 5 Desenvolupament del proiecte
Categoriacutea 1 y(h)
Model Exponencial Abast =8 Model Esferic Abast = 75
Meseta =003 Meseta = 003
VARIOGRANlA CATEGORIA 1
005
004 sectr bull ESF= ro E 003 E ro O)
002
001
000
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 531 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 1
)1
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Categoria 2
Model Exponencial Abast = 4 Model Esferic Abast = 4
Meseta = 022 Meseta = 022
VARIOGRAMA CATEGORIA 2
025
--
c bull ESF- sectro 020
E E ro Ogt
015
010
8 10 12
Figura 532 Model de semivariograma esferic i exponencial per la categoria 2
o 2 4 6
Ihl
Capitol 5 Desenvolupament del projecte
Categoriacutea 3
ModeJ Exponencial Abast =7 ModeJ Esferic Abast =6
Meseta =027 Meseta = 0265
VARIOGRAMA CATEGORIA 3
03
~ c (1] ~E 02E (1]
Ogt
01
o 2 4 6
Ihl
Figura 533 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 3
8 10 12
)9
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Categoria 4
Model Exponencial Abast = 5 Model Esfeacuteric Abast = 4
Meseta = 02 Meseta = 02
VARIOGRAMA CATEGORIA 4
03
~ ~ -- ro E ~
02 E ro Ogt
01
deg 2 4 6
Ihl
Figura 534 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 4
8 10 12
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Categoriacutea 5
Model Exponencial Abast =4 Model Esferic Abast = 3
Meseta =006 Meseta = 006
VARIOGRAMA CATEGORIA 5
008
= sect~ 007-shy ESFro E E 006 ro Ol
005
004
003
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 535 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 5
Capiacutetol5 Desenvolupament del projecte
Mirant els cinc grafics veiem que el model que ajusta millor eacutes Iesferic en tots els casos
encara que no hi ha diferencies massa significatives respecte el model exponencial A meacutes
observem una certa simetria pel que fa a la meseta i abast de cada un deis models esferics
de cada categoria Taula 532
Cat 1 Cat2 Cat3 Cat4 Cat5
Meseta 003 022 0265 02 006
Abast 75 4 6 4 3
Taula 532 Meseta i abast per cada categoria
Aquesta simetria sobserva sobretot per les categories 2 3 i 4
Els models corresponents a les categories 1 i 5 no ajusten del tot beacute degut a que soacuten les
categories deis extrems i per tant la gran majoria de mostres si no totes estaran per sobre o
per sota respectivament
Ara ja podem fer Iestimacioacute per krigeat indicador Al programa ik3d li introduim els cinc
models de semivariogrames per tal que ens calculi Iestimacioacute
El resultat que obtenim soacuten cinc columnes de 625 dades on els valors van de O a 1
Concretament ens calcula la probabilitat de que el valor atorgat a cada punt sigui inferior al
daquell cut-off
El que es preteacuten ara eacutes a partir daquest conjunt de probabilitats interpolar la mediana per a
cada un deis punts de la xarxa per tant el que fem eacutes executar el programa postik en Iopcioacute
3 de manera que ens tregui Iestimacioacute de la mediana
A continuacioacute passem a detallar en que consisteix el postik Per tal de poder-ho expressar
millor ens centrare m en un punt concret de la xarxa el (30)
- - - - -
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Els tercer valor de cada una de les 5 columnes obtingudes amb el krigeat indicador eacutes a dir
els valors corresponents a la mostra situada en el node (30) representen la probabilitat de
que el valor de la variable en aquest punt sigui major que cada un deis cut-off
respectivament aixiacute podem afirmar que
P(Xiexcl lt el ) = P(x(3Q) lt 00995) =00000
P(xiexcl lt e2) = P(X(3 Q) lt 03764) =00397
P(xiexcl lt c3) = P(X(30) lt 07314) = 00409
P(xiexcl lt e4) = P(X(30) lt 12705) = 02079
P(xiexcl lt e5) = P(X(3 0) lt 25402) =10000
Si ara grafiquem aquests 5 valors obtenim una estimacioacute de la probabilitat que teacute el punt
estudiat (30) de ser meacutes petit que qualsevol valor eacutes a dir Iestimacioacute de la funcioacute de
probabilitat en aquest punt Com que el que es preteacuten estimar en el nostre estudi eacutes la
mediana mirarem quin valor aproxima per la probabilitat del 05 eacutes a dir
m tal que P(X(30) lt m) = 05
Per aixoacute tracem una liacutenia a Ialcada 05 i daquesta manera obtenim el valor estimat de la
mediana Aquest valor correspon al valor que obtenim amb el POSTIK que eacutes per aquesta
primera observacioacute 06983
10
x v 6 68 05 o
00
Figura 536 Els 5 cut-off aplicats al punt (30)
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Laplicacioacute del POSTIK realitza aquesta estimacioacute per a cada un deis punts obtinguts (625)
i daquesta manera podem obten ir una interpolacioacute de la mediana per cada un deis valors a
estimar
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
SEMIVARIOGRAMA DE LA MOSTRA
model exponencial
12
= r 07 -- ca E E ca O)
02
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 541 Semivariograma experimental amb un model exponencial
Aquest model obtingut a ull teacute els seguumlents parametres abast=7
meseta=1 05
Aplicant aquest valors al model general obtenim la formulacioacute per a les nostres dades
46
middotCapiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
MODEL ESFERIC La formulacioacute general eacutes
sih a
sih gt a
on a eacutes Iabast i c la meseta
SEMIVARIOGRAMA DE LA MOSTRA
model esferic
12
---shyro E 07 E ro Ol
02
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 54 2 Semivariograma experimental amb un model esfeacuterico
Aquest model Ihem obtingut de la mateixa manera que Ianterior a ull i els seus
parametres que tambeacute aplicarem a la forma general soacuten abast=6 i meseta=1
47
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Finalment pode m representar la superfiacutecie que hem estimat a partir del krigeat
lognormal utilitzant un grafic de superfiacutecie (Figura 54 5)
6
5
Krig Logn 3
2
o
20 eix y
Figura 545 Grafic de superfiacutecie pel krigeat lognormal
50
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
61 Regressioacute lineal
Per tal de dur a terme la compara cioacute entre els dos meacutetodes destimacioacute i les dades que
simulen la realitat hem expressat els resultats obtinguts graficament mitjancant els
grafics de punts ajustant en cada cas la recta de regressioacute i dibuixant la bisectriu Cal
tenir en compte que per augmentar la claredat i per a simplificar la interpretacioacute deis
resultat hem transformat les dades a una N(O1) encara que el nostre estudi es basi en
un model lognormal
Passem a continuacioacute a analitzar els grafics
En primer lIoc (Figura 611) tenim el grafic de punts entre les dades obtingudes amb el
primer meacutetode destimacioacute el krigeat lognormal i les dades provinents de la simula cioacute
de la realitat
Regression Plot y =3a1E -02jo O6lt40216X
R-Sq = 594
_0 ro
ro EID o middot Ole
~~ -2
-3
- -3 -2 -1
redade regresioacute
Bisectriu
realitat simulada
Figura 611 Recta de regressioacute entre el krigeat lognormal i la simulacioacute de la realitat
Si mirem aquest grafic podem observar que el valor de Iestimacioacute realitzada
sobreestima els valors petits de la simulacioacute i en canvi en els valors grans subestima
El coeficient de correlacioacute es del 594 eacutes a dir que el meacutetode del krigeat lognormal
explica un 594 de la realitat
52
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
Passem ara a realitzar el gratic entre el segon meto de destimacioacute el krigeat indicador
i la realitat simulada (Figura 612)
0 _O
m~ 0)-- o
~~ -1
-2
-3
Regression Plot y = -23E-02 + 0711 615X
R-Sq 526
bull bull
-3 -2 -1
realitat simulada
recta de regresi oacute
I Bisectriu
Figura 612 Recta de regressioacute entre el krigeat indicador i la simulacioacute de la realitat
Podem observar que el gratic obtingut eacutes molt semblant a Ianterior i que ens trobem
amb el mateix problema de sobreestimacioacute deis valors petits i subestimacioacute deis valors
grans de la simulacioacute
El valor del coeticient de correlacioacute tambeacute eacutes torga semblant 52 6 Aixiacute doncs la
realitat eacutes explicada en un 526 pel krigeat indicador
53
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
Finalment i per tenir una idea de la relacioacute que hi ha entre els dos meacutetodes emprats en
el projecte realitzarem un uacuteltim grafic comparatiu (Figura 613) que representa els dos
meacutetodes destimacioacute el krigeat lognormal i el krigeat indicador
Regression Plot y = -7 SE-02 + 105401X
R-Sq 796
middot2
middot3
recta de regresi6
bull Bisectriu
middot 4 middot3 middot2 -1
krigeat lognormal
Figura 613 Recta de regressioacute entre el krigeat lognormal i el krigeat indicador
En aquest cas podem observar que la recta de regressioacute coincideix gairebeacute a la
perfeccioacute amb la bisectriu cosa que vol dir que els dos meacutetodes soacuten molt semblants
entre siacute i que per tant eacutes normal que Iaproximacioacute de cada un dells a la realitat sigui
semblant
El valor de la regressioacute eacutes meacutes gran que en els altres dos casos 796 eacutes a dir que
els dos meacutetodes no donen resultats significativament diferents entre si
Podem observar un conjunt de dades que prenen valors especialment elevats en
Iestimacioacute per krigeat indicador Si analitzem aquests punts podem comprovar que
soacuten punts que tenen una probabilitat de ser meacutes grans que el cinqueacute cut-off (percentil
097) igual a 1 Per tant aquest tipus de punts no shan de tenir en compte en el
moment dextreure conclusions De fet aixo ja es sospitava en el grafic anterior pero
en que en aquell hi ha una elevada dispersioacute i per tant Iefecte queda dissimulat
54
Capitol 1 Introduccioacute
El projecte esta estructurat de manera que en un principi sintrodueixen una seacuterie
dexplicacions de les eines geoestadiacutestiques i en concret es remarquen les que
posteriorment susaran en el desenvolupament de Iestudi
A continuacioacute i duna forma esquematica sexplica el procediment de desenvolupament
i treball del projecte que es detalla al capiacutetol 5
Fmalment en els capiacutetols 6 i 7 sanalitzen els resultats i sextreuen les conclusions
Lobjectiu del projecte eacutes comparar dos meacutetodes destimacioacute de dades amb
dependeacutencia espaial en el cas de dades amb distribucioacute experimental asimeacutetrica El
primer meacutetode sanornena krigeat lognormal el segon krigeat indicador
El krigeat lognormal parteix de la hipoacutetesis que les dades soacuten realitzacions dun
proceacutes espaial lognormal i consiste ix en aplicar la transformacioacute logariacutetmica a les
3
Capitol 2 Nocions de geoestadiacutestica
on E() denota el valor esperat
m eacutes un escalar constant que representa la mitjana
h eacutes la distancia vectorial en Iespai mostrejat
CovO eacutes la covariancia de la funcioacute aleatoria
Requisit 3 El krigeat simple requereix que la mitjana de la variable regionalitzada en
estudi sigui coneguda
Un cop shan tingut en compte aquests requ isits podem passar a la formulacioacute de
Iestimador
Sent Z una funcioacute aleatoria estacionaria de segon ordre amb mitjana m Iestimacioacute
Zk (xo) en la posicioacute Xove donada per la segOent combina cioacute lineal de variables
aleatories a les posicions Xi considerades en la mostra
k
Zk(XO) = m+ Lwiexcl(Z(xiexcl-m) =1
El proposit principal del krigeat simple eacutes trobar un conjunt de pesos per a la estimacioacute
en Iequacioacute anterior de forma que es minimitzi Ierror quadratic migo
La variancia daquest estimador ve donada per
n
OK(U) =C(O)- LWiexcl(u)C(u-uo) O =1
2212 El krigeat ordinari
El krigeat ordinari va sovint acompanyat del qualificatiu de BLUE Eacutes linear (lineal)
perqueacute les seves estimacions soacuten combinacions lineals ponderades de les dades
existents Eacutes unbiased (no esbiaixat) perqueacute intenta que la miijana residual (mr) sia
igual a zero I eacutes bese (millor) perqueacute fa la variancia deis errors (cr2R) miacutenima
15
Capiacutetol 2 Nocions de geoestadiacutestica
Lavantatge que presenta el krigeat ordinari davant daltres metodes destimacioacute eacutes
precisament que fa miacutenima la variancia residual ja que nhi ha que tambeacute soacuten lineals i
no esbiaixats
Com hem dit anteriorment el krigeat simple requereix el coneixement de la mitjana per
resoldre el problema de trobar els pesos que miacutenimitzin la variancia de Ierror
destimacioacute Si la mitjana no eacutes coneguda sera convenient utilitzar el krigeat ordinari
Iestimacioacute del qual eacutes independent de la mitjana ja que safegeix la restriccioacute de que
els pesos han de sumar 1 daquesta manera els pesos de la mitjana a Iequacioacute
(2221) sumen O i Iestimacioacute depeacuten norneacutes de la mostra
(2221)
Aixiacute dones podem afirmar que el krigeat ordinari no eacutes res rneacutes que un krigeat simple
que compleix la condicioacute que els pesos tenen una suma unitaria
Considerem una funcioacute aleatoria Z estacionaria de segon ordre Lestimador Zk(XO )
en la posicioacute ve donada per les seguumlents combinacions lineals de les variables Xo
aleatories a les posicions Xi considerades en la mostra
k
Zk(XO) =LwiexclZ(xJ iexcl=l
subjecte a Lk
Wiexcl = 1 =1
Les principals propietats del krigeat ordinari soacuten
- Minimitza error quadratic migo
-Interpolacioacute exacte amb variancia de krigeat O
- Independencia de la translacioacute deis nodes de referencia
- Dependencia del patroacute de la mostra
- Independencia de la variancia de krigeat per les observacions individuals
16
Capiacutetol2 Nocions de geoestadiacutestica
23 Simulacioacute sequumlencial gaussiana
La simulacioacute sequumlencial gaussiana es basa en la simulacioacute de dades a partir duna variable
continua de distribucioacute normal que a meacutes ha de ser estandarditzada En geoestadiacutestica
susa la simulacioacute per tal de poder coneacuteixer el valors de la variable en estudi en punts no
mostrejats En el nostre cas Ihem usat per tal de poder tenir dades a partir de les quals fer
Iestudi Per tant nomeacutes detallarem la seva mecanica
1 Determinar la funcioacute de distribucioacute Fz(z) que representa tota Iarea destudi i no norneacutes
els punts mostrejats
2 Transformar Fz(z) en una distribucioacute Normal (01)
3 Comprovar que realment la nova variable (Y) es distribueix normalment En el cas que
no shagi pogut conservar el model gaussia considerar models aHematius com ara una
barreja de poblacions gaussianes o beacute plantejar-se fer un altre tipus de simulacioacute
estocastica
4 A partir daquiacute ja podem usar meacutetodes computacionals que actuen de la seguumlent
manera
41 Es crea una ruta que consisteix en la visita una sola vegada de cada node (u) de la
xarxa De cada node visitat es reteacute un nombre maxim de nodes veins per tal de
poder fer simulacioacute condicionada
42 Escollir un tipus de krigeat i un tipus de semivariograma per tal de poder determinar
la mitjana i la variancia de la funcioacute de distribucioacute condicionada Y(u) en la localitzacioacute
u
43 Treure un valor simulat yP)(u) de la funcioacute de distribucioacute condicionada
44 Afegir el valor simulat y(I)(U) al conjunt de dades
5 Continuar amb el seguumlent node fins que es simuli el darrer
FLUXOGRAMA DEL DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE
Simulem 625 dades (25x25) duna N(01) amb un variograma
exponencial SGSIM
Fem Iexponencial de les dades per obtenir una distribucioacute lognormai
Prenem una mostra r-1-----i aleatoria de 100 dades r------- ~ MINITAB
Decidim 5 cut-offs a partir
deis percentils MINITAB
Obtenim els variogrames per a cada cut-off i hi aproximem un modelo
GEO-EAS EXCEL
Realitzem el Krigeado indicador simultani per
cada cut-off IK3D
j Realitzem la
interpolacioacute de la mediana
POSTIK
Fem els logaritmes Obtenim el model
de variograma per la mostra GEO-EAS
EXCEL
Realitzem el Krigeado ordinario
KB2D
Realitzem la transformacioacute de les
dades per obtenir una xarxa amb distribucioacute
Iqgnormai
1------1-~ Apliquem la funcioacute ~
logaritme a les dades L-___________-I~ per tal de poder-les 1--___-
comparar
Comparem els dos meacutetodes destimacioacute entre si i amb les dades simulades Calculem ISTRESS i grafiquem els
1 CONCLUSIOacute I resultats FORTRAN MINITA8
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Tot estudi geoestadiacutestic segueix un guioacute de treball
bull Determinacioacute i analisi de Iestructura espaial
bull Modelitzacioacute de la variabilitat espaial
bull Estimacioacute de punts no mostrejats
bull Simulacioacute
bull Conclusions i descripcioacute de la zona estudiada
En el nostre cas malgrat no teniacuter dades reals i que el nostre objectiu no sia el coneixement
de la variable regionalitzada sinoacute el comparar dos metodes destimacioacute el proceacutes sera el
mateix Luacutenica diferencia eacutes que nosaltres fem una simulacioacute per tal dobtenir una base de
realitat a partir de la qual comenyar a treballar i no per tenir realitzacions de punts no
mostrejats Per tant en el nostre cas la simulacioacute esdeveacute el primer pas a realitzar
Capitol 5 Desenvolupament del projecte
51 La simulacioacute
Per tal de tenir una regi6 en la que poder treballar construim una xarxa de 25x25x1 eacutes a
dir treballem a R2bull
Volem obtenir una realitzaci6 en cada un deis nodes de la xarxa per tant realitzem una
simulaci6 de 625 dades Figura 511
Ix= o 1 2 23 24
~ yslz= 004 J
l
~] iexcllo
-t yrnn==O
-- xsiz== 004T-Eshy
o 11
~
Figura 511 Xarxa sobre la que es treballa i punts mostrejats
En el camp de la geologiacutea eacutes molt difiacutecil obtenir gaires mostres duna regi6 per aix6 els
meacutetodes de simulaci6 i destimaci6 s6n tant importants en geoestadiacutestica Com que a
nosaltres ens interesa tenir una xarxa complerta (perqueacute el que ens interessa eacutes veure quin
deis dos meacutetodes destimaci6 eacutes millor i no el saber com eacutes la regi6) el que fem eacutes simular
realitzacions duna N(O1) amb semiacutevariograma exponencial de meseta unitat en tots els
nodes de la nostre xarxa Sha escollit aquest tipus de semivariograma per ser el meacutes
habitual en el camp de la geologiacutea [ref 2]
En aquestes dad es els hi apliquem exponencials i per tant la nostra realitat segueix una
distribuci6 lognormal de mitjana unitat
El fet de treballar sobre dades lognormals ve justificat perque hi ha molts fenomens naturals
que segueixen aquesta distribuci6 [ref 11] (cerca de determinat mineral bosses de petrali
quantitat de sediments exploracions geoquimiques )
Per tant la nostre realitat eacutes aquesta eacutes a dir la distribuci6 lognormal de la variable
regionalitzada La N(O1) tant sois la fem servir per ser facil de maniobrar
computacionalment [ref 16]
Capiacutetol5 Desenvolupament del projecte
Per tal dassegurant-se que la nostre realitat eacutes mes o menys exacta mirem la seguumlent taula
Variable N Mean Median StDev SE Mean Hin 121 123
exp(siacutem) 625 10546 07742 10075 00403 00250 95965 03934 13721
Taula 511 Descriptiva de la variable regionalitzada exp(sim)
Amb els seguumlents grafics comprovem que realment les nostres dades segueixen una
distribucioacute lognormal
-200
() e Q) J CT 100 ~
IJ -
o
o 5 10 exp(sim)
Figura 512 Histograma de la realitat
Jo
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Lognormal Probablllty Plot tor exp(sim)
Ml Estimates
l ocatiolt -0325300
Scale 0910009
99
95 90
80 70
e 60 (lJ 50 Uuml 40 shy 30 (lJ 20 a
10
5
001 010 100 1000
Data
Figura 513 Lognormal probability plot de la variable regionalitzada exp(sim)
exp(sim)
10
B
7
6 5
4
2
20
Figura 514 Surface plot de la variable exp(sim)
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
El surface plot eacutes una eina molt uacutetil ja que ens doacutena una visioacute de com es la nostra realitat a
Iespai A meacutes un cop haguem fet les dues estimacions tambeacute podrem fer el surface plot i
amb un cop dull podrem treure una primera impressioacute de si les estimacions han estat bones
o no
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
52 La mostra
A partir de les dades que hem obtingut amb la simulacioacute prenem una mostra aleatoria
de 100 dades a partir de la qual realitzarem les dues estimacions de la realitat Cal
tenir en compte que a partir daquest moment es treballara sobre la mostra i no sobre
les dades simulades que en Iexperimentacioacute real soacuten desconegudes
La mostra sha pres de forma que constitueixi una bona representacioacute del total de la
xarxa La figura 521 mostra la localitzacioacute de cada una de les dades que formen part
de la mostra sobre la xarxa inicial de 25x25 nodes
20 shy
gt x middotcv 10 _
o shy
middot o
bull It bullbullbullbullbullbull bull middot 4 bull bull bull bullbullbull bullbullbullbull bull bull bullbullbullbullbull bull bull bull bull bull bullbullbullbullbull bull bull bullbullbull -Jf bull middot middot middot bull middot 1t bullbullbullbull bullbullbullmiddot o bull bull bull bull bullbull bull bull bull bullbull II JI Jt bull bullbullbull lttt bullbullbull bullbullbull bullbull bull bull bull bullbull bull shy ~ ~ ~ ~ ~ It bull bull bullbullbull bull bull bullbullbull bullbull bull bullbullbullbull bullbull bull bull bull bullbullbullbullbullbull ti bull bull -41 bull bull bull bull bull bull jf middot bull bullbullbull -If bull bull bull 1( bull bullbull bull middot middot - bullbullbullbullbull bull bullbull bullbullbullbullbullbull bull bull bull bullbullbullbull bullbull bull
o 10 20
eix x
Figura 521 Distribucioacute de la mostra dins la xarxa real
La mostra obtinguda conserva les propietats de les dades provinents de la simulacioacute
daquesta manera podem afirmar que eacutes una bona extrapolacioacute de la realitat Vegem a
continuacioacute la descriptiva (Taula 52 1) i Ihistograma de la mostra (Figura 522) amb el
grafic de probabilitats (Figura 52 3) Podem observar que segueix efectivament una
distribucioacute lognormal
Variable N Mean Median TrMean StDev SE Mean rnos tra 1 00 1 0552 0 8330 0 9458 0 9566 0 0957
Variable Minimum Maximum Ql Q3 rnost ra 0 0250 441 85 0 328 1 1 3714
Taula 521 Descriptiva de la mostra
33
Capiacutetol 5 Desenvoluparnent del proiecte
30
gtshyo 20c Q) J oshy~
LL 10
-
1--
- --r--
n I Io
o 2 3 4 5 mostra
Figura 522 Histograma de la mostra
Lognormal Probability Plot for mostra
99
I 95
_ 90 - l -~80 70c jIQ) 60
50e 40Q) 30a 20
10 5
bull
~
001 010 100 1000
Data
MLEstimaacutee5
LocaIion -0341481
Scaacutee 0946372
Figura 523 Plot de probabilitat lognormal
34
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
La superfiacutecie descrita per la mostra podem representar-la tambeacute graficament (Figura
524)
mostra
45
40
3 5
30
25
20 15
10
05
00
eixy 20
Figura 524 Superfiacutecie definida per la mostra
35
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
53 Lestimacioacute per krigeat indicador
Per tal de realitzar el krigeat indicador definim 5 punts de tall o cut-off Aquests punts de tall
els escollim de forma que guardin simetria respecte el percentil del 50 tal i com mostra la
taula 531
Categoria Percentil Percentatge
1 90 009952
2 300 037637
3 500 073142
4 700 127046
5 910 254092
Taula 531 Els cinc punts de tall escollits
Un cop decidides les categories o punts de tall necessitem saber el semivariograma que
segueixen cada una delles per a poder dur a terme el krigeat indicador ja que Iestimacioacute
realitzada a partir daquest rneacutetode requereix una modelitzacioacute deis cinc semivariogrames
experimentals
El procediment eacutes el seguumlent
Partim de la mostra de 100 dades que segueix una distribucioacute 10gnormaL
Per cada una de les categories creem una columna de O i 1 de manera que si aquell
punt concret eacutes per sota del punt de tall el valor que pren la variable dicotoacutemica eacutes 1 i si eacutes
per sobre pren el valor O
Els semivariogrames els creem amb aquestes cinc columnes de zeros i uns
Per cada semivariograma provem dajustar un model esfeacuteric i un dexponencial Aquests dos
tipus de models els anirem ajustant a ull movent el valor del rang i de Iabast Partim
daquests models per ser els meacutes habituals en la realitat i ens quedarem amb el que ajusti millor deis dos [ref 2]
A continuacioacute presentem els resultats daquests ajustaments per a cada punt de tall
Capiacutetol 5 Desenvolupament del proiecte
Categoriacutea 1 y(h)
Model Exponencial Abast =8 Model Esferic Abast = 75
Meseta =003 Meseta = 003
VARIOGRANlA CATEGORIA 1
005
004 sectr bull ESF= ro E 003 E ro O)
002
001
000
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 531 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 1
)1
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Categoria 2
Model Exponencial Abast = 4 Model Esferic Abast = 4
Meseta = 022 Meseta = 022
VARIOGRAMA CATEGORIA 2
025
--
c bull ESF- sectro 020
E E ro Ogt
015
010
8 10 12
Figura 532 Model de semivariograma esferic i exponencial per la categoria 2
o 2 4 6
Ihl
Capitol 5 Desenvolupament del projecte
Categoriacutea 3
ModeJ Exponencial Abast =7 ModeJ Esferic Abast =6
Meseta =027 Meseta = 0265
VARIOGRAMA CATEGORIA 3
03
~ c (1] ~E 02E (1]
Ogt
01
o 2 4 6
Ihl
Figura 533 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 3
8 10 12
)9
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Categoria 4
Model Exponencial Abast = 5 Model Esfeacuteric Abast = 4
Meseta = 02 Meseta = 02
VARIOGRAMA CATEGORIA 4
03
~ ~ -- ro E ~
02 E ro Ogt
01
deg 2 4 6
Ihl
Figura 534 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 4
8 10 12
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Categoriacutea 5
Model Exponencial Abast =4 Model Esferic Abast = 3
Meseta =006 Meseta = 006
VARIOGRAMA CATEGORIA 5
008
= sect~ 007-shy ESFro E E 006 ro Ol
005
004
003
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 535 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 5
Capiacutetol5 Desenvolupament del projecte
Mirant els cinc grafics veiem que el model que ajusta millor eacutes Iesferic en tots els casos
encara que no hi ha diferencies massa significatives respecte el model exponencial A meacutes
observem una certa simetria pel que fa a la meseta i abast de cada un deis models esferics
de cada categoria Taula 532
Cat 1 Cat2 Cat3 Cat4 Cat5
Meseta 003 022 0265 02 006
Abast 75 4 6 4 3
Taula 532 Meseta i abast per cada categoria
Aquesta simetria sobserva sobretot per les categories 2 3 i 4
Els models corresponents a les categories 1 i 5 no ajusten del tot beacute degut a que soacuten les
categories deis extrems i per tant la gran majoria de mostres si no totes estaran per sobre o
per sota respectivament
Ara ja podem fer Iestimacioacute per krigeat indicador Al programa ik3d li introduim els cinc
models de semivariogrames per tal que ens calculi Iestimacioacute
El resultat que obtenim soacuten cinc columnes de 625 dades on els valors van de O a 1
Concretament ens calcula la probabilitat de que el valor atorgat a cada punt sigui inferior al
daquell cut-off
El que es preteacuten ara eacutes a partir daquest conjunt de probabilitats interpolar la mediana per a
cada un deis punts de la xarxa per tant el que fem eacutes executar el programa postik en Iopcioacute
3 de manera que ens tregui Iestimacioacute de la mediana
A continuacioacute passem a detallar en que consisteix el postik Per tal de poder-ho expressar
millor ens centrare m en un punt concret de la xarxa el (30)
- - - - -
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Els tercer valor de cada una de les 5 columnes obtingudes amb el krigeat indicador eacutes a dir
els valors corresponents a la mostra situada en el node (30) representen la probabilitat de
que el valor de la variable en aquest punt sigui major que cada un deis cut-off
respectivament aixiacute podem afirmar que
P(Xiexcl lt el ) = P(x(3Q) lt 00995) =00000
P(xiexcl lt e2) = P(X(3 Q) lt 03764) =00397
P(xiexcl lt c3) = P(X(30) lt 07314) = 00409
P(xiexcl lt e4) = P(X(30) lt 12705) = 02079
P(xiexcl lt e5) = P(X(3 0) lt 25402) =10000
Si ara grafiquem aquests 5 valors obtenim una estimacioacute de la probabilitat que teacute el punt
estudiat (30) de ser meacutes petit que qualsevol valor eacutes a dir Iestimacioacute de la funcioacute de
probabilitat en aquest punt Com que el que es preteacuten estimar en el nostre estudi eacutes la
mediana mirarem quin valor aproxima per la probabilitat del 05 eacutes a dir
m tal que P(X(30) lt m) = 05
Per aixoacute tracem una liacutenia a Ialcada 05 i daquesta manera obtenim el valor estimat de la
mediana Aquest valor correspon al valor que obtenim amb el POSTIK que eacutes per aquesta
primera observacioacute 06983
10
x v 6 68 05 o
00
Figura 536 Els 5 cut-off aplicats al punt (30)
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Laplicacioacute del POSTIK realitza aquesta estimacioacute per a cada un deis punts obtinguts (625)
i daquesta manera podem obten ir una interpolacioacute de la mediana per cada un deis valors a
estimar
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
SEMIVARIOGRAMA DE LA MOSTRA
model exponencial
12
= r 07 -- ca E E ca O)
02
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 541 Semivariograma experimental amb un model exponencial
Aquest model obtingut a ull teacute els seguumlents parametres abast=7
meseta=1 05
Aplicant aquest valors al model general obtenim la formulacioacute per a les nostres dades
46
middotCapiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
MODEL ESFERIC La formulacioacute general eacutes
sih a
sih gt a
on a eacutes Iabast i c la meseta
SEMIVARIOGRAMA DE LA MOSTRA
model esferic
12
---shyro E 07 E ro Ol
02
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 54 2 Semivariograma experimental amb un model esfeacuterico
Aquest model Ihem obtingut de la mateixa manera que Ianterior a ull i els seus
parametres que tambeacute aplicarem a la forma general soacuten abast=6 i meseta=1
47
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Finalment pode m representar la superfiacutecie que hem estimat a partir del krigeat
lognormal utilitzant un grafic de superfiacutecie (Figura 54 5)
6
5
Krig Logn 3
2
o
20 eix y
Figura 545 Grafic de superfiacutecie pel krigeat lognormal
50
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
61 Regressioacute lineal
Per tal de dur a terme la compara cioacute entre els dos meacutetodes destimacioacute i les dades que
simulen la realitat hem expressat els resultats obtinguts graficament mitjancant els
grafics de punts ajustant en cada cas la recta de regressioacute i dibuixant la bisectriu Cal
tenir en compte que per augmentar la claredat i per a simplificar la interpretacioacute deis
resultat hem transformat les dades a una N(O1) encara que el nostre estudi es basi en
un model lognormal
Passem a continuacioacute a analitzar els grafics
En primer lIoc (Figura 611) tenim el grafic de punts entre les dades obtingudes amb el
primer meacutetode destimacioacute el krigeat lognormal i les dades provinents de la simula cioacute
de la realitat
Regression Plot y =3a1E -02jo O6lt40216X
R-Sq = 594
_0 ro
ro EID o middot Ole
~~ -2
-3
- -3 -2 -1
redade regresioacute
Bisectriu
realitat simulada
Figura 611 Recta de regressioacute entre el krigeat lognormal i la simulacioacute de la realitat
Si mirem aquest grafic podem observar que el valor de Iestimacioacute realitzada
sobreestima els valors petits de la simulacioacute i en canvi en els valors grans subestima
El coeficient de correlacioacute es del 594 eacutes a dir que el meacutetode del krigeat lognormal
explica un 594 de la realitat
52
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
Passem ara a realitzar el gratic entre el segon meto de destimacioacute el krigeat indicador
i la realitat simulada (Figura 612)
0 _O
m~ 0)-- o
~~ -1
-2
-3
Regression Plot y = -23E-02 + 0711 615X
R-Sq 526
bull bull
-3 -2 -1
realitat simulada
recta de regresi oacute
I Bisectriu
Figura 612 Recta de regressioacute entre el krigeat indicador i la simulacioacute de la realitat
Podem observar que el gratic obtingut eacutes molt semblant a Ianterior i que ens trobem
amb el mateix problema de sobreestimacioacute deis valors petits i subestimacioacute deis valors
grans de la simulacioacute
El valor del coeticient de correlacioacute tambeacute eacutes torga semblant 52 6 Aixiacute doncs la
realitat eacutes explicada en un 526 pel krigeat indicador
53
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
Finalment i per tenir una idea de la relacioacute que hi ha entre els dos meacutetodes emprats en
el projecte realitzarem un uacuteltim grafic comparatiu (Figura 613) que representa els dos
meacutetodes destimacioacute el krigeat lognormal i el krigeat indicador
Regression Plot y = -7 SE-02 + 105401X
R-Sq 796
middot2
middot3
recta de regresi6
bull Bisectriu
middot 4 middot3 middot2 -1
krigeat lognormal
Figura 613 Recta de regressioacute entre el krigeat lognormal i el krigeat indicador
En aquest cas podem observar que la recta de regressioacute coincideix gairebeacute a la
perfeccioacute amb la bisectriu cosa que vol dir que els dos meacutetodes soacuten molt semblants
entre siacute i que per tant eacutes normal que Iaproximacioacute de cada un dells a la realitat sigui
semblant
El valor de la regressioacute eacutes meacutes gran que en els altres dos casos 796 eacutes a dir que
els dos meacutetodes no donen resultats significativament diferents entre si
Podem observar un conjunt de dades que prenen valors especialment elevats en
Iestimacioacute per krigeat indicador Si analitzem aquests punts podem comprovar que
soacuten punts que tenen una probabilitat de ser meacutes grans que el cinqueacute cut-off (percentil
097) igual a 1 Per tant aquest tipus de punts no shan de tenir en compte en el
moment dextreure conclusions De fet aixo ja es sospitava en el grafic anterior pero
en que en aquell hi ha una elevada dispersioacute i per tant Iefecte queda dissimulat
54
Capitol 2 Nocions de geoestadiacutestica
on E() denota el valor esperat
m eacutes un escalar constant que representa la mitjana
h eacutes la distancia vectorial en Iespai mostrejat
CovO eacutes la covariancia de la funcioacute aleatoria
Requisit 3 El krigeat simple requereix que la mitjana de la variable regionalitzada en
estudi sigui coneguda
Un cop shan tingut en compte aquests requ isits podem passar a la formulacioacute de
Iestimador
Sent Z una funcioacute aleatoria estacionaria de segon ordre amb mitjana m Iestimacioacute
Zk (xo) en la posicioacute Xove donada per la segOent combina cioacute lineal de variables
aleatories a les posicions Xi considerades en la mostra
k
Zk(XO) = m+ Lwiexcl(Z(xiexcl-m) =1
El proposit principal del krigeat simple eacutes trobar un conjunt de pesos per a la estimacioacute
en Iequacioacute anterior de forma que es minimitzi Ierror quadratic migo
La variancia daquest estimador ve donada per
n
OK(U) =C(O)- LWiexcl(u)C(u-uo) O =1
2212 El krigeat ordinari
El krigeat ordinari va sovint acompanyat del qualificatiu de BLUE Eacutes linear (lineal)
perqueacute les seves estimacions soacuten combinacions lineals ponderades de les dades
existents Eacutes unbiased (no esbiaixat) perqueacute intenta que la miijana residual (mr) sia
igual a zero I eacutes bese (millor) perqueacute fa la variancia deis errors (cr2R) miacutenima
15
Capiacutetol 2 Nocions de geoestadiacutestica
Lavantatge que presenta el krigeat ordinari davant daltres metodes destimacioacute eacutes
precisament que fa miacutenima la variancia residual ja que nhi ha que tambeacute soacuten lineals i
no esbiaixats
Com hem dit anteriorment el krigeat simple requereix el coneixement de la mitjana per
resoldre el problema de trobar els pesos que miacutenimitzin la variancia de Ierror
destimacioacute Si la mitjana no eacutes coneguda sera convenient utilitzar el krigeat ordinari
Iestimacioacute del qual eacutes independent de la mitjana ja que safegeix la restriccioacute de que
els pesos han de sumar 1 daquesta manera els pesos de la mitjana a Iequacioacute
(2221) sumen O i Iestimacioacute depeacuten norneacutes de la mostra
(2221)
Aixiacute dones podem afirmar que el krigeat ordinari no eacutes res rneacutes que un krigeat simple
que compleix la condicioacute que els pesos tenen una suma unitaria
Considerem una funcioacute aleatoria Z estacionaria de segon ordre Lestimador Zk(XO )
en la posicioacute ve donada per les seguumlents combinacions lineals de les variables Xo
aleatories a les posicions Xi considerades en la mostra
k
Zk(XO) =LwiexclZ(xJ iexcl=l
subjecte a Lk
Wiexcl = 1 =1
Les principals propietats del krigeat ordinari soacuten
- Minimitza error quadratic migo
-Interpolacioacute exacte amb variancia de krigeat O
- Independencia de la translacioacute deis nodes de referencia
- Dependencia del patroacute de la mostra
- Independencia de la variancia de krigeat per les observacions individuals
16
Capiacutetol2 Nocions de geoestadiacutestica
23 Simulacioacute sequumlencial gaussiana
La simulacioacute sequumlencial gaussiana es basa en la simulacioacute de dades a partir duna variable
continua de distribucioacute normal que a meacutes ha de ser estandarditzada En geoestadiacutestica
susa la simulacioacute per tal de poder coneacuteixer el valors de la variable en estudi en punts no
mostrejats En el nostre cas Ihem usat per tal de poder tenir dades a partir de les quals fer
Iestudi Per tant nomeacutes detallarem la seva mecanica
1 Determinar la funcioacute de distribucioacute Fz(z) que representa tota Iarea destudi i no norneacutes
els punts mostrejats
2 Transformar Fz(z) en una distribucioacute Normal (01)
3 Comprovar que realment la nova variable (Y) es distribueix normalment En el cas que
no shagi pogut conservar el model gaussia considerar models aHematius com ara una
barreja de poblacions gaussianes o beacute plantejar-se fer un altre tipus de simulacioacute
estocastica
4 A partir daquiacute ja podem usar meacutetodes computacionals que actuen de la seguumlent
manera
41 Es crea una ruta que consisteix en la visita una sola vegada de cada node (u) de la
xarxa De cada node visitat es reteacute un nombre maxim de nodes veins per tal de
poder fer simulacioacute condicionada
42 Escollir un tipus de krigeat i un tipus de semivariograma per tal de poder determinar
la mitjana i la variancia de la funcioacute de distribucioacute condicionada Y(u) en la localitzacioacute
u
43 Treure un valor simulat yP)(u) de la funcioacute de distribucioacute condicionada
44 Afegir el valor simulat y(I)(U) al conjunt de dades
5 Continuar amb el seguumlent node fins que es simuli el darrer
FLUXOGRAMA DEL DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE
Simulem 625 dades (25x25) duna N(01) amb un variograma
exponencial SGSIM
Fem Iexponencial de les dades per obtenir una distribucioacute lognormai
Prenem una mostra r-1-----i aleatoria de 100 dades r------- ~ MINITAB
Decidim 5 cut-offs a partir
deis percentils MINITAB
Obtenim els variogrames per a cada cut-off i hi aproximem un modelo
GEO-EAS EXCEL
Realitzem el Krigeado indicador simultani per
cada cut-off IK3D
j Realitzem la
interpolacioacute de la mediana
POSTIK
Fem els logaritmes Obtenim el model
de variograma per la mostra GEO-EAS
EXCEL
Realitzem el Krigeado ordinario
KB2D
Realitzem la transformacioacute de les
dades per obtenir una xarxa amb distribucioacute
Iqgnormai
1------1-~ Apliquem la funcioacute ~
logaritme a les dades L-___________-I~ per tal de poder-les 1--___-
comparar
Comparem els dos meacutetodes destimacioacute entre si i amb les dades simulades Calculem ISTRESS i grafiquem els
1 CONCLUSIOacute I resultats FORTRAN MINITA8
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Tot estudi geoestadiacutestic segueix un guioacute de treball
bull Determinacioacute i analisi de Iestructura espaial
bull Modelitzacioacute de la variabilitat espaial
bull Estimacioacute de punts no mostrejats
bull Simulacioacute
bull Conclusions i descripcioacute de la zona estudiada
En el nostre cas malgrat no teniacuter dades reals i que el nostre objectiu no sia el coneixement
de la variable regionalitzada sinoacute el comparar dos metodes destimacioacute el proceacutes sera el
mateix Luacutenica diferencia eacutes que nosaltres fem una simulacioacute per tal dobtenir una base de
realitat a partir de la qual comenyar a treballar i no per tenir realitzacions de punts no
mostrejats Per tant en el nostre cas la simulacioacute esdeveacute el primer pas a realitzar
Capitol 5 Desenvolupament del projecte
51 La simulacioacute
Per tal de tenir una regi6 en la que poder treballar construim una xarxa de 25x25x1 eacutes a
dir treballem a R2bull
Volem obtenir una realitzaci6 en cada un deis nodes de la xarxa per tant realitzem una
simulaci6 de 625 dades Figura 511
Ix= o 1 2 23 24
~ yslz= 004 J
l
~] iexcllo
-t yrnn==O
-- xsiz== 004T-Eshy
o 11
~
Figura 511 Xarxa sobre la que es treballa i punts mostrejats
En el camp de la geologiacutea eacutes molt difiacutecil obtenir gaires mostres duna regi6 per aix6 els
meacutetodes de simulaci6 i destimaci6 s6n tant importants en geoestadiacutestica Com que a
nosaltres ens interesa tenir una xarxa complerta (perqueacute el que ens interessa eacutes veure quin
deis dos meacutetodes destimaci6 eacutes millor i no el saber com eacutes la regi6) el que fem eacutes simular
realitzacions duna N(O1) amb semiacutevariograma exponencial de meseta unitat en tots els
