146
4.3.Diferenciales
En el cálculo diferencial se estudio diferenciación para y = f(x,y) y se definió
la diferencial de y como dy = f(x) dx. Ahora en esta sección generalizaremos los
conceptos de incrementos y diferenciales a funciones de dos variables o más variables
por ejemplo para una función de dos variables como z = f (x,y) usamos una
terminología similar a la empleada en cálculo diferencial. Llamaremos ∆x , ∆y a los
incrementos de x e y y el incremento de z viene dada por
),(),( yxfyyxxfz −∆+∆+=∆
Definición 4.3.1:
Si f es una función de dos variables x e y entonces el incremento de f en
el punto ),( 00 yx denotado por ∆f ),( 00 yx está dado por
),(),(),( 000000 yxfyyxxfyxf −∆+∆+=∆
Ejemplo:
Si f(x,y) = 4x – xy2 encontrar el incremento de f en cualquier punto ),( 00 yx .
),(),(),( 000000 yxfyyxxfyxf −∆+∆+=∆
2000
20
20
2000
2000
200
20
2000
2000
2000
4)22(44
4)2)((44
)4())(()(4
yxxyxyxyxyyxyyxyxxx
yxxyyyyxxxx
yxxyyxxxx
+−∆∆+∆∆+∆+∆+∆+−∆+=
+−∆+∆+∆+−∆+=
−−∆+∆+−∆+=
20
20
20
2000
200 224 yxyxyxyxyyxyyxyxx +∆∆−∆∆−∆−∆−∆−−∆=
20
20
2000 224 yxyxyxyyxyyxx ∆∆−∆∆−∆−∆−∆−∆=
147
Definición 4.3.2:
Si f es una función de dos variables x e y y el incremento de f en el
punto ),( 00 yx se puede escribir
yxyyxfDxyxfDyxf ∆+∆+∆+∆=∆ 2100200100 ),(),(),( εε donde ε1 y ε2
son funciones de ∆x , ∆y tal que ε1→ 0 y ε2 → 0 cuando (∆x , ∆y) → (0, 0)
( y ε1 = ε2 = 0 cuando ∆x = ∆y = 0 ).Se dice también que f es diferenciable en
(x0 , y0 ).
Teorema 4.3.3:
Si una función f de dos variables x e y es diferenciable en un punto, es
continua en ese punto.
Demostración:
Si f es diferenciable en el punto ),( 00 yx ,( por definición 4.3.2) se tiene que
yxyyxfDxyxfDyyxxf ∆+∆+∆+∆=∆+∆+∆ 21002001000 ),(),(),( εε donde ε1→ 0 ,
ε2 → 0 si (∆x , ∆y) → (0, 0) por lo tanto
yxyyxfDxyxfDyxfyyxxf ∆+∆+∆+∆+=∆+∆+ 210020010000 ),(),(),(),( εε
tomando el limite a ambos lados cuando (∆x , ∆y) → (0, 0) se tiene que
),(),(lim 00000)0,0(),(
yxfyyxxfyx
=∆+∆+→∆∆
ahora si x0 + ∆x = x y y0 + ∆y = y (∆x , ∆y) → (0, 0) es equivalente a
(x, y)→ ),( 00 yx
se tiene que
148
),(),(lim),(lim 0000)0,0(),(),(),( 00
yxfyyxxfyxfyxyxyx
=∆+∆+=→∆∆→
se demuestra que f es continua en el punto ),( 00 yx .
Ejemplo:
Si (0,0))( si 0
(0,0))( si 3
),( 22
=
≠+=
x,y
x,yyx
xyyxf
Demostrar que D1f (0,0) y D2 f (0,0) existen pero f no es diferenciable en (0,0)
Solución:
000
lim0
)0,0(),0(lim)0,0(
000
lim0
)0,0()0,(lim)0,0(
002
001
=−=−−=
=−=−−=
→→
→→
yy
fyffD
xx
fxffD
yy
xx
Por lo tanto D1f (0,0) y D2 f (0,0) existen.
