7/25/2019 Compilacion de Aportes
1/37
Hallar la solucin de las siguientes integrales paso a paso, teniendo en cuentalas propiedades de las integrales indefnidas, las cuales son consecuencia delas aplicadas en la dierenciacin.
EJERCICIO 1
SILVIA
x
3+x2x2
dx
ddx [f1 X
3+X2
X2
dx ]
X
F.1( 3+X2)X
2 dx
ddx
XF( 3+X2)
X2
dx
ddx
XF( 3+X2)
X2
d1
x
ddx
XF( 3+X2)
X2
dx
ddx
7/25/2019 Compilacion de Aportes
2/37
XF( 3+X2)d
X2
x1
d
dx
XF( 3+X2)dx
X2
ddx
X
x ( f( 3+X2)d)xx
ddx
ANGELA
X3+X2
x2 dx=x
3
x2dx+ x
x2dx2 1
x2dx
xdx+ 1x
dx2x2dx
x
2
2+ ln|x|2x
1
(1 )
x
2
2+
2
x+ ln|x|+c
JHON
7/25/2019 Compilacion de Aportes
3/37
XF.1(3+X2)
X2 dx
XF( 3+X2)
X2 dx
x3+x2
x2 dx
ddx[f1 X
3+X2
X2 dx ] ddx
XF( 3+X2)
X2
d1
x
XF( 3+X2)
X2
dx
XF( 3+X2)d
X2
x1
d
dx
XF(3+X2)dx
X2
Xx ( f( 3+X2)d)
xx
ddx
OSCAR
1. x3+x2
x2 dx = (x
3
x2+
x
x22x2 )dx
7/25/2019 Compilacion de Aportes
4/37
= x3
x2dx+ x
x2dx 2
x2dx
= x dx+1
x
dx2 1
x
2dx
=(x2
2+lnx+
2
x )+C
LEONARDO
1 x
3+x2
x2
dx = (x3
x2+
x
x22x2 )dx
= x3
x2dx 2
x2dx+ x
x2dx
= x dx2 1
x2dx+ 1
xdx
=x
2
2+
2
x+lnx+C
EJERCICIO 2
SILVIA
sec
2(x )
tan(x )dx
ddx
[f
(
d1
sec2 (x )
tan
(x )
. x
)]
ddx [ f( d sec
2 (x )
tan(x).x1 )]
o
7/25/2019 Compilacion de Aportes
5/37
ddx [ f( d sec
2 (x )x
tan (x ))]o
ddx
[f1
(dsec2 (x ))x
tan (x )]o
ddx [fd sec
2 (x )x
tan (x)]o
fd1
ddx [ sec
2 (x )x
tan (x)12]o
fd ddx [sec
2 (x )x
tan(x)12]
fd ddx[tan (x )
1
2 ddx [sec2 (x )xsec2 (x )xddx ] [ tan (x )
1
2 ](tan (x )
1
2) ]
fd ddx[tan (x )
1
2 ddx
[sec2 (x )x ]sec2 (x )x ddx
[ tan (x )1
2 ]( tan(x )) ]
fd ddx[tan (x )
1
2 ddx(sec2 (x )+x ddx[sec2(x )])sec2 (x)xddx[ tan (x )
1
2 ]tan(x) ]
fd ddx[
tan (x )
1
2 ddx(sec
2
(x )+2xs+sec (x )+xddx[sec(x )])sec
2
(x )xddx[ tan (x )
1
2
]tan(x ) ]
fd ddx[tan (x )
1
2 ddx
(sec2 (x )+2xsec (x ) tan(x))sec2 (x )x ddx
[ tan (x )1
2 ]tan(x ) ]
7/25/2019 Compilacion de Aportes
6/37
fd ddx[tan (x )
1
2 ddx
(sec2 (x )+2xsec (x ) tan(x))sec2 (x )x ddx
[ tan (x )1
2 ]tan(x ) ]
fd ddx[tan (x )
12 d
dx(sec2 (x )+2xsec (x ) tan(x))sec2 (x )x d
dx[ tan (x )12 ]
tan(x ) ] fd
ddx[tan (x )
1
2 ddx
(sec2 (x )+2xsec (x )2 (x) tan(x))sec2 (x )x ddx
