[CONTROL ADAPTATIVO] MITIT
Jaime Martínez Verdú | Introducción al control adaptativo. 1
Introducción al control adaptativo. La técnica del Control Adaptativo surge a partir de 1950 con el fin de dar solución a
problemas de control en los que las características del sistema a controlar son variables o poco
conocidas.
El término control adaptativo posee diversos significados pero, en términos generales,
implica que un sistema mida las características dinámicas de una planta (función de
transferencia o ecuación de estado) en forma continua y automática, las compare con las
características dinámicas deseadas y utilice la diferencia entre ambas para variar los
parámetros ajustables del sistema (estos parámetros suelen ser las características del
controlador) o genera una señal actuante, de modo que se mantenga un desempeño óptimo;
por tanto es capaz de acomodarse a modificaciones no predecibles de un medio, sean esos
cambios internos o externos al sistema, un esquema general es mostrado en la figura
siguiente.
Ilustración 1. Esquema general de un control adaptativo.
Si la función de transferencia G(s) o la ecuación de estado de una planta está
identificada continuamente, las variaciones que puedan aparecer en la función de
transferencia o en la ecuación de estado de la planta son compensadas sólo con modificar los
parámetros ajustables del controlador. De este modo, se obtiene un diseño continuado del
sistema bajo diversas condiciones ambientales y de degeneración, cuyo comportamiento será
satisfactorio independientemente de la situación.
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Tal método de adaptación es de gran utilidad para afrontar un problema en el cual la
planta se encuentre indefectiblemente expuesta a condiciones ambientales variables y de
envejecimiento, de manera que los parámetros de la planta variasen respecto al tiempo. Este
concepto es de gran interés para diseñadores de sistemas, ya que un sistema adaptativo,
además de aceptar modificaciones ambientales y por envejecimiento de los componentes,
admite errores de diseño de ingeniería o incertidumbre y es capaz de compensar las fallas de
componentes menores, incrementando así la confiabilidad del sistema.
A pesar de las utilidades del control adaptativo expuestas anteriormente, no son sólo
estas puesto que también se emplean para contrarrestar los aspectos negativos que induce el
carácter no lineal de los sistemas. Los problemas de control en los sistemas no lineales han
sido extensivamente estudiados en el pasado. No obstante, existe un gran interés en la
comprensión de la conducta de los sistemas no lineales en cuanto a la modelización e
identificación de la estructura y de los parámetros de tales sistemas cuando se diseña un
controlador adaptativo.
El Control adaptativo trata el problema de controlar la salida de la planta en presencia
de incertidumbres paramétricas o estructurales debidas a las no linealidades. En el control
adaptativo tradicional, para conseguir que un problema fuera tratable, la planta se suponía
lineal con parámetros desconocidos. Se escogía una estructura de controlador, y los
parámetros se ajustaban escogiendo una ley adaptativa, de modo que la salida de la planta
siguiera a la referencia asintóticamente.
En definitiva, las razones por las cuales se emplean técnicas de control donde el
controlador se adapta, es decir, los problemas a resolver empleando control adaptativo son:
Desconocimiento de cómo es exactamente la función de transferencia .
Somos incapaces de conocer los parámetros b o a, o éstas cambian con el tiempo.
Debido a:
o Cambio en las condiciones ambientales del sistema.
o Cambio en las propiedades de los componentes del sistema debido al
envejecimiento.
No linealidad de los sistemas físicos reales.
Clasificación de reguladores de Control Adaptativo Desde el principio de la tecnología de control adaptativo, se han propuesto dos clases
distintas de controladores adaptativos. Desde el principio de la tecnología adaptativa, se han
propuesto dos clases distintas de controladores adaptativos, directo e indirecto:
En el directo, los parámetros del controlador se ajustan directamente en base
a los datos de entrada-salida.
En el indirecto, los parámetros de la planta se estiman y se ajustan en base a
los datos de entrada-salida.
Existen una gran variedad de esquemas adaptativos dentro de estas dos clases, tales
como el Model Reference Adaptive Control (MRAC), Self-Tuning Adaptive Control (STAC), Self-
Organizing Fuzzy Logic (SOFLIC), Neural Networks (NN), y Neurofuzzy Adaptive Control (NAC).
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Para los procesos cuyos parámetros varían lentamente en el tiempo, los controladores
adaptativos con realimentación pueden ser divididos en dos grandes grupos:
MIAS: Sistemas adaptativos con identificación de modelo (Model Identification
Adaptive System).
MRAS: Sistemas adaptativos con modelo de referencia (Model Reference
Adaptive System)
Los sistemas adaptativos con identificación de modelo (MIAS) determinan un modelo
del proceso las medidas de entrada-salida y métodos de identificación. Aquí los parámetros
son calculados de acuerdo con un método de diseño del controlador programado con
anterioridad. Esta clase de reguladores adaptativos también se denomina “self-tuning
regulators”.
Los sistemas adaptativos con modelo de referencia (MRAS) intentan obtener una
respuesta en bucle cerrado próxima a la dada por el modelo de referencia para la señal de
entrada. Aquí una señal externa, por ejemplo la variable de referencia, es medida y la
diferencia entre las señales se forma usando las señales del bucle de control y del modelo de
referencia y cambiando los parámetros del controlador por medio de un método adaptativo.
(A)
(B)
(C)
Ilustración 2. Esquema de un MRAS (A) y de un MIAS (B y C).
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Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia Bajo este nombre se agrupan una serie de estrategias de control que tienen en común
como característica principal, el hacer uso explícito de un modelo del proceso, para obtener la
señal de control mediante la minimización de una cierta función de transferencia. En este
sentido forman parte de una familia más amplia, en la que se hace uso de un modelo del
proceso para diseñar el controlador: LQ, IMC, asignación de polos y ceros,...
Además de garantizar la operación estable de la planta, los controladores avanzados
de hoy en día han de satisfacer una serie de criterios adicionales u objetivos secundarios de
control: económicos, de seguridad, limitaciones físicas de los equipos, calidad del producto
final, regulaciones ambientales, preferencias humanas,... Muchos de estos modelos admiten
una representación matemática muy natural, bajo la forma de funciones objetivo dinámicas y
ligaduras dinámicas de tipo desigualdad.
