( 2.21 RESUMEN DEL CAPÍTULO 2 J
CONCEPTO OPROPIEDAD
FIGURA CONCEPTO OPROPIEDAD
FIGURA
2.1 ÁNGULO :
Figura geométricaformada por dos rayosde origen común.
B C
2.6 ÁNGULO AGUDO
Su medida es mayor que0° y menor que 90°
Q RLc.ABC
2.2 SISTEMASEXAGESIMAL :
1° = 3~0 del ángulo
completo
2.7 ÁNGULO RECTO
Mide 90°; sus lados sonperpendiculares.
A
L M
mLc.completo = 360° BC
2.8
SIMETRAL DE I
~
UN SEGMENTO
Es el trazo perpendicular I
en su punto medio.P
QR
PQ=QR-
-PR -.l SQ
I2.9ÁNGULO OB-
TUSOSu medida es mayor que
90° y menor que 180°.
I
\M
N
2.10 ÁNGULO
EX-TENDIDO
Su medida es 1800.
I
••
r\•A
BC
A •CB
~ •B C
~ •Q R
---.LN bisectriz del Lc.KLM
Rayo que divide alángulo en dos ánguloscongruentes
2.3 ÁNGULOSCONGRUENTES
1° = 60' = 3600"
2.4 BISECTRIZ DEUN ÁNGULO
si mLc.ABC = mLc.PQR==* Lc.ABC ~ Lc.PQR
Son los que tienen lamisma medida
2.5 ÁNGULO NULO:
Su medida es O°.
sus lados coinciden
31
( 2.A. EJERCICIOS PROPUESTOS J
9. Encontrar x.
--..10. BF bisectriz del iLABE,--..
BO bisectriz del iLEBC,obtener el valor de x.
CBA4. Encontrar dos ángulos suplementarios
tales que uno sea 26° mayor que el otro.
2. El suplemento de un ángulo es cinco
veces el complemento. ¿Cuánto mide el
ángulo?
3. Si miLp = i miLU; miLt = 4miLs.
¿Cuál es la medida del iLr?
1. ¿Cuál es el suplEimento del complementode34°?
11. Si L1 // L2 , calcular el valor de a.
5. ¿Cuál es la medida del ángulo que forman
los punteros del reloj a las 2:35 horas?
6. Calcular el complemento de 43°27".
7. Calcular el valor de x.
12. Si L1 // L2 , calcular p.
8. Encontrar miLPQS y miLSQR.
~~•• P Q R •.
33
32. Calcular el valor de xsi L1 II L2.
L1
33. Sabiendo que L1 II L2J calcularx.
34. En la figura, L1 II L2 Y L311 L4'Calcular a.
35. Calcular el valor de x si L1 II L2•
.36. ¿Qué medida tiene el mayor de dos
ángulos suplementarios si uno de ellos
tiene 50° más que el otro?
36
38 Encontrar z en función de x e y si L1 II L2•
39. Expresar 180° en términos de a, P y y si
L1 II L2•
40. Considerando que L1 II L2J encontrar elvalordex .
x
31. Si BR es simetral de PO ; a:p = 5:13
entonces el complemento de x es:34. Las rectas L1 y L2 son paralelas. ¿Cuál de
las siguientes alternativas es falsa?
32. Si Y = 53°21'43" Y 8 = 32°52'47" entonces
y-8=?
A) 25°
B) 35°
C)45°
D) 65°
E) 75°
A) 21°31'04"
B) 20°28'56"
C) 21°52'04"
D) 20°31'43"
E) 20°56'28"
P
A)a+ P=y
B) a + p + y ,¡:. 180°
C)a+8=yD)y+8= 180°
E) a + p +y = 360° - 28
35. ¿Cuál es la medida del ángulo que forman
los punteros del reloj a las 11:38 horas?33. Si L) / L2 Y L3// L4' entonces la razón entre
aypes:
A) 13:55
B) 2: 5
C) 13:68
D) 5: 7
E) 11: 34
A) 121°
B) 102°
C) 109°
D) 113°
E) 101°
12
9([)'6
36. En lafigura L1 //L2. El valor de aes:
A) 125°
B) 130°
C) 120°
D) 110°
E) 100°
41
( 3.7 RESUMEN DEL CAPíTULO 3 )
CONCEPTO O
PROPIEDAD
3.1 TRIÁNGULO:
Figura geométricaformada por la unión detres segmentos obtenidos de tres puntos nocolineales.
A, B, C son puntos nocolineales.
3.2 ELEMENTOS DE UNTRIÁNGULO:
A, By C :vérticesa, by c : lados
a, ~ y y ángulosinteriores.
a', ~' y y' ángulosexteriores.
13 TEOREMA DE LASUMA DE LOSÁ N G U L O S
INTERIORES:
En todo triángulo, la sumade las medidas de los
ángulos interiores es 180°.
FIGURA
B
A C- --
MBC = ABuBCuAC
B
A C
a + ~ + y = 180°
CONCEPTO O
PROPIEDAD
3.4 TEOREMA DELÁNGULO EXTERIOR.
En todo triángulo, la sumade las medidas de dos
ángulos interiores esigual al exterior noadyacente.
3.5 TEOREMA DE LASUMA DE LOSÁNGULOS EXTERIORESLa suma de las medidas
de los ángulos exterioresde cualquier triánguloresulta 360°.
