8/12/2019 DBH3 8gaia
1/28
242
Leku geometrikoak.
Irudi lauak8
PARALELOGRAMOAK
ETA TRIANGELUAK
EDOZEIN
POLIGONO
ZIRKUNFERENTZIAREN
LUZERA
IRUDI ZIRKULARREN
AZALERA
POLIGONOEN
ANGELUAK
ZIRKUNFERENTZIAREN
ANGELUAK
IRUDI LAUENANGELUAK
POLIGONOEN
PERIMETROAK
ETA AZALERAK
POLIGONO
ERREGULARRAK
ARKU BATEN
LUZERA
ZIRKULUAREN
AZALERA
IRUDI ZIRKULARREN
PERIMETROAK ETA AZALERAK
8/12/2019 DBH3 8gaia
2/28
Jakintsuen aberastasuna
Hura gehiegizkoa zen: hain jakintsua izanda aberatsa ez izateak barkamenik ez zuelaleporatzen zion amak berak. Lehenago ere entzun izan zuen arren,inoiz baino min handiagoa egin zion Tales Miletokoari.Etxean sartu eta plan bat prestatzeari ekin zion.
Astroak aztertu zituen eta urtea laborantzarakooso ona izango zela aurresan zuen.Beraz, zuen diru guztia eta maileguz lortu ahalizan zuena bildu eta Miletoko nahiz albokoKios herriko olio-prentsa guztiak bereganatu zituen.
Klimari buruz aurresandakoa erabat bete zen. Auzokoakpozik zeuden oliba-uztak etekin onak emango zizkielakoan.
Baina olibak ehotzera joan zireneanirribarrea okertu zitzaien, Talesek eskatutakoaordaintzea beste irtenbiderik ez zutelako.
Mendekua burutu eta aberastu ondoren, prentsaketa lurrak saldu, eta filosofia eta matematika ikasteariekin zion. Baina aurrez hau esan zien auzokoei:Zeuek hartu kontuan gainerakoei ematen dizkiezuen aholkuak.
Talesen postulatuetako batek dioenez, zirkunferentzierdibatean inskribatutako angeluak angelu zuzenak dira beti.
Nola egingo zenuke 4 cm-ko hipotenusa duentriangelu angeluzuzena?
Konpasa erabiliz, 2 cm-ko erradioko
zirkunferentzia marraztu eta diametro bat
markatu behar da. 4 cm-ko luzera izango
du eta hipotenusa da. Gero, zirkunferentziaren
edozein puntu hartu (diametrokoa ez dena),
A, eta puntua diametroaren bi muturrekin
elkartuz, triangelu angeluzuzena
lortzen da.
A
2cm
8/12/2019 DBH3 8gaia
3/28
244
ARIKETAK
Marraztu koadernoan baldintza hauek betetzen dituzten puntuen leku
geometrikoa.
a) 6 cm-ko luzera duen zuzenki baten muturrekiko distantziakideak dira.
b) 90-ko angeluaren aldeekiko distantziakideak.
c) Ppuntutik 2 cm-ra daude.
a) Leku geometrikoa 6 cm-ko luzerako zuzenki baten erdibitzailea da.
b) Leku geometrikoa 90-ko angeluaren erdikaria da.
c) Leku geometrikoa 2 cm-ko erradioko eta P zentroko zirkunferentzia da.
Zehaztu zuzen batekiko distantziakideak diren puntuen leku geometrikoa.
Zuzen batekiko distantziakideak diren puntuak bi zuzen paralelo dira eta
jatorrizko zuzenetik distantzia berera daude.
Definitu zuzen gorriak, leku geometriko gisa.
a)
b)
a) Leku geometriko bat da, r zuzenetik distantziara
dagoena.
b) r-tik d distantziara eta P puntuarekin lerrokatuta dauden puntuek
osatutako leku geometrikoa da, harekin zuzena osatzen dutela.
Marraztu irudiko triangeluen zirkunferentzia zirkunskribatuak.
a) b)
a) b)
004
d
2
003
002
001
Leku geometrikoak. Irudi lauak
dr
r
dP
d
2
d
2
A
C
A B
C
B
A
C
B
C
B
A
8/12/2019 DBH3 8gaia
4/28
245
8
Marraztu triangelu aldeberdin bat, eta adierazi barizentroa eta zirkunzentroa. Ba al
dago ezer aipagarririk? Gauza bera gertatzen al da edozein triangelu aldeberdinetan?
Edozein triangelu aldeberdinetan, barizentroa
eta zirkunzentroa bat datoz,
erdibitzaileak eta erdibidekoak
bat datozelako.
Definitu barizentroa leku geometriko gisa.
Barizentroa aurkako aldeetarako distantzia erpinetarako distantziaren
halako bi duten puntuen leku geometrikoa da.
Marraztu triangelu hauetako bakoitzean inskribatutako zirkunferentzia.
a) b)
a) b)
Marraztu triangelu aldeberdin bat eta adierazi ortozentroa zein intzentroa. Ba al
dago ezer aipagarririk? Gauza bera gertatzen al da edozein triangelu aldeberdinetan?
Edozein triangelu aldeberdinetan,
ortozentroa eta intzentroa bat datoz,
erdikariak eta altuerak bat
datozelako.
Definitu zirkunferentzia inskribatua leku geometriko gisa.
Zirkunferentzia hau betetzen duen leku geometrikoa da: puntu guztietatik
intzentrorako distantzia eta intzentrotik triangeluaren aldeetarako distantzia
berdinak dira.
32 cm eta 24 cm-ko katetoak dituen triangelu angeluzuzenean, kalkulatu
hipotenusa.
a = + = =32 24 1 600 402 2 . cm
010
009
008
007
006
005
ERANTZUNAK
C
A B
C
A
B
8/12/2019 DBH3 8gaia
5/28
246
Aztertu ea neurri hauek triangelu angeluzuzen baten aldeen luzerak
diren.
a) 8 cm, 5 cm eta 4 cm b) 10 cm, 8 cm eta 6 cm
a) Ez da angeluzuzena, 82 52 + 42 delako.
b) Angeluzuzena da, 102 = 82 + 62 delako.
Triangelu angeluzuzen baten bi alde 28 eta 21 cm-koak dira. Zer luzera du
hirugarren aldeak?
Alde ezagunak katetoak badira:
Alde ezagunak hipotenusa eta kateto bat badira:
Azaldu zergatik ezin den izan angeluzuzena 35, 77 eta 85eko aldeak dituen
triangelua.