Ventajas y características del Control Adaptativo MRAS El control adaptativo basado en modelo de referencia tiene las siguientes
características:
Uso explícito de un modelo para predecir las salidas futuras.
Cálculo de cierta secuencia que minimice cierta función objetivo.
El horizonte se va desplazando hacia el futuro, lo que implica la aplicación de la
primera señal de control calculada en cada paso.
Ventajas del control adaptativo basado en modelos sobre otros métodos:
Se puede aplicar con pocos conocimientos de control, porque los conceptos
son intuitivos y el sintonizado es relativamente sencillo.
Se puede utilizar para controlar una gran cantidad de procesos, tanto sencillos
como complejos; incluyendo sistemas con tiempos de retardo grandes y
sistemas de fase no mínima.
Se puede aplicar al caso multivariable.
El controlador resultante es una sencilla ley de control lineal.
Su extensión para tratar el caso con restricciones es conceptualmente sencilla
y puede ser incluida durante el diseño.
Es muy útil cuando las referencias futuras son conocidas.
Es una metodología abierta.
Diseño de reguladores de Control Adaptativo MRAS A partir de los cambios de pendiente del Bode podemos saber el número de polos y
ceros aproximadamente. Recordemos que el punto de funcionamiento o del sistema ya no es
válida la linearización del sistema por lo que hay que usar control adaptativo. Además, hemos
de recordar la necesidad de satisfacer las especificaciones técnicas: ts,Mp, ep. Supongamos un
ejemplo donde queremos que el sistema se comporte del siguiente modo:
Ecuación 1
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Por tanto, la función de transferencia Gm(s) representa el modelo deseado o Modelo
de referencia y cumple que:
- La salida del modelo será la salida que deseamos. - El mecanismo de ajuste tendrá unos parámetros sin definir: es lo que se va a adaptar.
Ilustración 3. Esquema del control adaptativo MRAS.
Regla del MIT
Ilustración 4. Regla del MIT empleada en un control adaptativo MRAS.
o Funciona bien pero es “peligroso”.
o ABTE es para solucionarlo.
o Es más complicado de diseñar.
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Ilustración 5. Comportamiento del error en un control adaptativo MRAS.
METODO DEL GRADIENTE
¿Cómo variar para min ?
Ecuación 2
Ecuación 3
Ecuación 4
Ilustración 6. Comportamiento del error empleando el método del gradiente.
DESARROLLO (UN PARÁMETRO)
Supongamos un modelo tal que éste sea el resultado de una ganancia de la planta
y que donde K desconocido. Supongamos que conocemos K:
Definamos donde realmente el parámetro K es un valor desconocido. A continuación, se determina la expresión del error, es decir, la diferencia entre la salida del modelo y la del sistema:
donde, y .
nos marca la velocidad de la pelota.
Si es muy grande, puede saltar de un lado a otro.
Si es muy pequeño, puede no darle tiempo a adaptarse.
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Ecuación 5
Si aplicamos el operador derivada a la ecuación anterior tenemos que:
Ecuación 6
Si calculamos la derivada temporal del parámetro theta tenemos lo siguiente:
Ecuación 7
Redefinimos el parámetro gamma de modo que la ecuación obtenida, en realidad
debe quedar de este modo:
Ecuación 8
donde el valor de gamma prima es el siguiente:
Ecuación 9
Transformando las expresiones al dominio de Laplace tenemos que la Ley de
Adaptación en Laplace es:
Ecuación 10
Ilustración 7. Obtención de la Ley de Adaptación.
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EJERCICIO
A continuación estudiaremos y analizaremos los reguladores MRAS empleando para
ello la siguiente función de transferencia:
Ecuación 11
Para estudiar en profundidad las características de estos reguladores empelaremos las
siguientes entradas:
- Entrada escalón (Step). - Senoidal (Sine Wave). - Pulsos (Pulse generator). - Señal aleatoria (Random Number).
Deberemos verificar lo siguiente:
o Comprobar si el sistema se inestabiliza para algún o Valor óptimo. Por ejemplo,
Para en seno se inestabiliza la salida. Para no se consigue "cazar" el seno.
o Representar el parámetro o Valor óptimo de
Cuando tengamos que el sistema se estabiliza desconectamos el mecanismo de
adaptación y ponemos una cota que será justamente el valor final de los parámetros. Para ello
se ha empleado el siguiente código donde tenemos :
K=1;sistema=tf(K*[1],[1 0.5]);Km=3;modelo=tf(Km*[1],[1 0.5]);
gamma=1; gamma=0.4; gamma=0.1;
Se ha llevado a cabo diferentes simulaciones buscando un parámetro gamma capaz de
dar un buen resultado para todas las señales. Se han obtenido diversas gráficas donde el color
azul representa la señal de salida y error procedente del modelo y el color verde representa la
señal de salida y error procedente del sistema regulado por un MRAC.
Se ha observado que para valores pequeños de gamma (0,1) los mejores resultados se
obtienen para la señal de entrada escalón y sinusoidal tal y como se muestra en la Ilustración
9. Se puede observar cómo, mientras que el sistema alcanza la salida deseada dentro de los
primeros 30 segundos para las entradas mencionadas, para las otras dos entradas tiene un mal
comportamiento puesto que ni durante 100 segundos es capaz de llegar a la salida deseada.
Por otro lado, para valores grandes de gamma (1) se obtienen los mejores resultados
del sistema para el escalón, la entrada de pulso y la señal aleatoria (Ilustración 11). En este
caso, se alcanzan los valores deseados dentro de los primeros 30 segundos. Sin embargo, para
la entrada sinusoidal se obtiene que el regulador inestabiliza el sistema.
Buscando un valor óptimo para todas las entradas se han obtenido resultados
aceptables para un parámetro gamma de 0.4, tal y como se muestra en la Ilustración 10,
donde a partir del minuto de simulación aproximadamente ya se alcanza la señal de salida
deseada. Se puede observar en todas las gráficas el valor en régimen permanente del
parámetro theta de 3.
