Desarrollo de la prctica calificada de anlisis estructural I
a)
Desarrollo:
02) Calcular aplicando el teorema de Castigliano los esfuerzos en las barras , , de la estructura de la figura, indicando claramente si estn en traccin o compresin.
Desarrollo: Determinando el grado de Hiperestaticidad de la estructura:
{
=
= 2
Numero de Barras (Incluido Apoyos) =
=
= 1
Numero de Nudos =
Grado Hiperestaticidad = 2 = 26 2 13 = 0 Grado de Hiperestaticidad = La estructura es Isosttica, entonces para poder aplicar el Teorema de Castigliano tendremos en cuenta que:
=
=
Es decir la derivada de la energa interna de deformacin con respecto a la fuerza producida por la reaccin en el nudo 11, ser 0 pues no hay desplazamiento en ese nudo debido a la restriccin del apoyo que hay en ese nudo. Calculando las fuerzas axiales que actan en la armadura:
Analizando las fuerzas que actan en la barra 23 vemos que es una barra en la que la fuerza que actua es 0, debido a la configuracin geomtrica del nudo 13, entonces:
11
2= 0
= Entonces obtenemos: = ()
= =
= = = =
BARRA () ()
() (
()
)
1 5 EA 30 0 0
2 5 EA 30 0 0
3 5 EA 60 0 0
4 5 EA 50 0 0
5 5 EA 25 0 0
6 52 EA 302 0 0
7 5 EA 0 0 0
8 52 EA 302 0 0
9 5 EA 30 0 0
10 52 EA 22 302 22 402 6002
EA
11 5 EA 2 30 2 20 300
EA
12 52 EA 252 0 0
13 5 EA 25 0 0
14 52 EA 252 0 0
15 5 EA 60 0 0
16 5 EA 90 1 5 450
EA
17 5 EA 25 0 0
18 52 EA 2 2 102
EA
19 5 EA 1 5
EA
20 52 EA 2 2 102
EA
21 5 EA 55 1 5 275
EA
22 5 EA 1 5
EA
23 5 EA 0 0 0
(() (()
)
) =
( + ) ( + )
03) Calcular aplicando el teorema de Castigliano los esfuerzos en las barras de la estructura de la figura, indicando claramente si estn en traccin o compresin.
Desarrollo: Determinando el grado de Hiperestaticidad de la estructura:
{
=
= 2
Numero de Barras (Incluido Apoyos) =
=
= 1
Numero de Nudos =
Grado Hiperestaticidad = 2 = 12 2 6 = 0
Grado de Hiperestaticidad =
La estructura es Isosttica, entonces para poder aplicar el Teorema de Castigliano tendremos en cuenta uno de los siguientes casos:
=
= =
= =
=
Es decir la derivada de la energa interna de deformacin con respecto a la fuerza producida por la reaccin en los nudos 5 o 6, ser 0 pues no hay desplazamiento en esos nudos debido a la restriccin de los apoyos que hay en esos nudos. Calculando las fuerzas axiales que actan en la armadura:
Cabe sealar que la armadura es del tipo complejo e isosttico, por lo que el clculo de las fuerzas axiales se opt por el mtodo de los nudos comenzando en el nudo 3 y asumiendo que el valor de la fuerza en la barra 2 es 2 = ; al hacer esto vemos que las fuerzas axiales de las barras estn en funcin de , pero para poder aplicar el teorema de Castigliano las barras deben estar en funcin de una de las reacciones de los apoyos de la estructura por lo que ser necesario realizar la compatibilizacin:
COMPATIBILIZANDO
Compatibilizando en el eje Compatibilizando en el eje
No es posible compatibilizar:
=35
8
Si: = 5 =
=4
6+8 + 40
16
=6 15
7
Entonces para aplicar el teorema de Castigliano debemos reemplazar las por su equivalente en funcin de :
BARRA () ()
() (
()
)
1 42 EA 32
7 +
252
7
32
7
722
49
6002
49
2 4 EA 6
7
15
7
6
7
144
49
360
49
3 42 EA 32
7
102
7
32
7
722
49 +
2402
49
4 3 EA 33
56 +
275
56
33
56
3267
3136
27225
3136
5 5 EA 10
14
25
14
10
14
250
98
625
98
6 73 EA 373
56
2573
56
373
56
65773
3136
547573
3136
7 73 EA 373
56 +
1073
56
373
56
65773
3136 +
219073
3136
8 5 EA 10
14
25
14
10
14
250
98
625
98
9 3 EA 33
56
110
56
33
56
3267
3136 +
10890
3136
(()(()
)
) =
( + + ) ( + + )
(31750 + 92162 + 131473) (79375 + 230402 + 328573)
3136EA= 0
=
Del desarrollo obtenemos los siguientes resultados:
BARRA FUERZA (ESTATICA)
FUERZA (CASTIGLIANO)
1 32
75 +
252
7= 2.0203 Tn (T)
32
75
2+252
7= 3.5355 Tn (T)
2 6
75
15
7= 2.1429 Tn (T)
6
75
215
7= 0 Tn
3 32
75
102
7= 5.0508 Tn (C)
32
75
2102
7= 3.5355 Tn (C)
4 33
565 +
275
56= 1.9643 Tn (T)
33
565
2+275
56= 3.4375 Tn (T)
5 10
145
25
14= 1.7857 Tn (T)
10
145
225
14= 0 Tn
6 373
565
2573
56= 1.5257 Tn (C)
373
565
22573
56= 2.6700 Tn (C)
7 373
565 +
1073
56= 3.8143 Tn (T)
373
565
2+1073
56= 2.6700 Tn (T)
8 10
145
25
14= 1.7857 Tn (T)
10
145
225
14= 0 Tn
9 33
565
110
56= 4.9107 Tn (C)
33
565
2110
56= 3.4375 Tn (C)
04) Enumere las barras y aplicando el teorema de Castigliano determine los esfuerzos en las barras de la estructura de la figura, indicando claramente si estn en traccin o compresin.