[ tan(x)1
2 ]tan(x) ]
fd ddx[
tan (x )12 d
dx(sec2 (x )+2xsec (x )2 (x ) tan(x))sec2 (x )x d
dx [ tan(x)12+1222 d
dx] [ tan(x) ]tan (x ) ]
fd ddx[tan (x )
1
2 ddx
(sec2 (x )+2xsec (x )2 (x) tan(x))sec2 (x )x ddx [ tan(x)
1
2+12
2 ddx ] [ tan(x) ]
tan(x) ]
fd ddx[
tan (x )
1
2 (sec2
(x )+2xsec (x )2
(x ) tan(x))1
2
2 sec
4
(x )x
d
dx[tan
(x )]1
2x2
tan(x) ]JHON
sec2(x)
tan (x )dx
1 u
du 1
u=u
12 u
12 du=
u12 +1
12+1
=tan
12 +
1
(x )12
+1=2tan (x )=2tan (x )+c
sec2(x )
tan (x )dx=2tan (x )+c
7/25/2019 Compilacion de Aportes
7/37
CLAUDIA
sec2(x)
tan (x )
dx
1u
du
1
u=u
12
u12 du
u
12 +1
12 +1
tan
12
+1(x)
12
+1
2tan (x )
2tan (x )+c
sec2
(x ) tan (x ) dx=2tan (x )+c
OSCAR
sec2(x )
tan(x)dx = Integral por sustitucin
= tan (x)=t ;dt=sec2(x )dx
= dt sec2(x)dx; se despejadx
=dx=
dt
sec2(x )
7/25/2019 Compilacion de Aportes
8/37
Por identidadcos
2 (x )= 1
sec2(x )
= dx=cos2 (x ) dt
Entonces
sec2 (x )cos2(x )
t dt
1
cos2(x )
cos2(x )
t dt
1
cos2(x )
cos2(x )
t dt
1t
dt
t1 /2 dt
t
12+1
12 +1
=t1 /2
1
2
=2t ; reemplazo t=tan(x )
sec2(x )
tan(x)dx=2tan (x )+C
LEONARDO
sec2(x )
tan(x)dx
Integral por sustitucin
7/25/2019 Compilacion de Aportes
9/37
= tan (x)=t ;dt=sec2(x )dx
= dt sec2(x)dx; se despejadx
=dx= dt
sec2(x )
Por identidad cos2 (x )=
1
sec2(x )
= dx=cos2 (x ) dt
Entonces :
sec2 (x )cos2(x )
t dt
1
cos2(x )
cos2(x )
t dt
1
cos2(x )
cos2
(x )
t dt
1t
dt
t1 /2 dt
t
12+1
12 +1
=t12
1
2
=2t ;
reemplazot=tan(x)
7/25/2019 Compilacion de Aportes
10/37
sec2(x )
tan(x)dx=2tan (x )+C
EJERCICIO 3
SILVIA
(1+3)2
3 x dx
1+32=(9x2+6x+1)
9x
2+6x+13
xdx
9x
2
xdx+ 6x
xdx+ 13
xdx
9x2
3xdx=
27x8
3
8
6xx
dx=18x
5
3
5
1x
dx=3x
2
3
2
27x
8
3
8 +
18x5
3
5 +
3x2
3
2
1+32
ANGELA
(1+3x3x)2
dx= 9x2+6x+1
3x
dx
7/25/2019 Compilacion de Aportes
11/37
9x
2
3
xdx+ 6x3
xdx+ 13
xdx
9x2 . x13 dx+ 6x . x
13 dx+x
13 dx
9x
8
3
8
3
+6x
5
3
5
3
+x
2
3
2
3
+c
27
8 x
8
3+18
5 x
5
3+3
2x
2
3
+ c
JHON1+32
1+32=(9x2+6x+1 )= 9x2+6x+1
3xdx= 9x
2
xdx+ 6x
xdx+ 13x
dx 9x2
3xdx=
27x8
3
8 6x
xdx=
(1+3)2
3 x dx
CLAUDIA
(1+3x)2
3 x dx
1+32=(9x2+6x+1)
9x2+6x+1
3
xdx
9x2
x
dx+ 6x
x
dx+ 13x
dx
9x2
3xdx=
27x8
3
8
