CURSO BSICO DE MATEMTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didctica 5. Geometra en el plano
Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguilln, Trinidad Zabal
Proyecto de innovacin ARAGN TRES 1
PARBOLA
Una parbola es el conjunto de puntos que equidistan de un punto F, llamado foco, y de una recta d, llamada directriz.
Para obtener la ecuacin reducida de la parbola, se considera como foco el punto F = (2p
, 0) y
como directriz la recta vertical x = - 2p
El punto X = (x, y) del plano pertenecer a la parbola si verifica d(X, F) = d(X, recta directriz), es
decir, si 2
2 - + 2p
x y = x + 2p
. Realizando operaciones, se obtiene y2 = 2px
Se llama eje de una parbola a su eje de simetra y vrtice al punto de la parbola que pertenece al eje.
El eje de la parbola y2 = 2px es el eje de abscisas o eje OX y el vrtice es el origen de coordenadas.
Ejemplo 5: Escribir la ecuacin de la parbola que tiene por foco el punto (5, 0) y vrtice en el origen.
Al estar el vrtice en el origen y el foco en el eje de abscisas la ecuacin de la hiprbola es y2 = 2px con p
2= 5, es decir p =
= 10. As, la ecuacin es y2 = 20x.
A continuacin se ven algunas parbolas que vienen definidas por polinomios de segundo grado:
Parbolas de eje vertical El conjunto de puntos (x, y) del plano relacionados mediante un polinomio de segundo grado de la forma y = ax2 + bx + c es una parbola de eje vertical y viceversa.
La parbola y = ax2 + bx + c tiene por eje la recta vertical x = -2ba
, y el vrtice es el punto de
interseccin de la parbola y su eje.
Notar que si a > 0 las ramas de la parbola van hacia arriba y que si a < 0 las ramas de la parbola van hacia abajo.
CURSO BSICO DE MATEMTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didctica 5. Geometra en el plano
Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguilln, Trinidad Zabal
Proyecto de innovacin ARAGN TRES 2
Ejemplo 6: La parbola y = 3x2 - 12x + 8 tiene por eje la recta x = 12
2.3
= 2 y por vrtice el punto (2, -4)
Parbolas de eje horizontal El conjunto de puntos (x, y) del plano relacionados mediante un polinomio de segundo grado de la forma x = ay2 + by + c es una parbola de eje horizontal y viceversa.
La parbola x = ay2 + by + c tiene por eje la recta horizontal y = -2ba
, y el vrtice es el punto de
interseccin de la parbola y su eje.
Ejemplo 7: La parbola x = y2 - 6y + 5 tiene por eje la recta y = 6
2
= 3 y por vrtice el punto (-4, 3)