1
CURVAS PLANAS DEFINIDAS POR
ECUACIONES PARAMÉTRICAS
2
Curvas planas y ecuaciones paramétricas
• Hasta ahora hemos representado cada gráfica por una ecuación en dos variables.
• y = f(x)• En esta sección estudiaremos
situaciones en las que se usan tres variables para representar una curva en el plano.
3
4
5
Ejemplo 1Trace e identifique la curva definida por las ecuaciones paramétricas
Primero construimos una tabla como la siguiente:
1 22 tyttx
6
7
8
9
Ejemplo 2¿Qué curva representan las ecuaciones
En el intervalo
sentytx cos
20 t
10
Eliminamos t:
Así la relación es:
Cuando t aumenta de 0 a 2π, el punto (x,y) describe un círculo, en sentido anti horario, comenzando desde (1,0).
11
12
ACTIVIDAD
• Grafique la curvas
3225
1
tty
tx
13
ACTIVIDADGrafique la curva paramétrica dada por:
22 31 tytx
14
ACTIVIDAD
Graficar la curva dada por tytx 1 2
122 yyx
15
ACTIVIDAD
Graficar la curva dada por .ttytx 0
2xy
16
CÁLCULO CON ECUACIONES PARAMÉTRICAS
17
Derivadas de funciones paramétricas
• La primera derivada
• La segunda derivadadtdxdtdy
dxdy
dtdxdxdy
dtd
dxdy
dxd
dxyd
2
2
18
Ejemplo 3• Hallar la primera y segunda derivadas de
tcosysentx
tsectcostsec
dtdxdxdy
dtd
dxyd 322
2
19
ACTIVIDAD
Hallar la segunda derivada para 32 ttyttx
20
Ejemplo 4: Pendiente y concavidadHallar la pendiente y la concavidad en el punto (2,3) para la curva dada por:
441 , 2 tytx
21
22
• En (x,y) = (2,3), se tiene que t = 4. La pendiente es:
• Y cuando t = 4, la segunda derivada es:
• Por lo que la curva es cóncava hacia arriba.
84 23 dxdy
01243422
tdxyd
23
La ecuación de la recta pendiente es:
1381683283
xyxyxy
24
Ejemplo 5Una curva C está definida por
(a) Demuestre que la curva tiene dos tangentes en el punto (3,0) y halle sus ecuaciones.Solución: Como y = 0:
Esto significa que la curva se cruza a sí misma en el punto (3,0) en donde t toma dos valores.
ttytx 3 32
330 23 ttttty
25
26
Entonces la pendiente de la tangente en (3,0) cuando t ± √3 es:
Por lo que las ecuaciones de las tangentes son
3233
32
tdxdy
tt
dxdy
33
33
xy
xy
27
(b) Halle los puntos donde las tangentes son horizontales o verticales.Solución: C tiene una tangente horizontal cuando dy/dx =0, es decir que dy/dt = 0 y dx/dt ≠ 0. Como
Esto corresponde a (1,−2) y (1,2). (c) Analice la concavidad de la curva C.Solución: Como
.ttdtdy 133 2
3
22
2
413
tt
dxyd
28
La curva es cóncava hacia arriba cuando t > 0 y cóncava hacia abajo cuando t < 0.(d) Dibuje la curva
29
Ejemplo 6: área entre curvasHalle la superficie encerrada por el astroide.
Solución:Primero graficamos
20 33 ttsenytcosx
30
Considerando franjas verticales y tomando en cuenta la simetría de la figura:
1
04 ydxA
31
32
ACTIVIDAD
Obtenga el área encerrada por
20 tbsentytcosax
abA
33
LONGITUD DE ARCO
dtdtdy
dtdxdx
dxdys
b
a
b
a
2221
34
ACTIVIDADPara la curva dada halle su longitud.
tsenteytcosex tt 0
2222senttcosesenttcose
dtdy
dtdx tt
sentetcosedtdysentetcose
dtdx tttt
35
122200
2
edtedteL tt
tt etsentcose 2222 222
tcostsentcostsene
tsentsentcostcoset
t
222
222
22
Top Related