Conservación de la energía
El trabajo es el cambio en la energía cinética de un sistema
2A2
12B2
1
B
A
mvmvrdFT
Cuando la fuerza que actúa sobre una partícula es conservativa el trabajo es la diferencia en la energía potencial del sistema
Entonces,
BUAUmvmv 2A2
12B2
1
Por lo tanto, AUmvBUmv 2
A212
B21
AB2A2
12B2
1 EEAUmvBUmv
tetanconsUmvE 221
energía total del sistema se conserva.
Ejemplo. Determinar la altura mínima desde la cual un objeto debiera empezar a moverse, de manera que pueda completar el recorrido por un rizo circular de radio R, ver la figura. Desprecie la fricción.
h
A
O
R
B
FF
FF
F
P
P
P
P
P
v
v
v v
v=0
Respuesta: Supongamos que el objeto es soltado desde el punto A, a una altura h sobre la base del rizo, como se ilustra en la figura.
h
A
O
R
B
FF
FF
F
P
P
P
P
P
v
v
v v
v=0
El objeto, parte del reposo y por efecto de la gravedad, empieza a moverse aumentando su velocidad hasta que llega al punto más bajo del rizo, a partir del cual empieza a disminuir.
En cualquier punto del rizo, las fuerzas actuantes sobre el objeto son su peso P=mg y la fuerza de reacción F debida al riel, la que apunta al centro.
En el punto más alto del rizo (B), tanto P como F apuntan hacia el centro del rizo (O), entonces
R
mvmgF
2
donde R es el radio del rizo.
Ya que F es la magnitud de la fuerza, no puede ser negativa, así que la velocidad mínima del objeto en el punto B debe ser cuando F=0, entonces
RgvR
mvmg
2
RgvR
mvmg
2
h
A
O
R
B
FF
FF
F
P
P
P
P
P
v
v
v v
v=0
Si la velocidad no fuera ésta, el peso hacia abajo sería mayor que la fuerza centrípeta y el objeto se separaría del riel antes de llegar al punto B, describiendo una parábola hasta regresar al riel.
Para calcular la altura h, usamos la conservación de la energía.
Entonces, calculando la energía en los puntos A y B, tenemos que EA= EB, de donde
Rh
R2mggRmmghmgymvEmgyE
25
21
B2
21
BAA
que es la altura mínima a la que se debe soltar el objeto para que recorra todo el rizo.
Ejemplo. Un trineo de 20 kg de masa se desliza colina abajo, empezando a una altura de 20 m. El trineo parte del reposo y tiene una velocidad de 16 m/s al llegar al final de la pendiente. Calcular la pérdida de energía debido al frotamiento.
Respuesta: Si la energía total al inicio de la pendiente es
J3920m20s/m8.9kg20mghE 2A
Pero, al final de la pendiente la velocidad es de 16 m/s, así que la energía es
J2560s/m16kg20mvE 2
212
21
B
Así que la diferencia en energía es
J1360EEE AB
Por lo tanto, la pérdida de energía debida al frotamiento es de 1360 J.
Ejemplo. Un cuerpo de 2 kg se deja caer desde una altura de 3 m. Calcular la energía cinética, potencial y total en dichas posiciones. ¿Qué velocidad tiene en esas posiciones?
Posición inicial x=3 m, v=0.
J86.58E0KyJ86.58m3s/m81.9kg2mghU 2m3x
Cuando x=1 m.
s/m26.6m
K2vmvK
J24.39UEKKUJ86.58E
J62.19m1s/m81.9kg2mghU
221
2m1x
Cuando x=0 m.
s/m67.7m
K2vmvK
J86.58UEKKUJ86.58E
J0m0s/m81.9kg2mghU
221
2m1x
Ejercicio 13.56. Un collarín C de masa m se desliza sin fricción en una varilla horizontal entre los resortes A y B. Si el collarín se empuja hacia la izquierda hasta comprimir el resorte A en 0.1 m y después se suelta, determine la distancia que recorrerá y su máxima velocidad alcanzada si (a) m= 1 kg, (b) m=2.5 kg.
