Ingeniería Antisísmica Capítulo 3 – Dinámica de estructuras. Sistemas de varios grados de libertad
1 Claudio Oyarzo V.
Ingeniero Civil
Capítulo 3 – Dinámica de estructuras. Sistemas de v arios grados de libertad
1 Preámbulo En muchos textos de estudio, luego de haber estudiado los fenómenos oscilatorios de un grado de libertad, se pasa directamente al estudio de los sistemas dinámicos de múltiples grados de libertad. Sin embargo creemos que es más adecuado hacer un paso intermedio, e invertir tiempo en estudio de sistemas de 2 grados de libertad, para luego extender los resultados aquí obtenidos a sistemas de mayor número de grados de libertad.
2 Sistemas de dos grados de libertad
2.1 Modelo Considere el siguiente sistema de 2 grados de libertad sin amortiguamiento (comportamiento elástico):
Haciendo los diagramas de cuerpo libre de cada masa:
El sistema debe cumplir simultáneamente con 2 ecuaciones de movimiento:
)·(··
)·(··
21122222
21121111
xxKxKxm
xxKxKxm
−+−=
−−−=••
••
m1 m2
K12 K1 K2
x1 x2
m1
11 xm••
·
)·( 2112 xxK −11 xK ·
m2
22 xm••
·)·( 2112 xxK − 22 xK ·
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Reordenando:
( )( ) 0xKKxKxm
0xKxKKxm
212211222
212112111
=++−
=−++••
••
···
···
En forma matricial:
( )
( )
=
⋅
+−
−++
⋅
••
••
0
0
x
x
KKK
KKK
x
x
m0
0m
2
1
12212
12121
2
1
2
1 (1)
[ ]{ [ ]{ { } { }0xKxM
Rigidezde
Matriz
Masasde
Matriz
=⋅+
⋅
••
Luego la solución de este sistema debe ser tal que satisfaga ambas ecuaciones simultáneamente:
2.2 Respuesta Dado que el sistema no posee amortiguamiento podemos suponer que la solución podría tener la forma de oscilación libre, esto es:
( )( )ψω
ψω+=+=
tsenAtx
tsenAtx
22
11
·)(
·)(
Reemplazando esto en la ecuación se obtiene
( )( )
( )( )
=+
⋅
+−
−+++
−
−⋅
0
0tsen
A
A
KKK
KKKtsen
A
A
m0
0m
2
1
12212
12121
22
21
2
1ψωψω
ω
ω··
·
·
( )
( )
=
+−
−++
−
−
0
0
AKKAK
AKAKK
mA0
0mA
2122112
2121121
22
2
12
1
··
··
··
··
ω
ω
( )
( )
=
−+−
−−+
0
0
A
A
mKKK
KmKK
2
1
22
12212
1212
121·
·
·
ω
ω
[ ] [ ]( )
=
⋅−0
0
A
AMK
2
12ω
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La solución trivial estaría dada por: 0A1 = y 0A2 = Pero la solución no trivial corresponde a:
[ ] [ ]( ) 0MK 2 =− ωdet Ecuación para 2ω (Problema de valores propios) Esto es:
( ) ( ) ( )0
mmKKKKKK
mKK
mKK
21
212121212
2
121
1
1224 =+++
+++−·
····ωω
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
++−
+++±
+++=21
21212121
2
2
121
1
122
2
121
1
1222
mmKKKKKK4
mKK
mKK
mKK
mKK
21
·····ω
Es posible demostrar que las dos raíces que se obtienen para 2ω son reales y positivas ( )210 ωω << . A las raíces 1ω y 2ω son las frecuencias naturales del sistema y 1ω conocida como la frecuencia fundamental. Dado que se tiene dos raíces, la solución del sistema corresponderá a una superpoción de ambas, esto es:
( ) ( )( ) ( )222211212
221211111
tsenAtsenAtx
tsenAtsenAtx
ψωψωψωψω
+++=+++=
··)(
··)(
En forma matricial:
( ) ( )2222
1211
21
11
2
1 tsenA
Atsen
A
A
tx
txψωψω +
++
=
··)(
)(
O bien:
{ } ( ) { } ( )444 3444 21444 3444 21
vibrardeModoSegundovibrardeModoPrimer
2221112
1 tsentsentx
txψωφψωφ +++=
··)(
)(
Es posible demostrar que los vectores { }1φ y { }2φ son ortogonales SIEMPRE, esto es:
{ } [ ]{ } 0K 2T
1 =⋅ φφ · y { } [ ]{ } 0M 2T
1 =⋅ φφ ·
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Notar que la resolución del sistema corresponde a un problema de valores propios ( 21ω , 2
2ω ) y
vectores propios ({ }1φ , { }2φ ). Entonces si se escribe solución de la ecuación de la siguiente forma:
( ) ( )22122
111112
1 tsenA1
tsenA1
tx
txψω
µψω
µ+
++
=
····)(
)(
( ) ( )tq1
tq1
tx
tx2
21
12
1 ··)(
)(
+
=
µµ
( )
( )
=
tq
tq11
tx
tx
2
1
212
1
·)(
)(
µµ
{ } [ ] ( ){ }tqtx ⋅= φ)(
Donde:
[ ]
=
21
11
µµφ
Reemplazando en la ecuación de movimiento (1)
( )
( )
=
⋅
+−
−++
⋅
••
••
0
0
x
x
KKK
KKK
x
x
m0
0m
2
1
12212
12121
2
1
2
1
( )
( )
( )
( )
( )
( )
=
⋅
+−
−++
⋅
••
••
0
0
tq
tq11
KKK
KKK
tq
tq11
m0
0m
2
1
2112212
12121
2
1
212
1
µµµµ
Premultiplicando por [ ]Tφ :
( )
( )
( )
( )
( )
( )
=
⋅
+−
−+
+
••
••
0
0
tq
tq11
KKK
KKK
1
1
tq
tq11
m0
0m
1
1
2
1
2112212
12121
2
1
2
1
212
1
2
1
µµµ
µ
µµµ
µ···
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( ) ( )
( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
=
++−++++−+
+++−+++−++
++
++
••
••
0
0
tq
tq
KKK2KKKKKKK
KKKKKKKK2KK
tq
tq
mmmm
mmmm
2
1
1222
221212112212112121
122121121211222
1112121
2
1
22
212211
221122
11
2
2
µµµµµµ
µµµµµµ
µµµ
µµµ
·····
·····
···
···
Aplicando las condiciones de ortogonalidad:
( )( )
( ) ( )
( ) ( )
=
++−+
++−++
+
+
••
••
0
0
q
q
KKK2KK0
0KKK2KK
q
q
mm0
0mm
2
1
1222
2212121
1222
1112121
2
1
22
21
22
11
µµ
µµ
µ
µ
··
··
·
·
Se obtiene matrices diagonales, esto es, se obtienen 2 ecuaciones independientes de un grado de libertad cada una. Sistema desacoplado:
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) 0tqKKK2KKtqmm
0tqKKK2KKtqmm
21222
2212121222
21
11222
1112121122
11
=++−+++
=++−+++••
••
)(···)(··
)(···)(··
µµµ
µµµ
Donde la solución corresponderá a:
( )( )22122
11111
tsenAtq
tsenAtq
ψωψω
+=+=
·)(
·)( Coordenadas principales o normales.
