Depto. Matemáticas – IES Elaios
Tema: Probabilidad
4. CÁLCULO DE PROBABILIDADES
Presentación elaborada por el profesor José Mª Sorando,ampliando y adaptando las diapositivas de la Editorial SM
Probabilidad de la unión de sucesos
E
A
BA B
A B A B
p(A) = p(A B) + p(A B)
p(B) = p(A B) + p(A B)
p (A B) = p(A) + p(B) – p (A B)
Para 3 sucesos:p (A B C) = p(A) + p(B) + p (C) – p (A B) – p (A C) – p (B C) + p (A B C)
Ejemplo
Probabilidad condicionada
E
•2 •6•4
•1
•5•3
B
Ejemplo: Se lanza un dado cúbico y sale un número par. ¿Qué probabilidad hay de que el número obtenido sea mayor que tres?
AA|B = “mayor que 3 condicionado a que salió par”
P(A B)P(A|B) = =
2
3 P(B)
B = «Obtener número par» = {2, 4, 6}
A = «Obtener número mayor que 3» = {4, 5, 6}
A veces, tener información sobre un suceso cambia su probabilidad.Es lo que llamaremos una probabilidad condicionada
Si sabemos que es número par, el espacio muestral ha cambiado; ya no es E sino B
P (A) = 3/6 P (B) = 3/6 P(A B) = 2/6
A B = {4 , 6}
Probabilidad condicionada
Sea B tal que P(B) 0. Para cualquier suceso A se define la probabilidad de A condicionada por B, como: P(A|B) = P(A B) / P(B)
apuntes – La probabilidad condicionada se puede calcular por dos caminos:
a) Considerando el nuevo espacio muestral que surge a partir de la información conocida.
b) Aplicando la fórmula anterior.
Ejemplo con tablas de contingencia (libro)
De forma análoga: P(B|A) = P(B A) / P(A)
Regla de la multiplicación
P(A B)Partiendo de P(A / B) =
P(B)se llega a P(A B) = P(B) ·P(A / B)
Esta última relación recibe el nombre de regla de la multiplicación.
Ejemplo: El 35% de las personas que viajan entre dos ciudades lo hace con cierta compañía cuyos vuelos llegan con retraso el 5% de las veces. ¿Qué probabilidad hay de que una persona elija dicha aerolínea y llegue con retraso?
Sea A = «llega con retraso»
Sea B = «viaja con esa compañía»
P(A B) = P(B) · P(A / B) = 0,35 · 0,05 = 0,0175
Como A B = { (3, 6), (4, 6), (5, 4), (5, 6), (6, 4), (6, 6)} P(A B) = 1/6
Dependencia e independencia de sucesos
• Dos sucesos son independientes si la aparición de uno de ellos no cambia la
probabilidad de que ocurra el otro.
• En términos matemáticos: A y B son independientes si P(A / B) = P(A).
• O también: A y B son independientes si P(A B) = P(A / B) . P(B) = P(A) . P(B)
• Cuando dos sucesos no son independientes se dice que son dependientes.
Ejemplo: Lanzamiento de un dado dos veces seguidas. Sucesos: A = «en el segundo lanzamiento sale par» y B = «la suma es al menos 9»
E = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6). (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
A = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 2), (3, 4), (3, 6), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (5, 2), (5, 4), (5, 6), (6, 2), (6, 4), (6, 6)}
B = {(6, 3), (5, 4), (4, 5), (3, 6), (6, 4), (5, 5), (4, 6), (6, 5), (5, 6), (6, 6)}
P(A) = 1/2 P(B) = 5/18
Los sucesos A y B son dependientes ya que P(A B) P(A) . P(B)
Experimentos compuestos
Los experimentos formados por varios experimentos simples se llaman experimentos compuestos.
Dados dos experimentos simples de espacios muestrales E y E', el espacio muestral del experimento compuesto obtenido por la realización simultánea de ambos es el producto cartesiano E x E'.
• Espacio muestral asociado al fenómeno “tirar un dado”: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}• Espacio muestral asociado al fenómeno “tirar una moneda”: E' = {C, X}• Espacio muestral asociado al fenómeno “tirar una moneda y un dado a la vez”:
E" = {(C,1), (X,1), (C,2), (X,2), (C,3), (X,3), (C,4), (X,4), (C,5), (X,5), (C,6), (X,6)}
C
X
123456123456
Podemos obtener este espacio muestral mediante un diagrama en árbol.
(C,1)(C,2)(C,3)(C,4)(C,5)(C,6)(X,1)(X,2)(X,3)(X,4)(X,5)(X,6)
Probabilidad de la intersección de sucesos independientes
• Si A y B son independientes p(AB) = p(A) . p(B).
Ejemplo:De una urna en la que hay 3 bolas blancas y 5 rojas, se extraen sucesivamente dos bolas devolviendo la primera bola extraída. Calcula la probabilidad de que la primera sea blanca y la segunda sea blanca.
1B1R
3/8 5/8
2B 2R
Urna
2B
2R
3/8 5/8 3/8 5/8
p(primera bola blanca y segunda blanca) = p(1B2B) =
= p(1B) · p(2B/1B) = p(1B) · p(2B) = 3 3 9
8 8 64
Probabilidad de la intersección de sucesos dependientes
• Si A y B son dependientes p(AB) = p(B) · p(A/B) = p (A) · p(B/A)
Ejemplo:De una urna en la que hay 3 bolas blancas y 5 rojas, se extraen sucesivamente dos bolas no devolviendo la primera bola extraída. Calcula la probabilidad de que la primera sea blanca y la segunda sea blanca.
1B1R
3/8 5/8
2B 2R
Urna
2B
2R
2/7 5/7 3/7 4/7
p(primera bola blanca y segunda blanca) = p(1B2B) =
= p(1B) · p (2B/1B) = 3 2 6
8 7 56
Probabilidad de la intersección de sucesos
•Si los experimentos simples que dan lugar al experimento compuesto son independientes se verifica
P(A1 A2 ... An ) = P(A1) · P(A2) · ... · P(An)
• Si los experimentos simples que dan lugar al experimento compuesto no son independientes se verifica:
P(A1 A2 ... An ) =P(A1) · P(A2 / A1 ) · … . P(An–1 / A1 A2 ... An–2) ·P(An / A1 A2 ... An–1)
Ejemplo: Una urna contiene cuatro bolas blancas, tres negras y cinco verdes. Se extraen sucesivamente y sin devolución tres bolas. Hallar la probabilidad de que las dos primeras sean blancas y la tercera sea negra.
Al extraer las bolas sin reemplazamiento los sucesos son dependientes.
P(B1 B2 N3 ) = P(B1) · P(B2 / B1) · P(N3 / B1 B2) = 4/12 · 3/11 · 3/10 = 3/110