nodes de la nostre xarxa Sha escollit aquest tipus de semivariograma per ser el meacutes
habitual en el camp de la geologiacutea [ref 2]
En aquestes dad es els hi apliquem exponencials i per tant la nostra realitat segueix una
distribuci6 lognormal de mitjana unitat
El fet de treballar sobre dades lognormals ve justificat perque hi ha molts fenomens naturals
que segueixen aquesta distribuci6 [ref 11] (cerca de determinat mineral bosses de petrali
quantitat de sediments exploracions geoquimiques )
Per tant la nostre realitat eacutes aquesta eacutes a dir la distribuci6 lognormal de la variable
regionalitzada La N(O1) tant sois la fem servir per ser facil de maniobrar
computacionalment [ref 16]
Capiacutetol5 Desenvolupament del projecte
Per tal dassegurant-se que la nostre realitat eacutes mes o menys exacta mirem la seguumlent taula
Variable N Mean Median StDev SE Mean Hin 121 123
exp(siacutem) 625 10546 07742 10075 00403 00250 95965 03934 13721
Taula 511 Descriptiva de la variable regionalitzada exp(sim)
Amb els seguumlents grafics comprovem que realment les nostres dades segueixen una
distribucioacute lognormal
-200
() e Q) J CT 100 ~
IJ -
o
o 5 10 exp(sim)
Figura 512 Histograma de la realitat
Jo
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Lognormal Probablllty Plot tor exp(sim)
Ml Estimates
l ocatiolt -0325300
Scale 0910009
99
95 90
80 70
e 60 (lJ 50 Uuml 40 shy 30 (lJ 20 a
10
5
001 010 100 1000
Data
Figura 513 Lognormal probability plot de la variable regionalitzada exp(sim)
exp(sim)
10
B
7
6 5
4
2
20
Figura 514 Surface plot de la variable exp(sim)
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
El surface plot eacutes una eina molt uacutetil ja que ens doacutena una visioacute de com es la nostra realitat a
Iespai A meacutes un cop haguem fet les dues estimacions tambeacute podrem fer el surface plot i
amb un cop dull podrem treure una primera impressioacute de si les estimacions han estat bones
o no
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
52 La mostra
A partir de les dades que hem obtingut amb la simulacioacute prenem una mostra aleatoria
de 100 dades a partir de la qual realitzarem les dues estimacions de la realitat Cal
tenir en compte que a partir daquest moment es treballara sobre la mostra i no sobre
les dades simulades que en Iexperimentacioacute real soacuten desconegudes
La mostra sha pres de forma que constitueixi una bona representacioacute del total de la
xarxa La figura 521 mostra la localitzacioacute de cada una de les dades que formen part
de la mostra sobre la xarxa inicial de 25x25 nodes
20 shy
gt x middotcv 10 _
o shy
middot o
bull It bullbullbullbullbullbull bull middot 4 bull bull bull bullbullbull bullbullbullbull bull bull bullbullbullbullbull bull bull bull bull bull bullbullbullbullbull bull bull bullbullbull -Jf bull middot middot middot bull middot 1t bullbullbullbull bullbullbullmiddot o bull bull bull bull bullbull bull bull bull bullbull II JI Jt bull bullbullbull lttt bullbullbull bullbullbull bullbull bull bull bull bullbull bull shy ~ ~ ~ ~ ~ It bull bull bullbullbull bull bull bullbullbull bullbull bull bullbullbullbull bullbull bull bull bull bullbullbullbullbullbull ti bull bull -41 bull bull bull bull bull bull jf middot bull bullbullbull -If bull bull bull 1( bull bullbull bull middot middot - bullbullbullbullbull bull bullbull bullbullbullbullbullbull bull bull bull bullbullbullbull bullbull bull
o 10 20
eix x
Figura 521 Distribucioacute de la mostra dins la xarxa real
La mostra obtinguda conserva les propietats de les dades provinents de la simulacioacute
daquesta manera podem afirmar que eacutes una bona extrapolacioacute de la realitat Vegem a
continuacioacute la descriptiva (Taula 52 1) i Ihistograma de la mostra (Figura 522) amb el
grafic de probabilitats (Figura 52 3) Podem observar que segueix efectivament una
distribucioacute lognormal
Variable N Mean Median TrMean StDev SE Mean rnos tra 1 00 1 0552 0 8330 0 9458 0 9566 0 0957
Variable Minimum Maximum Ql Q3 rnost ra 0 0250 441 85 0 328 1 1 3714
Taula 521 Descriptiva de la mostra
33
Capiacutetol 5 Desenvoluparnent del proiecte
30
gtshyo 20c Q) J oshy~
LL 10
-
1--
- --r--
n I Io
o 2 3 4 5 mostra
Figura 522 Histograma de la mostra
Lognormal Probability Plot for mostra
99
I 95
_ 90 - l -~80 70c jIQ) 60
50e 40Q) 30a 20
10 5
bull
~
001 010 100 1000
Data
MLEstimaacutee5
LocaIion -0341481
Scaacutee 0946372
Figura 523 Plot de probabilitat lognormal
34
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
La superfiacutecie descrita per la mostra podem representar-la tambeacute graficament (Figura
524)
mostra
45
40
3 5
30
25
20 15
10
05
00
eixy 20
Figura 524 Superfiacutecie definida per la mostra
35
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
53 Lestimacioacute per krigeat indicador
Per tal de realitzar el krigeat indicador definim 5 punts de tall o cut-off Aquests punts de tall
els escollim de forma que guardin simetria respecte el percentil del 50 tal i com mostra la
taula 531
Categoria Percentil Percentatge
1 90 009952
2 300 037637
3 500 073142
4 700 127046
5 910 254092
Taula 531 Els cinc punts de tall escollits
Un cop decidides les categories o punts de tall necessitem saber el semivariograma que
segueixen cada una delles per a poder dur a terme el krigeat indicador ja que Iestimacioacute
realitzada a partir daquest rneacutetode requereix una modelitzacioacute deis cinc semivariogrames
experimentals
El procediment eacutes el seguumlent
Partim de la mostra de 100 dades que segueix una distribucioacute 10gnormaL
Per cada una de les categories creem una columna de O i 1 de manera que si aquell
punt concret eacutes per sota del punt de tall el valor que pren la variable dicotoacutemica eacutes 1 i si eacutes
per sobre pren el valor O
Els semivariogrames els creem amb aquestes cinc columnes de zeros i uns
Per cada semivariograma provem dajustar un model esfeacuteric i un dexponencial Aquests dos
tipus de models els anirem ajustant a ull movent el valor del rang i de Iabast Partim
daquests models per ser els meacutes habituals en la realitat i ens quedarem amb el que ajusti millor deis dos [ref 2]
A continuacioacute presentem els resultats daquests ajustaments per a cada punt de tall
Capiacutetol 5 Desenvolupament del proiecte
Categoriacutea 1 y(h)
Model Exponencial Abast =8 Model Esferic Abast = 75
Meseta =003 Meseta = 003
VARIOGRANlA CATEGORIA 1
005
004 sectr bull ESF= ro E 003 E ro O)
002
001
000
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 531 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 1
)1
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Categoria 2
Model Exponencial Abast = 4 Model Esferic Abast = 4
Meseta = 022 Meseta = 022
VARIOGRAMA CATEGORIA 2
025
--
c bull ESF- sectro 020
E E ro Ogt
015
010
8 10 12
Figura 532 Model de semivariograma esferic i exponencial per la categoria 2
o 2 4 6
Ihl
Capitol 5 Desenvolupament del projecte
Categoriacutea 3
ModeJ Exponencial Abast =7 ModeJ Esferic Abast =6
Meseta =027 Meseta = 0265
VARIOGRAMA CATEGORIA 3
03
~ c (1] ~E 02E (1]
Ogt
01
o 2 4 6
Ihl
Figura 533 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 3
8 10 12
)9
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Categoria 4
Model Exponencial Abast = 5 Model Esfeacuteric Abast = 4
Meseta = 02 Meseta = 02
VARIOGRAMA CATEGORIA 4
03
~ ~ -- ro E ~
02 E ro Ogt
01
deg 2 4 6
Ihl
Figura 534 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 4
8 10 12
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Categoriacutea 5
Model Exponencial Abast =4 Model Esferic Abast = 3
Meseta =006 Meseta = 006
VARIOGRAMA CATEGORIA 5
008
= sect~ 007-shy ESFro E E 006 ro Ol
005
004
003
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 535 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 5
Capiacutetol5 Desenvolupament del projecte
Mirant els cinc grafics veiem que el model que ajusta millor eacutes Iesferic en tots els casos
encara que no hi ha diferencies massa significatives respecte el model exponencial A meacutes
observem una certa simetria pel que fa a la meseta i abast de cada un deis models esferics
de cada categoria Taula 532
Cat 1 Cat2 Cat3 Cat4 Cat5
Meseta 003 022 0265 02 006
Abast 75 4 6 4 3
Taula 532 Meseta i abast per cada categoria
Aquesta simetria sobserva sobretot per les categories 2 3 i 4
Els models corresponents a les categories 1 i 5 no ajusten del tot beacute degut a que soacuten les
categories deis extrems i per tant la gran majoria de mostres si no totes estaran per sobre o
per sota respectivament
Ara ja podem fer Iestimacioacute per krigeat indicador Al programa ik3d li introduim els cinc
models de semivariogrames per tal que ens calculi Iestimacioacute
El resultat que obtenim soacuten cinc columnes de 625 dades on els valors van de O a 1
Concretament ens calcula la probabilitat de que el valor atorgat a cada punt sigui inferior al
daquell cut-off
El que es preteacuten ara eacutes a partir daquest conjunt de probabilitats interpolar la mediana per a
cada un deis punts de la xarxa per tant el que fem eacutes executar el programa postik en Iopcioacute
3 de manera que ens tregui Iestimacioacute de la mediana
A continuacioacute passem a detallar en que consisteix el postik Per tal de poder-ho expressar
millor ens centrare m en un punt concret de la xarxa el (30)
- - - - -
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Els tercer valor de cada una de les 5 columnes obtingudes amb el krigeat indicador eacutes a dir
els valors corresponents a la mostra situada en el node (30) representen la probabilitat de
que el valor de la variable en aquest punt sigui major que cada un deis cut-off
respectivament aixiacute podem afirmar que
P(Xiexcl lt el ) = P(x(3Q) lt 00995) =00000
P(xiexcl lt e2) = P(X(3 Q) lt 03764) =00397
P(xiexcl lt c3) = P(X(30) lt 07314) = 00409
P(xiexcl lt e4) = P(X(30) lt 12705) = 02079
P(xiexcl lt e5) = P(X(3 0) lt 25402) =10000
Si ara grafiquem aquests 5 valors obtenim una estimacioacute de la probabilitat que teacute el punt
estudiat (30) de ser meacutes petit que qualsevol valor eacutes a dir Iestimacioacute de la funcioacute de
probabilitat en aquest punt Com que el que es preteacuten estimar en el nostre estudi eacutes la
mediana mirarem quin valor aproxima per la probabilitat del 05 eacutes a dir
m tal que P(X(30) lt m) = 05
Per aixoacute tracem una liacutenia a Ialcada 05 i daquesta manera obtenim el valor estimat de la
mediana Aquest valor correspon al valor que obtenim amb el POSTIK que eacutes per aquesta
primera observacioacute 06983
10
x v 6 68 05 o
00
Figura 536 Els 5 cut-off aplicats al punt (30)
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Laplicacioacute del POSTIK realitza aquesta estimacioacute per a cada un deis punts obtinguts (625)
i daquesta manera podem obten ir una interpolacioacute de la mediana per cada un deis valors a
estimar
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
SEMIVARIOGRAMA DE LA MOSTRA
model exponencial
12
= r 07 -- ca E E ca O)
02
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 541 Semivariograma experimental amb un model exponencial
Aquest model obtingut a ull teacute els seguumlents parametres abast=7
meseta=1 05
Aplicant aquest valors al model general obtenim la formulacioacute per a les nostres dades
46
middotCapiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
MODEL ESFERIC La formulacioacute general eacutes
sih a
sih gt a
on a eacutes Iabast i c la meseta
SEMIVARIOGRAMA DE LA MOSTRA
model esferic
12
---shyro E 07 E ro Ol
02
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 54 2 Semivariograma experimental amb un model esfeacuterico
Aquest model Ihem obtingut de la mateixa manera que Ianterior a ull i els seus
parametres que tambeacute aplicarem a la forma general soacuten abast=6 i meseta=1
47
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Finalment pode m representar la superfiacutecie que hem estimat a partir del krigeat
lognormal utilitzant un grafic de superfiacutecie (Figura 54 5)
6
5
Krig Logn 3
2
o
20 eix y
Figura 545 Grafic de superfiacutecie pel krigeat lognormal
50
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
61 Regressioacute lineal
Per tal de dur a terme la compara cioacute entre els dos meacutetodes destimacioacute i les dades que
simulen la realitat hem expressat els resultats obtinguts graficament mitjancant els
grafics de punts ajustant en cada cas la recta de regressioacute i dibuixant la bisectriu Cal
tenir en compte que per augmentar la claredat i per a simplificar la interpretacioacute deis
resultat hem transformat les dades a una N(O1) encara que el nostre estudi es basi en
un model lognormal
Passem a continuacioacute a analitzar els grafics
En primer lIoc (Figura 611) tenim el grafic de punts entre les dades obtingudes amb el
primer meacutetode destimacioacute el krigeat lognormal i les dades provinents de la simula cioacute
de la realitat
Regression Plot y =3a1E -02jo O6lt40216X
R-Sq = 594
_0 ro
ro EID o middot Ole
~~ -2
-3
- -3 -2 -1
redade regresioacute
Bisectriu
realitat simulada
Figura 611 Recta de regressioacute entre el krigeat lognormal i la simulacioacute de la realitat
Si mirem aquest grafic podem observar que el valor de Iestimacioacute realitzada
sobreestima els valors petits de la simulacioacute i en canvi en els valors grans subestima
El coeficient de correlacioacute es del 594 eacutes a dir que el meacutetode del krigeat lognormal
explica un 594 de la realitat
52
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
Passem ara a realitzar el gratic entre el segon meto de destimacioacute el krigeat indicador
i la realitat simulada (Figura 612)
0 _O
m~ 0)-- o
~~ -1
-2
-3
Regression Plot y = -23E-02 + 0711 615X
R-Sq 526
bull bull
-3 -2 -1
realitat simulada
recta de regresi oacute
I Bisectriu
Figura 612 Recta de regressioacute entre el krigeat indicador i la simulacioacute de la realitat
Podem observar que el gratic obtingut eacutes molt semblant a Ianterior i que ens trobem
amb el mateix problema de sobreestimacioacute deis valors petits i subestimacioacute deis valors
grans de la simulacioacute
El valor del coeticient de correlacioacute tambeacute eacutes torga semblant 52 6 Aixiacute doncs la
realitat eacutes explicada en un 526 pel krigeat indicador
53
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
Finalment i per tenir una idea de la relacioacute que hi ha entre els dos meacutetodes emprats en
el projecte realitzarem un uacuteltim grafic comparatiu (Figura 613) que representa els dos
meacutetodes destimacioacute el krigeat lognormal i el krigeat indicador
Regression Plot y = -7 SE-02 + 105401X
R-Sq 796
middot2
middot3
recta de regresi6
bull Bisectriu
middot 4 middot3 middot2 -1
krigeat lognormal
Figura 613 Recta de regressioacute entre el krigeat lognormal i el krigeat indicador
En aquest cas podem observar que la recta de regressioacute coincideix gairebeacute a la
perfeccioacute amb la bisectriu cosa que vol dir que els dos meacutetodes soacuten molt semblants
entre siacute i que per tant eacutes normal que Iaproximacioacute de cada un dells a la realitat sigui
semblant
El valor de la regressioacute eacutes meacutes gran que en els altres dos casos 796 eacutes a dir que
els dos meacutetodes no donen resultats significativament diferents entre si
Podem observar un conjunt de dades que prenen valors especialment elevats en
Iestimacioacute per krigeat indicador Si analitzem aquests punts podem comprovar que
soacuten punts que tenen una probabilitat de ser meacutes grans que el cinqueacute cut-off (percentil
097) igual a 1 Per tant aquest tipus de punts no shan de tenir en compte en el
moment dextreure conclusions De fet aixo ja es sospitava en el grafic anterior pero
en que en aquell hi ha una elevada dispersioacute i per tant Iefecte queda dissimulat
54
Capiacutetol 2 Nocions de geoestadiacutestica
Lavantatge que presenta el krigeat ordinari davant daltres metodes destimacioacute eacutes
precisament que fa miacutenima la variancia residual ja que nhi ha que tambeacute soacuten lineals i
no esbiaixats
Com hem dit anteriorment el krigeat simple requereix el coneixement de la mitjana per
resoldre el problema de trobar els pesos que miacutenimitzin la variancia de Ierror
destimacioacute Si la mitjana no eacutes coneguda sera convenient utilitzar el krigeat ordinari
Iestimacioacute del qual eacutes independent de la mitjana ja que safegeix la restriccioacute de que
els pesos han de sumar 1 daquesta manera els pesos de la mitjana a Iequacioacute
(2221) sumen O i Iestimacioacute depeacuten norneacutes de la mostra
(2221)
Aixiacute dones podem afirmar que el krigeat ordinari no eacutes res rneacutes que un krigeat simple
que compleix la condicioacute que els pesos tenen una suma unitaria
Considerem una funcioacute aleatoria Z estacionaria de segon ordre Lestimador Zk(XO )
en la posicioacute ve donada per les seguumlents combinacions lineals de les variables Xo
aleatories a les posicions Xi considerades en la mostra
k
Zk(XO) =LwiexclZ(xJ iexcl=l
subjecte a Lk
Wiexcl = 1 =1
Les principals propietats del krigeat ordinari soacuten
- Minimitza error quadratic migo
-Interpolacioacute exacte amb variancia de krigeat O
- Independencia de la translacioacute deis nodes de referencia
- Dependencia del patroacute de la mostra
- Independencia de la variancia de krigeat per les observacions individuals
16
Capiacutetol2 Nocions de geoestadiacutestica
23 Simulacioacute sequumlencial gaussiana
La simulacioacute sequumlencial gaussiana es basa en la simulacioacute de dades a partir duna variable
continua de distribucioacute normal que a meacutes ha de ser estandarditzada En geoestadiacutestica
susa la simulacioacute per tal de poder coneacuteixer el valors de la variable en estudi en punts no
mostrejats En el nostre cas Ihem usat per tal de poder tenir dades a partir de les quals fer
Iestudi Per tant nomeacutes detallarem la seva mecanica
1 Determinar la funcioacute de distribucioacute Fz(z) que representa tota Iarea destudi i no norneacutes
els punts mostrejats
2 Transformar Fz(z) en una distribucioacute Normal (01)
3 Comprovar que realment la nova variable (Y) es distribueix normalment En el cas que
no shagi pogut conservar el model gaussia considerar models aHematius com ara una
barreja de poblacions gaussianes o beacute plantejar-se fer un altre tipus de simulacioacute
estocastica
4 A partir daquiacute ja podem usar meacutetodes computacionals que actuen de la seguumlent
manera
41 Es crea una ruta que consisteix en la visita una sola vegada de cada node (u) de la
xarxa De cada node visitat es reteacute un nombre maxim de nodes veins per tal de
poder fer simulacioacute condicionada
42 Escollir un tipus de krigeat i un tipus de semivariograma per tal de poder determinar
la mitjana i la variancia de la funcioacute de distribucioacute condicionada Y(u) en la localitzacioacute
u
43 Treure un valor simulat yP)(u) de la funcioacute de distribucioacute condicionada
44 Afegir el valor simulat y(I)(U) al conjunt de dades
5 Continuar amb el seguumlent node fins que es simuli el darrer
FLUXOGRAMA DEL DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE
Simulem 625 dades (25x25) duna N(01) amb un variograma
exponencial SGSIM
Fem Iexponencial de les dades per obtenir una distribucioacute lognormai
Prenem una mostra r-1-----i aleatoria de 100 dades r------- ~ MINITAB
Decidim 5 cut-offs a partir
deis percentils MINITAB
Obtenim els variogrames per a cada cut-off i hi aproximem un modelo
GEO-EAS EXCEL
Realitzem el Krigeado indicador simultani per
cada cut-off IK3D
j Realitzem la
interpolacioacute de la mediana
POSTIK
Fem els logaritmes Obtenim el model
de variograma per la mostra GEO-EAS
EXCEL
Realitzem el Krigeado ordinario
KB2D
Realitzem la transformacioacute de les
dades per obtenir una xarxa amb distribucioacute
Iqgnormai
1------1-~ Apliquem la funcioacute ~
logaritme a les dades L-___________-I~ per tal de poder-les 1--___-
comparar
Comparem els dos meacutetodes destimacioacute entre si i amb les dades simulades Calculem ISTRESS i grafiquem els
1 CONCLUSIOacute I resultats FORTRAN MINITA8
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Tot estudi geoestadiacutestic segueix un guioacute de treball
bull Determinacioacute i analisi de Iestructura espaial
bull Modelitzacioacute de la variabilitat espaial
bull Estimacioacute de punts no mostrejats
bull Simulacioacute
bull Conclusions i descripcioacute de la zona estudiada
En el nostre cas malgrat no teniacuter dades reals i que el nostre objectiu no sia el coneixement
de la variable regionalitzada sinoacute el comparar dos metodes destimacioacute el proceacutes sera el
mateix Luacutenica diferencia eacutes que nosaltres fem una simulacioacute per tal dobtenir una base de
realitat a partir de la qual comenyar a treballar i no per tenir realitzacions de punts no
mostrejats Per tant en el nostre cas la simulacioacute esdeveacute el primer pas a realitzar
Capitol 5 Desenvolupament del projecte
51 La simulacioacute
Per tal de tenir una regi6 en la que poder treballar construim una xarxa de 25x25x1 eacutes a
dir treballem a R2bull
Volem obtenir una realitzaci6 en cada un deis nodes de la xarxa per tant realitzem una
simulaci6 de 625 dades Figura 511
Ix= o 1 2 23 24
~ yslz= 004 J
l
~] iexcllo
-t yrnn==O
-- xsiz== 004T-Eshy
o 11
~
Figura 511 Xarxa sobre la que es treballa i punts mostrejats
En el camp de la geologiacutea eacutes molt difiacutecil obtenir gaires mostres duna regi6 per aix6 els
meacutetodes de simulaci6 i destimaci6 s6n tant importants en geoestadiacutestica Com que a
nosaltres ens interesa tenir una xarxa complerta (perqueacute el que ens interessa eacutes veure quin
deis dos meacutetodes destimaci6 eacutes millor i no el saber com eacutes la regi6) el que fem eacutes simular
realitzacions duna N(O1) amb semiacutevariograma exponencial de meseta unitat en tots els
nodes de la nostre xarxa Sha escollit aquest tipus de semivariograma per ser el meacutes
habitual en el camp de la geologiacutea [ref 2]
En aquestes dad es els hi apliquem exponencials i per tant la nostra realitat segueix una
distribuci6 lognormal de mitjana unitat
El fet de treballar sobre dades lognormals ve justificat perque hi ha molts fenomens naturals
que segueixen aquesta distribuci6 [ref 11] (cerca de determinat mineral bosses de petrali
quantitat de sediments exploracions geoquimiques )
Per tant la nostre realitat eacutes aquesta eacutes a dir la distribuci6 lognormal de la variable
regionalitzada La N(O1) tant sois la fem servir per ser facil de maniobrar
computacionalment [ref 16]
Capiacutetol5 Desenvolupament del projecte
Per tal dassegurant-se que la nostre realitat eacutes mes o menys exacta mirem la seguumlent taula
Variable N Mean Median StDev SE Mean Hin 121 123
exp(siacutem) 625 10546 07742 10075 00403 00250 95965 03934 13721
Taula 511 Descriptiva de la variable regionalitzada exp(sim)
Amb els seguumlents grafics comprovem que realment les nostres dades segueixen una
distribucioacute lognormal
-200
() e Q) J CT 100 ~
IJ -
o
o 5 10 exp(sim)
Figura 512 Histograma de la realitat
Jo
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Lognormal Probablllty Plot tor exp(sim)
Ml Estimates
l ocatiolt -0325300
Scale 0910009
99
95 90
80 70
e 60 (lJ 50 Uuml 40 shy 30 (lJ 20 a
10
5
001 010 100 1000
Data
Figura 513 Lognormal probability plot de la variable regionalitzada exp(sim)
exp(sim)
10
B
7
6 5
4
2
20
Figura 514 Surface plot de la variable exp(sim)
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
El surface plot eacutes una eina molt uacutetil ja que ens doacutena una visioacute de com es la nostra realitat a
Iespai A meacutes un cop haguem fet les dues estimacions tambeacute podrem fer el surface plot i
amb un cop dull podrem treure una primera impressioacute de si les estimacions han estat bones
o no
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
52 La mostra
A partir de les dades que hem obtingut amb la simulacioacute prenem una mostra aleatoria
de 100 dades a partir de la qual realitzarem les dues estimacions de la realitat Cal
tenir en compte que a partir daquest moment es treballara sobre la mostra i no sobre
les dades simulades que en Iexperimentacioacute real soacuten desconegudes
La mostra sha pres de forma que constitueixi una bona representacioacute del total de la
xarxa La figura 521 mostra la localitzacioacute de cada una de les dades que formen part
de la mostra sobre la xarxa inicial de 25x25 nodes
20 shy
gt x middotcv 10 _
o shy
middot o
bull It bullbullbullbullbullbull bull middot 4 bull bull bull bullbullbull bullbullbullbull bull bull bullbullbullbullbull bull bull bull bull bull bullbullbullbullbull bull bull bullbullbull -Jf bull middot middot middot bull middot 1t bullbullbullbull bullbullbullmiddot o bull bull bull bull bullbull bull bull bull bullbull II JI Jt bull bullbullbull lttt bullbullbull bullbullbull bullbull bull bull bull bullbull bull shy ~ ~ ~ ~ ~ It bull bull bullbullbull bull bull bullbullbull bullbull bull bullbullbullbull bullbull bull bull bull bullbullbullbullbullbull ti bull bull -41 bull bull bull bull bull bull jf middot bull bullbullbull -If bull bull bull 1( bull bullbull bull middot middot - bullbullbullbullbull bull bullbull bullbullbullbullbullbull bull bull bull bullbullbullbull bullbull bull
o 10 20
eix x
Figura 521 Distribucioacute de la mostra dins la xarxa real
La mostra obtinguda conserva les propietats de les dades provinents de la simulacioacute
daquesta manera podem afirmar que eacutes una bona extrapolacioacute de la realitat Vegem a
continuacioacute la descriptiva (Taula 52 1) i Ihistograma de la mostra (Figura 522) amb el
grafic de probabilitats (Figura 52 3) Podem observar que segueix efectivament una
distribucioacute lognormal
Variable N Mean Median TrMean StDev SE Mean rnos tra 1 00 1 0552 0 8330 0 9458 0 9566 0 0957
Variable Minimum Maximum Ql Q3 rnost ra 0 0250 441 85 0 328 1 1 3714
Taula 521 Descriptiva de la mostra
33
Capiacutetol 5 Desenvoluparnent del proiecte
30
gtshyo 20c Q) J oshy~
LL 10
-
1--
- --r--
n I Io
o 2 3 4 5 mostra
Figura 522 Histograma de la mostra
Lognormal Probability Plot for mostra
99
I 95
_ 90 - l -~80 70c jIQ) 60
50e 40Q) 30a 20
10 5
bull
~
001 010 100 1000
Data
MLEstimaacutee5
LocaIion -0341481
Scaacutee 0946372
Figura 523 Plot de probabilitat lognormal
34
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
La superfiacutecie descrita per la mostra podem representar-la tambeacute graficament (Figura
524)
mostra
45
40
3 5
30
25
20 15
10
05
00
eixy 20
Figura 524 Superfiacutecie definida per la mostra
35
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
53 Lestimacioacute per krigeat indicador
Per tal de realitzar el krigeat indicador definim 5 punts de tall o cut-off Aquests punts de tall
els escollim de forma que guardin simetria respecte el percentil del 50 tal i com mostra la
taula 531
Categoria Percentil Percentatge
1 90 009952
2 300 037637
3 500 073142
4 700 127046
5 910 254092
Taula 531 Els cinc punts de tall escollits
Un cop decidides les categories o punts de tall necessitem saber el semivariograma que
segueixen cada una delles per a poder dur a terme el krigeat indicador ja que Iestimacioacute
realitzada a partir daquest rneacutetode requereix una modelitzacioacute deis cinc semivariogrames
experimentals
El procediment eacutes el seguumlent
Partim de la mostra de 100 dades que segueix una distribucioacute 10gnormaL
Per cada una de les categories creem una columna de O i 1 de manera que si aquell
punt concret eacutes per sota del punt de tall el valor que pren la variable dicotoacutemica eacutes 1 i si eacutes
per sobre pren el valor O
Els semivariogrames els creem amb aquestes cinc columnes de zeros i uns
Per cada semivariograma provem dajustar un model esfeacuteric i un dexponencial Aquests dos
tipus de models els anirem ajustant a ull movent el valor del rang i de Iabast Partim
daquests models per ser els meacutes habituals en la realitat i ens quedarem amb el que ajusti millor deis dos [ref 2]
A continuacioacute presentem els resultats daquests ajustaments per a cada punt de tall
Capiacutetol 5 Desenvolupament del proiecte
Categoriacutea 1 y(h)
Model Exponencial Abast =8 Model Esferic Abast = 75
Meseta =003 Meseta = 003
VARIOGRANlA CATEGORIA 1
005
004 sectr bull ESF= ro E 003 E ro O)
002
001
000
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 531 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 1
)1
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Categoria 2
Model Exponencial Abast = 4 Model Esferic Abast = 4
Meseta = 022 Meseta = 022
VARIOGRAMA CATEGORIA 2
025
--
c bull ESF- sectro 020
E E ro Ogt
015
010
8 10 12
Figura 532 Model de semivariograma esferic i exponencial per la categoria 2
o 2 4 6
Ihl
Capitol 5 Desenvolupament del projecte
Categoriacutea 3
ModeJ Exponencial Abast =7 ModeJ Esferic Abast =6
Meseta =027 Meseta = 0265
VARIOGRAMA CATEGORIA 3
03
~ c (1] ~E 02E (1]
Ogt
01
o 2 4 6
Ihl
Figura 533 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 3
8 10 12
)9
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Categoria 4
Model Exponencial Abast = 5 Model Esfeacuteric Abast = 4
Meseta = 02 Meseta = 02
VARIOGRAMA CATEGORIA 4
03
~ ~ -- ro E ~
02 E ro Ogt
01
deg 2 4 6
Ihl
Figura 534 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 4
8 10 12
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Categoriacutea 5
Model Exponencial Abast =4 Model Esferic Abast = 3
Meseta =006 Meseta = 006
VARIOGRAMA CATEGORIA 5
008
= sect~ 007-shy ESFro E E 006 ro Ol
005
004
003
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 535 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 5
Capiacutetol5 Desenvolupament del projecte
Mirant els cinc grafics veiem que el model que ajusta millor eacutes Iesferic en tots els casos
encara que no hi ha diferencies massa significatives respecte el model exponencial A meacutes
observem una certa simetria pel que fa a la meseta i abast de cada un deis models esferics
de cada categoria Taula 532
Cat 1 Cat2 Cat3 Cat4 Cat5
Meseta 003 022 0265 02 006
Abast 75 4 6 4 3
Taula 532 Meseta i abast per cada categoria
Aquesta simetria sobserva sobretot per les categories 2 3 i 4
Els models corresponents a les categories 1 i 5 no ajusten del tot beacute degut a que soacuten les
categories deis extrems i per tant la gran majoria de mostres si no totes estaran per sobre o
per sota respectivament
Ara ja podem fer Iestimacioacute per krigeat indicador Al programa ik3d li introduim els cinc
models de semivariogrames per tal que ens calculi Iestimacioacute
El resultat que obtenim soacuten cinc columnes de 625 dades on els valors van de O a 1
Concretament ens calcula la probabilitat de que el valor atorgat a cada punt sigui inferior al
daquell cut-off
El que es preteacuten ara eacutes a partir daquest conjunt de probabilitats interpolar la mediana per a
cada un deis punts de la xarxa per tant el que fem eacutes executar el programa postik en Iopcioacute
3 de manera que ens tregui Iestimacioacute de la mediana
A continuacioacute passem a detallar en que consisteix el postik Per tal de poder-ho expressar
millor ens centrare m en un punt concret de la xarxa el (30)
- - - - -
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Els tercer valor de cada una de les 5 columnes obtingudes amb el krigeat indicador eacutes a dir
els valors corresponents a la mostra situada en el node (30) representen la probabilitat de
que el valor de la variable en aquest punt sigui major que cada un deis cut-off
respectivament aixiacute podem afirmar que
P(Xiexcl lt el ) = P(x(3Q) lt 00995) =00000
P(xiexcl lt e2) = P(X(3 Q) lt 03764) =00397
P(xiexcl lt c3) = P(X(30) lt 07314) = 00409
P(xiexcl lt e4) = P(X(30) lt 12705) = 02079
P(xiexcl lt e5) = P(X(3 0) lt 25402) =10000
Si ara grafiquem aquests 5 valors obtenim una estimacioacute de la probabilitat que teacute el punt
estudiat (30) de ser meacutes petit que qualsevol valor eacutes a dir Iestimacioacute de la funcioacute de
probabilitat en aquest punt Com que el que es preteacuten estimar en el nostre estudi eacutes la
mediana mirarem quin valor aproxima per la probabilitat del 05 eacutes a dir
m tal que P(X(30) lt m) = 05
Per aixoacute tracem una liacutenia a Ialcada 05 i daquesta manera obtenim el valor estimat de la
mediana Aquest valor correspon al valor que obtenim amb el POSTIK que eacutes per aquesta
primera observacioacute 06983
10
x v 6 68 05 o
00
Figura 536 Els 5 cut-off aplicats al punt (30)
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Laplicacioacute del POSTIK realitza aquesta estimacioacute per a cada un deis punts obtinguts (625)
i daquesta manera podem obten ir una interpolacioacute de la mediana per cada un deis valors a
estimar
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
SEMIVARIOGRAMA DE LA MOSTRA
model exponencial
12
= r 07 -- ca E E ca O)
02
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 541 Semivariograma experimental amb un model exponencial
Aquest model obtingut a ull teacute els seguumlents parametres abast=7
meseta=1 05
Aplicant aquest valors al model general obtenim la formulacioacute per a les nostres dades
46
middotCapiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
MODEL ESFERIC La formulacioacute general eacutes
sih a
sih gt a
on a eacutes Iabast i c la meseta
SEMIVARIOGRAMA DE LA MOSTRA
model esferic
12
---shyro E 07 E ro Ol
02
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 54 2 Semivariograma experimental amb un model esfeacuterico
Aquest model Ihem obtingut de la mateixa manera que Ianterior a ull i els seus
parametres que tambeacute aplicarem a la forma general soacuten abast=6 i meseta=1
47
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Finalment pode m representar la superfiacutecie que hem estimat a partir del krigeat
lognormal utilitzant un grafic de superfiacutecie (Figura 54 5)
6
5
Krig Logn 3
2
o
20 eix y
Figura 545 Grafic de superfiacutecie pel krigeat lognormal
50
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
61 Regressioacute lineal
Per tal de dur a terme la compara cioacute entre els dos meacutetodes destimacioacute i les dades que
simulen la realitat hem expressat els resultats obtinguts graficament mitjancant els
grafics de punts ajustant en cada cas la recta de regressioacute i dibuixant la bisectriu Cal
tenir en compte que per augmentar la claredat i per a simplificar la interpretacioacute deis
resultat hem transformat les dades a una N(O1) encara que el nostre estudi es basi en
un model lognormal
Passem a continuacioacute a analitzar els grafics
En primer lIoc (Figura 611) tenim el grafic de punts entre les dades obtingudes amb el
primer meacutetode destimacioacute el krigeat lognormal i les dades provinents de la simula cioacute
de la realitat
Regression Plot y =3a1E -02jo O6lt40216X
R-Sq = 594
_0 ro
ro EID o middot Ole
~~ -2
-3
- -3 -2 -1
redade regresioacute
Bisectriu
realitat simulada
Figura 611 Recta de regressioacute entre el krigeat lognormal i la simulacioacute de la realitat
Si mirem aquest grafic podem observar que el valor de Iestimacioacute realitzada
sobreestima els valors petits de la simulacioacute i en canvi en els valors grans subestima
El coeficient de correlacioacute es del 594 eacutes a dir que el meacutetode del krigeat lognormal
explica un 594 de la realitat
52
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
Passem ara a realitzar el gratic entre el segon meto de destimacioacute el krigeat indicador
i la realitat simulada (Figura 612)
0 _O
m~ 0)-- o
~~ -1
-2
-3
Regression Plot y = -23E-02 + 0711 615X
R-Sq 526
bull bull
-3 -2 -1
realitat simulada
recta de regresi oacute
I Bisectriu
Figura 612 Recta de regressioacute entre el krigeat indicador i la simulacioacute de la realitat
Podem observar que el gratic obtingut eacutes molt semblant a Ianterior i que ens trobem
amb el mateix problema de sobreestimacioacute deis valors petits i subestimacioacute deis valors
grans de la simulacioacute
El valor del coeticient de correlacioacute tambeacute eacutes torga semblant 52 6 Aixiacute doncs la
realitat eacutes explicada en un 526 pel krigeat indicador
53
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
Finalment i per tenir una idea de la relacioacute que hi ha entre els dos meacutetodes emprats en
el projecte realitzarem un uacuteltim grafic comparatiu (Figura 613) que representa els dos
meacutetodes destimacioacute el krigeat lognormal i el krigeat indicador
Regression Plot y = -7 SE-02 + 105401X
R-Sq 796
middot2
middot3
recta de regresi6
bull Bisectriu
middot 4 middot3 middot2 -1
krigeat lognormal
Figura 613 Recta de regressioacute entre el krigeat lognormal i el krigeat indicador
En aquest cas podem observar que la recta de regressioacute coincideix gairebeacute a la
perfeccioacute amb la bisectriu cosa que vol dir que els dos meacutetodes soacuten molt semblants
entre siacute i que per tant eacutes normal que Iaproximacioacute de cada un dells a la realitat sigui
semblant
El valor de la regressioacute eacutes meacutes gran que en els altres dos casos 796 eacutes a dir que
els dos meacutetodes no donen resultats significativament diferents entre si
Podem observar un conjunt de dades que prenen valors especialment elevats en
Iestimacioacute per krigeat indicador Si analitzem aquests punts podem comprovar que
soacuten punts que tenen una probabilitat de ser meacutes grans que el cinqueacute cut-off (percentil
097) igual a 1 Per tant aquest tipus de punts no shan de tenir en compte en el
moment dextreure conclusions De fet aixo ja es sospitava en el grafic anterior pero
en que en aquell hi ha una elevada dispersioacute i per tant Iefecte queda dissimulat
54
Capiacutetol2 Nocions de geoestadiacutestica
23 Simulacioacute sequumlencial gaussiana
La simulacioacute sequumlencial gaussiana es basa en la simulacioacute de dades a partir duna variable
continua de distribucioacute normal que a meacutes ha de ser estandarditzada En geoestadiacutestica
susa la simulacioacute per tal de poder coneacuteixer el valors de la variable en estudi en punts no
mostrejats En el nostre cas Ihem usat per tal de poder tenir dades a partir de les quals fer
Iestudi Per tant nomeacutes detallarem la seva mecanica
1 Determinar la funcioacute de distribucioacute Fz(z) que representa tota Iarea destudi i no norneacutes
els punts mostrejats
2 Transformar Fz(z) en una distribucioacute Normal (01)
3 Comprovar que realment la nova variable (Y) es distribueix normalment En el cas que
no shagi pogut conservar el model gaussia considerar models aHematius com ara una
barreja de poblacions gaussianes o beacute plantejar-se fer un altre tipus de simulacioacute
estocastica
4 A partir daquiacute ja podem usar meacutetodes computacionals que actuen de la seguumlent
manera
41 Es crea una ruta que consisteix en la visita una sola vegada de cada node (u) de la
xarxa De cada node visitat es reteacute un nombre maxim de nodes veins per tal de
poder fer simulacioacute condicionada
42 Escollir un tipus de krigeat i un tipus de semivariograma per tal de poder determinar
la mitjana i la variancia de la funcioacute de distribucioacute condicionada Y(u) en la localitzacioacute
u
43 Treure un valor simulat yP)(u) de la funcioacute de distribucioacute condicionada
44 Afegir el valor simulat y(I)(U) al conjunt de dades
5 Continuar amb el seguumlent node fins que es simuli el darrer
FLUXOGRAMA DEL DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE
Simulem 625 dades (25x25) duna N(01) amb un variograma
exponencial SGSIM
Fem Iexponencial de les dades per obtenir una distribucioacute lognormai
Prenem una mostra r-1-----i aleatoria de 100 dades r------- ~ MINITAB
Decidim 5 cut-offs a partir
deis percentils MINITAB
Obtenim els variogrames per a cada cut-off i hi aproximem un modelo
GEO-EAS EXCEL
Realitzem el Krigeado indicador simultani per
cada cut-off IK3D
j Realitzem la
interpolacioacute de la mediana
POSTIK
Fem els logaritmes Obtenim el model
de variograma per la mostra GEO-EAS
EXCEL
Realitzem el Krigeado ordinario
KB2D
Realitzem la transformacioacute de les
dades per obtenir una xarxa amb distribucioacute
Iqgnormai
1------1-~ Apliquem la funcioacute ~
logaritme a les dades L-___________-I~ per tal de poder-les 1--___-
comparar
Comparem els dos meacutetodes destimacioacute entre si i amb les dades simulades Calculem ISTRESS i grafiquem els
1 CONCLUSIOacute I resultats FORTRAN MINITA8
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Tot estudi geoestadiacutestic segueix un guioacute de treball
bull Determinacioacute i analisi de Iestructura espaial
bull Modelitzacioacute de la variabilitat espaial
bull Estimacioacute de punts no mostrejats
bull Simulacioacute
bull Conclusions i descripcioacute de la zona estudiada
En el nostre cas malgrat no teniacuter dades reals i que el nostre objectiu no sia el coneixement
de la variable regionalitzada sinoacute el comparar dos metodes destimacioacute el proceacutes sera el
mateix Luacutenica diferencia eacutes que nosaltres fem una simulacioacute per tal dobtenir una base de
realitat a partir de la qual comenyar a treballar i no per tenir realitzacions de punts no