3.6 CLASIFICACiÓNDE LOS TRIÁNGULOS
FIGURA
a+~=1;~+y=~a+y=~
A
a' + ~ + y' = 360°
Se pueden clasificarsegún sus lados o segúnsus ángulos.
CLASIFICACiÓN DE LOS TRIÁNGULOS
Acutángulo : los tresRectángulo : Un ánguloObtusángulo : Tiene unángulos interiores agudos.
interior recto.ángulo interior obtuso.e
B~too ALlCSegún sus ángulos
~B
e : hipotenusaa c
A
CbA
Escaleno : Los tres lados
Isósceles :Dos ladosEquilátero : Los tresdistintos.
congruentes.lados congruentes.
B~
BB
Según sus lados
~~A
C0° 60°A C AC: baseA C
55
( 3.A. EJERCICIOS PROPUESTOS J
S
QP
a)
b)
6. Calcularaencadacaso:
5. En el ¡1PQR se traza RS tal que mLQSR =
117°.¿Cuál es el valorde x?
R
R
RH
3. SiTH...LSR,calcularx.
S
4. Calcular a si L1 // L2.
P
1. Calcular la suma de los ángulos a y~,
2. En la figura, x:y = 1:2 ; QS = SR ; PQ = QR,calcular mLPQS.
Q
.~.
c) d)
56
19. Si PQ = QR; ST//PQ, entonces a=? 23. Si PR = QR; TU -.l UV, entonce a =?
A) 120°
B) 110°
C) 130°D) 140°
E) 150°
P
Q
T R
A) 24°
B) 52°
C) 33°
D) 26°
E) 38°
20. El MBC es rectángulo en B y el ~ADE es
equilátero. El ángulo p mide:24. Si L1 // L2; a = 23° ; Y= 59°, entonces p =?
A) 70°
B) 80°
C) 90°
D) 100°
E) 110°
A
D
E B
A) 36°
B) 82°
C) 46°D) 66°
E) 72°
26. Se sabe que SQ -.l PR Y RQ -.l PT, entonces
a resulta: R
21. ~KLN Y ~LMN son isósceles de bases KN
y LN respectivamente; entonces elresultadode miLKLN-miLNKL es:
A) 135°
B) 112° 3D' N
e) 6703~
D) 22° 5'
E) 112° 5'
K L M
22. Los ángulos exteriores de un triánguloestán en la razón de 3:2:3, entonces se
trata de un triángulo:
A) rectángulo
B) isósceles
C) escaleno
D) isósceles escaleno
E) rectángulo isósceles
64
A) 50°
B) 26°
C) 24°
D) 25°
E) 12°
A) 86°
B) 58°
C) 94°
D) 144°
E) 148°
Q
( 4.9 RESUMEN DEL CAPíTULO 4 J
CONCEPTO O
PROPIEDAD
FIGURA CONCEPTO O
PROPIEDAD
FIGURA
BC • comprendido por ~ y y
AC '" PR "'-A", ",-P
BC '" OR "'-B", "'-O
AB", PO ",-C", "'-R
luego MBC '" t,POR---------j---4.2 Un ángulo interior C
está comprendido por los dlados que forman elángulo.
a ~
Si AC > AB > BC entonces
"'-B> ",-C > "'-A
AB +BC >AC
AB +AC > BC
AC +BC >AB
AB", PO )
Be '" OR ....• t,ABC '" t,POR
AC",PR ----./\D A C
"'-DAB> "'-B
"'-DAB> ",-C
4.5 TEOREMA LLL:
Dos triángulos soncongruentes si tienen lostres lados correspondientes congruentes.
4.6 DESIGUALDADES
TRIANGULARES:
Un ángulo exterior es mayorque cada uno de losinteriores no adyacentes.Al lado mayor se opone elángulo mayor.La suma de las medidas de
dos lados es mayor que eltercero.
B
a : comprendido por AC y AB
Un lado está comprendi- lAdo entre dos ángulos sisus vértices sonextremos del lado.
4.1 TRIÁNGULOS CON·
GRUENTES:
Cuando tienen lados yángulos correspondientes congruentes.
4.3 TEOREMA LAL:
Dos triángulos soncongruentes si tienen dospares de lados correspondientes congruentes y elángulo comprendidoentre ellos congruente.
4.7TEOREMA LLA:
Dos triángulos soncongruentes si tienen dospares de lados correspondientes congruentes y el
ángulo opuesto al ladomayor, respectivamentecongruentes.
AC", PR }
AB '" PO ....• MBC'" t,POR
"'-B","'-O
4.4 TEOREMAALA:
Dos triángulos soncongruentes si tienen dospares de ánguloscorrespondientes congruentes y el ladocomprendido entre elloscongruente.
4.8 TEOREMA DEL
CATETO Y DE LA
HIPOTENUSA:
Dos triángulos rectángulosson congruentes si tienensus hipotenusas congruentes y un par de catetoscorrespondientescongruentes.
AC '" PR }BC '" OR ....• MBC '" t,POR
83
( 4.A. EJERCICIOS PROPUESTOS )
y
O
M
Z
C
L
R
B
K
A
6. Demostrar que el MDE es isósceles ,
sabiendo queAB = EC = BE = CD.
E
~
4. En la figura, m~BDC = m~ACD;
m~ADC = m~BCD, demostrar por
congruencia de triángulos quem~A=m~B.