Las constantes 11A , 12A , 1ψ y 2ψ se obtiene a partir de la condiciones iniciales.
( )
( )
=
−
)(
)(
0x
0x11
0q
0q
2
1
1
212
1
µµ
( )
( )
=
•
•−
•
•
)(
)(
0x
0x11
0q
0q
2
1
1
212
1
µµ
La respuesta del sistema será:
( )
( )
=
tq
tq11
tx
tx
2
1
212
1
·)(
)(
µµ
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Finalmente si deseamos incorporar solicitaciones externas al sistema, se tiene que la ecuación de movimiento es la siguiente:
( )
( )
=
⋅
+−
−++
⋅
••
••
)(
)(
tF
tF
x
x
KKK
KKK
x
x
m0
0m
2
1
2
1
12212
12121
2
1
2
1
[ ] [ ] { } { })(tFxKxM 1 =⋅+
⋅
••
Aplicando la transformación a coordenadas normales
[ ] [ ] [ ] [ ]{ } { })(·· tFqKqM =⋅+
⋅
••φφ
Premultiplicando por [ ]Tφ :
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]{ } [ ] { } { })()(····· tftFqKqM TTT ==⋅+
⋅
••φφφφφ
Quedan definidas de esta forma las solicitaciones externas en coordenadas principales como:
{ } [ ] { })(·)( tFtf Tφ= Esto es
( )
( )
=
tF
tF
1
1
tf
tf
2
1
2
1
2
1
·)(
)(
µ
µ
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Ejemplo 1: Considere el siguiente sistema dinámico, que corresponde al sistema presentado al inicio de este capítulo, al cual se le han asignado los valores:
K1 = K2 = KB K12 = K m1 = m2 = m
Sobre el cual no existen solicitaciones externas y la vibración es inducida debido a sus condiciones iniciales.
101 x0tx == )(
00tx2 == )(
00tx1 ==•
)(
00tx 2 ==•
)( La ecuación de movimiento es la siguiente:
( )
( )
=
⋅
+−
−++
⋅
••
••
0
0
x
x
KKK
KKK
x
x
m0
0m
2
1
B
B
2
1
Suponiendo que la solución de este problema es del tipo:
{ } { } ( )ψωφ += tsentx ·)( La ecuación queda:
[ ]{ } ( ) [ ]{ } ( ) { }0tsenKtsenM2 =+++− ψωφψωφω ····
[ ]{ } [ ]{ } { }0KM2 =+− φφω ··
[ ] [ ]( ){ } { }0MK 2 =− φω ·
m m
K KB KB
x1 x2
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La solución no trivial del sistema esta dada por:
[ ] [ ]( ) 0MK 2 =− ωdet
De esta forma obtenemos una ecuación característica para las frecuencias naturales:
( )0
m
KK2K
m
KK22
B2
B2B4 =
++
+−
···
· ωω
( ) ( )
+−
+±
+=
2B
2B
2
BB2
m
KK2K4
m
KK2
m
KK2
21 ··
···
ω
( )mK
m
KKB2 ±+
=ω
+=
=
m
K2K
m
K
B2
B1
ω
ω 2
1ω y 22ω son los valores propios de la matriz [ ] [ ][ ]MK 2ω−
Reemplazando los valores de 2
1ω y 2
2ω en la ecuación de movimiento obtenemos los modos de vibrar (vectores propios)
21ω :
[ ] [ ]( ){ } { }0MK 21 =− φω ·
( )
( )
=
⋅
−+−
−−+
0
0
mKKK
KmKK
12
11
21B
21B
φ
φ
ω
ω
·
·
=
⋅
−
−
0
0
KK
KK
12
11
φ
φ
=
1
1
12
11
φ
φ
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22ω :
[ ] [ ]( ){ } { }0MK 22 =− φω ·
( )
( )
=
⋅
−+−
−−+
0
0
mKKK
KmKK
22
21
22B
22B
φ
φ
ω
ω
·
·
=
⋅
−−
−−
0
0
KK
KK
22
21
φ
φ
−=
1
1
22
21
φ
φ
Se comprueba que son ortogonales:
{ } { } { } { } 01
111
22
21
12112t
1 =
−=
= ···
φ
φφφφφ
Construyendo la matriz de modos de vibrar se procede a desacoplar las ecuaciones:
[ ]
−=
11
11φ
Ecuación de equilibrio:
( )
( )
=
−⋅
+−
−++
−⋅
••
••
0
0
q
q
11
11
KKK
KKK
q
q
11
11
m0
0m
2
1
B
B
2
1
Premultiplicando por [ ]Tφ
( )
( )
=
−⋅
+−
−+
−+
−⋅
− ••
••
0
0
q
q
11
11
KKK
KKK
11
11
q
q
11
11
m0
0m
11
11
2
1
B
B
2
1··
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( )
( )
=
−⋅
+−
−+
−+
−⋅
− ••
••
0
0
q
q
11
11
KKK
KKK
11
11
q
q
11
11
m0
0m
11
11
2
1
B
B
2
1··
=
++
••
••
0
0
q
q
K4K20
0K2
q
q
m20
0m2
2
1
B
B
2
1·
··
Se obtienen 2 ecuaciones independientes para )(tq1 y )(tq2
( ) 0tqK4K2tqm2
0tqK2tqm2
2B2
1B1
=++
=+••
••
)(·)(·
)(·)(·
Escrito de otra forma:
( )0tq
m
K2Ktq
0tqm
Ktq
2B
2
1B
1
=+
+
=+
••
••
)(·)(
)(·)(
Notar que en esta ecuación también
m
K2K
m
K
B2
B1
+=
=
ω
ω
Entonces la solución será del tipo:
( )( )2222
1111
tsenAtq
tsenAtq
ψωψω
+=+=
·)(
·)(
Las constantes 11A , 12A , 1ψ y 2ψ se obtiene a partir de la condiciones iniciales.
