Conceptos generales de trigonometría
CONCEPTOS GENERALES DE CONCEPTOS GENERALES DE TRIGONOMETRÍA(parte a)TRIGONOMETRÍA(parte a)1.1. SISTEMAS DE COORDENADAS RECTANGULARESSISTEMAS DE COORDENADAS RECTANGULARES2.2. CONCEPTO DE RADIO VECTOR, APLICACIÓN DEL CONCEPTO DE RADIO VECTOR, APLICACIÓN DEL
TEOREMA DE PÍTAGORASTEOREMA DE PÍTAGORAS3.3. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS BASICASFUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS BASICAS4.4. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ANGULO EN FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ANGULO EN
POSICIÓN NORMALPOSICIÓN NORMAL5.5. RELACIÓN ENTRE RADIANES Y GRADOSRELACIÓN ENTRE RADIANES Y GRADOS6.6. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO
MAYOR DE 90 EN TERMINOS DE UN ÁNGULO MAYOR DE 90 EN TERMINOS DE UN ÁNGULO RELACIONADORELACIONADO
7.7. FUNCIONES DE ÁNGULOS DE 30,60 Y 45 GRADOSFUNCIONES DE ÁNGULOS DE 30,60 Y 45 GRADOS8.8. VALORES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICASVALORES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS MÚLTIPLOS DE 30,60 Y 45DE ÁNGULOS MÚLTIPLOS DE 30,60 Y 459.9. FUNCIONES DE ÁNGULOS DE CUADRANTEFUNCIONES DE ÁNGULOS DE CUADRANTE10.10. CONCEPTO DE ÁNGULO COTERMINALCONCEPTO DE ÁNGULO COTERMINAL
SISTEMAS DE COORDENADAS SISTEMAS DE COORDENADAS RECTANGULARESRECTANGULARES
Abscisa positiva
Ordenada positiva
origen
Ordenada negativaAbscisa negativa
III
III IV
Todo sistema cartesiano esta compuesto por dos ejes que se cortan perpendicularmente en un punto Llamado origen. Al eje horizontal se le conoce como abscisa o eje de las “x”Al eje vertical se le conoce como ordenada o eje de las “y” . Existe un semi eje positivo y negativo para ambos ejes.
Localización de puntos en el planoLocalización de puntos en el planoLas coordenadas o puntos se Las coordenadas o puntos se escriben como pares ordenados escriben como pares ordenados
(X, Y). Donde se escribe primero la (X, Y). Donde se escribe primero la abscisa y segundo la ordenadaabscisa y segundo la ordenada
Ejemplos
a.(-3,2)
b.(-1,-2)
C. (0,3)
d.(4,0)
a.(-3,2)
b.(-1,-2)
C. (0,3)
d.(4,0)
CONCEPTO DE RADIO VECTOR, APLICACIÓN DEL CONCEPTO DE RADIO VECTOR, APLICACIÓN DEL TEOREMA DE PÍTAGORASTEOREMA DE PÍTAGORAS
22
222
YRX
YRX
22
222
XRY
XRY
Radio Vector: Es el segmento que une el origen con un punto en el plano
Considerando que el radio vector junto a las coordenadas del punto forman un triángulo rectángulo. Podemos aplicar el Teorema de Pitágoras para calcular uno de los valores faltantes de la terna Pitagórica
Microsoft Equation 3.0
22
222
YXR
YXR
Dado X, Y, para encontrar R
Dado R, Y para encontrar X
Dado R, X para encontrar Y
(X,Y)Radio Vector
R
El signo de la “X” o “Y” dependerá delCuadrante donde se ubique el punto
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS BÁSICASFUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS
Las funciones trigonométricas Las funciones trigonométricas básicas se definen como las básicas se definen como las razones trigonométricas para razones trigonométricas para un triángulo rectángulo,según un triángulo rectángulo,según coincida su lado terminal con coincida su lado terminal con el eje “x” o Eje “y”.el eje “x” o Eje “y”.
