CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
DESIGUALDADES EN TRIÁNGULOS
Tema 2: Triángulos
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
EL TRIÁNGULO
DEFINICIÓN: Llámese triángulo a la unión de los segmentos determinados por tres puntos no alineados.
NOTACIÓN: ΔABC
A
C
bc
B a
a, b, c corresponden a las longitudes de respectivamente.
AB,AC,BC
A, B, C Vértices del ΔABC
lados del ΔABC AB,AC,BC
Perímetro: es la suma de las medidas de los lados del triángulo.
2p= a+b+c
EL TRIÁNGULO
DEFINICIÓN: Llámese triángulo a la unión de los segmentos determinados por tres puntos no alineados.
NOTACIÓN: ΔABC
A
C
bc
γ
B a
, , γ son las medidas de los ángulos interiores correspondientes a los vértices A, B y C respectivamente.
a, b, c corresponden a las longitudes de respectivamente.
AB,AC,BC
A, B, C Vértices del ΔABC
lados del ΔABC AB,AC,BC
Semi-perímetro:
2
cbap
Perímetro: es la suma de las medidas de los lados del triángulo.
2p= a+b+c
ÁNGULO EXTERIOR A UN TRIÁNGULO
Todo ángulo que sea adyacente a un ángulo interior del triángulo.
B D C
A
DBA es exterior al ABC por ser adyacente al ángulo interior (ABC)
CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS
Según
sus
ángulos
Rectángulo
Oblicuángulos
Tiene un ángulo recto. El lado que se opone al ángulo recto se llama hipotenusa, los otros dos lados se llaman catetos. Obtusángulo: tiene un ángulo mayor de 90 Acutángulo: todos sus ángulos son agudos.
CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS
Según
sus
lados
Isósceles
Escaleno
Tiene dos lados iguales, se acostumbra a llamar base al tercer lado. Si el triángulo tiene sus tres lados iguales entonces se llama Equilátero Tiene sus tres lados desiguales
ELEMENTOS DE UN TRIANGULO
MEDIANA: es el segmento que parte desde un vértice al punto medio del lado
opuesto.
Todo triángulo tiene tres medianas : ma, mb y mc asociadas a los lados
, respectivamente.
AB,AC,BC
Baricentro: Punto de intersección de las medianas.
Cm
a
mc
m b
ac
b
A
B
L N
M
G
Notación: G
BISECTRIZ interior: Es el segmento de bisectriz cuyo origen el vértice y divide al ángulo en dos ángulos congruentes.
Incentro: Punto de intersección de las bisectrices
A
B C
C
A
B
Todo triángulo tiene tres bisectrices , y asociadas a los
ángulos correspondientes a los vértices A, B y C respectivamente :
A
B
C
Notación: I
I
ALTURA: Es el segmento que va desde un vértice perpendicularmente al lado opuesto o a su prolongación.
Ortocentro: Punto de intersección de las alturas o de sus prolongaciones
C
A
B
h bha
h c
En el caso de un triángulo obtusángulo
La altura de ha y hc son los segmentos perpendiculares a la prolongación de los lados opuestos y que parten desde los vértices A y C
CB AB
A
hch b ha
CB
Notación: H
H
H
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
DEFINICIÓN: Sean ΔABC, ΔA’B’C’ y f una correspondencia biunívoca entre sus
vértices. Decimos que f es una congruencia si sólo sí son congruentes cada par de
lados, lo mismo que cada par de ángulos correspondientes. En tal caso, se dice
que los triángulos son CONGRUENTES.
,'
,'C'BBC
A
B C
A’
C’
’’
B’
,'C'AAC ,'B'AAB
' ' Esto es:
y
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
DEFINICIÓN: Sean ΔABC, ΔA’B’C’ y f una correspondencia biunívoca entre sus
vértices. Decimos que f es una congruencia si sólo sí son congruentes cada par de
lados, lo mismo que cada par de ángulos correspondientes. En tal caso, se dice
que los triángulos son CONGRUENTES.
,'
,'C'BBC
A
B C
A’
C’
’
’’
B’
,'C'AAC ,'B'AAB
'
Esto es:
ABC A’B’C’' y
CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
AXIOMA: Primer Criterio de Congruencia. Lado-Ángulo-Lado (LAL)
El ΔABC y el ΔA’B’C’ son congruentes si sólo sí tienen dos lados iguales y el ángulo comprendido entre esos lados.