( )
( )
=
−=
−=
−−
2x
2x
0
x
11
11
0x
0x
11
11
0q
0q
10
1010
1
2
1
1
2
1
·)(
)(·
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( )
( )
=
−=
−=
−−
•
•
0
0
0
0
11
11
0x
0x
11
11
0q
0q1
2
1
1
2
1·
)(
)(·
Luego resolviendo para )(tq1 tenemos:
( )1111 tsenAtq ψω += ·)(
Con:
2x0tq 10
1 == )(
00tq1 ==•
)(
La solución es:
( ) ( )t2
xtsen
2
xtq 1
1021
101 ωω π ·cos·)( =+=
Resolviendo para )(tq2 tenemos:
( )2222 tsenAtq ψω += ·)(
Con:
2x0tq 10
2 == )(
00tq 2 ==•
)(
La solución es:
( ) ( )t2
xtsen
2
xtq 2
1022
102 ωω π ·cos·)( =+=
Entonces la solución del sistema dinámico es:
{ } [ ]{ })(·)( tqtx φ= { } { } ( ) { } ( )tqtqtx 2211 ··)( φφ +=
( ) ( )tq1
1tq
1
1
tx
tx
21
2
1
··)(
)(
−+
=
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Esto es:
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( )[ ]tt2
xt
2
xt
2
xtx
tt2
xt
2
xt
2
xtx
2110
210
110
2
2110
210
110
1
ωωωω
ωωωω
coscos··cos·cos)(
coscos··cos·cos)(
−=−=
+=+=
Haciendo un análisis más detallado de los resultados. Considerando las relaciones trigonométricas:
( )( ) βαβαβα
βαβαβαsensen
sensen
··coscoscos
··coscoscos
+=−−=+
Reordenando:
( ) ( )( )
( ) ( )( ) βαβαβα
βαβαβα
sensen2121
·coscos
·coscoscoscos
−=−−+
=−++
Reemplazando estas relaciones en la solución del sistema y considerando:
t2
t2
tt2
21
21
··
··
ωωωβ
ωωωα
∆−=
−=
=
+=
Se obtiene:
( )
( )tsent2
senxtx
tt2
xtx
AmplitudFunción
102
AmplitudFunción
101
····)(
··cos··cos)(
ωω
ωω
444 3444 21
444 3444 21
∆=
∆=
Funciones Armónicas moduladas
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Respuesta Masa 1X1(t)
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
tiempo
x 1(t
)
Amplitud Envolvente
X1(t)
KB =6000 [N/m] m = 5 [Kg]K =2000 [N/m] X 10 = 0.1 [m]
Respuesta Masa 2X2(t)
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
tiempo
x 2(t
)
Amplitud Envolvente
X2(t)
KB =6000 [N/m] m = 5 [Kg]K =2000 [N/m] X 10 = 0.1 [m]
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Ejemplo 2: Considere el siguiente marco plano de 2 niveles. Este marco se compone de cuatro columnas de acero de igual sección y longitud, axialmente indeformables, que se conectan a un diafragma rígido que les impide el giro.
Masa de cada nivel son:
m1 = 12 Ton m2 = 10 Ton
Inercia de las secciones:
I =318 [cm4]
Módulo de elasticidad del acero
E = 2.1 x106 [Kg/cm2] Altura de las columnas:
L = 2.5 [m] Además se conoce la matriz de rigidez de la estructura para los grados de libertad indicados, obtenida mediante métodos de análisis estructural adecuados:
−
−=
−
−=
5710257102
5710215205
L
EI24
L
EI24
L
EI24
L
EI48
K
33
33
..
..
La ecuación de movimiento será:
[ ] [ ] { } { }0xKxM =⋅+
⋅
••
=
⋅
−
−+
⋅
••
••
2
1
2
1
2
1
F
F
x
x
5710257102
5710215205
x
x
100
012
..
..
Suponiendo que la solución homogénea es del tipo:
{ } { } ( )ψωφ += tsentx ·)(
m2
m1
F2(t)
F1(t)
x2(t)
x1(t)
L
L
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La ecuación queda:
[ ]{ } ( ) [ ]{ } ( ) { }0tsenKtsenM2 =+++− ψωφψωφω ····
[ ] [ ]( ){ } { }0MK 2 =− φω · La solución no trivial del sistema esta dada por:
[ ] [ ]( ) 0MK 2 =− ωdet
0105710257102
571021215205
2
2
=
−−
−−
ω
ω
..
..det
De esta forma obtenemos una ecuación característica para las frecuencias naturales:
06310521343282120 24 =+− .·. ωω
068873527 24 =+− .·. ωω
( ){ }688743527352721 22 .·.. −±=ω
{ }33973527212 .. ±=ω
64423
70832
2
21
.
.
=
=
ω
ω
8624
9261
2
1
.
.
==
ωω
Reemplazando los valores de 21ω y 2
2ω en la ecuación de movimiento obtenemos los modos de vibrar
708321 .=ω :
[ ] [ ]( ){ } { }0MK 21 =− φω ·
=
⋅
−
−
−
0
0
100
0127083
5710257102
5710215205
12
11
φ
φ·.
..
..
Ingeniería Antisísmica Capítulo 3 – Dinámica de estructuras. Sistemas de varios grados de libertad
16 Claudio Oyarzo V.
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=
⋅
−
−
0
0
496557102
5710265160
12
11
φ
φ
..
..
=
5661
0001
12
11
.
.
φ
φ
6442322 .=ω :
[ ] [ ]( ){ } { }0MK 22 =− φω ·
=
⋅
−
−
−
0
0
100
01264423
5710257102
5710215205
12
11
φ
φ·.
..
..
=
⋅
−−
−−
0
0
8713357102
5710257878
12
11
φ
φ
..
..
−=
7660
0001
12
11
.
.
φ
φ
Se comprueba que son ortogonales:
{ } { } { } { } 07660
156611
22
21
12112t
1 =
−=
=
.·.··
φ
φφφφφ
Construyendo la matriz de modos de vibrar se procede a desacoplar las ecuaciones:
[ ]
−=
76605661
11
..φ
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Gráficamente podemos los modos de vibrar corresponderán a:
Volviendo a la ecuación de equilibrio:
=
−⋅
−
−+
−⋅
••
••
2
1
2
1
2
1
F
F
q
q
76605661
11
5710257102
5710215205
q
q
76605661
11
100
012
....
..
..
Premultiplicando por [ ]Tφ
−=
−⋅
−
−
−+
−⋅
− ••
••
2
1
2
1
2
1
F
F
76601
56611
q
q
76605661
11
5710257102
5710215205
76601
56611
q
q
76605661
11
100
012
76601
56611·
.
.
....
..·
.
.
..·
.
.
−
+=
+
••
••
21
21
2
1
2
1
F7660F
F5661F
q
q
474220
044135
q
q
87170
05236
·.
·.·
.
.·
.
.
Se obtienen 2 ecuaciones independientes para )(tq1 y )(tq2
)(·.)()(·.)(·.