6xx
dx=18x
5
3
5
7/25/2019 Compilacion de Aportes
12/37
1x
dx=3x
2
3
2
27x
8
3
8
+18x
5
3
5
+3x
2
3
2
+c
OSCAR
LEONARDO
(1+3x )2
3xdx= 1+3x+dx
2
3xdx
13x
dx+ 3x3x
dx+ 9x2
3
xdx
x13 dx3x
2
3 dx+9x5
3 dx
3x2
3
2 +
9x5
3
5 +
27x8
3
8 +c
EJERCICIO 4
7/25/2019 Compilacion de Aportes
13/37
JHON
tan3 (x ) dx= tan (x) sec 2 (x) dx tan (x) dx.
CLAUDIA
tan3(x)dx
tanx=sinxcosx
sen2x=1cos2x
Reemplazando
tan3
dx=sen3x
cos3x dx
Descomponiendo la potencia del numerador
sen2x . senx
cos3x
dx
Usandox
1cos2 .senx
cos
3x
Por el mtodo de sustitucin de variablesu=cosxdu=sen xdx
dx= dusenx
Reemplazando en trminos du
(1u)2 senx
u3 senxdu
eparando los integrales
7/25/2019 Compilacion de Aportes
14/37
( 1u3du 1
udu)
+n|u|c
u2
2
Voliendo a la aria!le original
1
2cos2x+|n|cosx|+c
1
2sec
2 (x)+|n|cosx|+c
OSCAR
7/25/2019 Compilacion de Aportes
15/37
"EO#$R%O
Sustitucion
El co&unto de todas las antirediadas de '()* se llaa integral inde'inida de ' respecto a ), -
se denota por el si!olo f(x ) dx=F(x )+C . Resoler las siguientes integrales
inde'inidas:
EJERCICIO /
SILVIA 2+9 3x
3x2dx
2+93x
x2
3
dx
39u+2du
39u+2du
7/25/2019 Compilacion de Aportes
16/37
3v9
dv
31
9 v dv
31
9
v1
2+1
1
2+1
31
9
(93x+2)
1
2+1
1
2+1
2
9(9
3x+2)3
2
=2
9(9
3x+2)3
2+C
JHON
2+93x
3x2dx
2+93
x
x2
3
dx 39u+2du39u+2du 3
v9
dv
31
9 v dv 3
1
9
v1
2+1
1
2+1
31
9
(93x+2)
1
2+1
1
2+1
2
9(9
3x+2)3
2
=
2
9(9
3x+2)3
2+C
CLAUDIA
7/25/2019 Compilacion de Aportes
17/37
2+93x
3
x2dx
3x2 = x2
3 , se asue 0ue x0
2+93x
x2
3
dx
e aplica integracin por sustitucin:
39u+2du
e saca la constante:
39u+2du
#ueaente se aplica la integracin por sustitucin:
3 v9
dv
e saca la constante:
31
9 v dv
"uego se aplica la regla de la potencia:
31
9
v1
2+1
1
2+1
e sustitu-e en la ecuacin:
31
9
(93x+2)
1
2+1
1
2+1
e sipli'ica:
7/25/2019 Compilacion de Aportes
18/37
2
9(9
3x+2)3
2
Por ltio se agrega una constante a la solucin:
2
9(9
3x+2)32+C
OSCAR
2+93x
3
x2dx
2+93x
3
x2
dx=
(2+9x1
2 )1/2
x2
/3
aceos: u=2+9x1 /3=du=
913
x2/3
dx
du=3x2 /3 dx
du=3dx
x2/3
du3=dx
x2 /3
1
3 u1/2 du=
1
21
3 u
3
2+C=2
9(2+9x
1
3)3
2
+C
x
2+93
2
9
"EO#$R%O
7/25/2019 Compilacion de Aportes
