COORDENADAS COORDENADAS TOPOGRÁFICASTOPOGRÁFICAS
Ing. Pastor Carhuatocto Guerrero
Es un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares en el cual:
Eje de las ordenadas ≈ Eje Norte -SurEje de las abscisas ≈ Eje Este - Oeste
Y
X
-Y
-X EW
N
S
+X+Y
- X+Y
+X-Y
- X--Y
+E+N
+E- S
- W+ N
-W- S
COORDENADASCOORDENADAS
TOPOGRÁFICASTOPOGRÁFICAS SISTEMA DE COORDENADAS TOPOGRÁFICAS SISTEMA DE COORDENADAS TOPOGRÁFICAS | DEFINICIÓN DEFINICIÓN SISTEMA DE COORDENADAS TOPOGRÁFICAS SISTEMA DE COORDENADAS TOPOGRÁFICAS | DEFINICIÓN DEFINICIÓN
SISTEMA DE COORDENADAS TOPOGRÁFICAS
SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS RECTANGULARES
COORDENADASCOORDENADAS
TOPOGRÁFICASTOPOGRÁFICAS COORDENADAS TOPOGRÁFICAS COORDENADAS TOPOGRÁFICAS | CLASIFICACIÓN CLASIFICACIÓN COORDENADAS TOPOGRÁFICAS COORDENADAS TOPOGRÁFICAS | CLASIFICACIÓN CLASIFICACIÓN
1. COORDENADAS PARCIALES
2. COORDENADAS TOTALES
3. COORDENADAS ABSOLUTAS
COORDENADASCOORDENADAS
TOPOGRÁFICASTOPOGRÁFICAS 1.- COORDENADAS PARCIALES 1.- COORDENADAS PARCIALES 1.- COORDENADAS PARCIALES 1.- COORDENADAS PARCIALES
Se llaman coordenadas parciales del punto extremo de una alineación recta a las obtenidas con respecto a un sistema particular de ejes de coordenadas topográficas cuyo origen coincide con el punto origen de la alineación recta.
N
E
E
E
E
N
N
N
A
B
C
D
E
COORDENADASCOORDENADAS
TOPOGRÁFICASTOPOGRÁFICAS
X = D SEN Z también X = D SEN R
Y = D COS Z Y = D COS R
Z y R = Azimut y Rumbo de la alineación recta respectivamente
1.- COORDENADAS PARCIALES1.- COORDENADAS PARCIALES 1.- COORDENADAS PARCIALES1.- COORDENADAS PARCIALES
¿Cómo se calcula?
E
N
A
B (x,y)
DZ
D= Longitud de la alineación recta horizontal
COORDENADASCOORDENADAS
TOPOGRÁFICASTOPOGRÁFICAS 1.- COORDENADAS PARCIALES 1.- COORDENADAS PARCIALES ( PROYECCIONES )( PROYECCIONES ) 1.- COORDENADAS PARCIALES 1.- COORDENADAS PARCIALES ( PROYECCIONES )( PROYECCIONES )
E
N
A
B (x,y)
D
+ YB = D COS ZZ
Ordenada parcial de B = PROYECCIÓN NORTE
Abscisa parcial de B = PROYECCIÓN ESTE +XB = D SEN Z
COORDENADASCOORDENADAS
TOPOGRÁFICASTOPOGRÁFICAS 1.- COORDENADAS PARCIALES 1.- COORDENADAS PARCIALES ( PROYECCIONES )( PROYECCIONES ) 1.- COORDENADAS PARCIALES 1.- COORDENADAS PARCIALES ( PROYECCIONES )( PROYECCIONES )
E
N
J
K (x,y)
D - YK = D COS Z
+ XK = D SEN ZZ
Ordenada parcial de K = PROYECCIÓN SUR
Abscisa parcial de K = PROYECCIÓN ESTE
S
COORDENADASCOORDENADAS
TOPOGRÁFICASTOPOGRÁFICAS 1.- COORDENADAS PARCIALES 1.- COORDENADAS PARCIALES ( PROYECCIONES )( PROYECCIONES ) 1.- COORDENADAS PARCIALES 1.- COORDENADAS PARCIALES ( PROYECCIONES )( PROYECCIONES )
E
S
I (x,y)
D
- YI = D COS Z
Z
Ordenada parcial de I = PROYECCIÓN SUR
Abscisa parcial de I = PROYECCIÓN OESTE
- XI = D SEN ZW
N
COORDENADASCOORDENADAS
TOPOGRÁFICASTOPOGRÁFICAS
N
G (x,y)
D
YG = D COS Z
Z
Abscisa parcial de G = PROYECCIÓN OESTE
S
- XG = D SEN Z
Ordenada parcial de G = PROYECCIÓN NORTE
EW
1.- COORDENADAS PARCIALES 1.- COORDENADAS PARCIALES ( PROYECCIONES )( PROYECCIONES ) 1.- COORDENADAS PARCIALES 1.- COORDENADAS PARCIALES ( PROYECCIONES )( PROYECCIONES )
COORDENADASCOORDENADAS
TOPOGRÁFICASTOPOGRÁFICAS
En toda poligonal cerrada se debe cumplir, teóricamente, que la suma algebraica de las abscisas y la suma algebraica de las ordenadas parciales deben ser respectivamente iguales a cero.
