O
�
�
�
Cy
Cx
Tx
Ty
��, ��•
� ��, �, � �, � �•
Para isso, vamos observar seu comportamento
nas direções � e � isoladamente.
Tomemos um ponto qualquer ��, �� do domínio
de uma função ���, �� , como na figura ao lado,
e vamos estudar o comportamento da � na
vizinhança desse ponto.
Primeiramente vamos fixar o valor de � e permitir que
apenas � varie. Isso equivale a estudar o
comportamento da função ao longo da curva Cx ,
interseção do gráfico da�com o plano � � �.
Mas ao fixarmos o � estamos, na verdade, definindo uma função de uma só variável
� � � � �, � . Se � é derivável em �, vamos denominar esta derivada como a Derivada
Parcial da f com relação a �, no ponto ��, ��, e denotaremos ����, ��. Assim
�� �, � � �´ �
Ou, na notação de Leibniz :
�
��� �, � � �� �, � � �´���
Equivalentemente, se fixarmos o valor de � e permitirmos que apenas � varie, isso
equivale a estudar o comportamento da função ao longo da curva Cy , interseção do
gráfico da�com o plano � � �.
Pela definição de derivada podemos escrever:
�´ � � lim�→�
� � � � ����
�
O que nos fornece a expressão da derivada parcial da � , em termos de limite
�� �, � � lim�→�
� � � �, � ���, ��
�
Neste caso vamos definir a Derivada Parcial da f com relação a !, no ponto ��, �� por:
"
"�� �, � � �� �, � � lim
�→�
� �, � � � ���, ��
�
Se tomarmos todos os pontos do domínio da � onde existem as derivadas parciais,
então podemos definir as Funções Derivadas Parciais da função f, as quais
denotaremos �� e �! , e serão dadas pelas expressões :
"�
"�� �� �, � � lim
�→�
� � � �, � ���, ��
�
"�
"�� �� �, � � lim
�→�
� �, � � � ���, ��
�
Na prática, para calcular a derivada parcial �� �, � de uma função �, basta tratar a
variável � como constante e derivar a função normalmente com relação a �, usando
as regras usuais de derivação.
Exemplos :
1. � �, � � �$� � 3��& ⇒ �� �, � � 2�� � 3�3 e �� �, � � �2 � 9��2
2. � �, � � �*+ � ,-��& ⇒ �� �, � � *+ �+.
/e �� �, � � �*+ � 3,-��2
Sendo ���, ��uma função de duas variáveis, suas derivadas parciais também o são.Logo, faz sentido falar nas derivadas parciais das funções derivadas parciais, ����� ,����� , ����� , ����� , as quais denominam-se Derivadas Parciais de Segunda Ordem.
Costuma-se usar as seguintes notações para as Derivadas Parciais de Segunda Ordem:
�� � � �// �"
"�
"�
"��"$
"�$�
�� � � �/+ �"
"�
"�
"��
"$
"�"��
�� � � �+/ �"
"�
"�
"��
"$
"�"��
�� � � �++ �"
"�
"�
"��"$
"�$�
Exemplo: Para ���, �� � �3 � �2�3 2�2 vamos determinar ��, ��, ���, ���, ���*���
Teorema de Schwartz (Inversão da ordem das derivadas parciais) : Seja ��0, �0� umponto do dmínio da�. Se ��� e ��� forem ambas contínuas em ��0, �0�, então :
��� ��, �� � ��� ��, �� 12345
3/3+�
345
3+3/
����, �� � 3�2� 2��3 �� �, � � 3�2�2 4�
��� �, � �3
3+3�2 � 2��3 = 6��$��� �, � �
3
3/3�2� 2��3 = 6� �2�&
��� �, � �3
3/3�2�$ 4� = 6��$ ��� �, � �
3
3+3�2�$ 4� = 6�$� 4
Podemos também definir as derivadas de ordem 3 ou maior, como por exemplo :
�/// �"&�
"�& , �+++�
"&�
"�& , �888�
"&�
"�&
�/++ �"&�
"�"�$ , �/+8�
"&�
"�"�"� , �+88�
"&�
"�"�$ , *9:.
Usando o Teorema de Schwartz pode-se mostrar que, assim como ocorre nas derivadasparciais de segunda ordem, podemos trocar a ordem de derivação sem alterar o
resultado. Ou seja :
���� � ���� � ����12���� � ���� � ����…
Exemplo: Para ���, �, �� � <*-�3� � ��� calcule ����, ����, �����
�� � 3 cos 3� � �� , �//� 9<*- 3� � �� , �/+� 3�<*-�3� � ���
�//+ � 9�:1< 3� � �� , �/+8� 3�<*- 3� � �� � ��:1<�3� � ���
O
�
�
�
Cy
Cx
Tx
Ty
��, ��•
� ��, �, � �, � �•
Voltando a nossa figura, podemos ver que acurva Cx é, na verdade, o gráfico da função����, definida anteriormente, cuja derivadaé a própria derivada parcial �� .