19/37
2+93x
3
x2dx
2+93x
3
x2dx
(2+9x
1
2)1/2
x2 /3
Integral por sustitucin:
u=2+9x1 /3=du=91
3 x2/3dx
du=3x2 /3 dx
du=3dx
x2/3
du
3
=dx
x2 /3
1
3u
1
2 du=
1
21
3u
3
2+C
2
9(2+9x
1
3)3
2
+C
x2+9 3
2
9
7/25/2019 Compilacion de Aportes
20/37
EJERCICIO
SILVIA
x
3x4 dx
123V2 d
1
2 1
3v2dv
1
2 3cos (v )
33 sen2(v) dv
1
23 cos (v )
33 sen2(v )
1
23 cos(v )
3 sen2 ( v )+1dv
123 cos(v )cos2(v)3 dv
1
23 cos(v)
cos(v)3dv
1
23 1
3dv
12
3 13 v
1
23
1
3arcSen
1
3x
2
7/25/2019 Compilacion de Aportes
21/37
1
2arcSen(x
2
3 )JHON
x3x4
dxIntega! "n#ed"ata
xa2x2
=1
2arcSen (xa )+c=12 arcSen (x2 )+c
ANGELA
x
3x
4dx Integral inediata
xa2x2
=1
2arc Sen(xa )+c
1
2arc Sen (x2 )+c
CLAUDIA
x3x4
dx
Esdela forma dxa2x2
x=a sen
dx=acosd
x
2
=3
sen
2xdx=3cosd
xdx=3cosd 2
7/25/2019 Compilacion de Aportes
22/37
x22
(3)2x
3
2(3sen)
2
3cosd
3cosd2(33 sen2)
32 cos
3(1sen2 )d
32 cos
3cos2d
323
coscos
d
1
2 1d
1
2+c
Enc ontramos
7/25/2019 Compilacion de Aportes
23/37
x2=3Sen
x2
3=sen
=arcsen (x
2
3)
ue!o x3x 4
dx=arcsen(x
2
3)+c
OSCAR
=
=
LEONARDO
32
1 2
1 xSen
=
7/25/2019 Compilacion de Aportes
24/37
EJERCICIO 5
JHON
sen (4x ) cos (3x )dx =!"#$%&' sen"()& * sen")& + d) = "#$%& !sen"()& d)*"#$%& ! sen")& d) = "#$#-&co)"()& "#$%& cos")& *
CLAUDIA
sen(4x)cos (3x)dx
e usa la identidad: cos ( t) sen (s )=sen (s+ t)+sen(st)
2
sen (4x+3x )+sen4x3x2
dx
e saca la constante:
1
2 sen (4x+3x )+sen (4x3x )dx
e aplica la regla de la sua:
1
2( sen (4x+3x )dx+ sen (4x3x )dx)
sen (4x+3x ) dx=17 cos (7x )
sen (4x3x ) dx=cos (x )
12 (
17 cos (7x )cos (x ))
e agrega una constante a la solucin:
1
2 (17 cos (7x )cos (x ))+ C
7/25/2019 Compilacion de Aportes
25/37
OSCAR
sen (4x ) cos (3x )dx
dx=7dxdx=dx
7
senx2
x1
1dx
senx14
dxcosx14
cos (7x )14
cosx2
cos (7x )14
cosx2
+C
LEONARDO
sen (4x ) cos (3x )dx
INTEGRAL POR SSTIT!ION
dx=7dx dx=dx7
senx2
x1
1dx
senx14
dx=cosx14
cos (7x )
14
7/25/2019 Compilacion de Aportes
26/37
cosx2
cosx2 +C
EJERCICIO 6
ANGELA
cos
3 (t)+1
cos2 (t)
dt= Integral inediata 1
cos2x
dx=tan! x
cos3 (t)
cos2 (t)
dt+ 1cos
2 (t)dt=
cos (t) dt+ 1cos
2 ( t)dt=
Sen (t)+ tan ( t)+c
JHON
.
