8/14/2019 Dinamica Sistema Particulas
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DINMICA DE ROTACINDE
UN CUERPO RGIDO
L I C . F A N N Y E S M E R A L D A M O R I E S C O B A R
Curso : Fsica 1
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px= mvx py= mvy pz= mvz
Tiene carcter vectorial, y como m es
un escalar, entonces p V
Cantidad de Movimiento linealde una par tcula
Se define como el producto de la masa
por la velocidad de la partcula.
m Vp [kg m/s]V p
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1ra ley de Newton
Un cuerpo libre de la accin deotros cuerpos se mover con
cantidad de movimiento constante(p = cte) o permanecer en reposo
hasta que algn agente externo le
modifique su estado de
movimiento
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mv vmp
Sistema aislado
0F
ctep
0p
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La segunda ley de Newtonse puedeescribir en funcin del momento lineal:
dt
dpF
dt
d(mv)
dt
dvmF
ext
R
ext
R
Sistema de una par tcula
2da ley de Newton
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extRR FF
Sistema de partculas
sistema
jiF ijF
ext
iFext
jF
iii mr ,v, ii pr,Ni ..1
ji i
ext
iijR FFF,
0
rj
vj
Cuerpo externo
ext
R
int
RR FFF
La sumatoria de las fuerzas internas se hace cero, teniendo en cuenta
que dentro del sistema estn todas las parejas de cuerpos que sienten
los pares de accin y reaccin.
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iext
i
ext
RR FFF
ii
i
extiR
dtdpFF
i
i
ext
R p
dt
dF
sist
dt
dp
2da ley de Newton
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(sist)
dt
dpF
ext
R
)(
Conservacin de la cantidad de
movimiento lineal
0
ctepdt
dp sist(sist)
)(,0
Cuando la resultante de las fuerzas externas que
actan sobre un sistema se anula, entonces se conserva
la cantidad de movimiento lineal del sistema
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m
vmp
F
t2t1
m
1p2p
F
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En el caso en que est actuando una fuerza
resultante sobre el sistema:
integrando ambos miembros, obtenemos:
Fdt,dp
2
1
t
t12 Fdtppp
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A la cantidad anterior se le conoce como
Impulso Ide la fuerza Fen el intervalo
,t t tf i
I Fdt pt
t
i
f
el impulsoes igual al cambio demomento lineal
Impulso de una fuerza
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Una pelota colisionando con
una pared rgida
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1p
2p
ot
tt
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Mientras la pelota colisiona con la
pared, ella se deforma
rpidamente, lo cual indica que la
fuerza de interaccin pared pelota
crece montonamente con eltiempo, cuando la deformacin de
la pelota es mxima, entonces la
fuerza que acta sobre la pelota
tambin lo es.
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F
tt(s)
AREAFdtI
tt
t
0
A
Comportamiento
de la fuerza
impulsiva con eltiempo
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Es conveniente definir una fuerza
promedio como:
Por lo tanto el impulso tambin se
puede expresar como:
mF
2
1
1 t
tm Fdt
tF
tFpI m
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H=2m
h=1,5m
iv fv
Una pelotita de 100g de masa
se deja caer desde una altura
de 2m y rebota verticalmente
tal como se indica. determine
la fuerza promedio que el pisoejerci sobre la pelotita, si el
tiempo de interaccin pared -
pelota fue de 0,02s
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En el sistema mostrado determinese el
impulso que la pelotita recibe y la fuerza
promedio sobre ella, si el tiempo deinteraccin pared -pelota fue de 0,025s
o37
o37
m= 10kg
V=50m/s
v
v
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0
dt
dpF
sistext
R
En los choques la cantidad de movimiento
lineal del sistemasiempre se conserva,
pues las fuerzas externas, de existir, sedesprecian frente a las internas, las cuales
son muy intensas mientras actan.