)(·.)()(·.)(·.
tF7660tFtq47422tq8717
tF5661tFtq44135tq5236
2122
2111
−=+
+=+••
••
m2
m1
1.566
1.000
Modo 1 ωn=1.926
m2
m1
-0.766
1.000
Modo 2 ωn=4.862
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Escrito de otra forma:
8717
tF7660tFtq64423tq
5236
tF5661tFtq7083tq
2122
2111
.
)(·.)()(·.)(
.
)(·.)()(·.)(
−=+
+=+
••
••
Bajo las condiciones iniciales :
( )
( )
=
−
)(
)(
0x
0x11
0q
0q
2
1
1
212
1
µµ
( )
( )
=
•
•−
•
•
)(
)(
0x
0x11
0q
0q
2
1
1
212
1
µµ
Una vez obtenida la solución de ambas ecuaciones es posible construir las ecuaciones de la respuesta global del sistema:
{ } [ ]{ })(·)( tqtx φ=
( ) ( )tq7660
1tq
5661
1
tx
tx
21
2
1
·.
·.)(
)(
−+
=
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3 Sistemas de varios grados de libertad. Análisis M odal En la sección anterior se ha revisado el método de resolución de un sistema de dos grados de libertad. A continuación se estudiará como se hace extensiva esta teoría a sistemas de varios grados de libertad.
3.1 Formulación General. Análisis Modal
Ecuación de Movimiento : [ ] [ ] { } { })(tFxKxM =⋅+
⋅
•• (1)
Problema Homogéneo : [ ] [ ] { } { }0xKxM =⋅+
⋅
•• (2)
Solución General : { } { } ( )ψωφ += tsentx ·)( (3) Reemplazando (3) en (2) : [ ] [ ]( ) { } { }0MK 2 =⋅⋅− φω (4) En (4) se obtiene un problema de vectores y valores propios, cuya solución no trivial esta dada por la ecuación: Ecuación característica : [ ] [ ]( ) 0MK 2 =⋅− ωdet (5) De la ecuación (5) se obtienen las frecuencias naturales de vibración n21 ωωω <<< ... (valores propios) Reemplazando los valores de la frecuencias naturales en (4) es posible obtener nos modos de vibrar { }φ (vectores propios).
• Propiedades de ortogonalidad de los modos de vibrar Si se considera dos pares de frecuencias-modos de vibrar:
nω , { }nφ
mω , { }mφ Y estos son aplicados a la ecuación (4), se obtiene:
[ ] { } [ ] { }n2
nn MK φωφ ⋅⋅=⋅ (6)
[ ] { } [ ] { }m2
mm MK φωφ ⋅⋅=⋅ (7)
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Premultiplicando (6) por { }Tmφ y (7) por { }T
nφ , se obtiene:
{ } [ ] { } { } [ ] { }nT
m2
nnT
m MK φφωφφ ⋅⋅⋅=⋅⋅ (8)
{ } [ ] { } { } [ ] { }mT
n2
mmT
n MK φφωφφ ⋅⋅⋅=⋅⋅ (9) Pero como se sabe que [ ]K y [ ]M son simétricas a aplicar las reglas de trasposición es posible demostrar que:
{ } [ ] { }( ) { } [ ] { } { } [ ] { }mT
nmTT
n
T
nT
m KKK φφφφφφ ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅ (10)
{ } [ ] { }( ) { } [ ] { } { } [ ] { }mT
nmTT
n
T
nT
m MMM φφφφφφ ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅ (11) Ahora restando (8) y (9) se obtiene:
( ) { } [ ] { }mT
n2
m2
n M0 φφωω ⋅⋅⋅−= (12) Como se sabe
( ) 02m
2n ≠− ωω cuando nm ≠ (13)
Entonces:
{ } [ ] { } 0M mT
n =⋅⋅ φφ siempre y cuando nm ≠ (14) Por lo tanto dado que:
{ } [ ] { } { } [ ] { }nT
mnT
m2
n KM φφφφω ⋅⋅=⋅⋅⋅ (15) También:
{ } [ ] { } 0K mT
n =⋅⋅ φφ siempre y cuando nm ≠ (16) En cambio cuando nm =
( ) 02n
2n =− ωω (17)
{ } [ ] { } nnT
n MM =⋅⋅ φφ (18)
{ } [ ] { } 0K nT
n ≠⋅⋅ φφ (19)
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A esta propiedad se le llama ortogonalidad, y queda definida por
{ } [ ] { }
≠
==⋅⋅
nm0
nmMM
n
mT
n φφ (20)
{ } [ ] { }
≠=
=≠=⋅⋅
nm0
nm0K m
Tn φφ (21)
• Normalización Es una practica común el trabajar con modos de vibrar normalizados, vectores ortonormales, los que se definen como:
{ } [ ] { }{ }n
nT
n
n
M
1 φφφ
φ ⋅⋅⋅
=
∧
(22)
En este caso se puede demostrar:
[ ]
≠
==
⋅⋅
∧∧
nm0
nm1M m
T
n φφ (23)
[ ]
≠
==
⋅⋅
∧∧
nm0
nmK
2n
m
T
n
ωφφ (24)
Por lo tanto al trabajar con la matriz de modos de vibrar:
[ ]
=
⋅⋅
∧∧
O
O
00
010
00
MT
φφ (25)
[ ]
=
⋅⋅
∧∧
O
O
00
00
00
K 2i
T
ωφφ (26)
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• Coordenadas principales Ya se han definido las coordenadas principales del sistemas como:
{ } { })()( tqtx ⋅
=∧φ
Entonces la ecuación de movimiento queda:
[ ] [ ] { } { })(tFxKxM =⋅+
⋅
••
[ ] [ ] { } { })()()( tFtqKtqM =⋅
⋅+
⋅
⋅∧••∧φφ
Premultiplicando por T
∧φ :
[ ] [ ] { } { })()()( tFtqKtqMTTT
⋅
=⋅
⋅⋅
+
⋅
⋅⋅
∧∧∧••∧∧φφφφφ
{ } { })()()( tFtq
00
00
00
tq
00
010
00 T2
i ⋅
=⋅
+
⋅
∧••φω
O
O
O
O
Con lo que se obtiene un set de ecuaciones independientes:
{ })()()( tFtqtqT
i2
ii ⋅
=⋅+
∧••φω
Con condiciones iniciales que se obtienen a partir de:
{ } { }00 qx ⋅
=∧φ
⋅
=
•∧•
00 qx φ
Premultiplicando estas ecuaciones por [ ]MT
⋅
∧φ se obtiene, respectivamente
[ ] { } [ ] { } [ ] { }00
T
0
T
qIdqMxM ⋅=⋅
⋅⋅
=⋅⋅
∧∧∧φφφ
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[ ] [ ] [ ]
⋅=
⋅
⋅⋅
=
⋅⋅
••∧∧•∧
00
T
0
T
qIdqMxM φφφ
Luego:
{ } [ ] { }0
T
0 xMq ⋅⋅
=∧φ
[ ]
⋅⋅
=
•∧•
0
T
0 xMq φ
Finalmente la solución aplicando superposición modal será:
{ } { })()( tqtx ⋅
=∧φ
Comentario:
Si bajo condiciones homogéneas, esto es, [ ] [ ] { } { }0xKxM =⋅+
⋅
••, se desea que la respuesta
del sistema de n grados de libertad sea sólo en uno de sus modos de vibrar se tiene:
{ } )()( tqtx kk ⋅
=
∧φ esto es ki0tq i ≠∀=)(
Esto se cumple si: ki00q0q ii ≠∀==•
)()( Por lo tanto:
{ } { }00 qx ⋅
=∧φ { }
⋅
=∧
0
q
0
x 0k0
M
M
φ { } 0kk0 qx ⋅
=
∧φ
⋅
=
•∧•
00 qx φ
⋅
=
•∧•
0
q
0
x 0k0
M
M
φ 0kk0 qx•∧•
⋅
=
φ
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En ese caso )(tqk verifica:
0tqtq k2
kk =⋅+••
)()( ω Con condiciones iniciales:
2k
1k
C0q
C0q
=
=•
)(
)( Al menos una distinta de cero.