Ahora se determina si el ),(lim)0,0(),(
yxfyx →
(existe o no existe).
Busquemos la primera trayectoria S1 para todos los puntos en el eje x entonces
00
0lim)0,(lim),(lim
200)0,0(),(=
+==
→→→ xxfyxf
xxyx
Sea S2 el conjunto de todos los puntos en la recta y = x
Ahora 2
3
2
33),(
2
2
22==
+=
x
x
xx
xxxxf
2
33lim),(lim
22
2
0)0,0(),(=
+=
→→ xx
xyxf
xyx
se tiene que el ),(lim),(lim)0,0(),()0,0(),(
yxfyxfyxyx →→
≠
para S1 para S2
149
por lo tanto ),(lim)0,0(),(
yxfyx →
no existe por lo tanto f no es continua en (0,0) como
f no es continua en (0,0) se tiene que f no es diferenciable.
Definición 4.3.4: (Diferencia Total)
Si z = f (x,y) y ∆x y ∆y son incrementos de x y de y entonces las
diferenciales de las variables independientes x e y son dx = ∆x y dy = ∆y y la
diferencial total de la variable dependiente z es
dyy
zdx
x
zyyxfDxyxfDdz
∂∂+
∂∂=∆+∆= ),(),( 21
Definición 4.3.5:
Si f es una función de n variables x1,x2,...,xn y f es diferenciable en el
punto P, entonces la diferencial total de f es la función df que viene dada por
nnnnn dxxxxfdxxxxfdxxxxfdf ),...,,(...),...,,(),...,,( 2122121211 +++=
El error relativo se encuentra dividiendo el error entre el valor real (actual),
por ejemplo V
V∆ donde ∆V es el error (diferencial total) del volumen y V es el
volumen (valor real) y el error porcentual aproximado se obtiene al multiplicar el
error relativo por 100.
Ejemplo:
El posible error involucrado al medir cada una de las dimensiones de una caja
rectangular es de ± 0,1 milímetros. Las dimensiones de la caja son 60 cm, 20 cm y
150
10 cm respectivamente. Usar la diferencial total para estimar el error relativo y el
error porcentual, en el cálculo del volumen de la caja.
Solución:
El volumen de la caja es de v = xyz
Como 0,1 milímetro es igual a 0,01 cm entonces los incrementos serán:
∆x = dx = ± 0,01 cm
∆y = dy = ± 0,01 cm
∆z = dz = ± 0,01 cm
La diferencial total es dv = vx dx + vy dy + vz dz
Calculemos vx , vy y vz
vx = y z
vy = x z
vz = x y
Se tiene que
dv = y z dx + xz dy + xy dz
Sustituyendo dx = dy = dz = ± 0,01 cm y x = 60 cm, y = 20cm y z = 10 cm
dv = (20) (10) (± 0,01) + (60) (10) (± 0,01) + (60) (20) (± 0,01)
dv = (± 0,01) [200 + 600 + 1200]
dv = (± 0,01) (2000)
dv = ± 20 cm3
El volumen real es v = 60 (20) (10)
151
v = 12.000 cm3
el error relativo v
v∆ es aproximado
00166,0600
1
01200
023
3
==/
/=cm
cm
v
dv
El error porcentual es:
0,00166 x 100 = 0,16 %.
Ahora con la ayuda del MAPLE V, realicemos el ejemplo anterior.
- Primero definamos la función del volumen, etiquetando con la variable v.
- Tomemos las derivadas parciales con respecto x, y y z, respectivamente.
- Se define la diferenciación total, etiquetando la con la variable dv.
- Con el comando subs(valores de las variables, a la función que va la
sustitución) .
- Calculo del volumen, error relativo y error Porcentual.