0
Conservacin de la cantidad de
movimiento lineal
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Conservacin del momento para un
sistema de dos partculas
m1
m2
p1=m1v1
p2=m2v2
F12
F21
Como
2112 FyFCorresponden al par accinreaccin se cumple :
02112 FF
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Se conserva la cantidad de movimiento
p del sistema p = 0
Se conserva la energa cintica K del
sistema K = 0
Clasificacin de los choques
inelsticoelstico
inelstico plstico
K 0 K mxima
Se conserva la cantidad de movimiento
p del sistema
NO se conserva la energa cintica K del
sistema K no es cero
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p pi f
fi KK p pi f
fi KK
Tipos de colisin
Elstica:
Inelsticas
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colisin perfectamente inelstica
m1
m2
m1+ m2
Choque plstico
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Choque plstico
por conservacin del momento:'' 22112211 vmvmvmvm
podemos suprimir el vector unitario i ')( 212211 vmmvmvm ......(1)
21
2211'mm
vmvmv
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por conservacin del momento:'' 22112211 vmvmvmvm
podemos suprimir el vector unitarioi '' 22112211 vmvmvmvm ......(1)
Por conservacin de la energa cintica(2)
2
22
2
11
2
22
2
11 '
2
1'
2
1
2
1
2
1vmvmvmvm
Choque elstico
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'' 1221 vvvv ........(3)esta igualdad independiente de las masas nosindica que:
La velocidad relativa de acercamiento esigual y opuesta a la velocidad relativa de
alejamiento
Combinando las ecuaciones (1) y (3)
obtenemos las velocidades finales de lasmasas m1y m2inmediatamente despus de lacolisin, en funcin de las velocidades
iniciales y las masas:
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2
21
1
1
21
21'
1
2
vmm
m
vmm
mm
v
2
21
121
21
2'
2
2vmm
mmvmm
mv
Analicemos estas ecuaciones :
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Analicemos estas ecuaciones :
1) si m1= m2, las ecuaciones se reducen a:21
' vv 12
' vv
1v 2v21 ' vv
12 ' vv
Antes DespusSus momentos lineales se intercambian
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si m2>>>m1tenemos :
212 mmm y0
2
1 m
m
sus velocidades finales sern:
211 2' vvv
y 22 ' vv
es decir el cuerpo de mayor masa no cambia su
cantidad de movimiento
Si i
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1v2v 11 ' vv
0'2 v
Antes Despus
m1rebota elsticamente
Si asumimos que m2esta en reposo
0'y'0 2112 vvvv
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P bl
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Problema
Un bloque de masa m1=1.6kg, moviendose
hacia la derecha con una velocidad de 4m/ssobre un camino horizontal sin friccin, choca
contra un resorte sujeto a un segundo bloque
de masa m2=2,1kg que se mueve hacia laizquierda con una velocidad de 2,5m/s. (k=de
600N/m). En el instante en que m1 se mueve
hacia la derecha con una velocidad de 3m/s
determine: a) la velocidad de m2b) la distancia
x que se comprimi el resorte
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m1 m2k
smv /41 smv /5,22
m1 m2
smv /3'1 '2v
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Por conservacin del momento lineal
'' 22112211 vmvmvmvm
')1,2()3)(6,1()5,2)(1,2()4)(6,1( 2v
Obtenemos: ismv )/74,1('2 Por conservacin de la energa:
22
22
2
11
2
22
2
11 2
1
'2
1
'2
1
2
1
2
1
kxvmvmvmvm
X = 0,173m
U h f t l l ti
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v1f
qf
v1f
v1fcosqv1f senq
v2fcos f-v2f sen f
Un choque no frontal elstico
entre dos partculas
Antes
Despus
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Ejemplo. En un juego de billar se
quiere introducir la bola roja en labuchaca despus de golpearla con la
blanca. Si la buchaca est a 35o a qu
ngulo se desva la bola blanca?
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v1i
v1f
v2f
x
y
35o
q
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Ejercicio:
Un ncleo U en reposo se divide en dos fragmentos con masas de
140 y 90 u.m.a.. La Q de la reaccin es de 190 MeV. (un mega M es
106 veces). Datos: 1 u.m.a. = 1.66 10-27kg, 1eV = 1.6 10-19J.Hallar las velocidades de cada uno de los dos fragmentos.
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Ejercicio:
Tres partculas A, B y C de masas mA = mB = m y mC = 2m,
respectivamente se estn moviendo con velocidades cuyo sentido seindica en la figura y de valor vA = vB = v y vC = 2v.
Se dirigen hacia el origen del sistema de coordenadas al que llegan
en el mismo instante. Al colisionar A y B quedan adheridas y salenen la direccin indicada con velocidad v/2.
Determinar:
La velocidad y direccin sale la partcula C.
Es un choque elstico?. Razona la respuesta
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44
4.1Definicin y clasificacin de los sistemas de partculas.
Qu es un sistema de partculas?
Modelo ms complejo que el de la partcula. Considera los objetos como
agregados de partculas que interaccionan.
Se usa cuando el modelo de partcula no es adecuado y considera lasdimensiones del objetoen estudio.
Clasificacin de los sistemas de partculas.
Discretos n finito de partculas Continuos distribucin continua de materia
Deformables Rgidos
Cambia distancia No cambia
Deformables Rgidos
Cambia forma No cambia
1m
2m
3m
4m
nm
1r
2r
X
Y
Z
O
X
Y
Z
O
dm
r
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45
4.2Centro de masas. Movimiento del centro de masas de un sistema de
partculas.