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Ilustración 8. Esquema simulink para la comparación de diferentes señales de entrada.
theta para una senoidal
theta para una random
theta para un step
theta para un pulse
Uniform RandomNumber
Step Sine Wave
S sistema para una senoidal
S sistema para una random
S sistema para un step
S sistema para un pulse
S sistema
S modelo para una senoidal
S modelo para una random
S modelo para un step
S modelo para un pulse
S modelo
PulseGenerator
Product42
Product41
Product32
Product31
Product22
Product21
Product12
Product11
sistema
LTI System4 PLANTA
modelo
LTI System4 MODELO
sistema
LTI System3 PLANTA
modelo
LTI System3 MODELO
sistema
LTI System2 PLANTA
modelo
LTI System2 MODELO
sistema
LTI System1 PLANTA
modelo
LTI System1 MODELO
sistema
LTI System PLANTA
modelo
LTI System MODELO
1s
Integrator3
1s
Integrator2
1s
Integrator1
1s
Integrator
-gamma
Gain4
-gamma
Gain3
-gamma
Gain2
-gamma
Gain1
Km/K
GANANCIA
Error para una senoidal
Error para una random
Error para un step
Error para un pulse
Comparación para una senoidal
Comparación para una random
Comparación para un step
Comparación para un pulse
Comp Theta-Error para una senoidal
Comp Theta-Error para una random
Comp Theta-Error para un step
Comp Theta-Error para un pulse
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Ilustración 9. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 0,1.
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Ilustración 10. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 0,4.
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Ilustración 11. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 1.
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EJERCICIO
A continuación estudiaremos y analizaremos los reguladores MRAS empleando para
ello la siguiente función de transferencia:
Ecuación 12
Para estudiar en profundidad las características de estos reguladores empelaremos las
siguientes entradas:
- Entrada escalón (Step). - Senoidal (Sine Wave). - Pulsos (Pulse generator). - Señal aleatoria (Random Number).
Deberemos verificar lo siguiente:
o Comprobar si el sistema se inestabiliza para algún o Representar el parámetro o Valor óptimo de
Cuando tengamos que el sistema se estabiliza desconectamos el mecanismo de
adaptación y ponemos una cota que será justamente el valor final de los parámetros. Para ello
se ha empleado el siguiente código donde tenemos :
K=1; sistema=tf(K*[1 0.7],conv(conv([1 0.5],[1 1.5]),[1 2]));
Km=3; modelo=tf(Km*[1 0.7],conv(conv([1 0.5],[1 1.5]),[1 2]));
gamma=0.75; gamma=0.5; gamma=0.3;
: Aparece una situación de inestabilidad.
: Para las señales pulse generator y random no hay buen comportamiento.
: Obtenemos un resultado aceptable para todas las señales.
Se ha llevado a cabo diferentes simulaciones buscando un parámetro gamma capaz de
dar un buen resultado para todas las señales. Se han obtenido diversas gráficas donde el color
azul representa la señal de salida y error procedente del modelo y el color verde representa la
señal de salida y error procedente del sistema regulado por un MRAC.
Se ha observado que para valores pequeños de gamma (0,3) los mejores resultados se
obtienen para la señal de entrada escalón y sinusoidal tal y como se muestra en la Ilustración
14. Se puede observar cómo, mientras que el sistema alcanza la salida deseada dentro de los
primeros 30 segundos para las entradas mencionadas, para las otras dos entradas tiene un mal
comportamiento puesto que ni durante 100 segundos es capaz de llegar a la salida deseada.
Por otro lado, para valores grandes de gamma (0,75) se obtienen los mejores resultados del
sistema para el escalón, la entrada de pulso y la señal aleatoria (Ilustración 12). En este caso,
se alcanzan los valores deseados dentro de los primeros 30 segundos. Sin embargo, para las
entradas escalón y sinusoidal se obtiene que el regulador inestabiliza el sistema. Buscando un
valor óptimo para todas las entradas se han obtenido resultados aceptables para un
parámetro gamma de 0,5, tal y como se muestra en la Ilustración 13, donde a partir del minuto
y medio de simulación ya se alcanza la señal de salida deseada. Se puede observar en todas las
gráficas el valor en régimen permanente del parámetro theta de 3.
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Ilustración 12. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 0,75.
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Ilustración 13. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 0,5.
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Ilustración 14. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 0,3.
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DESARROLLO (DOS PARÁMETROS)
Supongamos un modelo y un sistema tal que éste sea las funciones de transferencia
del modelo y de la planta :
Ecuación 13
Ecuación 14
donde los parámetros a y b son desconocidos. Definamos los parámetros y donde realmente los parámetros a y b son valores desconocidos. A
continuación, se determina la expresión del control, es decir, la diferencia entre la salida del modelo y la señal de entrada, aplicando asignación de polos:
Ecuación 15
Aplicaremos la regla del MIT:
Ecuación 16
Y la definición de error:
Ecuación 17
De la función de transferencia en bucle cerrado del sistema con el controlador:
Ecuación 18
De la Ecuación de control , se tiene el siguiente resultado:
Ecuación 19
Remodelando la expresión se tiene que la salida en función de la señal de entrada
responde a la siguiente expresión:
Ecuación 20
A continuación, se procede con el cálculo de las derivadas respecto a los dos
parámetros para el error, sabiendo que y :
Ecuación 21
Ecuación 22
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Por otro lado, podemos obtener el valor de la derivada del primer parámetro theta
transformando la expresión del siguiente modo:
Ecuación 23
de donde Suponiendo que estamos cerca de la
situación de adaptación.
A continuación, se procede con el cálculo de las derivadas respecto al parámetro que
restaba:
Ecuación 24
Ecuación 25
Por otro lado, podemos obtener el valor de la derivada del segundo parámetro theta
transformando la expresión del siguiente modo:
Ecuación 26
Recapitulando, tenemos que:
Ecuación 27
Ecuación 28
Esto es lo mismo que:
Ecuación 29
Ecuación 30
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EJERCICIO
A continuación estudiaremos y analizaremos los reguladores MRAS empleando para
ello la siguiente función de transferencia:
Ecuación 31
Ecuación 32
Para estudiar en profundidad las características de estos reguladores empelaremos las
siguientes entradas:
- Senoidal (Sine Wave). Frec=0’5 Rad/s
A=1
- Pulsos (Pulse generator). Amp=2
10 20
20 s
o Comprobar si el sistema se inestabiliza para algún o Valor óptimo. Por ejemplo,
Para en seno se inestabiliza la salida. Para no se consigue "cazar" el seno.
o Representar el parámetro y o Valor óptimo de
Luego probamos con a muy distinto de o b muy distinto de .