Ejemplo:
A
B C
A’
B’ C’
’
,' y 'C'AAC ,'B'AAB
CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
AXIOMA: Primer Criterio de Congruencia. Lado-Ángulo-Lado (LAL)
El ΔABC y el ΔA’B’C’ son congruentes si sólo sí tienen dos lados iguales y el ángulo comprendido entre esos lados.
Ejemplo:
A
B C
A’
B’ C’
’
,' y 'C'AAC ,'B'AAB ABC A’B’C’
CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
Ejemplo:
A
B C
A’
B’ C’
,','B'AAB
Teorema: Segundo Criterio de Congruencia: Ángulo-Lado-Ángulo. (A.L.A.)
El ΔABC y el ΔA’B’C’ tienen un lado igual y los ángulos adyacentes a dicho lado si sólo sí el ΔABC y el ΔA’B’C’ son congruentes.
' y
’
’
CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
Ejemplo:
A
B C
A’
B’ C’
,' ABC A’B’C’,'B'AAB
Teorema: Segundo Criterio de Congruencia: Ángulo-Lado-Ángulo. (A.L.A.)
El ΔABC y el ΔA’B’C’ tienen un lado igual y los ángulos adyacentes a dicho lado si sólo sí el ΔABC y el ΔA’B’C’ son congruentes.
' y
’
’
TEOREMA: un triángulo es Isósceles si sólo sí los ángulos de la base son congruentes.
Hipótesis: ΔABC es Isósceles.
Tesis: =
A
C
B
2
2'
W
Proposiciones Justificaciones
1. ΔABC es Isósceles Hipótesis
CBAC@2. Definición de Δ Isósceles
CW 3. es bisectriz de C Por construcción
4. ACW BCW Definición de bisectriz
CW5. es común para los s ACW y BCW Propiedad reflexiva
TEOREMA: un triángulo es Isósceles si sólo sí los ángulos de la base son congruentes.
Hipótesis: ΔABC es Isósceles.
Tesis: =
A
C
BW
2
2'
6. Δ CWA Δ CWB Por criterio de congruencia de triángulos L.A.L (2, 5 y 4)
7. = Por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes
La tesis es verdadera
Luego, el teorema directo es verdadero
Proposiciones Justificaciones
Hipótesis: =
Tesis:ΔABC es Isósceles
C
A B
Proposiciones Justificaciones1. = Hipótesis
2. es el lado común para ΔCAB y ΔCBA Propiedad reflexivaAB
3. Δ CAB Δ CBA Por criterio de congruencia de triángulos A.L.A
5. ΔABC es Isósceles Por 4, aplicando definición de Δ Isósceles
La tesis es verdaderaLuego, el teorema recíproco es verdadero
4. Por ser lados correspondientes en la congruencia anterior CBCA
En conclusión el Teorema: Un triángulo es Isósceles si sólo sí los ángulos de la base son congruentes, es verdadero.
COROLARIO: Un Δ ABC es equilátero
A
C
B
= =
TEOREMA: en un Δ Isósceles la altura, la mediana y la bisectriz correspondientes a la base coinciden.
Tesis:
ha=ma=wa
M
A
CB
Proposiciones Justificaciones
1. Δ ABC es Isósceles Hipótesis
BC5. M es punto medio de Por definición de mediana en 3
AM4. es mediana Por construcción
3. Teorema: En un Δ Isósceles los s de la base son congruentes
Hipótesis: Δ ABC es Isósceles es mediana de
AM BC
2. AB=AC Por definición de Δ Isósceles en 1
TEOREMA: en un Δ Isósceles la altura, la mediana y la bisectriz correspondientes a la base coinciden.
M
A
CB
Proposiciones Justificaciones
7. es lado común para el Δ ABM y Δ ACMAM
8. Δ ABM ΔACM Por criterio de congruencia L.A.L en 2, 3 y 6
9. BAM CAM Por ser s correspondientes en s congruentes
Hipótesis: Δ ABC es Isósceles es mediana de
AM BC
Tesis:
ha=ma=wa
6. BM=MC Por definición de punto medio
TEOREMA: en un Δ Isósceles la altura, la mediana y la bisectriz correspondientes a la base coinciden.