Por lo tanto, se puede afirmar que si a un sistema se le imponen condiciones iniciales con la misma geometría asociada a un modo de vibrar k, la respuesta de este sistema se dará solo en dicho modo k. Además se puede demostrar que los modos superiores requieren de una mayor energía para provocar dicha deformación.
Primer Modo Segundo Modo
11 ωφ
∧
Energía de Deformación
[ ]
⋅⋅
∧∧
1
T
1 K φφ
22 ωφ
∧
Energía de Deformación
[ ]
⋅⋅
∧∧
2
T
2 K φφ
[ ] [ ]
⋅⋅
<
⋅⋅
∧∧∧∧
2
T
21
T
1 KK φφφφ
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3.2 Respuesta máxima. Conocida la respuesta de un sistema dinámico para cada grado de libertad:
)(...)()()()( tqtqtqtqtx nn1212
n
1j111jj11 ⋅++⋅+⋅=⋅=
∧∧
=
∧∧
∑ φφφφ
Siempre resultará interesante determinar cual es el máximo valor que adopta dicha respuesta. Para calcular este máximo existen dos camino. El primero corresponde al método directo, que consiste en identificar el máximo:
)(...)()()( tqtqtqMaxtxMaxx nn12121111MAX1 ⋅++⋅+⋅==∧∧∧φφφ
El segundo corresponde a un método aproximado, el cual nos entrega una cota superior de la respuesta. Este consiste en calcular el máximo de cada uno de los modos y luego superponerlos de una forma “adecuada”, esto es:
∑∑=
∧
=
∧⋅≤⋅=
n
1j MAXjijMAX
n
1jjijMAXi tqtqtx )()()( φφ
∑=
∧⋅≤
n
1j MAXjijMAXi tqtx )()( φ Cota superior
Un método frecuentemente utilizado en el caso sísmico corresponde al “Square Root of Sums of Squares” (SRSS), que se define como:
∑=
∧⋅
≈n
1j
2
MAXj
2
ijMAXi tqtx )()( φ
2
MAXn
2
in
2
MAX2
2
2i
2
MAX1
2
1iMAXi tqtqtqtx )(...)()()( ⋅
++⋅
+⋅
≈∧∧∧φφφ
Respuesta
-150
-100
-50
0
50
100
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
TIEMPO [SEG]
X1(
t) [c
m]
X1MAX
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Otro método utilizado es el método “Complete Quadratic Combination” (CQC) que será explicado en capítulos posteriores y es el utilizado por la norma sísmica chilena Ejemplo 3: Caso sísmico
Ecuación de movimiento:
[ ] { } [ ]{ } { }0xKu1xM g =+
+
⋅
••••··
[ ] [ ]{ } [ ]{ } gu1MxKxM••••
−=+
⋅ ···
−=
−−+−
−++
⋅
••
••
••
••
••
••
g3
g2
g1
2
2
1
33
3322
221
3
2
1
2
2
1
um
um
um
x
x
x
KK0
KKKK
0KKK
x
x
x
m00
0m0
00m
·
·
·
·
Coordenadas principales: { } [ ]{ })(· tqx φ=
[ ] [ ]{ } [ ]{ } gu1MxKxM••••
−=+
⋅ ···
[ ] [ ] [ ][ ]{ } [ ]{ } gu1MtqKtqM••••
−=+
⋅ ··)(··)(· φφ
Premultiplicando por [ ]Tφ
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ]{ } [ ] [ ]{ } gTTT u1MtqKtqM
••••−=+
⋅ ···)(···)(·· φφφφφ
m3
m2
m1 x1
x2
x3
)(tu g
••
K3
K2
K1
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{ } { } gi2
i utqtq1••••
=
+
·)(·)(· αω
O
O
O
O
Desacoplando:
gIi2
iI utqtq••••
=+ ·)(·)( αω Donde iα corresponde al factor de participación modal del modo i. Si se define: )(·)( tztq iIi α=
gIiI2
iII utztz••••
=+ ·)(··)(· ααωα
Simplificando Iα : gi2
iI utztz••••
=+ )(·)( ω Solucionando para )(tz i , es posible luego obtener la solución para )(·)( tztq iIi α= y de ahí
para { } [ ]{ } { } { }∑∑==
===n
1iiii
n
1iii tztqtqx )(··)(·)(· αφφφ
Ejemplo 4:
Considere la siguiente estructura bajo el efecto de una aceleración basal g280u g .=••
.
Previamente se obtuvo:
{ }
=0810
06401 .
.φ ]/[. srad83111 =ω
{ }
−=
0920
05702 .
.φ ]/[. srad9322 =ω
Ecuaciones modales:
{ } [ ]{ } gT
ii2
ii u1Mtqtq••••
−=+ ···)(·)( φω
m2 = 66
m1=136 x1
x2
)(tu g
••
K2
K1
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Modo 1: g2800514g2801
1
660
0136
0810
0640tqtq
T
12
11 ...···.
.)(·)( ⋅−=
−=+••
ω
Modo 2: g280681g2801
1
660
0136
0920
0570tqtq
T
22
22 ...···.
.)(·)( ⋅−=
−−=+
••ω
Factores de participación modal: 05141 .−=α 6812 .−=α
Aplicando la trasformación )(·)( tztq iIi α=
Modo 1: g280tztz 12
11 .)(·)( =+••
ω � ( )( )t1g280
tz 121
1 ωω
cos.
)( −⋅=
Modo 2: g280tztz 22
22 .)(·)( =+••
ω � ( )( )t1g280
tz 222
2 ωω
cos.