Deberemos verificar lo siguiente:
Cuando tengamos que el sistema se estabiliza desconectamos el mecanismo de
adaptación y ponemos una cota que será justamente el valor final de los parámetros. Para ello
se ha empleado el siguiente código donde tenemos y donde
realmente los parámetros a y b son valores desconocidos:
a=1;b=0.5;am=2;bm=2;
porasig_sistema=tf([b],[1 a]);porasig_modelo=tf([bm],[1 am]);
gamma=0.30;gamma=0.95;gamma=4.95;
gamma=9.95;gamma=19.95;gamma=99.95;
Se ha llevado a cabo diferentes simulaciones buscando un parámetro gamma capaz de
dar un buen resultado para todas las señales. Se han obtenido diversas gráficas donde el color
azul representa la señal de salida procedente del modelo y el verde aquella procedente del
sistema regulado. En las gráficas de la derecha el color azul y verde representan a los
parámetros y , respectivamente, y el color rojo al error procedente del sistema regulado
por un MRAC.
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Se ha observado que para valores pequeños de gamma (0,3) los mejores resultados se
obtienen para la señal sinusoidal tal y como se muestra en la Ilustración 16. Se puede observar
cómo, mientras que el sistema alcanza la salida deseada para la entrada mencionada, para las
otras dos entradas tiene un mal comportamiento puesto que ni durante 100 segundos es
capaz de llegar a la salida deseada.
Por otro lado, para valores grandes de gamma (19,95 y 99,95) se obtienen los mejores
resultados del sistema para el random, (Ilustración 20 e Ilustración 21). En este caso, se
alcanzan los valores deseados dentro de los primeros 30 segundos. Sin embargo, para la
entrada sinusoidal se obtiene que el regulador no consigue estabilizar los parámetros.
Buscando un valor óptimo para todas las entradas se han obtenido resultados
aceptables para un parámetro gamma de 9,95, tal y como se muestra en la Ilustración 19,
donde a partir del minuto de simulación aproximadamente ya se alcanza la señal de salida
deseada. Se puede observar en todas las gráficas el valor en régimen permanente del
parámetro theta 1 de 4 y theta 2 de 2: y .
Ahora probamos con a muy distinto de o b muy distinto de .
Para ello se ha empleado el siguiente valor donde tenemos y
donde realmente los parámetros a y b son valores desconocidos: a = 10.
En definitiva, se obtiene que los resultados son peores puesto que el sistema necesita
más tiempo para ir a los valores del sistema puesto que ahora están más “lejos” y por lo tanto,
necesitamos más tiempo o mejor gamma.
Se ha llevado a cabo diferentes simulaciones buscando un parámetro gamma capaz de
dar un buen resultado para todas las señales. Se han obtenido diversas gráficas donde el color
azul representa la señal de salida procedente del modelo y el verde aquella procedente del
sistema regulado. En las gráficas de la derecha el color azul y verde representan a los
parámetros y , respectivamente, y el color rojo al error procedente del sistema regulado
por un MRAC.
Se ha observado que para valores pequeños de gamma (0,3) los mejores resultados se
obtienen para la señal sinusoidal. Se puede observar cómo, mientras que el sistema alcanza la
salida deseada para la entrada mencionada, para las otras dos entradas tiene un mal
comportamiento puesto que ni durante 100 segundos es capaz de llegar a la salida deseada.
El MRAS se basa en la idea de llevar el error e = Y –Ym a cero. Esto no implica
necesariamente que los parámetros del regulador sean los valores correctos. El caso cuando la
señal de entrada es cero es un contra ejemplo típico. Buscando un valor óptimo para todas las
entradas se han obtenido resultados aceptables para un parámetro gamma de 9,95, tal y como
se muestra en la Ilustración 19, donde a partir del minuto de simulación aproximadamente ya
se alcanza la señal de salida deseada. Se puede observar en todas las gráficas el valor en
régimen permanente del parámetro theta 1 de 4 y theta 2 de 2: y
.
[CONTROL ADAPTATIVO] MITIT
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Ilustración 15. Esquema simulink para la comparación de diferentes señales de entrada.
theta32
theta31
theta22
theta21
theta12
theta11
Uniform Random
Number
1
s+am
Transfer Fcn5
1
s+am
Transfer Fcn4
1
s+am
Transfer Fcn3
1
s+am
Transfer Fcn2
1
s+am
Transfer Fcn1
1
s+am
Transfer Fcn
Sine Wave2
S sistema para un seno
S sistema para un RandomS sistema para un Pulse
S modelo para un seno
S modelo para un RandomS modelo para un Pulse
Pulse
Generator
Product9
Product8
Product7
Product6
Product17
Product16
Product15
Product14
Product13
Product12
Product11
Product10
porasig_sistema
LTI System9
porasig_modelo
LTI System8
porasig_sistema
LTI System13
porasig_modelo
LTI System12
porasig_sistema
LTI System11
porasig_modelo
LTI System10
1
s
Integrator8
1
s
Integrator7
1
s
Integrator6
1
s
Integrator5
1
s
Integrator4
1
s
Integrator3
gamma
Gain9
-gamma
Gain8
gamma
Gain7
-gamma
Gain6
gamma
Gain5
-gamma
Gain4
Error para un seno
Error para un Random
Error para un Pulse
Comparación para un seno
Comparación para un Random
Comparación para un Pulse
Comparación para theta-Error para un seno
Comparación para theta-Error para un randomComparación para theta-Error para un pulse
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Ilustración 16. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 0,3.
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Ilustración 17. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 0,95.
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Ilustración 18. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 4,95.
[CONTROL ADAPTATIVO] MITIT
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Ilustración 19. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 9,95.