∑ X = 0 ∑ Y = 0 ∑ X = 0 ∑ Y = 0
En la practica: ∑ X ≠ 0 ∑ Y ≠ 0
∑ X = Ex = Error total en abscisas parciales.
∑ Y = Ey = Error total en ordenadas parciales.
∑ X = Ex = Error total en abscisas parciales.
∑ Y = Ey = Error total en ordenadas parciales.
1.- COORDENADAS PARCIALES EN POLIGONALES CERRADAS1.- COORDENADAS PARCIALES EN POLIGONALES CERRADAS 1.- COORDENADAS PARCIALES EN POLIGONALES CERRADAS1.- COORDENADAS PARCIALES EN POLIGONALES CERRADAS
COORDENADASCOORDENADAS
TOPOGRÁFICASTOPOGRÁFICAS POLIGONAL CERRADA POLIGONAL CERRADA | ERROR LINEAL TOTAL DE CIERRE ERROR LINEAL TOTAL DE CIERRE POLIGONAL CERRADA POLIGONAL CERRADA | ERROR LINEAL TOTAL DE CIERRE ERROR LINEAL TOTAL DE CIERRE
Los errores Ex y Ey determinan el error lineal total de cierre (ET) de la poligonal cerrada.
ET = √ ET = √
A
B C
D
A’
A
A’EX
EY
ET
(EX)² + (EY)²
ERROR DE POSICIÓN
ERROR ABSOLUTO
COORDENADASCOORDENADAS
TOPOGRÁFICASTOPOGRÁFICAS POLIGONAL CERRADA POLIGONAL CERRADA | ERROR RELATIVO ERROR RELATIVO POLIGONAL CERRADA POLIGONAL CERRADA | ERROR RELATIVO ERROR RELATIVO
Una vez obtenido el error de cierre ET cometido en el levantamiento de una
poligonal cerrada se calcula su valor relativo ER con la siguiente formula:
ER = ----------- ER = -----------
ER
perímetro
Si el error relativo ER obtenido en le levantamiento de la poligonal es menor que el error relativo tolerable especificado, el levantamiento es ACEPTABLE totalmente, procediéndose luego a la compensación o corrección de las coordenadas parciales. Las coordenadas parciales estarán corregidas cuando se obtenga :
∑ X = 0 ∑ Y = 0 ∑ X = 0 ∑ Y = 0
COORDENADASCOORDENADAS
TOPOGRÁFICASTOPOGRÁFICAS 2.- COORDENADAS TOTALES2.- COORDENADAS TOTALES 2.- COORDENADAS TOTALES2.- COORDENADAS TOTALES
Las coordenadas totales son aquellos que se calculan con respecto a un solo sistema de ejes de coordenadas cuyo origen coincide con el vértice de partida elegido en la poligonal o en la triangulación. A dicho vértice de partida se le asigna coordenadas totales X= 0 , Y=0Las coordenadas totales se calculan en base a las coordenadas parciales corregidas aplicando las siguiente reglas :
1.- Al vértice de partida elegido como origen de coordenadas totales se le asigna
coordenadas X=0, Y=02.- Para calcular las coordenadas totales del vértice siguiente, a las coordenadas totales del vértice anterior se le suman algebraicamente las coordenadas parciales corregidas del vértice cuyas coordenadas totales se están calculando y asi sucesivamente hasta obtener las coordenadas totales de todos los vértices.