)( −⋅=
La respuesta en coordenadas principales: Modo 1:
( )( ) ( )( )t1g0280t1g280
0514tztq 1121
111 ωωω
α cos.cos.
.)(·)( −⋅⋅−=−⋅⋅−==
Modo 2:
( )( ) ( )( )t1g00040t1g280
681tztq 2222
222 ωωω
α cos.cos.
.)()( −⋅⋅−=−⋅⋅−=⋅=
Finalmente la respuesta será:
{ } { }∑=
=n
1iii tqtx )(·)( φ
{ } { } { } )(·)(·)( tqtqtx 2211 φφ +=
{ } ( )( ) ( )( )t1g000400920
0570t1g0280
0810
0640tx 21 ωω cos.·
.
.cos.·
.
.)( −⋅⋅−
−+−⋅⋅−
=
( ) ( ) gt0000400
0000250
0000400
0000250t
00220
00180
00220
00180
tx
tx
21
2
1
·cos.
.
.
.cos
.
.·
.
.
)(
)(
−+
−−
+
−=
ωω
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29 Claudio Oyarzo V.
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Luego: ( ) ( )[ ]gt0000250t001800018250tx 211 ··cos.·cos.·.)( ωω ++−=
( ) ( )[ ]gt0000400t002200022400tx 212 ··cos.·cos.·.)( ωω −+−=
Notar la baja influencia del segundo modo. Calculando los máximo en forma directa considerando solo un modo, pues el modo 2 aporta muy poco:
( )( ) g0036250gt001800018250Maxtx 11 ·.··cos.·.)(max
=+−= ω
( )( ) g0044400gt002200022400Maxtx 12 ·.··cos.·.)(
max=+−= ω
Calculando el máximo según SRSS:
2
MAX2
2
2i
2
MAX1
2
1iMAXi tqtqtx )()()( ⋅
+⋅
≈∧∧φφ
2
MAX22
2
2
2i
2
MAX12
1
2
1iMAXi tztztx )()()( ⋅⋅
+⋅⋅
≈∧∧
αφαφ
( ) ( ) g003590932g280
268105708311
g280205140640tx
2
222
2
222
MAX1 ..
.·..
..
·..)( =
⋅⋅+
⋅⋅≈
( ) ( ) g004550932g280
268109208311
g280205140810tx
2
222
2
222
MAX2 ..
.·..
..
·..)( =
⋅⋅+
⋅⋅≈
Queda claro que los resultados aproximados son bastante similares a la respuesta máxima exacta.
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3.3 Modelos de disipación de energía. El amortiguamiento registrado en las estructuras por lo general son relativamente pequeños por lo cual, en general, no afectan al cálculo de las frecuencias naturales y modos de vibrar. En consecuencia, por lo general este efecto se desprecia y el problema característico que permite calcular los valores y vectores propios se desarrolla omitiendo el amortiguamiento. Por otro lado, las consideraciones de amortiguamiento, en el análisis dinámico de estructuras, incluye algunos grados de dificultad adicionales al problema. Además de incluir términos adicionales a las ecuaciones diferenciales debido a las fuerzas de amortiguamiento, el lograr que dichas ecuaciones se puedan desacoplar impone una serie de condiciones de proporcionalidad a los coeficientes de amortiguamiento. Considere el siguiente sistema dinámico:
Ecuación de movimiento:
[ ] [ ] [ ]
=
⋅+
⋅+
⋅
•••)()()()( tFtxKtxCtxM
Donde:
[ ]
=
3
2
1
m00
0m0
00m
M Matriz de Masas
[ ]
−−+−
−+=
33
3322
221
KK0
KKKK
0KKK
K Matriz de Rigidez
[ ]
−−+−
−+=
33
3322
221
CC0
CCCC
0CCC
C Matriz de Amortiguamiento
m1
C1
K1
m2
C2
K2
m3
C3
K3
F1(t) F2(t) F3(t)
x1 x2 x3
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31 Claudio Oyarzo V.
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Haciendo la conversión a coordenadas principales { } [ ] { })()( tqtx ⋅= φ y premultiplicando por
[ ]Tφ , se obtiene:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
⋅=
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅
•••)()()()( tFtqKtqCtqM TTTT φφφφφφφ
[ ]
⋅=
⋅
+
⋅
+
⋅
•••
)()()(?)( tFtq
00
0
00
tqtq
100
010
001T
23
22
21
φω
ωω
Notar que:
[ ] [ ] [ ] [ ]?=⋅⋅ φφ CT Podemos suponer:
[ ] [ ] [ ]
⋅⋅
⋅=⋅⋅
33
22
11T
d200
0d20
00d2
C
ωω
ωφφ
·
·
·
Entonces las ecuaciones desacopladas serán:
{ } { })(·)(·)(···)( tFtqtqd2tq Tii
2ii
2iii φωω =++
•••
Si consideramos que el amortiguamiento es posible modelarlo mediante una combinación linel de las matrices de masas y rigidez, esto es:
[ ] [ ] [ ]KaMaC 10 ⋅+⋅=
Es posible demostrar que se cumple:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]φφφφφφ ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅⋅ KaMaC T1
T0
T
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]2i10
T aIdaC ωφφ ⋅+⋅=⋅⋅
Por lo tanto: a la
[ ] [ ] [ ]
⋅+
⋅=⋅⋅2
3
22
21
10T
00
00
00
a
100
010
001
aC
ωω
ωφφ
Ingeniería Antisísmica Capítulo 3 – Dinámica de estructuras. Sistemas de varios grados de libertad
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Ingeniero Civil
Basándose en el supuesto
[ ] [ ] [ ]
⋅⋅
⋅=⋅⋅
33
22
11T
d200
0d20
00d2
C
ωω
ωφφ
·
·
·
Se tiene
⋅+
⋅=
⋅⋅
⋅
23
22
21
10
33
22
11
00
00
00
a
100
010
001
a
d200
0d20
00d2
ωω
ω
ωω
ω
·
·
·
Luego si la matriz de amortiguamiento cumple con estas condiciones es posible demostrar que las ecuaciones son desacoplables:
2i10ii aad2 ωω ⋅+=⋅ · �
2a
2
ad i
1i
0i
ωω
⋅+⋅=·
Más aún, en forma general se puede demostrar que las matrices se pueden desacoplar si
[ ] [ ] [ ] [ ]( )
⋅⋅= ∑−
k
k1k KMaMC
De esta forma:
{ } [ ] { } ( )
=≠
=⋅⋅∑ jisia
jisi0C
k
k2ik
jT
i ωφφ
Por lo tanto:
( ) ....· +⋅+⋅+==⋅ ∑4
i2k
2i10
k2ikii aaaad2 ωωωω
( )i
4i
2k i
2i
1i
0k2ik
ii 2
a2
a2
aa
21
dω
ωω
ωω
ωω ····
⋅+⋅+== ∑
En forma matricial:
⋅
=
2
1
0
333
3
322
2
311
1
3
2
1
a
a
a
1
1
1
21
d
d
d
ωωω
ωωω
ωωω·
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Luego:
⋅
⋅=
−
3
2
1
1
333
3
322
2
311
1
2
1
0
d
d
d
1
1
1
2
a
a
a
ωωω
ωωω
ωωω
Pero conviene mencionar, que al utilizar el método de superposición modal, sólo se requiere conocer los valores de los coeficientes id , por lo tanto, no se requiere calcular explícitamente la
matriz de amortiguamiento [ ]C . En algunas situaciones no es posible resolver el problema mediante el análisis modal clásico. En estos casos se utilizará un método más sofisticado conocido como superposición modal generalizada, o bien, mediante técnicas numéricas.