Centro de masa (CM)
Para un sistema de partculas discretoel CMes un punto
cuya posicin, velocidad y aceleracin vienen dadas por
Mam
dtvdm
Mdtvda
M
vm
dt
rdm
Mdt
rdv
M
rm
m
rm
mm
rmrmr
i iiii i
CMCM
i iiii i
CMCM
i ii
i i
i iiCM
1
1
21
2211
Se puede colocar un sistema de referencia en el CM
llamado sistema C(SC), distinto del sistema inercial
donde se encuentra el observador que se llama
sistema laboratorio o sistema L(SL).
1m
2m
3m
4m
nm1r
2r
X
Y
Z
O
CM
CMr
LXLY
LZ
O
S
L
CX
CY
CZ
SC
CM4m1
m
2m
3m
nm
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46
Para un sistema de partculas continuola posicin, velocidad y aceleracin del CM
vienen dadas por
dmaM
a
dmvM
v
dmrM
r
CM
CM
CM
1
1
1
Centro de masa de algunos sistemas de partculas
continuos
4.2Centro de masas. Movimiento del centro de masas de un sistema de
partculas.
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47
Momento lineal de un sistema de partculas
Para un sistema de partculas discretose define el momento lineal del sistema como
i iivmvmvmppp
221121
ComoM
vmv i
iiCM
M
p
M
vm
v i ii
CM
CMvMp
Para un sistema de referenciacolocado en el CMdel sistema de partculas (sistema
C) el CM est en reposo(su velocidad es nula). Por tanto en relacin con el sistema
Cel momento lineal del sistema es nulo.
0 i ipp
Para sistema
C
Sistema
C
Sistema de referencia de momento
nulo
4.2Centro de masas. Movimiento del centro de masas de un sistema de
partculas.
C
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48
Fuerzas internas y fuerzas externas
1m
2m
S
S
Sistema S
21 ,FF
Fuerzas externas
2112, ff
Fuerzas internas
Fuerza externa resultante que acta sobre el
sistema S
i iext FFFF
21
Para el sistema Sse puede demostrar que
dt
pdFext
Como CMvMp
CM
CMext aM
dt
vdMF
Si el sistema Sse encuentra aislado
0
dt
pdFext ctevCM
El CM de un sistema de
partculas se mueve como si
fuera una partcula de masa
igual a la masa total del
sistema y estuviera sujeto a la
fuerza externa resultante.
El CM de un sistema de partculas aislados se
mueve con velocidad constante en relacin con
cualquier sistema de referencia inercial.
2F
12f 21f
1F
4.2Centro de masas. Movimiento del centro de masas de un sistema de
partculas.
4 2 C t d M i i t d l t d d i t d
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49
Trayectoria del CM de sistemas de partculas sometido
a fuerzas externas
Trayectoria del CM de un sistema
de partculas aislado
4.2Centro de masas. Movimiento del centro de masas de un sistema de
partculas.
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50
4.3Momento angular de un sistema de partculas.
Para un sistema de dos partculas el momento angular del sistemarespecto de un
puntoOse define como
i OOOO iLvmrvmrLLL
22211121
Y el momento de las fuerzas externasrespecto de un puntoOse define como
i
extO
extO
extO
extO i
MFrFrMMM 221121
LX LY
LZ
O
1F
2F
21r
Para el sistema de partculas se puede demostrar
que
dt
LdM O
extO
Si no hay fuerzas externas, o la suma de sus
momentosrespecto al punto Oes nula,entonces
0
dt
LdM O
extO
cteLO
12f 21f
1r
2r
1m
2m
4 4 M l i bi l
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51
4.4Momento angular interno y orbital.
Se define el momento angular internode un sistema de partculas como el momento
angular total calculado con respecto al CMo sistema C
i CMCMCMCMinti
LLLLL
21
orbL
CMr
LX LY
LZ
O
Para el sistema de partculas se puededemostrar que
orbintO LLL
Tambin se puede demostrar que
dt
LdM int
extCM
Se define el momento angular orbitalde un sistema de partculas como el momento
angular del CMcalculado con respecto a Oo sistema L
CMCMorb vMrL
intL
CX
CY
CZ
CM
4 4 M t l i t bit l
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52
Momentos angulares interno y orbital de algunos sistemas de partculas
Una pelota La Tierra Un electrn en un tomo
4.4Momento angular interno y orbital.
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Animacin
4 5 Ci ti d l lid id
8/14/2019 Dinamica Sistema Particulas
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54
4.5Cinemtica del slido rgido.