Desta forma, podemos afirmar que:
� A derivada parcial �� mede a taxa devariação da função ���, �� quando nosdeslocamos na direção � , do mesmomodo que �� mede a taxa de variação da �
quando nos deslocamos na direção � ;
� O valor de �� fornece também a inclinaçãoda reta tangente ao gráfico da � na direçãoparalela ao eixo �, do mesmo modo que ��
fornece a inclinação da reta tangente aográfico da � na direção paralela ao eixo �.
É importante notar que as retas Tx e Ty , paralelas respectivamente aos eixos � e � etangentes ao gráfico da � , definem o Plano Tangente ao gráfico da � no ponto P .
Tomemos a função ���, �� � 4 �2 2�2 . VamosDeterminar ���1,1� e ���1,1� e esboçar as retastangentes a superfície que representa o gráfico a função.
�
�
�
4
2
2(1,1)
� � 1
•
�1,1,1�•
@�
� � 4 �2 2�2
�/ �, � �"�
"�� 2� ⇒
�/ 1,1 � 2
Fazendo � � 1 na expressão da função �determinaremos @� .
� � 2 �2
Que nesse caso é uma parábola.
Determinando a derivada parcial ���1,1�
Assim, a inclinação da reta tangente noponto P (1,1,1) é -2. E a equação da reta é
� � 2� � 3
Primeiramente, notamos que ��1,1� � 1
�
�
�
4
2
2(1,1)
� � 1
�1,1,1�
@�
� � 4 �2 2�2
•
•
�+ �, � �"�
"�� 4� ⇒
�+ 1,1 � 4
Fazendo � � 1 na expressão da função �determinaremos @� .
� � 3 2�2
Que nesse caso é uma parábola.
Determinando a derivada parcial ���1,1�
Assim, a inclinação da reta tangente noponto P (1,1,1) é -4. E a equação da reta é
� � 4� � 5
O
�
�
�
Cy
Cx
Tx
Ty
��0, �0�•
��0, �0, �0�•
Tomemos um ponto ��0, �0�do domínio dafunção � �, � evamos chamar de �0 o valor dafunção neste ponto. Ou seja, �0 � � �0, �0 .
Vamos então determinar a Equação do Plano
Tangente ao gráfico da função no ponto��0, �0, �0�, em função das suas derivadasparciais neste ponto.
Tomemos inicialmente a equação geral de um planopassando pelo ponto , que pode ser escrita naforma :
� �0 � � � �0 � � � �0
Mas para que esse plano seja tangente ao gráfico da �, devemos impor a condição de quea interseção do mesmo com o plano vertical � � �0 seja a reta Tx , tangente ao gráfico da� no ponto P. Ou seja, substituindo � � �0 na equação acima, devemos ter� � �� �0, �0 , o que nos dará:
� �0 � � � �0 ⇒ � �0 � �� �0, �0 · � �0 �1�
Analogamente, devemos ter também : � �0 � �+ �0, �0 · � �0 �2�
Combinando as equações (1) e (2) , chegamos a equação do plano tangente aográfico da � no ponto ��0, �0, �0�.
Exemplo: Determine a equação do plano tangente ao gráfico da função� �, � � 4 �2 2�2, no ponto �1,1,1�.
Como já calculamos anteriormente :
�/ �, � �"�
"�� 2� ⇒ �/ 1,1 � 2 �+ �, � �
"�
"�� 4� ⇒ �+ 1,1 � 4e
Logo, usando a expressão do plano tangente, como deduzida acima, ficamos com :
� �0 � �/ �0, �0 � �0 � �+ �0, �0 � �0 ⇒
� 1 � 2�� 1� 4�� 1�
ou� � 2� 4� � 7
� �0 � �/��0, �0� � �0 � �+��0, �0� � �0
Determine a equação do plano tangente ao gráficoda função ���, �� � 2�2 � �2, no ponto �1,1,3�.
�/ �, � �"�
"�� 4� ⇒ �/ 1,1 � 4
�+ �, � �"�
"�� 2� ⇒ �+ 1,1 � 2
Assim a equação do plano tangente em �1,1,3� é :
� 3 � 4 � 1 � 2�� 1�
ou
� � 4� � 2� 3�
�
�
•�1,1,3