mostrejats Per tant en el nostre cas la simulacioacute esdeveacute el primer pas a realitzar
Capitol 5 Desenvolupament del projecte
51 La simulacioacute
Per tal de tenir una regi6 en la que poder treballar construim una xarxa de 25x25x1 eacutes a
dir treballem a R2bull
Volem obtenir una realitzaci6 en cada un deis nodes de la xarxa per tant realitzem una
simulaci6 de 625 dades Figura 511
Ix= o 1 2 23 24
~ yslz= 004 J
l
~] iexcllo
-t yrnn==O
-- xsiz== 004T-Eshy
o 11
~
Figura 511 Xarxa sobre la que es treballa i punts mostrejats
En el camp de la geologiacutea eacutes molt difiacutecil obtenir gaires mostres duna regi6 per aix6 els
meacutetodes de simulaci6 i destimaci6 s6n tant importants en geoestadiacutestica Com que a
nosaltres ens interesa tenir una xarxa complerta (perqueacute el que ens interessa eacutes veure quin
deis dos meacutetodes destimaci6 eacutes millor i no el saber com eacutes la regi6) el que fem eacutes simular
realitzacions duna N(O1) amb semiacutevariograma exponencial de meseta unitat en tots els
nodes de la nostre xarxa Sha escollit aquest tipus de semivariograma per ser el meacutes
habitual en el camp de la geologiacutea [ref 2]
En aquestes dad es els hi apliquem exponencials i per tant la nostra realitat segueix una
distribuci6 lognormal de mitjana unitat
El fet de treballar sobre dades lognormals ve justificat perque hi ha molts fenomens naturals
que segueixen aquesta distribuci6 [ref 11] (cerca de determinat mineral bosses de petrali
quantitat de sediments exploracions geoquimiques )
Per tant la nostre realitat eacutes aquesta eacutes a dir la distribuci6 lognormal de la variable
regionalitzada La N(O1) tant sois la fem servir per ser facil de maniobrar
computacionalment [ref 16]
Capiacutetol5 Desenvolupament del projecte
Per tal dassegurant-se que la nostre realitat eacutes mes o menys exacta mirem la seguumlent taula
Variable N Mean Median StDev SE Mean Hin 121 123
exp(siacutem) 625 10546 07742 10075 00403 00250 95965 03934 13721
Taula 511 Descriptiva de la variable regionalitzada exp(sim)
Amb els seguumlents grafics comprovem que realment les nostres dades segueixen una
distribucioacute lognormal
-200
() e Q) J CT 100 ~
IJ -
o
o 5 10 exp(sim)
Figura 512 Histograma de la realitat
Jo
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Lognormal Probablllty Plot tor exp(sim)
Ml Estimates
l ocatiolt -0325300
Scale 0910009
99
95 90
80 70
e 60 (lJ 50 Uuml 40 shy 30 (lJ 20 a
10
5
001 010 100 1000
Data
Figura 513 Lognormal probability plot de la variable regionalitzada exp(sim)
exp(sim)
10
B
7
6 5
4
2
20
Figura 514 Surface plot de la variable exp(sim)
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
El surface plot eacutes una eina molt uacutetil ja que ens doacutena una visioacute de com es la nostra realitat a
Iespai A meacutes un cop haguem fet les dues estimacions tambeacute podrem fer el surface plot i
amb un cop dull podrem treure una primera impressioacute de si les estimacions han estat bones
o no
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
52 La mostra
A partir de les dades que hem obtingut amb la simulacioacute prenem una mostra aleatoria
de 100 dades a partir de la qual realitzarem les dues estimacions de la realitat Cal
tenir en compte que a partir daquest moment es treballara sobre la mostra i no sobre
les dades simulades que en Iexperimentacioacute real soacuten desconegudes
La mostra sha pres de forma que constitueixi una bona representacioacute del total de la
xarxa La figura 521 mostra la localitzacioacute de cada una de les dades que formen part
de la mostra sobre la xarxa inicial de 25x25 nodes
20 shy
gt x middotcv 10 _
o shy
middot o
bull It bullbullbullbullbullbull bull middot 4 bull bull bull bullbullbull bullbullbullbull bull bull bullbullbullbullbull bull bull bull bull bull bullbullbullbullbull bull bull bullbullbull -Jf bull middot middot middot bull middot 1t bullbullbullbull bullbullbullmiddot o bull bull bull bull bullbull bull bull bull bullbull II JI Jt bull bullbullbull lttt bullbullbull bullbullbull bullbull bull bull bull bullbull bull shy ~ ~ ~ ~ ~ It bull bull bullbullbull bull bull bullbullbull bullbull bull bullbullbullbull bullbull bull bull bull bullbullbullbullbullbull ti bull bull -41 bull bull bull bull bull bull jf middot bull bullbullbull -If bull bull bull 1( bull bullbull bull middot middot - bullbullbullbullbull bull bullbull bullbullbullbullbullbull bull bull bull bullbullbullbull bullbull bull
o 10 20
eix x
Figura 521 Distribucioacute de la mostra dins la xarxa real
La mostra obtinguda conserva les propietats de les dades provinents de la simulacioacute
daquesta manera podem afirmar que eacutes una bona extrapolacioacute de la realitat Vegem a
continuacioacute la descriptiva (Taula 52 1) i Ihistograma de la mostra (Figura 522) amb el
grafic de probabilitats (Figura 52 3) Podem observar que segueix efectivament una
distribucioacute lognormal
Variable N Mean Median TrMean StDev SE Mean rnos tra 1 00 1 0552 0 8330 0 9458 0 9566 0 0957
Variable Minimum Maximum Ql Q3 rnost ra 0 0250 441 85 0 328 1 1 3714
Taula 521 Descriptiva de la mostra
33
Capiacutetol 5 Desenvoluparnent del proiecte
30
gtshyo 20c Q) J oshy~
LL 10
-
1--
- --r--
n I Io
o 2 3 4 5 mostra
Figura 522 Histograma de la mostra
Lognormal Probability Plot for mostra
99
I 95
_ 90 - l -~80 70c jIQ) 60
50e 40Q) 30a 20
10 5
bull
~
001 010 100 1000
Data
MLEstimaacutee5
LocaIion -0341481
Scaacutee 0946372
Figura 523 Plot de probabilitat lognormal
34
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
La superfiacutecie descrita per la mostra podem representar-la tambeacute graficament (Figura
524)
mostra
45
40
3 5
30
25
20 15
10
05
00
eixy 20
Figura 524 Superfiacutecie definida per la mostra
35
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
53 Lestimacioacute per krigeat indicador
Per tal de realitzar el krigeat indicador definim 5 punts de tall o cut-off Aquests punts de tall
els escollim de forma que guardin simetria respecte el percentil del 50 tal i com mostra la
taula 531
Categoria Percentil Percentatge
1 90 009952
2 300 037637
3 500 073142
4 700 127046
5 910 254092
Taula 531 Els cinc punts de tall escollits
Un cop decidides les categories o punts de tall necessitem saber el semivariograma que
segueixen cada una delles per a poder dur a terme el krigeat indicador ja que Iestimacioacute
realitzada a partir daquest rneacutetode requereix una modelitzacioacute deis cinc semivariogrames
experimentals
El procediment eacutes el seguumlent
Partim de la mostra de 100 dades que segueix una distribucioacute 10gnormaL
Per cada una de les categories creem una columna de O i 1 de manera que si aquell
punt concret eacutes per sota del punt de tall el valor que pren la variable dicotoacutemica eacutes 1 i si eacutes
per sobre pren el valor O
Els semivariogrames els creem amb aquestes cinc columnes de zeros i uns
Per cada semivariograma provem dajustar un model esfeacuteric i un dexponencial Aquests dos
tipus de models els anirem ajustant a ull movent el valor del rang i de Iabast Partim
daquests models per ser els meacutes habituals en la realitat i ens quedarem amb el que ajusti millor deis dos [ref 2]
A continuacioacute presentem els resultats daquests ajustaments per a cada punt de tall
Capiacutetol 5 Desenvolupament del proiecte
Categoriacutea 1 y(h)
Model Exponencial Abast =8 Model Esferic Abast = 75
Meseta =003 Meseta = 003
VARIOGRANlA CATEGORIA 1
005
004 sectr bull ESF= ro E 003 E ro O)
002
001
000
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 531 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 1
)1
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Categoria 2
Model Exponencial Abast = 4 Model Esferic Abast = 4
Meseta = 022 Meseta = 022
VARIOGRAMA CATEGORIA 2
025
--
c bull ESF- sectro 020
E E ro Ogt
015
010
8 10 12
Figura 532 Model de semivariograma esferic i exponencial per la categoria 2
o 2 4 6
Ihl
Capitol 5 Desenvolupament del projecte
Categoriacutea 3
ModeJ Exponencial Abast =7 ModeJ Esferic Abast =6
Meseta =027 Meseta = 0265
VARIOGRAMA CATEGORIA 3
03
~ c (1] ~E 02E (1]
Ogt
01
o 2 4 6
Ihl
Figura 533 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 3
8 10 12
)9
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Categoria 4
Model Exponencial Abast = 5 Model Esfeacuteric Abast = 4
Meseta = 02 Meseta = 02
VARIOGRAMA CATEGORIA 4
03
~ ~ -- ro E ~
02 E ro Ogt
01
deg 2 4 6
Ihl
Figura 534 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 4
8 10 12
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Categoriacutea 5
Model Exponencial Abast =4 Model Esferic Abast = 3
Meseta =006 Meseta = 006
VARIOGRAMA CATEGORIA 5
008
= sect~ 007-shy ESFro E E 006 ro Ol
005
004
003
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 535 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 5
Capiacutetol5 Desenvolupament del projecte
Mirant els cinc grafics veiem que el model que ajusta millor eacutes Iesferic en tots els casos
encara que no hi ha diferencies massa significatives respecte el model exponencial A meacutes
observem una certa simetria pel que fa a la meseta i abast de cada un deis models esferics
de cada categoria Taula 532
Cat 1 Cat2 Cat3 Cat4 Cat5
Meseta 003 022 0265 02 006
Abast 75 4 6 4 3
Taula 532 Meseta i abast per cada categoria
Aquesta simetria sobserva sobretot per les categories 2 3 i 4
Els models corresponents a les categories 1 i 5 no ajusten del tot beacute degut a que soacuten les
categories deis extrems i per tant la gran majoria de mostres si no totes estaran per sobre o
per sota respectivament
Ara ja podem fer Iestimacioacute per krigeat indicador Al programa ik3d li introduim els cinc
models de semivariogrames per tal que ens calculi Iestimacioacute
El resultat que obtenim soacuten cinc columnes de 625 dades on els valors van de O a 1
Concretament ens calcula la probabilitat de que el valor atorgat a cada punt sigui inferior al
daquell cut-off
El que es preteacuten ara eacutes a partir daquest conjunt de probabilitats interpolar la mediana per a
cada un deis punts de la xarxa per tant el que fem eacutes executar el programa postik en Iopcioacute
3 de manera que ens tregui Iestimacioacute de la mediana
A continuacioacute passem a detallar en que consisteix el postik Per tal de poder-ho expressar
millor ens centrare m en un punt concret de la xarxa el (30)
- - - - -
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Els tercer valor de cada una de les 5 columnes obtingudes amb el krigeat indicador eacutes a dir
els valors corresponents a la mostra situada en el node (30) representen la probabilitat de
que el valor de la variable en aquest punt sigui major que cada un deis cut-off
respectivament aixiacute podem afirmar que
P(Xiexcl lt el ) = P(x(3Q) lt 00995) =00000
P(xiexcl lt e2) = P(X(3 Q) lt 03764) =00397
P(xiexcl lt c3) = P(X(30) lt 07314) = 00409
P(xiexcl lt e4) = P(X(30) lt 12705) = 02079
P(xiexcl lt e5) = P(X(3 0) lt 25402) =10000
Si ara grafiquem aquests 5 valors obtenim una estimacioacute de la probabilitat que teacute el punt
estudiat (30) de ser meacutes petit que qualsevol valor eacutes a dir Iestimacioacute de la funcioacute de
probabilitat en aquest punt Com que el que es preteacuten estimar en el nostre estudi eacutes la
mediana mirarem quin valor aproxima per la probabilitat del 05 eacutes a dir
m tal que P(X(30) lt m) = 05
Per aixoacute tracem una liacutenia a Ialcada 05 i daquesta manera obtenim el valor estimat de la
mediana Aquest valor correspon al valor que obtenim amb el POSTIK que eacutes per aquesta
primera observacioacute 06983
10
x v 6 68 05 o
00
Figura 536 Els 5 cut-off aplicats al punt (30)
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Laplicacioacute del POSTIK realitza aquesta estimacioacute per a cada un deis punts obtinguts (625)
i daquesta manera podem obten ir una interpolacioacute de la mediana per cada un deis valors a
estimar
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
SEMIVARIOGRAMA DE LA MOSTRA
model exponencial
12
= r 07 -- ca E E ca O)
02
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 541 Semivariograma experimental amb un model exponencial
Aquest model obtingut a ull teacute els seguumlents parametres abast=7
meseta=1 05
Aplicant aquest valors al model general obtenim la formulacioacute per a les nostres dades
46
middotCapiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
MODEL ESFERIC La formulacioacute general eacutes
sih a
sih gt a
on a eacutes Iabast i c la meseta
SEMIVARIOGRAMA DE LA MOSTRA
model esferic
12
---shyro E 07 E ro Ol
02
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 54 2 Semivariograma experimental amb un model esfeacuterico
Aquest model Ihem obtingut de la mateixa manera que Ianterior a ull i els seus
parametres que tambeacute aplicarem a la forma general soacuten abast=6 i meseta=1
47
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Finalment pode m representar la superfiacutecie que hem estimat a partir del krigeat
lognormal utilitzant un grafic de superfiacutecie (Figura 54 5)
6
5
Krig Logn 3
2
o
20 eix y
Figura 545 Grafic de superfiacutecie pel krigeat lognormal
50
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
61 Regressioacute lineal
Per tal de dur a terme la compara cioacute entre els dos meacutetodes destimacioacute i les dades que
simulen la realitat hem expressat els resultats obtinguts graficament mitjancant els
grafics de punts ajustant en cada cas la recta de regressioacute i dibuixant la bisectriu Cal
tenir en compte que per augmentar la claredat i per a simplificar la interpretacioacute deis
resultat hem transformat les dades a una N(O1) encara que el nostre estudi es basi en
un model lognormal
Passem a continuacioacute a analitzar els grafics
En primer lIoc (Figura 611) tenim el grafic de punts entre les dades obtingudes amb el
primer meacutetode destimacioacute el krigeat lognormal i les dades provinents de la simula cioacute
de la realitat
Regression Plot y =3a1E -02jo O6lt40216X
R-Sq = 594
_0 ro
ro EID o middot Ole
~~ -2
-3
- -3 -2 -1
redade regresioacute
Bisectriu
realitat simulada
Figura 611 Recta de regressioacute entre el krigeat lognormal i la simulacioacute de la realitat
Si mirem aquest grafic podem observar que el valor de Iestimacioacute realitzada
sobreestima els valors petits de la simulacioacute i en canvi en els valors grans subestima
El coeficient de correlacioacute es del 594 eacutes a dir que el meacutetode del krigeat lognormal
explica un 594 de la realitat
52
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
Passem ara a realitzar el gratic entre el segon meto de destimacioacute el krigeat indicador
i la realitat simulada (Figura 612)
0 _O
m~ 0)-- o
~~ -1
-2
-3
Regression Plot y = -23E-02 + 0711 615X
R-Sq 526
bull bull
-3 -2 -1
realitat simulada
recta de regresi oacute
I Bisectriu
Figura 612 Recta de regressioacute entre el krigeat indicador i la simulacioacute de la realitat
Podem observar que el gratic obtingut eacutes molt semblant a Ianterior i que ens trobem
amb el mateix problema de sobreestimacioacute deis valors petits i subestimacioacute deis valors
grans de la simulacioacute
El valor del coeticient de correlacioacute tambeacute eacutes torga semblant 52 6 Aixiacute doncs la
realitat eacutes explicada en un 526 pel krigeat indicador
53
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
Finalment i per tenir una idea de la relacioacute que hi ha entre els dos meacutetodes emprats en
el projecte realitzarem un uacuteltim grafic comparatiu (Figura 613) que representa els dos
meacutetodes destimacioacute el krigeat lognormal i el krigeat indicador
Regression Plot y = -7 SE-02 + 105401X
R-Sq 796
middot2
middot3
recta de regresi6
bull Bisectriu
middot 4 middot3 middot2 -1
krigeat lognormal
Figura 613 Recta de regressioacute entre el krigeat lognormal i el krigeat indicador
En aquest cas podem observar que la recta de regressioacute coincideix gairebeacute a la
perfeccioacute amb la bisectriu cosa que vol dir que els dos meacutetodes soacuten molt semblants
entre siacute i que per tant eacutes normal que Iaproximacioacute de cada un dells a la realitat sigui
semblant
El valor de la regressioacute eacutes meacutes gran que en els altres dos casos 796 eacutes a dir que
els dos meacutetodes no donen resultats significativament diferents entre si
Podem observar un conjunt de dades que prenen valors especialment elevats en
Iestimacioacute per krigeat indicador Si analitzem aquests punts podem comprovar que
soacuten punts que tenen una probabilitat de ser meacutes grans que el cinqueacute cut-off (percentil
097) igual a 1 Per tant aquest tipus de punts no shan de tenir en compte en el
moment dextreure conclusions De fet aixo ja es sospitava en el grafic anterior pero
en que en aquell hi ha una elevada dispersioacute i per tant Iefecte queda dissimulat
54
FLUXOGRAMA DEL DESENVOLUPAMENT DEL PROJECTE
Simulem 625 dades (25x25) duna N(01) amb un variograma
exponencial SGSIM
Fem Iexponencial de les dades per obtenir una distribucioacute lognormai
Prenem una mostra r-1-----i aleatoria de 100 dades r------- ~ MINITAB
Decidim 5 cut-offs a partir
deis percentils MINITAB
Obtenim els variogrames per a cada cut-off i hi aproximem un modelo
GEO-EAS EXCEL
Realitzem el Krigeado indicador simultani per
cada cut-off IK3D
j Realitzem la
interpolacioacute de la mediana
POSTIK
Fem els logaritmes Obtenim el model
de variograma per la mostra GEO-EAS
EXCEL
Realitzem el Krigeado ordinario
KB2D
Realitzem la transformacioacute de les
dades per obtenir una xarxa amb distribucioacute
Iqgnormai
1------1-~ Apliquem la funcioacute ~
logaritme a les dades L-___________-I~ per tal de poder-les 1--___-
comparar
Comparem els dos meacutetodes destimacioacute entre si i amb les dades simulades Calculem ISTRESS i grafiquem els
1 CONCLUSIOacute I resultats FORTRAN MINITA8
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Tot estudi geoestadiacutestic segueix un guioacute de treball
bull Determinacioacute i analisi de Iestructura espaial
bull Modelitzacioacute de la variabilitat espaial
bull Estimacioacute de punts no mostrejats
bull Simulacioacute
bull Conclusions i descripcioacute de la zona estudiada
En el nostre cas malgrat no teniacuter dades reals i que el nostre objectiu no sia el coneixement
de la variable regionalitzada sinoacute el comparar dos metodes destimacioacute el proceacutes sera el
mateix Luacutenica diferencia eacutes que nosaltres fem una simulacioacute per tal dobtenir una base de
realitat a partir de la qual comenyar a treballar i no per tenir realitzacions de punts no
mostrejats Per tant en el nostre cas la simulacioacute esdeveacute el primer pas a realitzar
Capitol 5 Desenvolupament del projecte
51 La simulacioacute
Per tal de tenir una regi6 en la que poder treballar construim una xarxa de 25x25x1 eacutes a
dir treballem a R2bull
Volem obtenir una realitzaci6 en cada un deis nodes de la xarxa per tant realitzem una
simulaci6 de 625 dades Figura 511
Ix= o 1 2 23 24
~ yslz= 004 J
l
~] iexcllo
-t yrnn==O
-- xsiz== 004T-Eshy
o 11
~
Figura 511 Xarxa sobre la que es treballa i punts mostrejats
En el camp de la geologiacutea eacutes molt difiacutecil obtenir gaires mostres duna regi6 per aix6 els
meacutetodes de simulaci6 i destimaci6 s6n tant importants en geoestadiacutestica Com que a
nosaltres ens interesa tenir una xarxa complerta (perqueacute el que ens interessa eacutes veure quin
deis dos meacutetodes destimaci6 eacutes millor i no el saber com eacutes la regi6) el que fem eacutes simular
realitzacions duna N(O1) amb semiacutevariograma exponencial de meseta unitat en tots els
nodes de la nostre xarxa Sha escollit aquest tipus de semivariograma per ser el meacutes
habitual en el camp de la geologiacutea [ref 2]
En aquestes dad es els hi apliquem exponencials i per tant la nostra realitat segueix una
distribuci6 lognormal de mitjana unitat
El fet de treballar sobre dades lognormals ve justificat perque hi ha molts fenomens naturals
que segueixen aquesta distribuci6 [ref 11] (cerca de determinat mineral bosses de petrali
quantitat de sediments exploracions geoquimiques )
Per tant la nostre realitat eacutes aquesta eacutes a dir la distribuci6 lognormal de la variable
regionalitzada La N(O1) tant sois la fem servir per ser facil de maniobrar
computacionalment [ref 16]
Capiacutetol5 Desenvolupament del projecte
Per tal dassegurant-se que la nostre realitat eacutes mes o menys exacta mirem la seguumlent taula
Variable N Mean Median StDev SE Mean Hin 121 123
exp(siacutem) 625 10546 07742 10075 00403 00250 95965 03934 13721
Taula 511 Descriptiva de la variable regionalitzada exp(sim)
Amb els seguumlents grafics comprovem que realment les nostres dades segueixen una
distribucioacute lognormal
-200
() e Q) J CT 100 ~
IJ -
o
o 5 10 exp(sim)
Figura 512 Histograma de la realitat
Jo
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Lognormal Probablllty Plot tor exp(sim)
Ml Estimates
l ocatiolt -0325300
Scale 0910009
99
95 90
80 70
e 60 (lJ 50 Uuml 40 shy 30 (lJ 20 a
10
5
001 010 100 1000
Data
Figura 513 Lognormal probability plot de la variable regionalitzada exp(sim)
exp(sim)
10
B
7
6 5
4
2
20
Figura 514 Surface plot de la variable exp(sim)
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
El surface plot eacutes una eina molt uacutetil ja que ens doacutena una visioacute de com es la nostra realitat a
Iespai A meacutes un cop haguem fet les dues estimacions tambeacute podrem fer el surface plot i
amb un cop dull podrem treure una primera impressioacute de si les estimacions han estat bones
o no
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
52 La mostra
A partir de les dades que hem obtingut amb la simulacioacute prenem una mostra aleatoria
de 100 dades a partir de la qual realitzarem les dues estimacions de la realitat Cal
tenir en compte que a partir daquest moment es treballara sobre la mostra i no sobre
les dades simulades que en Iexperimentacioacute real soacuten desconegudes
La mostra sha pres de forma que constitueixi una bona representacioacute del total de la
xarxa La figura 521 mostra la localitzacioacute de cada una de les dades que formen part
de la mostra sobre la xarxa inicial de 25x25 nodes
20 shy
gt x middotcv 10 _
o shy
middot o
bull It bullbullbullbullbullbull bull middot 4 bull bull bull bullbullbull bullbullbullbull bull bull bullbullbullbullbull bull bull bull bull bull bullbullbullbullbull bull bull bullbullbull -Jf bull middot middot middot bull middot 1t bullbullbullbull bullbullbullmiddot o bull bull bull bull bullbull bull bull bull bullbull II JI Jt bull bullbullbull lttt bullbullbull bullbullbull bullbull bull bull bull bullbull bull shy ~ ~ ~ ~ ~ It bull bull bullbullbull bull bull bullbullbull bullbull bull bullbullbullbull bullbull bull bull bull bullbullbullbullbullbull ti bull bull -41 bull bull bull bull bull bull jf middot bull bullbullbull -If bull bull bull 1( bull bullbull bull middot middot - bullbullbullbullbull bull bullbull bullbullbullbullbullbull bull bull bull bullbullbullbull bullbull bull
o 10 20
eix x
Figura 521 Distribucioacute de la mostra dins la xarxa real
La mostra obtinguda conserva les propietats de les dades provinents de la simulacioacute
daquesta manera podem afirmar que eacutes una bona extrapolacioacute de la realitat Vegem a
continuacioacute la descriptiva (Taula 52 1) i Ihistograma de la mostra (Figura 522) amb el
grafic de probabilitats (Figura 52 3) Podem observar que segueix efectivament una
distribucioacute lognormal
Variable N Mean Median TrMean StDev SE Mean rnos tra 1 00 1 0552 0 8330 0 9458 0 9566 0 0957
Variable Minimum Maximum Ql Q3 rnost ra 0 0250 441 85 0 328 1 1 3714
Taula 521 Descriptiva de la mostra
33
Capiacutetol 5 Desenvoluparnent del proiecte
30
gtshyo 20c Q) J oshy~
LL 10
-
1--
- --r--
n I Io
o 2 3 4 5 mostra
Figura 522 Histograma de la mostra
Lognormal Probability Plot for mostra
99
I 95
_ 90 - l -~80 70c jIQ) 60
50e 40Q) 30a 20
10 5
bull
~
001 010 100 1000
Data
MLEstimaacutee5
LocaIion -0341481
Scaacutee 0946372
Figura 523 Plot de probabilitat lognormal
34
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
La superfiacutecie descrita per la mostra podem representar-la tambeacute graficament (Figura
524)
mostra
45
40
3 5
30
25
20 15
10
05
00
eixy 20
Figura 524 Superfiacutecie definida per la mostra
35
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
53 Lestimacioacute per krigeat indicador
Per tal de realitzar el krigeat indicador definim 5 punts de tall o cut-off Aquests punts de tall
els escollim de forma que guardin simetria respecte el percentil del 50 tal i com mostra la
taula 531
Categoria Percentil Percentatge
1 90 009952
2 300 037637
3 500 073142
4 700 127046
5 910 254092
Taula 531 Els cinc punts de tall escollits
Un cop decidides les categories o punts de tall necessitem saber el semivariograma que
segueixen cada una delles per a poder dur a terme el krigeat indicador ja que Iestimacioacute
realitzada a partir daquest rneacutetode requereix una modelitzacioacute deis cinc semivariogrames
experimentals
El procediment eacutes el seguumlent
Partim de la mostra de 100 dades que segueix una distribucioacute 10gnormaL
Per cada una de les categories creem una columna de O i 1 de manera que si aquell
punt concret eacutes per sota del punt de tall el valor que pren la variable dicotoacutemica eacutes 1 i si eacutes
per sobre pren el valor O
Els semivariogrames els creem amb aquestes cinc columnes de zeros i uns
Per cada semivariograma provem dajustar un model esfeacuteric i un dexponencial Aquests dos
tipus de models els anirem ajustant a ull movent el valor del rang i de Iabast Partim
daquests models per ser els meacutes habituals en la realitat i ens quedarem amb el que ajusti millor deis dos [ref 2]
A continuacioacute presentem els resultats daquests ajustaments per a cada punt de tall
Capiacutetol 5 Desenvolupament del proiecte
Categoriacutea 1 y(h)
Model Exponencial Abast =8 Model Esferic Abast = 75
Meseta =003 Meseta = 003
VARIOGRANlA CATEGORIA 1
005
004 sectr bull ESF= ro E 003 E ro O)
002
001
000
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 531 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 1
)1
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Categoria 2
Model Exponencial Abast = 4 Model Esferic Abast = 4
Meseta = 022 Meseta = 022
VARIOGRAMA CATEGORIA 2
025
--
c bull ESF- sectro 020
E E ro Ogt
015
010
8 10 12
Figura 532 Model de semivariograma esferic i exponencial per la categoria 2
o 2 4 6
Ihl
Capitol 5 Desenvolupament del projecte
Categoriacutea 3
ModeJ Exponencial Abast =7 ModeJ Esferic Abast =6
Meseta =027 Meseta = 0265
VARIOGRAMA CATEGORIA 3
03
~ c (1] ~E 02E (1]
Ogt
01
o 2 4 6
Ihl
Figura 533 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 3
8 10 12
)9
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Categoria 4
Model Exponencial Abast = 5 Model Esfeacuteric Abast = 4
Meseta = 02 Meseta = 02
VARIOGRAMA CATEGORIA 4
03
~ ~ -- ro E ~
02 E ro Ogt
01
deg 2 4 6
Ihl
Figura 534 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 4
8 10 12
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Categoriacutea 5
Model Exponencial Abast =4 Model Esferic Abast = 3
Meseta =006 Meseta = 006
VARIOGRAMA CATEGORIA 5
008
= sect~ 007-shy ESFro E E 006 ro Ol
005
004
003
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 535 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 5
Capiacutetol5 Desenvolupament del projecte
Mirant els cinc grafics veiem que el model que ajusta millor eacutes Iesferic en tots els casos
encara que no hi ha diferencies massa significatives respecte el model exponencial A meacutes
observem una certa simetria pel que fa a la meseta i abast de cada un deis models esferics
de cada categoria Taula 532
Cat 1 Cat2 Cat3 Cat4 Cat5
Meseta 003 022 0265 02 006
Abast 75 4 6 4 3
Taula 532 Meseta i abast per cada categoria
Aquesta simetria sobserva sobretot per les categories 2 3 i 4
Els models corresponents a les categories 1 i 5 no ajusten del tot beacute degut a que soacuten les
categories deis extrems i per tant la gran majoria de mostres si no totes estaran per sobre o
per sota respectivament
Ara ja podem fer Iestimacioacute per krigeat indicador Al programa ik3d li introduim els cinc
models de semivariogrames per tal que ens calculi Iestimacioacute
El resultat que obtenim soacuten cinc columnes de 625 dades on els valors van de O a 1
Concretament ens calcula la probabilitat de que el valor atorgat a cada punt sigui inferior al
daquell cut-off
El que es preteacuten ara eacutes a partir daquest conjunt de probabilitats interpolar la mediana per a
cada un deis punts de la xarxa per tant el que fem eacutes executar el programa postik en Iopcioacute
3 de manera que ens tregui Iestimacioacute de la mediana
A continuacioacute passem a detallar en que consisteix el postik Per tal de poder-ho expressar
millor ens centrare m en un punt concret de la xarxa el (30)
- - - - -
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Els tercer valor de cada una de les 5 columnes obtingudes amb el krigeat indicador eacutes a dir
els valors corresponents a la mostra situada en el node (30) representen la probabilitat de
que el valor de la variable en aquest punt sigui major que cada un deis cut-off
respectivament aixiacute podem afirmar que
P(Xiexcl lt el ) = P(x(3Q) lt 00995) =00000
P(xiexcl lt e2) = P(X(3 Q) lt 03764) =00397
P(xiexcl lt c3) = P(X(30) lt 07314) = 00409
P(xiexcl lt e4) = P(X(30) lt 12705) = 02079
P(xiexcl lt e5) = P(X(3 0) lt 25402) =10000
Si ara grafiquem aquests 5 valors obtenim una estimacioacute de la probabilitat que teacute el punt
estudiat (30) de ser meacutes petit que qualsevol valor eacutes a dir Iestimacioacute de la funcioacute de
probabilitat en aquest punt Com que el que es preteacuten estimar en el nostre estudi eacutes la
mediana mirarem quin valor aproxima per la probabilitat del 05 eacutes a dir
m tal que P(X(30) lt m) = 05
Per aixoacute tracem una liacutenia a Ialcada 05 i daquesta manera obtenim el valor estimat de la
mediana Aquest valor correspon al valor que obtenim amb el POSTIK que eacutes per aquesta
primera observacioacute 06983
10
x v 6 68 05 o
00
Figura 536 Els 5 cut-off aplicats al punt (30)
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Laplicacioacute del POSTIK realitza aquesta estimacioacute per a cada un deis punts obtinguts (625)
i daquesta manera podem obten ir una interpolacioacute de la mediana per cada un deis valors a
estimar
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
SEMIVARIOGRAMA DE LA MOSTRA
model exponencial
12
= r 07 -- ca E E ca O)
02
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 541 Semivariograma experimental amb un model exponencial
Aquest model obtingut a ull teacute els seguumlents parametres abast=7
meseta=1 05
Aplicant aquest valors al model general obtenim la formulacioacute per a les nostres dades
46
middotCapiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
MODEL ESFERIC La formulacioacute general eacutes
sih a
sih gt a
on a eacutes Iabast i c la meseta
SEMIVARIOGRAMA DE LA MOSTRA
model esferic
12
---shyro E 07 E ro Ol
02
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 54 2 Semivariograma experimental amb un model esfeacuterico
Aquest model Ihem obtingut de la mateixa manera que Ianterior a ull i els seus
parametres que tambeacute aplicarem a la forma general soacuten abast=6 i meseta=1
47
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Finalment pode m representar la superfiacutecie que hem estimat a partir del krigeat
lognormal utilitzant un grafic de superfiacutecie (Figura 54 5)
6
5
Krig Logn 3
2
o
20 eix y
Figura 545 Grafic de superfiacutecie pel krigeat lognormal
50
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
61 Regressioacute lineal
Per tal de dur a terme la compara cioacute entre els dos meacutetodes destimacioacute i les dades que
simulen la realitat hem expressat els resultats obtinguts graficament mitjancant els
grafics de punts ajustant en cada cas la recta de regressioacute i dibuixant la bisectriu Cal
tenir en compte que per augmentar la claredat i per a simplificar la interpretacioacute deis
resultat hem transformat les dades a una N(O1) encara que el nostre estudi es basi en
un model lognormal
Passem a continuacioacute a analitzar els grafics
En primer lIoc (Figura 611) tenim el grafic de punts entre les dades obtingudes amb el
primer meacutetode destimacioacute el krigeat lognormal i les dades provinents de la simula cioacute
de la realitat
Regression Plot y =3a1E -02jo O6lt40216X
R-Sq = 594
_0 ro
ro EID o middot Ole
~~ -2
-3
- -3 -2 -1
redade regresioacute
Bisectriu
realitat simulada
Figura 611 Recta de regressioacute entre el krigeat lognormal i la simulacioacute de la realitat
Si mirem aquest grafic podem observar que el valor de Iestimacioacute realitzada
sobreestima els valors petits de la simulacioacute i en canvi en els valors grans subestima
El coeficient de correlacioacute es del 594 eacutes a dir que el meacutetode del krigeat lognormal
explica un 594 de la realitat
52
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
Passem ara a realitzar el gratic entre el segon meto de destimacioacute el krigeat indicador
i la realitat simulada (Figura 612)
0 _O
m~ 0)-- o
~~ -1
-2
-3
Regression Plot y = -23E-02 + 0711 615X
R-Sq 526
bull bull
-3 -2 -1
realitat simulada
recta de regresi oacute
I Bisectriu
Figura 612 Recta de regressioacute entre el krigeat indicador i la simulacioacute de la realitat
Podem observar que el gratic obtingut eacutes molt semblant a Ianterior i que ens trobem
amb el mateix problema de sobreestimacioacute deis valors petits i subestimacioacute deis valors
grans de la simulacioacute
El valor del coeticient de correlacioacute tambeacute eacutes torga semblant 52 6 Aixiacute doncs la
realitat eacutes explicada en un 526 pel krigeat indicador
53
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
Finalment i per tenir una idea de la relacioacute que hi ha entre els dos meacutetodes emprats en
el projecte realitzarem un uacuteltim grafic comparatiu (Figura 613) que representa els dos
meacutetodes destimacioacute el krigeat lognormal i el krigeat indicador
Regression Plot y = -7 SE-02 + 105401X
R-Sq 796
middot2
middot3
recta de regresi6
bull Bisectriu
middot 4 middot3 middot2 -1
krigeat lognormal
Figura 613 Recta de regressioacute entre el krigeat lognormal i el krigeat indicador
En aquest cas podem observar que la recta de regressioacute coincideix gairebeacute a la
perfeccioacute amb la bisectriu cosa que vol dir que els dos meacutetodes soacuten molt semblants
entre siacute i que per tant eacutes normal que Iaproximacioacute de cada un dells a la realitat sigui
semblant
El valor de la regressioacute eacutes meacutes gran que en els altres dos casos 796 eacutes a dir que
els dos meacutetodes no donen resultats significativament diferents entre si
Podem observar un conjunt de dades que prenen valors especialment elevats en
Iestimacioacute per krigeat indicador Si analitzem aquests punts podem comprovar que
soacuten punts que tenen una probabilitat de ser meacutes grans que el cinqueacute cut-off (percentil
097) igual a 1 Per tant aquest tipus de punts no shan de tenir en compte en el
moment dextreure conclusions De fet aixo ja es sospitava en el grafic anterior pero
en que en aquell hi ha una elevada dispersioacute i per tant Iefecte queda dissimulat
54
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Tot estudi geoestadiacutestic segueix un guioacute de treball
bull Determinacioacute i analisi de Iestructura espaial
bull Modelitzacioacute de la variabilitat espaial
bull Estimacioacute de punts no mostrejats
bull Simulacioacute
bull Conclusions i descripcioacute de la zona estudiada
En el nostre cas malgrat no teniacuter dades reals i que el nostre objectiu no sia el coneixement
de la variable regionalitzada sinoacute el comparar dos metodes destimacioacute el proceacutes sera el
mateix Luacutenica diferencia eacutes que nosaltres fem una simulacioacute per tal dobtenir una base de
realitat a partir de la qual comenyar a treballar i no per tenir realitzacions de punts no
mostrejats Per tant en el nostre cas la simulacioacute esdeveacute el primer pas a realitzar
Capitol 5 Desenvolupament del projecte
51 La simulacioacute
Per tal de tenir una regi6 en la que poder treballar construim una xarxa de 25x25x1 eacutes a
dir treballem a R2bull
Volem obtenir una realitzaci6 en cada un deis nodes de la xarxa per tant realitzem una
simulaci6 de 625 dades Figura 511
Ix= o 1 2 23 24
~ yslz= 004 J
l
~] iexcllo
-t yrnn==O
-- xsiz== 004T-Eshy
o 11
~
Figura 511 Xarxa sobre la que es treballa i punts mostrejats
En el camp de la geologiacutea eacutes molt difiacutecil obtenir gaires mostres duna regi6 per aix6 els
meacutetodes de simulaci6 i destimaci6 s6n tant importants en geoestadiacutestica Com que a
nosaltres ens interesa tenir una xarxa complerta (perqueacute el que ens interessa eacutes veure quin
deis dos meacutetodes destimaci6 eacutes millor i no el saber com eacutes la regi6) el que fem eacutes simular
realitzacions duna N(O1) amb semiacutevariograma exponencial de meseta unitat en tots els
nodes de la nostre xarxa Sha escollit aquest tipus de semivariograma per ser el meacutes
habitual en el camp de la geologiacutea [ref 2]
En aquestes dad es els hi apliquem exponencials i per tant la nostra realitat segueix una
distribuci6 lognormal de mitjana unitat
El fet de treballar sobre dades lognormals ve justificat perque hi ha molts fenomens naturals
que segueixen aquesta distribuci6 [ref 11] (cerca de determinat mineral bosses de petrali
quantitat de sediments exploracions geoquimiques )
Per tant la nostre realitat eacutes aquesta eacutes a dir la distribuci6 lognormal de la variable
regionalitzada La N(O1) tant sois la fem servir per ser facil de maniobrar
computacionalment [ref 16]
Capiacutetol5 Desenvolupament del projecte
Per tal dassegurant-se que la nostre realitat eacutes mes o menys exacta mirem la seguumlent taula
Variable N Mean Median StDev SE Mean Hin 121 123
exp(siacutem) 625 10546 07742 10075 00403 00250 95965 03934 13721
Taula 511 Descriptiva de la variable regionalitzada exp(sim)
Amb els seguumlents grafics comprovem que realment les nostres dades segueixen una
distribucioacute lognormal
-200
() e Q) J CT 100 ~
IJ -
o
o 5 10 exp(sim)
Figura 512 Histograma de la realitat
Jo
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Lognormal Probablllty Plot tor exp(sim)
Ml Estimates
l ocatiolt -0325300
Scale 0910009
99
95 90
80 70
e 60 (lJ 50 Uuml 40 shy 30 (lJ 20 a
10
5
001 010 100 1000
Data
Figura 513 Lognormal probability plot de la variable regionalitzada exp(sim)
exp(sim)
10
B
7
6 5
4
2
20
Figura 514 Surface plot de la variable exp(sim)
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
El surface plot eacutes una eina molt uacutetil ja que ens doacutena una visioacute de com es la nostra realitat a
Iespai A meacutes un cop haguem fet les dues estimacions tambeacute podrem fer el surface plot i
amb un cop dull podrem treure una primera impressioacute de si les estimacions han estat bones
o no
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
52 La mostra
A partir de les dades que hem obtingut amb la simulacioacute prenem una mostra aleatoria
de 100 dades a partir de la qual realitzarem les dues estimacions de la realitat Cal
tenir en compte que a partir daquest moment es treballara sobre la mostra i no sobre
les dades simulades que en Iexperimentacioacute real soacuten desconegudes
La mostra sha pres de forma que constitueixi una bona representacioacute del total de la
xarxa La figura 521 mostra la localitzacioacute de cada una de les dades que formen part
de la mostra sobre la xarxa inicial de 25x25 nodes
20 shy
gt x middotcv 10 _
o shy
middot o
bull It bullbullbullbullbullbull bull middot 4 bull bull bull bullbullbull bullbullbullbull bull bull bullbullbullbullbull bull bull bull bull bull bullbullbullbullbull bull bull bullbullbull -Jf bull middot middot middot bull middot 1t bullbullbullbull bullbullbullmiddot o bull bull bull bull bullbull bull bull bull bullbull II JI Jt bull bullbullbull lttt bullbullbull bullbullbull bullbull bull bull bull bullbull bull shy ~ ~ ~ ~ ~ It bull bull bullbullbull bull bull bullbullbull bullbull bull bullbullbullbull bullbull bull bull bull bullbullbullbullbullbull ti bull bull -41 bull bull bull bull bull bull jf middot bull bullbullbull -If bull bull bull 1( bull bullbull bull middot middot - bullbullbullbullbull bull bullbull bullbullbullbullbullbull bull bull bull bullbullbullbull bullbull bull
o 10 20
eix x
Figura 521 Distribucioacute de la mostra dins la xarxa real
La mostra obtinguda conserva les propietats de les dades provinents de la simulacioacute
daquesta manera podem afirmar que eacutes una bona extrapolacioacute de la realitat Vegem a
continuacioacute la descriptiva (Taula 52 1) i Ihistograma de la mostra (Figura 522) amb el
grafic de probabilitats (Figura 52 3) Podem observar que segueix efectivament una
distribucioacute lognormal
Variable N Mean Median TrMean StDev SE Mean rnos tra 1 00 1 0552 0 8330 0 9458 0 9566 0 0957
