Desigualdades e Inecuaciones Prof. Isaas Correa M.
Diapositiva 2
Desigualdades Los enunciados a > b y a b o a = b) se conocen
como desigualdades. Las primeras se llaman desigualdades estrictas
y las segundas, desigualdades no estrictas o amplias.
Diapositiva 3
Las desigualdades se comportan muy bien con respecto a la suma
pero se debe tener cuidado en el caso de la divisin y la
multiplicacin. Ejemplos. Como 2 < 5 entonces 2 + 4 < 5 + 4,
es decir, 6 < 9. Como 8 > 3 entonces 8 - 4 > 3 - 4, esto
es, 4 > - 1 Como 7 < 10 entonces 7.3 < 10.3, es decir, 21
< 30 Como 7 10. (- 3), esto es - 21 > - 30
Diapositiva 4
En los diferentes ejemplos se observa que: Al sumar un mismo
nmero a ambos miembros de una desigualdad, el sentido de la misma
se mantiene Al restar un mismo nmero a ambos miembros de una
desigualdad, el sentido de la misma se mantiene La multiplicacin
por un nmero positivo mantiene el sentido de la desigualdad. La
multiplicacin por un nmero negativo invierte el sentido de la
desigualdad.
Diapositiva 5
Inecuaciones Una inecuacin es una desigualdad en la que
aparecen uno o ms valores desconocidos. Resolverla es encontrar el
conjunto de todos los nmeros reales para los cuales es
verdadera.
Diapositiva 6
Una inecuacin es una desigualdad en la que hay uno o ms
cantidades desconocidas (incgnitas) y que solo se verifica (o
demuestra) para determinados valores de las incgnitas.
Diapositiva 7
Pero esta desigualdad o inecuacin puede tener variables o
incgnitas como las ecuaciones. Por ejemplo:
Diapositiva 8
Los signos > o < determinan dos sentidos opuestos o
contrarios en las desigualdades, segn que el primer miembro sea
mayor o menor que el segundo. Una desigualdad cambia de sentido,
cuando el miembro mayor se convierte en menor o viceversa.
Diapositiva 9
1.Una desigualdad no cambia de sentido cuando se aade o se
resta un mismo nmero a cada miembro. -2 > -6 -2 -3 > -6 -3 -5
> -9 9 > 5 9 + 2 > 5 + 2 11 > 7 Ejemplo:
Diapositiva 10
2.Una desigualdad no cambia de sentido cuando se multiplican
sus dos miembros por un mismo factor positivo, o se dividen entre
un mismo divisor, tambin positivo. Ejemplo: 12 > 7 12 X 3 > 7
X 3 36 > 21 15 > -25 15 5 >(-25) 5 3 > -5
Diapositiva 11
3.Una desigualdad cambia de sentido cuando se multiplican sus
dos miembros por un mismo factor negativo, o se dividen entre un
mismo divisor, tambin negativo. Ejemplo : 3 > -15 3(-4) <
(-15)(-4) -12 < 60 64 80 (-4) -16 > -20
Diapositiva 12
4.Si los dos miembros de una desigualdad son positivos y se
elevan a la misma potencia, la desigualdad no cambia de sentido.
Ejemplo :
Diapositiva 13
5.Si los dos miembros de una desigualdad son negativos y se
elevan a una potencia de grado impar, no cambia el sentido d la
desigualdad; pero hay cambio de sentido si el grado de potencia es
par. Ejemplo :
Diapositiva 14
6.Si se suman miembro a miembro varias desigualdades de mismo
sentido, resulta una desigualdad de mismo sentido que aquellas.
Ejemplo : Dado: 2x > 10 y 7x > 26 se obtiene: 9x > 36
Diapositiva 15
7.Si se restan miembro a miembro dos desigualdades de signo
contrario, resulta una desigualdad de igual sentido que el minuendo
Ejemplo : Dado: 7x 16, se obtiene: 2x < -4
Diapositiva 16
Para resolver una inecuacin deben encontrarse los valores de
las incgnitas que satisfagan la inecuacin. Y para esto se tiene que
tener en cuenta las propiedades de las desigualdades.
Diapositiva 17
Para resolver una inecuacin se utilizan las propiedades de las
desigualdades y de los nmeros reales que conducen a una desigualdad
equivalente. Todos los nmeros que satisfacen la desigualdad
constituyen el conjunto solucin y se denota con S
Diapositiva 18
Ejemplo : Resolver la inecuacin 4x + 6 > 2x -7 Se resta 2x
de cada miembro: Se resta 6 de cada miembro: Finalmente: 4x -2x + 6
> 2x -2x -7 2x +6 -6 > -7 -6 x > (-13 2) x >-7.5
Diapositiva 19
Inecuacin lineal Son aquellas en las cuales la variable tiene
grado uno. Corresponde a una desigualdad condicionada, es decir, se
busca el conjunto de valores que al reemplazarlos en la variable,
cumpla con la desigualdad. Ejemplos: a) 7 5-x La expresin
representa un nmero real si: 5 - x > 0 5 > x x es un nmero
real menor que 5, 5 -+ o bien, x ] -, 5 [ Grficamente:
Diapositiva 20
x 2 6x -2 5 1 - (Multiplicando por 10) b) 6x -2 5 x 2 - 10 1
2(6x 2) 5x - 10 12x 4 5x - 10 (Simplificando) (Desarrollando) 12x
5x 4 - 10 7 x -6 7x -6
Diapositiva 21
,+ o bien, x 7 -6 -+ 7 Grficamente: Se cumple para todo x mayor
o igual que 7 -6,
Diapositiva 22
c)7x 8 4x 16 + 3x + 4 7x 8 7x - 12 8 - 12 En este caso, la
incgnita se ha eliminado. Sin embargo, la desigualdad resultante es
verdadera. Esto significa que la inecuacin se cumple para cualquier
x en los reales. + - IR Grficamente:
3x+2 > 2x + 1 3x 2x > 1 2 x > 1 -7 -1 Representacin
grfica de la solucin Intervalo de la solucin
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Sistemas de Inecuaciones Cada inecuacin del sistema se resuelve
por separado, obtenindose como solucin un subconjunto de la recta
real. La solucin del sistema es la interseccin de estos
subconjuntos. Ejemplo: a) 2x + 3 5 -x - 2 -4 Resolviendo cada
inecuacin en forma independiente: 2x + 3 5 2x 5 - 3 x 1 -x - 2 -4 x
+ 2 4 x 2 o bien, x ] -, 1 ]o bien, x ] -, 2] / (-1 )
Diapositiva 29
La solucin del sistema ser la interseccin de los subconjuntos:
S 1 = ] -, 1 ] yS 2 = ] -, 2] - 2 + 1 S = S 1S 2 S = ] -, 1 ] o
bien, x 1