Desarrollo: Determinando el grado de Hiperestaticidad de la estructura:
{
=
= 2
Numero de Barras (Incluido Apoyos) =
=
= 1
Numero de Nudos =
Grado Hiperestaticidad = 2 = 25 2 12 = 1
Grado de Hiperestaticidad = ()
La estructura es Hiperesttica de 1er grado interno, entonces para poder aplicar el Teorema de Castigliano tendremos que escoger una redundante interna, en este caso ser la fuerza en la barra 1, entonces se debe cumplir que:
=
Calculando las fuerzas axiales que actan en la armadura:
BARRA () ()
() (
()
)
1 6 EA 1 16
2 10 EA 5
4
5
4
125
8
3 6 EA 3
4
3
4
27
8
4 6 EA 15
23
4
3
4
27
8
270
8
5 10 EA 5
4
25
2
5
4
125
8
1250
8
6 8 EA 5 2 2 32 80
7 8 EA 5 2 2 32 80
8 8 EA 15 2 2 32 240
9 8 EA 15 2 2 32 240
10 6 EA 30
8 0 0
11 10 EA 5
4
25
4
5
4
125
8
625
8
12 6 EA 3
4
3
4
27
8
13 10 EA 25
4 0 0
14 6 EA 0 0 0
15 10 EA 25
4 0 0
16 6 EA 15
23
4
3
4
27
8
270
8
17 10 EA 5
4
25
4
5
4
125
8
625
8
18 6 EA 30
8 0 0
19 8 EA 10 0 0
20 8 EA 1 8
21 8 EA 1 8
22 8 EA 0 0 0
(()(()
)
) =
236 1020 = 0
=
Del desarrollo obtenemos los siguientes resultados:
BARRA FUERZA
(CASTIGLIANO)
1 255
59= 4.3220 Tn (T)
2 1275
236= 5.4025 Tn (T)
3 765
236= 3.2415 Tn (C)
4 1005
236= 4.2585 Tn (T)
5 1675
236= 7.0975 Tn (C)
6 215
59= 3.6441 Tn (C)
7 215
59= 3.6441 Tn (C)
8 375
59= 6.3559 Tn (T)
9 375
59= 6.3559 Tn (T)
10 30
8= 3.7500 Tn (T)
11 50
59= 0.8475 Tn (C)
12 765
236= 3.2415 Tn (C)
13 25
4= 6.2500 Tn (T)
14 0 0 Tn
15 25
4= 6.2500 Tn (C)
16 1005
236= 4.2585 Tn (T)
17 50
59= 0.8475 Tn (C)
18 30
8= 3.7500 Tn (C)
19 10 10 Tn (T)
20 255
59= 4.3220 Tn (T)
21 255
59= 4.3220 Tn (T)
22 0 0 Tn
05) Calcular aplicando el teorema de Castigliano los esfuerzos axiales en las barras , , en la figura
mostrada, las barras , , se cruzan con las barras , , de la estructura de la figura, indicando claramente si estn en traccin y compresin.
Desarrollo: Determinando el grado de Hiperestaticidad de la estructura:
{
=
= 2
Numero de Barras (Incluido Apoyos) =
=
= 1
Numero de Nudos =
Grado Hiperestaticidad = 2 = 16 2 8 = 0
Grado de Hiperestaticidad =
La estructura es Isosttica, entonces para poder aplicar el Teorema de Castigliano tendremos en cuenta uno de los siguientes casos:
=
= =
= =
=
Es decir la derivada de la energa interna de deformacin con respecto a la fuerza producida por la reaccin en los nudos 3 o 8, ser 0 pues no hay desplazamiento en esos nudos debido a la restriccin de los apoyos que hay en esos nudos. Calculando las fuerzas axiales que actan en la armadura:
Cabe sealar que la armadura es del tipo complejo e isosttico, por lo que el clculo de las fuerzas axiales se opt por el mtodo de los nudos dando solucin directa para el clculo de las fuerzas solicitadas, es decir no es necesario aplicar el teorema de Castigliano para dar solucin a la estructura.
BARRA FUERZA (CASTIGLIANO)
1 = 203
33 = 1.0497 (C)
8 = 23
3 = 1.1547 (C)
11 = 213
33 = 1.1022 (T)
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