35 eta 77 7ren multiploak direnez, haien berbiduren batura ere
7ren multiploa da, eta 85 ez denez 7ren multiploa, haren berbidura
ere ez da izango. Beraz, Pitagorasen teorema ez da betetzen.
Kalkulatu zenbatekoa den a, triangelu aldeberdinean eta karratuan.
a) b)
a)
b)
Kalkulatu karratu baten aldearen luzera, jakinik diagonala 8 cm-koa dela.
Kalkulatu 28 cm-ko altuera duen triangelu aldeberdinaren aldearen luzera.016
d2 2 2 2 22 64 2 32 5 66= + = = = =l l l l l , cm
015
a= + = =6 6 72 8 492 2 , cm
a= = =4 2 12 3 462 2 , cm
014
013
a= = =28 21 343 18 522 2 , cm
a= + = =28 21 1 225 352 2 . cm
012
011
l l
l l
l
2 2
2
22
2
282
7844
4 3 136
= +
= +
=
. ++ = =
=
l l l
l
2 2 23 3 1363 136
3
32 33
..
, cm
Leku geometrikoak. Irudi lauak
4 cma
6 cma
h
=
28cm
8/12/2019 DBH3 8gaia
6/28
247
8
Kalkulatu poligono hauen azalera.
a) Trapezioa. Oinarriak, 12 eta 8 cm; altuera, 5 cm.
b) 12 cm eta 9 cm-ko diagonalak dituen erronboa.
a) b)
Kalkulatu irudiaren azalera.
Azalera osoa = Laukizuzenaren azalera + 1. triangeluarena + 2. triangeluarena
Laukizuzenaren azalera = 26 2 = 52 cm2
1. triangeluaren azalera =
2. triangeluaren azalera =
Azalera osoa = 52 + 16 + 30 = 98 cm2
Kalkulatu 3 cm-ko altuera eta 5 cm-ko diagonala dituen laukizuzenaren azalera.
Azalera = 4 3 = 12 cm2
Kalkulatu triangelu bakoitzaren azalera.
Alboko triangeluak berdinak dira:
Erdiko triangeluaren azalera: A =
Kalkulatu heptagono erregular baten apotema. Aldea: 6 cm; azalera: 130,8 cm2.
Kalkulatu 7 cm-ko aldea duen karratuaren azalera, poligono erregularren
azaleraren formula aplikatuz.
A = A = A = = 49 cm228
7
2
2
42
l l
2
P a
2
022
A P a
a A
P=
=
=
=
2
2 2 130 8
6 76 23
,, cm
021
12 10
260
= cm2.
A =
=12 5
230 cm2
020
Oinarria cm= = =5 3 16 42 2
019
10 6
230
= cm2
16 2
216
= cm2
018
A =
=12 9
254 cm2A =
+ =
( )12 8 5
250 cm2
017
ERANTZUNAK
10 cm
2 cm
6 cm
26 cm4 cm
10 cm
12 cm
8/12/2019 DBH3 8gaia
7/28
248
Kalkulatu 6 cm-ko aldea duen hexagono erregularraren azalera.
Apotema 6 cm-ko aldea duen triangelu aldeberdinaren altuera da; triangelu
hori bi triangelu angeluzuzenetan bana daiteke.
Kalkulatu alboko irudiaren azalera. Kontuan hartu barrukoa
hexagono erregularra dela.
Azalera 2 cm-ko aldea duen hexagonoaren azalera halako.
bi da. Apotema 2 cm-ko aldea duen triangelu
aldeberdinaren altuera da.
Irudiaren azalera: 2 10,38 = 20,76 cm2.
Kalkulatu 2 dm2-ko azalera duen triangelu aldeberdinaren altuera eta perimetroa.
Altuera aldearen mende:
h= 0,87 2,14 = 1,86 dm
P= 3 2,14 = 6,42 dm
Kalkulatu 6 cm-ko diametroa duen zirkuluaren azalera.
r= r= = 3 cm
L= 2r L= 2 3 = 18,84 cm
A= r2 A= 32 = 28,26 cm2
Bi zirkunferentzia zentrokideren erradioak 5 eta 3 cm-koak dira, hurrenez
hurren. Kalkulatu bien arteko koroa zirkularraren azalera. Kalkulatu sortzen
dituzten zirkuluen azalerak ere.
Koroaren azalera = (R2 r2) = (52 32) = 16 = 50,24 cm2
Zirkulu handienaren azalera = r2 = 52 = 25 = 78,5 cm2
Zirkulu txikienaren azalera = r2 = 32 = 9 = 26,26 cm2
027
6
2
d
2
026
A = =
= =20 87
2
4
0 872 14
l ll
,
,, dm
h=
= =l l
l l.2
22
2
3
40 87,
025
A =
=12 1 73
210 38
,, cm2
a= = =2 1 3 1 732 2 , cm
024
A =
=36 5 2
293 6
,, cm2
a= = =6 3 27 5 22 2 , cm
023
Leku geometrikoak. Irudi lauak
2 cm 2 cm
2 cm 2 cm
2 cm
8/12/2019 DBH3 8gaia
8/28
Kalkulatu 120-ko eta 20 cm-ko erradioko sektorearen segmentu zirkularraren
azalera.
AZuzenkia= ASektorea ATriangelua
ASektorea=
r2 = h2 + h= = 17,3 cm
ATriangelua=
AZuzenkia= 418,67 173 = 245,67 cm2
Zer erlazio dago bi zirkunferentziaren erradioen artean, bien arteko koroa
zirkularraren azalera zirkulu handienaren azaleraren erdia bada?
Zirkunferentzia handienaren azalera txikienaren azaleraren bikoitza da; beraz,
zirkunferentzia handienaren erradioa txikienarena bider da.
ARIKETAK
Erlazionatu elementu hauek.
a) Barizentroa 1) Altuerak
b) Intzentroa 2) Erdibitzaileak
c) Zirkunzentroa 3) Erdibidekoak
d) Ortozentroa 4) Erdikariak
a) 3) c) 2)
b) 4) d) 1)
Marraztu zenbait triangelu angeluzuzen eta adierazi ortozentroa.
Non dago?
Angelu zuzenaren erpinean dago.
031
030
2
029
b h=
=
2
20 17 3
2173
,cm2
20 10 3002 2 =r
2
2
=
20 120
360418 67
2
, cm2
028
249
8ERANTZUNAK
C C
C
BA
B
ABA
H
H
H
8/12/2019 DBH3 8gaia
9/28
250
Marraztu lerrokatuta ez dauden hiru puntu eta haietatik igarotzen den
zirkunferentzia.