COORDENADASCOORDENADAS
TOPOGRÁFICASTOPOGRÁFICAS 2.- COORDENADAS TOTALES - EJEMPLO2.- COORDENADAS TOTALES - EJEMPLO 2.- COORDENADAS TOTALES - EJEMPLO2.- COORDENADAS TOTALES - EJEMPLO
Calcular : • Coordenadas parciales• Coordenadas totales y• Coordenadas absolutas
Azimut de campos: ZAB = 175˚
a) Cálculo del error angular de cierre (Ea): Suma teórica: I = 180˚ Suma de ángulos observados: I´ = 180˚ Error angular: Ea = I – I’ =0b) Cálculo de los azimut de los lados:ZAB = 175˚ + 180ZBA= 355 + 33 388 -360 ZBC= 28 + 180ZCB= 208 + 13 ZCA= 221°
ZCA = 175˚ - 180 ZAC= 41 + 134ZAB= 175°
COORDENADASCOORDENADAS
TOPOGRÁFICASTOPOGRÁFICAS 2.- COORDENADAS TOTALES - EJEMPLO2.- COORDENADAS TOTALES - EJEMPLO 2.- COORDENADAS TOTALES - EJEMPLO2.- COORDENADAS TOTALES - EJEMPLO
Calculo de las coordenadas parciales :
E
A
B
Z
S
N
B
CC
A
N N
E
E175° 28° 221°
20.60
67.0051.20
XB = 20.60 Sen 175°=1.795YB = 20.60 Cos 175°=20.522
XC= 67 Sen 28°=31.455YC = 67 Cos 28°=59.158
XA = 51.20 Sen 221°=1.795YA = 51.20 Cos 221°=20.522
PLANILLA DE CALCULO
LADO AZIMUT(Z) DISTANCIA(D)
COORDENADAS PARCIALES
+X -X +Y -Y
AB 175° 20.60 1.795 -20.522
BC 28° 61.00 31.455 59.158
CA 221° 51.20 -33.590 -38.641
PERIMETRO 138.80 33.250 -33.590 59.158 59.163
Ex=-0.340 Ey=-0.005
Calculo del error ET :
ET = √C alculo del error ER
ER = ET = 0.340 = 1 perimetro 138.80 408
(Error exagerado)
Calculo del error ET :
ET = √C alculo del error ER
ER = ET = 0.340 = 1 perimetro 138.80 408
(Error exagerado)
COORDENADASCOORDENADAS
TOPOGRÁFICASTOPOGRÁFICAS 2.- COORDENADAS TOTALES - EJEMPLO2.- COORDENADAS TOTALES - EJEMPLO 2.- COORDENADAS TOTALES - EJEMPLO2.- COORDENADAS TOTALES - EJEMPLO
Calculo de las coordenadas parciales:
PLANILLA DE CALCULO
LADO AZIMUT(Z) DISTANCIA(D)
COORDENADAS PARCIALES
+X -X +Y -Y
AB 175° 20.60 1.795 -20.522
BC 28° 61.00 31.455 59.158
CA 221° 51.20 -33.590 -38.641
PERIMETRO 138.80 33.250 -33.590 59.158 59.163
Ex=-0.340 Ey=-0.005
(EX)² + (EY)² = 0.340
COORDENADASCOORDENADAS
TOPOGRÁFICASTOPOGRÁFICAS 2.- COORDENADAS TOTALES - EJEMPLO2.- COORDENADAS TOTALES - EJEMPLO 2.- COORDENADAS TOTALES - EJEMPLO2.- COORDENADAS TOTALES - EJEMPLO
CORRECCIÓN DE LAS COORDENADAS PARCIALES La corrección o compensación de las coordenadas parciales de los vértices se efectúa solo cuando elerror relativo en el levantamiento es menor que el error relativo tolerable.EX, EY = Error total en abscisas y error total en ordenadas respectivamente. P = Perímetro de la poligonal. L = Longitud del lado considerado, cuyo punto extremo se va a corregir.ex, ey = Error en la abscisa y error en la ordenada del punto o vértice considerado CX, CY = Correcciones respectivas de la abscisa y de la ordenada del vértice considerado.