cos (t) dt+ 1cos
2 (t)dt==Sen (t)+ tan (t)+c
cos
3 (t)+1
cos2 (t)
dt=cos
3 (t)
cos2 (t)
dt+ 1cos
2 (t)dt=
OSCAR
7/25/2019 Compilacion de Aportes
27/37
LENARDO
( )
=
+=
dtt
dtt
t
2
2
seccos
cos
1cos
7n teorea generalente posee un nero de preisas 0ue de!en ser enueradas o
aclaradas de anteano. "uego e)iste una conclusin, una a'iracin lgica o ate8tica,
la cual es erdadera !a&o las condiciones dadas. El contenido in'oratio del teorea es la
relacin 0ue e)iste entre las 9iptesis - la tesis o conclusin.
EJERCICIO
ANGELA
". f(x )=x x2+16 [0,3 ] ;9 alor edio f
" (c )= f(# )f( a )#a
f(x )=2x2+16
x2+16 f(# )=39+16
2x2+16
x2+16=
15030
f( # )=3.5
f( a )=002+16
2x2+16=5x2+16
f( a )=0
7/25/2019 Compilacion de Aportes
28/37
x1=1,68992
Valores ediosx2=1,68992
JHON
f(x )=x x2+16 [0,3 ] /0 valor medio f" (c )=
f( # )f(a )#a
f(x )=2x2+16
x2+16f( # )=39+16
2x2+16
x2+16=
15030
f(# )=3.5 f( a )=002+16
2x2+16=5x2+16 f( a )=0
OSCAR
F(X)=XX2+16
fpromen [0,3]
x2x (+16)dx
fprom=0
3
fprom=1
3[1+x
3
3+16]
9+16+30
fprom
=1
3
R
7/25/2019 Compilacion de Aportes
29/37
a
#
f(x )= (#a )F(C)
0
3
x x2+16dx=(30 ) f(c)
0
3
x x2+16dx
x x2+16dx
$=x2+16
d$=2x dx
$d$2
1
2 $
12 d$=
1
2
$3
2
3 /2+c
x2
+163
+c
$3
3+c=
6
x2+13
0
3
x x2+16dx=
7/25/2019 Compilacion de Aportes
30/37
(3)2+163(o)
+162
15.6253
40963
125
3
64
3=
125643
=61
3
$9ora
61
3= (30 ) . f(c)
61
9=f(c)
c c2+16=619
c
(c2+16 )9
61
c2(c2+16)=
3721
81
7/25/2019 Compilacion de Aportes
31/37
c4+16c2
3721
81 =0
x=
16%
16
24 (1 )3721
81
2(1)
x=16%256+1488481
2
x=16%3562081
2
16+20.972
=2,48
LEONARDO
F(X)=xx2+16
fpromen [0 "3]
x2x (+16)dx
fprom=0
3
fprom=13[1+
x
3
3+16]
7/25/2019 Compilacion de Aportes
32/37
9+16+30
fprom=1
3
EJERCICIO 1>
i se supone 0ue la po!lacin undial actual es de 5 il illones - 0ue la po!lacin dentro
de t a?os est8 dada por la le- del creciiento e)ponencial p (t)=e0.023 t
. Encuentre, la
po!lacin proedio de la tierra en los pr)ios 3> a?os.