Variable Minimum Maximum Ql Q3 rnost ra 0 0250 441 85 0 328 1 1 3714
Taula 521 Descriptiva de la mostra
33
Capiacutetol 5 Desenvoluparnent del proiecte
30
gtshyo 20c Q) J oshy~
LL 10
-
1--
- --r--
n I Io
o 2 3 4 5 mostra
Figura 522 Histograma de la mostra
Lognormal Probability Plot for mostra
99
I 95
_ 90 - l -~80 70c jIQ) 60
50e 40Q) 30a 20
10 5
bull
~
001 010 100 1000
Data
MLEstimaacutee5
LocaIion -0341481
Scaacutee 0946372
Figura 523 Plot de probabilitat lognormal
34
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
La superfiacutecie descrita per la mostra podem representar-la tambeacute graficament (Figura
524)
mostra
45
40
3 5
30
25
20 15
10
05
00
eixy 20
Figura 524 Superfiacutecie definida per la mostra
35
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
53 Lestimacioacute per krigeat indicador
Per tal de realitzar el krigeat indicador definim 5 punts de tall o cut-off Aquests punts de tall
els escollim de forma que guardin simetria respecte el percentil del 50 tal i com mostra la
taula 531
Categoria Percentil Percentatge
1 90 009952
2 300 037637
3 500 073142
4 700 127046
5 910 254092
Taula 531 Els cinc punts de tall escollits
Un cop decidides les categories o punts de tall necessitem saber el semivariograma que
segueixen cada una delles per a poder dur a terme el krigeat indicador ja que Iestimacioacute
realitzada a partir daquest rneacutetode requereix una modelitzacioacute deis cinc semivariogrames
experimentals
El procediment eacutes el seguumlent
Partim de la mostra de 100 dades que segueix una distribucioacute 10gnormaL
Per cada una de les categories creem una columna de O i 1 de manera que si aquell
punt concret eacutes per sota del punt de tall el valor que pren la variable dicotoacutemica eacutes 1 i si eacutes
per sobre pren el valor O
Els semivariogrames els creem amb aquestes cinc columnes de zeros i uns
Per cada semivariograma provem dajustar un model esfeacuteric i un dexponencial Aquests dos
tipus de models els anirem ajustant a ull movent el valor del rang i de Iabast Partim
daquests models per ser els meacutes habituals en la realitat i ens quedarem amb el que ajusti millor deis dos [ref 2]
A continuacioacute presentem els resultats daquests ajustaments per a cada punt de tall
Capiacutetol 5 Desenvolupament del proiecte
Categoriacutea 1 y(h)
Model Exponencial Abast =8 Model Esferic Abast = 75
Meseta =003 Meseta = 003
VARIOGRANlA CATEGORIA 1
005
004 sectr bull ESF= ro E 003 E ro O)
002
001
000
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 531 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 1
)1
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Categoria 2
Model Exponencial Abast = 4 Model Esferic Abast = 4
Meseta = 022 Meseta = 022
VARIOGRAMA CATEGORIA 2
025
--
c bull ESF- sectro 020
E E ro Ogt
015
010
8 10 12
Figura 532 Model de semivariograma esferic i exponencial per la categoria 2
o 2 4 6
Ihl
Capitol 5 Desenvolupament del projecte
Categoriacutea 3
ModeJ Exponencial Abast =7 ModeJ Esferic Abast =6
Meseta =027 Meseta = 0265
VARIOGRAMA CATEGORIA 3
03
~ c (1] ~E 02E (1]
Ogt
01
o 2 4 6
Ihl
Figura 533 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 3
8 10 12
)9
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Categoria 4
Model Exponencial Abast = 5 Model Esfeacuteric Abast = 4
Meseta = 02 Meseta = 02
VARIOGRAMA CATEGORIA 4
03
~ ~ -- ro E ~
02 E ro Ogt
01
deg 2 4 6
Ihl
Figura 534 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 4
8 10 12
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Categoriacutea 5
Model Exponencial Abast =4 Model Esferic Abast = 3
Meseta =006 Meseta = 006
VARIOGRAMA CATEGORIA 5
008
= sect~ 007-shy ESFro E E 006 ro Ol
005
004
003
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 535 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 5
Capiacutetol5 Desenvolupament del projecte
Mirant els cinc grafics veiem que el model que ajusta millor eacutes Iesferic en tots els casos
encara que no hi ha diferencies massa significatives respecte el model exponencial A meacutes
observem una certa simetria pel que fa a la meseta i abast de cada un deis models esferics
de cada categoria Taula 532
Cat 1 Cat2 Cat3 Cat4 Cat5
Meseta 003 022 0265 02 006
Abast 75 4 6 4 3
Taula 532 Meseta i abast per cada categoria
Aquesta simetria sobserva sobretot per les categories 2 3 i 4
Els models corresponents a les categories 1 i 5 no ajusten del tot beacute degut a que soacuten les
categories deis extrems i per tant la gran majoria de mostres si no totes estaran per sobre o
per sota respectivament
Ara ja podem fer Iestimacioacute per krigeat indicador Al programa ik3d li introduim els cinc
models de semivariogrames per tal que ens calculi Iestimacioacute
El resultat que obtenim soacuten cinc columnes de 625 dades on els valors van de O a 1
Concretament ens calcula la probabilitat de que el valor atorgat a cada punt sigui inferior al
daquell cut-off
El que es preteacuten ara eacutes a partir daquest conjunt de probabilitats interpolar la mediana per a
cada un deis punts de la xarxa per tant el que fem eacutes executar el programa postik en Iopcioacute
3 de manera que ens tregui Iestimacioacute de la mediana
A continuacioacute passem a detallar en que consisteix el postik Per tal de poder-ho expressar
millor ens centrare m en un punt concret de la xarxa el (30)
- - - - -
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Els tercer valor de cada una de les 5 columnes obtingudes amb el krigeat indicador eacutes a dir
els valors corresponents a la mostra situada en el node (30) representen la probabilitat de
que el valor de la variable en aquest punt sigui major que cada un deis cut-off
respectivament aixiacute podem afirmar que
P(Xiexcl lt el ) = P(x(3Q) lt 00995) =00000
P(xiexcl lt e2) = P(X(3 Q) lt 03764) =00397
P(xiexcl lt c3) = P(X(30) lt 07314) = 00409
P(xiexcl lt e4) = P(X(30) lt 12705) = 02079
P(xiexcl lt e5) = P(X(3 0) lt 25402) =10000
Si ara grafiquem aquests 5 valors obtenim una estimacioacute de la probabilitat que teacute el punt
estudiat (30) de ser meacutes petit que qualsevol valor eacutes a dir Iestimacioacute de la funcioacute de
probabilitat en aquest punt Com que el que es preteacuten estimar en el nostre estudi eacutes la
mediana mirarem quin valor aproxima per la probabilitat del 05 eacutes a dir
m tal que P(X(30) lt m) = 05
Per aixoacute tracem una liacutenia a Ialcada 05 i daquesta manera obtenim el valor estimat de la
mediana Aquest valor correspon al valor que obtenim amb el POSTIK que eacutes per aquesta
primera observacioacute 06983
10
x v 6 68 05 o
00
Figura 536 Els 5 cut-off aplicats al punt (30)
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Laplicacioacute del POSTIK realitza aquesta estimacioacute per a cada un deis punts obtinguts (625)
i daquesta manera podem obten ir una interpolacioacute de la mediana per cada un deis valors a
estimar
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
SEMIVARIOGRAMA DE LA MOSTRA
model exponencial
12
= r 07 -- ca E E ca O)
02
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 541 Semivariograma experimental amb un model exponencial
Aquest model obtingut a ull teacute els seguumlents parametres abast=7
meseta=1 05
Aplicant aquest valors al model general obtenim la formulacioacute per a les nostres dades
46
middotCapiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
MODEL ESFERIC La formulacioacute general eacutes
sih a
sih gt a
on a eacutes Iabast i c la meseta
SEMIVARIOGRAMA DE LA MOSTRA
model esferic
12
---shyro E 07 E ro Ol
02
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 54 2 Semivariograma experimental amb un model esfeacuterico
Aquest model Ihem obtingut de la mateixa manera que Ianterior a ull i els seus
parametres que tambeacute aplicarem a la forma general soacuten abast=6 i meseta=1
47
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Finalment pode m representar la superfiacutecie que hem estimat a partir del krigeat
lognormal utilitzant un grafic de superfiacutecie (Figura 54 5)
6
5
Krig Logn 3
2
o
20 eix y
Figura 545 Grafic de superfiacutecie pel krigeat lognormal
50
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
61 Regressioacute lineal
Per tal de dur a terme la compara cioacute entre els dos meacutetodes destimacioacute i les dades que
simulen la realitat hem expressat els resultats obtinguts graficament mitjancant els
grafics de punts ajustant en cada cas la recta de regressioacute i dibuixant la bisectriu Cal
tenir en compte que per augmentar la claredat i per a simplificar la interpretacioacute deis
resultat hem transformat les dades a una N(O1) encara que el nostre estudi es basi en
un model lognormal
Passem a continuacioacute a analitzar els grafics
En primer lIoc (Figura 611) tenim el grafic de punts entre les dades obtingudes amb el
primer meacutetode destimacioacute el krigeat lognormal i les dades provinents de la simula cioacute
de la realitat
Regression Plot y =3a1E -02jo O6lt40216X
R-Sq = 594
_0 ro
ro EID o middot Ole
~~ -2
-3
- -3 -2 -1
redade regresioacute
Bisectriu
realitat simulada
Figura 611 Recta de regressioacute entre el krigeat lognormal i la simulacioacute de la realitat
Si mirem aquest grafic podem observar que el valor de Iestimacioacute realitzada
sobreestima els valors petits de la simulacioacute i en canvi en els valors grans subestima
El coeficient de correlacioacute es del 594 eacutes a dir que el meacutetode del krigeat lognormal
explica un 594 de la realitat
52
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
Passem ara a realitzar el gratic entre el segon meto de destimacioacute el krigeat indicador
i la realitat simulada (Figura 612)
0 _O
m~ 0)-- o
~~ -1
-2
-3
Regression Plot y = -23E-02 + 0711 615X
R-Sq 526
bull bull
-3 -2 -1
realitat simulada
recta de regresi oacute
I Bisectriu
Figura 612 Recta de regressioacute entre el krigeat indicador i la simulacioacute de la realitat
Podem observar que el gratic obtingut eacutes molt semblant a Ianterior i que ens trobem
amb el mateix problema de sobreestimacioacute deis valors petits i subestimacioacute deis valors
grans de la simulacioacute
El valor del coeticient de correlacioacute tambeacute eacutes torga semblant 52 6 Aixiacute doncs la
realitat eacutes explicada en un 526 pel krigeat indicador
53
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
Finalment i per tenir una idea de la relacioacute que hi ha entre els dos meacutetodes emprats en
el projecte realitzarem un uacuteltim grafic comparatiu (Figura 613) que representa els dos
meacutetodes destimacioacute el krigeat lognormal i el krigeat indicador
Regression Plot y = -7 SE-02 + 105401X
R-Sq 796
middot2
middot3
recta de regresi6
bull Bisectriu
middot 4 middot3 middot2 -1
krigeat lognormal
Figura 613 Recta de regressioacute entre el krigeat lognormal i el krigeat indicador
En aquest cas podem observar que la recta de regressioacute coincideix gairebeacute a la
perfeccioacute amb la bisectriu cosa que vol dir que els dos meacutetodes soacuten molt semblants
entre siacute i que per tant eacutes normal que Iaproximacioacute de cada un dells a la realitat sigui
semblant
El valor de la regressioacute eacutes meacutes gran que en els altres dos casos 796 eacutes a dir que
els dos meacutetodes no donen resultats significativament diferents entre si
Podem observar un conjunt de dades que prenen valors especialment elevats en
Iestimacioacute per krigeat indicador Si analitzem aquests punts podem comprovar que
soacuten punts que tenen una probabilitat de ser meacutes grans que el cinqueacute cut-off (percentil
097) igual a 1 Per tant aquest tipus de punts no shan de tenir en compte en el
moment dextreure conclusions De fet aixo ja es sospitava en el grafic anterior pero
en que en aquell hi ha una elevada dispersioacute i per tant Iefecte queda dissimulat
54
Capitol 5 Desenvolupament del projecte
51 La simulacioacute
Per tal de tenir una regi6 en la que poder treballar construim una xarxa de 25x25x1 eacutes a
dir treballem a R2bull
Volem obtenir una realitzaci6 en cada un deis nodes de la xarxa per tant realitzem una
simulaci6 de 625 dades Figura 511
Ix= o 1 2 23 24
~ yslz= 004 J
l
~] iexcllo
-t yrnn==O
-- xsiz== 004T-Eshy
o 11
~
Figura 511 Xarxa sobre la que es treballa i punts mostrejats
En el camp de la geologiacutea eacutes molt difiacutecil obtenir gaires mostres duna regi6 per aix6 els
meacutetodes de simulaci6 i destimaci6 s6n tant importants en geoestadiacutestica Com que a
nosaltres ens interesa tenir una xarxa complerta (perqueacute el que ens interessa eacutes veure quin
deis dos meacutetodes destimaci6 eacutes millor i no el saber com eacutes la regi6) el que fem eacutes simular
realitzacions duna N(O1) amb semiacutevariograma exponencial de meseta unitat en tots els
nodes de la nostre xarxa Sha escollit aquest tipus de semivariograma per ser el meacutes
habitual en el camp de la geologiacutea [ref 2]
En aquestes dad es els hi apliquem exponencials i per tant la nostra realitat segueix una
distribuci6 lognormal de mitjana unitat
El fet de treballar sobre dades lognormals ve justificat perque hi ha molts fenomens naturals
que segueixen aquesta distribuci6 [ref 11] (cerca de determinat mineral bosses de petrali
quantitat de sediments exploracions geoquimiques )
Per tant la nostre realitat eacutes aquesta eacutes a dir la distribuci6 lognormal de la variable
regionalitzada La N(O1) tant sois la fem servir per ser facil de maniobrar
computacionalment [ref 16]
Capiacutetol5 Desenvolupament del projecte
Per tal dassegurant-se que la nostre realitat eacutes mes o menys exacta mirem la seguumlent taula
Variable N Mean Median StDev SE Mean Hin 121 123
exp(siacutem) 625 10546 07742 10075 00403 00250 95965 03934 13721
Taula 511 Descriptiva de la variable regionalitzada exp(sim)
Amb els seguumlents grafics comprovem que realment les nostres dades segueixen una
distribucioacute lognormal
-200
() e Q) J CT 100 ~
IJ -
o
o 5 10 exp(sim)
Figura 512 Histograma de la realitat
Jo
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Lognormal Probablllty Plot tor exp(sim)
Ml Estimates
l ocatiolt -0325300
Scale 0910009
99
95 90
80 70
e 60 (lJ 50 Uuml 40 shy 30 (lJ 20 a
10
5
001 010 100 1000
Data
Figura 513 Lognormal probability plot de la variable regionalitzada exp(sim)
exp(sim)
10
B
7
6 5
4
2
20
Figura 514 Surface plot de la variable exp(sim)
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
El surface plot eacutes una eina molt uacutetil ja que ens doacutena una visioacute de com es la nostra realitat a
Iespai A meacutes un cop haguem fet les dues estimacions tambeacute podrem fer el surface plot i
amb un cop dull podrem treure una primera impressioacute de si les estimacions han estat bones
o no
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
52 La mostra
A partir de les dades que hem obtingut amb la simulacioacute prenem una mostra aleatoria
de 100 dades a partir de la qual realitzarem les dues estimacions de la realitat Cal
tenir en compte que a partir daquest moment es treballara sobre la mostra i no sobre
les dades simulades que en Iexperimentacioacute real soacuten desconegudes
La mostra sha pres de forma que constitueixi una bona representacioacute del total de la
xarxa La figura 521 mostra la localitzacioacute de cada una de les dades que formen part
de la mostra sobre la xarxa inicial de 25x25 nodes
20 shy
gt x middotcv 10 _
o shy
middot o
bull It bullbullbullbullbullbull bull middot 4 bull bull bull bullbullbull bullbullbullbull bull bull bullbullbullbullbull bull bull bull bull bull bullbullbullbullbull bull bull bullbullbull -Jf bull middot middot middot bull middot 1t bullbullbullbull bullbullbullmiddot o bull bull bull bull bullbull bull bull bull bullbull II JI Jt bull bullbullbull lttt bullbullbull bullbullbull bullbull bull bull bull bullbull bull shy ~ ~ ~ ~ ~ It bull bull bullbullbull bull bull bullbullbull bullbull bull bullbullbullbull bullbull bull bull bull bullbullbullbullbullbull ti bull bull -41 bull bull bull bull bull bull jf middot bull bullbullbull -If bull bull bull 1( bull bullbull bull middot middot - bullbullbullbullbull bull bullbull bullbullbullbullbullbull bull bull bull bullbullbullbull bullbull bull
o 10 20
eix x
Figura 521 Distribucioacute de la mostra dins la xarxa real
La mostra obtinguda conserva les propietats de les dades provinents de la simulacioacute
daquesta manera podem afirmar que eacutes una bona extrapolacioacute de la realitat Vegem a
continuacioacute la descriptiva (Taula 52 1) i Ihistograma de la mostra (Figura 522) amb el
grafic de probabilitats (Figura 52 3) Podem observar que segueix efectivament una
distribucioacute lognormal
Variable N Mean Median TrMean StDev SE Mean rnos tra 1 00 1 0552 0 8330 0 9458 0 9566 0 0957
Variable Minimum Maximum Ql Q3 rnost ra 0 0250 441 85 0 328 1 1 3714
Taula 521 Descriptiva de la mostra
33
Capiacutetol 5 Desenvoluparnent del proiecte
30
gtshyo 20c Q) J oshy~
LL 10
-
1--
- --r--
n I Io
o 2 3 4 5 mostra
Figura 522 Histograma de la mostra
Lognormal Probability Plot for mostra
99
I 95
_ 90 - l -~80 70c jIQ) 60
50e 40Q) 30a 20
10 5
bull
~
001 010 100 1000
Data
MLEstimaacutee5
LocaIion -0341481
Scaacutee 0946372
Figura 523 Plot de probabilitat lognormal
34
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
La superfiacutecie descrita per la mostra podem representar-la tambeacute graficament (Figura
524)
mostra
45
40
3 5
30
25
20 15
10
05
00
eixy 20
Figura 524 Superfiacutecie definida per la mostra
35
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
53 Lestimacioacute per krigeat indicador
Per tal de realitzar el krigeat indicador definim 5 punts de tall o cut-off Aquests punts de tall
els escollim de forma que guardin simetria respecte el percentil del 50 tal i com mostra la
taula 531
Categoria Percentil Percentatge
1 90 009952
2 300 037637
3 500 073142
4 700 127046
5 910 254092
Taula 531 Els cinc punts de tall escollits
Un cop decidides les categories o punts de tall necessitem saber el semivariograma que
segueixen cada una delles per a poder dur a terme el krigeat indicador ja que Iestimacioacute
realitzada a partir daquest rneacutetode requereix una modelitzacioacute deis cinc semivariogrames
experimentals
El procediment eacutes el seguumlent
Partim de la mostra de 100 dades que segueix una distribucioacute 10gnormaL
Per cada una de les categories creem una columna de O i 1 de manera que si aquell
punt concret eacutes per sota del punt de tall el valor que pren la variable dicotoacutemica eacutes 1 i si eacutes
per sobre pren el valor O
Els semivariogrames els creem amb aquestes cinc columnes de zeros i uns
Per cada semivariograma provem dajustar un model esfeacuteric i un dexponencial Aquests dos
tipus de models els anirem ajustant a ull movent el valor del rang i de Iabast Partim
daquests models per ser els meacutes habituals en la realitat i ens quedarem amb el que ajusti millor deis dos [ref 2]
A continuacioacute presentem els resultats daquests ajustaments per a cada punt de tall
Capiacutetol 5 Desenvolupament del proiecte
Categoriacutea 1 y(h)
Model Exponencial Abast =8 Model Esferic Abast = 75
Meseta =003 Meseta = 003
VARIOGRANlA CATEGORIA 1
005
004 sectr bull ESF= ro E 003 E ro O)
002
001
000
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 531 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 1
)1
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Categoria 2
Model Exponencial Abast = 4 Model Esferic Abast = 4
Meseta = 022 Meseta = 022
VARIOGRAMA CATEGORIA 2
025
--
c bull ESF- sectro 020
E E ro Ogt
015
010
8 10 12
Figura 532 Model de semivariograma esferic i exponencial per la categoria 2
o 2 4 6
Ihl
Capitol 5 Desenvolupament del projecte
Categoriacutea 3
ModeJ Exponencial Abast =7 ModeJ Esferic Abast =6
Meseta =027 Meseta = 0265
VARIOGRAMA CATEGORIA 3
03
~ c (1] ~E 02E (1]
Ogt
01
o 2 4 6
Ihl
Figura 533 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 3
8 10 12
)9
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Categoria 4
Model Exponencial Abast = 5 Model Esfeacuteric Abast = 4
Meseta = 02 Meseta = 02
VARIOGRAMA CATEGORIA 4
03
~ ~ -- ro E ~
02 E ro Ogt
01
deg 2 4 6
Ihl
Figura 534 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 4
8 10 12
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Categoriacutea 5
Model Exponencial Abast =4 Model Esferic Abast = 3
Meseta =006 Meseta = 006
VARIOGRAMA CATEGORIA 5
008
= sect~ 007-shy ESFro E E 006 ro Ol
005
004
003
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 535 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 5
Capiacutetol5 Desenvolupament del projecte
Mirant els cinc grafics veiem que el model que ajusta millor eacutes Iesferic en tots els casos
encara que no hi ha diferencies massa significatives respecte el model exponencial A meacutes
observem una certa simetria pel que fa a la meseta i abast de cada un deis models esferics
de cada categoria Taula 532
Cat 1 Cat2 Cat3 Cat4 Cat5
Meseta 003 022 0265 02 006
Abast 75 4 6 4 3
Taula 532 Meseta i abast per cada categoria
Aquesta simetria sobserva sobretot per les categories 2 3 i 4
Els models corresponents a les categories 1 i 5 no ajusten del tot beacute degut a que soacuten les
categories deis extrems i per tant la gran majoria de mostres si no totes estaran per sobre o
per sota respectivament
Ara ja podem fer Iestimacioacute per krigeat indicador Al programa ik3d li introduim els cinc
models de semivariogrames per tal que ens calculi Iestimacioacute
El resultat que obtenim soacuten cinc columnes de 625 dades on els valors van de O a 1
Concretament ens calcula la probabilitat de que el valor atorgat a cada punt sigui inferior al
daquell cut-off
El que es preteacuten ara eacutes a partir daquest conjunt de probabilitats interpolar la mediana per a
cada un deis punts de la xarxa per tant el que fem eacutes executar el programa postik en Iopcioacute
3 de manera que ens tregui Iestimacioacute de la mediana
A continuacioacute passem a detallar en que consisteix el postik Per tal de poder-ho expressar
millor ens centrare m en un punt concret de la xarxa el (30)
- - - - -
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Els tercer valor de cada una de les 5 columnes obtingudes amb el krigeat indicador eacutes a dir
els valors corresponents a la mostra situada en el node (30) representen la probabilitat de
que el valor de la variable en aquest punt sigui major que cada un deis cut-off
respectivament aixiacute podem afirmar que
P(Xiexcl lt el ) = P(x(3Q) lt 00995) =00000
P(xiexcl lt e2) = P(X(3 Q) lt 03764) =00397
P(xiexcl lt c3) = P(X(30) lt 07314) = 00409
P(xiexcl lt e4) = P(X(30) lt 12705) = 02079
P(xiexcl lt e5) = P(X(3 0) lt 25402) =10000
Si ara grafiquem aquests 5 valors obtenim una estimacioacute de la probabilitat que teacute el punt
estudiat (30) de ser meacutes petit que qualsevol valor eacutes a dir Iestimacioacute de la funcioacute de
probabilitat en aquest punt Com que el que es preteacuten estimar en el nostre estudi eacutes la
mediana mirarem quin valor aproxima per la probabilitat del 05 eacutes a dir
m tal que P(X(30) lt m) = 05
Per aixoacute tracem una liacutenia a Ialcada 05 i daquesta manera obtenim el valor estimat de la
mediana Aquest valor correspon al valor que obtenim amb el POSTIK que eacutes per aquesta
primera observacioacute 06983
10
x v 6 68 05 o
00
Figura 536 Els 5 cut-off aplicats al punt (30)
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Laplicacioacute del POSTIK realitza aquesta estimacioacute per a cada un deis punts obtinguts (625)
i daquesta manera podem obten ir una interpolacioacute de la mediana per cada un deis valors a
estimar
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
SEMIVARIOGRAMA DE LA MOSTRA
model exponencial
12
= r 07 -- ca E E ca O)
02
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 541 Semivariograma experimental amb un model exponencial
Aquest model obtingut a ull teacute els seguumlents parametres abast=7
meseta=1 05
Aplicant aquest valors al model general obtenim la formulacioacute per a les nostres dades
46
middotCapiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
MODEL ESFERIC La formulacioacute general eacutes
sih a
sih gt a
on a eacutes Iabast i c la meseta
SEMIVARIOGRAMA DE LA MOSTRA
model esferic
12
---shyro E 07 E ro Ol
02
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 54 2 Semivariograma experimental amb un model esfeacuterico
Aquest model Ihem obtingut de la mateixa manera que Ianterior a ull i els seus
parametres que tambeacute aplicarem a la forma general soacuten abast=6 i meseta=1
47
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Finalment pode m representar la superfiacutecie que hem estimat a partir del krigeat
lognormal utilitzant un grafic de superfiacutecie (Figura 54 5)
6
5
Krig Logn 3
2
o
20 eix y
Figura 545 Grafic de superfiacutecie pel krigeat lognormal
50
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
61 Regressioacute lineal
Per tal de dur a terme la compara cioacute entre els dos meacutetodes destimacioacute i les dades que
simulen la realitat hem expressat els resultats obtinguts graficament mitjancant els
grafics de punts ajustant en cada cas la recta de regressioacute i dibuixant la bisectriu Cal
tenir en compte que per augmentar la claredat i per a simplificar la interpretacioacute deis
resultat hem transformat les dades a una N(O1) encara que el nostre estudi es basi en
un model lognormal
Passem a continuacioacute a analitzar els grafics
En primer lIoc (Figura 611) tenim el grafic de punts entre les dades obtingudes amb el
primer meacutetode destimacioacute el krigeat lognormal i les dades provinents de la simula cioacute
de la realitat
Regression Plot y =3a1E -02jo O6lt40216X
R-Sq = 594
_0 ro
ro EID o middot Ole
~~ -2
-3
- -3 -2 -1
redade regresioacute
Bisectriu
realitat simulada
Figura 611 Recta de regressioacute entre el krigeat lognormal i la simulacioacute de la realitat
Si mirem aquest grafic podem observar que el valor de Iestimacioacute realitzada
sobreestima els valors petits de la simulacioacute i en canvi en els valors grans subestima
El coeficient de correlacioacute es del 594 eacutes a dir que el meacutetode del krigeat lognormal
explica un 594 de la realitat
52
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
Passem ara a realitzar el gratic entre el segon meto de destimacioacute el krigeat indicador
i la realitat simulada (Figura 612)
0 _O
m~ 0)-- o
~~ -1
-2
-3
Regression Plot y = -23E-02 + 0711 615X
R-Sq 526
bull bull
-3 -2 -1
realitat simulada
recta de regresi oacute
I Bisectriu
Figura 612 Recta de regressioacute entre el krigeat indicador i la simulacioacute de la realitat
Podem observar que el gratic obtingut eacutes molt semblant a Ianterior i que ens trobem
amb el mateix problema de sobreestimacioacute deis valors petits i subestimacioacute deis valors
grans de la simulacioacute
El valor del coeticient de correlacioacute tambeacute eacutes torga semblant 52 6 Aixiacute doncs la
realitat eacutes explicada en un 526 pel krigeat indicador
53
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
Finalment i per tenir una idea de la relacioacute que hi ha entre els dos meacutetodes emprats en
el projecte realitzarem un uacuteltim grafic comparatiu (Figura 613) que representa els dos
meacutetodes destimacioacute el krigeat lognormal i el krigeat indicador
Regression Plot y = -7 SE-02 + 105401X
R-Sq 796
middot2
middot3
recta de regresi6
bull Bisectriu
middot 4 middot3 middot2 -1
krigeat lognormal
Figura 613 Recta de regressioacute entre el krigeat lognormal i el krigeat indicador
En aquest cas podem observar que la recta de regressioacute coincideix gairebeacute a la
perfeccioacute amb la bisectriu cosa que vol dir que els dos meacutetodes soacuten molt semblants
entre siacute i que per tant eacutes normal que Iaproximacioacute de cada un dells a la realitat sigui
semblant
El valor de la regressioacute eacutes meacutes gran que en els altres dos casos 796 eacutes a dir que
els dos meacutetodes no donen resultats significativament diferents entre si
Podem observar un conjunt de dades que prenen valors especialment elevats en
Iestimacioacute per krigeat indicador Si analitzem aquests punts podem comprovar que
soacuten punts que tenen una probabilitat de ser meacutes grans que el cinqueacute cut-off (percentil
097) igual a 1 Per tant aquest tipus de punts no shan de tenir en compte en el
moment dextreure conclusions De fet aixo ja es sospitava en el grafic anterior pero
en que en aquell hi ha una elevada dispersioacute i per tant Iefecte queda dissimulat
54
Capiacutetol5 Desenvolupament del projecte
Per tal dassegurant-se que la nostre realitat eacutes mes o menys exacta mirem la seguumlent taula
Variable N Mean Median StDev SE Mean Hin 121 123
exp(siacutem) 625 10546 07742 10075 00403 00250 95965 03934 13721
Taula 511 Descriptiva de la variable regionalitzada exp(sim)
Amb els seguumlents grafics comprovem que realment les nostres dades segueixen una
distribucioacute lognormal
-200
() e Q) J CT 100 ~
IJ -
o
o 5 10 exp(sim)
Figura 512 Histograma de la realitat
Jo
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Lognormal Probablllty Plot tor exp(sim)
Ml Estimates
l ocatiolt -0325300
Scale 0910009
99
95 90
80 70
e 60 (lJ 50 Uuml 40 shy 30 (lJ 20 a
10
5
001 010 100 1000
Data
Figura 513 Lognormal probability plot de la variable regionalitzada exp(sim)
exp(sim)
10
B
7
6 5
4
2
20
Figura 514 Surface plot de la variable exp(sim)
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
El surface plot eacutes una eina molt uacutetil ja que ens doacutena una visioacute de com es la nostra realitat a
Iespai A meacutes un cop haguem fet les dues estimacions tambeacute podrem fer el surface plot i
amb un cop dull podrem treure una primera impressioacute de si les estimacions han estat bones
o no
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
52 La mostra
A partir de les dades que hem obtingut amb la simulacioacute prenem una mostra aleatoria
de 100 dades a partir de la qual realitzarem les dues estimacions de la realitat Cal
tenir en compte que a partir daquest moment es treballara sobre la mostra i no sobre
les dades simulades que en Iexperimentacioacute real soacuten desconegudes
La mostra sha pres de forma que constitueixi una bona representacioacute del total de la
xarxa La figura 521 mostra la localitzacioacute de cada una de les dades que formen part
de la mostra sobre la xarxa inicial de 25x25 nodes
20 shy
gt x middotcv 10 _
o shy
middot o
bull It bullbullbullbullbullbull bull middot 4 bull bull bull bullbullbull bullbullbullbull bull bull bullbullbullbullbull bull bull bull bull bull bullbullbullbullbull bull bull bullbullbull -Jf bull middot middot middot bull middot 1t bullbullbullbull bullbullbullmiddot o bull bull bull bull bullbull bull bull bull bullbull II JI Jt bull bullbullbull lttt bullbullbull bullbullbull bullbull bull bull bull bullbull bull shy ~ ~ ~ ~ ~ It bull bull bullbullbull bull bull bullbullbull bullbull bull bullbullbullbull bullbull bull bull bull bullbullbullbullbullbull ti bull bull -41 bull bull bull bull bull bull jf middot bull bullbullbull -If bull bull bull 1( bull bullbull bull middot middot - bullbullbullbullbull bull bullbull bullbullbullbullbullbull bull bull bull bullbullbullbull bullbull bull
o 10 20
eix x
Figura 521 Distribucioacute de la mostra dins la xarxa real
La mostra obtinguda conserva les propietats de les dades provinents de la simulacioacute
daquesta manera podem afirmar que eacutes una bona extrapolacioacute de la realitat Vegem a
continuacioacute la descriptiva (Taula 52 1) i Ihistograma de la mostra (Figura 522) amb el
grafic de probabilitats (Figura 52 3) Podem observar que segueix efectivament una
distribucioacute lognormal
Variable N Mean Median TrMean StDev SE Mean rnos tra 1 00 1 0552 0 8330 0 9458 0 9566 0 0957
Variable Minimum Maximum Ql Q3 rnost ra 0 0250 441 85 0 328 1 1 3714
Taula 521 Descriptiva de la mostra
33
Capiacutetol 5 Desenvoluparnent del proiecte
30
gtshyo 20c Q) J oshy~
LL 10
-
1--
- --r--
n I Io
o 2 3 4 5 mostra
Figura 522 Histograma de la mostra
Lognormal Probability Plot for mostra
99
I 95
_ 90 - l -~80 70c jIQ) 60
50e 40Q) 30a 20
10 5
bull
~
001 010 100 1000
Data
MLEstimaacutee5
LocaIion -0341481
Scaacutee 0946372
Figura 523 Plot de probabilitat lognormal
34
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
La superfiacutecie descrita per la mostra podem representar-la tambeacute graficament (Figura
524)
mostra
45
40
3 5
30
25
20 15
10
05
00
eixy 20
Figura 524 Superfiacutecie definida per la mostra
35
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
53 Lestimacioacute per krigeat indicador
Per tal de realitzar el krigeat indicador definim 5 punts de tall o cut-off Aquests punts de tall
els escollim de forma que guardin simetria respecte el percentil del 50 tal i com mostra la
taula 531
Categoria Percentil Percentatge
1 90 009952
2 300 037637
3 500 073142
4 700 127046
5 910 254092
Taula 531 Els cinc punts de tall escollits
Un cop decidides les categories o punts de tall necessitem saber el semivariograma que
segueixen cada una delles per a poder dur a terme el krigeat indicador ja que Iestimacioacute
realitzada a partir daquest rneacutetode requereix una modelitzacioacute deis cinc semivariogrames
experimentals
El procediment eacutes el seguumlent
Partim de la mostra de 100 dades que segueix una distribucioacute 10gnormaL
Per cada una de les categories creem una columna de O i 1 de manera que si aquell
punt concret eacutes per sota del punt de tall el valor que pren la variable dicotoacutemica eacutes 1 i si eacutes
per sobre pren el valor O
Els semivariogrames els creem amb aquestes cinc columnes de zeros i uns
Per cada semivariograma provem dajustar un model esfeacuteric i un dexponencial Aquests dos
tipus de models els anirem ajustant a ull movent el valor del rang i de Iabast Partim
daquests models per ser els meacutes habituals en la realitat i ens quedarem amb el que ajusti millor deis dos [ref 2]
A continuacioacute presentem els resultats daquests ajustaments per a cada punt de tall
Capiacutetol 5 Desenvolupament del proiecte
Categoriacutea 1 y(h)
Model Exponencial Abast =8 Model Esferic Abast = 75
Meseta =003 Meseta = 003
VARIOGRANlA CATEGORIA 1
005
004 sectr bull ESF= ro E 003 E ro O)
002
001
000
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 531 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 1
)1
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Categoria 2
Model Exponencial Abast = 4 Model Esferic Abast = 4
Meseta = 022 Meseta = 022
VARIOGRAMA CATEGORIA 2
025
--
c bull ESF- sectro 020
E E ro Ogt
015
010
8 10 12
Figura 532 Model de semivariograma esferic i exponencial per la categoria 2
o 2 4 6
Ihl
Capitol 5 Desenvolupament del projecte
Categoriacutea 3
ModeJ Exponencial Abast =7 ModeJ Esferic Abast =6
Meseta =027 Meseta = 0265
VARIOGRAMA CATEGORIA 3
03
~ c (1] ~E 02E (1]
Ogt
01
o 2 4 6
Ihl
Figura 533 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 3
8 10 12
)9
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Categoria 4
Model Exponencial Abast = 5 Model Esfeacuteric Abast = 4
Meseta = 02 Meseta = 02
VARIOGRAMA CATEGORIA 4
03
~ ~ -- ro E ~
02 E ro Ogt
01
deg 2 4 6
Ihl
Figura 534 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 4
8 10 12
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Categoriacutea 5
Model Exponencial Abast =4 Model Esferic Abast = 3
Meseta =006 Meseta = 006
VARIOGRAMA CATEGORIA 5
008
= sect~ 007-shy ESFro E E 006 ro Ol
005
004
003
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 535 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 5
Capiacutetol5 Desenvolupament del projecte
Mirant els cinc grafics veiem que el model que ajusta millor eacutes Iesferic en tots els casos
encara que no hi ha diferencies massa significatives respecte el model exponencial A meacutes
observem una certa simetria pel que fa a la meseta i abast de cada un deis models esferics
de cada categoria Taula 532
Cat 1 Cat2 Cat3 Cat4 Cat5
Meseta 003 022 0265 02 006
Abast 75 4 6 4 3
Taula 532 Meseta i abast per cada categoria
Aquesta simetria sobserva sobretot per les categories 2 3 i 4
Els models corresponents a les categories 1 i 5 no ajusten del tot beacute degut a que soacuten les
categories deis extrems i per tant la gran majoria de mostres si no totes estaran per sobre o
per sota respectivament
Ara ja podem fer Iestimacioacute per krigeat indicador Al programa ik3d li introduim els cinc
models de semivariogrames per tal que ens calculi Iestimacioacute
El resultat que obtenim soacuten cinc columnes de 625 dades on els valors van de O a 1
Concretament ens calcula la probabilitat de que el valor atorgat a cada punt sigui inferior al
daquell cut-off
El que es preteacuten ara eacutes a partir daquest conjunt de probabilitats interpolar la mediana per a
cada un deis punts de la xarxa per tant el que fem eacutes executar el programa postik en Iopcioacute
3 de manera que ens tregui Iestimacioacute de la mediana
A continuacioacute passem a detallar en que consisteix el postik Per tal de poder-ho expressar
millor ens centrare m en un punt concret de la xarxa el (30)
- - - - -
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Els tercer valor de cada una de les 5 columnes obtingudes amb el krigeat indicador eacutes a dir
els valors corresponents a la mostra situada en el node (30) representen la probabilitat de
que el valor de la variable en aquest punt sigui major que cada un deis cut-off
respectivament aixiacute podem afirmar que
P(Xiexcl lt el ) = P(x(3Q) lt 00995) =00000
P(xiexcl lt e2) = P(X(3 Q) lt 03764) =00397
P(xiexcl lt c3) = P(X(30) lt 07314) = 00409
P(xiexcl lt e4) = P(X(30) lt 12705) = 02079
P(xiexcl lt e5) = P(X(3 0) lt 25402) =10000
Si ara grafiquem aquests 5 valors obtenim una estimacioacute de la probabilitat que teacute el punt
estudiat (30) de ser meacutes petit que qualsevol valor eacutes a dir Iestimacioacute de la funcioacute de
probabilitat en aquest punt Com que el que es preteacuten estimar en el nostre estudi eacutes la
mediana mirarem quin valor aproxima per la probabilitat del 05 eacutes a dir
m tal que P(X(30) lt m) = 05
Per aixoacute tracem una liacutenia a Ialcada 05 i daquesta manera obtenim el valor estimat de la
mediana Aquest valor correspon al valor que obtenim amb el POSTIK que eacutes per aquesta
primera observacioacute 06983
10
x v 6 68 05 o
00
Figura 536 Els 5 cut-off aplicats al punt (30)
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Laplicacioacute del POSTIK realitza aquesta estimacioacute per a cada un deis punts obtinguts (625)
i daquesta manera podem obten ir una interpolacioacute de la mediana per cada un deis valors a
estimar
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
SEMIVARIOGRAMA DE LA MOSTRA
model exponencial
12
= r 07 -- ca E E ca O)
02
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 541 Semivariograma experimental amb un model exponencial
Aquest model obtingut a ull teacute els seguumlents parametres abast=7
meseta=1 05
Aplicant aquest valors al model general obtenim la formulacioacute per a les nostres dades
46
middotCapiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
MODEL ESFERIC La formulacioacute general eacutes
sih a
sih gt a
on a eacutes Iabast i c la meseta
SEMIVARIOGRAMA DE LA MOSTRA
model esferic
12
---shyro E 07 E ro Ol
02
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 54 2 Semivariograma experimental amb un model esfeacuterico
Aquest model Ihem obtingut de la mateixa manera que Ianterior a ull i els seus
parametres que tambeacute aplicarem a la forma general soacuten abast=6 i meseta=1
47
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Finalment pode m representar la superfiacutecie que hem estimat a partir del krigeat
lognormal utilitzant un grafic de superfiacutecie (Figura 54 5)
6
5
Krig Logn 3
2
o
20 eix y
Figura 545 Grafic de superfiacutecie pel krigeat lognormal
50
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
61 Regressioacute lineal
Per tal de dur a terme la compara cioacute entre els dos meacutetodes destimacioacute i les dades que
simulen la realitat hem expressat els resultats obtinguts graficament mitjancant els
grafics de punts ajustant en cada cas la recta de regressioacute i dibuixant la bisectriu Cal
tenir en compte que per augmentar la claredat i per a simplificar la interpretacioacute deis
resultat hem transformat les dades a una N(O1) encara que el nostre estudi es basi en
un model lognormal
Passem a continuacioacute a analitzar els grafics
En primer lIoc (Figura 611) tenim el grafic de punts entre les dades obtingudes amb el
primer meacutetode destimacioacute el krigeat lognormal i les dades provinents de la simula cioacute
de la realitat
Regression Plot y =3a1E -02jo O6lt40216X
R-Sq = 594
_0 ro
ro EID o middot Ole
~~ -2
-3
- -3 -2 -1
redade regresioacute
Bisectriu
realitat simulada
Figura 611 Recta de regressioacute entre el krigeat lognormal i la simulacioacute de la realitat
Si mirem aquest grafic podem observar que el valor de Iestimacioacute realitzada
sobreestima els valors petits de la simulacioacute i en canvi en els valors grans subestima