Respuesta: Por conservación de energía, tenemos que la energía total del collarín en el punto 1, donde el resorte A está comprimido 0.1 m, debe ser igual su energía total en el punto 2 donde el resorte B tiene su máxima compresión debido al movimiento del collarín, imprimido por el resorte A.
221121 UKUKEE 1 2
En el punto 1, el collarín no se mueve, por lo que su energía cinética es cero y su energía potencial es la que le transmite el resorte A:
J8m1.0m/N1600m1.0m/kN6.1xkU
0K2
212
212
1A21
1
1
De forma equivalente, en el punto 2, el collarín no se mueve, por lo que su energía cinética es cero y su energía potencial es la que le transmite el resorte B :
m/Nx1400xm/kN8.2xkU
0K2B
2B2
12BB2
12
2
1 2
m 0.0756m/N1400
J8xJ8m/Nx1400
m/Nx1400UK
J8UK2
2B2
B22
11
De la figura observamos que el collarín viaja desde la posición cuando el resorte A esta comprimido hasta la posición cuando el resorte B está comprimido
m 0.5256m0756.0m5.0m1.0m15.0x
Observe que el resultado es independiente de la masa.
Respecto a la velocidad, se tiene que será máxima antes de interactuar con el resorte B, entonces, por conservación de energía tenemos que
m/s 2.5298kg5.2
J16
s/m4kg1
J16
m
J16vJ8mv
mvUK
J8UK 221
221
22
11
Ejercicio 13.66. Un collarín de 10 lb está unido a un resorte y se desliza sin fricción a lo largo de una varilla fija que se encuentra en un plano vertical. El resorte tiene longitud no deformada de 14 in y constante k=4 lb/in. Si el collarín se suelta desde el reposo en la posición mostrada en la figura, determine su velocidad en (a) el punto A, (b) en el punto B.
Respuesta: De la figura podemos observar que la longitud del resorte estirado hasta la posición O mostrada en la figura es
O
in 31.3050in14in28L 22O
Esto significa que su cambio de tamaño es
in3050.17in14in 31.3050
LLL normalOO
Entonces, en la posición O mostrada en la figura la energía total del sistema es
ft lb 49.9102ft4421.1ft/lb48Lk0UK 2
212
O21
OO
Antes de calcular la energía potencial debemos poner todo en el mismo sistema de unidades, así que es necesario pasar las in a ft teniendo en cuenta que
1 ft=12 in
ft/lb48ft
lb4in/lb4k
121
ft4421.1ft12
13050.17in3050.17L O
y la masa es
slug 0.3106s/ft2.32
lb10
g
Wm
2
(a) En la posición A, tenemos que el resorte tiene un tamaño
ft 0.5431in 6.5167
in 14-in 142LLL
in 142in14in14L
normalAA
22A
Y por conservación de energía tenemos que
ft lb 49.9102ft lb 0779.7mv
ft lb 49.9102Lkmv
UKUK
2A2
1
2A2
12A2
1
OOAA
ft lb 7.0779ft 0.5431ft/lb48
LkU2
21
2A2
1A
ft/s 16.6084vft lb 42.8324ft lb 0779.7ft lb 49.9102mv2A2
1
(b) En la posición B, tenemos que el resorte tiene un tamaño
ft 1.1667in 14
in 14in 28LLL
in28L
normalBB
B
Y por conservación de energía tenemos que
ft lb 49.9102ft12
14lb10ft lb 32.6667mv
ft lb 49.9102WhLkmv
UKUUK
2B2
1
2B2
12B2
1
OOgBB
ft lb 32.6667ft 1.1667ft/lb48
LkU2
21
2B2
1B
ft/s 13.6448vft lb 28.9102ft lb 6667.11ft lb 32.6667ft lb 49.9102mv2B2
1
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