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Captulo 11 CINEMTICA DE LAS PARTCULAS
x
PO
x
El movimiento de una partcula a lolargo de una recta se denomina mo-
vimientorectilneo. Para definir la
posicinPde la partcula sobre esa
recta, se elije un origen fijo Oy unadireccin positiva. La distanciaxdesde OhastaP, con el signo
apropiado, define por completo la posicin de la partcula
sobre la recta y se llama coordenada deposicin de esa
partcula.
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x
PO
x
La velocidad vde la partcula es igual a la derivada respecto altiempo de la coordenada de posicinx,
v =dx
dty la aceleracinase obtiene al derivar vcon respecto at,
a =dv
dt
o bien a =d 2x
dt 2
tambin se puede expresar acomo
a= vdv
dx
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x
PO
x
v =dx
dta =
dv
dt
o a = d2
xdt 2
a= v dvdx
o
La velocidad vy la aceleracin ase representan por nmeros
algebraicos !ue pueden ser positivos o negativos. "n valor po#
sitivo para vindica !ue la partcula se mueve en la direccinpositiva, y un valor negativo !ue se mueve en la direccin ne#
gativa. $in embargo, un valor positivo para apuede significar
!ue la partcula en verdad se acelera %es decir, se mueve m&s
r&pido' en la direccin positiva, o bien, !ue se desacelera %esdecir, se mueve m&s lentamente' en la direccin negativa. "n
valor negativo para ase sujeta a una interpretacin semejante.
+-
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(os tipos de movimiento se encuentran con frecuencia)
movimientorectilneouniforme, en el cual la velocidad v de la
partcula es constante y
x=xo+ vt
y movimientorectilneouniformemente acelerado, en el cual la
aceleracin ade la partcula es constante y
v= vo+ at
x=xo+ vot + at
21
2
v2= vo+ 2a(x-xo)2
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x
O
xA
xB
xB/A
A B
*uando las partculasAyBse mueven a lo largo de la misma
recta, se puede considerar el movimiento relativo deBcon
respecto aA. (enotando porxB/Ala coordenada relativa de
posicin deBcon respecto aA, se tiene
xB=xA+xB/A
(erivando dos veces con respecto a t, se obtiene
vB= vA+ vB/A aB= aA+ aB/A
en donde vB/Ay aB/Arepresentan, respectivamente, la velocidad
relativa y la aceleracinrelativa deBcon respecto aA.
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A
B
C
xA
xB
xC
*uando se conectanvarios blo!uespor medio de cuerdas
inextensibles, es posible escribir una relacinlineal entre sus
coordenadas de posicin. Entonces se pueden escribir
relaciones semejantes entre sus velocidades y sus
aceleraciones y se pueden usar para anali+ar su movimiento.
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veces es conveniente usar una solucingrfica para los
problemas !ue comprenden el movimiento rectilneo de una
partcula. La solucin gr&fica de manera m&s comn comprende
las curvasx # t, v- ty a # t.
a
tv
tx
t
t1 t2
v1
v2
t1 t2
v2- v1= a dtt1
t2
x1
x2
t1 t2
x2-x1= v dtt1
t2
En cual!uier tiempo dado t,
v pendiente de la curvax# t
a pendiente de la curva v# t
en tanto !ue, sobre cual!uier in#
tervalo dado de tiempo, t1a t2,
v/# v0 &rea debajo de la curva a# t
x/#x0 &rea debajo de la curva v# t
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x
y
r
P
Po
O
v
s
El movimientocurvilneo de una part-
cula comprende el movimiento de s#
ta a lo largo de una trayectoria curva.
La posicinPde la partcula en un mo#mento dado se define por el vector de
posicin r !ue une el origen Odel sis#
tema de coordenadas con el puntoP.
