Curso de SemiconductoresSesión 3
Prof. José Edinson Aedo Cobo, Msc. Dr. Eng.E-mail: [email protected]
Departamento de Ingeniería ElectrónicaGrupo de Microelectrónica - Control
Universidad de Antioquia
Números cuánticos
Átomos con múltiples electrones:
Considerando la energía potencial EP = -Zq2/40r
La solución es similar: los estados son determinados por 4 números cuánticos (n, l, ml, ms)
Aproximadamente este modelo serviría para explicar las características generales del espectro atómico.
En 1925, Wolfgang Pauli, estableció el principio de exclusión:
“Dos electrones de un átomo no pueden tener valores identicos para el conjunto de los 4 números cuánticos (n, l, ml , ms )”
O“Dos electrones en un átomo no pueden estar en el
mismo estado cuántico”.
Números cuánticos
Notación en Capas y subcapas:
Es una nomenclatura para describir los estados cuánticos:
Los estados con el mismo n se dice que pertenecen a la misma capa.
Se denota: n 1 2 3 4 …. capa K L M N ..
Una capa se divide en subcapas de acuerdo con el número cuántico
l: l 0 1 2 3 4 5 … subcapa s p d f g h …
Números cuánticos
Capa n>0 0≤ l ≤ n-1 -l ≤ ml ≤ l ms=±1/2 subcapas #estad
n l ml ms
K 1 0 0 ±1/2 1s 2
0 0 ±1/2 2s 2 L 2 1 0 ±1/2 1 -1 ±1/2 2p 6 1 +1 ±1/2
M 3 3s 2 3p 6 3d 10
Notación en capas y subcapas: Triangulo de Paschen
1s 2s 3s 4s 5s 6s . . . . .
2p 3p 4p 5p 6p . . . . .
3d 4d 5d 6d . . . . . 4f 5f 6f . . . . . 5g 6g . . . . . . 6h . . . . . . .
Ejemplo: Carbono Z=6, notación: 1s2 2s2 2p2
silicio Z= 14, notación: 1s2 2s2 2p6 3s2 3p2
Consideraciones para sólidos con múltiples electrones
Su comportamiento es similar al modelo del átomo de hidrógeno, con algunos diferencias:
1. Los niveles de energía establecidos por el modelo de un solo
electrón (para una capa dada) son menores que los valores reales.
2. Los electrones con el mismo número cuántico n y con diferente
l no tienen los mismos valores de energía: electrones s (l=0) tienen menor energía que
electrones p (l=1)3. Electrones con los mismos números cuánticos n y l
pero con diferentes ml y ms tienen niveles de energía con
pequeñas diferencias.4. Teóricamente cada electrón en un sólido representa
un estado definido por los cuatro números cuánticos y tiene un nivel de energía diferente de cualquier otro electrón.
Consideraciones para sólidos con múltiples electrones
Esquemáticamente los niveles de energía serían:
Localización de los niveles de energía en un átomo simple
Sub-divisiones de los niveles de energía:
Supongamos ahora que acercamos átomos (del mismo elemento) que inicialmente están aislados a distancias comparables con el tamaño del átomo ?.