[CONTROL ADAPTATIVO] MITIT
Jaime Martínez Verdú | Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia 26
Ilustración 20. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 19,95.
[CONTROL ADAPTATIVO] MITIT
Jaime Martínez Verdú | Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia 27
Ilustración 21. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 99,95.
[CONTROL ADAPTATIVO] MITIT
Jaime Martínez Verdú | Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia 28
Ilustración 22. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 0,3.
[CONTROL ADAPTATIVO] MITIT
Jaime Martínez Verdú | Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia 29
Ilustración 23. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 0,95.
[CONTROL ADAPTATIVO] MITIT
Jaime Martínez Verdú | Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia 30
Ilustración 24. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 4,95.
[CONTROL ADAPTATIVO] MITIT
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Ilustración 25. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 9,95.
[CONTROL ADAPTATIVO] MITIT
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Ilustración 26. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 19,95.
[CONTROL ADAPTATIVO] MITIT
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Ilustración 27. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 99,95.
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Diseño de reguladores MRAS basados en Teoría de la Estabilidad Una forma de lograr el ajuste de parámetros en un MRAS es intentar leyes de ajuste
tales que garanticen que el error vaya a cero.
El problema consiste en encontrar una ley de realimentación tal que e = y – ym tienda
a cero y que esta condición esté garantizada.
TEORÍA DE LA ESTABILIDAD DE LYAPUNOV
En matemáticas, la noción de estabilidad de Lyapunov se da en el estudio de los
sistemas dinámicos.
De manera sencilla, si todas las soluciones de un sistema dinámico descrito por una
función X(t) que se encuentre cerca de un punto de equilibrio Xo en una vecindad acotada por
T, entonces las trayectorias de la función X(t) son estables según Lyapunov.
De manera fuerte, si la solución comienza en la vecindad de X(0) y converge a Xo,
entonces X(t) es asintóticamente estable en el sentido de Lyapunov.
2º TEOREMA DE LA ESTABILIDAD DE LYAPUNOV
Lyapunov introdujo un método directo para investigar la estabilidad de una solución
particular de ecuaciones diferenciales no lineales.
El equilibrio x = 0 es estable si se puede encontrar una función real en el espacio de
estado cuyas curvas de nivel encierran el equilibrio tal que las derivadas de los variables de
estado siempre apunten al interior de las curvas de nivel.
Ilustración 28. Representación de las curvas de nivel que encierran el equilibrio.
Dada la ecuación diferencial en variables de estado:
Ecuación 33
donde x es vector de estado de dimensión n, f es una función tal que la solución existe
para todo t ≥ to. El punto de equilibrio es el origen y, aunque esto parezca restrictivo, se puede
lograr siempre cualquier punto del espacio con una sencilla transformación de coordenadas.
[CONTROL ADAPTATIVO] MITIT
Jaime Martínez Verdú | Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia 35
Si existe una función V que cumple:
1) Ecuación 34
2) es diferenciable en y
3) es definida positiva: Ecuación 35
Ecuación 36
Ecuación 37
Esto viene a decir que el sistema va a
tender a x=0 si se cumplen las
condiciones del 2º Teorema.
Una condición suficiente para garantizar que el equilibrio x = 0 es asintóticamente
estable es que la función:
Ecuación 38
, es decir debe ser definida negativa. En el caso del control adoptable solo se
exige que sea semidefinida negativa. Esto implica que se impone una condición
adicional sobre el sistema:
Lema (convergencia).
Si g es una función real de una variable real t, definida y uniformemente continua para
t > 0, y si el límite de la integral:
Ecuación 39
Cuando t tiende a infinitivo existe y es un número finito, entonces:
Ecuación 40
La condición suficiente de estabilidad del punto
de equilibrio x=0 es que sea definida
negativa.
[CONTROL ADAPTATIVO] MITIT
Jaime Martínez Verdú | Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia 36
DESARROLLO
Recordemos nuestro sistema:
SISTEMA
MODELO
Definamos los siguientes parámetros de modo que deseamos que el error tienda a
cero :
Ecuación 41
Ecuación 42
Ecuación 43
Asumiremos que la función definida antes como V es el error e. Calculamos:
Ecuación 44
Obtenemos el valor de la derivada del error del siguiente modo:
Ecuación 45
A partir de la función de transferencia obtenemos la derivada de la salida:
Ecuación 46
A partir de la función de transferencia obtenemos la derivada de la salida:
[CONTROL ADAPTATIVO] MITIT
Jaime Martínez Verdú | Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia 37
Se intenta que aparezca e
Sumo y resto
Ecuación 47
El siguiente paso consiste en encontrar una función V (función candidata de Lyapunov)
adecuada para el problema:
Ecuación 48
Cumple las tres primeras condiciones: ES CANDIDATA.
1- Si e = 0
e2=0 .
2- Si y existe.
3- Si 2 0
¿ es definida negativa?
Ecuación 49
[CONTROL ADAPTATIVO] MITIT
Jaime Martínez Verdú | Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia 38
Con esto se anulan los dos factores:
Ecuación 50
Ecuación 51
Obtenemos los siguientes resultados:
Ecuación 52
Ecuación 53
Ecuación 54
Se tiene que:
(Definida negativa) Ecuación 55
La función V será decreciente si el error es diferente de cero; y el error irá a cero.
Notemos sin embargo, que esto no significa que los parámetros y converjan a los valores
de equilibrio a menos que se impongan otras condiciones. La regla obtenida es similar a la
regla MIT, pero las derivadas de sensibilidad son remplazadas por otras señales.
[CONTROL ADAPTATIVO] MITIT
Jaime Martínez Verdú | Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia 39
EJERCICIO
A continuación estudiaremos y analizaremos los reguladores MRAS empleando para
ello la siguiente función de transferencia:
Ecuación 56
Ecuación 57
Para estudiar en profundidad las características de estos reguladores empelaremos las
siguientes entradas:
- Escalón. - Senoidal (Sine Wave). - Pulsos (Pulse generator). - Random. - Repeating sequence.
o Comprobar si el sistema tarda menos tiempo en alcanzar la señal. Deberemos verificar lo siguiente:
a=1;b=0.5;am=2;bm=2;
porasig_sistema=tf([b],[1 a]);porasig_modelo=tf([bm],[1 am]);
gamma=2;gamma=10;gamma=20;
Se ha llevado a cabo diferentes simulaciones buscando un parámetro gamma capaz de
dar un buen resultado para todas las señales. Se han obtenido diversas gráficas donde el color
azul representa la señal de salida procedente del modelo y el verde aquella procedente del
sistema regulado. En las gráficas inferiores aparecen los resultados para el nuevo método.
