CLASES DE MATRICES
Tipo de matriz
Definición Ejemplo
FILAAquella matriz que tiene una sola fila, siendo su orden 1×n
A1 x3= (7 2 −5 )
COLUMNAAquella matriz que tiene una sola columna, siendo su orden m×1
A3 x1=(−716 )
RECTANGULARAquella matriz que tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su orden m×n ,m≠n
A3 x 4=(1 3 2 95 7 −1 80 3 5 1 )
TRASPUESTA
Dada una matriz A, se llama traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.Se representa por At ó AT
Sies A=(aij )mxn ,su transpuesta esAt=(a ji )nxm,
A=(1 2 53 −4 7) ,
At=(1 32 −45 7 )
OPUESTA
La matriz opuesta de una dada es la que resulta de sustituir cada elemento por su opuesto. La opuesta de A es -A.
A=( 1 35 −7
−6 4 ) ,−A=(−1 −3
−5 76 −4)
NULASi todos sus elementos son cero. También se denomina matriz cero y se denota por Amxn=(0)
A3 x3=(0 0 00 0 00 0 0)
CUADRADA
Aquella matriz que tiene igual número de filas que de
A3 x3=( 1 9 −62 0 1
−2 4 5 )Diagonal
columnas, m = n, diciéndose que la matriz es de orden n.
Diagonal principal : son los elementos a11 , a22 , ..., ann
Diagonal secundaria : son los elementos aij con i+j = n+1
Traza de una matriz cuadrada : es la suma de los elementos de la diagonal principal, notada por Tr (A)
T r (A )=∑i=1
n
aii
principal Diagonal secundaria
SIMÉTRICAEs una matriz cuadrada que es igual a su traspuesta.A = At , a ij = a ji
ANTI SIMÉTRICA
Es una matriz cuadrada que es igual a la opuesta de su traspuesta.A = -At , aij = -aji Necesariamente aii = 0
A3 x3=( 0 1 −4−1 0 −24 2 0 )
DIAGONAL
Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal, es decir:
Sea la Matriz A= (aij)mxnssi:
a ij=0 ,∀ i≠ ja ij=escalar ,∀ i= j
A=(7 0 00 5 00 0 −2)
ESCALAR
Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales
A=(7 0 00 7 00 0 7)
IDENTIDAD
También se denomina matriz unidad.Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales a 1. Es decir:
Sea la Matriz I= (aij)mxnI es matriz identidad ssi:
a ij=0 ,∀ i≠ ja ij=1, ∀ i= j
I=(1 0 00 1 00 0 1)
TRIANGULAR
Matriz triangular Superior
Sea la Matriz A= (aij)mxnssi:
a ij=0 ,∀ i> jMatriz triangular Inferior
Sea la Matriz A= (aij)mxnssi:
a ij=0 ,∀ i< j
A=(1 3 50 4 −10 0 9 )
T. superior
A=(1 0 05 4 02 8 7)
T. inferior
IDEMPOTENTE
Una matriz A es idempotente si:A2=A
Nota: La identidad no es la única idempotente
I=I 2
I n=I
A=(0 10 1)
ORTOGONAL
Una matriz ortogonal es necesariamente cuadrada e invertible: A-1 = AT La inversa de una matriz ortogonal es una matriz ortogonal.El producto de dos matrices ortogonales es una matriz ortogonal.El determinante de una matriz ortogonal vale +1 ó -1.
A∗A t=I
A=(1
√21
√2−1√2
−1√2
)
NORMAL
Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta. Las matrices simétricas, anti simétricas u ortogonales son necesariamente normales.
A=( 5 4−4 5 )
A∗A t=At∗A
INVOLUTIVA
Es una matriz cuadrada ( tiene igual número de filas que de columnas) tal que su cuadrado es igual a la matriz unidad, es decir:
A es involutiva si A x A = I
A2 = I
NILPOTENTE
Decimos que una matriz cuadrada A es Nilpotente de orden r si y sólo si se verifica que Ar=0, ( r es el menor entero positivo )
A es nilpotente de orden
3, A3=0A=(0 1 30 0 −20 0 0 )
OPERACIONES CON MATRICES
Suma de matrices Si las matrices A= (a i j) y B= (b i j) tienen el mismo orden, la matriz suma es:A+B= (a i j+b i j).La matriz suma se obtiene sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma posición y la matriz resultante tiene el mismo orden de las matrices iníciales, o sea A y B.Ejemplo:
A=(2 0 13 0 05 1 1) B=(1 0 1
1 2 11 1 0)
A+B=(3 0 14 2 16 2 1)
Propiedades de la suma de matrices:
Interna:
La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n.Asociativa:
A + (B + C) = (A + B) + CElemento neutro:
A + 0 = ADonde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.Elemento opuesto:
A + (−A) = OLa matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo.Conmutativa:
A + B = B + A
Producto de un escalar por una matriz
Dada una matriz B= (b i j) y un número real k R, se define la multiplicación de un número real por una matriz a la matriz del mismo orden que A, en la que cada elemento está multiplicado por k.k · B=(k b i j)
Ejemplo:
B=(1 0 11 2 11 1 0)5∗B=(5 0 5
5 10 55 5 0)
Propiedades
a · (b · A) = (a · b) · A A Mmxn, a, b a · (A + B) = a · A + a · BA,B Mmxn , a (a + b) · A = a · A + b · A A Mmxn , a, b
1 · A = A A Mmxn
Producto de matrices Dos matrices A y B son multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B.
Mm x n x Mn x p = M m x p
El elemento c i j de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.
Ejemplo: Primer método de multiplicación de matrices:
A=(2 0 13 0 05 1 1) B=(1 0 1
1 2 11 1 0)
A∗B=(2∗1+0∗1+1∗1 2∗0+0∗2+1∗1 2∗1+0∗1+1∗03∗1+0∗1+0∗1 3∗0+0∗2+0∗1 3∗1+0∗1+0∗05∗1+1∗1+1∗1 5∗0+1∗2+0∗1 5∗1+1∗1+1∗0)
A∗B=(3 1 23 0 37 3 6)
Segundo método de multiplicación de matrices:
(1 0 11 2 11 1 0)
(2 0 13 0 05 1 1)
3 1 2
3 0 3
7 3 6
A * B =
Propiedades de la multiplicación de matrices:Asociativa:A · (B · C) = (A · B) · CElemento neutro:A · I = ADonde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A.No es Conmutativa:A · B ≠ B · ADistributiva del producto respecto de la suma:A · (B + C) = A · B + A · C
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