Puntuak elkartzen dituzten zuzenkiak eta
erdibitzaileak marraztuko ditugu. Ebakidura-puntua
zirkunferentziaren zentroa da.
Marraztu triangelu angeluzuzen bat eta haren erdibitzaileak. Ondoren, adierazi
zirkunzentroa. Zer hauteman duzu?
Zirkunzentroa hipotenusaren erdiko puntuan
dago.
Triangelu angeluzuzen isoszele batean, hipotenusa 10 cm luze da.
Zirkunferentzia zirkunskribatua bada, zenbatekoa da erradioa?
Intzentroa hipotenusaren erdiko puntuan dagoenez, hipotenusa da
diametroa; beraz, erradioa 5 cm-koa da.
36 cm-ko perimetroa duen triangelu aldeberdinean, zirkunferentzia
zirkunskribatua egin dugu. Erdibidekoa 10,39 cm-koa dela jakinik, zenbatekoa
da zirkunferentziaren erradioa?
Triangelu aldeberdinetan zuzen eta puntu nabarmenak bat datozenez,
erradioa barizentrotik zentrorako distantzia da: r= 10,39 2 : 3 = 6,93 cm.
Triangelu angeluzuzenetan, barizentroa, ortozentroa, zirkunzentroa eta intzentroa
hemen egoten dira:
a) Triangelutik kanpo. c) Alde batean.
b) Triangeluaren barruan.
Intzentroa eta barizentroa barruko puntuak dira; ortozentroa eta
zirkunzentroa, berriz, alde batean daude.
Triangelu angeluzuzen isoszele batean, adierazi zirkunzentroa eta ortozentroa.
Triangeluaren bi puntu lotzen dituen zuzenkia hau da:
a) Erdibidekoa b) Erdibitzailea c) Altuera d) Erdikaria
Triangelu angeluzuzen eskalenoetan ere betetzen al da hori?
Zuzenkia bat dator erdibideko, erdibitzaile,
altuera eta erdikari batekin. Triangelua eskalenoa
bada, hori ez da betetzen.
037
036
035
034
033
032
Leku geometrikoak. Irudi lauak
A B
C
O
A
C
O
H
BA
B
C
O
8/12/2019 DBH3 8gaia
10/28
251
8
Triangelu angeluzuzen isoszeleetan:
a) Hipotenusaren altuera kateto bat baino handiagoa al da?
b) Hipotenusaren erdibidekoa kateto bat baino handiagoa ala
txikiagoa da?
a) Ez. Izan ere, altuerak bi triangelu angeluzuzen osatzen ditu eta haien
hipotenusa hasierako triangeluaren katetoa da. Hipotenusa alde handiena da.
b) Erdibidekoa altuerarekin bat dator eta txikiagoa da, a) atalean
adierazitakoagatik.
Triangelu angeluzuzen baten hipotenusa 12 cm-koa da, eta kateto bat, 6 cm-koa.
Kalkulatu beste katetoaren luzera.
Kalkulatu triangelu angeluzuzen bakoitzean falta den aldearen luzera
(a hipotenusa da).
a) a= 34 cm, b= 30 cm b) b= 28 cm, c= 21 cm
a)
b)
Kalkulatu triangelu angeluzuzen baten hipotenusaren luzera, jakinik katetoen
arteko kendura 2 cm-koa dela eta txikienak 6 cm dituela.
Katetoen luzera: 6 cm eta 6 + 2 = 8 cm. Hipotenusaren luzera:
Adierazi ea angeluzuzenak diren triangelu hauek. Hala diren kasuetan, adierazi
hipotenusaren eta katetoen neurriak.
a) 5, 12 eta 13 cm-ko aldeak dituen triangelua.
b) 6, 8 eta 12 cm-ko aldeak dituen triangelua.
c) 5, 6 eta cm-ko aldeak dituen triangelua.
d) 7, 24 eta 25 cm-ko aldeak dituen triangelua.
a) Angeluzuzena. Hipotenusa 13 cm luze da,
eta katetoak, 12 cm eta 5 cm luze.
b) Ez da angeluzuzena.
c) Angeluzuzena. Hipotenusa cm luze da, eta
katetoak, 6 cm eta 5 cm luze.
d) Angeluzuzena. Hipotenusa 25 cm luze da,
eta katetoak, 24 cm eta 7 cm luze.
25 24 7 6252 2= + =
6161 5 62 2= +
12 8 6 100 102 2 + = =
13 12 5 1692 2= + =
61
042
a = + = =36 64 100 10 cm
041
a = + = =784 441 1 225 35. cm
c = = =1 156 900 256 16. cm
040
b = = =144 36 108 10 39, cm
039
038
ERANTZUNAK
8/12/2019 DBH3 8gaia
11/28
252
Kalkulatu adierazitako zuzenkien luzera.
a) b)
a)
b)
Triangelu isoszele baten alde berdinak 7 cm-koak dira, eta beste aldea,
4 cm-koa. Kalkulatu altuera.
72 = h2 + 22
h2
= 72 22
h2
= 49 4
h = 6,71 cm
Kalkulatu 30 cm-ko perimetroa duen triangelu aldeberdinaren altuera.
Aldea: 30 : 3 = 10 cm. Altuera:Azalera: 10 8,66 : 2 = 43,3 cm2.
Kalkulatu triangelu isoszele baten oinarriaren luzera, jakinik alde berdinak
17 cm-koak direla, eta altuera, 8 cm-koa.
Oinarriaren erdiak, altuerak eta aldeetako batek triangelu aldeberdina
osatzen dute. Pitagorasen teorema aplikatuz gero,
hau lortuko dugu:
bb
217 8 225 15 302 2= = = =cm cm
046
100 25 75 8 66 = = , cm
045
h = 45
044
FE = + =18 16 34
FB FC FD = + = = + = = + =4 4 8 1 8 3 9 9 18
EB EC ED = + = = + = = + =1 4 5 1 5 6 1 6 7
043
Leku geometrikoak. Irudi lauak
2 cm
4cm
2 cm
1cm
3cm
2 cmA
A F
E
E?
?
DD
B B
CC
1cm
1cm
1cm
7 cm 7 cm
h
4 cm
8/12/2019 DBH3 8gaia
12/28
Kalkulatu triangelu isoszele baten alde berdinen luzera, jakinik alde desberdinak
42 cm dituela eta altuera 20 cm-koa dela.
Oinarriaren erdiak, altuerak eta aldeetako batek triangelu aldeberdina
osatzen dute. Pitagorasen teorema aplikatuko dugu:
Kalkulatu 6 cm-ko altuera duen triangelu aldeberdinaren aldearen
luzera.