Se observa claramente que el nuevo método desarrollado es más rápido para todas las
entradas.
[CONTROL ADAPTATIVO] MITIT
Jaime Martínez Verdú | Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia 40
Ilustración 29. Esquema simulink para la comparación de diferentes señales de entrada.
thetaL52
thetaL51
thetaL42
thetaL41
thetaL32
thetaL31
thetaL22
thetaL21
thetaL12
thetaL11
theta52
theta51
theta42
theta41
theta32
theta31
theta22
theta21
theta12
theta11
Uniform Random
Number
1
s+am
Transfer Fcn9
1
s+am
Transfer Fcn8
1
s+am
Transfer Fcn7
1
s+am
Transfer Fcn6
1
s+am
Transfer Fcn5
1
s+am
Transfer Fcn4
1
s+am
Transfer Fcn3
1
s+am
Transfer Fcn2
1
s+am
Transfer Fcn1
1
s+am
Transfer Fcn
Step1
Step
Sine Wave1
Sine Wave
S sistema9S sistema8
S sistema7
S sistema6S sistema5S sistema4
S sistema3
S sistema2
S sistema10
S sistema1
S modelo9S modelo8
S modelo7
S modelo6S modelo5S modelo4
S modelo3
S modelo2
S modelo10
S modelo1
Repeating
Sequence
Pulse
Generator
Product9
Product8
Product7
Product6 Product5
Product40
Product4
Product39
Product38
Product37
Product36
Product35
Product34
Product33
Product32
Product31
Product30
Product3
Product29
Product28
Product27
Product26
Product25
Product24
Product23
Product22
Product21
Product20
Product2
Product19
Product18
Product17
Product16
Product15
Product14
Product13
Product12
Product11
Product10 Product1
???
LTI System9
???
LTI System8
???
LTI System7
???
LTI System6
???
LTI System5
???
LTI System4
???
LTI System3
???
LTI System20
???
LTI System2
???
LTI System19
???
LTI System18
???
LTI System17
???
LTI System16
???
LTI System15
???
LTI System14
???
LTI System13
???
LTI System12
???
LTI System11
???
LTI System10
???
LTI System1
1
s
Integrator9
1
s
Integrator8
1
s
Integrator7
1
s
Integrator6
1
s
Integrator5
1
s
Integrator4
1
s
Integrator3
1
s
Integrator20
1
s
Integrator2
1
s
Integrator19
1
s
Integrator18
1
s
Integrator17
1
s
Integrator16
1
s
Integrator15
1
s
Integrator14
1
s
Integrator13
1
s
Integrator12
1
s
Integrator11
1
s
Integrator10
1
s
Integrator1
gamma
Gain9
-gamma
Gain8
gamma
Gain7
-gamma
Gain6
gamma
Gain5
-gamma
Gain4
-gamma
Gain3
gamma
Gain20
gamma
Gain2
-gamma
Gain19
gamma
Gain18
-gamma
Gain17
gamma
Gain16
-gamma
Gain15
gamma
Gain14
-gamma
Gain13
gamma
Gain12
gamma
Gain11
-gamma
Gain10
-gamma
Gain1
Error9Error8
Error7Error6
Error5Error4
Error3 Error2
Error10
Error1
Comparación9Comparación8
Comparación7Comparación6
Comparación5Comparación4Comparación3 Comparación2
Comparación10
Comparación1
[CONTROL ADAPTATIVO] MITIT
Jaime Martínez Verdú | Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia 41
Ilustración 30. Esquema simulink para la comparación de diferentes señales de entrada P 1.
thetaL52
thetaL51
thetaL42
thetaL41
thetaL32
thetaL31
thetaL22
thetaL21
thetaL12
thetaL11
theta52
theta51
theta42
theta41
theta32
theta31
theta22
theta21
theta12
theta11
Uniform Random
Number
1
s+am
Transfer Fcn9
1
s+am
Transfer Fcn8
1
s+am
Transfer Fcn7
1
s+am
Transfer Fcn6
1
s+am
Transfer Fcn5
1
s+am
Transfer Fcn4
1
s+am
Transfer Fcn3
1
s+am
Transfer Fcn2
1
s+am
Transfer Fcn1
1
s+am
Transfer Fcn
Step1
Step
Sine Wave1
Sine Wave
S sistema9S sistema8
S sistema7
S sistema6S sistema5S sistema4
S sistema3
S sistema2
S sistema10
S sistema1
S modelo9S modelo8
S modelo7
S modelo6S modelo5S modelo4
S modelo3
S modelo2
S modelo10
S modelo1
Repeating
Sequence
Pulse
Generator
Product9
Product8
Product7
Product6 Product5
Product40
Product4
Product39
Product38
Product37
Product36
Product35
Product34
Product33
Product32
Product31
Product30
Product3
Product29
Product28
Product27
Product26
Product25
Product24
Product23
Product22
Product21
Product20
Product2
Product19
Product18
Product17
Product16
Product15
Product14
Product13
Product12
Product11
Product10 Product1
???
LTI System9
???
LTI System8
???
LTI System7
???
LTI System6
???
LTI System5
???
LTI System4
???
LTI System3
???
LTI System20
???
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???
LTI System19
???
LTI System18
???
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???
LTI System16
???
LTI System15
???
LTI System14
???
LTI System13
???
LTI System12
???
LTI System11
???
LTI System10
???