c
aopuestoladoAsen
hipotenusa
a
b
c
CA
B
Microsoft Equation 3.0
Principales
Recíprocas
Funciones trigonométricas respecto al ángulo A del triángulo
c
b
hipotenusa
adyacenteladoA
cos
a
b
opuestoLado
aLadoACot
dyacente
a
chipotenusaA
opuesto lado Csc
b
a
adyacentelado
opuestoLadoATan
b
c
adyacentelado
hipotenusaASec
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ANGULO EN FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ANGULO EN POSICIÓN NORMALPOSICIÓN NORMAL
Definiciones de ángulo:Definiciones de ángulo:
Según el sentido de giro:Según el sentido de giro:
positivo: Gira en contra de las positivo: Gira en contra de las manecillas del relojmanecillas del reloj
negativo: gira a favor de las negativo: gira a favor de las manecillas del relojmanecillas del reloj
Ángulo en posición normal:Ángulo en posición normal:
Es aquel que tiene su vértice en el origen y Es aquel que tiene su vértice en el origen y su lado inicial coincide con el eje positivo de las su lado inicial coincide con el eje positivo de las abscisas o “x”abscisas o “x”
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ANGULO EN FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ANGULO EN POSICIÓN NORMALPOSICIÓN NORMAL
1
21
270
0
360
90
180x1
y1
x2
y2
Microsoft Equation 3.0
2
1
(X1,Y1)(x2,Y2)
Un ángulo en posición normal puede estar entre o y 360
El signo de las funciones depende del cuadrante
Funciones trigonométricas de 2
2
22 r
ysen
2
22cos
r
x
2
22tan
x
y
Signo de las funciones Signo de las funciones trigonométricas según cuadrantetrigonométricas según cuadrante
(+ X ,+ Y)
(+ X ,- Y)(- X ,- Y)
(- X ,+ Y)
Todas las funciones son positivas
Sólo el sen y Csc son positivas
Sólo la Tan y Cot son positivas
Cos y sec son positivas
RELACIÓN ENTRE RADIANES Y GRADOSRELACIÓN ENTRE RADIANES Y GRADOS
Los ángulos pueden medirse en grados io radianes. Los ángulos pueden medirse en grados io radianes. Por lo tanto, se hace necesario el dominio de ambas Por lo tanto, se hace necesario el dominio de ambas
unidas de medidaunidas de medida..Transformación de Grados a Radianes. Para Transformación de Grados a Radianes. Para transformar de grados a radianes se debe multiplicar transformar de grados a radianes se debe multiplicar porpor
Transformación de radianes a grados: Para Transformación de radianes a grados: Para transformar de radianes a grados se debe multiplicar transformar de radianes a grados se debe multiplicar por: por:
Microsoft Equation 3.0
o
radr
180
rad
rad
Ejemplo
3180
6060
:
000
rad
1800
0
0
000
30180
6
6
22914.3
1804
18044
:
rradradrad
radrad
rradradrad
Ejemplos
Si el ángulo en grados tiene minutos y segundos debe transformar los minutos y segundos a grados
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO MAYOR DE 90 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO MAYOR DE 90 EN TERMINOS DE UN ÁNGULO RELACIONADOEN TERMINOS DE UN ÁNGULO RELACIONADO
Definición de ángulo relacionado:
Todos los ángulos mayores de 90 se pueden expresar en términos de ángulos agudos positivos. Esto se hace mediante la utilización de ángulo de referencia o relacionado.
El ángulo relacionado es el ángulo agudo positivo formado por su lado terminal y el eje “x”, con el cual se puede expresar cualquier ángulo, que no sea multiplo de 90 y se encuentre en posición normal.