Supongamos que acercamos 5 átomos: hay un “split” de los niveles de energía para alojar todos los electrones:
n=3
n=2
n=1
R1 R2 R3 Separación atómica
energía
Sub-divisiones de los niveles de energía:
Tomemos ahora un átomo de silicio que tendría 14 niveles de energía correspondientes a 14 electrones. En un cm3 hay
Aproximadamente 1022 átomos, lo que significa que hay un “split” considerable de los niveles de energía, principalmente para los niveles más externos: 3s y 3p
SeparaciónReal de losátomos
3p
3s
Sub-divisiones de los niveles de energía:
En el caso de otro materiales como el cobre, se forma un continuo de energías permitidas, por ejemplo el Cu:
SeparaciónReal de losátomos
3p
4s
3d
La formación de las bandas de energía
Una evidencia de la formación de las bandas de energía es a través del modelo de Kronig-Penney
x
L
a
x=0
n=1n=2
n=3
W
L
Una evidencia de la formación de las bandas de energía aparece
En el modelo de Kronig-Penny
De acuerdo con las ecuaciones anteriores:
/L 2/L/L -/L
/L /L
La formación de las bandas de energía
El concepto de masa efectiva m* del electrón
Al someter a un campo eléctrico ξ, al electrón se le aplica una
fuerza qξ
se puede mostrar que dVg/dt = (42/h2) (d2E/dK2) qξ
aceleración masa efectiva (1/m*) fuerza
La masa efectiva esta dada por: (1/m*) = (42/h2) (d2E/dK2)
Ejercicio: deducir la expresión anterior para la masa efectiva del electrón libre
Tomando una parte de las solución del modelo de Kronig-Penny :
/L/L
Banda prohibida
Banda prohibidabanda1
banda2
banda3(1/m*)=(42/h2) (d2E/dK2)
Masa efectiva:
(1/m*)>0
(1/m*)<0
“hueco”
Sub-divisiones de los niveles de energía: formación de las bandas
Tomemos ahora un átomo de silicio que tendría 14 niveles de energía correspondientes a 14 electrones. En un cm3 hay
Aproximadamente 1022 átomos, lo que significa que hay un “split” considerable de los niveles de energía, principalmente para los niveles más externos: 3s y 3p
SeparaciónReal de losátomos
3p
3s
R0
energía
Energía prohibidaGap de energía
Silicio: gap=1.12eV a T=300 K
Diagrama deBandas deenergía
Sub-divisiones de los niveles de energía:
En el caso de materiales conductores como el cobre, se forma un continuo de energías permitidas, por ejemplo el Cu:
SeparaciónReal de losátomos
3p
4s
3d
R0
Energía
Separación en la red
Sub-divisiones de los niveles de energía:
En el caso de un material aislante como el SiO2:
SeparaciónReal de losátomos
Separación en la red
Energía
R0
SiO2
Gap: 8 eV
Diagrama deBandas deenergía
Diagrama de bandas de energía para el silicio:
Caso del silicio Se asume N átomos:
SeparaciónReal de losátomos
R0
Ro
3s
3pBanda deconducción
Banda deValencia
Características de los diagramas de bandas de energía para los semiconductores y aisladores:
- Existe una banda de energías prohibidas (“gap”) Estas energías no las pueden tomar los electrones pertenecientes a los átomos.
- La banda con mayor energía recibe el nombre de la banda de conducción.
- La banda siguiente, después de la banda prohibida se le denomina la banda de valencia.
Características de los diagramas de bandas de energía para los semiconductores y aisladores:
- El ancho ( en valores de energía) de la banda prohibida depende de varios factores:- La constante de la red.- Los niveles de energía alrededor de la banda
prohibida:Niveles bajos de energía producen bandas
angostas con“Gaps” anchos. Niveles altos de energía producen
bandas anchas con “gaps” angostos.- El ancho de “gap” (ventana de energías
prohibidas) decrece con al temperatura.
Dependencia del ancho del “Gap” con la temperatura para los semiconductores típicos:
Fuente: C. D., Thurmond, “The standard thermodynamic function of the formation of electrons and holes in Ge, Si, GaAs and GaP”, Journal of Electrchem. Society, 122, 1133 (1975)
Banda deconducción
Banda devalencia
Ec
EvEg
)()(
)0()(2
eVT
TEgTEg
Material Eg(0) Eg(300)
GaAs 1.519 5.405x10-4 204 1.422 Si 1.17 4.73x10-4 634 1.125 Ge 0.743 4.774x10-4 235 0.663
Nota: T es dada en grados kelvin
Masas efectivas
La masa efectiva es proporcional al segunda derivada de la
Energía con relación a K.
m* (d2E/dK2)-1
E E
KK
Eg Eg
EC
Ev
EC
Ev
K
GaAs Si
Observe: un electrón paraPasar de Ev a Ec dependiendodel material requiere adquirirun K además de E
Masa efectiva
Masa efectivas para los semiconductores más usados:
Si Ge GaAs
mn*/m0 1.18 0.55 0.065 mp*/m0 0.81 0.37 0.52
T = 300 Kelvin
Modelo de enlace covalente
Los 4 últimos electrones del Si son usados para formar un enlace covalente ( a temperatura muy baja) :
ElectronesDe valencia 4 (3s2 3p2)
Ec
EvBanda deValencia completamentellena