> v:=x*y*z; := v x y z
> vx:=diff(v,x); := vx y z
> vy:=diff(v,y); := vy x z
> vz:=diff(v,z); := vz x y
> dv:=vx*dx+vy*dy+vz*dz;
:= dv + + y z dx x z dy x y dz
Como dx=dy=dz=0,01 tenemos que > Dv:=subs(x=60,y=20,z=10,dx=0.01,dy=0.01,dz=0.01,dv);
152
:= Dv 20.00
> v:=60*20*10; := v 12000
> ER:=Dv/v; := ER 0.001666666667
> EP:=ER*100; := EP 0.1666666667
El error relativo es de 0,001667 y el error porcentual es de 0,16%.
Ejemplo:
Una caja va ha ser hecha con un pedazo de madera que tiene 5 cm de espesor.
La longitud interior es de 6 m, el ancho interior de 3 m, la profundidad interior de 4 m
y la caja no tiene tapa. Usar la diferencial total para encontrar la cantidad
aproximada de madera que va ha ser usada.
Solución:
El espesor de la caja es de 5 cm, llevándolo a metros se tiene 0,05 m, por lo
tanto dx = dy = dz = 0,05 m.
Los lados x = 6 m , y = 3 m , z = 4 m
Como no tiene tapa
S (x,y,z) = 2xy + 2xz + yz
La diferencial total se calcula por
dS = Sx (x,y,z) dx + Sy (x,y,z)dy + Sz (x,y,z)dz
Ahora calculemos las derivadas parciales
Sz (x,y,z) = 2y + 2z
153
Sy (x,y,z) = 2x + z
Sz (x,y,z) = 2x + y
dS = (2y + 2z) dx + (2x + z) dy + (2x + y) dz
dS (6,3,4) = (2 (3) + 2 (4) ) dx + (2 6) + 4) dy + (2 (6) + 3) dz
dS (6,3,4) = 14 dx + 16 dy + 15 dz
dS (6,3,4) = 14 (0,05) + 16 (0,05) + 15 (0,05)
dS (6,3,4) = (0,05) [ 14 + 16 + 15 ]
dS (6,3,4) = 0,05 (45)
dS (6,3,4) = 2,25 m2
El error relativo ( dS ) de madera en la fabricación de la caja es de 2,25 m2.
Ahora S(x,y,z)=2xy+2xz+yz
S(6,3,4)=(2)(6)(3)+2(6)(4)+(3)(4)=36+48+12
S(6,3,4)=90 m2
La cantidad de madera utilizada para la fabricación de la caja es de 92,25 m2.
Realizando el ejemplo anterior con la ayuda del software se tiene:
El espesor de la caja es de 0,05 m, por lo tanto dx=dy=dz=0,05 y la diferenciación
total es ds = dx (sx + sy + sz). Calculemos las derivadas parciales a la función
S(x,y,z) =2xy + 2xz + yz
> S:=2*x*y+2*x*z+y*z;
:= S + + 2 x y 2 x z y z
> Sx:=diff(S,x);
:= Sx + 2 y 2 z
154
> Sy:=diff(S,y);
:= Sy + 2 x z
> Sz:=diff(S,z);
:= Sz + 2 x y
> dx:=0.05;
:= dx 0.05
> ds:=dx*(Sx+Sy+Sz);
:= ds + + 0.15y 0.15z 0.20x
> Ds:=subs(x=6,y=3,z=4,ds);
:= Ds 2.25
> s:=subs(x=6,y=3,z=4,S);
:= s 96
La cantidad de madera utilizada por el fabricante para la elaboración de la caja es de
98,25 metros cuadrados.