O
W
A B- --5. En la figura, ~ WX == WZ y XY == YZ,
demostrar que XZ -.l Yw.
7. En la figura, si KN = MN ; KR = MR,
demostrar que m~KLR = m~MLR.N
M
N
O
\\\\
\\
\\
\\
\\
\
P
A
L
\\\\
\\\
\\
\\\\
SSi LM = MN Y SM = RM entonces
demostrar que LS = NR.
2. Demostrar que cualquier punto de la
bisectriz de un ángulo equidista de suslados.
1. Demostrar que si dos segmentos se
bisectan, entonces los trazos que unen los
extremos de los segmentos dados son de
igual medida.
L R
B G C----.
Si BD es bisectriz del ~ABC, P un
punto cualquiera de ella entonces
demostrar que PF = PG
3. En la figura, por congruencia de triángulos,
demostrar que ~L == ~M si KS = NS ;- - --LK-.l KM Y MN -.l NL.
K
84
13, Si en un triángulo rectángulo, p y q son las
medidas de cada cateto respectivamente y
r es la longitud de la hipotenusa, entonces
siempre ocurre que:
17, Dos lados de un triángulo miden 1,6 Y3,4 cm
respectivamente. ¿Cuántos triángulos es
posible construir con estas medidas si eltercer lado debe ser un número real con una
cifra decimal?
A) p> r
B) q > r
C) r>p+q
O) P < q
E) q < r
14. De la figura sabemos que AC ~ AO y- -OB ~ CB, entonces es cierto que:
A) 28
B) 29
C) 30
O) 31
E) 32 - --18. En la figu~ AB .1OF ; BC .1DE ; O punto
medio deAC ; FO = EO, luego:
B
o
15. ¿En cuál de las siguientes alternativas no es
posible construir un triángulo ABC con los
datos proporcionados?
o
e
e
o
A
A
A
A) LCAB~LCAO
B) L1CEOes isósceles
C) L1BCOes equilátero
O) LEOB ~ LACE- -E) AE~EO
A) AB=CB
B) AF=BF
C) AO=BE
O)AB=AC
E) OC=EC
A) OC
B) FO
C) EF
O) AB
E) BC
19, Los triángulosABC y ABO son congruentes
y se encuentran en distintos planos: Si E es
un punto del lado común AB, entonces
siempre se cumple que:
B
20, Según datos de la figura, se puede deducir
que el segmento más corto es :E
J
A
C
M
L
A) aplicando el teorema LAL
sedemuestraqueMCB ~MOB,
B) LCAB~LABO
C) LABO~LCBA
O) AC~CB- -E) AO//CB
B
A) NK~NL
B) MJ~ML
C) JK~JM
O) LJMN ~ LMLN
E) LNLK~ LMJN
A) a=4cm'b=10cm'c=7cm, ,B) a=5cm'b=9cm'c=9cm, ,C) a = 6 cm . b = 8 cm ' c = 11cm, ,O) a=7cm;b=7cm;c=13cm
E) a=8cm'b=6cm'c=15cm, ,
16. En la figura se cumple que LLKN ~ LJKN- -y JK~ LK, entonces:
89
( 5.12 RESUMEN DEL CAPíTULO 5 J
CONCEPTO O
PROPIEDAD
FIGURA CONCEPTO OPROPIEDAD
FIGURA
5.1 MEDIANA
Segmento que se obtiene al
unir los puntos medios de
dos lados de un triángulo.
A R B
5.5 BlSECTRIZ
Es el segmento que divid~a un ángulo interior de untriángulo en dos ánguloscongruentes.
e
B
P, Q, R : puntos mediosAQ, BR, CP : bisectrices
PQ, PR, QR : medianas
e
QL
R
P
El INCENTRO es el centro de la circunferencia
que es tangente a los treslados del triángulo llamada CIRCUNFERENCIAINSCRITA.
5.6 PROPIEDAD DELAS BISECTRICESLas bisectrices de los án
gulos interiores de untriángulo se intersectan enun punto llamadoIN CENTRO que equidista de los tres lados del
triángulo.
5.7 TRANSVERSALDE GRAVEDADEs el segmento queresulta al unir un vértice
con el punto medio dellado opuesto.
H
F L R M G
P, Q, R : puntos medios
G
LC:::l/ ~F N H
LM // FH . LM = lli, 2
NM // FG . NM = FG, 2
LN // GH ; LN = G2Hll.FNL := ll.LMG := ll.NHM := ll.MLN
5.2 PROPIEDADES DE LAS
MEDIANAS
a) Cada mediana es paralela
al tercer lado del triángulo ytiene la mitad de su medida.
b) Al dibujar las tres
medianas en un triángulo
dado, se forman cuatro
triángulos que son
congruentes.
5.3 SIMETRAL
Es el segmento perpendicu
lar en el punto medio de un
lado del triángulo.
PM, QL, RN : simetrales M, N, L : puntos medios
PM,QN,RL:transversales de gravedad
5.4 PROPIEDAD DE LAS
SIMETRALES.
Las tres simetrales de un
triángulo se intersectan en
un punto llamado
CIRCUNCENTRO que equidista de los tres vértices del
triángulo.El circuncentro es el centro
de la circunferencia circuns
crita.
e :circuncentro
HC=GC =FC
5.8 PROPIEDAD DELAS TRANSVERSALESDEGRAVEDADLas transversales de
gravedad de un triángulose intersectan en un punto I P
llamado BARICENTRO o CENTRO DEGRAVEDAD.