Tesis:
ha=ma=wa
M
A
CB
Proposiciones Justificaciones
11. BMA CMA Por ser s correspondientes en s congruentes en 8
12. mBMC =180 Por definición de llano.
AM10. es bisectriz Por definición de bisectriz en 9
13. mBMC=m BMA +m AMC Axioma: Suma de ángulos
14. m BMA +m AMC =180 Igualando 12 y 13
Hipótesis: Δ ABC es Isósceles es mediana de
AM BC
15. m BMA +m BMA =180 Sustitución de 11 en 14
TEOREMA: en un Δ Isósceles la altura, la mediana y la bisectriz correspondientes a la base coinciden.
Tesis:
ha=ma=wa
M
A
CB
Hipótesis: Δ ABC es Isósceles es mediana de
AM
Proposiciones Justificaciones 16. m BMA =180/2=90 Reducción de términos semejantes
y despeje16. Por definición de rectas
perpendiculares BCAM
17. es altura Por definición de altura. AM
AM Luego, es mediana,
La tesis es verdadera
bisectriz
y altura es decir: ha=ma=wa
En conclusión el Teorema: En un Δ Isósceles la altura, la mediana y la bisectriz correspondientes a la base coinciden, es verdadero
'
CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
Teorema: Tercer Criterio de Congruencia: Lado-Lado-Lado. (L.L.L.)
El ΔABC y el ΔA’B’C’ tienen sus tres lados respectivamente iguales si y solo si el ΔABC y el ΔA’B’C son congruentes.
'C'BBC
A
B C
A’
C’B’
,'C'AAC ,'B'AAB
Esto es:
'
CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
Teorema: Tercer Criterio de Congruencia: Lado-Lado-Lado. (L.L.L.)
El ΔABC y el ΔA’B’C’ tienen sus tres lados respectivamente iguales si y solo si el ΔABC y el ΔA’B’C son congruentes.
'C'BBC
A
B C
A’
C’B’
,'C'AAC ,'B'AAB
Esto es:
ABC A’B’C’
DESIGUALDADES EN EL TRIÁNGULO
TEOREMA: La suma de 2 ángulos interiores en un triángulo es menor que 180.
Hipótesis y corresponden a dos de los s interiores del ΔABC
Tesis + < 180
1. y corresponden a dos de los s interiores del ΔABC
Por Hipótesis
2. M es punto medio de BC Por construcción
Proposiciones Justificaciones
A
CB
D
M
3. CM = MB Por definición de punto medio
5. D , tal que AM=MD Por construcción AM
4. es mediana Por definición de medianaAM
TEOREMA: La suma de 2 ángulos interiores en un triángulo es menor que 180.
Hipótesis y corresponden a dos de los s interiores del ΔABC
Tesis + < 180
Proposiciones Justificaciones
A
CB
D
M
6. AMC BMD Por s opuestos por el vértice7. ΔAMC ΔDMB Por criterio de congruencia de
triángulos L.A.L. ( 3,5 y 6) 8. = m MBD Por ser s correspondientes en
la congruencia de Δs en 79. + m <MBD < 180 Ya que D AB10. + < 180 Sustitución de 8 en 9
La tesis es verdadera
Luego, el Teorema: La suma de 2 ángulos interiores en un triángulo es menor que 180, es verdadero
COROLARIO: Todo triángulo rectángulo tiene 2 ángulos agudos
1. + 90 < 180 La suma de dos ángulos en un Δ es menor que 1802. < 180 – 90 Despejando
5. < 180 – 90 Despejando
3. < 90 Reducción de términos semejantes
4. + 90 < 180 La suma de dos ángulos en un Δ es menos que 180
6. < 90 Reducción de términos semejantes
La tesis es verdadera
Proposiciones Justificaciones
90
A
BC
Luego, el Corolario: Todo triángulo rectángulo tiene 2 ángulos agudos, es verdadero
TEOREMA: todo ángulo exterior a un triángulo es mayor que cualquier ángulo interior no adyacente a él.