La velocidad vde la partcula se define por la relacin
v=dr
dtEl vectorvelocidad es tangente a la trayectoria de la partculay
tiene una magnitud vigual a la derivada con respecto al tiempode la longitudsdel arco descrito por la propia partcula)
v =ds
dt
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x
y
r
P
Po
O
v
s
v=dr
dt
En general, la aceleracin ade la partcula noes tangen-
te a la trayectoria de la mis-
ma. $e define por la relacin
v =ds
dt
a=dv
dtx
y
rP
Po
O
a
s
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x
y
zi
j
k
vx
vy
vz
xiyj
zk
P
x
y
z
i
j
k
r
ax
ay
az
P
(enotando porx,yyzlas coordenadas
rectangulares de una partculaP, las
componentes rectangulares de la veloci#
dad y de la aceleracin dePson iguales,respectivamente, a la primera y segunda
derivadas con respecto at de las
coordenadas correspondientes )
vx=x vy=y vz=z. . .
ax=x ay=y az=z.. .. ..
r
El uso de las componentes
rectangulares es efica+ en particular en
el estudio del movimiento de
proyectiles.
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x
y
z
x1
y1
z1
A
B
rA
rB rB/A
Para dos partculasA yB!ue se mue#
ven en el espacio, se considera el mo#
vimiento relativo deBcon respecto a
A, o de modo m&s preciso, con res#
pecto a un marco de referencia en mo#
vimiento sujeto aAy en translacin
con ste. (enotando por rB/A el vector
de posicinrelativo deBcon respecto aA,
se tiene
rB= rA+ rB/A
(enotando por vB/Ay aB/A, respectivamente, la velocidadrelativa y
la aceleracin relativadeBcon respecto aA, tambin se tiene
vB= vA+ vB/A
aB
= aA
+ aB/A
y
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x
y
C
P
an= en
O
v 2
at= etdv
dt
veces es conveniente resolver la ve#
locidad y la aceleracin de una partcu#
laPen componentes diferentes a las
rectangularesx,yyz. Para una partcu#laP!ue se mueve a lo largo de una
trayectoria confinada a un plano, se
anexan aP los vectores unitarios et,tangente a la trayectoria, y en, normal asta, y dirigidos hacia el centro de cur#
vatura de la misma.La velocidad y la aceleracin se expresan en trminos de las com#
ponentes tangencial y normal. La velocidad de la partcula es
v= vet
La aceleracin es
a= et + env2
dv
dt
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v= vet
En estas ecuaciones, ves la rapide+ de la partcula y es elradio de curvatura de su trayectoria. El vector velocidad vest&
dirigido a lo largo de la tangente a esa trayectoria. El vector
aceleracin a consta de una componente atdirigido a lo largo dela tangente a la trayectoria y una componente andirigido hacia el
centro de curvatura de sta.
a= et + env2
dvdt
x
y
C
P
an= en
O
v 2
at= etdv
dt
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14/15
x
P
O
e
r= rer
er*uando la posicin de una partcula en
movimiento en un plano se define por sus
coordenadas polares r y , es convenien#
te usar las componentes radial y transver#sal dirigidas, respectivamente, a lo largo
del vector de posicin r de la partcula y
en la direccin obtenida al hacer girarr
23o
en sentido contrario a las maneci#llas del reloj. Los vectores unitarios ery ese anexan aPy est&n
dirigidos en las direcciones radial y transversal. La velocidad y la
aceleracin de la partcula en trminos de las componentes radial
y transversal es
v= rer+ re. .
a= (r- r2)er + (r+ 2r)e... .. . .
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15/15
x
P
O
e
r= rer
erv= rer+ re
. .
a= (r- r2)er + (r+ 2r)e... .. ..
En estas ecuaciones los puntos representan derivacin conrespecto al tiempo. 4Por lo tanto, las componentes escalares de la
velocidad y de la aceleracin en las direcciones radial y
transversal son
vr = r v= r
. .
.ar= r- r2 a= r+ 2r... .. .
Es importante notar !ue arnoes igual a la derivada con respecto
al tiempo de vr, y !ue anoes igual a la derivada con respecto al
tiempo de v.