L
MG:PG= 1.2
NG:QG= 1:2LG:RG= 1:2
Q
104
12. Calcular a si éLECD = 138° YAB = BC.
E
B
C
R
A D
15. En el llABC, rectángulo en C, CD es
altura y EB bisectriz. Si éLABE = 12°,
calcular éLCFB y éLEAD.
e
~
14. El llPQR es isósceles y cada ángulo basalmide 64°. Calcular las medidas de los
ángulos formados por hp y hQ'
Q
16. En~ llABC , éLCAB = 46°, éLACB = 64°; AD
Y BE son alturas, M punto medio de AB.
Calcular las medidas de los ángulosinteriores del llEDM.
D
Rsp
A
9. En la figura, PTy QS son bisectrices.
Si a = 78°, calcular éLQIT.
Q
11. Trazar las simetrales de un triángulo
rectángulo y dibujar la circunferencia
circunscrita. ¿Qué conclusión se puedeobtener?
10. Dibujar un triángulo obtusángulo, sus
simetrales y encontrar el circuncentro.Formular una conclusión.
13. Si DC // EG // AB, calcular el valor de la
expresión FG - FE~ E Y G son puntosmedios y F dimidia aAC.
A M B
A 24
G
B
17. Si D es circuncentro y los segmentos
interiores del triángulo son simetrales,
hallarx, y, z.
A C
107
14. Si en el L'1EFG,rectángulo en F, EG = 2FG,
luego iLEGH =?
18. El MBC es rectángulo en C. ¿Cuál es la
medida del iLAOC si O es punto medio?
F G H- -15. En la figura, BC = AC ; BO y CE son
bisectrices. Si iLBOC = 123°, la diferencia
entre iLBAC y iLBCAresulta:
A) 100°
B) 120°
C) 135°
O) 150°
E) faltan datos
EA) 2a
B) 90°+ aC) 2~
O) 90°+ ~
E) a+~
A O
C
B
19. Si H es ortocentro, entonces iLLHN =A) 41° B
B)
8°
C) 66°O) 33°E) 49° /\~
A
O C
A) 50°
B) 80°
C) 40°
O) 30°
E) 20°
17. El L'1PQR es rectángulo en Q. QS es
simetral de PT,entonces a =?
N
T
A) 72°
B) 24°
C) 36°
O) 84°
E) 42° R
L
20. E es el centro de la circunferencia ex
inscrita del L'1RST.La medida del ángulo ~es:
R
e
TS
N
Q
~P
A
A) 2
B) 2,5
C) 3
O) 3,5
E) 4
A) 58°
B) 29°
C) 42°
O) 52°
E) 26°
16. Si L, M YN son puntos medios:
LN = 2x + 1 ; AN = 3x -1 y NC = y + 2, el
valor de 3x - y resulta:
B
111
( 6.15 RESUMEN DEL CAPíTULO 6 J
5) Ángulos interiores
"'-OAB, "'-ABC, "'-BCOy",-AOC
B
C
a BtUC
A
FIGURA
C
Fórmula de Herón
áMBC = ';s(s - a)(s - b)(s - e) ,
J a;cA a B
áoABCO = a·h
poABCO = 2·(a + b)
R
¿¿j"P C O
~ áMBC AB~ MPOR= POA B
C F~LA b B D b E
L1"G b H
áMBC = MDEF = MGHI = b·h2
áOABCO = a·h
pOABCO = 4·a
CONCEPTO O
PROPIEDAD
áMBC= ~= ~ - e·he I A2 2 --2-p.MBC = a + b + e
6.6 ROMBO
Tiene sus cuatro lados
congruentes y sus ángulosinteriores no son rectos.
6.7 ROMBOIDE
Sus lados opuestos son
iguales, sus lados
contiguos distintos y sus
ángulos interiores no sonrectos.
6.9 CUATRO TEOREMAS
RELACIONADOS
CON ÁREAS DE
TRIÁNGULOS.
a) Si dos o más triángulostienen la misma medida de
sus bases y de sus alturas,
entonces tienen igualessus áreas.
6.8TEOREM.ADELÁREA I S = a + b + cDEL TRIANGULO. 2
Es igual al semi-productoentre las medidas de la
base y la altura.
b) Si dos triángulos
tienen la misma altura,entonces la razóll entre
sus áreas es igual a larazón entre sus bases.
B
C
}B
B
C
7
B
a
a
a
FIGURA
o
AB // OC
AO // BC
a
o
blA
o
L
A
CONCEPTO O
PROPIEDAD
6.1 CUADRILÁTERO.
Es la figura geométrica
formada por la unión de
cuatro segmentos de tal
modo que solamente seintersectan en sus
extremos.
6.3 PARALELOGRAMO
Es un cuadrilátero en el
cual los lados opuestos
son paralelos.Se simboliza con #
Paralelogramo ABCO; I Aseescribe#ABCO
6.4 CUADRADO
Tiene sus cuatro lados
congruentes y sus ángulosinteriores rectos.
6.2 ELEMENTOS DE UN
CUADRILÁTERO- --1) Lados: AB, BC, CO,
AO.
2) Vértices: A, B, C yO.
3) Oiagonales:ACyBO.
4) Ángulos exteriores:
ex', ~', y'y8'.