El coeficient de correlacioacute es del 594 eacutes a dir que el meacutetode del krigeat lognormal
explica un 594 de la realitat
52
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
Passem ara a realitzar el gratic entre el segon meto de destimacioacute el krigeat indicador
i la realitat simulada (Figura 612)
0 _O
m~ 0)-- o
~~ -1
-2
-3
Regression Plot y = -23E-02 + 0711 615X
R-Sq 526
bull bull
-3 -2 -1
realitat simulada
recta de regresi oacute
I Bisectriu
Figura 612 Recta de regressioacute entre el krigeat indicador i la simulacioacute de la realitat
Podem observar que el gratic obtingut eacutes molt semblant a Ianterior i que ens trobem
amb el mateix problema de sobreestimacioacute deis valors petits i subestimacioacute deis valors
grans de la simulacioacute
El valor del coeticient de correlacioacute tambeacute eacutes torga semblant 52 6 Aixiacute doncs la
realitat eacutes explicada en un 526 pel krigeat indicador
53
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
Finalment i per tenir una idea de la relacioacute que hi ha entre els dos meacutetodes emprats en
el projecte realitzarem un uacuteltim grafic comparatiu (Figura 613) que representa els dos
meacutetodes destimacioacute el krigeat lognormal i el krigeat indicador
Regression Plot y = -7 SE-02 + 105401X
R-Sq 796
middot2
middot3
recta de regresi6
bull Bisectriu
middot 4 middot3 middot2 -1
krigeat lognormal
Figura 613 Recta de regressioacute entre el krigeat lognormal i el krigeat indicador
En aquest cas podem observar que la recta de regressioacute coincideix gairebeacute a la
perfeccioacute amb la bisectriu cosa que vol dir que els dos meacutetodes soacuten molt semblants
entre siacute i que per tant eacutes normal que Iaproximacioacute de cada un dells a la realitat sigui
semblant
El valor de la regressioacute eacutes meacutes gran que en els altres dos casos 796 eacutes a dir que
els dos meacutetodes no donen resultats significativament diferents entre si
Podem observar un conjunt de dades que prenen valors especialment elevats en
Iestimacioacute per krigeat indicador Si analitzem aquests punts podem comprovar que
soacuten punts que tenen una probabilitat de ser meacutes grans que el cinqueacute cut-off (percentil
097) igual a 1 Per tant aquest tipus de punts no shan de tenir en compte en el
moment dextreure conclusions De fet aixo ja es sospitava en el grafic anterior pero
en que en aquell hi ha una elevada dispersioacute i per tant Iefecte queda dissimulat
54
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Lognormal Probablllty Plot tor exp(sim)
Ml Estimates
l ocatiolt -0325300
Scale 0910009
99
95 90
80 70
e 60 (lJ 50 Uuml 40 shy 30 (lJ 20 a
10
5
001 010 100 1000
Data
Figura 513 Lognormal probability plot de la variable regionalitzada exp(sim)
exp(sim)
10
B
7
6 5
4
2
20
Figura 514 Surface plot de la variable exp(sim)
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
El surface plot eacutes una eina molt uacutetil ja que ens doacutena una visioacute de com es la nostra realitat a
Iespai A meacutes un cop haguem fet les dues estimacions tambeacute podrem fer el surface plot i
amb un cop dull podrem treure una primera impressioacute de si les estimacions han estat bones
o no
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
52 La mostra
A partir de les dades que hem obtingut amb la simulacioacute prenem una mostra aleatoria
de 100 dades a partir de la qual realitzarem les dues estimacions de la realitat Cal
tenir en compte que a partir daquest moment es treballara sobre la mostra i no sobre
les dades simulades que en Iexperimentacioacute real soacuten desconegudes
La mostra sha pres de forma que constitueixi una bona representacioacute del total de la
xarxa La figura 521 mostra la localitzacioacute de cada una de les dades que formen part
de la mostra sobre la xarxa inicial de 25x25 nodes
20 shy
gt x middotcv 10 _
o shy
middot o
bull It bullbullbullbullbullbull bull middot 4 bull bull bull bullbullbull bullbullbullbull bull bull bullbullbullbullbull bull bull bull bull bull bullbullbullbullbull bull bull bullbullbull -Jf bull middot middot middot bull middot 1t bullbullbullbull bullbullbullmiddot o bull bull bull bull bullbull bull bull bull bullbull II JI Jt bull bullbullbull lttt bullbullbull bullbullbull bullbull bull bull bull bullbull bull shy ~ ~ ~ ~ ~ It bull bull bullbullbull bull bull bullbullbull bullbull bull bullbullbullbull bullbull bull bull bull bullbullbullbullbullbull ti bull bull -41 bull bull bull bull bull bull jf middot bull bullbullbull -If bull bull bull 1( bull bullbull bull middot middot - bullbullbullbullbull bull bullbull bullbullbullbullbullbull bull bull bull bullbullbullbull bullbull bull
o 10 20
eix x
Figura 521 Distribucioacute de la mostra dins la xarxa real
La mostra obtinguda conserva les propietats de les dades provinents de la simulacioacute
daquesta manera podem afirmar que eacutes una bona extrapolacioacute de la realitat Vegem a
continuacioacute la descriptiva (Taula 52 1) i Ihistograma de la mostra (Figura 522) amb el
grafic de probabilitats (Figura 52 3) Podem observar que segueix efectivament una
distribucioacute lognormal
Variable N Mean Median TrMean StDev SE Mean rnos tra 1 00 1 0552 0 8330 0 9458 0 9566 0 0957
Variable Minimum Maximum Ql Q3 rnost ra 0 0250 441 85 0 328 1 1 3714
Taula 521 Descriptiva de la mostra
33
Capiacutetol 5 Desenvoluparnent del proiecte
30
gtshyo 20c Q) J oshy~
LL 10
-
1--
- --r--
n I Io
o 2 3 4 5 mostra
Figura 522 Histograma de la mostra
Lognormal Probability Plot for mostra
99
I 95
_ 90 - l -~80 70c jIQ) 60
50e 40Q) 30a 20
10 5
bull
~
001 010 100 1000
Data
MLEstimaacutee5
LocaIion -0341481
Scaacutee 0946372
Figura 523 Plot de probabilitat lognormal
34
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
La superfiacutecie descrita per la mostra podem representar-la tambeacute graficament (Figura
524)
mostra
45
40
3 5
30
25
20 15
10
05
00
eixy 20
Figura 524 Superfiacutecie definida per la mostra
35
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
53 Lestimacioacute per krigeat indicador
Per tal de realitzar el krigeat indicador definim 5 punts de tall o cut-off Aquests punts de tall
els escollim de forma que guardin simetria respecte el percentil del 50 tal i com mostra la
taula 531
Categoria Percentil Percentatge
1 90 009952
2 300 037637
3 500 073142
4 700 127046
5 910 254092
Taula 531 Els cinc punts de tall escollits
Un cop decidides les categories o punts de tall necessitem saber el semivariograma que
segueixen cada una delles per a poder dur a terme el krigeat indicador ja que Iestimacioacute
realitzada a partir daquest rneacutetode requereix una modelitzacioacute deis cinc semivariogrames
experimentals
El procediment eacutes el seguumlent
Partim de la mostra de 100 dades que segueix una distribucioacute 10gnormaL
Per cada una de les categories creem una columna de O i 1 de manera que si aquell
punt concret eacutes per sota del punt de tall el valor que pren la variable dicotoacutemica eacutes 1 i si eacutes
per sobre pren el valor O
Els semivariogrames els creem amb aquestes cinc columnes de zeros i uns
Per cada semivariograma provem dajustar un model esfeacuteric i un dexponencial Aquests dos
tipus de models els anirem ajustant a ull movent el valor del rang i de Iabast Partim
daquests models per ser els meacutes habituals en la realitat i ens quedarem amb el que ajusti millor deis dos [ref 2]
A continuacioacute presentem els resultats daquests ajustaments per a cada punt de tall
Capiacutetol 5 Desenvolupament del proiecte
Categoriacutea 1 y(h)
Model Exponencial Abast =8 Model Esferic Abast = 75
Meseta =003 Meseta = 003
VARIOGRANlA CATEGORIA 1
005
004 sectr bull ESF= ro E 003 E ro O)
002
001
000
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 531 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 1
)1
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Categoria 2
Model Exponencial Abast = 4 Model Esferic Abast = 4
Meseta = 022 Meseta = 022
VARIOGRAMA CATEGORIA 2
025
--
c bull ESF- sectro 020
E E ro Ogt
015
010
8 10 12
Figura 532 Model de semivariograma esferic i exponencial per la categoria 2
o 2 4 6
Ihl
Capitol 5 Desenvolupament del projecte
Categoriacutea 3
ModeJ Exponencial Abast =7 ModeJ Esferic Abast =6
Meseta =027 Meseta = 0265
VARIOGRAMA CATEGORIA 3
03
~ c (1] ~E 02E (1]
Ogt
01
o 2 4 6
Ihl
Figura 533 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 3
8 10 12
)9
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Categoria 4
Model Exponencial Abast = 5 Model Esfeacuteric Abast = 4
Meseta = 02 Meseta = 02
VARIOGRAMA CATEGORIA 4
03
~ ~ -- ro E ~
02 E ro Ogt
01
deg 2 4 6
Ihl
Figura 534 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 4
8 10 12
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Categoriacutea 5
Model Exponencial Abast =4 Model Esferic Abast = 3
Meseta =006 Meseta = 006
VARIOGRAMA CATEGORIA 5
008
= sect~ 007-shy ESFro E E 006 ro Ol
005
004
003
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 535 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 5
Capiacutetol5 Desenvolupament del projecte
Mirant els cinc grafics veiem que el model que ajusta millor eacutes Iesferic en tots els casos
encara que no hi ha diferencies massa significatives respecte el model exponencial A meacutes
observem una certa simetria pel que fa a la meseta i abast de cada un deis models esferics
de cada categoria Taula 532
Cat 1 Cat2 Cat3 Cat4 Cat5
Meseta 003 022 0265 02 006
Abast 75 4 6 4 3
Taula 532 Meseta i abast per cada categoria
Aquesta simetria sobserva sobretot per les categories 2 3 i 4
Els models corresponents a les categories 1 i 5 no ajusten del tot beacute degut a que soacuten les
categories deis extrems i per tant la gran majoria de mostres si no totes estaran per sobre o
per sota respectivament
Ara ja podem fer Iestimacioacute per krigeat indicador Al programa ik3d li introduim els cinc
models de semivariogrames per tal que ens calculi Iestimacioacute
El resultat que obtenim soacuten cinc columnes de 625 dades on els valors van de O a 1
Concretament ens calcula la probabilitat de que el valor atorgat a cada punt sigui inferior al
daquell cut-off
El que es preteacuten ara eacutes a partir daquest conjunt de probabilitats interpolar la mediana per a
cada un deis punts de la xarxa per tant el que fem eacutes executar el programa postik en Iopcioacute
3 de manera que ens tregui Iestimacioacute de la mediana
A continuacioacute passem a detallar en que consisteix el postik Per tal de poder-ho expressar
millor ens centrare m en un punt concret de la xarxa el (30)
- - - - -
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Els tercer valor de cada una de les 5 columnes obtingudes amb el krigeat indicador eacutes a dir
els valors corresponents a la mostra situada en el node (30) representen la probabilitat de
que el valor de la variable en aquest punt sigui major que cada un deis cut-off
respectivament aixiacute podem afirmar que
P(Xiexcl lt el ) = P(x(3Q) lt 00995) =00000
P(xiexcl lt e2) = P(X(3 Q) lt 03764) =00397
P(xiexcl lt c3) = P(X(30) lt 07314) = 00409
P(xiexcl lt e4) = P(X(30) lt 12705) = 02079
P(xiexcl lt e5) = P(X(3 0) lt 25402) =10000
Si ara grafiquem aquests 5 valors obtenim una estimacioacute de la probabilitat que teacute el punt
estudiat (30) de ser meacutes petit que qualsevol valor eacutes a dir Iestimacioacute de la funcioacute de
probabilitat en aquest punt Com que el que es preteacuten estimar en el nostre estudi eacutes la
mediana mirarem quin valor aproxima per la probabilitat del 05 eacutes a dir
m tal que P(X(30) lt m) = 05
Per aixoacute tracem una liacutenia a Ialcada 05 i daquesta manera obtenim el valor estimat de la
mediana Aquest valor correspon al valor que obtenim amb el POSTIK que eacutes per aquesta
primera observacioacute 06983
10
x v 6 68 05 o
00
Figura 536 Els 5 cut-off aplicats al punt (30)
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Laplicacioacute del POSTIK realitza aquesta estimacioacute per a cada un deis punts obtinguts (625)
i daquesta manera podem obten ir una interpolacioacute de la mediana per cada un deis valors a
estimar
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
SEMIVARIOGRAMA DE LA MOSTRA
model exponencial
12
= r 07 -- ca E E ca O)
02
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 541 Semivariograma experimental amb un model exponencial
Aquest model obtingut a ull teacute els seguumlents parametres abast=7
meseta=1 05
Aplicant aquest valors al model general obtenim la formulacioacute per a les nostres dades
46
middotCapiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
MODEL ESFERIC La formulacioacute general eacutes
sih a
sih gt a
on a eacutes Iabast i c la meseta
SEMIVARIOGRAMA DE LA MOSTRA
model esferic
12
---shyro E 07 E ro Ol
02
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 54 2 Semivariograma experimental amb un model esfeacuterico
Aquest model Ihem obtingut de la mateixa manera que Ianterior a ull i els seus
parametres que tambeacute aplicarem a la forma general soacuten abast=6 i meseta=1
47
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Finalment pode m representar la superfiacutecie que hem estimat a partir del krigeat
lognormal utilitzant un grafic de superfiacutecie (Figura 54 5)
6
5
Krig Logn 3
2
o
20 eix y
Figura 545 Grafic de superfiacutecie pel krigeat lognormal
50
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
61 Regressioacute lineal
Per tal de dur a terme la compara cioacute entre els dos meacutetodes destimacioacute i les dades que
simulen la realitat hem expressat els resultats obtinguts graficament mitjancant els
grafics de punts ajustant en cada cas la recta de regressioacute i dibuixant la bisectriu Cal
tenir en compte que per augmentar la claredat i per a simplificar la interpretacioacute deis
resultat hem transformat les dades a una N(O1) encara que el nostre estudi es basi en
un model lognormal
Passem a continuacioacute a analitzar els grafics
En primer lIoc (Figura 611) tenim el grafic de punts entre les dades obtingudes amb el
primer meacutetode destimacioacute el krigeat lognormal i les dades provinents de la simula cioacute
de la realitat
Regression Plot y =3a1E -02jo O6lt40216X
R-Sq = 594
_0 ro
ro EID o middot Ole
~~ -2
-3
- -3 -2 -1
redade regresioacute
Bisectriu
realitat simulada
Figura 611 Recta de regressioacute entre el krigeat lognormal i la simulacioacute de la realitat
Si mirem aquest grafic podem observar que el valor de Iestimacioacute realitzada
sobreestima els valors petits de la simulacioacute i en canvi en els valors grans subestima
El coeficient de correlacioacute es del 594 eacutes a dir que el meacutetode del krigeat lognormal
explica un 594 de la realitat
52
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
Passem ara a realitzar el gratic entre el segon meto de destimacioacute el krigeat indicador
i la realitat simulada (Figura 612)
0 _O
m~ 0)-- o
~~ -1
-2
-3
Regression Plot y = -23E-02 + 0711 615X
R-Sq 526
bull bull
-3 -2 -1
realitat simulada
recta de regresi oacute
I Bisectriu
Figura 612 Recta de regressioacute entre el krigeat indicador i la simulacioacute de la realitat
Podem observar que el gratic obtingut eacutes molt semblant a Ianterior i que ens trobem
amb el mateix problema de sobreestimacioacute deis valors petits i subestimacioacute deis valors
grans de la simulacioacute
El valor del coeticient de correlacioacute tambeacute eacutes torga semblant 52 6 Aixiacute doncs la
realitat eacutes explicada en un 526 pel krigeat indicador
53
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
Finalment i per tenir una idea de la relacioacute que hi ha entre els dos meacutetodes emprats en
el projecte realitzarem un uacuteltim grafic comparatiu (Figura 613) que representa els dos
meacutetodes destimacioacute el krigeat lognormal i el krigeat indicador
Regression Plot y = -7 SE-02 + 105401X
R-Sq 796
middot2
middot3
recta de regresi6
bull Bisectriu
middot 4 middot3 middot2 -1
krigeat lognormal
Figura 613 Recta de regressioacute entre el krigeat lognormal i el krigeat indicador
En aquest cas podem observar que la recta de regressioacute coincideix gairebeacute a la
perfeccioacute amb la bisectriu cosa que vol dir que els dos meacutetodes soacuten molt semblants
entre siacute i que per tant eacutes normal que Iaproximacioacute de cada un dells a la realitat sigui
semblant
El valor de la regressioacute eacutes meacutes gran que en els altres dos casos 796 eacutes a dir que
els dos meacutetodes no donen resultats significativament diferents entre si
Podem observar un conjunt de dades que prenen valors especialment elevats en
Iestimacioacute per krigeat indicador Si analitzem aquests punts podem comprovar que
soacuten punts que tenen una probabilitat de ser meacutes grans que el cinqueacute cut-off (percentil
097) igual a 1 Per tant aquest tipus de punts no shan de tenir en compte en el
moment dextreure conclusions De fet aixo ja es sospitava en el grafic anterior pero
en que en aquell hi ha una elevada dispersioacute i per tant Iefecte queda dissimulat
54
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
El surface plot eacutes una eina molt uacutetil ja que ens doacutena una visioacute de com es la nostra realitat a
Iespai A meacutes un cop haguem fet les dues estimacions tambeacute podrem fer el surface plot i
amb un cop dull podrem treure una primera impressioacute de si les estimacions han estat bones
o no
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
52 La mostra
A partir de les dades que hem obtingut amb la simulacioacute prenem una mostra aleatoria
de 100 dades a partir de la qual realitzarem les dues estimacions de la realitat Cal
tenir en compte que a partir daquest moment es treballara sobre la mostra i no sobre
les dades simulades que en Iexperimentacioacute real soacuten desconegudes
La mostra sha pres de forma que constitueixi una bona representacioacute del total de la
xarxa La figura 521 mostra la localitzacioacute de cada una de les dades que formen part
de la mostra sobre la xarxa inicial de 25x25 nodes
20 shy
gt x middotcv 10 _
o shy
middot o
bull It bullbullbullbullbullbull bull middot 4 bull bull bull bullbullbull bullbullbullbull bull bull bullbullbullbullbull bull bull bull bull bull bullbullbullbullbull bull bull bullbullbull -Jf bull middot middot middot bull middot 1t bullbullbullbull bullbullbullmiddot o bull bull bull bull bullbull bull bull bull bullbull II JI Jt bull bullbullbull lttt bullbullbull bullbullbull bullbull bull bull bull bullbull bull shy ~ ~ ~ ~ ~ It bull bull bullbullbull bull bull bullbullbull bullbull bull bullbullbullbull bullbull bull bull bull bullbullbullbullbullbull ti bull bull -41 bull bull bull bull bull bull jf middot bull bullbullbull -If bull bull bull 1( bull bullbull bull middot middot - bullbullbullbullbull bull bullbull bullbullbullbullbullbull bull bull bull bullbullbullbull bullbull bull
o 10 20
eix x
Figura 521 Distribucioacute de la mostra dins la xarxa real
La mostra obtinguda conserva les propietats de les dades provinents de la simulacioacute
daquesta manera podem afirmar que eacutes una bona extrapolacioacute de la realitat Vegem a
continuacioacute la descriptiva (Taula 52 1) i Ihistograma de la mostra (Figura 522) amb el
grafic de probabilitats (Figura 52 3) Podem observar que segueix efectivament una
distribucioacute lognormal
Variable N Mean Median TrMean StDev SE Mean rnos tra 1 00 1 0552 0 8330 0 9458 0 9566 0 0957
Variable Minimum Maximum Ql Q3 rnost ra 0 0250 441 85 0 328 1 1 3714
Taula 521 Descriptiva de la mostra
33
Capiacutetol 5 Desenvoluparnent del proiecte
30
gtshyo 20c Q) J oshy~
LL 10
-
1--
- --r--
n I Io
o 2 3 4 5 mostra
Figura 522 Histograma de la mostra
Lognormal Probability Plot for mostra
99
I 95
_ 90 - l -~80 70c jIQ) 60
50e 40Q) 30a 20
10 5
bull
~
001 010 100 1000
Data
MLEstimaacutee5
LocaIion -0341481
Scaacutee 0946372
Figura 523 Plot de probabilitat lognormal
34
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
La superfiacutecie descrita per la mostra podem representar-la tambeacute graficament (Figura
524)
mostra
45
40
3 5
30
25
20 15
10
05
00
eixy 20
Figura 524 Superfiacutecie definida per la mostra
35
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
53 Lestimacioacute per krigeat indicador
Per tal de realitzar el krigeat indicador definim 5 punts de tall o cut-off Aquests punts de tall
els escollim de forma que guardin simetria respecte el percentil del 50 tal i com mostra la
taula 531
Categoria Percentil Percentatge
1 90 009952
2 300 037637
3 500 073142
4 700 127046
5 910 254092
Taula 531 Els cinc punts de tall escollits
Un cop decidides les categories o punts de tall necessitem saber el semivariograma que
segueixen cada una delles per a poder dur a terme el krigeat indicador ja que Iestimacioacute
realitzada a partir daquest rneacutetode requereix una modelitzacioacute deis cinc semivariogrames
experimentals
El procediment eacutes el seguumlent
Partim de la mostra de 100 dades que segueix una distribucioacute 10gnormaL
Per cada una de les categories creem una columna de O i 1 de manera que si aquell
punt concret eacutes per sota del punt de tall el valor que pren la variable dicotoacutemica eacutes 1 i si eacutes
per sobre pren el valor O
Els semivariogrames els creem amb aquestes cinc columnes de zeros i uns
Per cada semivariograma provem dajustar un model esfeacuteric i un dexponencial Aquests dos
tipus de models els anirem ajustant a ull movent el valor del rang i de Iabast Partim
daquests models per ser els meacutes habituals en la realitat i ens quedarem amb el que ajusti millor deis dos [ref 2]
A continuacioacute presentem els resultats daquests ajustaments per a cada punt de tall
Capiacutetol 5 Desenvolupament del proiecte
Categoriacutea 1 y(h)
Model Exponencial Abast =8 Model Esferic Abast = 75
Meseta =003 Meseta = 003
VARIOGRANlA CATEGORIA 1
005
004 sectr bull ESF= ro E 003 E ro O)
002
001
000
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 531 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 1
)1
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Categoria 2
Model Exponencial Abast = 4 Model Esferic Abast = 4
Meseta = 022 Meseta = 022
VARIOGRAMA CATEGORIA 2
025
--
c bull ESF- sectro 020
E E ro Ogt
015
010
8 10 12
Figura 532 Model de semivariograma esferic i exponencial per la categoria 2
o 2 4 6
Ihl
Capitol 5 Desenvolupament del projecte
Categoriacutea 3
ModeJ Exponencial Abast =7 ModeJ Esferic Abast =6
Meseta =027 Meseta = 0265
VARIOGRAMA CATEGORIA 3
03
~ c (1] ~E 02E (1]
Ogt
01
o 2 4 6
Ihl
Figura 533 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 3
8 10 12
)9
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Categoria 4
Model Exponencial Abast = 5 Model Esfeacuteric Abast = 4
Meseta = 02 Meseta = 02
VARIOGRAMA CATEGORIA 4
03
~ ~ -- ro E ~
02 E ro Ogt
01
deg 2 4 6
Ihl
Figura 534 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 4
8 10 12
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Categoriacutea 5
Model Exponencial Abast =4 Model Esferic Abast = 3
Meseta =006 Meseta = 006
VARIOGRAMA CATEGORIA 5
008
= sect~ 007-shy ESFro E E 006 ro Ol
005
004
003
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 535 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 5
Capiacutetol5 Desenvolupament del projecte
Mirant els cinc grafics veiem que el model que ajusta millor eacutes Iesferic en tots els casos
encara que no hi ha diferencies massa significatives respecte el model exponencial A meacutes
observem una certa simetria pel que fa a la meseta i abast de cada un deis models esferics
de cada categoria Taula 532
Cat 1 Cat2 Cat3 Cat4 Cat5
Meseta 003 022 0265 02 006
Abast 75 4 6 4 3
Taula 532 Meseta i abast per cada categoria
Aquesta simetria sobserva sobretot per les categories 2 3 i 4
Els models corresponents a les categories 1 i 5 no ajusten del tot beacute degut a que soacuten les
categories deis extrems i per tant la gran majoria de mostres si no totes estaran per sobre o
per sota respectivament
Ara ja podem fer Iestimacioacute per krigeat indicador Al programa ik3d li introduim els cinc
models de semivariogrames per tal que ens calculi Iestimacioacute
El resultat que obtenim soacuten cinc columnes de 625 dades on els valors van de O a 1
Concretament ens calcula la probabilitat de que el valor atorgat a cada punt sigui inferior al
daquell cut-off
El que es preteacuten ara eacutes a partir daquest conjunt de probabilitats interpolar la mediana per a
cada un deis punts de la xarxa per tant el que fem eacutes executar el programa postik en Iopcioacute
3 de manera que ens tregui Iestimacioacute de la mediana
A continuacioacute passem a detallar en que consisteix el postik Per tal de poder-ho expressar
millor ens centrare m en un punt concret de la xarxa el (30)
- - - - -
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Els tercer valor de cada una de les 5 columnes obtingudes amb el krigeat indicador eacutes a dir
els valors corresponents a la mostra situada en el node (30) representen la probabilitat de
que el valor de la variable en aquest punt sigui major que cada un deis cut-off
respectivament aixiacute podem afirmar que
P(Xiexcl lt el ) = P(x(3Q) lt 00995) =00000
P(xiexcl lt e2) = P(X(3 Q) lt 03764) =00397
P(xiexcl lt c3) = P(X(30) lt 07314) = 00409
P(xiexcl lt e4) = P(X(30) lt 12705) = 02079
P(xiexcl lt e5) = P(X(3 0) lt 25402) =10000
Si ara grafiquem aquests 5 valors obtenim una estimacioacute de la probabilitat que teacute el punt
estudiat (30) de ser meacutes petit que qualsevol valor eacutes a dir Iestimacioacute de la funcioacute de
probabilitat en aquest punt Com que el que es preteacuten estimar en el nostre estudi eacutes la
mediana mirarem quin valor aproxima per la probabilitat del 05 eacutes a dir
m tal que P(X(30) lt m) = 05
Per aixoacute tracem una liacutenia a Ialcada 05 i daquesta manera obtenim el valor estimat de la
mediana Aquest valor correspon al valor que obtenim amb el POSTIK que eacutes per aquesta
primera observacioacute 06983
10
x v 6 68 05 o
00
Figura 536 Els 5 cut-off aplicats al punt (30)
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Laplicacioacute del POSTIK realitza aquesta estimacioacute per a cada un deis punts obtinguts (625)
i daquesta manera podem obten ir una interpolacioacute de la mediana per cada un deis valors a
estimar
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
SEMIVARIOGRAMA DE LA MOSTRA
model exponencial
12
= r 07 -- ca E E ca O)
02
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 541 Semivariograma experimental amb un model exponencial
Aquest model obtingut a ull teacute els seguumlents parametres abast=7
meseta=1 05
Aplicant aquest valors al model general obtenim la formulacioacute per a les nostres dades
46
middotCapiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
MODEL ESFERIC La formulacioacute general eacutes
sih a
sih gt a
on a eacutes Iabast i c la meseta
SEMIVARIOGRAMA DE LA MOSTRA
model esferic
12
---shyro E 07 E ro Ol
02
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 54 2 Semivariograma experimental amb un model esfeacuterico
Aquest model Ihem obtingut de la mateixa manera que Ianterior a ull i els seus
parametres que tambeacute aplicarem a la forma general soacuten abast=6 i meseta=1
47
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Finalment pode m representar la superfiacutecie que hem estimat a partir del krigeat
lognormal utilitzant un grafic de superfiacutecie (Figura 54 5)
6
5
Krig Logn 3
2
o
20 eix y
Figura 545 Grafic de superfiacutecie pel krigeat lognormal
50
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
61 Regressioacute lineal
Per tal de dur a terme la compara cioacute entre els dos meacutetodes destimacioacute i les dades que
simulen la realitat hem expressat els resultats obtinguts graficament mitjancant els
grafics de punts ajustant en cada cas la recta de regressioacute i dibuixant la bisectriu Cal
tenir en compte que per augmentar la claredat i per a simplificar la interpretacioacute deis
resultat hem transformat les dades a una N(O1) encara que el nostre estudi es basi en
un model lognormal
Passem a continuacioacute a analitzar els grafics
En primer lIoc (Figura 611) tenim el grafic de punts entre les dades obtingudes amb el
primer meacutetode destimacioacute el krigeat lognormal i les dades provinents de la simula cioacute
de la realitat
Regression Plot y =3a1E -02jo O6lt40216X
R-Sq = 594
_0 ro
ro EID o middot Ole
~~ -2
-3
- -3 -2 -1
redade regresioacute
Bisectriu
realitat simulada
Figura 611 Recta de regressioacute entre el krigeat lognormal i la simulacioacute de la realitat
Si mirem aquest grafic podem observar que el valor de Iestimacioacute realitzada
sobreestima els valors petits de la simulacioacute i en canvi en els valors grans subestima
El coeficient de correlacioacute es del 594 eacutes a dir que el meacutetode del krigeat lognormal
explica un 594 de la realitat
52
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
Passem ara a realitzar el gratic entre el segon meto de destimacioacute el krigeat indicador
i la realitat simulada (Figura 612)
0 _O
m~ 0)-- o
~~ -1
-2
-3
Regression Plot y = -23E-02 + 0711 615X
R-Sq 526
bull bull
-3 -2 -1
realitat simulada
recta de regresi oacute
I Bisectriu
Figura 612 Recta de regressioacute entre el krigeat indicador i la simulacioacute de la realitat
Podem observar que el gratic obtingut eacutes molt semblant a Ianterior i que ens trobem
amb el mateix problema de sobreestimacioacute deis valors petits i subestimacioacute deis valors
grans de la simulacioacute
El valor del coeticient de correlacioacute tambeacute eacutes torga semblant 52 6 Aixiacute doncs la
realitat eacutes explicada en un 526 pel krigeat indicador
53
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
Finalment i per tenir una idea de la relacioacute que hi ha entre els dos meacutetodes emprats en
el projecte realitzarem un uacuteltim grafic comparatiu (Figura 613) que representa els dos
meacutetodes destimacioacute el krigeat lognormal i el krigeat indicador
Regression Plot y = -7 SE-02 + 105401X
R-Sq 796
middot2
middot3
recta de regresi6
bull Bisectriu
middot 4 middot3 middot2 -1
krigeat lognormal
Figura 613 Recta de regressioacute entre el krigeat lognormal i el krigeat indicador
En aquest cas podem observar que la recta de regressioacute coincideix gairebeacute a la
perfeccioacute amb la bisectriu cosa que vol dir que els dos meacutetodes soacuten molt semblants
entre siacute i que per tant eacutes normal que Iaproximacioacute de cada un dells a la realitat sigui
semblant
El valor de la regressioacute eacutes meacutes gran que en els altres dos casos 796 eacutes a dir que
els dos meacutetodes no donen resultats significativament diferents entre si
Podem observar un conjunt de dades que prenen valors especialment elevats en
Iestimacioacute per krigeat indicador Si analitzem aquests punts podem comprovar que
soacuten punts que tenen una probabilitat de ser meacutes grans que el cinqueacute cut-off (percentil
097) igual a 1 Per tant aquest tipus de punts no shan de tenir en compte en el
moment dextreure conclusions De fet aixo ja es sospitava en el grafic anterior pero
en que en aquell hi ha una elevada dispersioacute i per tant Iefecte queda dissimulat
54
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
52 La mostra
A partir de les dades que hem obtingut amb la simulacioacute prenem una mostra aleatoria
de 100 dades a partir de la qual realitzarem les dues estimacions de la realitat Cal
tenir en compte que a partir daquest moment es treballara sobre la mostra i no sobre
les dades simulades que en Iexperimentacioacute real soacuten desconegudes
La mostra sha pres de forma que constitueixi una bona representacioacute del total de la
xarxa La figura 521 mostra la localitzacioacute de cada una de les dades que formen part
de la mostra sobre la xarxa inicial de 25x25 nodes
20 shy
gt x middotcv 10 _
o shy
middot o
bull It bullbullbullbullbullbull bull middot 4 bull bull bull bullbullbull bullbullbullbull bull bull bullbullbullbullbull bull bull bull bull bull bullbullbullbullbull bull bull bullbullbull -Jf bull middot middot middot bull middot 1t bullbullbullbull bullbullbullmiddot o bull bull bull bull bullbull bull bull bull bullbull II JI Jt bull bullbullbull lttt bullbullbull bullbullbull bullbull bull bull bull bullbull bull shy ~ ~ ~ ~ ~ It bull bull bullbullbull bull bull bullbullbull bullbull bull bullbullbullbull bullbull bull bull bull bullbullbullbullbullbull ti bull bull -41 bull bull bull bull bull bull jf middot bull bullbullbull -If bull bull bull 1( bull bullbull bull middot middot - bullbullbullbullbull bull bullbull bullbullbullbullbullbull bull bull bull bullbullbullbull bullbull bull
o 10 20
eix x
Figura 521 Distribucioacute de la mostra dins la xarxa real
La mostra obtinguda conserva les propietats de les dades provinents de la simulacioacute
daquesta manera podem afirmar que eacutes una bona extrapolacioacute de la realitat Vegem a
continuacioacute la descriptiva (Taula 52 1) i Ihistograma de la mostra (Figura 522) amb el
grafic de probabilitats (Figura 52 3) Podem observar que segueix efectivament una
distribucioacute lognormal
Variable N Mean Median TrMean StDev SE Mean rnos tra 1 00 1 0552 0 8330 0 9458 0 9566 0 0957
Variable Minimum Maximum Ql Q3 rnost ra 0 0250 441 85 0 328 1 1 3714
Taula 521 Descriptiva de la mostra
33
Capiacutetol 5 Desenvoluparnent del proiecte
30
gtshyo 20c Q) J oshy~
LL 10
-
1--
- --r--
n I Io
o 2 3 4 5 mostra
Figura 522 Histograma de la mostra
Lognormal Probability Plot for mostra
99
I 95
_ 90 - l -~80 70c jIQ) 60
50e 40Q) 30a 20
10 5
bull
~
001 010 100 1000
Data
MLEstimaacutee5
LocaIion -0341481
Scaacutee 0946372
Figura 523 Plot de probabilitat lognormal
34
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
La superfiacutecie descrita per la mostra podem representar-la tambeacute graficament (Figura
524)
mostra
45
40
3 5
30
25
20 15
10
05
00
eixy 20
Figura 524 Superfiacutecie definida per la mostra
35
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
53 Lestimacioacute per krigeat indicador
Per tal de realitzar el krigeat indicador definim 5 punts de tall o cut-off Aquests punts de tall
els escollim de forma que guardin simetria respecte el percentil del 50 tal i com mostra la
taula 531
Categoria Percentil Percentatge
1 90 009952
2 300 037637
3 500 073142
4 700 127046
5 910 254092
Taula 531 Els cinc punts de tall escollits
Un cop decidides les categories o punts de tall necessitem saber el semivariograma que
segueixen cada una delles per a poder dur a terme el krigeat indicador ja que Iestimacioacute
realitzada a partir daquest rneacutetode requereix una modelitzacioacute deis cinc semivariogrames
experimentals
El procediment eacutes el seguumlent
Partim de la mostra de 100 dades que segueix una distribucioacute 10gnormaL
Per cada una de les categories creem una columna de O i 1 de manera que si aquell
punt concret eacutes per sota del punt de tall el valor que pren la variable dicotoacutemica eacutes 1 i si eacutes
per sobre pren el valor O
Els semivariogrames els creem amb aquestes cinc columnes de zeros i uns
Per cada semivariograma provem dajustar un model esfeacuteric i un dexponencial Aquests dos
tipus de models els anirem ajustant a ull movent el valor del rang i de Iabast Partim
daquests models per ser els meacutes habituals en la realitat i ens quedarem amb el que ajusti millor deis dos [ref 2]
A continuacioacute presentem els resultats daquests ajustaments per a cada punt de tall
Capiacutetol 5 Desenvolupament del proiecte
Categoriacutea 1 y(h)
Model Exponencial Abast =8 Model Esferic Abast = 75
Meseta =003 Meseta = 003
VARIOGRANlA CATEGORIA 1
005
004 sectr bull ESF= ro E 003 E ro O)
002
001
000
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 531 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 1
)1
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Categoria 2
Model Exponencial Abast = 4 Model Esferic Abast = 4
Meseta = 022 Meseta = 022
VARIOGRAMA CATEGORIA 2
025
--
c bull ESF- sectro 020
E E ro Ogt
015
010
8 10 12
Figura 532 Model de semivariograma esferic i exponencial per la categoria 2
o 2 4 6
Ihl
Capitol 5 Desenvolupament del projecte
Categoriacutea 3
ModeJ Exponencial Abast =7 ModeJ Esferic Abast =6
Meseta =027 Meseta = 0265
VARIOGRAMA CATEGORIA 3
03
~ c (1] ~E 02E (1]
Ogt
01
o 2 4 6
Ihl
Figura 533 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 3
8 10 12
)9
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Categoria 4
Model Exponencial Abast = 5 Model Esfeacuteric Abast = 4
Meseta = 02 Meseta = 02
VARIOGRAMA CATEGORIA 4
03
~ ~ -- ro E ~
02 E ro Ogt
01
deg 2 4 6
Ihl
Figura 534 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 4
8 10 12
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Categoriacutea 5
Model Exponencial Abast =4 Model Esferic Abast = 3
Meseta =006 Meseta = 006
VARIOGRAMA CATEGORIA 5
008
= sect~ 007-shy ESFro E E 006 ro Ol
005
004
003
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 535 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 5
Capiacutetol5 Desenvolupament del projecte
Mirant els cinc grafics veiem que el model que ajusta millor eacutes Iesferic en tots els casos
encara que no hi ha diferencies massa significatives respecte el model exponencial A meacutes
observem una certa simetria pel que fa a la meseta i abast de cada un deis models esferics
de cada categoria Taula 532
Cat 1 Cat2 Cat3 Cat4 Cat5
Meseta 003 022 0265 02 006
Abast 75 4 6 4 3
Taula 532 Meseta i abast per cada categoria
Aquesta simetria sobserva sobretot per les categories 2 3 i 4
Els models corresponents a les categories 1 i 5 no ajusten del tot beacute degut a que soacuten les
categories deis extrems i per tant la gran majoria de mostres si no totes estaran per sobre o
per sota respectivament
Ara ja podem fer Iestimacioacute per krigeat indicador Al programa ik3d li introduim els cinc
models de semivariogrames per tal que ens calculi Iestimacioacute
El resultat que obtenim soacuten cinc columnes de 625 dades on els valors van de O a 1
Concretament ens calcula la probabilitat de que el valor atorgat a cada punt sigui inferior al
daquell cut-off
El que es preteacuten ara eacutes a partir daquest conjunt de probabilitats interpolar la mediana per a
cada un deis punts de la xarxa per tant el que fem eacutes executar el programa postik en Iopcioacute
3 de manera que ens tregui Iestimacioacute de la mediana
A continuacioacute passem a detallar en que consisteix el postik Per tal de poder-ho expressar
millor ens centrare m en un punt concret de la xarxa el (30)
- - - - -
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Els tercer valor de cada una de les 5 columnes obtingudes amb el krigeat indicador eacutes a dir
els valors corresponents a la mostra situada en el node (30) representen la probabilitat de
que el valor de la variable en aquest punt sigui major que cada un deis cut-off
respectivament aixiacute podem afirmar que
P(Xiexcl lt el ) = P(x(3Q) lt 00995) =00000
P(xiexcl lt e2) = P(X(3 Q) lt 03764) =00397
P(xiexcl lt c3) = P(X(30) lt 07314) = 00409
P(xiexcl lt e4) = P(X(30) lt 12705) = 02079
P(xiexcl lt e5) = P(X(3 0) lt 25402) =10000
Si ara grafiquem aquests 5 valors obtenim una estimacioacute de la probabilitat que teacute el punt
estudiat (30) de ser meacutes petit que qualsevol valor eacutes a dir Iestimacioacute de la funcioacute de
probabilitat en aquest punt Com que el que es preteacuten estimar en el nostre estudi eacutes la
mediana mirarem quin valor aproxima per la probabilitat del 05 eacutes a dir
m tal que P(X(30) lt m) = 05
Per aixoacute tracem una liacutenia a Ialcada 05 i daquesta manera obtenim el valor estimat de la
mediana Aquest valor correspon al valor que obtenim amb el POSTIK que eacutes per aquesta
primera observacioacute 06983
10
x v 6 68 05 o
00
Figura 536 Els 5 cut-off aplicats al punt (30)
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Laplicacioacute del POSTIK realitza aquesta estimacioacute per a cada un deis punts obtinguts (625)
i daquesta manera podem obten ir una interpolacioacute de la mediana per cada un deis valors a
estimar
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
SEMIVARIOGRAMA DE LA MOSTRA
model exponencial
12
= r 07 -- ca E E ca O)
02
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 541 Semivariograma experimental amb un model exponencial
Aquest model obtingut a ull teacute els seguumlents parametres abast=7
meseta=1 05
Aplicant aquest valors al model general obtenim la formulacioacute per a les nostres dades
46
middotCapiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
MODEL ESFERIC La formulacioacute general eacutes
sih a
sih gt a
on a eacutes Iabast i c la meseta
SEMIVARIOGRAMA DE LA MOSTRA
model esferic
12
---shyro E 07 E ro Ol
02
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 54 2 Semivariograma experimental amb un model esfeacuterico
Aquest model Ihem obtingut de la mateixa manera que Ianterior a ull i els seus
parametres que tambeacute aplicarem a la forma general soacuten abast=6 i meseta=1
47