LTI System1
1
s
Integrator9
1
s
Integrator8
1
s
Integrator7
1
s
Integrator6
1
s
Integrator5
1
s
Integrator4
1
s
Integrator3
1
s
Integrator20
1
s
Integrator2
1
s
Integrator19
1
s
Integrator18
1
s
Integrator17
1
s
Integrator16
1
s
Integrator15
1
s
Integrator14
1
s
Integrator13
1
s
Integrator12
1
s
Integrator11
1
s
Integrator10
1
s
Integrator1
gamma
Gain9
-gamma
Gain8
gamma
Gain7
-gamma
Gain6
gamma
Gain5
-gamma
Gain4
-gamma
Gain3
gamma
Gain20
gamma
Gain2
-gamma
Gain19
gamma
Gain18
-gamma
Gain17
gamma
Gain16
-gamma
Gain15
gamma
Gain14
-gamma
Gain13
gamma
Gain12
gamma
Gain11
-gamma
Gain10
-gamma
Gain1
Error9Error8
Error7Error6
Error5Error4
Error3 Error2
Error10
Error1
Comparación9Comparación8
Comparación7Comparación6
Comparación5Comparación4Comparación3 Comparación2
Comparación10
Comparación1
[CONTROL ADAPTATIVO] MITIT
Jaime Martínez Verdú | Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia 42
Ilustración 31. Esquema simulink para la comparación de diferentes señales de entrada P 2.
thetaL52
thetaL51
thetaL42
thetaL41
thetaL32
thetaL31
thetaL22
thetaL21
thetaL12
thetaL11
theta52
theta51
theta42
theta41
theta32
theta31
theta22
theta21
theta12
theta11
Uniform Random
Number
1
s+am
Transfer Fcn9
1
s+am
Transfer Fcn8
1
s+am
Transfer Fcn7
1
s+am
Transfer Fcn6
1
s+am
Transfer Fcn5
1
s+am
Transfer Fcn4
1
s+am
Transfer Fcn3
1
s+am
Transfer Fcn2
1
s+am
Transfer Fcn1
1
s+am
Transfer Fcn
Step1
Step
Sine Wave1
Sine Wave
S sistema9S sistema8
S sistema7
S sistema6S sistema5S sistema4
S sistema3
S sistema2
S sistema10
S sistema1
S modelo9S modelo8
S modelo7
S modelo6S modelo5S modelo4
S modelo3
S modelo2
S modelo10
S modelo1
Repeating
Sequence
Pulse
Generator
Product9
Product8
Product7
Product6 Product5
Product40
Product4
Product39
Product38
Product37
Product36
Product35
Product34
Product33
Product32
Product31
Product30
Product3
Product29
Product28
Product27
Product26
Product25
Product24
Product23
Product22
Product21
Product20
Product2
Product19
Product18
Product17
Product16
Product15
Product14
Product13
Product12
Product11
Product10 Product1
???
LTI System9
???
LTI System8
???
LTI System7
???
LTI System6
???
LTI System5
???
LTI System4
???
LTI System3
???
LTI System20
???
LTI System2
???
LTI System19
???
LTI System18
???
LTI System17
???
LTI System16
???
LTI System15
???
LTI System14
???
LTI System13
???
LTI System12
???
LTI System11
???
LTI System10
???
LTI System1
1
s
Integrator9
1
s
Integrator8
1
s
Integrator7
1
s
Integrator6
1
s
Integrator5
1
s
Integrator4
1
s
Integrator3
1
s
Integrator20
1
s
Integrator2
1
s
Integrator19
1
s
Integrator18
1
s
Integrator17
1
s
Integrator16
1
s
Integrator15
1
s
Integrator14
1
s
Integrator13
1
s
Integrator12
1
s
Integrator11
1
s
Integrator10
1
s
Integrator1
gamma
Gain9
-gamma
Gain8
gamma
Gain7
-gamma
Gain6
gamma
Gain5
-gamma
Gain4
-gamma
Gain3
gamma
Gain20
gamma
Gain2
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Gain19
gamma
Gain18
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Gain17
gamma
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Gain15
gamma
Gain14
-gamma
Gain13
gamma
Gain12
gamma
Gain11
-gamma
Gain10
-gamma
Gain1
Error9Error8
Error7Error6
Error5Error4
Error3 Error2
Error10
Error1
Comparación9Comparación8
Comparación7Comparación6
Comparación5Comparación4Comparación3 Comparación2
Comparación10
Comparación1
[CONTROL ADAPTATIVO] MITIT
Jaime Martínez Verdú | Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia 43
Ilustración 32. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 2.
[CONTROL ADAPTATIVO] MITIT
Jaime Martínez Verdú | Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia 44
Ilustración 33. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 10.
[CONTROL ADAPTATIVO] MITIT
Jaime Martínez Verdú | Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia 45
Ilustración 34. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 10.
[CONTROL ADAPTATIVO] MITIT
Jaime Martínez Verdú | Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia 46
Ilustración 35. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 10.
[CONTROL ADAPTATIVO] MITIT
Jaime Martínez Verdú | Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia 47
Ilustración 36. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 20.
[CONTROL ADAPTATIVO] MITIT
Jaime Martínez Verdú | Referencias 48
Referencias 1. Goodwin, G. Sin: Adaptive Filtering, Prediction and Control, Prentice Hall – 1984.