Oinarriaren erdiak, altuerak eta aldeetako batek triangelu aldeberdinaosatzen dute. Pitagorasen teorema aplikatuko dugu:
049
h2 2
2
2 2
2
3
436
3
448 6 93=
= = = =l l
l l l , cm
048
l = + = =21 20 841 292 2 cm
047
EGIN HONELA
NOLA KALKULATZEN DA EDOZEIN TRIANGELUREN ALTUERA, ALDEEN LUZERA
JAKINIK?
Kalkulatu 5 cm, 8 cm eta 10 cm-ko aldeak dituen triangeluaren altuera.
LEHENA. Triangelua marraztu eta elementu guztiak izendatu behar dira.
Altuerak oinarria bi zatitan banatzen du:
AH; haren luzerari x esango diogu.
HB; haren luzera 10 xizango da.
BIGARRENA. Lortutako bi triangelu angeluzuzenei Pitagorasen teorema aplikatu
behar zaie.
AHC triangeluan: 52 = x2 + h2 h2 = 52 x2
HBC triangeluan: 82 = (10 x)2 + h2 h2 = 82 (10 x)2
HIRUGARRENA. Bi adierazpenak berdindu eta ekuazioa ebatzi behar da.
25 x2 = 64 (100 + x2 20x)
25 x2 = 64 100 x2 + 20x
20x= 61 x= 3,05 cm
LAUGARRENA. hkalkulatu behar da.
h x h2 2 2 2 25 5 3 05 3 96= = = , , cm
h x
h xx x
2 2 2
2 2 2
2 2 25
8 105 8 10
= =
=
( )( ))2
253
8ERANTZUNAK
5 cm 8 cm
C
A H B
x 10 x
h
10 cmG F
8/12/2019 DBH3 8gaia
13/28
254
Kalkulatu triangelu baten altuera, jakinik aldeen luzerak hauek direla:
a) AB= 4 cm BC= 7 cm CA = 9 cm
b) AB= 6 cm BC= 10 cm CA = 14 cm
c) AB= 5 cm BC= 11 cm CA = 15 cm
a)
16 x2 = 49 81 + 18x x2
18x= 48 x= 2,67 cm
b)
36 x2 = 100 196 + 28x x2
28x= 132 x= 4,71 cm
c)
25 x2 = 121 225 + 30x x2
30x= 129 x= 4,3 cm
Kalkulatu Ppuntuaren eta A puntuaren arteko distantzia, CP zuzenkiaren eta
DPzuzenkiaren luzerak berdinak izan daitezen grafikoetan.
a) b)
a) Baldin CP= PD= d
4 + x2 = 9 + 49 14x+ x2
14x= 54 x= 3,86 cm
b) Baldin CP= PD= d
4 + x2 = 9 + 36 12x+ x2
12x= 41 x= 3,42 cm
d x d2 2 22 4 18 49 3 96= + = + = , , cm
d x
d xx x
2 2 2
2 2 2
2 2 2 22
3 62 3 6
= +
= +
+ = +
( )( )
d x d2 2 24 16 18 49 5 56= + = + = , , cm
d x
d xx x
2 2 2
2 2 2
2 2 2 24
3 74 3 7
= +
= +
+ = + ( )
( )
051
h x h2 2 25 25 18 49 2 55= = = , , cm
h x
h xx
2 2 2
2 2 2
2 2 25
11 155 11 15
=
=
=
( )( x)2
h x h2 2 26 36 22 22 3 71= = = , , cm
h x
h xx
2 2 2
2 2 2
2 2 26
10 146 10 14
=
=
=
( )( x)2
h x h2 2 24 16 7 11 2 98= = = , , cm
h x
h xx x
2 2 2
2 2 2
2 2 2 24
7 94 7 9
=
=
=
( )( )
050
Leku geometrikoak. Irudi lauak
7 cm
4 cm
C
A
P
D
B 6 cm
2 cm3 cm 3 cm
C
A
P
D
B
8/12/2019 DBH3 8gaia
14/28
255
8
Kalkulatu zer luzera duen x-k irudietan.
a) c)
b) d)
a)
b)
c)
d)
Behatu irudiari eta kalkulatu.
a) Erronboaren aldea.
b) AB, katetoaren luzera, ACkatetoarena eta BChipotenusarena.
a)
b)
Kalkulatu irudi hauen perimetroa.
a) b)
a)
P= 28 + 25 + 18 + 26,93 = 97,93 cm
b)
P= 17,46 + 14 + 28 + 12 + 18,44 + 8,6 + 5 + 28 + 16 = 147,5 cm
c = + = =14 12 340 18 442 2 , cm
b = + = =5 7 74 8 62 2 , cm
a = + = =16 7 305 17 462 2 , cm
x = + = =25 10 725 26 932 2 , cm
054
BC AC AB AC = + = + =2 2 2 224 18 30 cm
AB d
d= + = + =2
12
212 18 cm
AC D
D= + = + =2
16
216 24 cm
l = + = + = =8 6 64 36 100 102 2 cm
053
x = = = =117 9 117 81 36 62
2 cm
x = + = =8 5 89 9 432 2 , cm
10100
250 7 072 2 2 2= + = = =x x x x , cm
x = + = =4 4 32 5 662 2 , cm
052
ERANTZUNAK
117
cm
4 cmx
x
5 cm
10cm x
9 cm
8 cm
x
G F
12 cm
G
F
16cm
C
l
A B
25 cm
28 cm 18 cm
12 cm
5 cm16 cm
14 cm
7 cm
28 cm
a
c
b
x
8/12/2019 DBH3 8gaia
15/28
256
Behatu irudiari.
Laukizuzenaren aldeak 15 eta 20 cm luze badira,
zer luzera du zirkunferentziaren erradioak?
Erradioa diagonalaren erdia da:
Demaguntangram txinatarraren zazpi pieza hauek ditugula.
Kalkulatu tangramhonen pieza bakoitzaren
azalera.