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Finalment pode m representar la superfiacutecie que hem estimat a partir del krigeat
lognormal utilitzant un grafic de superfiacutecie (Figura 54 5)
6
5
Krig Logn 3
2
o
20 eix y
Figura 545 Grafic de superfiacutecie pel krigeat lognormal
50
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
61 Regressioacute lineal
Per tal de dur a terme la compara cioacute entre els dos meacutetodes destimacioacute i les dades que
simulen la realitat hem expressat els resultats obtinguts graficament mitjancant els
grafics de punts ajustant en cada cas la recta de regressioacute i dibuixant la bisectriu Cal
tenir en compte que per augmentar la claredat i per a simplificar la interpretacioacute deis
resultat hem transformat les dades a una N(O1) encara que el nostre estudi es basi en
un model lognormal
Passem a continuacioacute a analitzar els grafics
En primer lIoc (Figura 611) tenim el grafic de punts entre les dades obtingudes amb el
primer meacutetode destimacioacute el krigeat lognormal i les dades provinents de la simula cioacute
de la realitat
Regression Plot y =3a1E -02jo O6lt40216X
R-Sq = 594
_0 ro
ro EID o middot Ole
~~ -2
-3
- -3 -2 -1
redade regresioacute
Bisectriu
realitat simulada
Figura 611 Recta de regressioacute entre el krigeat lognormal i la simulacioacute de la realitat
Si mirem aquest grafic podem observar que el valor de Iestimacioacute realitzada
sobreestima els valors petits de la simulacioacute i en canvi en els valors grans subestima
El coeficient de correlacioacute es del 594 eacutes a dir que el meacutetode del krigeat lognormal
explica un 594 de la realitat
52
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
Passem ara a realitzar el gratic entre el segon meto de destimacioacute el krigeat indicador
i la realitat simulada (Figura 612)
0 _O
m~ 0)-- o
~~ -1
-2
-3
Regression Plot y = -23E-02 + 0711 615X
R-Sq 526
bull bull
-3 -2 -1
realitat simulada
recta de regresi oacute
I Bisectriu
Figura 612 Recta de regressioacute entre el krigeat indicador i la simulacioacute de la realitat
Podem observar que el gratic obtingut eacutes molt semblant a Ianterior i que ens trobem
amb el mateix problema de sobreestimacioacute deis valors petits i subestimacioacute deis valors
grans de la simulacioacute
El valor del coeticient de correlacioacute tambeacute eacutes torga semblant 52 6 Aixiacute doncs la
realitat eacutes explicada en un 526 pel krigeat indicador
53
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
Finalment i per tenir una idea de la relacioacute que hi ha entre els dos meacutetodes emprats en
el projecte realitzarem un uacuteltim grafic comparatiu (Figura 613) que representa els dos
meacutetodes destimacioacute el krigeat lognormal i el krigeat indicador
Regression Plot y = -7 SE-02 + 105401X
R-Sq 796
middot2
middot3
recta de regresi6
bull Bisectriu
middot 4 middot3 middot2 -1
krigeat lognormal
Figura 613 Recta de regressioacute entre el krigeat lognormal i el krigeat indicador
En aquest cas podem observar que la recta de regressioacute coincideix gairebeacute a la
perfeccioacute amb la bisectriu cosa que vol dir que els dos meacutetodes soacuten molt semblants
entre siacute i que per tant eacutes normal que Iaproximacioacute de cada un dells a la realitat sigui
semblant
El valor de la regressioacute eacutes meacutes gran que en els altres dos casos 796 eacutes a dir que
els dos meacutetodes no donen resultats significativament diferents entre si
Podem observar un conjunt de dades que prenen valors especialment elevats en
Iestimacioacute per krigeat indicador Si analitzem aquests punts podem comprovar que
soacuten punts que tenen una probabilitat de ser meacutes grans que el cinqueacute cut-off (percentil
097) igual a 1 Per tant aquest tipus de punts no shan de tenir en compte en el
moment dextreure conclusions De fet aixo ja es sospitava en el grafic anterior pero
en que en aquell hi ha una elevada dispersioacute i per tant Iefecte queda dissimulat
54
Capiacutetol 5 Desenvoluparnent del proiecte
30
gtshyo 20c Q) J oshy~
LL 10
-
1--
- --r--
n I Io
o 2 3 4 5 mostra
Figura 522 Histograma de la mostra
Lognormal Probability Plot for mostra
99
I 95
_ 90 - l -~80 70c jIQ) 60
50e 40Q) 30a 20
10 5
bull
~
001 010 100 1000
Data
MLEstimaacutee5
LocaIion -0341481
Scaacutee 0946372
Figura 523 Plot de probabilitat lognormal
34
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
La superfiacutecie descrita per la mostra podem representar-la tambeacute graficament (Figura
524)
mostra
45
40
3 5
30
25
20 15
10
05
00
eixy 20
Figura 524 Superfiacutecie definida per la mostra
35
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
53 Lestimacioacute per krigeat indicador
Per tal de realitzar el krigeat indicador definim 5 punts de tall o cut-off Aquests punts de tall
els escollim de forma que guardin simetria respecte el percentil del 50 tal i com mostra la
taula 531
Categoria Percentil Percentatge
1 90 009952
2 300 037637
3 500 073142
4 700 127046
5 910 254092
Taula 531 Els cinc punts de tall escollits
Un cop decidides les categories o punts de tall necessitem saber el semivariograma que
segueixen cada una delles per a poder dur a terme el krigeat indicador ja que Iestimacioacute
realitzada a partir daquest rneacutetode requereix una modelitzacioacute deis cinc semivariogrames
experimentals
El procediment eacutes el seguumlent
Partim de la mostra de 100 dades que segueix una distribucioacute 10gnormaL
Per cada una de les categories creem una columna de O i 1 de manera que si aquell
punt concret eacutes per sota del punt de tall el valor que pren la variable dicotoacutemica eacutes 1 i si eacutes
per sobre pren el valor O
Els semivariogrames els creem amb aquestes cinc columnes de zeros i uns
Per cada semivariograma provem dajustar un model esfeacuteric i un dexponencial Aquests dos
tipus de models els anirem ajustant a ull movent el valor del rang i de Iabast Partim
daquests models per ser els meacutes habituals en la realitat i ens quedarem amb el que ajusti millor deis dos [ref 2]
A continuacioacute presentem els resultats daquests ajustaments per a cada punt de tall
Capiacutetol 5 Desenvolupament del proiecte
Categoriacutea 1 y(h)
Model Exponencial Abast =8 Model Esferic Abast = 75
Meseta =003 Meseta = 003
VARIOGRANlA CATEGORIA 1
005
004 sectr bull ESF= ro E 003 E ro O)
002
001
000
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 531 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 1
)1
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Categoria 2
Model Exponencial Abast = 4 Model Esferic Abast = 4
Meseta = 022 Meseta = 022
VARIOGRAMA CATEGORIA 2
025
--
c bull ESF- sectro 020
E E ro Ogt
015
010
8 10 12
Figura 532 Model de semivariograma esferic i exponencial per la categoria 2
o 2 4 6
Ihl
Capitol 5 Desenvolupament del projecte
Categoriacutea 3
ModeJ Exponencial Abast =7 ModeJ Esferic Abast =6
Meseta =027 Meseta = 0265
VARIOGRAMA CATEGORIA 3
03
~ c (1] ~E 02E (1]
Ogt
01
o 2 4 6
Ihl
Figura 533 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 3
8 10 12
)9
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Categoria 4
Model Exponencial Abast = 5 Model Esfeacuteric Abast = 4
Meseta = 02 Meseta = 02
VARIOGRAMA CATEGORIA 4
03
~ ~ -- ro E ~
02 E ro Ogt
01
deg 2 4 6
Ihl
Figura 534 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 4
8 10 12
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Categoriacutea 5
Model Exponencial Abast =4 Model Esferic Abast = 3
Meseta =006 Meseta = 006
VARIOGRAMA CATEGORIA 5
008
= sect~ 007-shy ESFro E E 006 ro Ol
005
004
003
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 535 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 5
Capiacutetol5 Desenvolupament del projecte
Mirant els cinc grafics veiem que el model que ajusta millor eacutes Iesferic en tots els casos
encara que no hi ha diferencies massa significatives respecte el model exponencial A meacutes
observem una certa simetria pel que fa a la meseta i abast de cada un deis models esferics
de cada categoria Taula 532
Cat 1 Cat2 Cat3 Cat4 Cat5
Meseta 003 022 0265 02 006
Abast 75 4 6 4 3
Taula 532 Meseta i abast per cada categoria
Aquesta simetria sobserva sobretot per les categories 2 3 i 4
Els models corresponents a les categories 1 i 5 no ajusten del tot beacute degut a que soacuten les
categories deis extrems i per tant la gran majoria de mostres si no totes estaran per sobre o
per sota respectivament
Ara ja podem fer Iestimacioacute per krigeat indicador Al programa ik3d li introduim els cinc
models de semivariogrames per tal que ens calculi Iestimacioacute
El resultat que obtenim soacuten cinc columnes de 625 dades on els valors van de O a 1
Concretament ens calcula la probabilitat de que el valor atorgat a cada punt sigui inferior al
daquell cut-off
El que es preteacuten ara eacutes a partir daquest conjunt de probabilitats interpolar la mediana per a
cada un deis punts de la xarxa per tant el que fem eacutes executar el programa postik en Iopcioacute
3 de manera que ens tregui Iestimacioacute de la mediana
A continuacioacute passem a detallar en que consisteix el postik Per tal de poder-ho expressar
millor ens centrare m en un punt concret de la xarxa el (30)
- - - - -
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Els tercer valor de cada una de les 5 columnes obtingudes amb el krigeat indicador eacutes a dir
els valors corresponents a la mostra situada en el node (30) representen la probabilitat de
que el valor de la variable en aquest punt sigui major que cada un deis cut-off
respectivament aixiacute podem afirmar que
P(Xiexcl lt el ) = P(x(3Q) lt 00995) =00000
P(xiexcl lt e2) = P(X(3 Q) lt 03764) =00397
P(xiexcl lt c3) = P(X(30) lt 07314) = 00409
P(xiexcl lt e4) = P(X(30) lt 12705) = 02079
P(xiexcl lt e5) = P(X(3 0) lt 25402) =10000
Si ara grafiquem aquests 5 valors obtenim una estimacioacute de la probabilitat que teacute el punt
estudiat (30) de ser meacutes petit que qualsevol valor eacutes a dir Iestimacioacute de la funcioacute de
probabilitat en aquest punt Com que el que es preteacuten estimar en el nostre estudi eacutes la
mediana mirarem quin valor aproxima per la probabilitat del 05 eacutes a dir
m tal que P(X(30) lt m) = 05
Per aixoacute tracem una liacutenia a Ialcada 05 i daquesta manera obtenim el valor estimat de la
mediana Aquest valor correspon al valor que obtenim amb el POSTIK que eacutes per aquesta
primera observacioacute 06983
10
x v 6 68 05 o
00
Figura 536 Els 5 cut-off aplicats al punt (30)
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Laplicacioacute del POSTIK realitza aquesta estimacioacute per a cada un deis punts obtinguts (625)
i daquesta manera podem obten ir una interpolacioacute de la mediana per cada un deis valors a
estimar
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
SEMIVARIOGRAMA DE LA MOSTRA
model exponencial
12
= r 07 -- ca E E ca O)
02
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 541 Semivariograma experimental amb un model exponencial
Aquest model obtingut a ull teacute els seguumlents parametres abast=7
meseta=1 05
Aplicant aquest valors al model general obtenim la formulacioacute per a les nostres dades
46
middotCapiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
MODEL ESFERIC La formulacioacute general eacutes
sih a
sih gt a
on a eacutes Iabast i c la meseta
SEMIVARIOGRAMA DE LA MOSTRA
model esferic
12
---shyro E 07 E ro Ol
02
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 54 2 Semivariograma experimental amb un model esfeacuterico
Aquest model Ihem obtingut de la mateixa manera que Ianterior a ull i els seus
parametres que tambeacute aplicarem a la forma general soacuten abast=6 i meseta=1
47
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Finalment pode m representar la superfiacutecie que hem estimat a partir del krigeat
lognormal utilitzant un grafic de superfiacutecie (Figura 54 5)
6
5
Krig Logn 3
2
o
20 eix y
Figura 545 Grafic de superfiacutecie pel krigeat lognormal
50
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
61 Regressioacute lineal
Per tal de dur a terme la compara cioacute entre els dos meacutetodes destimacioacute i les dades que
simulen la realitat hem expressat els resultats obtinguts graficament mitjancant els
grafics de punts ajustant en cada cas la recta de regressioacute i dibuixant la bisectriu Cal
tenir en compte que per augmentar la claredat i per a simplificar la interpretacioacute deis
resultat hem transformat les dades a una N(O1) encara que el nostre estudi es basi en
un model lognormal
Passem a continuacioacute a analitzar els grafics
En primer lIoc (Figura 611) tenim el grafic de punts entre les dades obtingudes amb el
primer meacutetode destimacioacute el krigeat lognormal i les dades provinents de la simula cioacute
de la realitat
Regression Plot y =3a1E -02jo O6lt40216X
R-Sq = 594
_0 ro
ro EID o middot Ole
~~ -2
-3
- -3 -2 -1
redade regresioacute
Bisectriu
realitat simulada
Figura 611 Recta de regressioacute entre el krigeat lognormal i la simulacioacute de la realitat
Si mirem aquest grafic podem observar que el valor de Iestimacioacute realitzada
sobreestima els valors petits de la simulacioacute i en canvi en els valors grans subestima
El coeficient de correlacioacute es del 594 eacutes a dir que el meacutetode del krigeat lognormal
explica un 594 de la realitat
52
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
Passem ara a realitzar el gratic entre el segon meto de destimacioacute el krigeat indicador
i la realitat simulada (Figura 612)
0 _O
m~ 0)-- o
~~ -1
-2
-3
Regression Plot y = -23E-02 + 0711 615X
R-Sq 526
bull bull
-3 -2 -1
realitat simulada
recta de regresi oacute
I Bisectriu
Figura 612 Recta de regressioacute entre el krigeat indicador i la simulacioacute de la realitat
Podem observar que el gratic obtingut eacutes molt semblant a Ianterior i que ens trobem
amb el mateix problema de sobreestimacioacute deis valors petits i subestimacioacute deis valors
grans de la simulacioacute
El valor del coeticient de correlacioacute tambeacute eacutes torga semblant 52 6 Aixiacute doncs la
realitat eacutes explicada en un 526 pel krigeat indicador
53
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
Finalment i per tenir una idea de la relacioacute que hi ha entre els dos meacutetodes emprats en
el projecte realitzarem un uacuteltim grafic comparatiu (Figura 613) que representa els dos
meacutetodes destimacioacute el krigeat lognormal i el krigeat indicador
Regression Plot y = -7 SE-02 + 105401X
R-Sq 796
middot2
middot3
recta de regresi6
bull Bisectriu
middot 4 middot3 middot2 -1
krigeat lognormal
Figura 613 Recta de regressioacute entre el krigeat lognormal i el krigeat indicador
En aquest cas podem observar que la recta de regressioacute coincideix gairebeacute a la
perfeccioacute amb la bisectriu cosa que vol dir que els dos meacutetodes soacuten molt semblants
entre siacute i que per tant eacutes normal que Iaproximacioacute de cada un dells a la realitat sigui
semblant
El valor de la regressioacute eacutes meacutes gran que en els altres dos casos 796 eacutes a dir que
els dos meacutetodes no donen resultats significativament diferents entre si
Podem observar un conjunt de dades que prenen valors especialment elevats en
Iestimacioacute per krigeat indicador Si analitzem aquests punts podem comprovar que
soacuten punts que tenen una probabilitat de ser meacutes grans que el cinqueacute cut-off (percentil
097) igual a 1 Per tant aquest tipus de punts no shan de tenir en compte en el
moment dextreure conclusions De fet aixo ja es sospitava en el grafic anterior pero
en que en aquell hi ha una elevada dispersioacute i per tant Iefecte queda dissimulat
54
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
La superfiacutecie descrita per la mostra podem representar-la tambeacute graficament (Figura
524)
mostra
45
40
3 5
30
25
20 15
10
05
00
eixy 20
Figura 524 Superfiacutecie definida per la mostra
35
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
53 Lestimacioacute per krigeat indicador
Per tal de realitzar el krigeat indicador definim 5 punts de tall o cut-off Aquests punts de tall
els escollim de forma que guardin simetria respecte el percentil del 50 tal i com mostra la
taula 531
Categoria Percentil Percentatge
1 90 009952
2 300 037637
3 500 073142
4 700 127046
5 910 254092
Taula 531 Els cinc punts de tall escollits
Un cop decidides les categories o punts de tall necessitem saber el semivariograma que
segueixen cada una delles per a poder dur a terme el krigeat indicador ja que Iestimacioacute
realitzada a partir daquest rneacutetode requereix una modelitzacioacute deis cinc semivariogrames
experimentals
El procediment eacutes el seguumlent
Partim de la mostra de 100 dades que segueix una distribucioacute 10gnormaL
Per cada una de les categories creem una columna de O i 1 de manera que si aquell
punt concret eacutes per sota del punt de tall el valor que pren la variable dicotoacutemica eacutes 1 i si eacutes
per sobre pren el valor O
Els semivariogrames els creem amb aquestes cinc columnes de zeros i uns
Per cada semivariograma provem dajustar un model esfeacuteric i un dexponencial Aquests dos
tipus de models els anirem ajustant a ull movent el valor del rang i de Iabast Partim
daquests models per ser els meacutes habituals en la realitat i ens quedarem amb el que ajusti millor deis dos [ref 2]
A continuacioacute presentem els resultats daquests ajustaments per a cada punt de tall
Capiacutetol 5 Desenvolupament del proiecte
Categoriacutea 1 y(h)
Model Exponencial Abast =8 Model Esferic Abast = 75
Meseta =003 Meseta = 003
VARIOGRANlA CATEGORIA 1
005
004 sectr bull ESF= ro E 003 E ro O)
002
001
000
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 531 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 1
)1
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Categoria 2
Model Exponencial Abast = 4 Model Esferic Abast = 4
Meseta = 022 Meseta = 022
VARIOGRAMA CATEGORIA 2
025
--
c bull ESF- sectro 020
E E ro Ogt
015
010
8 10 12
Figura 532 Model de semivariograma esferic i exponencial per la categoria 2
o 2 4 6
Ihl
Capitol 5 Desenvolupament del projecte
Categoriacutea 3
ModeJ Exponencial Abast =7 ModeJ Esferic Abast =6
Meseta =027 Meseta = 0265
VARIOGRAMA CATEGORIA 3
03
~ c (1] ~E 02E (1]
Ogt
01
o 2 4 6
Ihl
Figura 533 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 3
8 10 12
)9
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Categoria 4
Model Exponencial Abast = 5 Model Esfeacuteric Abast = 4
Meseta = 02 Meseta = 02
VARIOGRAMA CATEGORIA 4
03
~ ~ -- ro E ~
02 E ro Ogt
01
deg 2 4 6
Ihl
Figura 534 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 4
8 10 12
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Categoriacutea 5
Model Exponencial Abast =4 Model Esferic Abast = 3
Meseta =006 Meseta = 006
VARIOGRAMA CATEGORIA 5
008
= sect~ 007-shy ESFro E E 006 ro Ol
005
004
003
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 535 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 5
Capiacutetol5 Desenvolupament del projecte
Mirant els cinc grafics veiem que el model que ajusta millor eacutes Iesferic en tots els casos
encara que no hi ha diferencies massa significatives respecte el model exponencial A meacutes
observem una certa simetria pel que fa a la meseta i abast de cada un deis models esferics
de cada categoria Taula 532
Cat 1 Cat2 Cat3 Cat4 Cat5
Meseta 003 022 0265 02 006
Abast 75 4 6 4 3
Taula 532 Meseta i abast per cada categoria
Aquesta simetria sobserva sobretot per les categories 2 3 i 4
Els models corresponents a les categories 1 i 5 no ajusten del tot beacute degut a que soacuten les
categories deis extrems i per tant la gran majoria de mostres si no totes estaran per sobre o
per sota respectivament
Ara ja podem fer Iestimacioacute per krigeat indicador Al programa ik3d li introduim els cinc
models de semivariogrames per tal que ens calculi Iestimacioacute
El resultat que obtenim soacuten cinc columnes de 625 dades on els valors van de O a 1
Concretament ens calcula la probabilitat de que el valor atorgat a cada punt sigui inferior al
daquell cut-off
El que es preteacuten ara eacutes a partir daquest conjunt de probabilitats interpolar la mediana per a
cada un deis punts de la xarxa per tant el que fem eacutes executar el programa postik en Iopcioacute
3 de manera que ens tregui Iestimacioacute de la mediana
A continuacioacute passem a detallar en que consisteix el postik Per tal de poder-ho expressar
millor ens centrare m en un punt concret de la xarxa el (30)
- - - - -
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Els tercer valor de cada una de les 5 columnes obtingudes amb el krigeat indicador eacutes a dir
els valors corresponents a la mostra situada en el node (30) representen la probabilitat de
que el valor de la variable en aquest punt sigui major que cada un deis cut-off
respectivament aixiacute podem afirmar que
P(Xiexcl lt el ) = P(x(3Q) lt 00995) =00000
P(xiexcl lt e2) = P(X(3 Q) lt 03764) =00397
P(xiexcl lt c3) = P(X(30) lt 07314) = 00409
P(xiexcl lt e4) = P(X(30) lt 12705) = 02079
P(xiexcl lt e5) = P(X(3 0) lt 25402) =10000
Si ara grafiquem aquests 5 valors obtenim una estimacioacute de la probabilitat que teacute el punt
estudiat (30) de ser meacutes petit que qualsevol valor eacutes a dir Iestimacioacute de la funcioacute de
probabilitat en aquest punt Com que el que es preteacuten estimar en el nostre estudi eacutes la
mediana mirarem quin valor aproxima per la probabilitat del 05 eacutes a dir
m tal que P(X(30) lt m) = 05
Per aixoacute tracem una liacutenia a Ialcada 05 i daquesta manera obtenim el valor estimat de la
mediana Aquest valor correspon al valor que obtenim amb el POSTIK que eacutes per aquesta
primera observacioacute 06983
10
x v 6 68 05 o
00
Figura 536 Els 5 cut-off aplicats al punt (30)
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Laplicacioacute del POSTIK realitza aquesta estimacioacute per a cada un deis punts obtinguts (625)
i daquesta manera podem obten ir una interpolacioacute de la mediana per cada un deis valors a
estimar
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
SEMIVARIOGRAMA DE LA MOSTRA
model exponencial
12
= r 07 -- ca E E ca O)
02
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 541 Semivariograma experimental amb un model exponencial
Aquest model obtingut a ull teacute els seguumlents parametres abast=7
meseta=1 05
Aplicant aquest valors al model general obtenim la formulacioacute per a les nostres dades
46
middotCapiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
MODEL ESFERIC La formulacioacute general eacutes
sih a
sih gt a
on a eacutes Iabast i c la meseta
SEMIVARIOGRAMA DE LA MOSTRA
model esferic
12
---shyro E 07 E ro Ol
02
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 54 2 Semivariograma experimental amb un model esfeacuterico
Aquest model Ihem obtingut de la mateixa manera que Ianterior a ull i els seus
parametres que tambeacute aplicarem a la forma general soacuten abast=6 i meseta=1
47
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Finalment pode m representar la superfiacutecie que hem estimat a partir del krigeat
lognormal utilitzant un grafic de superfiacutecie (Figura 54 5)
6
5
Krig Logn 3
2
o
20 eix y
Figura 545 Grafic de superfiacutecie pel krigeat lognormal
50
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
61 Regressioacute lineal
Per tal de dur a terme la compara cioacute entre els dos meacutetodes destimacioacute i les dades que
simulen la realitat hem expressat els resultats obtinguts graficament mitjancant els
grafics de punts ajustant en cada cas la recta de regressioacute i dibuixant la bisectriu Cal
tenir en compte que per augmentar la claredat i per a simplificar la interpretacioacute deis
resultat hem transformat les dades a una N(O1) encara que el nostre estudi es basi en
un model lognormal
Passem a continuacioacute a analitzar els grafics
En primer lIoc (Figura 611) tenim el grafic de punts entre les dades obtingudes amb el
primer meacutetode destimacioacute el krigeat lognormal i les dades provinents de la simula cioacute
de la realitat
Regression Plot y =3a1E -02jo O6lt40216X
R-Sq = 594
_0 ro
ro EID o middot Ole
~~ -2
-3
- -3 -2 -1
redade regresioacute
Bisectriu
realitat simulada
Figura 611 Recta de regressioacute entre el krigeat lognormal i la simulacioacute de la realitat
Si mirem aquest grafic podem observar que el valor de Iestimacioacute realitzada
sobreestima els valors petits de la simulacioacute i en canvi en els valors grans subestima
El coeficient de correlacioacute es del 594 eacutes a dir que el meacutetode del krigeat lognormal
explica un 594 de la realitat
52
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
Passem ara a realitzar el gratic entre el segon meto de destimacioacute el krigeat indicador
i la realitat simulada (Figura 612)
0 _O
m~ 0)-- o
~~ -1
-2
-3
Regression Plot y = -23E-02 + 0711 615X
R-Sq 526
bull bull
-3 -2 -1
realitat simulada
recta de regresi oacute
I Bisectriu
Figura 612 Recta de regressioacute entre el krigeat indicador i la simulacioacute de la realitat
Podem observar que el gratic obtingut eacutes molt semblant a Ianterior i que ens trobem
amb el mateix problema de sobreestimacioacute deis valors petits i subestimacioacute deis valors
grans de la simulacioacute
El valor del coeticient de correlacioacute tambeacute eacutes torga semblant 52 6 Aixiacute doncs la
realitat eacutes explicada en un 526 pel krigeat indicador
53
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
Finalment i per tenir una idea de la relacioacute que hi ha entre els dos meacutetodes emprats en
el projecte realitzarem un uacuteltim grafic comparatiu (Figura 613) que representa els dos
meacutetodes destimacioacute el krigeat lognormal i el krigeat indicador
Regression Plot y = -7 SE-02 + 105401X
R-Sq 796
middot2
middot3
recta de regresi6
bull Bisectriu
middot 4 middot3 middot2 -1
krigeat lognormal
Figura 613 Recta de regressioacute entre el krigeat lognormal i el krigeat indicador
En aquest cas podem observar que la recta de regressioacute coincideix gairebeacute a la
perfeccioacute amb la bisectriu cosa que vol dir que els dos meacutetodes soacuten molt semblants
entre siacute i que per tant eacutes normal que Iaproximacioacute de cada un dells a la realitat sigui
semblant
El valor de la regressioacute eacutes meacutes gran que en els altres dos casos 796 eacutes a dir que
els dos meacutetodes no donen resultats significativament diferents entre si
Podem observar un conjunt de dades que prenen valors especialment elevats en
Iestimacioacute per krigeat indicador Si analitzem aquests punts podem comprovar que
soacuten punts que tenen una probabilitat de ser meacutes grans que el cinqueacute cut-off (percentil
097) igual a 1 Per tant aquest tipus de punts no shan de tenir en compte en el
moment dextreure conclusions De fet aixo ja es sospitava en el grafic anterior pero
en que en aquell hi ha una elevada dispersioacute i per tant Iefecte queda dissimulat
54
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
53 Lestimacioacute per krigeat indicador
Per tal de realitzar el krigeat indicador definim 5 punts de tall o cut-off Aquests punts de tall
els escollim de forma que guardin simetria respecte el percentil del 50 tal i com mostra la
taula 531
Categoria Percentil Percentatge
1 90 009952
2 300 037637
3 500 073142
4 700 127046
5 910 254092
Taula 531 Els cinc punts de tall escollits
Un cop decidides les categories o punts de tall necessitem saber el semivariograma que
segueixen cada una delles per a poder dur a terme el krigeat indicador ja que Iestimacioacute
realitzada a partir daquest rneacutetode requereix una modelitzacioacute deis cinc semivariogrames
experimentals
El procediment eacutes el seguumlent
Partim de la mostra de 100 dades que segueix una distribucioacute 10gnormaL
Per cada una de les categories creem una columna de O i 1 de manera que si aquell
punt concret eacutes per sota del punt de tall el valor que pren la variable dicotoacutemica eacutes 1 i si eacutes
per sobre pren el valor O
Els semivariogrames els creem amb aquestes cinc columnes de zeros i uns
Per cada semivariograma provem dajustar un model esfeacuteric i un dexponencial Aquests dos
tipus de models els anirem ajustant a ull movent el valor del rang i de Iabast Partim
daquests models per ser els meacutes habituals en la realitat i ens quedarem amb el que ajusti millor deis dos [ref 2]
A continuacioacute presentem els resultats daquests ajustaments per a cada punt de tall
Capiacutetol 5 Desenvolupament del proiecte
Categoriacutea 1 y(h)
Model Exponencial Abast =8 Model Esferic Abast = 75
Meseta =003 Meseta = 003
VARIOGRANlA CATEGORIA 1
005
004 sectr bull ESF= ro E 003 E ro O)
002
001
000
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 531 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 1
)1
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Categoria 2
Model Exponencial Abast = 4 Model Esferic Abast = 4
Meseta = 022 Meseta = 022
VARIOGRAMA CATEGORIA 2
025
--
c bull ESF- sectro 020
E E ro Ogt
015
010
8 10 12
Figura 532 Model de semivariograma esferic i exponencial per la categoria 2
o 2 4 6
Ihl
Capitol 5 Desenvolupament del projecte
Categoriacutea 3
ModeJ Exponencial Abast =7 ModeJ Esferic Abast =6
Meseta =027 Meseta = 0265
VARIOGRAMA CATEGORIA 3
03
~ c (1] ~E 02E (1]
Ogt
01
o 2 4 6
Ihl
Figura 533 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 3
8 10 12
)9
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Categoria 4
Model Exponencial Abast = 5 Model Esfeacuteric Abast = 4
Meseta = 02 Meseta = 02
VARIOGRAMA CATEGORIA 4
03
~ ~ -- ro E ~
02 E ro Ogt
01
deg 2 4 6
Ihl
Figura 534 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 4
8 10 12
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Categoriacutea 5
Model Exponencial Abast =4 Model Esferic Abast = 3
Meseta =006 Meseta = 006
VARIOGRAMA CATEGORIA 5
008
= sect~ 007-shy ESFro E E 006 ro Ol
005
004
003
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 535 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 5
Capiacutetol5 Desenvolupament del projecte
Mirant els cinc grafics veiem que el model que ajusta millor eacutes Iesferic en tots els casos
encara que no hi ha diferencies massa significatives respecte el model exponencial A meacutes
observem una certa simetria pel que fa a la meseta i abast de cada un deis models esferics
de cada categoria Taula 532
Cat 1 Cat2 Cat3 Cat4 Cat5
Meseta 003 022 0265 02 006
Abast 75 4 6 4 3
Taula 532 Meseta i abast per cada categoria
Aquesta simetria sobserva sobretot per les categories 2 3 i 4
Els models corresponents a les categories 1 i 5 no ajusten del tot beacute degut a que soacuten les
categories deis extrems i per tant la gran majoria de mostres si no totes estaran per sobre o
per sota respectivament
Ara ja podem fer Iestimacioacute per krigeat indicador Al programa ik3d li introduim els cinc
models de semivariogrames per tal que ens calculi Iestimacioacute
El resultat que obtenim soacuten cinc columnes de 625 dades on els valors van de O a 1
Concretament ens calcula la probabilitat de que el valor atorgat a cada punt sigui inferior al
daquell cut-off
El que es preteacuten ara eacutes a partir daquest conjunt de probabilitats interpolar la mediana per a
cada un deis punts de la xarxa per tant el que fem eacutes executar el programa postik en Iopcioacute
3 de manera que ens tregui Iestimacioacute de la mediana
A continuacioacute passem a detallar en que consisteix el postik Per tal de poder-ho expressar
millor ens centrare m en un punt concret de la xarxa el (30)
- - - - -
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Els tercer valor de cada una de les 5 columnes obtingudes amb el krigeat indicador eacutes a dir
els valors corresponents a la mostra situada en el node (30) representen la probabilitat de
que el valor de la variable en aquest punt sigui major que cada un deis cut-off
respectivament aixiacute podem afirmar que
P(Xiexcl lt el ) = P(x(3Q) lt 00995) =00000
P(xiexcl lt e2) = P(X(3 Q) lt 03764) =00397
P(xiexcl lt c3) = P(X(30) lt 07314) = 00409
P(xiexcl lt e4) = P(X(30) lt 12705) = 02079
P(xiexcl lt e5) = P(X(3 0) lt 25402) =10000
Si ara grafiquem aquests 5 valors obtenim una estimacioacute de la probabilitat que teacute el punt
estudiat (30) de ser meacutes petit que qualsevol valor eacutes a dir Iestimacioacute de la funcioacute de
probabilitat en aquest punt Com que el que es preteacuten estimar en el nostre estudi eacutes la
mediana mirarem quin valor aproxima per la probabilitat del 05 eacutes a dir
m tal que P(X(30) lt m) = 05
Per aixoacute tracem una liacutenia a Ialcada 05 i daquesta manera obtenim el valor estimat de la
mediana Aquest valor correspon al valor que obtenim amb el POSTIK que eacutes per aquesta
primera observacioacute 06983
10
x v 6 68 05 o
00
Figura 536 Els 5 cut-off aplicats al punt (30)
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Laplicacioacute del POSTIK realitza aquesta estimacioacute per a cada un deis punts obtinguts (625)
i daquesta manera podem obten ir una interpolacioacute de la mediana per cada un deis valors a
estimar
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
SEMIVARIOGRAMA DE LA MOSTRA
model exponencial
12
= r 07 -- ca E E ca O)
02
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 541 Semivariograma experimental amb un model exponencial
Aquest model obtingut a ull teacute els seguumlents parametres abast=7
meseta=1 05
Aplicant aquest valors al model general obtenim la formulacioacute per a les nostres dades
46
middotCapiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
MODEL ESFERIC La formulacioacute general eacutes
sih a
sih gt a
on a eacutes Iabast i c la meseta
SEMIVARIOGRAMA DE LA MOSTRA
model esferic
12
---shyro E 07 E ro Ol
02
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 54 2 Semivariograma experimental amb un model esfeacuterico
Aquest model Ihem obtingut de la mateixa manera que Ianterior a ull i els seus
parametres que tambeacute aplicarem a la forma general soacuten abast=6 i meseta=1
47
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Finalment pode m representar la superfiacutecie que hem estimat a partir del krigeat
lognormal utilitzant un grafic de superfiacutecie (Figura 54 5)
6
5
Krig Logn 3
2
o
20 eix y
Figura 545 Grafic de superfiacutecie pel krigeat lognormal
50
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
61 Regressioacute lineal
Per tal de dur a terme la compara cioacute entre els dos meacutetodes destimacioacute i les dades que
simulen la realitat hem expressat els resultats obtinguts graficament mitjancant els
grafics de punts ajustant en cada cas la recta de regressioacute i dibuixant la bisectriu Cal
tenir en compte que per augmentar la claredat i per a simplificar la interpretacioacute deis
resultat hem transformat les dades a una N(O1) encara que el nostre estudi es basi en
un model lognormal
Passem a continuacioacute a analitzar els grafics
En primer lIoc (Figura 611) tenim el grafic de punts entre les dades obtingudes amb el
primer meacutetode destimacioacute el krigeat lognormal i les dades provinents de la simula cioacute
de la realitat
Regression Plot y =3a1E -02jo O6lt40216X
R-Sq = 594
_0 ro
ro EID o middot Ole
~~ -2
-3
- -3 -2 -1
redade regresioacute
Bisectriu
realitat simulada
Figura 611 Recta de regressioacute entre el krigeat lognormal i la simulacioacute de la realitat
Si mirem aquest grafic podem observar que el valor de Iestimacioacute realitzada
sobreestima els valors petits de la simulacioacute i en canvi en els valors grans subestima
El coeficient de correlacioacute es del 594 eacutes a dir que el meacutetode del krigeat lognormal
explica un 594 de la realitat
52
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
Passem ara a realitzar el gratic entre el segon meto de destimacioacute el krigeat indicador
i la realitat simulada (Figura 612)
0 _O
m~ 0)-- o
~~ -1
-2
-3
Regression Plot y = -23E-02 + 0711 615X
R-Sq 526
bull bull
-3 -2 -1
realitat simulada
recta de regresi oacute
I Bisectriu
Figura 612 Recta de regressioacute entre el krigeat indicador i la simulacioacute de la realitat
Podem observar que el gratic obtingut eacutes molt semblant a Ianterior i que ens trobem
amb el mateix problema de sobreestimacioacute deis valors petits i subestimacioacute deis valors
grans de la simulacioacute
El valor del coeticient de correlacioacute tambeacute eacutes torga semblant 52 6 Aixiacute doncs la
realitat eacutes explicada en un 526 pel krigeat indicador
53
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
Finalment i per tenir una idea de la relacioacute que hi ha entre els dos meacutetodes emprats en
el projecte realitzarem un uacuteltim grafic comparatiu (Figura 613) que representa els dos
meacutetodes destimacioacute el krigeat lognormal i el krigeat indicador
Regression Plot y = -7 SE-02 + 105401X
R-Sq 796
middot2
middot3
recta de regresi6
bull Bisectriu
middot 4 middot3 middot2 -1
krigeat lognormal
Figura 613 Recta de regressioacute entre el krigeat lognormal i el krigeat indicador
En aquest cas podem observar que la recta de regressioacute coincideix gairebeacute a la
perfeccioacute amb la bisectriu cosa que vol dir que els dos meacutetodes soacuten molt semblants
entre siacute i que per tant eacutes normal que Iaproximacioacute de cada un dells a la realitat sigui
semblant
El valor de la regressioacute eacutes meacutes gran que en els altres dos casos 796 eacutes a dir que
els dos meacutetodes no donen resultats significativament diferents entre si
Podem observar un conjunt de dades que prenen valors especialment elevats en
Iestimacioacute per krigeat indicador Si analitzem aquests punts podem comprovar que
soacuten punts que tenen una probabilitat de ser meacutes grans que el cinqueacute cut-off (percentil
097) igual a 1 Per tant aquest tipus de punts no shan de tenir en compte en el
moment dextreure conclusions De fet aixo ja es sospitava en el grafic anterior pero
en que en aquell hi ha una elevada dispersioacute i per tant Iefecte queda dissimulat
54
Capiacutetol 5 Desenvolupament del proiecte
Categoriacutea 1 y(h)
Model Exponencial Abast =8 Model Esferic Abast = 75
Meseta =003 Meseta = 003
VARIOGRANlA CATEGORIA 1
005
004 sectr bull ESF= ro E 003 E ro O)
002
001
000
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 531 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 1
)1
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Categoria 2
Model Exponencial Abast = 4 Model Esferic Abast = 4
Meseta = 022 Meseta = 022
VARIOGRAMA CATEGORIA 2
025
--
c bull ESF- sectro 020
E E ro Ogt
015
010
8 10 12
Figura 532 Model de semivariograma esferic i exponencial per la categoria 2
o 2 4 6
Ihl
Capitol 5 Desenvolupament del projecte
Categoriacutea 3
ModeJ Exponencial Abast =7 ModeJ Esferic Abast =6
Meseta =027 Meseta = 0265
VARIOGRAMA CATEGORIA 3
03
~ c (1] ~E 02E (1]
Ogt
01
o 2 4 6
Ihl
Figura 533 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 3
8 10 12
)9
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Categoria 4
Model Exponencial Abast = 5 Model Esfeacuteric Abast = 4
Meseta = 02 Meseta = 02
VARIOGRAMA CATEGORIA 4
03
~ ~ -- ro E ~
02 E ro Ogt
01
deg 2 4 6
Ihl
Figura 534 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 4
8 10 12
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Categoriacutea 5
Model Exponencial Abast =4 Model Esferic Abast = 3
Meseta =006 Meseta = 006
VARIOGRAMA CATEGORIA 5
008
= sect~ 007-shy ESFro E E 006 ro Ol
005
004
003
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 535 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 5
Capiacutetol5 Desenvolupament del projecte
Mirant els cinc grafics veiem que el model que ajusta millor eacutes Iesferic en tots els casos
encara que no hi ha diferencies massa significatives respecte el model exponencial A meacutes
observem una certa simetria pel que fa a la meseta i abast de cada un deis models esferics
de cada categoria Taula 532
Cat 1 Cat2 Cat3 Cat4 Cat5
Meseta 003 022 0265 02 006
Abast 75 4 6 4 3
Taula 532 Meseta i abast per cada categoria
Aquesta simetria sobserva sobretot per les categories 2 3 i 4
Els models corresponents a les categories 1 i 5 no ajusten del tot beacute degut a que soacuten les
categories deis extrems i per tant la gran majoria de mostres si no totes estaran per sobre o
per sota respectivament
Ara ja podem fer Iestimacioacute per krigeat indicador Al programa ik3d li introduim els cinc
models de semivariogrames per tal que ens calculi Iestimacioacute
El resultat que obtenim soacuten cinc columnes de 625 dades on els valors van de O a 1
Concretament ens calcula la probabilitat de que el valor atorgat a cada punt sigui inferior al
daquell cut-off
El que es preteacuten ara eacutes a partir daquest conjunt de probabilitats interpolar la mediana per a
cada un deis punts de la xarxa per tant el que fem eacutes executar el programa postik en Iopcioacute
3 de manera que ens tregui Iestimacioacute de la mediana
A continuacioacute passem a detallar en que consisteix el postik Per tal de poder-ho expressar
millor ens centrare m en un punt concret de la xarxa el (30)
- - - - -