Un slido rgido puede presentar los siguientes movimientos
Movimiento de traslacin
Movimiento de rotacin (alrededor de un eje)CM
CMCM
1v
CMv
2v
1v
CMv
2v
1v
2v
Todas las partculas describen trayectorias
paralelas.
En un instante dado todos los puntos del
slido poseen la misma velocidad y
aceleracin.
CMvvv
21
Todas las partculas describen trayectorias circulares
alrededor de una lnea llamada eje de rotacin.
En un instante dado todos los puntos del slido
poseen la misma velocidad y aceleracin angular.
22
11
rv
rvrv
CMCM
CM
CM CM
2v
CMv
1v
1v
CMv
2v 2v
CMv
1v
4 5 Ci ti d l lid id
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55
Movimiento general RotacinEste movimiento siempre puede
considerarse como una combinacin de una
traslaciny una rotacin.
CM
CM
Traslacin
4.5Cinemtica del slido rgido.
4 6 Mo imiento de traslacin de n slido rgido
8/14/2019 Dinamica Sistema Particulas
55/91
56
4.6Movimiento de traslacin de un slido rgido.
Como todas las partculas del slido se mueven con la misma velocidad y
aceleracin, el estudio del movimiento de traslacin del slidose puede llevar a cabo
analizando el movimiento de su CM.
El movimiento del CM viene dado por
Por tanto, tomando el CM y usando los mtodos explicados en el tema anterior para
la dinmica de la partcula, se puede analizar el movimiento de traslacin del slido
rgido.
Ecuacin del movimiento para la traslacin de un slido rgido.
CMCM
ext aMdt
vdMF
Traslacin
CMv
CM
4 7 Movimiento de rotacin en torno a un eje fijo de un slido rgido
8/14/2019 Dinamica Sistema Particulas
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57
4.7Movimiento de rotacin en torno a un eje fijo de un slido rgido.
Momento angular y momento de inercia.
Considrese una placa delgada slidaque rota alrededor de un eje de rotacin fijo.
iv
Ai
El momento angulardel elementoAide la placa respecto Oes
2iiiiiOi RmvmrL
El momento angular de toda la placa respecto al punto Oes
i
iii
OiOOOO RmLLLLL
2321
Como la velocidad angulares la
misma para todos los puntos del slido
iiiO RmL
2
Definiendo el momento de inercia para el eje ZZ que pasa por Ocomo
i
iiRmRmRmRmI 22
33222
211
se tiene
ILOEcuacin vectorial. El momento
angular tiene la misma direccin
que la velocidad angular para un
slido plano.
Z
Z
OiL
R
iO
oL
4 7 Movimiento de rotacin en torno a un eje fijo de un slido rgido
8/14/2019 Dinamica Sistema Particulas
57/91
58
Considrese ahora un slido rgido de forma arbitrariarotando alrededor de un eje fijo.
El momento angulardel puntoAidel slido respecto a Oes
iiiOi vmrL
El momento angulartotaldel slido respecto al punto Oes
i
OiO LL
Sin embargo para cada cuerpo independientemente de su forma se verifica que
existen al menos tres direcciones mutuamente perpendiculares para las que el
momento angular es paralelo al eje de rotacin.
Estos son los tres ejes principales de inercia (XO, YO, ZO) y sus correspondientes
momentos de inercia se conocen como momentos principales de inercia(I1, I2, I3). Si
el eje de giro coincide con una de estas direcciones se cumple
Ecuacin escalar. Vlida independientemente
de la forma del cuerpo.Z
Z
R
i iv
Ai
El momento angulardel punto tiene unadireccin distintaa la velocidad angular.Es
perpendicular a y .ir
iv
El momento angular totaldel slido puede
tener una direccin distintaa la de
No obstante se cumple siempre que la componente del momentoangular a lo largo del eje de rotacinZ es
ILOz
ILOVlida cuando el slidogira alrededor de un
eje principal de inercia.
4.7Movimiento de rotacin en torno a un eje fijo de un slido rgido.
oiL
ir
O
4 7 Movimiento de rotacin en torno a un eje fijo de un slido rgido
8/14/2019 Dinamica Sistema Particulas
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59
Cuando el cuerpo posee algn tipo de simetra, los ejes principales coinciden con los
ejes de simetra.
XO
YO
ZO
XO
YO
ZO
XO
YO
ZO
Dos teoremas importantes relacionados con el clculo del momento de inercia son:
Teorema de Steiner
X
Z
OY
Z
X CM
Y
xCM
yCM
d
dX
Z
O Y
Teorema de los ejes paralelos
2MdIICMe YXZ III
4.7Movimiento de rotacin en torno a un eje fijo de un slido rgido.