áoABCO = a2
prnBCO = 4a
6.5 RECTÁNGULO
SUS lados opuestos son
congruentes, sus lados
contiglJos distintos y sus
ángulos interiores sonrectos.
áoABCO = a·b
pdBCO = 2·(a + b)
135
20. En el romboideABCD; E es punto medio de
AB; F eskunto medio de CD y G puntomediodeDF.
Si AB = 10 cm y h = 6 cm, calcular el áreasombreada.
16. Según datos, calcular el área y la longitud
de la mediana del trapecio PQRS.
R
~S
17. Demostrar que si se unen los puntos
medios de los lados de un trapezoide,
resulta un paralelógramo.
D G F C
N A E B
18. Calcular área y perímetro del trapecio
ABCD si los triángulos AED~EC y BCEson equiláteros y la mediana MN mide 9cm.
BA
23. El cuadrilátero ABCD es un cuadrado. E es
el punto de intersección de las diagonales;
si el área de la parte sombreada es igual a
12 cm2, calcular el perímetro del cuadrado.
22. El perímetro del romboide ABCD es de 40cm. Calcular las medidas de los lados si
AB=4x y BC=3x-1.D C
21. Si los lados de un triángulo miden 7,11 Y 15
centímetros respectivamente, usando lafórmula de Herón, calcular su área.
B
N
M
C
E
D
M
L
A
19. Calcular área sombreada si:
hG:h,=1:3 y ái1FHI=18cm2
I
F H A
e
B
140
7. El área de un triángulo es 2 cm2 Si la altura
es la cuarta parte de la base, entonces laaltura mide:
10. La suma de las bases de un trapecio es
igual al doble de la altura. Si el área del
trapecio es 49 cm2,entonces su altura es:
Q
C
B
R
S
D
A
A) 4p
B) 5p
C) 6p
D) 7p
E) 8p
A) 56cm2SI 35cm2I
C) 28cm2
D) 22cm2
E) 14cm2
A) Se mantiene igual
B) Se duplica
C) Se triplica
D) Se cuadruplica
E) Aumenta en cuatro unidades
13. Si el perímetro de un triángulo equilátero se
duplica, entonces su área:
12. El área sombreada vale p2, entonces el
perímetro del cuadrado es:
P, Q, R Y S son puntos medios
11. En un rombo sus diagonales miden 8 cm y
14 cm respectivamente. Al unir los puntosmedios de los lados se forma un
cuadrilátero cuya área es:
14. El área del romboide resulta:
A) 24~cm2
B) 24cm2 8 cm
C) 12cm2 ~ ~D) 12~cm2 45° cm
E) 9,f2 cm2
R
BM
T
S
A
A) 42 cm
B) 30 cm
C) 195 cm
D) 84 cm
E) 28 cm
A) 50%
B) 25%
C) 33%
D) 60%
E) 12,5%
9. El perímetro del LiSRT es:
A) 49 cm
B) 14 cm
C) 7 cm
D) 21 cm
E) Otro valor
A)4 cm
B) 0,25 cm
C) 2 cm
D)0,5 cm
E) 1cm
8. Si M es el punto medio de AB; ¿qué
porcentaje es el área del MME con
respecto al área del romboABCD?
D C E
144
( 7.16RESUME;DE~P¡';-O 7 J
CONCEPTO O
PROPIEDAD
7.10 ÁNGULO DELCENTROSe establece una relación
de medida angular entre el
ángulo del centro y el arco
que subtiende, haciéndole
corresponder a este último
la medida del ángulo en
grados.
FIGURA
Á8 = mL'LAOB
CONCEPTO O
PROPIEDAD
7.12 ÁNGULO SEMI-INSCRITO
Es el ángulo que tiene suvértice en la
circunferencia, uno de sus
lados es un segmento o
rayo tangente y el otro lado
es una cuerda o rayosecante.
FIGURA
A
7.11 ÁNGULO INSCRITO
Corresponde al ángulo quetiene su vértice en la
circunferencia y sus ladosson cuerdas.
Propiedad del ánguloinscrito: La medida del
ángulo inscrito es igual a la
mitad del arco quesubtiende.
Los ángulos inscritos que
subtienden el mismo arco,
son congruentes.
B
r-..
L'LABC = AC2
B
E
Propiedad del ángulosemi·inscrito
La medida del ángulo
semi-inscrito es igual a lamitad del arco com
prendido entre los lados
del ángulo.
7.13 ÁNGULO INTE·RIOR
Corresponde al ángulo
que tiene su vértice en elinterior de la circunferencia
y sus lados se encuentran
contenidos en cuerdas quese intersectan en dicho
vértice.
L'LBAC = BA2
A
Todo ángulo inscrito en unasemicircunferencia es
recto.
L'LABC = L'LADC = 90°
174
L'LACB = L'LADB = L'LAEB
B
Propiedad del ángulointerior
La medida de un ángulo
interior es igual a lasemisuma de las medidas
de los arcos comprendidos
entre los lados del ángulo y
sus prolongaciones.
L'LABC = AC + DE2
31. Si a = 38°, ~ = 94 0, calcular las medidas de------ ------
AByCD.
------- -------
34. a = 38°, AG = 154°, CE = 60°. CalcularmLOBO'.
Eo
B
32. Calcular mLRPS según datos de la figura
si mLQSR = 2,9xmLPSQ.