Ejemplos de ángulos relacionadosEjemplos de ángulos relacionados
Ø=135
A = 45
A = 45
225
A = 180-ØA = 180-135A = 45
A = Ø-180A = 225-180A = 45
Sen135= sen45Cos135=-cos45Tan135=-tan45
Caso: 90<Ø<180
Caso: 180<Ø<270
Sen225= -sen45Cos225=-cos45Tan225= tan45
A = 30
330
A = 60420
Caso: 270<Ø<360
A=360-ØA=360-330A=30
Sen330= -sen30Cos330= cos30Tan330= -tan30
Caso:360<Ø<450
A = Ø-360A = 420-360A = 60
Sen420= sen60Cos420= cos60Tan420= tan60
FUNCIONES DE ÁNGULOS DE 30,60 Y 45 FUNCIONES DE ÁNGULOS DE 30,60 Y 45 GRADOSGRADOS
Para determinar las funciones de los ángulos de 30 y 60 basta dibujar un triángulo equilátero y trazar la bisectriz a uno de sus ángulos. Considerando que los lados son iguales, tendremos la hipotenusa y uno de los catetos para un triángulo con ángulos agudos de 60 y 30 grados
Procedimiento para determinar las Funciones de ángulos de 30 y 60:
3030
60 60
1/2 1/2
1 1
Microsoft Equation 3.0
2
3
4
3
4
11
2
11
22
22
Y
Y
Y
XRY
3
3
3
3*
3
160ot
260sec
3
32
3
3*
3
260 sc
360 tan
2
160cos
2
360
o
o
c
c
sen
o
o
o
o
330ot
3
32
3
3*
3
230sec
230 sc
3
3
3
3*
3
130 tan
2
330cos
2
130
o
o
c
c
sen
o
o
o
o
2
3 Y
Procedimiento para determinar las Funciones de ángulos de 45
grados
Para determinar las funciones de los ángulo de 45 grados se debe dibujar un cuadrado y trazar su diagonal. Como el cuadrado tiene sus lados iguales , al trazar la diagonal la misma representa la hipotenusa de los dos triángulos formados. Calculando la hipotenusa y teniendo los catetos que son los lados del triangulo podemos calcular las funciones trigonométricas del ángulo de 45 dado que la diagonal divide el ángulo de 90 en dos ángulos de 45 grados
45
4545
45
1
1
1
1
Microsoft Equation 3.0
2
11
1)1( 22
22
222
R
R
R
YXR
YXR
2R
11
145ot
21
245sec
21
2sc45
11
145 tan
2
2
2
2*
2
145cos
2
2
2
2*
2
145
o
o
c
c
sen
o
o
o
o
Procedimiento para determinar las Funciones de ángulos de
cuadrante
Para determinar las funciones de los ángulo de cuadrante se debe dibujar un circulo trigonométrico de radio uno. Ubicando el radio vector en cada uno de los ejes o ángulo de cuadrante, podemos determinar las funciones de cada uno de estos ángulos considerando. que en cada eje el radio vector será igual al mismo cateto, siendo cero el cateto restante.
FUNCIONES DEFUNCIONES DE ÁNGULOS DE CUADRANTEÁNGULOS DE CUADRANTE
(1,0)
(0,1)
(-1,0)
(0,-1)
00
090
0180
0270
0360
X = 0, y = 1, R = 1 X = 1, y = 0, R =1
X =-1, y = 0, R = 1 X = 0, y = -1 , R = 1
0
10ot
11
10sec
0
10 sc
01
00 tan
11
10cos
01
00
o
o
Y
Xc
X
RY
Rc
X
YR
XR
Ysen
o
o
o
o
01
0270ot
0
1270sec
11
1027 sc
0
1270 tan
01
0270cos
11
1027
o
o
Y
Xc
X
RY
Rc
X
YR
XR
Ysen
o
o
o
o
0
1180ot
11
1180sec
0
1018 sc
01
0180 tan
11
1180cos
01
0018
o
o
Y
Xc
X
RY
Rc
X
YR
XR
Ysen
o
o
o
o
01
090ot
0
190sec
11
109 sc
0
190 tan
01
090cos
11
109
o
o
Y
Xc
X
RY
Rc
X
YR
XR
Ysen
o
o
o
o
Tabla : Funciones de ángulos Tabla : Funciones de ángulos especialesespeciales
ØØ 3030 6060 4545 00 9090 180180 270270
SenSen 1/21/2 √√3/23/2 1/√21/√2 0/1=00/1=0 1/1=11/1=1 0/1=00/1=0 -1/1=-1-1/1=-1
CosCos √√3/23/2 1/21/2 1/√21/√2 1/1=11/1=1 0/1=00/1=0 -1/1=-1-1/1=-1 0/1=00/1=0
TanTan 1/√31/√3 √√33 11 0/1=0/1= 1/0=∞1/0=∞ 0/-1=00/-1=0 -1/0=∞-1/0=∞
CotCot √ √33 1/√31/√3 11 1/0=∞1/0=∞ 0/1=00/1=0 -1/0=∞-1/0=∞ 0/-1=00/-1=0
SecSec 2/2/√3√3 22 √√22 1/1=11/1=1 1/0=∞1/0=∞ 1/-1=-11/-1=-1 1/0=∞1/0=∞
csccsc 22 2/2/√3√3 √√22 1/0=∞1/0=∞ 1/1=11/1=1 1/0=∞1/0=∞ 1/-1=11/-1=1
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