CLAUDIA
p&=7mil millones ta'os=p (t)=e0,023t
p promen30a'os
valor promedios= 1
300 0
30
7e0,023 t
dt 1
30 [ 70,023 e0.023 t]
1
30
[ 7
0,023 e
0.023 t.30
7
0,023
] 1
30.
7
0,023[e0.691 ] = 8,883045 miles de millones
OSCAR
p=7mll
p=30a'os
7 (30 )=(210)0 .023=3 "772milmillones
R
7/25/2019 Compilacion de Aportes
33/37
LEONARDO
%atos:
p&=7milmillones
p=30a'os
7 (30 )=(210)0 .023=3 "772mil millones de personas
EJERCICIO 11
Sip (x )=
1
x3
cos (t) dt. Deter#inar
dp
dx=
d
dx1
x3
cos (t)dt.
ANGELA
+c
dpdx1
x3
cos (t) dt=dpdx
Sen (x)+1
x3
dp
dx
(Sen (x3 )Sen (1 ) )
3x2cosx3
OSCAR
Deter#inar
LEONARDO
Deter#inar
7/25/2019 Compilacion de Aportes
34/37
( ) ( ) 3233
33
cos311
cos
xxsensenxdx
dsensenx
senttdt xX
=++
=
EJERCICIO 12
CLAUDIA
$plicar el segundo teorea 'undaental del c8lculo para resoler:
0
(4
sen3 (2x ) cos (2x ) dx
a
#
f(x ) dx= f(# )f( a ) f) (x )=f(x)
0
(4
sen3 (2x ) cos (2x ) dx
$=2x
d$2=dx
0
(2
sen2 ($ ) sen ( $ ) cos ( $ ) d $
2
120
2(
2 sen2($)sen ( $ )(cos$)2
d$
1
20
(2
(1cos2 $) (sen$ )(cos$)d$
7/25/2019 Compilacion de Aportes
35/37
0
(
2
sen$.cos$d$+0
(
2
cos2$ . sen$. cos$d$
1
2
v=sen($)
dv=cos ($ ) . d$
t=cos ($)
d t=sen ( $ ) d$
0
(2
vdv+0
(2
cos3$ sen$.d$
1
2
+0
(2
t3dt
v2
2 0
(2
1
2
(2
2
20
t4
40
(2
1
2
=
(2
8
(4
64
1
2 [(4
2
2
(16
4
4]=12
7/25/2019 Compilacion de Aportes
36/37
(
2
16
(4
128
OSCAR
0
(/4
sen3 (2x ) cos (2x )dx=por sustituciont=2x ;dt=2dx
1
20
(/ 4
sen3 (t) cos ( t) dt
sustitu*endode nuevou=sen (t); du=cos (t) dt
1
20
(/ 4
u3du
1
2 [u3+1
3+1 ] {(4
0
=1
2 [u4
4] {(4
0
sen3 (2x )cos (2x ) dx=1
2 [sen4(t)4 ]{
(4
0
=1
2 [sen4 (2x )4 ]{
(4
0
0
(/4
1
2[sen4(2
(4)
4 ]1
2 [sen4 (20 )4 ]
1
2 [14 ]12[0 ]=18
LEONARDO
sen3 (2x )cos (2x ) dx=
0
(/4
7/25/2019 Compilacion de Aportes
37/37
Por el @todo de sustitucin t=2)A dt=2 d)
1
20
(/ 4
sen3 (t) cos ( t) dt
sustitu*endode nuevou=sen (t); du=cos (t) dt
1
20
(/ 4
u3du
1
2 [u3+1
3+1 ] {(4
0
=1
2 [u4
4] {(4
0
sen3 (2x )cos (2x ) dx=1
2 [sen4(t)4 ]{
(4
0
=1
2 [sen4 (2x )4 ]{
(4
0
0
(/4
1
2[sen4(2
(4)
4 ]1
2 [sen4 (20 )4 ]
1
2 [14 ]12[0 ]=18