Q
P
------
33. RS=120°,OS=4cm.
Calcular la medida del segmento tangentesr
sT
-------
35. AB = 11x + 7 ; BC = 23x + 5; AD = 6x ;-------
CD = 13x -23;. Calcular el valor de a.
A
B
C
36. Si a:~ = 5:13, calcular a y ~ si elcuadrilátero KLMN está inscrito en la
circunferencia.
L
N
M
181
M
C
A) 140°
S) 120°
C) 70°
O) 60°
E) 190°
S
A) 2
S) 3
C)4O) 5
E) 6
22. PQ, SQ y RQ son tangentes a las
circunferencias de centros O y O'; entonces
es(son) verdadera(s):
1. OQ = O'Q
11. PQ = RQ
111. LPQS ~ LSQR
A) Sólo I
S) Sólo 11
C) Sólo 111 Q
O) 1,11 Y 111
E) 11 Y 111
L T
24. mLASC=110°,mLAOD=80°.El valor de CD es:
23. La circunferencia es tangente al ~KLM en los
puntos R, S YT.
Si RK= 3, KM = 12y LM = 14, entonces RL=?
K
O
R
A) 20°
S) 30°C) 40°
O) 60°
E) 80°
A
A) 7
S) 10C) 11
O) 12
E) 15
A) R - rS) R + r
C) ~R2+ r2O) R + r-ff
E) 2~ L
/'-20. CD = 190: Y mLDFC = 4·mLSAD,
entonces SE = ?
19. En la figura, las circunferencias son
tangentes entre sí. Si AS = 10, AC = 14
Y SC = 18, entonces el radio de lacircunferencia con centro S es:
21. Las circunferencias de centros O y O' son
tangentes de radios R y r. La tangente
común LM mide:
186
13. Si el cuadrilátero EFGH es un cuadrado de
lado 12 cm. Calcular área y perímetro de la
figura sombreada.
16. Calcular el área sombreada sabiendo que
SR y PO son diámetros.
F
E
G
H
S
P R
14. Si el cuadrilátero PORS es un cuadrado de
lado 20 cm, T punto medio, calcular el áreasombreada.
17. CuadriláteroABCD es un cuadrado de lado
8 cm. Calcular el área sombreada.
P
S T
o
R
A
D
B
C
15. El radio OA mide 5 cm. Calcular área y
perímetro del sector circular sombreado.
18. Cuadrilátero EFGH es un cuadrado de lado
12cm. Calcular el área achurada.
A
B
E
H
F
G
203
23. La figura sombreada está formada por tressemicircunferencias de diámetrosAB, BC
y AC. Si AB = 6 cm, BC = 4 cm, su área es;
26. El cuadrilátero PQRS es un cuadrado de
lado 6 cm. K, L, M YN son puntos medios.
El perímetro de la región sombreada es:
QLP
2
A) 20n cm2
B) 1On cm2
C) 12ncm2
D) 14ncm2
E) 16n cm
o A B e
A) 6ncm SB) 3n cm
C) n cm
D) 4ncm
E) 8ncm K ~""~""""""""""~""~~ M
A) 32-8n
B) 64-8n
C) 32(1-n) C
D) 32-n
E) 4(16-n)
A D B
28. Si OA = AB = BC = 2 cm, entonces alcalcularel área achurada se obtiene:
27. El ,1ABC es rectángulo ísósceles, AB =
8-)2,15 es punto medio, los puntosA y B soncentros de los arcos de circunferencia. El
áreasombreada, en cm2, es:
C
B
~
0\
"-
>'./-------
A
2
A) nr 32B) nr 42C) nr 5
2
D) nr6
A
A) su área se duplica
B) su área se cuadruplica
C) su área aumenta seis veces
D) el perímetro se cuadruplica
E) el perímetro aumenta 50%
2
A) 20n cm2
B) 10n cm2
C) 18n cm2
D) 15n cm2
E) 12n cm
24. Si mLLAOB = 60°, entonces el área no
sombreada, en función del radio, resulta:
2
E) nr2
25. Si el radio de una circunferencia se duplica,entonces:
211
6. En el ~LMN; NQ = 12; LQ = 5 Y QM = 9.
Calcular LN, MN Y el radio de lacircunferencia circunscrita.
9. Si en la figura, QR = 13; PR = 20; PQ = 21.Calcularr.
7. En el trapecio isósceles PQRS.PS =SR=RQ=20cm.
Si iLSPQ = iLRQP = 60°, calcular la longitud
de la base mayor, la altura y la diagonal del
trapecio.
MP
N
L
10. El ~LMN es un equilátero de lado 20 cm.CalcularQR.
Q
RS
P
8. En la figura, AB = 12; AC = 15 Y r = 10.Calcular BC.
11. Si las áreas de dos triángulos semejantes
son 64 cm2 y 25 cm2, calcular la longitud de
uno de los lados del triángulo de menor área
si el correspondiente del triángulo de mayorárea mide 16 cm.
247
7. Si EG//DH YEI//FH, entonces: 10. Dos triángulos son semejantes si tienen:
1. FG· DI = IH· GH
11. DI·IH=FG·GH
111. DEFG ~ DDEI
Es(son) verdadera(s):F
1. Dos lados proporcionales y un
ángulo congruente.