Karratuaren diagonala kalkulatuko dugu:
ATriangelu handiena=
ATriangelu ertaina= = 12,5 cm2
ATriangelu txikiena=
AKarratua=
AErronboidea= b h= AErronboidea= 5 2,5 = 12,5 cm2
Pieza guztien azaleren batura karratuaren azalera osoaren berdina dela
egiaztatuko dugu, 102 cm2:
2 25 + 12,5 + 2 6,25 + 12,5 + 12,5 == 50 + 12,5 + 12,5 + 12,5 + 12,5 = 100 cm2
Aukeratu erantzun zuzena, kasu bakoitzean.
a) 2 cm eta 4 cm-ko diagonalak dituen erronboaren azalera hau da:
I) 4 cm2 III) 6 cm2
II) 2 cm2 IV) 12 cm2
b) 10 cm eta 8 cm-ko oinarriak eta 6 cm-ko altuera dituen trapezioaren azalera:
I) 240 cm2 III) 108 cm2
II) 54 cm2 IV) 60 cm2
c) 10 cm-ko aldea duen triangelu aldeberdinaren azalera hau da:
I) 86,6 cm2 III) 43,3 cm2
II) 50 cm2 IV) 100 cm2
a) I) 4 cm2 b) II) 54 cm2 c) I) 86,6 cm2
057
l l
2 4
d
4
10 2
4
100 2
16
2 2
=
=
= 112 5, cm2
d d
4 4
2
10 2
4
10 2
4
2
100 2
16 26 25
=
=
= , cm2
5 5
2
5 2 5 2
2
25 2
225
=
= cm2
d d= + = =l l l2 2 2 10 2 cm
056
r= +
= =400 225
2
625
212 5, cm
055
Leku geometrikoak. Irudi lauak
20 cm
15 cm
G
5 cm
5 cm
2,5 cm
2,5cm
8/12/2019 DBH3 8gaia
16/28
257
8
Triangelu isoszele baten azalera 24 m2-koa da, eta alde desberdinaren luzera,
6 m-koa. Kalkulatu beste aldeen luzera.
Triangelu angeluzuzen baten azalera 12 cm2-koa da, eta kateto baten luzera,
6 cm-koa. Kalkulatu hipotenusaren luzera.
Beste katetoaren luzera: 12 2 : 6 = 4 cm
eta hipotenusarena:
Kalkulatu 90 cm-ko perimetroa duen triangelu aldeberdinaren azalera.
Aldea: 90 : 3 = 30 cm
Altuera:
Azalera =
Triangelu aldeberdin baten azalera 30 cm2-koa bada, kalkulatu aldearen luzera.
Aldea xbada, altuera: h =
Azalera = 30 = x= 8,32 cm
Kalkulatu 13 cm-ko hipotenusa duen triangelu angeluzuzenaren azalera,
kateto bat 5 cm-koa bada.
Beste katetoa:
eta azalera: (5 12) : 2 = 30 cm2.
Kalkulatu karratu baten azalera, jakinik diagonala 7,07 cm-koa dela.
Karratua erronbo gisa hartzen badugu,
azalera: (7,07 7,07) : 2 = 25 cm2.
Kalkulatu laukizuzen honen azalera.
Oinarriaren erdia: ,
eta beraz, azalera: 10 8 = 80 cm2.
Kalkulatu laukizuzen baten azalera. Oinarria: 10 cm; diagonala: cm.
Altuera: eta azalera: 10 4 = 40 cm2.116 100 4 = cm
116065
41 16 5 = cm
064
063
169 25 144 12 = = cm
062
x x
x
=
3
2
2
3
4
2
x x x
=
2
3
2.
061
25 98 30
2789 7
,,
= cm2
30 15 675 25 982 2 = = , cm.
060
36 16 52 7 21+ = = , cm.
059
A b h h
h=
=
=
=
= + = +
224
6
2
24 2
68
3 8 9 642 2 2 2
m
l l ll = =73 8,54 m
058
ERANTZUNAK
4 cm41
cm
8/12/2019 DBH3 8gaia
17/28
258
Kalkulatu laukizuzen baten azalera; oinarria: 7 cm; perimetroa: 24 cm.
7 + 7 + 2h = 24 2h = 10 h = 5 cm
Azalera = 5 7 = 35 cm2
Kalkulatu margotutako gunearen azalera.
A = 6 8 + 4 9 + 11 8 + 9 4 = 48 + 36 + 88 + 36 = 208 cm2
068
067
066
Leku geometrikoak. Irudi lauak
4 cm
6 cm
9 cm
4 cm 11 cm
8 cm
F
EGIN HONELA
NOLA KALKULATZEN DA TRAPEZIO ISOSZELE BATEN AZALERA, ALTUERA JAKIN GABE?
Kalkulatu trapezio
isoszele honen
azalera.
LEHENA. Altuera mugatzen duen triangelu angeluzuzenaren oinarria kalkulatu behar
da. Trapezio isoszelea denez, altuerek bi triangelu angeluzuzen berdin mugatzen
dituzte; haien oinarriak trapezioaren oinarrien arteko kenduraren erdia dira.
BIGARRENA. Altuera mugatzen duen triangelu angeluzuzenari Pitagorasen teorema
aplikatu behar zaio.
1,52 + h2 = 2,52
h2
= 2,52 1,52 = 4
HIRUGARRENA. Azalera kalkulatu behar da.
A B b h
=+
=+
=( ) ( )
2
8 5 2
213 2cm
h = =4 2 cm
AE FB AB CD
= =
=
=
2
8 5
21,5 cm
5 cmD C
A 8 cm
2,5 cm
B
5 cmD
hh
C
A 8 cm
2,5 cm2,5 cm
1,5 1,5
BE F
D
h
A
2,5 cm
1,5
E
8/12/2019 DBH3 8gaia
18/28
259
8
Kalkulatu trapezio isoszele hauen azalera.
a) c)
b) d)
a)
b)
c)
d)
Kalkulatu irudi hauen azalerak:
a) 2 cm-ko aldeko hexagono erregularrarena.
b) 48 cm-ko perimetroko oktogono erregularrarena.
a) Apotema hau da:
b) Aldea 6 cm luze da.
6 18 4 24
4 246
27 24
2 2 2= + = =
= + =
=
x x x
a
A P a
,
, ,
cm
cm
22
48 7 24
2173 76=
=
,, cm2
a
A P a
= = =
=
=
=
2 1 3 1 73
2
12 1 73
210 38
2 2 ,
,,
cm
cm2
070
b
A B b h
= =
= +
= +
=
14 2 4 6
2
14 6 3
230
m
m2( ) ( )
AE
B AB
= = =
= = + =
4 13 3 5 4 81 2 19
7 2 2 19 11 3
2 2, , , ,
, ,
m
88
2
11 38 7 4 13
237 95
m
m2A B b h
= +
= +
=( ) ( , ) ,
,
h DE
A
= = ( )
= =16424 16
2148 12 17
22
, m
== +
= +
=( ) ( ) ,
,B b h
2
24 16 12 17
2243 4 m2
h DE
A B b
= =
= =
= +
310 6
25 2 242
2
,
( )
cm
hh
2
10 6 2 24
217 92=
+ =
( ) ,, cm2
069
ERANTZUNAK
6 cm 7 m
16 m
24 m 14 m
4 m3 m
3 cm3,5 m
4,13 m
10 cm
164 m
6cm
x
x
x
D C
EA F B
a
a
8/12/2019 DBH3 8gaia
19/28
260
Kalkulatu irudiko zuzenki gorriaren luzera.