2. Bellman, R.: Adaptive Control Processes: A Guided Tour, Princeton University – 1961
3. Äström, K., Hägglung: Automatic Tuning of PID Controllers, ISA – 1988
4. Äström, K., Wittenmark: Adaptive Control, Prentice Hall – 1989
5. CAMACHO, E., BORDONS, C. Model Predictive Control. Springer-Verlag, 2007.
6. NARENDRA, K.S., ANNASWAMY, A.M. Stable Adaptive Systems. Prentice Hall, 1989.
[CONTROL ADAPTATIVO] MITIT
Jaime Martínez Verdú | Tabla de contenidos 49
Tabla de contenidos Introducción al control adaptativo. ............................................................................................... 1
Clasificación de reguladores de Control Adaptativo .................................................... 2
Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia .................................................................. 4
Ventajas y características del Control Adaptativo MRAS ............................................. 4
Diseño de reguladores de Control Adaptativo MRAS .................................................. 4
Regla del MIT ............................................................................................................ 5
METODO DEL GRADIENTE ........................................................................................ 6
DESARROLLO (UN PARÁMETRO) .............................................................................. 6
EJERCICIO .................................................................................................................. 8
EJERCICIO ................................................................................................................ 13
DESARROLLO (DOS PARÁMETROS) ........................................................................ 17
EJERCICIO ................................................................................................................ 19
Diseño de reguladores MRAS basados en Teoría de la Estabilidad ........................... 34
TEORÍA DE LA ESTABILIDAD DE LYAPUNOV ........................................................... 34
2º TEOREMA DE LA ESTABILIDAD DE LYAPUNOV ................................................... 34
DESARROLLO .......................................................................................................... 36
EJERCICIO ................................................................................................................ 39
Referencias .................................................................................................................................. 48
Tabla de contenidos .................................................................................................................... 49
Tabla de ilustraciones .................................................................................................................. 50
Tabla de ecuaciones .................................................................................................................... 51
[CONTROL ADAPTATIVO] MITIT
Jaime Martínez Verdú | Tabla de ilustraciones 50
Tabla de ilustraciones Ilustración 1. Esquema general de un control adaptativo. ........................................................... 1
Ilustración 2. Esquema de un MRAS (A) y de un MIAS (B y C). ..................................................... 3
Ilustración 3. Esquema del control adaptativo MRAS. .................................................................. 5
Ilustración 4. Regla del MIT empleada en un control adaptativo MRAS. ..................................... 5
Ilustración 5. Comportamiento del error en un control adaptativo MRAS. ................................. 6
Ilustración 6. Comportamiento del error empleando el método del gradiente. .......................... 6
Ilustración 7. Obtención de la Ley de Adaptación......................................................................... 7
Ilustración 8. Esquema simulink para la comparación de diferentes señales de entrada. ........... 9
Ilustración 9. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 0,1. .................... 10
Ilustración 10. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 0,4. .................. 11
Ilustración 11. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 1. ..................... 12
Ilustración 12. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 0,75. ................ 14
Ilustración 13. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 0,5. .................. 15
Ilustración 14. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 0,3. .................. 16
Ilustración 15. Esquema simulink para la comparación de diferentes señales de entrada. ....... 21
Ilustración 16. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 0,3. .................. 22
Ilustración 17. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 0,95. ................ 23
Ilustración 18. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 4,95. ................ 24
Ilustración 19. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 9,95. ................ 25
Ilustración 20. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 19,95. .............. 26
Ilustración 21. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 99,95. .............. 27
Ilustración 22. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 0,3. .................. 28
Ilustración 23. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 0,95. ................ 29
Ilustración 24. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 4,95. ................ 30
Ilustración 25. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 9,95. ................ 31
Ilustración 26. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 19,95. .............. 32
Ilustración 27. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 99,95. .............. 33
Ilustración 28. Representación de las curvas de nivel que encierran el equilibrio. .................... 34
Ilustración 29. Esquema simulink para la comparación de diferentes señales de entrada. ....... 40
Ilustración 30. Esquema simulink para la comparación de diferentes señales de entrada P 1. . 41
Ilustración 31. Esquema simulink para la comparación de diferentes señales de entrada P 2. . 42
Ilustración 32. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 2. ..................... 43
Ilustración 33. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 10. ................... 44
Ilustración 34. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 10. ................... 45
Ilustración 35. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 10. ................... 46
Ilustración 36. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 20. ................... 47
[CONTROL ADAPTATIVO] MITIT
Jaime Martínez Verdú | Tabla de ecuaciones 51
Tabla de ecuaciones Ecuación 1 ........................................................................... 4
Ecuación 2 ......................................................................... 6
Ecuación 3 ..................................................................................................... 6
Ecuación 4 ...................................................................................... 6
Ecuación 5 ....................................................................................... 7
Ecuación 6 ............................................................................................. 7
Ecuación 7 ................................................................................. 7
Ecuación 8 ......................................................................................... 7
Ecuación 9 ................................................................................................. 7
Ecuación 10 ....................................................................................... 7
Ecuación 11 ........................................................................................... 8
Ecuación 12 .......................................................... 13
Ecuación 13 ............................................................................................ 17
Ecuación 14 ................................................................................. 17
Ecuación 15 .......................................................................... 17
Ecuación 16 ................................................................................ 17
Ecuación 17............................................................................................. 17
Ecuación 18 ................................................................................ 17
Ecuación 19 .............................................................. 17
Ecuación 20 ................................................................. 17
Ecuación 21 .................................................................. 17
Ecuación 22 .................................................................. 17
Ecuación 23 ................................................................. 18
Ecuación 24 .................................................................. 18
Ecuación 25 ...................................................... 18
Ecuación 26 ..................................................................... 18
Ecuación 27 ....................................................................... 18
Ecuación 28 ....................................................................... 18
Ecuación 29 ........................................................................ 18
Ecuación 30 ........................................................................ 18
Ecuación 31 ......................................................................................... 19
Ecuación 32 ........................................................................................ 19
Ecuación 33 ................................................................................ 34
1) Ecuación 34 .................................................................................... 35
3) es definida positiva: Ecuación 35 ..................................................................... 35
Ecuación 36 .................................................................................... 35
Ecuación 37 ................................................................................................. 35
Ecuación 38 ..................................... 35
Ecuación 39 ................................................................................................. 35
Ecuación 40 .................................................................................... 35
Ecuación 41 ....................................................................................... 36
Ecuación 42 ............................................................................................... 36
Ecuación 43 ........................................................................................ 36
Ecuación 44 ................................................................................................ 36
[CONTROL ADAPTATIVO] MITIT
Jaime Martínez Verdú | Tabla de ecuaciones 52
Ecuación 45 ...................................................... 36
Ecuación 46 .................................................................................... 36
Ecuación 47 ................................ 37
Ecuación 48 ............ 37
Ecuación 49 .. 37
Ecuación 50 .............................................................................................. 38
Ecuación 51 ................................................................................................ 38
Ecuación 52 ......................................................................................... 38
Ecuación 53 .......................................................................................... 38
Ecuación 54 ............................................................................................. 38
(Definida negativa) Ecuación 55 .................................................. 38
Ecuación 56 ......................................................................................... 39
Ecuación 57 ........................................................................................ 39
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