11. Los tres lados proporcionales.
111. Sus tres ángulos congruentes.
G
x G
M 'x+3 N
x+7
D
L
A) 6
B) 21C) 7,5D) 11,5
E) 13,5
Siempre es(son) verdadera(s):
A) sólo I
B) sólo Iy 1I1
C)sólo 1y 11
D)sólo 11y I1I
E) 1,11Y 111
11. En el LiDEG, DF Y EH son bisectrices,
EF =4, DE = 10y DG = 15.El valorde DH + FG resulta:
E F~ .
12. Si EL// FM // GN luego FM =?
A) 3
B) 6
C) 10
D) 15
E) Faltan datos
EtX+2 F
C
R3cm
F
P
Q
B
7cm
A) sólo I
B) sólo 11
C)sólo 111
D)sólo Iy 1II
E) Las tres.
o I H- -8. El LiPQR es rectángulo en Q; QS -1 PR,
entonces ~~ = ?
A) "23
B) 17
C)~49
D)499
E)'J'58
9. En el LiABC; DE // BC, EF // AB, FG // AC,
AD = 4, AE = 8, EC = 12 Y FC = 9, luego
DG=? A'\
A)6
B)2
C)4
D)3
E) Otro valor
251
19. En el i1AOC, rectángulo en O, EB esbisectriz del fLAEC; EC bisectriz delfLBEO.
Si AB = 21; EO = 20 YAE = 24, entoncesEB=?
22. En la circunferencia de centro O, AB es
diámetro, AC y BC son cuerdas.
En el MBC, BC = 16cm, BO = 12,8 cm, al
calcular el perímetro de la circunferenciaresulta:
A) 35
B)15
C)20 O
Ol25,2/NE)40
A B C
20. De acuerdo a los datos de la figura, la
longitud de SR es:
A) 10n cm
B)15ncm
C)20ncm
O)25n cm
E) 30n cm
A B
BA)4~
B) 4~3
C) 8~
O) 8-v'3'3
E) 5--13'
23. En un triángulo ABC rectángulo en C, el
cateto mayor mide el doble del menor y la
hipotenusa mide 10 cm.
La proyección del cateto mayor en la
hipotenusa mide:
A) 2cm
B) 4cm
C) 6cm
O) 10cm
E) 8cm
24. El triánguloABC es equilátero de lado 8 cm
y está inscrito en la circunferencia decentro O.
El radio de la circunferencia mide:
R
S
o x R
S
O
4
x+1
P
A)33
B)27
C)28
D)21
E)30
A) 5
B) 6
C) 9
O) 5-v3
E)3~
P
21. En el i1PO~ la Jiiferencia entre las
medidas de SR y PS resulta uno (1).Si OS es bisectriz del fLROP, PO = 10,
OR = 12, entonces el perímetro del ~PORes:
253
( 10.A EJERCICIOS PROPUESTOS J
1. Calcular la longitud de la tangente CD si el
radio mide 16 cm, BC = 4 cm y O es elcentro de la circunferencia.
4. En la circunferencia de centro O,~ radiomide 6,5; BD = 3 cm, BC = 1 cm yACes un
diámetro. Calcular la longitud de BE.
D
R
N
DA
E
5. SiPR=18cm;SR=9cmyQR=6cm.CalcularTS.
6. Si KN = 8 crl2.] LM = 12, calcular MNsabiendo que KN es tangente.
7. Calcular el valor de x sabiendo que:
AB=3x; DB=7x-2; BE=x; BC=2x.
Q
C
F
D
B
OA
C
H
3. En cada caso; calcular la potencia del
punto Q con respecto a la circunferencia decentro O.
a) QB=5 ; QA=20
b) OC = 4 ; QD = 6
c) AB=3 ; BQ=8
d) QC = 20 ; QD = 4
A
2. En cada caso, determinar la potencia del
punto P con respecto a la circunferencia decentro O.
a) PF = 4 ; PH = 12
b) PG=3 ; EG=18
c) FH = 20 ; PF = 5
d) EP = 12 ; PG = 6
E
265
( 10. B EJERCICIOS DE SELECCION J
1. En la figura, AE = 25; CE = 2·EO; EB = 8,entonces CE = ?
4. En la figura PQ = 17; QR = 15 YTS = 28
¿cuánto mide SR?
A) 5
B) 20,5
C)25
O) 16,4
E)20
O
A) 18
B) 24
C) 15
O) 10
E) 12R
2. CalcularAB si BC= 12; EO = 25 YOC = 15
A) 28
B)38
C) 7,2
0)50E) 31 ,25
C
E
5. Si AB es un diámetro y CO una cuerda,
AO = 8; OB = 2·EB, entonces la relacióncorrecta es:
A) DE· EC=32
B) DE + EC= 16
C)OE=EC
O)OE· EC=48
E) OE=3· EC
C
F
H
A)10
B)18
C)20
O) 4
E)96
6. EF es tangente de longitud 12; FG = 8,la medida de FH es:
AB
O
3. AB tangente y AO secante.
SiAB = 6yAO =3 ·AC, entonces CO =?
A)6
B) 2..J3
C) 18
0)4..J3
E)9
269
11. Calcular la apotema del triángulo
equilátero inscrito en la circunferencia si sualtura mide 9~ cm.
R
LM = In
17. Calcular el área comprendida entre el
hexágono regular y circunferencia de radio12cm.
L
16. Calcular el área y el perímetro de un
hexágono regular que se encuentra
inscrito en una circunferencia de perímetro16n cm.