Zuzenkiaren erdibitzailea marratuz gero,
erpinerako distantzia erradioaren erdia da, 3 cm,
eta triangelu aldeberdina osatzen du hexagonoaren
alde batekin eta zuzenkiaren erdiarekin. Beraz,
zuzenkiaren erdia:
eta zuzenkia 10,4 cm-koa da.
Adierazi zer azalera duten margotutako guneek.
a) Karratu handiena Karratu txikiena 2 triangelu
A=
b) Hexagonoa osatzen duten triangelu aldeberdinak marraztuz gero,
margotutako gunea triangelu bakoitzaren erdia da, eta beraz, hexagonoaren
azaleraren erdia izango da. Hexagonoaren apotema 3,46 cm-koa denez,
azalera 41,57 cm2
-koa da, eta margotutako gunearena, 20,78 cm2
-koa.c) Hexagonoa osatzen duten triangelu aldeberdinak marraztuz gero,
margotutako gunea triangelu oso bat eta beste biren erdiak dira; hau da,
bi triangeluren baliokidea da edo hexagonoaren herena. Hexagonoaren
apotema 2,6 cm-koa denez, azalera 23,4 cm2-koa da, eta margotutako
gunearen azalera, 7,8 cm2-koa.
d)
Azalera osoa triangeluen azalera da:
x=
A= Triangelu handiena + Triangelu txikiena == 5,54 5,54 : 2 + 5,54 1,15 : 2 = 18,53 cm2
Kalkulatu 6 cm eta 8 cm-ko katetoak dituen triangelu angeluzuzeneanzirkunskribatutako zirkuluaren azalera.
Hipotenusa 10 cm-koa da eta diametroarekin bat dator; erradioa 5 cm-koa
da, eta azalera, 25 = 78,5 cm2-koa.
Kalkulatu 8 cm-ko aldeko karratuan zirkunskribatutako eta inskribatutako
zirkunferentziek mugatutako koroa zirkularraren azalera.
Barruko zirkunferentziaren erradioa aldearen erdia da: 4 cm; eta kanpokoa
diagonalaren erdia ( ): 5,66 cm.
Azalera = (32 16) = 50,24 cm264 64 128 11 31+ = = , cm
074
073
9 7 67 1 33 1 15 = =, , , cm.
5 2 5 25 2 5
26 252 2
=,
,, cm2
072
36 9 27 5 2 = = , cm,
071
6 cm
Leku geometrikoak. Irudi lauak
4 cm 3 cm5 cm
3 cm
a) b) c) d)
G
5,54 cm
x
3cm5,5
4cm
8/12/2019 DBH3 8gaia
20/28
261
8
Kalkulatu 60-ko anplitudea eta 12 cm-ko luzerako zirkunferentziaren erradioa
dituen sektore zirkularraren azalera.
Zirkunferentzia 12 cm-koa bada, erradioa 6 cm-koa da. Sektorea
zirkuluaren seiren bat denez, azalera:
Kalkulatu zirkulu baten azalera, jakinik haren diametroa eta 7 cm-ko aldea duen
karratuaren perimetroa berdinak direla.
Diametroa 28 cm-koa da, erradioa 14 cm-koa eta azalera: 196 = 615,44 cm2.
5 cm-ko erradioa duen zirkunferentzian triangelu angeluzuzen isoszele bat
inskribatu da. Kalkulatu zirkuluaren eta triangeluaren arteko azalera.
Triangeluaren oinarria eta diametroa bat datoz, bai eta altuera eta erradioa
ere; beraz, azalera: 10 5 : 2 = 25 cm2. Zirkuluaren eta triangeluaren
arteko azalera: 25 25 = 53,5 cm2.
Kalkulatu margotutako gunearen azalera, jakinik zirkunferentziaren diametroa
10 cm-koa dela.
a) 25 2 6,25 = 39,25 cm2
b) 5 cm-ko aldea duen hexagonoaren azalera: , eta
gunearen azalera: 25 64,95 = 13,55 cm2.
c) Zirkuluaren erdia da: 25 : 2 = 39,25 cm2.
Kalkulatu irudi hauen azalera.
a) Zirkuluerdi bat da, azalera jakin bat batuta eta kenduta; beraz, azalera
zirkuluerdiarena da: A = 36 = 113,04 cm2.
b) Zirkuluerdi bat gehi zirkulu-laurden bat da; hau da, zirkuluaren hiru
laurden gehi triangelu aldeberdin bat.
A = 0,75 4 + 2 1,73 : 2 = 11,15 cm2
079
30 4 33
264 95
=
,, cm2
078
077
076
36
618 84
= , .cm2
075
ERANTZUNAK
10 cm
b)a) c)
10 cm
10 cm
4 cm
a)
12 cm
b)
8/12/2019 DBH3 8gaia
21/28
Kalkulatu irudi hauen azalera.
a) Laukizuzen bat ken karratu bat da: A = 7 5 3 3 = 26 cm2.
b) Irudiari azalera jakin bat kendu eta batu zaio; beraz, azalera jatorrizko
irudiaren azalera da: A = 10 4 = 40 cm2.
c) Karratu bat gehi triangelu aldeberdin bat ken zirkulu bat da:
h= = 4,33 A = 5 5 + (5 4,33) : 2 4 = 23,27 cm2.
d) Irudiari azalera jakin bat kendu eta batu zaio; beraz, azalera jatorrizko
irudiaren azalera da: A = 2,5 2,5 = 6,25 cm2.
081
5 2 52 2 ,
080
EGIN HONELA
NOLA KALKULATZEN DA TRAPEZIO ZIRKULAR BATEN AZALERA?
Kalkulatu bi erradiok
mugatutako koroa
zirkularraren zatia
(trapezio zirkularra).
LEHENA. Bi sektore zirkularren azalera kalkulatu behar da.
Kasu honetan, 30-ko anplitudea dute, eta erradioak 20 eta 8 cm-koak dira,
hurrenez hurren.
BIGARRENA. Bi sektoreen azaleren kenketa egin.
Trapezio zirkularraren azalera 87,92 cm2-koa da, gutxi gorabehera.