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3.4 Respuestas modales. Considerando la ecuación de movimiento, para el caso de un movimiento sísmico:
[ ] [ ] [ ]
=
⋅+
⋅+
⋅
•••)()()()( tFtxKtxCtxM
[ ] [ ] [ ] [ ] { } suelou1MtxKtxCtxM•••••
⋅⋅−=
⋅+
⋅+
⋅ )()()(
Convirtiendo a coordenadas principales:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] { } suelou1MtqKtqCtqM•••••
⋅⋅−=
⋅⋅+
⋅⋅+
⋅ )()()(· φφφ
Premultiplicando por [ ]Tφ :
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] { } sueloTTTT u1MtqKtqCtqM
•••••⋅⋅−=
⋅⋅+
⋅⋅+
⋅ ·)(·)(·)(·· φφφφφφφ
Normalizando:
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] { }[ ] [ ] [ ] sueloT
T
T
T
T
T
uM
1Mtq
M
Ktq
M
Ctq
•••••⋅
⋅⋅−=
⋅
⋅⋅+
⋅
⋅⋅+
φφφ
φφφφ
φφφφ
·
·)(
·
·)(
·
·)(
[ ] [ ] { }[ ] [ ] [ ] sueloT
T2
iii uM
1Mtqtqd2tq1
•••••⋅
⋅⋅−=
+
⋅
+
φφφωω
·
·)(·)(··)(·
O
O
O
O
O
O
Luego para cada coordenada generalizada se tiene:
{ } [ ] { }{ } [ ] { } sueloT
T
i2
iiiii uM
1Mtqtqd2tq
•••••⋅
⋅⋅−=++
φφφωω
·
·)(·)(···)(
sueloisuelo
i
isueloN
1j
2jij
N
1jjij
i2
iiiii uum
Lu
m
m
tqtqd2tq••••••
=
=•••⋅=⋅−=⋅−=++
∑
∑α
φ
φωω
·
·
)(·)(···)(
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Donde:
{ } [ ] { } ∑=
=⋅=N
1jjij
Ti m1ML φφ ··
{ } [ ] { } ∑=
=⋅=N
1j
2jij
Ti mMm φφφ ··
i
ii m
L=α Factor de participación modal
Así:
sueloii2
iiiii utqtqd2tq•••••
⋅=++ αωω )(·)(···)( La solución estacionaria de este problema queda definido por:
τττα dthutqt
0
sii ∫ −⋅=••
)()·()(
La respuesta máxima corresponderá a:
ii
MAX
t
0
sii SDdthutq ⋅=−⋅= ∫••
ατττα )()·()(
Donde iSD es el espectro de desplazamientos. Es sabido que las fuerzas experimentadas por lo diferentes elementos estructurales quedan definidas por:
{ } [ ]{ } [ ][ ]{ }qKxKF ··· φ== Luego para el modo i:
{ } [ ]{ } iii qKF ·· φ= � { } { }∑=
=N
1iiFF Vector de cargas sobre cada g.l.
{ } [ ]{ } MAXiiMAXi qKF ··φ=
{ } [ ]{ } [ ]{ } iii
MAX
t
0
siiMAXi SDKdthuKF ⋅=−⋅= ∫••
αφττταφ ··)()·(··
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Recordando además que se cumple:
[ ] [ ]( ) { } { }0MK 2 =⋅⋅− φω
[ ]{ } [ ] { }i2
ii MK φωφ ⋅⋅=· Entonces:
{ } [ ]{ } [ ]{ } iii2
iiiiMAXi SDMSDKF ⋅=⋅= αφωαφ ····
{ } [ ]{ }2
i
iii
2iMAXi
PSAMF
ωαφω ⋅= ··
{ } [ ]{ } iiiMAXi PSAMF ··φα ⋅=
(PSA: Pseudos espectro de aceleraciones)
Entonces para un nivel (grado de libertad) k cualquiera y considerando solo el modo i:
iikk2
iik qmF ··· φω=
iiikk2
iMAXik SDmF ···· αφω=
iiikkMAXik PSAmF αφ ··=
Ahora si se considera que el sistema dinámico es un edificio, entonces el corte basal para cada modo corresponderá a la suma de las fuerzas aplicadas sobre cada nivel, esto es:
Corte basal modo i : { } { }iT
N
1kiki F1FV ·== ∑
=
suelou••
i1F
kiF
niF
Nivel k
iV
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Luego: { } { }MAXiT
MAXi F1V ·=
{ } [ ]{ } iiiT
MAXi PSAM1V ⋅= αφ ···
{ } [ ]{ } { } [ ] { }{ } [ ] { } iT
T
iT
MAXi PSAM
1MM1V ⋅
⋅⋅=
φφφφ
·
····
iiii
2i
MAXi PSAMPSAm
LV ⋅=⋅=
___
El corte máximo de la estructura quedará determinado por:
( ) ∑∑∑===
⋅=≈=N
1i
2
ii
N
1i
2
MAXi
MAX
N
1iiMAX PSAMVVV
___
Donde i
2i
im
LM =___
es conocido como masa modal y se puede demostrar que Edificio
n
1i
i MM =∑=
___
y
PSA corresponde al Pseudoespectro de aceleraciones, el cual puede ser determinado experimentalmente o estar definido según normativa mediante funciones o gráficos.
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4 Análisis modal de edificios considerando fenómeno s torsionales.
Recordando los contenidos presentado en la asignatura de Análisis de Estructuras, tenemos que para modelar un edificio utilizando los grados de libertad de cada uno de los niveles se trabaja bajo las siguientes hipótesis:
• Análisis elástico de pequeñas deformaciones. • Elementos resistentes planos, sin rigidez en su dirección transversal. • Losas actuando como diafragmas infinitamente rígidos.