Hipótesis- , y corresponden a los
ángulos interiores del ΔABC
- ángulo exterior no adyacente a los ángulos de medida y
Tesis 1. > 2. >α
1.- , y corresponden a los ángulos interiores del ΔABC
Por Hipótesis
3. + < 180 Por teorema: la suma de dos s interiores en un Δ es menor que 180
4. + = 180 Teorema: los ángulos adyacentes son
suplementarios
Proposiciones Justificaciones
A
C B
2.- es la medida del ángulo exterior no adyacente a los ángulos de medida y
Por Hipótesis
TEOREMA: todo ángulo exterior a un triángulo es mayor que cualquier ángulo interior no adyacente a él.
Hipótesis- , y corresponden a los ángulos interiores del ΔABC - ángulo exterior no adyacente a los ángulos de medida y
Tesis 1. > 2. >α
Proposiciones Justificaciones
A
C B
5. = 180 - Despejando6. α + 180 - < 180 Sustitución de 5 en 37. α < Reducción de términos
semejantes y despeje de αLa tesis 1 es verdadera
La tesis 2 se encuentra de forma idéntica a la primera y también es verdadera
Luego, el Teorema: todo ángulo exterior a un triángulo es mayor que cualquier ángulo interior no adyacente a él, es verdadero
TEOREMA: En todo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo y recíprocamente.
Tesisγ >
1. AB > AC Hipótesis
2. D , tal que AD=AC Por construcción AB
3. ΔACD es Isósceles Por definición de Δ Isósceles
4.- m ADC > Por ser el ADC exterior al ΔDBCy no adyacente con él.
Hipótesis
AB > AC en el ΔABC
()
Proposiciones Justificaciones
A
C
B
D
TEOREMA: En todo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo y recíprocamente.
Tesisγ >
()
Proposiciones Justificaciones
A
C
B
D
5.- m ADC = m ACD Por ser s de la base del Δ Isósceles
6.- m ACB = m ACD + m DCB Axioma Suma de ángulos
7.- m ACB = m ADC + m DCB Sustituyendo 5 en 6
8.- m ACB > m ADC Propiedad el todo es mayor que las partes
Hipótesis
AB > AC en el ΔABC
TEOREMA: En todo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo y recíprocamente.
Tesisγ >
()
Proposiciones Justificaciones
A
C
B
D
9.- m ACB > Por transitividad en 4 y 8
10.- > m ACB =
La tesis es verdadera
γ
Luego, el Teorema directo es verdadero
Hipótesis
AB > AC en el ΔABC
Hipótesis > en el ΔABC
Tesis
AB > AC
()
BC
A
Por reducción al absurdo, supongamos que AB ≯ AC, entonces hay 2 posibilidades:
Caso 1: AB = AC
2. = Por teorema: los ángulos de la base de un Isósceles son congruentes, lo cual contradice la hipótesis >
1. ABC es Isósceles Por definición de Isósceles (Ya que tiene dos lados iguales)
Proposiciones Justificaciones
γ
Luego, AB AC
Hipótesis > en el ΔABC
Tesis
AB > AC
()
BC
A
Por reducción al absurdo, supongamos que AB ≯ AC, entonces hay 2 posibilidades:
Caso 2: AB < AC
Proposiciones Justificaciones
γ
1. < Por el teorema directo, lo cual contradice la hipótesis > .
En conclusión el Teorema: En todo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo y recíprocamente, es Verdadero.
Luego, AB ≮ AC
Si AB AC y AB ≮ AC, entonces AB > AC y la proposición recíproca es verdadera
COROLARIO: La hipotenusa de un triángulo rectángulo es mayor que sus catetos.
a
b
c
2. c a
Proposiciones Justificaciones1.
A
B
C
y c b A mayor ángulo se opone mayor lado
La tesis es verdadera
En un triángulo rectángulo el ángulo mayor es el ángulo recto
HipótesisEl ΔABC es rectánguloEl c es hipotenusa a y b son catetos
Tesis1.- c>b2.- c>a
En conclusión, el Corolario: La hipotenusa de un triángulo rectángulo es mayor que sus catetos, es Verdadero
TEOREMA: Todo lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos.
Hipótesis a, b, c son lados
del ABCTesis
1. a + b > c2. b + c > a3. a + c > b
BC 1. Se prolonga hasta D una Por construcción cantidad b 2. ACD es Isósceles Definición de Δ Isósceles en 1: (AC=CD)
3. mBAD = + θ Axioma: Suma de ángulos
4. mBAD > θ El todo es mayor que las partes
5. a + b > c Teorema: A mayor ángulo, mayor lado
La tesis 1 es Verdadera
Proposiciones Justificaciones
B C
A
cb
a Db
θ
θ
Las tesis 2 y 3 también son verdaderas se encuentran prolongando respectivamente
CBCA y
En conclusión, el Teorema:Todo lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos, es Verdadero
COROLARIO: Todo lado de un triángulo es mayor que la diferencia de los otros dos.