A A1 22104 67 16 75 87 92 = =, , , cm
A2
228 30
36016 75=
=
, cm
A1
2220 30
360104 67=
=
, cm
262
Leku geometrikoak. Irudi lauak
a) c)
5 cm
7 cm
5 cm
5 cm
2 cm
b) d)
10 cm 2,5 cm
2,5 cm4 cm
3 cm
8cm
20 cm
30F
8/12/2019 DBH3 8gaia
22/28
10m
6 m
263
8
Kalkulatu aurreko ariketako koroa zirkularrak sortutako trapezio zirkularraren
azalera, anplitudea 120-koa bada.
Hiruko erregela aplikatuz, hau lortuko dugu:
Kalkulatu trapezio zirkular baten azalera. Erradioak: 12 eta 6 cm. Anplitudea: 270.
ASektore handiena=
ASektore txikiena =
ATrapezioa= 339,12 84,78 = 254,34 cm2
Behatu bitxiloreari eta kalkulatu lore-hosto bakoitzaren zati zuriaren azalera, zati
horiarena eta guztizko azalera.
Zati zuriko sektore bakoitzaren azalera:
A = = 6,28 cm2
Zati horiko sektore bakoitzaren azalera:
A'= = 18,84 cm2
Azalera osoa:
AOsoa= 6 (A + A') = 6 (6,28 + 18,84) = 6 25,12 = 150,72 cm2
Behatu dorreari eta haren itzalari.
Zer distantzia dago dorrearen punturik
altuenaren eta itzalaren muturraren artean?
d2 = 1502 + 2002 d2 = 62.500
d= 250 m
10 m-ko eskailera bat horma baten kontra dago jarrita.
Eskaileraren oinaren eta hormaren artean 6 m daude.
Zer altuera hartzen du eskailerak horman?
102 = h2 + 62 h2 = 100 36 = 64
h= 8 m
086
085
=
( ) , ( )8 4 45
360
3 14 64 16 45
360
2 2
4 45
360
2
084
=
6 270
36084 78
2
, cm2
=
12 270
360
339 122
, cm2
083
30 87 92
12087 92 4 351 68
,, ,
AA
= = cm2
082
ERANTZUNAK
4 cm45
GG
10 m
6 m
h
200 m
150m
8/12/2019 DBH3 8gaia
23/28
264
Lau angeluko lur-sail baten aldeetan 32 zuhaitz landatu dituzte, 5 m-ko tarteak
utzita. Zer azalera du lur-sailak? Zer luzera du aldeak?
32 zuhaitz daudenez eta karratuaren perimetroa osatzen denez,
5 m-ko 32 tarte egongo dira; hau da:
P= 32 5 = 160 m 4l = 160 l = 40 m
Azalera hau da: A = l2 A = 402 = 1.600 m2.
Bide-seinale honek nahitaez gelditu beharra adierazten du.
Kalkulatu azalera, 90 cm-ko altuera eta 37 cm-ko aldea baditu.
Apotema altueraren erdia da: 45 cm;perimetroa: 37 8 = 296 cm.
Eraikin bateko 50 etxebizitzen oinplanoa irudian ikus
daitekeena da. Hexagonoaren aldea 30 m-koa da.
Lurreko moketaren prezioa 20 /m2-koa
bada, kalkulatu zenbat ordaindu duten eraikin
osoko moketa.
Apotema hau da: a=
AHexagonoa =
AKarratua = 302
= 900 m2
ATriangelua =
Solairu baten azalera: 2.340 + 900 + 390 = 3.630 m2.
Solairu bateko moketaren prezioa: 3.630 20 = 72.600 .
Eraikin osoko moketaren prezioa: 50 72.600 = 3.630.000 .
Mikelek erronboide formako
lorategia du. Bide bat ere
badago, eta bidearen neurriakbadakizkigu. Kalkulatu
lorategiaren azalera eta
perimetroa.
Perimetroa: P= 2 (x+ y) + 2 45 =
= 2 (15,4 + 46,4) + 2 45 = 213,6 m
Azalera: A = b a= (x+ y) 38 =
= (15,4 + 46,4) 38 = 2.348,4 m2
y = =60 38 46 42 2 , m
x = =41 38 15 42 2 , m
090
1
230 30
3
2390 = m2
P a A = =2
6 30 262
2 340 . m2
30 15 675 262 2 = = m.
089
A =
=296 45
26 660. cm2
088
087
Leku geometrikoak. Irudi lauak
30 m
6dam
4,1
dam
38
m
4,5
dam
60m
45
m
38 m
y
x
41 cm
G
8/12/2019 DBH3 8gaia
24/28
265
8
Beirate triangeluar bat jarri dugu. Kalkulatu beira gorrizko
gunearen azalera, jakinik leihoa 1 m-eko aldea duen
triangelu aldeberdina dela.
Triangelu gorri bakoitza aldearen 1/8 m da eta aldeberdina;
beraz, altuera hau da:
At=
27 triangelu gorri daudenez, azalera osoa hau da:
A= 27 0,007 = 0,189 m2
Pista zirkular batean 15 kg hondar bota dituzte metro koadroko.
Guztira 4.710 kg hondar bota badituzte, zer erradio du pistak?
Lehendabizi, pistak zenbat metro koadro dituen kalkulatu
behar da:
4.710 : 15 = 314 m2
A= r2 314 = r2 r2 = 100 r= 10 m
30 m-ko diametroa duen pista zirkular batean, 30 kg hondar bota nahi dituzte
metro koadroko.
a) Zenbat tona hondar behar dira?
b) Eskorga mekaniko batean 5na kg-ko 157 zaku jarri dituzte. Zenbat bidaia
egin beharko dituzte?
D= 30 m r= 15 m A= 152 = 706,5 m2
a) 30 kg/m2 706,5 m2 = 21.195 kg 21,2 t hondar behar dira.
b) Bidaia bakoitzean: 5 157 = 785 kg.
Beraz, = 27 bidaia egin beharko dituzte.
Lorategi karratu batean, zirkulu bat egin nahi dute,
lauzak erabiliz, irudian ageri den moduan.
a) Zer azalera du lauzatutako gainazalak?
b) Zer azalera du soropila duen gainazalak?
a) AZirkulua= r2 A= 52 = 78,5 m2
b) AKarratua= 102 = 100 m2
ASoropila= AKarratua AZirkulua= 100 78,5 = 21,5 m2
094
21 195
785
.
093
092
b h=
=
2
1 8 0 11
2
0 007/
m2,
,
h=
= =1
8
1
16
1
64
1
256
32 2
1160 11= , m
091
ERANTZUNAK
1 m
10 m
8/12/2019 DBH3 8gaia
25/28
266
Gozogile batek azukrea bota du irudikoaren moduko
200 erroskillaren goialdean. 5 kg azukre erabili baditu,
zenbat gramo azukre beharko dira erroskilla baten
1 cm2 estaltzeko?