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Els tercer valor de cada una de les 5 columnes obtingudes amb el krigeat indicador eacutes a dir
els valors corresponents a la mostra situada en el node (30) representen la probabilitat de
que el valor de la variable en aquest punt sigui major que cada un deis cut-off
respectivament aixiacute podem afirmar que
P(Xiexcl lt el ) = P(x(3Q) lt 00995) =00000
P(xiexcl lt e2) = P(X(3 Q) lt 03764) =00397
P(xiexcl lt c3) = P(X(30) lt 07314) = 00409
P(xiexcl lt e4) = P(X(30) lt 12705) = 02079
P(xiexcl lt e5) = P(X(3 0) lt 25402) =10000
Si ara grafiquem aquests 5 valors obtenim una estimacioacute de la probabilitat que teacute el punt
estudiat (30) de ser meacutes petit que qualsevol valor eacutes a dir Iestimacioacute de la funcioacute de
probabilitat en aquest punt Com que el que es preteacuten estimar en el nostre estudi eacutes la
mediana mirarem quin valor aproxima per la probabilitat del 05 eacutes a dir
m tal que P(X(30) lt m) = 05
Per aixoacute tracem una liacutenia a Ialcada 05 i daquesta manera obtenim el valor estimat de la
mediana Aquest valor correspon al valor que obtenim amb el POSTIK que eacutes per aquesta
primera observacioacute 06983
10
x v 6 68 05 o
00
Figura 536 Els 5 cut-off aplicats al punt (30)
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Laplicacioacute del POSTIK realitza aquesta estimacioacute per a cada un deis punts obtinguts (625)
i daquesta manera podem obten ir una interpolacioacute de la mediana per cada un deis valors a
estimar
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
SEMIVARIOGRAMA DE LA MOSTRA
model exponencial
12
= r 07 -- ca E E ca O)
02
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 541 Semivariograma experimental amb un model exponencial
Aquest model obtingut a ull teacute els seguumlents parametres abast=7
meseta=1 05
Aplicant aquest valors al model general obtenim la formulacioacute per a les nostres dades
46
middotCapiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
MODEL ESFERIC La formulacioacute general eacutes
sih a
sih gt a
on a eacutes Iabast i c la meseta
SEMIVARIOGRAMA DE LA MOSTRA
model esferic
12
---shyro E 07 E ro Ol
02
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 54 2 Semivariograma experimental amb un model esfeacuterico
Aquest model Ihem obtingut de la mateixa manera que Ianterior a ull i els seus
parametres que tambeacute aplicarem a la forma general soacuten abast=6 i meseta=1
47
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Finalment pode m representar la superfiacutecie que hem estimat a partir del krigeat
lognormal utilitzant un grafic de superfiacutecie (Figura 54 5)
6
5
Krig Logn 3
2
o
20 eix y
Figura 545 Grafic de superfiacutecie pel krigeat lognormal
50
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
61 Regressioacute lineal
Per tal de dur a terme la compara cioacute entre els dos meacutetodes destimacioacute i les dades que
simulen la realitat hem expressat els resultats obtinguts graficament mitjancant els
grafics de punts ajustant en cada cas la recta de regressioacute i dibuixant la bisectriu Cal
tenir en compte que per augmentar la claredat i per a simplificar la interpretacioacute deis
resultat hem transformat les dades a una N(O1) encara que el nostre estudi es basi en
un model lognormal
Passem a continuacioacute a analitzar els grafics
En primer lIoc (Figura 611) tenim el grafic de punts entre les dades obtingudes amb el
primer meacutetode destimacioacute el krigeat lognormal i les dades provinents de la simula cioacute
de la realitat
Regression Plot y =3a1E -02jo O6lt40216X
R-Sq = 594
_0 ro
ro EID o middot Ole
~~ -2
-3
- -3 -2 -1
redade regresioacute
Bisectriu
realitat simulada
Figura 611 Recta de regressioacute entre el krigeat lognormal i la simulacioacute de la realitat
Si mirem aquest grafic podem observar que el valor de Iestimacioacute realitzada
sobreestima els valors petits de la simulacioacute i en canvi en els valors grans subestima
El coeficient de correlacioacute es del 594 eacutes a dir que el meacutetode del krigeat lognormal
explica un 594 de la realitat
52
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
Passem ara a realitzar el gratic entre el segon meto de destimacioacute el krigeat indicador
i la realitat simulada (Figura 612)
0 _O
m~ 0)-- o
~~ -1
-2
-3
Regression Plot y = -23E-02 + 0711 615X
R-Sq 526
bull bull
-3 -2 -1
realitat simulada
recta de regresi oacute
I Bisectriu
Figura 612 Recta de regressioacute entre el krigeat indicador i la simulacioacute de la realitat
Podem observar que el gratic obtingut eacutes molt semblant a Ianterior i que ens trobem
amb el mateix problema de sobreestimacioacute deis valors petits i subestimacioacute deis valors
grans de la simulacioacute
El valor del coeticient de correlacioacute tambeacute eacutes torga semblant 52 6 Aixiacute doncs la
realitat eacutes explicada en un 526 pel krigeat indicador
53
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
Finalment i per tenir una idea de la relacioacute que hi ha entre els dos meacutetodes emprats en
el projecte realitzarem un uacuteltim grafic comparatiu (Figura 613) que representa els dos
meacutetodes destimacioacute el krigeat lognormal i el krigeat indicador
Regression Plot y = -7 SE-02 + 105401X
R-Sq 796
middot2
middot3
recta de regresi6
bull Bisectriu
middot 4 middot3 middot2 -1
krigeat lognormal
Figura 613 Recta de regressioacute entre el krigeat lognormal i el krigeat indicador
En aquest cas podem observar que la recta de regressioacute coincideix gairebeacute a la
perfeccioacute amb la bisectriu cosa que vol dir que els dos meacutetodes soacuten molt semblants
entre siacute i que per tant eacutes normal que Iaproximacioacute de cada un dells a la realitat sigui
semblant
El valor de la regressioacute eacutes meacutes gran que en els altres dos casos 796 eacutes a dir que
els dos meacutetodes no donen resultats significativament diferents entre si
Podem observar un conjunt de dades que prenen valors especialment elevats en
Iestimacioacute per krigeat indicador Si analitzem aquests punts podem comprovar que
soacuten punts que tenen una probabilitat de ser meacutes grans que el cinqueacute cut-off (percentil
097) igual a 1 Per tant aquest tipus de punts no shan de tenir en compte en el
moment dextreure conclusions De fet aixo ja es sospitava en el grafic anterior pero
en que en aquell hi ha una elevada dispersioacute i per tant Iefecte queda dissimulat
54
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Categoria 2
Model Exponencial Abast = 4 Model Esferic Abast = 4
Meseta = 022 Meseta = 022
VARIOGRAMA CATEGORIA 2
025
--
c bull ESF- sectro 020
E E ro Ogt
015
010
8 10 12
Figura 532 Model de semivariograma esferic i exponencial per la categoria 2
o 2 4 6
Ihl
Capitol 5 Desenvolupament del projecte
Categoriacutea 3
ModeJ Exponencial Abast =7 ModeJ Esferic Abast =6
Meseta =027 Meseta = 0265
VARIOGRAMA CATEGORIA 3
03
~ c (1] ~E 02E (1]
Ogt
01
o 2 4 6
Ihl
Figura 533 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 3
8 10 12
)9
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Categoria 4
Model Exponencial Abast = 5 Model Esfeacuteric Abast = 4
Meseta = 02 Meseta = 02
VARIOGRAMA CATEGORIA 4
03
~ ~ -- ro E ~
02 E ro Ogt
01
deg 2 4 6
Ihl
Figura 534 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 4
8 10 12
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Categoriacutea 5
Model Exponencial Abast =4 Model Esferic Abast = 3
Meseta =006 Meseta = 006
VARIOGRAMA CATEGORIA 5
008
= sect~ 007-shy ESFro E E 006 ro Ol
005
004
003
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 535 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 5
Capiacutetol5 Desenvolupament del projecte
Mirant els cinc grafics veiem que el model que ajusta millor eacutes Iesferic en tots els casos
encara que no hi ha diferencies massa significatives respecte el model exponencial A meacutes
observem una certa simetria pel que fa a la meseta i abast de cada un deis models esferics
de cada categoria Taula 532
Cat 1 Cat2 Cat3 Cat4 Cat5
Meseta 003 022 0265 02 006
Abast 75 4 6 4 3
Taula 532 Meseta i abast per cada categoria
Aquesta simetria sobserva sobretot per les categories 2 3 i 4
Els models corresponents a les categories 1 i 5 no ajusten del tot beacute degut a que soacuten les
categories deis extrems i per tant la gran majoria de mostres si no totes estaran per sobre o
per sota respectivament
Ara ja podem fer Iestimacioacute per krigeat indicador Al programa ik3d li introduim els cinc
models de semivariogrames per tal que ens calculi Iestimacioacute
El resultat que obtenim soacuten cinc columnes de 625 dades on els valors van de O a 1
Concretament ens calcula la probabilitat de que el valor atorgat a cada punt sigui inferior al
daquell cut-off
El que es preteacuten ara eacutes a partir daquest conjunt de probabilitats interpolar la mediana per a
cada un deis punts de la xarxa per tant el que fem eacutes executar el programa postik en Iopcioacute
3 de manera que ens tregui Iestimacioacute de la mediana
A continuacioacute passem a detallar en que consisteix el postik Per tal de poder-ho expressar
millor ens centrare m en un punt concret de la xarxa el (30)
- - - - -
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Els tercer valor de cada una de les 5 columnes obtingudes amb el krigeat indicador eacutes a dir
els valors corresponents a la mostra situada en el node (30) representen la probabilitat de
que el valor de la variable en aquest punt sigui major que cada un deis cut-off
respectivament aixiacute podem afirmar que
P(Xiexcl lt el ) = P(x(3Q) lt 00995) =00000
P(xiexcl lt e2) = P(X(3 Q) lt 03764) =00397
P(xiexcl lt c3) = P(X(30) lt 07314) = 00409
P(xiexcl lt e4) = P(X(30) lt 12705) = 02079
P(xiexcl lt e5) = P(X(3 0) lt 25402) =10000
Si ara grafiquem aquests 5 valors obtenim una estimacioacute de la probabilitat que teacute el punt
estudiat (30) de ser meacutes petit que qualsevol valor eacutes a dir Iestimacioacute de la funcioacute de
probabilitat en aquest punt Com que el que es preteacuten estimar en el nostre estudi eacutes la
mediana mirarem quin valor aproxima per la probabilitat del 05 eacutes a dir
m tal que P(X(30) lt m) = 05
Per aixoacute tracem una liacutenia a Ialcada 05 i daquesta manera obtenim el valor estimat de la
mediana Aquest valor correspon al valor que obtenim amb el POSTIK que eacutes per aquesta
primera observacioacute 06983
10
x v 6 68 05 o
00
Figura 536 Els 5 cut-off aplicats al punt (30)
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Laplicacioacute del POSTIK realitza aquesta estimacioacute per a cada un deis punts obtinguts (625)
i daquesta manera podem obten ir una interpolacioacute de la mediana per cada un deis valors a
estimar
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
SEMIVARIOGRAMA DE LA MOSTRA
model exponencial
12
= r 07 -- ca E E ca O)
02
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 541 Semivariograma experimental amb un model exponencial
Aquest model obtingut a ull teacute els seguumlents parametres abast=7
meseta=1 05
Aplicant aquest valors al model general obtenim la formulacioacute per a les nostres dades
46
middotCapiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
MODEL ESFERIC La formulacioacute general eacutes
sih a
sih gt a
on a eacutes Iabast i c la meseta
SEMIVARIOGRAMA DE LA MOSTRA
model esferic
12
---shyro E 07 E ro Ol
02
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 54 2 Semivariograma experimental amb un model esfeacuterico
Aquest model Ihem obtingut de la mateixa manera que Ianterior a ull i els seus
parametres que tambeacute aplicarem a la forma general soacuten abast=6 i meseta=1
47
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Finalment pode m representar la superfiacutecie que hem estimat a partir del krigeat
lognormal utilitzant un grafic de superfiacutecie (Figura 54 5)
6
5
Krig Logn 3
2
o
20 eix y
Figura 545 Grafic de superfiacutecie pel krigeat lognormal
50
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
61 Regressioacute lineal
Per tal de dur a terme la compara cioacute entre els dos meacutetodes destimacioacute i les dades que
simulen la realitat hem expressat els resultats obtinguts graficament mitjancant els
grafics de punts ajustant en cada cas la recta de regressioacute i dibuixant la bisectriu Cal
tenir en compte que per augmentar la claredat i per a simplificar la interpretacioacute deis
resultat hem transformat les dades a una N(O1) encara que el nostre estudi es basi en
un model lognormal
Passem a continuacioacute a analitzar els grafics
En primer lIoc (Figura 611) tenim el grafic de punts entre les dades obtingudes amb el
primer meacutetode destimacioacute el krigeat lognormal i les dades provinents de la simula cioacute
de la realitat
Regression Plot y =3a1E -02jo O6lt40216X
R-Sq = 594
_0 ro
ro EID o middot Ole
~~ -2
-3
- -3 -2 -1
redade regresioacute
Bisectriu
realitat simulada
Figura 611 Recta de regressioacute entre el krigeat lognormal i la simulacioacute de la realitat
Si mirem aquest grafic podem observar que el valor de Iestimacioacute realitzada
sobreestima els valors petits de la simulacioacute i en canvi en els valors grans subestima
El coeficient de correlacioacute es del 594 eacutes a dir que el meacutetode del krigeat lognormal
explica un 594 de la realitat
52
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
Passem ara a realitzar el gratic entre el segon meto de destimacioacute el krigeat indicador
i la realitat simulada (Figura 612)
0 _O
m~ 0)-- o
~~ -1
-2
-3
Regression Plot y = -23E-02 + 0711 615X
R-Sq 526
bull bull
-3 -2 -1
realitat simulada
recta de regresi oacute
I Bisectriu
Figura 612 Recta de regressioacute entre el krigeat indicador i la simulacioacute de la realitat
Podem observar que el gratic obtingut eacutes molt semblant a Ianterior i que ens trobem
amb el mateix problema de sobreestimacioacute deis valors petits i subestimacioacute deis valors
grans de la simulacioacute
El valor del coeticient de correlacioacute tambeacute eacutes torga semblant 52 6 Aixiacute doncs la
realitat eacutes explicada en un 526 pel krigeat indicador
53
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
Finalment i per tenir una idea de la relacioacute que hi ha entre els dos meacutetodes emprats en
el projecte realitzarem un uacuteltim grafic comparatiu (Figura 613) que representa els dos
meacutetodes destimacioacute el krigeat lognormal i el krigeat indicador
Regression Plot y = -7 SE-02 + 105401X
R-Sq 796
middot2
middot3
recta de regresi6
bull Bisectriu
middot 4 middot3 middot2 -1
krigeat lognormal
Figura 613 Recta de regressioacute entre el krigeat lognormal i el krigeat indicador
En aquest cas podem observar que la recta de regressioacute coincideix gairebeacute a la
perfeccioacute amb la bisectriu cosa que vol dir que els dos meacutetodes soacuten molt semblants
entre siacute i que per tant eacutes normal que Iaproximacioacute de cada un dells a la realitat sigui
semblant
El valor de la regressioacute eacutes meacutes gran que en els altres dos casos 796 eacutes a dir que
els dos meacutetodes no donen resultats significativament diferents entre si
Podem observar un conjunt de dades que prenen valors especialment elevats en
Iestimacioacute per krigeat indicador Si analitzem aquests punts podem comprovar que
soacuten punts que tenen una probabilitat de ser meacutes grans que el cinqueacute cut-off (percentil
097) igual a 1 Per tant aquest tipus de punts no shan de tenir en compte en el
moment dextreure conclusions De fet aixo ja es sospitava en el grafic anterior pero
en que en aquell hi ha una elevada dispersioacute i per tant Iefecte queda dissimulat
54
Capitol 5 Desenvolupament del projecte
Categoriacutea 3
ModeJ Exponencial Abast =7 ModeJ Esferic Abast =6
Meseta =027 Meseta = 0265
VARIOGRAMA CATEGORIA 3
03
~ c (1] ~E 02E (1]
Ogt
01
o 2 4 6
Ihl
Figura 533 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 3
8 10 12
)9
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Categoria 4
Model Exponencial Abast = 5 Model Esfeacuteric Abast = 4
Meseta = 02 Meseta = 02
VARIOGRAMA CATEGORIA 4
03
~ ~ -- ro E ~
02 E ro Ogt
01
deg 2 4 6
Ihl
Figura 534 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 4
8 10 12
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Categoriacutea 5
Model Exponencial Abast =4 Model Esferic Abast = 3
Meseta =006 Meseta = 006
VARIOGRAMA CATEGORIA 5
008
= sect~ 007-shy ESFro E E 006 ro Ol
005
004
003
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 535 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 5
Capiacutetol5 Desenvolupament del projecte
Mirant els cinc grafics veiem que el model que ajusta millor eacutes Iesferic en tots els casos
encara que no hi ha diferencies massa significatives respecte el model exponencial A meacutes
observem una certa simetria pel que fa a la meseta i abast de cada un deis models esferics
de cada categoria Taula 532
Cat 1 Cat2 Cat3 Cat4 Cat5
Meseta 003 022 0265 02 006
Abast 75 4 6 4 3
Taula 532 Meseta i abast per cada categoria
Aquesta simetria sobserva sobretot per les categories 2 3 i 4
Els models corresponents a les categories 1 i 5 no ajusten del tot beacute degut a que soacuten les
categories deis extrems i per tant la gran majoria de mostres si no totes estaran per sobre o
per sota respectivament
Ara ja podem fer Iestimacioacute per krigeat indicador Al programa ik3d li introduim els cinc
models de semivariogrames per tal que ens calculi Iestimacioacute
El resultat que obtenim soacuten cinc columnes de 625 dades on els valors van de O a 1
Concretament ens calcula la probabilitat de que el valor atorgat a cada punt sigui inferior al
daquell cut-off
El que es preteacuten ara eacutes a partir daquest conjunt de probabilitats interpolar la mediana per a
cada un deis punts de la xarxa per tant el que fem eacutes executar el programa postik en Iopcioacute
3 de manera que ens tregui Iestimacioacute de la mediana
A continuacioacute passem a detallar en que consisteix el postik Per tal de poder-ho expressar
millor ens centrare m en un punt concret de la xarxa el (30)
- - - - -
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Els tercer valor de cada una de les 5 columnes obtingudes amb el krigeat indicador eacutes a dir
els valors corresponents a la mostra situada en el node (30) representen la probabilitat de
que el valor de la variable en aquest punt sigui major que cada un deis cut-off
respectivament aixiacute podem afirmar que
P(Xiexcl lt el ) = P(x(3Q) lt 00995) =00000
P(xiexcl lt e2) = P(X(3 Q) lt 03764) =00397
P(xiexcl lt c3) = P(X(30) lt 07314) = 00409
P(xiexcl lt e4) = P(X(30) lt 12705) = 02079
P(xiexcl lt e5) = P(X(3 0) lt 25402) =10000
Si ara grafiquem aquests 5 valors obtenim una estimacioacute de la probabilitat que teacute el punt
estudiat (30) de ser meacutes petit que qualsevol valor eacutes a dir Iestimacioacute de la funcioacute de
probabilitat en aquest punt Com que el que es preteacuten estimar en el nostre estudi eacutes la
mediana mirarem quin valor aproxima per la probabilitat del 05 eacutes a dir
m tal que P(X(30) lt m) = 05
Per aixoacute tracem una liacutenia a Ialcada 05 i daquesta manera obtenim el valor estimat de la
mediana Aquest valor correspon al valor que obtenim amb el POSTIK que eacutes per aquesta
primera observacioacute 06983
10
x v 6 68 05 o
00
Figura 536 Els 5 cut-off aplicats al punt (30)
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Laplicacioacute del POSTIK realitza aquesta estimacioacute per a cada un deis punts obtinguts (625)
i daquesta manera podem obten ir una interpolacioacute de la mediana per cada un deis valors a
estimar
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
SEMIVARIOGRAMA DE LA MOSTRA
model exponencial
12
= r 07 -- ca E E ca O)
02
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 541 Semivariograma experimental amb un model exponencial
Aquest model obtingut a ull teacute els seguumlents parametres abast=7
meseta=1 05
Aplicant aquest valors al model general obtenim la formulacioacute per a les nostres dades
46
middotCapiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
MODEL ESFERIC La formulacioacute general eacutes
sih a
sih gt a
on a eacutes Iabast i c la meseta
SEMIVARIOGRAMA DE LA MOSTRA
model esferic
12
---shyro E 07 E ro Ol
02
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 54 2 Semivariograma experimental amb un model esfeacuterico
Aquest model Ihem obtingut de la mateixa manera que Ianterior a ull i els seus
parametres que tambeacute aplicarem a la forma general soacuten abast=6 i meseta=1
47
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Finalment pode m representar la superfiacutecie que hem estimat a partir del krigeat
lognormal utilitzant un grafic de superfiacutecie (Figura 54 5)
6
5
Krig Logn 3
2
o
20 eix y
Figura 545 Grafic de superfiacutecie pel krigeat lognormal
50
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
61 Regressioacute lineal
Per tal de dur a terme la compara cioacute entre els dos meacutetodes destimacioacute i les dades que
simulen la realitat hem expressat els resultats obtinguts graficament mitjancant els
grafics de punts ajustant en cada cas la recta de regressioacute i dibuixant la bisectriu Cal
tenir en compte que per augmentar la claredat i per a simplificar la interpretacioacute deis
resultat hem transformat les dades a una N(O1) encara que el nostre estudi es basi en
un model lognormal
Passem a continuacioacute a analitzar els grafics
En primer lIoc (Figura 611) tenim el grafic de punts entre les dades obtingudes amb el
primer meacutetode destimacioacute el krigeat lognormal i les dades provinents de la simula cioacute
de la realitat
Regression Plot y =3a1E -02jo O6lt40216X
R-Sq = 594
_0 ro
ro EID o middot Ole
~~ -2
-3
- -3 -2 -1
redade regresioacute
Bisectriu
realitat simulada
Figura 611 Recta de regressioacute entre el krigeat lognormal i la simulacioacute de la realitat
Si mirem aquest grafic podem observar que el valor de Iestimacioacute realitzada
sobreestima els valors petits de la simulacioacute i en canvi en els valors grans subestima
El coeficient de correlacioacute es del 594 eacutes a dir que el meacutetode del krigeat lognormal
explica un 594 de la realitat
52
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
Passem ara a realitzar el gratic entre el segon meto de destimacioacute el krigeat indicador
i la realitat simulada (Figura 612)
0 _O
m~ 0)-- o
~~ -1
-2
-3
Regression Plot y = -23E-02 + 0711 615X
R-Sq 526
bull bull
-3 -2 -1
realitat simulada
recta de regresi oacute
I Bisectriu
Figura 612 Recta de regressioacute entre el krigeat indicador i la simulacioacute de la realitat
Podem observar que el gratic obtingut eacutes molt semblant a Ianterior i que ens trobem
amb el mateix problema de sobreestimacioacute deis valors petits i subestimacioacute deis valors
grans de la simulacioacute
El valor del coeticient de correlacioacute tambeacute eacutes torga semblant 52 6 Aixiacute doncs la
realitat eacutes explicada en un 526 pel krigeat indicador
53
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
Finalment i per tenir una idea de la relacioacute que hi ha entre els dos meacutetodes emprats en
el projecte realitzarem un uacuteltim grafic comparatiu (Figura 613) que representa els dos
meacutetodes destimacioacute el krigeat lognormal i el krigeat indicador
Regression Plot y = -7 SE-02 + 105401X
R-Sq 796
middot2
middot3
recta de regresi6
bull Bisectriu
middot 4 middot3 middot2 -1
krigeat lognormal
Figura 613 Recta de regressioacute entre el krigeat lognormal i el krigeat indicador
En aquest cas podem observar que la recta de regressioacute coincideix gairebeacute a la
perfeccioacute amb la bisectriu cosa que vol dir que els dos meacutetodes soacuten molt semblants
entre siacute i que per tant eacutes normal que Iaproximacioacute de cada un dells a la realitat sigui
semblant
El valor de la regressioacute eacutes meacutes gran que en els altres dos casos 796 eacutes a dir que
els dos meacutetodes no donen resultats significativament diferents entre si
Podem observar un conjunt de dades que prenen valors especialment elevats en
Iestimacioacute per krigeat indicador Si analitzem aquests punts podem comprovar que
soacuten punts que tenen una probabilitat de ser meacutes grans que el cinqueacute cut-off (percentil
097) igual a 1 Per tant aquest tipus de punts no shan de tenir en compte en el
moment dextreure conclusions De fet aixo ja es sospitava en el grafic anterior pero
en que en aquell hi ha una elevada dispersioacute i per tant Iefecte queda dissimulat
54
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Categoria 4
Model Exponencial Abast = 5 Model Esfeacuteric Abast = 4
Meseta = 02 Meseta = 02
VARIOGRAMA CATEGORIA 4
03
~ ~ -- ro E ~
02 E ro Ogt
01
deg 2 4 6
Ihl
Figura 534 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 4
8 10 12
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Categoriacutea 5
Model Exponencial Abast =4 Model Esferic Abast = 3
Meseta =006 Meseta = 006
VARIOGRAMA CATEGORIA 5
008
= sect~ 007-shy ESFro E E 006 ro Ol
005
004
003
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 535 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 5
Capiacutetol5 Desenvolupament del projecte
Mirant els cinc grafics veiem que el model que ajusta millor eacutes Iesferic en tots els casos
encara que no hi ha diferencies massa significatives respecte el model exponencial A meacutes
observem una certa simetria pel que fa a la meseta i abast de cada un deis models esferics
de cada categoria Taula 532
Cat 1 Cat2 Cat3 Cat4 Cat5
Meseta 003 022 0265 02 006
Abast 75 4 6 4 3
Taula 532 Meseta i abast per cada categoria
Aquesta simetria sobserva sobretot per les categories 2 3 i 4
Els models corresponents a les categories 1 i 5 no ajusten del tot beacute degut a que soacuten les
categories deis extrems i per tant la gran majoria de mostres si no totes estaran per sobre o
per sota respectivament
Ara ja podem fer Iestimacioacute per krigeat indicador Al programa ik3d li introduim els cinc
models de semivariogrames per tal que ens calculi Iestimacioacute
El resultat que obtenim soacuten cinc columnes de 625 dades on els valors van de O a 1
Concretament ens calcula la probabilitat de que el valor atorgat a cada punt sigui inferior al
daquell cut-off
El que es preteacuten ara eacutes a partir daquest conjunt de probabilitats interpolar la mediana per a
cada un deis punts de la xarxa per tant el que fem eacutes executar el programa postik en Iopcioacute
3 de manera que ens tregui Iestimacioacute de la mediana
A continuacioacute passem a detallar en que consisteix el postik Per tal de poder-ho expressar
millor ens centrare m en un punt concret de la xarxa el (30)
- - - - -
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Els tercer valor de cada una de les 5 columnes obtingudes amb el krigeat indicador eacutes a dir
els valors corresponents a la mostra situada en el node (30) representen la probabilitat de
que el valor de la variable en aquest punt sigui major que cada un deis cut-off
respectivament aixiacute podem afirmar que
P(Xiexcl lt el ) = P(x(3Q) lt 00995) =00000
P(xiexcl lt e2) = P(X(3 Q) lt 03764) =00397
P(xiexcl lt c3) = P(X(30) lt 07314) = 00409
P(xiexcl lt e4) = P(X(30) lt 12705) = 02079
P(xiexcl lt e5) = P(X(3 0) lt 25402) =10000
Si ara grafiquem aquests 5 valors obtenim una estimacioacute de la probabilitat que teacute el punt
estudiat (30) de ser meacutes petit que qualsevol valor eacutes a dir Iestimacioacute de la funcioacute de
probabilitat en aquest punt Com que el que es preteacuten estimar en el nostre estudi eacutes la
mediana mirarem quin valor aproxima per la probabilitat del 05 eacutes a dir
m tal que P(X(30) lt m) = 05
Per aixoacute tracem una liacutenia a Ialcada 05 i daquesta manera obtenim el valor estimat de la
mediana Aquest valor correspon al valor que obtenim amb el POSTIK que eacutes per aquesta
primera observacioacute 06983
10
x v 6 68 05 o
00
Figura 536 Els 5 cut-off aplicats al punt (30)
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Laplicacioacute del POSTIK realitza aquesta estimacioacute per a cada un deis punts obtinguts (625)
i daquesta manera podem obten ir una interpolacioacute de la mediana per cada un deis valors a
estimar
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
SEMIVARIOGRAMA DE LA MOSTRA
model exponencial
12
= r 07 -- ca E E ca O)
02
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 541 Semivariograma experimental amb un model exponencial
Aquest model obtingut a ull teacute els seguumlents parametres abast=7
meseta=1 05
Aplicant aquest valors al model general obtenim la formulacioacute per a les nostres dades
46
middotCapiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
MODEL ESFERIC La formulacioacute general eacutes
sih a
sih gt a
on a eacutes Iabast i c la meseta
SEMIVARIOGRAMA DE LA MOSTRA
model esferic
12
---shyro E 07 E ro Ol
02
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 54 2 Semivariograma experimental amb un model esfeacuterico
Aquest model Ihem obtingut de la mateixa manera que Ianterior a ull i els seus
parametres que tambeacute aplicarem a la forma general soacuten abast=6 i meseta=1
47
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Finalment pode m representar la superfiacutecie que hem estimat a partir del krigeat
lognormal utilitzant un grafic de superfiacutecie (Figura 54 5)
6
5
Krig Logn 3
2
o
20 eix y
Figura 545 Grafic de superfiacutecie pel krigeat lognormal
50
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
61 Regressioacute lineal
Per tal de dur a terme la compara cioacute entre els dos meacutetodes destimacioacute i les dades que
simulen la realitat hem expressat els resultats obtinguts graficament mitjancant els
grafics de punts ajustant en cada cas la recta de regressioacute i dibuixant la bisectriu Cal
tenir en compte que per augmentar la claredat i per a simplificar la interpretacioacute deis
resultat hem transformat les dades a una N(O1) encara que el nostre estudi es basi en
un model lognormal
Passem a continuacioacute a analitzar els grafics
En primer lIoc (Figura 611) tenim el grafic de punts entre les dades obtingudes amb el
primer meacutetode destimacioacute el krigeat lognormal i les dades provinents de la simula cioacute
de la realitat
Regression Plot y =3a1E -02jo O6lt40216X
R-Sq = 594
_0 ro
ro EID o middot Ole
~~ -2
-3
- -3 -2 -1
redade regresioacute
Bisectriu
realitat simulada
Figura 611 Recta de regressioacute entre el krigeat lognormal i la simulacioacute de la realitat
Si mirem aquest grafic podem observar que el valor de Iestimacioacute realitzada
sobreestima els valors petits de la simulacioacute i en canvi en els valors grans subestima
El coeficient de correlacioacute es del 594 eacutes a dir que el meacutetode del krigeat lognormal
explica un 594 de la realitat
52
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
Passem ara a realitzar el gratic entre el segon meto de destimacioacute el krigeat indicador
i la realitat simulada (Figura 612)
0 _O
m~ 0)-- o
~~ -1
-2
-3
Regression Plot y = -23E-02 + 0711 615X
R-Sq 526
bull bull
-3 -2 -1
realitat simulada
recta de regresi oacute
I Bisectriu
Figura 612 Recta de regressioacute entre el krigeat indicador i la simulacioacute de la realitat
Podem observar que el gratic obtingut eacutes molt semblant a Ianterior i que ens trobem
amb el mateix problema de sobreestimacioacute deis valors petits i subestimacioacute deis valors
grans de la simulacioacute
El valor del coeticient de correlacioacute tambeacute eacutes torga semblant 52 6 Aixiacute doncs la
realitat eacutes explicada en un 526 pel krigeat indicador
53
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
Finalment i per tenir una idea de la relacioacute que hi ha entre els dos meacutetodes emprats en
el projecte realitzarem un uacuteltim grafic comparatiu (Figura 613) que representa els dos
meacutetodes destimacioacute el krigeat lognormal i el krigeat indicador
Regression Plot y = -7 SE-02 + 105401X
R-Sq 796
middot2
middot3
recta de regresi6
bull Bisectriu
middot 4 middot3 middot2 -1
krigeat lognormal
Figura 613 Recta de regressioacute entre el krigeat lognormal i el krigeat indicador
En aquest cas podem observar que la recta de regressioacute coincideix gairebeacute a la
perfeccioacute amb la bisectriu cosa que vol dir que els dos meacutetodes soacuten molt semblants
entre siacute i que per tant eacutes normal que Iaproximacioacute de cada un dells a la realitat sigui
semblant
El valor de la regressioacute eacutes meacutes gran que en els altres dos casos 796 eacutes a dir que
els dos meacutetodes no donen resultats significativament diferents entre si
Podem observar un conjunt de dades que prenen valors especialment elevats en
Iestimacioacute per krigeat indicador Si analitzem aquests punts podem comprovar que
soacuten punts que tenen una probabilitat de ser meacutes grans que el cinqueacute cut-off (percentil
097) igual a 1 Per tant aquest tipus de punts no shan de tenir en compte en el
moment dextreure conclusions De fet aixo ja es sospitava en el grafic anterior pero
en que en aquell hi ha una elevada dispersioacute i per tant Iefecte queda dissimulat
54
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Categoriacutea 5
Model Exponencial Abast =4 Model Esferic Abast = 3
Meseta =006 Meseta = 006
VARIOGRAMA CATEGORIA 5
008
= sect~ 007-shy ESFro E E 006 ro Ol
005
004
003
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 535 Model de semivariograma esfeacuteric i exponencial per la categoria 5
Capiacutetol5 Desenvolupament del projecte
Mirant els cinc grafics veiem que el model que ajusta millor eacutes Iesferic en tots els casos
encara que no hi ha diferencies massa significatives respecte el model exponencial A meacutes
observem una certa simetria pel que fa a la meseta i abast de cada un deis models esferics
de cada categoria Taula 532
Cat 1 Cat2 Cat3 Cat4 Cat5
Meseta 003 022 0265 02 006
Abast 75 4 6 4 3
Taula 532 Meseta i abast per cada categoria
Aquesta simetria sobserva sobretot per les categories 2 3 i 4
Els models corresponents a les categories 1 i 5 no ajusten del tot beacute degut a que soacuten les
categories deis extrems i per tant la gran majoria de mostres si no totes estaran per sobre o
per sota respectivament
Ara ja podem fer Iestimacioacute per krigeat indicador Al programa ik3d li introduim els cinc
models de semivariogrames per tal que ens calculi Iestimacioacute
El resultat que obtenim soacuten cinc columnes de 625 dades on els valors van de O a 1
Concretament ens calcula la probabilitat de que el valor atorgat a cada punt sigui inferior al
daquell cut-off
El que es preteacuten ara eacutes a partir daquest conjunt de probabilitats interpolar la mediana per a
cada un deis punts de la xarxa per tant el que fem eacutes executar el programa postik en Iopcioacute
3 de manera que ens tregui Iestimacioacute de la mediana
A continuacioacute passem a detallar en que consisteix el postik Per tal de poder-ho expressar
millor ens centrare m en un punt concret de la xarxa el (30)
- - - - -
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Els tercer valor de cada una de les 5 columnes obtingudes amb el krigeat indicador eacutes a dir
els valors corresponents a la mostra situada en el node (30) representen la probabilitat de
que el valor de la variable en aquest punt sigui major que cada un deis cut-off
respectivament aixiacute podem afirmar que
P(Xiexcl lt el ) = P(x(3Q) lt 00995) =00000
P(xiexcl lt e2) = P(X(3 Q) lt 03764) =00397
P(xiexcl lt c3) = P(X(30) lt 07314) = 00409
P(xiexcl lt e4) = P(X(30) lt 12705) = 02079
P(xiexcl lt e5) = P(X(3 0) lt 25402) =10000
Si ara grafiquem aquests 5 valors obtenim una estimacioacute de la probabilitat que teacute el punt
estudiat (30) de ser meacutes petit que qualsevol valor eacutes a dir Iestimacioacute de la funcioacute de
probabilitat en aquest punt Com que el que es preteacuten estimar en el nostre estudi eacutes la
mediana mirarem quin valor aproxima per la probabilitat del 05 eacutes a dir
m tal que P(X(30) lt m) = 05
Per aixoacute tracem una liacutenia a Ialcada 05 i daquesta manera obtenim el valor estimat de la
mediana Aquest valor correspon al valor que obtenim amb el POSTIK que eacutes per aquesta
primera observacioacute 06983
10
x v 6 68 05 o
00
Figura 536 Els 5 cut-off aplicats al punt (30)
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Laplicacioacute del POSTIK realitza aquesta estimacioacute per a cada un deis punts obtinguts (625)
i daquesta manera podem obten ir una interpolacioacute de la mediana per cada un deis valors a
estimar
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
SEMIVARIOGRAMA DE LA MOSTRA
model exponencial
12
= r 07 -- ca E E ca O)
02
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 541 Semivariograma experimental amb un model exponencial
Aquest model obtingut a ull teacute els seguumlents parametres abast=7
meseta=1 05
Aplicant aquest valors al model general obtenim la formulacioacute per a les nostres dades
46
middotCapiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
MODEL ESFERIC La formulacioacute general eacutes
sih a
sih gt a
on a eacutes Iabast i c la meseta
SEMIVARIOGRAMA DE LA MOSTRA
model esferic
12
---shyro E 07 E ro Ol
02
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 54 2 Semivariograma experimental amb un model esfeacuterico
Aquest model Ihem obtingut de la mateixa manera que Ianterior a ull i els seus
parametres que tambeacute aplicarem a la forma general soacuten abast=6 i meseta=1
47
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Finalment pode m representar la superfiacutecie que hem estimat a partir del krigeat
lognormal utilitzant un grafic de superfiacutecie (Figura 54 5)
6
5
Krig Logn 3
2
o
20 eix y
Figura 545 Grafic de superfiacutecie pel krigeat lognormal
50
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
61 Regressioacute lineal
Per tal de dur a terme la compara cioacute entre els dos meacutetodes destimacioacute i les dades que
simulen la realitat hem expressat els resultats obtinguts graficament mitjancant els
grafics de punts ajustant en cada cas la recta de regressioacute i dibuixant la bisectriu Cal
tenir en compte que per augmentar la claredat i per a simplificar la interpretacioacute deis
resultat hem transformat les dades a una N(O1) encara que el nostre estudi es basi en
un model lognormal
Passem a continuacioacute a analitzar els grafics
En primer lIoc (Figura 611) tenim el grafic de punts entre les dades obtingudes amb el
primer meacutetode destimacioacute el krigeat lognormal i les dades provinents de la simula cioacute
de la realitat
Regression Plot y =3a1E -02jo O6lt40216X
R-Sq = 594
_0 ro
ro EID o middot Ole
~~ -2
-3
- -3 -2 -1
redade regresioacute
Bisectriu
realitat simulada
Figura 611 Recta de regressioacute entre el krigeat lognormal i la simulacioacute de la realitat
Si mirem aquest grafic podem observar que el valor de Iestimacioacute realitzada
sobreestima els valors petits de la simulacioacute i en canvi en els valors grans subestima
El coeficient de correlacioacute es del 594 eacutes a dir que el meacutetode del krigeat lognormal
explica un 594 de la realitat
52
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
Passem ara a realitzar el gratic entre el segon meto de destimacioacute el krigeat indicador
i la realitat simulada (Figura 612)
0 _O
m~ 0)-- o
~~ -1
-2
-3
Regression Plot y = -23E-02 + 0711 615X
R-Sq 526
bull bull
-3 -2 -1
realitat simulada
recta de regresi oacute
I Bisectriu
Figura 612 Recta de regressioacute entre el krigeat indicador i la simulacioacute de la realitat
Podem observar que el gratic obtingut eacutes molt semblant a Ianterior i que ens trobem
amb el mateix problema de sobreestimacioacute deis valors petits i subestimacioacute deis valors
grans de la simulacioacute
El valor del coeticient de correlacioacute tambeacute eacutes torga semblant 52 6 Aixiacute doncs la
realitat eacutes explicada en un 526 pel krigeat indicador
53
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
Finalment i per tenir una idea de la relacioacute que hi ha entre els dos meacutetodes emprats en
el projecte realitzarem un uacuteltim grafic comparatiu (Figura 613) que representa els dos
meacutetodes destimacioacute el krigeat lognormal i el krigeat indicador
Regression Plot y = -7 SE-02 + 105401X
R-Sq 796
middot2
middot3
recta de regresi6
bull Bisectriu
middot 4 middot3 middot2 -1
krigeat lognormal
Figura 613 Recta de regressioacute entre el krigeat lognormal i el krigeat indicador
En aquest cas podem observar que la recta de regressioacute coincideix gairebeacute a la
perfeccioacute amb la bisectriu cosa que vol dir que els dos meacutetodes soacuten molt semblants
entre siacute i que per tant eacutes normal que Iaproximacioacute de cada un dells a la realitat sigui
semblant
El valor de la regressioacute eacutes meacutes gran que en els altres dos casos 796 eacutes a dir que
els dos meacutetodes no donen resultats significativament diferents entre si
Podem observar un conjunt de dades que prenen valors especialment elevats en