Bajo estas premisas es posible realizar un análisis dinámico Pseudotridimensional (X-Y-θ) utilizando los principios de superposición modal. Modelo:
Ecuación de Estática : [ ] { } { }FxK =⋅
Ecuación de Dinámica : [ ] [ ] { } { })()()( tFtxKtxM =⋅+
⋅
••
xi, ui
yi, vi
θi
Rij
αij
Nivel i Diafragma Infinitamente
Rígido
Eje Resistente j (Rij αij)
Wij
dij dij : Grado de libertad
dij
Nivel i
Eje resistente j
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4.1 Matriz de Rigidez. Sea n el número de niveles, entonces, si se tiene un eje resistente j:
Por condensación estática es posible obtener:
{ }{
[ ] { }{
esHorizontalDespl
j
HorizontalRigidez
deMatriz
nxnj
fuerzasde
vector
j dKP.
⋅=321
Donde: { }
=
nj
j2
j1
j
P
P
P
PM
{ }
=
nj
j2
j1
j
d
d
d
dM
Mediante las ecuaciones de compatibilidad geométrica es posible obtener la matriz de transformación:
[ ] ( ) [ ] ( ) [ ]
n3nDiagonalMatriz
ijnxnijnxnijj
00
0R0
00
senT
+
Ι⋅Ι⋅−=
44 344 21O
O
αα cos
Mediante esta matriz de transformación es posible obtener la matriz de rigidez de cada elemento resistente referido a los grados de libertad de cada nivel del edificios:
[ ] [ ] [ ] [ ]n3nxjnxnj
T
nxn3jn3nx3j TKTK ⋅⋅=43421
nivelcadadeG.L.losareferidoresistenteejedel
RigidezdeMatriz
(6)
Desarrollando se obtiene:
( ) ( )
[ ] [ ] [ ]( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] [ ]
( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] [ ]( ) [ ] [ ] ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
( )
( )
j
j
j
jjj
R
sen
jjjjjjjjj
jjjjj2
jjj
jjjjjjjj2
n3nxjnxnjT
nxn3j
Rsen
RKRRKRKsen
RKKKsen
RKsenKsenKsen
TKT α
α
αα
αα
αααα
αααα
cos
cos
cos
coscoscos
cos −
⋅⋅⋅⋅⋅⋅−
⋅⋅⋅⋅−
⋅⋅−⋅−⋅
=⋅⋅
dnj
d1j
d2j
d3j
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Si se considera que el edificio cuenta con m eje resistentes, entonces la matriz de rigidez global de todo el sistema estará dada por:
[ ]
( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] [ ]
( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] [ ]
( ) [ ] [ ] ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
⋅⋅⋅⋅⋅⋅−
⋅⋅⋅⋅−
⋅⋅−⋅−⋅
=
∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
===
===
===
m
1jjjj
m
1jjjj
m
1jjjj
m
1jjjj
m
1jjj
2m
1jjjj
m
1jjjj
m
1jjjj
m
1jjj
2
n3nx3
RKRRKRKsen
RKKKsen
RKsenKsenKsen
K
αα
αααα
αααα
cos
coscoscos
cos
4.2 Fuerzas Inerciales. Matriz de Masas.
jviuCG ˆˆ ⋅+⋅=∆→
( ) ( ) ( ) jxviyurkCGP ˆ·ˆ·ˆ θθθ ++−=×⋅+∆=∆→→→
ρ = Densidad de masa
Si sabemos que las masas inerciales de cada nivel se calculan mediante la segunda ley de
Newton: →→
= amF ·
iiPi dAjxviyudmFd ··ˆ·ˆ· ρθθ
++
−=∆=••••••••
••→→
ixi dAyudF ··· ρθ
−=••••
iyi dAxvdF ··· ρθ
+=••••
xi
ui
yi
vi
x
Nivel i
→Fd
→r
ydF
ydFy
θi
P
CG
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Entonces, las fuerzas inerciales totales son:
iiiixiix mudAudAydAudFF ········••••••••
==−== ∫∫∫∫ ρρθρ43421
CGalc/r0
iiiiyiyi mvdAvdAxdAvdFF ········••••••••
==+== ∫∫∫∫ ρρθρ43421
CGalc/r0
Ahora si calculamos el momento:
( ) ( )jdFidFjyixFdrMd yixiiiˆ·ˆ·ˆ·ˆ· +×+=×=
→→→
( ) kdAyuyxvxkdFydFxMd ixiyiiˆ······ˆ·· ρθθ
−−
+=−=••••••••→
Así el momento total:
kdAyyuxxvMdM i22
iiˆ·······∫∫
−−
+==••••••••→→
ρθθ
( ) i22
iizi dAyxdAyudAxvM ········· ρθρρ ∫∫∫ ++−=••••••
4342143421
CGalc/r0
CGalc/r0
( ){
Masade
PolarMto
CGi22
zi JdAyxM ····••••
=+= ∫ θρθ
Si quisiéramos escribir en forma matricial las fuerzas inerciales que actúan sobre un edificio de n pisos se obtiene:
=
••
••
••
••
••
••
n
1
n
1
n
1
n
1
n
1
n
1
zn
z1
yn
y1
xn
x1
θ
θ
v
v
u
u
·
M
J000
Jm
mm
000m
M
MF
FF
F
M
M
M
44444444 344444444 21LLLLLL
OOMMOOMMOOMMOOOMMOOMMOOMMOO
LLLLLL
M
M
M
niveleslosdelibertaddegradoslosaAsosiadaMasasdeMatriz
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Finalmente si se recuerda que la ecuación dinámica queda definida por:
[ ] [ ] { } { })()()( tFtxKtxM =⋅+
⋅
••
Para el caso sísmico tenemos:
[ ] [ ] { } [ ] { }••••
⋅−=⋅+
⋅ su1MtxKtxM ·)()(
Donde:
[ ]
n3nx3n
1
n
1
n
1
J000
Jm
mm
000m
M
=
LLLLLLOOM
MOOMMOOMMOOOMMOOMMOOMMOO
LLLLLL
[ ]
( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] [ ]
( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] [ ]
( ) [ ] [ ] ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]n3nx3
m
1jjjj
m
1jjjj
m
1jjjj
m
1jjjj
m
1jjj
2m
1jjjj
m
1jjjj
m
1jjjj
m
1jjj
2
RKRRKRKsen
RKKKsen
RKsenKsenKsen
K
⋅⋅⋅⋅⋅⋅−
⋅⋅⋅⋅−
⋅⋅−⋅−⋅
=
∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
===
===
===
αα
αααα
αααα
cos
coscoscos
cos
{ }
1nx3n
1
n
1
n
1
v
vu
u
·tx
=
θ
θM
M
M
)( { }
1nx31
1
1
·1
=M
M
La aceleración del suelo ••
su en general queda determinada por las normas de diseño de cada
país mediante un Espectro asociado a los periodos-frecuencias fundamentales del edificio.
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5 Análisis de Vibraciones de medios continuos. Capítulo 16 “Dynamics of Structures” A. Chopra