Ejemplo:
Usar la diferencial total para calcular 4 )95,80)(97,15(
Solución:
Consideremos a 4),( xyyxf = donde x = 16 e y = 81
Ahora 632)81)(16()81,16( 4 =×==f
155
Si x0 =15,97 e y0 =80,95 tenemos que
yyyyyy
xxxxxx
−=∆⇒∆+=−=∆⇒∆+=
00
00
por lo tanto 05,003,0 −=∆−=∆ yyx
Usando la diferencial total dyy
fdx
x
ff
∂∂+
∂∂=∆
De la ecuación 4),( xyyxf = se sigue que ( )4 34 xy
y
x
f =∂∂
y ( )4 34 xy
x
y
f =∂∂
Evaluando se tiene ( ) ( ) ( )
09375,032
3
81164
81
4 3381,16
===∂∂
x
f
( ) ( ) ( )
0018518,054
1
81164
16
4 3381,16
===∂∂
y
f
También se tiene que 05,003,0 −=⇒≈∆−=⇒≈∆ dydyyydxdxx
Sustituyendo los valores en dyy
fdx
x
ff
∂∂+
∂∂=∆ se tiene
996261,50033405,06)81,16(),(
0033405,0
0009259,00028125,0
)05,0(0018518,0)03,0(09375,0
=−=∆±=∆±−=∆
−−=∆−+−=∆
fffyxf
f
f
f
El resultado aproximado es 5,996261 si lo hacemos directo con una calculadora la
respuesta es 5,99625... se puede ver la exactitud.
156
EJERCICIOS PROPUESTOS.
1. Si f (x,y) = 3x2 + 2xy – y2, ∆x = 0,03 ∆y = -0,02. Encontrar a) El incremento
de f en (1,4) b) La diferencial Total en (1,4).
Respuesta
a) 0,5411 b) 0,54
2. Si f (x,y,z) = xy + ln (yz) , ∆x = 0,02 , ∆y = 0,04 , ∆z = -0,03. Encontrar
a) El incremento de f en (4,1,5) y b) La diferencial Total de f en (4,1,5)
Respuesta
a) 0,2108 b) 0,214
3. Dado (0,0))( si 0
(0,0))( si 3
),( 44
22
=
≠+=
x,y
x,yyx
yxyxf
Demostrar que D1 f y D2 f existen pero que f no es diferenciable en (0,0).
4. Encontrar aproximadamente usando la diferencial Total, el máximo error al
calcular la longitud de la hipotenusa del triangulo rectángulo a partir de la
longitud delos catetos que son 6 cm y 8 cm respectivamente y con un posible
error de 0,1 cm para cada medición. También encontrar el error porcentual.
Respuesta
Error relativo = 0,014 cm. Error porcentual = 1,4 %
157
5. Una compañía va a fabricar 100.000 cajas de madera cerrada con dimensiones
3 m , 4 m y 5 m . El costo de la madera que va ha ser usada es de 5 bolívares por
metro cuadrado. Si las máquinas que se usan para cortar las piezas de madera
tienen un posible error de 0,05 m en cada dimensión. Encontrar
aproximadamente, usando la diferencial Total, el máximo error posible en la
estimación del costo de la madera.
Respuesta: 1.200.000 Bs.
6. Usar diferencial Total para calcular
3 )93,63)(97,26)(98,7(
7. Usar diferencial Total para calcular
[ ])02,10)(96,3(ln
8. La inductancia L (en micro henrios ) de un alambre recto no magnético, en el
espacio libre, viene dada por:
−= 75,02
ln00021,0r
hL donde h es la longitud
del alambre en milímetros y r es el radio de sección circular. Use diferencial
Total para aproximar L si r = 2 ± 16
1 milímetros y h = 100 ±
100
1
milímetros.
Respuesta: L = 8,096 x 10-4 ± 6,6 x 10-6 micro henrios
158
9. Se construye un cono circular recto de altura h = 6 y de radio r = 3, y en el
proceso se producen errores de ∆r y ∆h en el radio y la altura respectivamente.
Complete la tabla para mostrar la relación entre ∆v y dv para los errores dados
∆r ∆h dv ∆v ∆v - dv
0,1 0,1
0,1 -0,1
0,001 0,002
-0,0001 0,0002
10. La potencia eléctrica P viene dada por REP
2= siendo E voltaje y R la
resistencia. Aproxime el error porcentual máximo al calcular la potencia si aplica
200 voltios a una resistencia de 4000 ohmios y los posibles errores porcentuales
en la d media de E y R son 2 por 100 y 3 por 100 respectivamente.
Respuesta: 7 %
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