4 7 Movimiento de rotacin en torno a un eje fijo de un slido rgido
8/14/2019 Dinamica Sistema Particulas
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60
Cilindro
R
L
RL
2
2
1MRIo
22312
1LRMIo
ab
c 2212
1baMIo
Paraleleppedo
ab
ab
22121 baMIo
2
12
1MbIo
Placa rectangular
Varilla delgada
L2
12
1MLIo
Disco
R
R
2
2
1MRIo
2
4
1MRIo
R
Esfera
2
5
2MRIo
R 2MRIo
Anillo
Hemos visto que el momento de inerciapara un sistema de partculas discretose
define i
iiRmI 2
Para un objeto continuoel sumatorio anterior se reemplaza por una integral
dmRI 2
4.7Movimiento de rotacin en torno a un eje fijo de un slido rgido.
8/14/2019 Dinamica Sistema Particulas
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Ejercicio
Una pieza de un acoplamiento mecnico (figura 9.21) tiene una masade 3.6 kg. Medimos su momento de inercia alrededor de un eje que
pasa a 0.15 m de su centro de masa y obtenemosIP 5 0.132 kg ? m2.
Calcule el momento de inerciaIcm alrededor de un eje paralelo que
pasa por el centro de masa.
8/14/2019 Dinamica Sistema Particulas
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Calculo del momento de inercia
La figura muestra una varilla uniforme con masaM
y longitudL
.Podra ser el bastn (sin las tapas de hule) de una bastonera que
marcha
al frente a una banda de msicos. Calcule su momento de inercia
alrededor de un eje que pasa por O, a una distancia arbitraria h de un
extremo.
8/14/2019 Dinamica Sistema Particulas
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Calculo del momento de inercia
La figura muestra un cilindro
hueco uniforme de longitud L,
radio interior R1 y radio
exterior R2. Podra ser un
cilindro de una imprenta o una
laminadora. Calcule elmomento de inercia alrededor
del eje de simetra
del cilindro.
8/14/2019 Dinamica Sistema Particulas
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Ejercicio
Un ingeniero est diseando unapieza mecnica formada por tresconectores circulares gruesosunidos por puntales ligerosmoldeados (figura). a) Qumomento de inercia tiene estecuerpo alrededor de un eje quepasa por el centro del disco A y esperpendicular al plano deldiagrama? b) Qu momento deinercia tiene alrededor de un ejeque pasa por el centro de los discosB
yC
?c) Si el cuerpo gira sobre eleje que pasa por A y es
perpendicular al plano deldiagrama, con rapidez angular w =4.0 rad/s, qu energa cinticatiene?
4 7 Movimiento de rotacin en torno a un eje fijo de un slido rgido
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65
El momento de las fuerzas exteriorespara un slido rgido que gira alrededor de un ejeprincipal de inerciaque pasa por Ose expresa
Ecuacin del movimiento para la rotacin de un slido rgido que gira en torno a un eje
fijo (que es principal de inercia).
dt
LdM O
extO
Como es principal
ILO
dt
dI
dt
IdM
extO
IMextO
Rotacin en
torno a un eje
Z
Z
O
oM
4.7 Movimiento de rotacin en torno a un eje fijo de un slido rgido.
4 8 Movimiento de traslacin y rotacin combinados Movimiento de
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66
4.8 Movimiento de traslacin y rotacin combinados. Movimiento de
rodadura. Ecuaciones del movimiento de traslacin y rotacin combinados de un slido rgido.
Para un slido rgido que se trasladay que gira alrededor de un eje que pasa por su
CM, las ecuaciones del movimiento son
CMext aMF
IMextCM
Tipos de movimientos de un slido rgido de forma cilndrica que se mueve sobre una
superficie plana
El cilindro desliza
Todos los puntos del slido tienen la
misma velocidadpara cualquier instante
de tiempo.
El cilindro tiene un movimiento detraslacin.
El mismo punto del slidopermanece en
todo momento en contacto con la
superficie.
Traslacin
Rotacin en
torno a un eje
CMv
CMv
SCM
CM CM
P P
4 8 Movimiento de traslacin y rotacin combinados Movimiento de
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67
El cilindro rueda sin deslizar. Movimiento de rodadura.
Un punto distinto del slidoen cada instantepermanece en contacto con la superficie
verificndose.
CM
P
Pj
R
SCM
RsCM j RvCM RaCM
El cilindro tiene un movimiento de traslacin yrotacin combinados.
R
R
R
CM
R
RTraslacin Rotacin
+ R
R2
0pv
La velocidad del punto de contactocon la superficie es nula.