Despejando del resultado del teorema anterior
1. a + b > c
3.- c + a > b
2. b + c > a
a > c - b
b > a - c
c > b – a
COROLARIO: En un triángulo rectángulo, la suma de los catetos es mayor que la hipotenusa.
a + b > c ya que todo lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos.
a
b
c
A
B
C
TEOREMA: El ΔABC y el ΔA’B’C’ tienen dos lados iguales y el ángulo opuesto al mayor de los lados iguales sí sólo sí el ΔABC y el ΔA’B’C’ son congruentes.
CUARTO CRITERIO DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
a = a’Ejemplo: (ac), y = ’, c = c’
A’
C’B’
A
CB a’a
c c’
CUARTO CRITERIO DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
ΔABC ΔA’B’C’
A’
C’B’
A
CB a’a
c c’
TEOREMA: El ΔABC y el ΔA’B’C’ tienen dos lados iguales y el ángulo opuesto al mayor de los lados iguales sí sólo sí el ΔABC y el ΔA’B’C’ son congruentes.
a = a’Ejemplo: (ac), y = ’, c = c’
TEOREMA: Por un punto P puede trazarse una y sólo una perpendicular a una recta l.
HipótesisP es un Pto y l es una recta
Tesis Por P puede trazarse una sola perpendicular a l
P l
Existen dos posibilidades
Caso 1: P l
Caso 2: P l P
l
TEOREMA: Por un punto P puede trazarse una y sólo una perpendicular a una recta l.
HipótesisP y l
Tesis Por P puede trazarse una sola perpendicular a l
Por reducción al absurdo, al negar la tesis se tiene:
Caso 1: P l
P
y
X
l M
Entonces <MPX <MPY = 90
90
Existen dos posibilidades
Supongamos que existen 2 rectas s a l90
Esto contradice el Axioma de la Construcción de un Ángulo, ya que a partir de una semirrecta dada en uno de sus semiplanos, sólo se puede construir un ángulo de medida 90.
Luego, es falso que existan 2 rectas s a l por P l
TEOREMA: Por un punto P puede trazarse una y sólo una perpendicular a una recta l.
HipótesisP y l
Tesis Por P puede trazarse una sola perpendicular a l
Por reducción al absurdo, al negar la tesis se tiene:
Caso 2: P l
Existen dos posibilidades
Supongamos que existen 2 rectas s a l que pasan por P
P
l
A B
90 90
TEOREMA: Por un punto P puede trazarse una y sólo una perpendicular a una recta l.
HipótesisP y l
Tesis Por P puede trazarse una sola perpendicular a l
Por reducción al absurdo, al negar la tesis se tiene:
Caso 2: P l
Existen dos posibilidades
P
lA B
90 90
Entonces mPAB = 90 y mPBA= 90
Esto contradice el teorema: La suma de dos ángulos interiores en un triángulo es menor que 180.
Luego, es falso que existan 2 rectas s a l por P l
Supongamos que existen 2 rectas s a l que pasan por P
TEOREMA: Por un punto P puede trazarse una y sólo una perpendicular a una recta l.
HipótesisP y l
Tesis Por P puede trazarse una sola perpendicular a l
Por reducción al absurdo, al negar la tesis se tiene:
Caso 2: P l
Existen dos posibilidades
P
A B
9090
l
En conclusión, el Teorema: Por un punto P puede trazarse una y sólo una perpendicular a una recta l, es Verdadero
Supongamos que existen 2 rectas s a l que pasan por PEntonces mPAB = 90 y mPBA= 90
Esto contradice el teorema: La suma de dos ángulos interiores en un triángulo es menor que 180.
Luego, es falso que existan 2 rectas s a l por P l
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA
l
a
P
b
Definición: Es la longitud del segmento perpendicular comprendido entre el punto y la recta.
Siempre a < b ya que b es la hipotenusa y a mayor ángulo se opone mayor lado.
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