Erroskila bakoitzaren goiko aldearen (laua)
azalera kalkulatuko dugu:
A= (R2 r2) A= (8,52 2,52) = 66= 207,24 cm2
200 erroskila direnez, estali beharreko azalera:
200 207,24 = 41.448 cm2
5 kg azukre erabili badira, cm
2
-ko kantitate hau behar da:5.000 g : 41.448 cm2 = 0,12 g
Monokulo baten armazoia egin dugu, 10 cm burdin hari erabiliz.
Zer azalera izango du armazoian ahokatzen den leiarrak?
L= 2r 10 = 2r r= 1,6 cm
A= r2 A= 1,62 = 8 cm2
Kalkulatu disko trinko baten gainazal grabagarriaren azalera (argazkian urdinez
ageri da). Diskoaren azalera osoaren zer ehuneko erabiltzen da grabatzeko?
A= (62 22) = 32 = 100,5 cm2
Erabilitako azalera = 100 = % 88,9
Lorezain batek soropila landatu du
koroa zirkular bat osatuz. Koroa
zirkularrean marraz daitekeen
zuzenkirik handiena 15 m-koa da?
Zer azalera du lorezainaklandatutako soropilak
Eskatutako azalera koroa zirkularrarena da:
A = (R2 r2)
Zuzenkia 15 cm luze denez, Pitagorasen teorema
aplikatuko dugu:
R2 =r2 + R2 r2 = 7,52
Ordezkatuz, hau lortuko dugu:
A= (R2 r2) = 7,52 = 176,63 m2
15
2
2
098
100 5
113
,
097
096
095
Leku geometrikoak. Irudi lauak
R
7,5
r
6cm
5cm
G
F
G
F
6 cm
2 cm
G
FGF
8/12/2019 DBH3 8gaia
26/28
267
8ERANTZUNAK
A B C1.500 m 3.200 m
Hona hemen Brasilgo bandera. Neurtu eta
kalkulatu azalera osoaren zer ehuneko dagokion
kolore bakoitzari.
AZirkulua= 62
= 113 mm2
AErronboa= D d= 27 18 = 486 mm2
ALaukizuzena= 37 24 = 888 mm2
Urdina = 100 = % 12,7 Horia =
Berdea =
A hiriko teleferikoa mendi baten
oinetik atera eta gailurreraino
iristen da. Handik B edo C hirira
joaten da.
a) Zer distantzia egiten du
teleferikoak A eta C
hirien artean?
b) Eta A eta B hirien artean?
a) Distantzia (A-Gail.) =
Distantzia (Gailurra-C) =
= 3.298,48 mDistantzia (A-C) = 1.700 + 3.298,48 = 4.998,48 m
Pintore batek irudi hauek erabili ditu hesi bat apaintzeko. Margotutako hesiaren
metro koadroko 32 kobratzen badu, zenbat kobratuko du irudi bakoitza?
1. irudia: hesiko irudia lau aldiz errepikatzen da. Irudiaren azalera 2 m-ko
erradioa duen zirkuluerdiaren azalera da; hau da: A= 4 : 2 = 6,28 m2.
4 irudi direnez, azalera 25,12 m2
-koa da, eta prezioa:
32 = 0,08 = 8 zentimo
2. irudia: 5 m-ko aldea duen karratu batean inskriba daitezkeen 8 lore-hosto
dira, karratuaren diagonalarekiko simetrikoak. Erdi bakoitzaren azalera hau
da: 90-ko angelua eta 5 m-ko erradioa dituen sektore zirkularrarena ken
5 m-ko oinarria eta altuera dituen triangeluarena: .
Lore-hostoaren azalera 14,25 m2-koa da, eta 8 lore-hostoena, 114 m2-koa;
prezioa: 32 = 0,36 = 36 zentimo.114
10 000.
25
4
5 5
27 125
= , m2
25 12
10 000
,
.
101
10 240 000 640 000 10 880 000. . . . .+ = =
2 250 000 640 000 2 890 000 1 700. . . . . .+ = = m
100
888 486
888100 45 3
= % ,
486 113
888100 42
= %
113
888
099
4 m
10 m
800 m
8/12/2019 DBH3 8gaia
27/28
268
Triangelu batean, edozeinetan, erdibidekoak marraztu ditugu, eta 6 triangelu
eratu dira, barizentroa erpin komuna dutela. Azaldu zergatik duten guztiek
azalera bera. Hori aintzat hartuta, frogatu barizentrotik erpin bakoitzerako
distantzia barizentrotik aurkako aldearen erdiko punturakoaren bikoitza dela.
A eta B triangeluen oinarriak berdinak dira (erdibidekoaren definizioadela-eta), eta altuerak ere berdinak direnez, azalerak bat datoz.
Hau da, SA= SB, SC= SD, SE= SF.
Triangelu osoa kontuan hartuta eta arrazoiketa berari jarraituz:
SA+SB+SC=SD+SE+SF.
SC= SD denez SA+SB=SE+SF 2SA= 2SE SA= SE.
Beraz, SA=SB=SE= SF, eta arrazoiketa edozein erdibidekorekin errepikatuz,SC eta SD-ren berdinak direla lortuko dugu:
SA= SB= SC= SD= SE= SF.
denez eta , eta gainera, SB=SC=SD:
Zer da handiena, ABC triangelu angeluzuzenaren
azalera ala L1 eta L2-ren azaleren batura?
(Irudiko zirkunferentzien diametroak triangeluaren
aldeak dira.)
A1 eta A2 L1 eta L2-ri dagozkien zirkuluerdi osoen azalerak balira, hiru
zirkuluerdien azalera hauek lirateke:
A1= A2= A3=
Pitagorasen teorema aplikatuz:
A1+ A 2= = = = =A 3
Triangeluari zirkuluerdi handienaren azalera izateko falta zaion azalera
L1 eta L2-ri falta zaiena da. L1 eta L2-ren azalera triangeluaren bera da.
r32
2
(r12 +r2
2)
2
r22
2
r12
2
r32
2
r22
2
r12
2
103
b b h
h
b1
2 2
2 2=
=2
2 2
1 2b h b h
=
2
2 2
1 2b h b h
=
S S b h
C D+ = 2
2S
b hB=
1
2
SA= SB; SE= SF
102
Leku geometrikoak. Irudi lauak
C
A B
L1L2
F
A B
E D
C
D
Ch
B
b2
b1
8/12/2019 DBH3 8gaia
28/28
Top Related