Si existe fuerza de rozamientosta es esttica.
CM
CM CM
4.8 Movimiento de traslacin y rotacin combinados. Movimiento de
rodadura.
4.8 Movimiento de traslacin y rotacin combinados. Movimiento de
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El cilindro rueda y desliza.
Al rodar y deslizar en este caso se tiene que
RsCM j RvCM RaCM
El cilindro tiene un movimiento de traslacin y rotacin combinados, pero la
velocidad del punto de contacto no es nula.
Si existe fuerza de rozamientosta es dinmica.
4.8 Movimiento de traslacin y rotacin combinados. Movimiento de
rodadura.
4.9 Movimiento giroscpico.
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69
4.9 Movimiento giroscpico.
Un giroscopio (o girscopo) es un dispositivo en el que el eje de rotacin puede
cambiar libremente de direccin. Un ejemplo se ilustra en la siguiente figura.
Si la rueda gira libremente alrededor del eje de simetra
ABde forma que respecto a O el momento de fuerzas
es nulo, entonces,
0dt
LdM O
extO
cteLO
Si se mueve el giroscopio alrededor de una habitacin
el eje de simetra AB apuntar siempre en la mismadireccin.
Si el eje del giroscopio se coloca de modo queABsea
horizontal y apunte en la direccin este-oeste, debido a
la rotacin terrestre el eje se inclinar y despus de seis
horas est en posicin vertical.
N
Esta caracterstica de los giroscopiosa mantener su eje
de rotacin fijo, hace que tenga una gran aplicacin
como sistema de nivelacin y estabilizador(en aviones,
barcos y sondas espaciales).
4.9Movimiento giroscpico.
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70
Si el giroscopio ahora se encuentra apoyado en un extremo O entonces el momento
de las fuerzas respecto Ono es nulo y se tiene
0dtLdM OextO
dtMLd OO
Si en primer lugar el eje se mantiene horizontal con la rueda desprovista de giroy se
deja en libertad, entonces la rueda caergirando alrededor de un eje horizontal que
pasa porO. Este giro se debe a que el momento de las fuerzas
externasrespecto a O no es nulo(debido al peso de la
rueda), actuando en la direccin horizontal y.
Inicialmente el momento angular es nulo al no haber
rotacin.
Despus de un cierto intervalo de tiempo se produce
un cambio en ste que viene dado por
dtMLd OO
x
y
OLd fO
L
OM
0iO
L
x
yz
OM
9 o e o g oscp co
4.9Movimiento giroscpico.
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71
Si en segundo lugar el eje se mantiene horizontal con la rueda provista de giroy se
deja en libertad, entonces la rueda no caersino que el eje de rotacin de la rueda se
desplazar en el plano horizontalen la direccin del eje y, describiendo un movimiento
circular. A este movimiento se le denomina precesin. En este caso el momento angular inicial no es
nulo, y tiene un valor igual a
x
y
OLd
iOL
fOL
x
yz
OM
OL
OLd
La variacin del momento angular (en la direccin
del momento de fuerzas) ser en la direccin
perpendicular a la del momento angular. Esto da lugar a que el momento angular cambie
en direccin y no en mdulo describiendo un
movimiento circular.
ILO
g p
4.9Movimiento giroscpico.
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72
La velocidad angular de precesinse puede calcular teniendo en cuenta que el
cambio del momento angular en un tiempo infinitesimal es
MgDdtdtMdL OO El ngulo barridopor el eje en su movimiento es
OO
O
L
MgDdt
L
dLd f
Y la velocidad angular de precesines por tanto
f
I
MgD
L
MgD
dt
d
O
OL
OL
OLd
Adems del movimiento de precesin, el eje de la rueda realiza una pequea oscilacin
hacia arriba y hacia abajo. Este movimiento se llama de nutacin.
g p
4.9Movimiento giroscpico.
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Otro ejemplo de movimiento giroscpico lo realiza un trompoo peonza.
La Tierra tambin realiza un movimiento de precesin y nutacin (precesin de losequinoccios).
El plano del Ecuador forma un ngulo de 2327con el
plano de la rbita terrestre alrededor del Sol (eclptica).
La interseccin de ambos se llama lnea de
equinoccios. Debido a esta inclinacin y a que la Tierra no es una
esfera (elipsoide), hay un momento de fuerzas (debidoal Sol y la Luna), en la direccin perpendicular al eje de
rotacin de la Tierra (que pasa por los Polos), que hace
que ste tenga un movimiento de precesiny nutacin.
Precesin: 27725 aos Nutacin: 19 aos
g p
4.10Condiciones de equilibrio.
