DERIVADAS
RECTAS TANGENTES A UNA CURVA f(x)
LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
CONCEPTOS
¿Cómo se halla la tangente a una curva?
RECTAS TANGENTES/ DERIVADAS
Descartes (Siglo XVII)
“El problema de hallar la tangente
a una curva es no sólo el problema
más útil y más general que conozco,
sino que pudiera desear conocer....”
ISAAC NEWTON, 1642-1727
Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716
Newton no había publicado sus hallazgos en el cálculo diferencial e integral, obtenidos
alrededor de los años 1665 y 1666, sí había presentado algunos de sus manuscritos a
sus amigos. De Analysi, por ejemplo, se lo había dado a Barrow en 1669, quien se lo
había enviado a John Collins.
Leibniz estuvo París en 1672 y en Londres en 1673 y estuvo en contacto con gente
que conocía la obra de Newton. Publicó su obra matemática en 1684.
RECTA SECANTE A UNA CURVA
m = f(b)-f(a)
b-a
x
yf(x)
ba
f(b)
f(a)
RECTA TANGENTE A UNA CURVA
x
y f(x)
a
f(a)
Recta tangente a la curva f(x) en el
punto x=a
m =???????
RECTA TANGENTE A UNA CURVA
RECTA TANGENTE A UNA CURVA
Donde h tiende a cero...
x
y f(x)
a
f(a)
f(a+h)
a+h
h
f(a)h)f(amtang
h
f(a)h)f(alimm
0htang
Este límite representa el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva f(x)
en el punto x=a
PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE
A UNA CURVA EN UN PUNTO x=a
h
f(x)h)f(xlimm
0htang
Este límite representa el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva f(x)
en un punto x cualquiera perteneciente al dominio de f(x)
PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE
A UNA CURVA EN UN PUNTO X CUALQUIERA
PROBLEMA
1
1xf(x)
A) Encuentre la pendiente de la recta tangente a la curva f(x) dada en el punto x=8, y determina la ecuación de esta tangente
PROBLEMA
1
PROBLEMA
2
x
1xf(x)
Halle la ecuación de la recta tangente a la curva dada en el punto x
= -3
DEFINICIÓN DE DERIVADA
h
f(5)h)f(5limm
0htang
f ’(5)=
h
f(x)h)f(xlimm
0htang
f ’(x)=
PUNTO
CONCRETO
Ej: 5
PUNTO
CUALQUIERA
)f(x)(dx
df(x)' f NOTACIÓN. D
2xf(x)
Halla la derivada en cualquier punto de la función dada por:
x2(x)' fxf(x) 2
NOTA
Si f´(c) = 0, f(x) tendrá una tangente horizontal en x=c
3 21-xf(x)
NO EXISTE DERIVADA (TANGENTE)
EN EL PUNTO X=0
PROPOSICIÓN
Ninguna función es derivable en los puntos “picudos”
Puede tener dos tangentes (derivadas)
+ tangente a la derecha
+ tangente a la izquierda
c
y=|x-c|+a
x
x
x
e
e1
1
1
1f(x)
NO EXISTE DERIVADA (TANGENTE)
EN UN PUNTO DE DISCONTINUIDAD
PROPOSICIÓN
Si f(x) es derivable en un punto x=a, entonces es continua en
ese punto
NOTA: el recíproco NO es cierto!
PROBLEMA
¿En qué puntos del dominio la función representada puede ser?:
• a. ¿Derivable?
• b. ¿Continua pero no
derivable?
• c. ¿Ni continua ni
derivable?
-- 33
F(x)F(x)
3311
xx
-- 33
F(x)F(x)
3311
xx
SE UTILIZAN PARA HALLAR LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN SIN
NECESIDAD DE HALLAR EL LÍMITE CUANDO h TIENDE A 0….
Permiten encontrar f ’(x) de forma rápida.
REGLAS DE DERIVACIÓN
REGLAS DE DERIVACIÓN
1'
0'4
1(x)'f :entoncesx,f(x)Si
0(x)'f :entoncesk,f(x)Si
x
REGLAS DE DERIVACIÓN
21
21
43
45
1nn
2
1'
3'
5'
nx(x)'f :entonces,xf(x)Si
xx
xx
xx
REGLAS DE DERIVACIÓN
Si f(x) = ex, entonces f ´ (x) = ex
Si f(x) = Lx, entonces f ´ (x) = 1/x
(4x)’ = 4x L4
(log6
x)’ = (1/x)/L6
REGLAS DE DERIVACIÓN
x2cos
1' xtg
xcos(x)'gsenxg(x)
senx(x)'fcosxf(x)
Regla del múltiplo constante K ,de la forma: g(x) = K . f(x)
xLx
xx
1')(
123·4'4x
Kf´(x)(x)g'
Kf(x)g(x)
223
Regla de la suma algebraica de funciones:
x
x1
cos'Lxsen(x)
(x)g'(x)' fg(x))'(f(x)
:g(x)yf(x)Sean
Regla del producto de funciones:
xxx exxee 22 2'x
(x)g'f(x)g(x)(x)f'g(x))'(f(x)
:g(x)yf(x)Sean
Regla del cociente de funciones:
22
2
'
1
11
1
11
'1
g(x)
(x)g'f(x)g(x)(x)f'
g(x)
f(x)
:g(x)yf(x)Sean
x
Lxx
x
Lxxx
x
Lx
Regla de la composición (Regla de la Cadena):
)22·()2(x2')2(x)2(x2
'3'')2(x
222
1'·
1')L(u')L(x
(x)'u · (u)'f(f(u(x))'
:u(x)yf(x)Sean
22222
2332
222
xxxx
uuux
xx
xx
xu
u
Ejemplos
675)( 2 xxxf
Sean las funciones:
710' xfdx
df
1651034)( 256 xxxxxf
5201524' 45 xxxf
Ejemplo
)413)(58()( 22 xxxxf
)26)(58()413)(516(' 22 xxxxxf 2323 130208206564208 xxxxx
2064195416 23 xxx
Ejercicios propuestos
)3)(4()( 2xxxf
)2)(4()3)(1(' 2 xxxf
22 283 xxx
383 2 xx
Derivada de un producto de varios factores
)()()()( xhxgxkxf
dx
dhxgxkxh
dx
dgxkxhxg
dx
dk
dx
df)()()()()()(
Ejemplo
)5)(2)(3()( xxxxf
)1)(2)(3()5)(1)(3()5)(2)(1(' xxxxxxfdx
df
)2)(3()5)(3()5)(2( xxxxxx
)236()32)(5( 2xxxxxx
)56()25)(5( 2xxxx 22 56251025 xxxxx
31203 2 xx
Ejemplo
2354
)(xx
xf
223
)3)(54()23)(4('
x
xxf
223
)1512(812'
x
xxf
223
7
x
Ejercicio propuesto
11168
)(2
xxx
xf
2
2
)1(
)1)(1168()1)(616('
x
xxxxf
2
22
)1(1168161616
xxxxxx
2
2
)1(10168
xxx
Ejercicio propuesto
11
)( 3
3
xx
xf
23
2332
)1(
)3)(1()1(3'
x
xxxxf
23
2525
)1(3333
xxxxx
23
2
)1(6
xx
Ejemplo
2)45()( xxf
)5)(45(2' xf
)45(10 x
4050 x
Ejemplo
367)( 2 xxxf
6143672
1' 2
12
xxxf
2
12 367
37
xx
x
367
372
xx
x
2
12 367)( xxxf
367)( 2 xxxf
2
12 367)( xxxf
Ejemplo
)3()( 2 xxsenxf
12)3cos(' 2 xxxf
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