Iestimacioacute per krigeat indicador Si analitzem aquests punts podem comprovar que
soacuten punts que tenen una probabilitat de ser meacutes grans que el cinqueacute cut-off (percentil
097) igual a 1 Per tant aquest tipus de punts no shan de tenir en compte en el
moment dextreure conclusions De fet aixo ja es sospitava en el grafic anterior pero
en que en aquell hi ha una elevada dispersioacute i per tant Iefecte queda dissimulat
54
Capiacutetol5 Desenvolupament del projecte
Mirant els cinc grafics veiem que el model que ajusta millor eacutes Iesferic en tots els casos
encara que no hi ha diferencies massa significatives respecte el model exponencial A meacutes
observem una certa simetria pel que fa a la meseta i abast de cada un deis models esferics
de cada categoria Taula 532
Cat 1 Cat2 Cat3 Cat4 Cat5
Meseta 003 022 0265 02 006
Abast 75 4 6 4 3
Taula 532 Meseta i abast per cada categoria
Aquesta simetria sobserva sobretot per les categories 2 3 i 4
Els models corresponents a les categories 1 i 5 no ajusten del tot beacute degut a que soacuten les
categories deis extrems i per tant la gran majoria de mostres si no totes estaran per sobre o
per sota respectivament
Ara ja podem fer Iestimacioacute per krigeat indicador Al programa ik3d li introduim els cinc
models de semivariogrames per tal que ens calculi Iestimacioacute
El resultat que obtenim soacuten cinc columnes de 625 dades on els valors van de O a 1
Concretament ens calcula la probabilitat de que el valor atorgat a cada punt sigui inferior al
daquell cut-off
El que es preteacuten ara eacutes a partir daquest conjunt de probabilitats interpolar la mediana per a
cada un deis punts de la xarxa per tant el que fem eacutes executar el programa postik en Iopcioacute
3 de manera que ens tregui Iestimacioacute de la mediana
A continuacioacute passem a detallar en que consisteix el postik Per tal de poder-ho expressar
millor ens centrare m en un punt concret de la xarxa el (30)
- - - - -
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Els tercer valor de cada una de les 5 columnes obtingudes amb el krigeat indicador eacutes a dir
els valors corresponents a la mostra situada en el node (30) representen la probabilitat de
que el valor de la variable en aquest punt sigui major que cada un deis cut-off
respectivament aixiacute podem afirmar que
P(Xiexcl lt el ) = P(x(3Q) lt 00995) =00000
P(xiexcl lt e2) = P(X(3 Q) lt 03764) =00397
P(xiexcl lt c3) = P(X(30) lt 07314) = 00409
P(xiexcl lt e4) = P(X(30) lt 12705) = 02079
P(xiexcl lt e5) = P(X(3 0) lt 25402) =10000
Si ara grafiquem aquests 5 valors obtenim una estimacioacute de la probabilitat que teacute el punt
estudiat (30) de ser meacutes petit que qualsevol valor eacutes a dir Iestimacioacute de la funcioacute de
probabilitat en aquest punt Com que el que es preteacuten estimar en el nostre estudi eacutes la
mediana mirarem quin valor aproxima per la probabilitat del 05 eacutes a dir
m tal que P(X(30) lt m) = 05
Per aixoacute tracem una liacutenia a Ialcada 05 i daquesta manera obtenim el valor estimat de la
mediana Aquest valor correspon al valor que obtenim amb el POSTIK que eacutes per aquesta
primera observacioacute 06983
10
x v 6 68 05 o
00
Figura 536 Els 5 cut-off aplicats al punt (30)
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Laplicacioacute del POSTIK realitza aquesta estimacioacute per a cada un deis punts obtinguts (625)
i daquesta manera podem obten ir una interpolacioacute de la mediana per cada un deis valors a
estimar
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
SEMIVARIOGRAMA DE LA MOSTRA
model exponencial
12
= r 07 -- ca E E ca O)
02
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 541 Semivariograma experimental amb un model exponencial
Aquest model obtingut a ull teacute els seguumlents parametres abast=7
meseta=1 05
Aplicant aquest valors al model general obtenim la formulacioacute per a les nostres dades
46
middotCapiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
MODEL ESFERIC La formulacioacute general eacutes
sih a
sih gt a
on a eacutes Iabast i c la meseta
SEMIVARIOGRAMA DE LA MOSTRA
model esferic
12
---shyro E 07 E ro Ol
02
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 54 2 Semivariograma experimental amb un model esfeacuterico
Aquest model Ihem obtingut de la mateixa manera que Ianterior a ull i els seus
parametres que tambeacute aplicarem a la forma general soacuten abast=6 i meseta=1
47
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Finalment pode m representar la superfiacutecie que hem estimat a partir del krigeat
lognormal utilitzant un grafic de superfiacutecie (Figura 54 5)
6
5
Krig Logn 3
2
o
20 eix y
Figura 545 Grafic de superfiacutecie pel krigeat lognormal
50
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
61 Regressioacute lineal
Per tal de dur a terme la compara cioacute entre els dos meacutetodes destimacioacute i les dades que
simulen la realitat hem expressat els resultats obtinguts graficament mitjancant els
grafics de punts ajustant en cada cas la recta de regressioacute i dibuixant la bisectriu Cal
tenir en compte que per augmentar la claredat i per a simplificar la interpretacioacute deis
resultat hem transformat les dades a una N(O1) encara que el nostre estudi es basi en
un model lognormal
Passem a continuacioacute a analitzar els grafics
En primer lIoc (Figura 611) tenim el grafic de punts entre les dades obtingudes amb el
primer meacutetode destimacioacute el krigeat lognormal i les dades provinents de la simula cioacute
de la realitat
Regression Plot y =3a1E -02jo O6lt40216X
R-Sq = 594
_0 ro
ro EID o middot Ole
~~ -2
-3
- -3 -2 -1
redade regresioacute
Bisectriu
realitat simulada
Figura 611 Recta de regressioacute entre el krigeat lognormal i la simulacioacute de la realitat
Si mirem aquest grafic podem observar que el valor de Iestimacioacute realitzada
sobreestima els valors petits de la simulacioacute i en canvi en els valors grans subestima
El coeficient de correlacioacute es del 594 eacutes a dir que el meacutetode del krigeat lognormal
explica un 594 de la realitat
52
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
Passem ara a realitzar el gratic entre el segon meto de destimacioacute el krigeat indicador
i la realitat simulada (Figura 612)
0 _O
m~ 0)-- o
~~ -1
-2
-3
Regression Plot y = -23E-02 + 0711 615X
R-Sq 526
bull bull
-3 -2 -1
realitat simulada
recta de regresi oacute
I Bisectriu
Figura 612 Recta de regressioacute entre el krigeat indicador i la simulacioacute de la realitat
Podem observar que el gratic obtingut eacutes molt semblant a Ianterior i que ens trobem
amb el mateix problema de sobreestimacioacute deis valors petits i subestimacioacute deis valors
grans de la simulacioacute
El valor del coeticient de correlacioacute tambeacute eacutes torga semblant 52 6 Aixiacute doncs la
realitat eacutes explicada en un 526 pel krigeat indicador
53
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
Finalment i per tenir una idea de la relacioacute que hi ha entre els dos meacutetodes emprats en
el projecte realitzarem un uacuteltim grafic comparatiu (Figura 613) que representa els dos
meacutetodes destimacioacute el krigeat lognormal i el krigeat indicador
Regression Plot y = -7 SE-02 + 105401X
R-Sq 796
middot2
middot3
recta de regresi6
bull Bisectriu
middot 4 middot3 middot2 -1
krigeat lognormal
Figura 613 Recta de regressioacute entre el krigeat lognormal i el krigeat indicador
En aquest cas podem observar que la recta de regressioacute coincideix gairebeacute a la
perfeccioacute amb la bisectriu cosa que vol dir que els dos meacutetodes soacuten molt semblants
entre siacute i que per tant eacutes normal que Iaproximacioacute de cada un dells a la realitat sigui
semblant
El valor de la regressioacute eacutes meacutes gran que en els altres dos casos 796 eacutes a dir que
els dos meacutetodes no donen resultats significativament diferents entre si
Podem observar un conjunt de dades que prenen valors especialment elevats en
Iestimacioacute per krigeat indicador Si analitzem aquests punts podem comprovar que
soacuten punts que tenen una probabilitat de ser meacutes grans que el cinqueacute cut-off (percentil
097) igual a 1 Per tant aquest tipus de punts no shan de tenir en compte en el
moment dextreure conclusions De fet aixo ja es sospitava en el grafic anterior pero
en que en aquell hi ha una elevada dispersioacute i per tant Iefecte queda dissimulat
54
- - - - -
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Els tercer valor de cada una de les 5 columnes obtingudes amb el krigeat indicador eacutes a dir
els valors corresponents a la mostra situada en el node (30) representen la probabilitat de
que el valor de la variable en aquest punt sigui major que cada un deis cut-off
respectivament aixiacute podem afirmar que
P(Xiexcl lt el ) = P(x(3Q) lt 00995) =00000
P(xiexcl lt e2) = P(X(3 Q) lt 03764) =00397
P(xiexcl lt c3) = P(X(30) lt 07314) = 00409
P(xiexcl lt e4) = P(X(30) lt 12705) = 02079
P(xiexcl lt e5) = P(X(3 0) lt 25402) =10000
Si ara grafiquem aquests 5 valors obtenim una estimacioacute de la probabilitat que teacute el punt
estudiat (30) de ser meacutes petit que qualsevol valor eacutes a dir Iestimacioacute de la funcioacute de
probabilitat en aquest punt Com que el que es preteacuten estimar en el nostre estudi eacutes la
mediana mirarem quin valor aproxima per la probabilitat del 05 eacutes a dir
m tal que P(X(30) lt m) = 05
Per aixoacute tracem una liacutenia a Ialcada 05 i daquesta manera obtenim el valor estimat de la
mediana Aquest valor correspon al valor que obtenim amb el POSTIK que eacutes per aquesta
primera observacioacute 06983
10
x v 6 68 05 o
00
Figura 536 Els 5 cut-off aplicats al punt (30)
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Laplicacioacute del POSTIK realitza aquesta estimacioacute per a cada un deis punts obtinguts (625)
i daquesta manera podem obten ir una interpolacioacute de la mediana per cada un deis valors a
estimar
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
SEMIVARIOGRAMA DE LA MOSTRA
model exponencial
12
= r 07 -- ca E E ca O)
02
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 541 Semivariograma experimental amb un model exponencial
Aquest model obtingut a ull teacute els seguumlents parametres abast=7
meseta=1 05
Aplicant aquest valors al model general obtenim la formulacioacute per a les nostres dades
46
middotCapiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
MODEL ESFERIC La formulacioacute general eacutes
sih a
sih gt a
on a eacutes Iabast i c la meseta
SEMIVARIOGRAMA DE LA MOSTRA
model esferic
12
---shyro E 07 E ro Ol
02
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 54 2 Semivariograma experimental amb un model esfeacuterico
Aquest model Ihem obtingut de la mateixa manera que Ianterior a ull i els seus
parametres que tambeacute aplicarem a la forma general soacuten abast=6 i meseta=1
47
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Finalment pode m representar la superfiacutecie que hem estimat a partir del krigeat
lognormal utilitzant un grafic de superfiacutecie (Figura 54 5)
6
5
Krig Logn 3
2
o
20 eix y
Figura 545 Grafic de superfiacutecie pel krigeat lognormal
50
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
61 Regressioacute lineal
Per tal de dur a terme la compara cioacute entre els dos meacutetodes destimacioacute i les dades que
simulen la realitat hem expressat els resultats obtinguts graficament mitjancant els
grafics de punts ajustant en cada cas la recta de regressioacute i dibuixant la bisectriu Cal
tenir en compte que per augmentar la claredat i per a simplificar la interpretacioacute deis
resultat hem transformat les dades a una N(O1) encara que el nostre estudi es basi en
un model lognormal
Passem a continuacioacute a analitzar els grafics
En primer lIoc (Figura 611) tenim el grafic de punts entre les dades obtingudes amb el
primer meacutetode destimacioacute el krigeat lognormal i les dades provinents de la simula cioacute
de la realitat
Regression Plot y =3a1E -02jo O6lt40216X
R-Sq = 594
_0 ro
ro EID o middot Ole
~~ -2
-3
- -3 -2 -1
redade regresioacute
Bisectriu
realitat simulada
Figura 611 Recta de regressioacute entre el krigeat lognormal i la simulacioacute de la realitat
Si mirem aquest grafic podem observar que el valor de Iestimacioacute realitzada
sobreestima els valors petits de la simulacioacute i en canvi en els valors grans subestima
El coeficient de correlacioacute es del 594 eacutes a dir que el meacutetode del krigeat lognormal
explica un 594 de la realitat
52
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
Passem ara a realitzar el gratic entre el segon meto de destimacioacute el krigeat indicador
i la realitat simulada (Figura 612)
0 _O
m~ 0)-- o
~~ -1
-2
-3
Regression Plot y = -23E-02 + 0711 615X
R-Sq 526
bull bull
-3 -2 -1
realitat simulada
recta de regresi oacute
I Bisectriu
Figura 612 Recta de regressioacute entre el krigeat indicador i la simulacioacute de la realitat
Podem observar que el gratic obtingut eacutes molt semblant a Ianterior i que ens trobem
amb el mateix problema de sobreestimacioacute deis valors petits i subestimacioacute deis valors
grans de la simulacioacute
El valor del coeticient de correlacioacute tambeacute eacutes torga semblant 52 6 Aixiacute doncs la
realitat eacutes explicada en un 526 pel krigeat indicador
53
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
Finalment i per tenir una idea de la relacioacute que hi ha entre els dos meacutetodes emprats en
el projecte realitzarem un uacuteltim grafic comparatiu (Figura 613) que representa els dos
meacutetodes destimacioacute el krigeat lognormal i el krigeat indicador
Regression Plot y = -7 SE-02 + 105401X
R-Sq 796
middot2
middot3
recta de regresi6
bull Bisectriu
middot 4 middot3 middot2 -1
krigeat lognormal
Figura 613 Recta de regressioacute entre el krigeat lognormal i el krigeat indicador
En aquest cas podem observar que la recta de regressioacute coincideix gairebeacute a la
perfeccioacute amb la bisectriu cosa que vol dir que els dos meacutetodes soacuten molt semblants
entre siacute i que per tant eacutes normal que Iaproximacioacute de cada un dells a la realitat sigui
semblant
El valor de la regressioacute eacutes meacutes gran que en els altres dos casos 796 eacutes a dir que
els dos meacutetodes no donen resultats significativament diferents entre si
Podem observar un conjunt de dades que prenen valors especialment elevats en
Iestimacioacute per krigeat indicador Si analitzem aquests punts podem comprovar que
soacuten punts que tenen una probabilitat de ser meacutes grans que el cinqueacute cut-off (percentil
097) igual a 1 Per tant aquest tipus de punts no shan de tenir en compte en el
moment dextreure conclusions De fet aixo ja es sospitava en el grafic anterior pero
en que en aquell hi ha una elevada dispersioacute i per tant Iefecte queda dissimulat
54
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Laplicacioacute del POSTIK realitza aquesta estimacioacute per a cada un deis punts obtinguts (625)
i daquesta manera podem obten ir una interpolacioacute de la mediana per cada un deis valors a
estimar
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
SEMIVARIOGRAMA DE LA MOSTRA
model exponencial
12
= r 07 -- ca E E ca O)
02
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 541 Semivariograma experimental amb un model exponencial
Aquest model obtingut a ull teacute els seguumlents parametres abast=7
meseta=1 05
Aplicant aquest valors al model general obtenim la formulacioacute per a les nostres dades
46
middotCapiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
MODEL ESFERIC La formulacioacute general eacutes
sih a
sih gt a
on a eacutes Iabast i c la meseta
SEMIVARIOGRAMA DE LA MOSTRA
model esferic
12
---shyro E 07 E ro Ol
02
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 54 2 Semivariograma experimental amb un model esfeacuterico
Aquest model Ihem obtingut de la mateixa manera que Ianterior a ull i els seus
parametres que tambeacute aplicarem a la forma general soacuten abast=6 i meseta=1
47
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Finalment pode m representar la superfiacutecie que hem estimat a partir del krigeat
lognormal utilitzant un grafic de superfiacutecie (Figura 54 5)
6
5
Krig Logn 3
2
o
20 eix y
Figura 545 Grafic de superfiacutecie pel krigeat lognormal
50
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
61 Regressioacute lineal
Per tal de dur a terme la compara cioacute entre els dos meacutetodes destimacioacute i les dades que
simulen la realitat hem expressat els resultats obtinguts graficament mitjancant els
grafics de punts ajustant en cada cas la recta de regressioacute i dibuixant la bisectriu Cal
tenir en compte que per augmentar la claredat i per a simplificar la interpretacioacute deis
resultat hem transformat les dades a una N(O1) encara que el nostre estudi es basi en
un model lognormal
Passem a continuacioacute a analitzar els grafics
En primer lIoc (Figura 611) tenim el grafic de punts entre les dades obtingudes amb el
primer meacutetode destimacioacute el krigeat lognormal i les dades provinents de la simula cioacute
de la realitat
Regression Plot y =3a1E -02jo O6lt40216X
R-Sq = 594
_0 ro
ro EID o middot Ole
~~ -2
-3
- -3 -2 -1
redade regresioacute
Bisectriu
realitat simulada
Figura 611 Recta de regressioacute entre el krigeat lognormal i la simulacioacute de la realitat
Si mirem aquest grafic podem observar que el valor de Iestimacioacute realitzada
sobreestima els valors petits de la simulacioacute i en canvi en els valors grans subestima
El coeficient de correlacioacute es del 594 eacutes a dir que el meacutetode del krigeat lognormal
explica un 594 de la realitat
52
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
Passem ara a realitzar el gratic entre el segon meto de destimacioacute el krigeat indicador
i la realitat simulada (Figura 612)
0 _O
m~ 0)-- o
~~ -1
-2
-3
Regression Plot y = -23E-02 + 0711 615X
R-Sq 526
bull bull
-3 -2 -1
realitat simulada
recta de regresi oacute
I Bisectriu
Figura 612 Recta de regressioacute entre el krigeat indicador i la simulacioacute de la realitat
Podem observar que el gratic obtingut eacutes molt semblant a Ianterior i que ens trobem
amb el mateix problema de sobreestimacioacute deis valors petits i subestimacioacute deis valors
grans de la simulacioacute
El valor del coeticient de correlacioacute tambeacute eacutes torga semblant 52 6 Aixiacute doncs la
realitat eacutes explicada en un 526 pel krigeat indicador
53
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
Finalment i per tenir una idea de la relacioacute que hi ha entre els dos meacutetodes emprats en
el projecte realitzarem un uacuteltim grafic comparatiu (Figura 613) que representa els dos
meacutetodes destimacioacute el krigeat lognormal i el krigeat indicador
Regression Plot y = -7 SE-02 + 105401X
R-Sq 796
middot2
middot3
recta de regresi6
bull Bisectriu
middot 4 middot3 middot2 -1
krigeat lognormal
Figura 613 Recta de regressioacute entre el krigeat lognormal i el krigeat indicador
En aquest cas podem observar que la recta de regressioacute coincideix gairebeacute a la
perfeccioacute amb la bisectriu cosa que vol dir que els dos meacutetodes soacuten molt semblants
entre siacute i que per tant eacutes normal que Iaproximacioacute de cada un dells a la realitat sigui
semblant
El valor de la regressioacute eacutes meacutes gran que en els altres dos casos 796 eacutes a dir que
els dos meacutetodes no donen resultats significativament diferents entre si
Podem observar un conjunt de dades que prenen valors especialment elevats en
Iestimacioacute per krigeat indicador Si analitzem aquests punts podem comprovar que
soacuten punts que tenen una probabilitat de ser meacutes grans que el cinqueacute cut-off (percentil
097) igual a 1 Per tant aquest tipus de punts no shan de tenir en compte en el
moment dextreure conclusions De fet aixo ja es sospitava en el grafic anterior pero
en que en aquell hi ha una elevada dispersioacute i per tant Iefecte queda dissimulat
54
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
SEMIVARIOGRAMA DE LA MOSTRA
model exponencial
12
= r 07 -- ca E E ca O)
02
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 541 Semivariograma experimental amb un model exponencial
Aquest model obtingut a ull teacute els seguumlents parametres abast=7
meseta=1 05
Aplicant aquest valors al model general obtenim la formulacioacute per a les nostres dades
46
middotCapiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
MODEL ESFERIC La formulacioacute general eacutes
sih a
sih gt a
on a eacutes Iabast i c la meseta
SEMIVARIOGRAMA DE LA MOSTRA
model esferic
12
---shyro E 07 E ro Ol
02
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 54 2 Semivariograma experimental amb un model esfeacuterico
Aquest model Ihem obtingut de la mateixa manera que Ianterior a ull i els seus
parametres que tambeacute aplicarem a la forma general soacuten abast=6 i meseta=1
47
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Finalment pode m representar la superfiacutecie que hem estimat a partir del krigeat
lognormal utilitzant un grafic de superfiacutecie (Figura 54 5)
6
5
Krig Logn 3
2
o
20 eix y
Figura 545 Grafic de superfiacutecie pel krigeat lognormal
50
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
61 Regressioacute lineal
Per tal de dur a terme la compara cioacute entre els dos meacutetodes destimacioacute i les dades que
simulen la realitat hem expressat els resultats obtinguts graficament mitjancant els
grafics de punts ajustant en cada cas la recta de regressioacute i dibuixant la bisectriu Cal
tenir en compte que per augmentar la claredat i per a simplificar la interpretacioacute deis
resultat hem transformat les dades a una N(O1) encara que el nostre estudi es basi en
un model lognormal
Passem a continuacioacute a analitzar els grafics
En primer lIoc (Figura 611) tenim el grafic de punts entre les dades obtingudes amb el
primer meacutetode destimacioacute el krigeat lognormal i les dades provinents de la simula cioacute
de la realitat
Regression Plot y =3a1E -02jo O6lt40216X
R-Sq = 594
_0 ro
ro EID o middot Ole
~~ -2
-3
- -3 -2 -1
redade regresioacute
Bisectriu
realitat simulada
Figura 611 Recta de regressioacute entre el krigeat lognormal i la simulacioacute de la realitat
Si mirem aquest grafic podem observar que el valor de Iestimacioacute realitzada
sobreestima els valors petits de la simulacioacute i en canvi en els valors grans subestima
El coeficient de correlacioacute es del 594 eacutes a dir que el meacutetode del krigeat lognormal
explica un 594 de la realitat
52
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
Passem ara a realitzar el gratic entre el segon meto de destimacioacute el krigeat indicador
i la realitat simulada (Figura 612)
0 _O
m~ 0)-- o
~~ -1
-2
-3
Regression Plot y = -23E-02 + 0711 615X
R-Sq 526
bull bull
-3 -2 -1
realitat simulada
recta de regresi oacute
I Bisectriu
Figura 612 Recta de regressioacute entre el krigeat indicador i la simulacioacute de la realitat
Podem observar que el gratic obtingut eacutes molt semblant a Ianterior i que ens trobem
amb el mateix problema de sobreestimacioacute deis valors petits i subestimacioacute deis valors
grans de la simulacioacute
El valor del coeticient de correlacioacute tambeacute eacutes torga semblant 52 6 Aixiacute doncs la
realitat eacutes explicada en un 526 pel krigeat indicador
53
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
Finalment i per tenir una idea de la relacioacute que hi ha entre els dos meacutetodes emprats en
el projecte realitzarem un uacuteltim grafic comparatiu (Figura 613) que representa els dos
meacutetodes destimacioacute el krigeat lognormal i el krigeat indicador
Regression Plot y = -7 SE-02 + 105401X
R-Sq 796
middot2
middot3
recta de regresi6
bull Bisectriu
middot 4 middot3 middot2 -1
krigeat lognormal
Figura 613 Recta de regressioacute entre el krigeat lognormal i el krigeat indicador
En aquest cas podem observar que la recta de regressioacute coincideix gairebeacute a la
perfeccioacute amb la bisectriu cosa que vol dir que els dos meacutetodes soacuten molt semblants
entre siacute i que per tant eacutes normal que Iaproximacioacute de cada un dells a la realitat sigui
semblant
El valor de la regressioacute eacutes meacutes gran que en els altres dos casos 796 eacutes a dir que
els dos meacutetodes no donen resultats significativament diferents entre si
Podem observar un conjunt de dades que prenen valors especialment elevats en
Iestimacioacute per krigeat indicador Si analitzem aquests punts podem comprovar que
soacuten punts que tenen una probabilitat de ser meacutes grans que el cinqueacute cut-off (percentil
097) igual a 1 Per tant aquest tipus de punts no shan de tenir en compte en el
moment dextreure conclusions De fet aixo ja es sospitava en el grafic anterior pero
en que en aquell hi ha una elevada dispersioacute i per tant Iefecte queda dissimulat
54
middotCapiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
MODEL ESFERIC La formulacioacute general eacutes
sih a
sih gt a
on a eacutes Iabast i c la meseta
SEMIVARIOGRAMA DE LA MOSTRA
model esferic
12
---shyro E 07 E ro Ol
02
o 2 4 6 8 10 12
Ihl
Figura 54 2 Semivariograma experimental amb un model esfeacuterico
Aquest model Ihem obtingut de la mateixa manera que Ianterior a ull i els seus
parametres que tambeacute aplicarem a la forma general soacuten abast=6 i meseta=1
47
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Finalment pode m representar la superfiacutecie que hem estimat a partir del krigeat
lognormal utilitzant un grafic de superfiacutecie (Figura 54 5)
6
5
Krig Logn 3
2
o
20 eix y
Figura 545 Grafic de superfiacutecie pel krigeat lognormal
50
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
61 Regressioacute lineal
Per tal de dur a terme la compara cioacute entre els dos meacutetodes destimacioacute i les dades que
simulen la realitat hem expressat els resultats obtinguts graficament mitjancant els
grafics de punts ajustant en cada cas la recta de regressioacute i dibuixant la bisectriu Cal
tenir en compte que per augmentar la claredat i per a simplificar la interpretacioacute deis
resultat hem transformat les dades a una N(O1) encara que el nostre estudi es basi en
un model lognormal
Passem a continuacioacute a analitzar els grafics
En primer lIoc (Figura 611) tenim el grafic de punts entre les dades obtingudes amb el
primer meacutetode destimacioacute el krigeat lognormal i les dades provinents de la simula cioacute
de la realitat
Regression Plot y =3a1E -02jo O6lt40216X
R-Sq = 594
_0 ro
ro EID o middot Ole
~~ -2
-3
- -3 -2 -1
redade regresioacute
Bisectriu
realitat simulada
Figura 611 Recta de regressioacute entre el krigeat lognormal i la simulacioacute de la realitat
Si mirem aquest grafic podem observar que el valor de Iestimacioacute realitzada
sobreestima els valors petits de la simulacioacute i en canvi en els valors grans subestima
El coeficient de correlacioacute es del 594 eacutes a dir que el meacutetode del krigeat lognormal
explica un 594 de la realitat
52
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
Passem ara a realitzar el gratic entre el segon meto de destimacioacute el krigeat indicador
i la realitat simulada (Figura 612)
0 _O
m~ 0)-- o
~~ -1
-2
-3
Regression Plot y = -23E-02 + 0711 615X
R-Sq 526
bull bull
-3 -2 -1
realitat simulada
recta de regresi oacute
I Bisectriu
Figura 612 Recta de regressioacute entre el krigeat indicador i la simulacioacute de la realitat
Podem observar que el gratic obtingut eacutes molt semblant a Ianterior i que ens trobem
amb el mateix problema de sobreestimacioacute deis valors petits i subestimacioacute deis valors
grans de la simulacioacute
El valor del coeticient de correlacioacute tambeacute eacutes torga semblant 52 6 Aixiacute doncs la
realitat eacutes explicada en un 526 pel krigeat indicador
53
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
Finalment i per tenir una idea de la relacioacute que hi ha entre els dos meacutetodes emprats en
el projecte realitzarem un uacuteltim grafic comparatiu (Figura 613) que representa els dos
meacutetodes destimacioacute el krigeat lognormal i el krigeat indicador
Regression Plot y = -7 SE-02 + 105401X
R-Sq 796
middot2
middot3
recta de regresi6
bull Bisectriu
middot 4 middot3 middot2 -1
krigeat lognormal
Figura 613 Recta de regressioacute entre el krigeat lognormal i el krigeat indicador
En aquest cas podem observar que la recta de regressioacute coincideix gairebeacute a la
perfeccioacute amb la bisectriu cosa que vol dir que els dos meacutetodes soacuten molt semblants
entre siacute i que per tant eacutes normal que Iaproximacioacute de cada un dells a la realitat sigui
semblant
El valor de la regressioacute eacutes meacutes gran que en els altres dos casos 796 eacutes a dir que
els dos meacutetodes no donen resultats significativament diferents entre si
Podem observar un conjunt de dades que prenen valors especialment elevats en
Iestimacioacute per krigeat indicador Si analitzem aquests punts podem comprovar que
soacuten punts que tenen una probabilitat de ser meacutes grans que el cinqueacute cut-off (percentil
097) igual a 1 Per tant aquest tipus de punts no shan de tenir en compte en el
moment dextreure conclusions De fet aixo ja es sospitava en el grafic anterior pero
en que en aquell hi ha una elevada dispersioacute i per tant Iefecte queda dissimulat
54
Capiacutetol 5 Desenvolupament del projecte
Finalment pode m representar la superfiacutecie que hem estimat a partir del krigeat
lognormal utilitzant un grafic de superfiacutecie (Figura 54 5)
6
5
Krig Logn 3
2
o
20 eix y
Figura 545 Grafic de superfiacutecie pel krigeat lognormal
50
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
61 Regressioacute lineal
Per tal de dur a terme la compara cioacute entre els dos meacutetodes destimacioacute i les dades que
simulen la realitat hem expressat els resultats obtinguts graficament mitjancant els
grafics de punts ajustant en cada cas la recta de regressioacute i dibuixant la bisectriu Cal
tenir en compte que per augmentar la claredat i per a simplificar la interpretacioacute deis
resultat hem transformat les dades a una N(O1) encara que el nostre estudi es basi en
un model lognormal
Passem a continuacioacute a analitzar els grafics
En primer lIoc (Figura 611) tenim el grafic de punts entre les dades obtingudes amb el
primer meacutetode destimacioacute el krigeat lognormal i les dades provinents de la simula cioacute
de la realitat
Regression Plot y =3a1E -02jo O6lt40216X
R-Sq = 594
_0 ro
ro EID o middot Ole
~~ -2
-3
- -3 -2 -1
redade regresioacute
Bisectriu
realitat simulada
Figura 611 Recta de regressioacute entre el krigeat lognormal i la simulacioacute de la realitat
Si mirem aquest grafic podem observar que el valor de Iestimacioacute realitzada
sobreestima els valors petits de la simulacioacute i en canvi en els valors grans subestima
El coeficient de correlacioacute es del 594 eacutes a dir que el meacutetode del krigeat lognormal
explica un 594 de la realitat
52
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
Passem ara a realitzar el gratic entre el segon meto de destimacioacute el krigeat indicador
i la realitat simulada (Figura 612)
0 _O
m~ 0)-- o
~~ -1
-2
-3
Regression Plot y = -23E-02 + 0711 615X
R-Sq 526
bull bull
-3 -2 -1
realitat simulada
recta de regresi oacute
I Bisectriu
Figura 612 Recta de regressioacute entre el krigeat indicador i la simulacioacute de la realitat
Podem observar que el gratic obtingut eacutes molt semblant a Ianterior i que ens trobem
amb el mateix problema de sobreestimacioacute deis valors petits i subestimacioacute deis valors
grans de la simulacioacute
El valor del coeticient de correlacioacute tambeacute eacutes torga semblant 52 6 Aixiacute doncs la
realitat eacutes explicada en un 526 pel krigeat indicador
53
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
Finalment i per tenir una idea de la relacioacute que hi ha entre els dos meacutetodes emprats en
el projecte realitzarem un uacuteltim grafic comparatiu (Figura 613) que representa els dos
meacutetodes destimacioacute el krigeat lognormal i el krigeat indicador
Regression Plot y = -7 SE-02 + 105401X
R-Sq 796
middot2
middot3
recta de regresi6
bull Bisectriu
middot 4 middot3 middot2 -1
krigeat lognormal
Figura 613 Recta de regressioacute entre el krigeat lognormal i el krigeat indicador
En aquest cas podem observar que la recta de regressioacute coincideix gairebeacute a la
perfeccioacute amb la bisectriu cosa que vol dir que els dos meacutetodes soacuten molt semblants
entre siacute i que per tant eacutes normal que Iaproximacioacute de cada un dells a la realitat sigui
semblant
El valor de la regressioacute eacutes meacutes gran que en els altres dos casos 796 eacutes a dir que
els dos meacutetodes no donen resultats significativament diferents entre si
Podem observar un conjunt de dades que prenen valors especialment elevats en
Iestimacioacute per krigeat indicador Si analitzem aquests punts podem comprovar que
soacuten punts que tenen una probabilitat de ser meacutes grans que el cinqueacute cut-off (percentil
097) igual a 1 Per tant aquest tipus de punts no shan de tenir en compte en el
moment dextreure conclusions De fet aixo ja es sospitava en el grafic anterior pero
en que en aquell hi ha una elevada dispersioacute i per tant Iefecte queda dissimulat
54
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
61 Regressioacute lineal
Per tal de dur a terme la compara cioacute entre els dos meacutetodes destimacioacute i les dades que
simulen la realitat hem expressat els resultats obtinguts graficament mitjancant els
grafics de punts ajustant en cada cas la recta de regressioacute i dibuixant la bisectriu Cal
tenir en compte que per augmentar la claredat i per a simplificar la interpretacioacute deis
resultat hem transformat les dades a una N(O1) encara que el nostre estudi es basi en
un model lognormal
Passem a continuacioacute a analitzar els grafics
En primer lIoc (Figura 611) tenim el grafic de punts entre les dades obtingudes amb el
primer meacutetode destimacioacute el krigeat lognormal i les dades provinents de la simula cioacute
de la realitat
Regression Plot y =3a1E -02jo O6lt40216X
R-Sq = 594
_0 ro
ro EID o middot Ole
~~ -2
-3
- -3 -2 -1
redade regresioacute
Bisectriu
realitat simulada
Figura 611 Recta de regressioacute entre el krigeat lognormal i la simulacioacute de la realitat
Si mirem aquest grafic podem observar que el valor de Iestimacioacute realitzada
sobreestima els valors petits de la simulacioacute i en canvi en els valors grans subestima
El coeficient de correlacioacute es del 594 eacutes a dir que el meacutetode del krigeat lognormal
explica un 594 de la realitat
52
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
Passem ara a realitzar el gratic entre el segon meto de destimacioacute el krigeat indicador
i la realitat simulada (Figura 612)
0 _O
m~ 0)-- o
~~ -1
-2
-3
Regression Plot y = -23E-02 + 0711 615X
R-Sq 526
bull bull
-3 -2 -1
realitat simulada
recta de regresi oacute
I Bisectriu
Figura 612 Recta de regressioacute entre el krigeat indicador i la simulacioacute de la realitat
Podem observar que el gratic obtingut eacutes molt semblant a Ianterior i que ens trobem
amb el mateix problema de sobreestimacioacute deis valors petits i subestimacioacute deis valors
grans de la simulacioacute
El valor del coeticient de correlacioacute tambeacute eacutes torga semblant 52 6 Aixiacute doncs la
realitat eacutes explicada en un 526 pel krigeat indicador
53
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
Finalment i per tenir una idea de la relacioacute que hi ha entre els dos meacutetodes emprats en
el projecte realitzarem un uacuteltim grafic comparatiu (Figura 613) que representa els dos
meacutetodes destimacioacute el krigeat lognormal i el krigeat indicador
Regression Plot y = -7 SE-02 + 105401X
R-Sq 796
middot2
middot3
recta de regresi6
bull Bisectriu
middot 4 middot3 middot2 -1
krigeat lognormal
Figura 613 Recta de regressioacute entre el krigeat lognormal i el krigeat indicador
En aquest cas podem observar que la recta de regressioacute coincideix gairebeacute a la
perfeccioacute amb la bisectriu cosa que vol dir que els dos meacutetodes soacuten molt semblants
entre siacute i que per tant eacutes normal que Iaproximacioacute de cada un dells a la realitat sigui
semblant
El valor de la regressioacute eacutes meacutes gran que en els altres dos casos 796 eacutes a dir que
els dos meacutetodes no donen resultats significativament diferents entre si
Podem observar un conjunt de dades que prenen valors especialment elevats en
Iestimacioacute per krigeat indicador Si analitzem aquests punts podem comprovar que
soacuten punts que tenen una probabilitat de ser meacutes grans que el cinqueacute cut-off (percentil
097) igual a 1 Per tant aquest tipus de punts no shan de tenir en compte en el
moment dextreure conclusions De fet aixo ja es sospitava en el grafic anterior pero
en que en aquell hi ha una elevada dispersioacute i per tant Iefecte queda dissimulat
54
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
Passem ara a realitzar el gratic entre el segon meto de destimacioacute el krigeat indicador
i la realitat simulada (Figura 612)
0 _O
m~ 0)-- o
~~ -1
-2
-3
Regression Plot y = -23E-02 + 0711 615X
R-Sq 526
bull bull
-3 -2 -1
realitat simulada
recta de regresi oacute
I Bisectriu
Figura 612 Recta de regressioacute entre el krigeat indicador i la simulacioacute de la realitat
Podem observar que el gratic obtingut eacutes molt semblant a Ianterior i que ens trobem
amb el mateix problema de sobreestimacioacute deis valors petits i subestimacioacute deis valors
grans de la simulacioacute
El valor del coeticient de correlacioacute tambeacute eacutes torga semblant 52 6 Aixiacute doncs la
realitat eacutes explicada en un 526 pel krigeat indicador
53
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
Finalment i per tenir una idea de la relacioacute que hi ha entre els dos meacutetodes emprats en
el projecte realitzarem un uacuteltim grafic comparatiu (Figura 613) que representa els dos
meacutetodes destimacioacute el krigeat lognormal i el krigeat indicador
Regression Plot y = -7 SE-02 + 105401X
R-Sq 796
middot2
middot3
recta de regresi6
bull Bisectriu
middot 4 middot3 middot2 -1
krigeat lognormal
Figura 613 Recta de regressioacute entre el krigeat lognormal i el krigeat indicador
En aquest cas podem observar que la recta de regressioacute coincideix gairebeacute a la
perfeccioacute amb la bisectriu cosa que vol dir que els dos meacutetodes soacuten molt semblants
entre siacute i que per tant eacutes normal que Iaproximacioacute de cada un dells a la realitat sigui
semblant
El valor de la regressioacute eacutes meacutes gran que en els altres dos casos 796 eacutes a dir que
els dos meacutetodes no donen resultats significativament diferents entre si
Podem observar un conjunt de dades que prenen valors especialment elevats en
Iestimacioacute per krigeat indicador Si analitzem aquests punts podem comprovar que
soacuten punts que tenen una probabilitat de ser meacutes grans que el cinqueacute cut-off (percentil
097) igual a 1 Per tant aquest tipus de punts no shan de tenir en compte en el
moment dextreure conclusions De fet aixo ja es sospitava en el grafic anterior pero
en que en aquell hi ha una elevada dispersioacute i per tant Iefecte queda dissimulat
54
Capiacutetol 6Comparacioacute deis resultats obtinguts
Finalment i per tenir una idea de la relacioacute que hi ha entre els dos meacutetodes emprats en
el projecte realitzarem un uacuteltim grafic comparatiu (Figura 613) que representa els dos
meacutetodes destimacioacute el krigeat lognormal i el krigeat indicador
Regression Plot y = -7 SE-02 + 105401X
R-Sq 796
middot2
middot3
recta de regresi6
bull Bisectriu
middot 4 middot3 middot2 -1
krigeat lognormal
Figura 613 Recta de regressioacute entre el krigeat lognormal i el krigeat indicador
En aquest cas podem observar que la recta de regressioacute coincideix gairebeacute a la
perfeccioacute amb la bisectriu cosa que vol dir que els dos meacutetodes soacuten molt semblants
entre siacute i que per tant eacutes normal que Iaproximacioacute de cada un dells a la realitat sigui
semblant
El valor de la regressioacute eacutes meacutes gran que en els altres dos casos 796 eacutes a dir que
els dos meacutetodes no donen resultats significativament diferents entre si
Podem observar un conjunt de dades que prenen valors especialment elevats en
Iestimacioacute per krigeat indicador Si analitzem aquests punts podem comprovar que
soacuten punts que tenen una probabilitat de ser meacutes grans que el cinqueacute cut-off (percentil
097) igual a 1 Per tant aquest tipus de punts no shan de tenir en compte en el
moment dextreure conclusions De fet aixo ja es sospitava en el grafic anterior pero
en que en aquell hi ha una elevada dispersioacute i per tant Iefecte queda dissimulat
54
Top Related