15. Demostrar que para un polígono regularden lados inscrito en una circunferencia, la
apotema en función del radio y del lado
corresponde a la expresión:
CF
10. Calcular el área sombreada si el hexágono
regular está inscrito en la circunferencia deradio 10cm.
E
18. Calcular el área de la circunferencia
circunscrita a un octógono regular cuya
área es 36 cm 2 si 18 = n/2 - -12 .'
12. Si r = 10 cm y el cuadrado ABCD está
inscrito y circunscrito en las circunferencias
concéntricas, calcular el área comprendidaentre ellas. w
R S
T
13. Una circunferencia tiene 81n cm2 de área.
Calcular el perímetro del hexágono inscritoenella.
19. Calcular cuanto suman las medidas de los
ángulos interiores de un pentadecágono.
14. Cada ángulo interior de un polígono
regular mide 1500• Determinar cual es el
polígono.
20. ¿Cuánto resulta al sumar las medidas de
todos los ángulos exteriores de un
endecágono?
288
B
18. Si la suma de los ángulos interiores de un
polígono es 1.620°, entonces el polígonotiene:
A) 81ados
B) 91ados
C) 10 lados
O) 11 lados
E) 121ados
17. Enlafigura,amide:
A) 160°
B)200°
C) 150°
0)170°
E) 120°
E
o
21. Si la medida de cada ángulo interior de un
polígono regular mide x grados, entonces
el número de lados del polígono es:
180 + xA) 360
180 - xB) 360
180C) 360 - x
360O) 180 + x
360E) 180 - x
22. El perímetro de un polígono regular es
48 cm. ¿Cuál es el área de la región
poligonal correspondiente si la apotemamide6cm?
19. En un pentágono regular de 6 cm de lado,
se cumple que:
CF
A) 150-../3
B) 75-../3
C) 100-../3
O) 50-../3
Ej 125-Y3
2
A) 144 cm2
B) 288cm2
C) 72cm2
O) 96cm2
E) 192cm
23. Si el radio de la circunferencia circunscrita
al hexágono regular mide 10 cm, el área2
achurada, en cm , resulta:
R
S
T
A) cuadrilátero
B) pentágono
C)hexágono
O) heptágono
E) octógono
20. Un ángulo exterior de un polígono regular
mide 72°, entonces el polígono sedenomina:
291
( 12.A. EJERCICIOS PROPUESTOS J
1. El diámetro de una esfera es 12 cm. Calcu
lar su volumen.
2. ¿Cuánto mide la diagonal de una cara deun cubo si su área total es 150 cm2?
3. La arista basal de una pirámide de base
cuadrada es 8 cm y la altura 6 cm. Calcularsu área total.
4. El volumen de un cilindro de revolución es
de 144n y el diámetro de la base 12.
¿Cuánto resulta su área total?
... ········12 cm
S. Calcular el área total de un cono de
revolución sabiendo que su radio basal es
5 cm y su altura 12 cm.
6. ¿En qué razón están las áreas laterales
de dos cilindros rectos de igual altura y
cuyo radio basal de uno de ellos es eldoble del otro?
7. Determinar el área de una esfera
circunscrita a un cubo de arista 8-Y3 cm.
8. Calcular la medida de la generatriz de un
cono recto si el radio basal mide 9 cm yla altura 12 cm.
328
9. ¿Cuál es el área lateral de un tronco de co
no recto si sus radios basa les miden 5 y 4
cm y la generatriz 6 cm?
13. De acuerdo a los datos de la figura, el áreatotal del cilindro recto es:
4cm
: 6 cm.---'.---
A) 80rc cm2
B) 40rc cm2
C) 20rc cm2
D) 48rc cm2
E) 32rc cm2
4 cmA) 44rccm2
B) 15rccm2
C) 50rc cm2
D) 120rc cm2
E) 54rccm2
10. ¿Que relación existe entre la arista de un
cubo inscrito en una esfera y el diámetro dedicha esfera?
A) d = av13
B) a = d-€C) d = a--.f2
D) a = d-€E) d = 2a
14. Un recipiente para líquidos tiene forma
cónica con una altura de 12 cm y un radio
de 6 cm. ¿Cuál es aproximadamente su
capacidad?
A) un cuarto de litro
B) medio litro
C) tres cuartos de litro
D) un litro
E) dos litros
11. Una esfera de radio 3cm tiene un volumen
de:15. Si el área de la base de una pirámide es
16 cm2 y su altura 6 cm, entonces:
A) 27rccm3
B) 36rc cm3
C) 108rccm3
D) 9rc cm3
E) 54rc cm3
A) su base es un cuadrado
B) su área total es 96 cm2
C) su volumen es 32 cm3
D) el área de una de sus caras es 18\"3 cm2
E) su volumen es 96 cm3
12. El volumen de un tronco de cono recto es
7rc cm3, Si los radios basales miden 1 y 2
cm respectivamente, entonces su alturamide:
1 cm
16. Un tronco de pirámide tiene por bases
cuadrados de 3 y 4 cm por lado
respectivamente. Si su área total es de 67
cm2, entonces su apotema mide:
A) 1 cm
B) 2cm
C) 3cm
D) 4cm
E) 5cm
A) 2 cmB) 1 cm
C) 5 cm
D) 4 cm
E) 3 cm
331
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