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q
Para el equilibrio de un slido rgidoes necesario considerar el equilibrio con respecto
tanto a la traslacin como a la rotacin. Las condiciones han de ser:
0
i iext FF Equilibrio de traslacin
0
i
extO
extO i
MM Equilibrio de rotacin
Esta situacin implica que
ctevF CMext
0
cteMextO
0
Por tanto, para que un slido rgido en equilibrio est quieto, es necesario que en el
instante inicial se encuentre en reposo.
4.11Energa cintica de un sistema de partculas.
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g p
La energa cintica de un sistema de partculas (respecto un SRI o sistema L) se
define 2332
12222
12112
12
21 vmvmvmvmEc
i
ii
Teniendo en cuenta que el trabajo total lo podemos separar en el trabajo de las
fuerzas externasy las internas, es posible expresar el trabajo total como
intWWW ext
Con lo cual el teorema del trabajo y la energa cintica para un sistema de partculas
se expresa como
EcWWext int
Se define la energa cintica internacomo la energa cintica referida a un sistema de
referencia situado en el CMo sistema C.
La relacin entre la energa cintica referida a un sistema Cy un sistema Lviene dada
por:2
21
CMintorbint MvEcEcEcEc
Un trmino para cada partcula
Teorema de Koening
4.12Energa propia, energa interna y energa total de un sistema de
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partculas. Si las fuerzas internas que actan en un sistema de partculas son conservativas
entonces hay definida unaenerga potencial internay
intint EpW EcEpW intext intintext EpEcEpEcW
Definiendo la energa propiacomo
intEpEcU UWext
Hay definido un trmino de energa potencial internapara cada par de partculas
Un trmino para cada par de partculas 231312 EpEpEpEpEpij
ijint
Si el sistema de partculas se encuentra aislado o el trabajo de las fuerzas externas es
nulo0U
Se define la energa internacomo
intintint EpEcU
cteEpEcU int
La energa potencial internadepende de la posicin relativa de las partculasy cambia
segn vara la posicin relativa de las partculas durante el movimiento. Si las fuerzas
son centrales la energa potencial interna slo depende de la distancia que separaacada par de partculas.
4.12Energa propia, energa interna y energa total de un sistema de
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Si las fuerzas externasque actan sobre el sistema son conservativasentonces hay
definida una energa potencial externay
extext EpW
Si las fuerzas internas son conservativas
UEpext 0 extintext EpEpEcEpU cteEpEpEc extint
Definiendo la energa totalcomo
extint EpEpEcE Si todas las fuerzas
son conservativas
cteE
Hay definido un trmino de energa potencial externapara cada partcula del sistema
Un trmino para cada partcula 321 extextexti
extext EpEpEpEpEp i
partculas.
4.13Energa cintica de un slido rgido.
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Z
Z
O
Ri ii
Rv
ir
Ai
Sea un slido rgidoque gira alrededor de un eje fijo.
Como las partculas del slido describen un movimiento circular alrededor del eje, su
energa cintica ser
22
2122
212
21
iii
iii
iii RmRmvmEc
Como i
iiRmI 2
2
21 IEc
Sea un slido rgidoque tiene un movimiento de traslacin.
Como todas las partculas del slido se mueven con idntica velocidad, que ser igual
a la de su CM y su energa cintica ser
2
212
212
21
CMi
ii
CMii
ii vmvmvmEc
22
1CMMvEc
Traslacin
Rotacin en
torno a un eje
CMv
CM
4.13Energa cintica de un slido rgido.
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79
Sea un slido rgidoque gira alrededor de un eje que pasa por su CMy al
mismo tiempo tiene un movimiento de traslacinrespecto a un observador
inercial.
La energa cintica respecto a un observador inercial es
CM
O
2
21
CMintorbint MvEcEcEcEc
Y como el nico movimiento de las partculas respecto a un eje que
pasa por el CM es de rotacin, la energa cintica interna ser de
rotacin y por tanto
2
212
21 IMvEc CM
4.14Energa total de un slido rgido.
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Para un slido rgidoya que es indeformable y la distancia relativa entre las partculas
que lo constituyen no vara con el tiempo, se tiene que su energa potencial interna es
constantey por tanto,
0 intint EpW De este modo, la energa totalpara un slido rgidose reduce a
extEpEcE
Y si tiene un movimiento de
traslacin y rotacin combinados.
extCM EpIMvE 2
212
21
Para un slido rgido que rueda sin deslizar sobre una superficie, ya que si existe
fuerza de rozamiento sta es esttica, se tiene que,
0estrFW
Para un slido rgidoque rueda y deslizasobre una superficie, ya que si existe fuerza
de rozamiento sta es dinmica, se tiene que,
0dinrFW
4.2Centro de masas. Movimiento del centro de masas de un sistema de
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partculas. Para un sistema de partculas continuola posicin, velocidad y aceleracin del CM
vienen dadas por
dmaM
a
dmv
M
v
dmrM
r
CM
CM
CM
1
1
1
Centro de masa de algunos sistemas de partculas
continuos
Ejemplo Se tienen 3 masas iguales en los
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Ejemplo. Se tienen 3 masas iguales en los
vrtices de un tringulo rectngulo. Calcular
el vector C.M.
d
h
a
y
x
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Ejemplo.
a
b
c
y
x
dx
x
dm
Ejercicio
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Ejercicio
Una esfera homognea de masa m yradio R rueda sin deslizar por un planoinclinado con un ngulo .
Datos: = 30o; m= 0.5 kg;R= 15 cm;L=2.5 m; ICM= (2/5)mR
2.
a. Dibujar las fuerzas que actan sobre laesfera y expresar las ecuaciones de ladinmica de rotacin y de traslacin.
b. Calcular la aceleracin del centro demasas, la aceleracin angular conrespecto al centro de masas y la fuerza
de rozamiento.c. Si inicialmente se encontraba en
reposo, calcular la velocidad del CM yla velocidad angular de rotacincuando ha rodado por el plano unalongitudL.
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Un listn homogneo de longitud L = 2 m y masa m = 1 kg est clavado en la pared
por su punto medio (O), de forma que puede girar libremente en torno a ese punto.
Sobre l se aplican las fuerzas F1 = F2 = 4 N y F3 = 6 N, segn la figura.
Dato: Icm = (1/12) m L2
a. Determinar el valor de d para que el listn est en equilibrio esttico, as como
el valor de la normal en el punto O.
b. Si se duplica el mdulo de F3 y d = 0.75 m, determinar la aceleracin angulardel listn en funcin del ngulo que barre, suponiendo que las fuerzas son
siempre verticales.
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Ejercicio
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Ejercicio
Sobre un plano horizontal est
situado un cuerpo de 50 kg que estunido mediante una cuerda, quepasa a travs de una polea de 15 kg aotro cuerpo de 200 kg. Sabiendo queel coeficiente de rozamiento entre el
cuerpo de 50 kg y el plano horizontalvale 0.1, calcular.
La aceleracin de los cuerpos
Las tensiones de la cuerda
La velocidad de los cuerpos
sabiendo que el de 200 kg hadescendido 2 m partiendo delreposo.(emplear dos procedimientosde clculo para este apartado)
Ejercicio
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Ejercicio90
Un disco de 0.6 m de radio y 100 kg de masa, gira inicialmente
con una velocidad de 175 rad/s. Se aplican los frenos que ejercenun momento deM= -2tNm. Determinar:
la aceleracin angular en funcin del tiempo
la velocidad angular en funcin del tiempo
el ngulo girado en funcin del tiempo.
El momento angular inicial y en el instante t=18 s.
Representar el momentoMen funcin del tiempo. Comprobar
que el impulso angular
0 (rea) es igual a la variacin de
momento angular.
La velocidad, aceleracin tangencial y normal de un punto dela periferia del disco en dicho instante. Representar estasmagnitudes.
60cm.
w
Ejercicio
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Ejercicio
Una esfera hueca de masaM=6 kg y
radioR=8 cm puede rotar alrededor de uneje vertical.
Una cuerda sin masa est enrolladaalrededor del plano ecuatorial de la esfera,pasa por una polea de momento de
inerciaI=310-3kgm2y radio r=5 cm y estatada al final a un bloque de masa m=0.6kg. No hay friccin en el eje de la polea y lacuerda no resbala.
Cul es la velocidad del bloque cuando ha
descendido 80 cm?Resolverlo dinmica y por balanceenergtico. I (esfera hueca)=2/3 MR2
Ejercicio
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Ejercicio
Un disco de 0.2 kg y de 10 cm de radio se hace
girar mediante una cuerda que pasa a travs deuna polea de 0.5 kg y de 7 cm de radio. De lacuerda cuelga un bloque de 3 kg, tal como semuestra en la figura. El disco gira alrededor deun eje vertical en cuyo extremo hay una varilla
de 0.75 kg masa y de 20 cm de longitudperpendicular al eje y en cuyos extremos se hanfijado dos esferas iguales de 2 kg de masa y 5cm de radio. Se suelta el bloque y el dispositivocomienza a girar. Calcular:
El momento de inercia del dispositivo. La aceleracin del bloque.
La velocidad del bloque cuando hadescendido 2 m partiendo del reposo
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