Para determinar los errores ex , ey formemos las siguientes proporciones:Ex = ex ex = Ex L P L P
EY = eY eY = EY L P L P
Considerando: Cx = -ex CY= -eyDel ejemplo propuesto: Ex = -0.340 Ey = -0.005Ahora calculamos:ex = -0.340 L = -0.002450 L Cx=+0.002450 L 138.80
ey = -0.005 L = -0.000036 L Cx=+0.000036 L 138.80
Considerando: Cx = -ex CY= -eyDel ejemplo propuesto: Ex = -0.340 Ey = -0.005Ahora calculamos:ex = -0.340 L = -0.002450 L Cx=+0.002450 L 138.80
ey = -0.005 L = -0.000036 L Cx=+0.000036 L 138.80
COORDENADASCOORDENADAS
TOPOGRÁFICASTOPOGRÁFICAS 2.- COORDENADAS TOTALES - EJEMPLO2.- COORDENADAS TOTALES - EJEMPLO 2.- COORDENADAS TOTALES - EJEMPLO2.- COORDENADAS TOTALES - EJEMPLO
Considerando: Cx = -ex CY= -eyDel ejemplo propuesto: Ex = -0.340 Ey = -0.005Ahora calculamos:ex = -0.340 L = -0.002450 L Cx=+0.002450 L 138.80
ey = -0.005 L = -0.000036 L Cx=+0.000036 L 138.80
Considerando: Cx = -ex CY= -eyDel ejemplo propuesto: Ex = -0.340 Ey = -0.005Ahora calculamos:ex = -0.340 L = -0.002450 L Cx=+0.002450 L 138.80
ey = -0.005 L = -0.000036 L Cx=+0.000036 L 138.80
LADO CX= + 0.002450 L X CY=+0.000036 L Y
AB L=20.60
L= 20.60
BC L=67.00
L=67.00
CA L=51.20
L=51.20
+1.795+0.051+1.846
+31.455+ 0.164+31.619
- 33.490+ 0.125-33.465
- 20.552+ 0.001- 20.521
+59.158+ 0.002+59.160
- 38.641+ 0.002- 38.639
PLANILLA DE CALCULO DE CORRECCIONES
COORDENADASCOORDENADAS
TOPOGRÁFICASTOPOGRÁFICAS 2.- COORDENADAS TOTALES - EJEMPLO2.- COORDENADAS TOTALES - EJEMPLO 2.- COORDENADAS TOTALES - EJEMPLO2.- COORDENADAS TOTALES - EJEMPLO
LADO CX= + 0.002450 L X CY=+0.000036 L Y
AB L=20.60
L= 20.60
BC L=67.00
L=67.00
CA L=51.20
L=51.20
+1.795+0.051+1.846
+31.455+ 0.164+31.619
- 33.490+ 0.125-33.465
- 20.552+ 0.001- 20.521
+59.158+ 0.002+59.160
- 38.641+ 0.002- 38.639
PLANILLA DE CALCULO DE CORRECCIONES
LADOCOORD. PARCIALES CORREGIDAS O PROYECCIONES CORREGIDAS
+X ( E ) -X ( W ) +Y ( N ) -Y ( S )
AB 1.846 -20.521
BC 31.619 59.160
CA -33.465 -38.639
SUMAS 33.465 -33.465 59.160 -59.160
CUADRO RESUMEN
ΣΣ X= 0 X= 0 ΣΣ Y= 0 Y= 0
COORDENADASCOORDENADAS
TOPOGRÁFICASTOPOGRÁFICAS 2.- COORDENADAS TOTALES - EJEMPLO2.- COORDENADAS TOTALES - EJEMPLO 2.- COORDENADAS TOTALES - EJEMPLO2.- COORDENADAS TOTALES - EJEMPLO
AHORA CALCULO DE LA COORDENADAS TOTALES.- Se aplica la regla anteriormente expuesta, pudiendo utilizarse la siguiente planilla de cálculo. Considerando que el azimut en el campo ha sido ZAB, podemos elegir al vértice A como origen de coordenadas y a partir de este vértice se calculan las coordenadas totales de los demás vértices.
Luego: xA = 0 ; yA= 0 la mencionada regla se aplica utilizando las coordenadas parciales corregidas.
VÉRTICECOORDENADAS TOTALES
X Y
A 0.000 0.000
B1.846 -20.521
1.846 -20.521
C31.619 59.160
33.465 38.639
A-33.465 -38.639
0.000 0.000
VÉRTICECOORDENADAS TOTALES
X YA 0.000 0.000 B 1.846 -20.521 C 33.465 38.639
CUADRO RESUMEN
PLANILLA DE CALCULO
CROQUIS INTERPRETATIVO
COORDENADASCOORDENADAS
TOPOGRÁFICASTOPOGRÁFICAS 3.- COORDENADAS ABSOLUTAS3.- COORDENADAS ABSOLUTAS 3.- COORDENADAS ABSOLUTAS3.- COORDENADAS ABSOLUTAS
Se llaman coordenadas absolutas de los vértices de una poligonal o de una triangulación, a las coordenadas totales obtenidas al desplazar arbitrariamente el origen de las coordenadas en una magnitud suficiente para que las sumas algebraicas realizadas para el calculo de las abscisas y de las ordenadas resultan todas positivas. Este desplazamiento se obtiene asignándolo al punto de partida elegido coordenadas enteras y positivas arbitrariamente según convenga. Poligonal considerando
coordenadas totales
Poligonal considerando coordenadas absolutas
COORDENADASCOORDENADAS
TOPOGRÁFICASTOPOGRÁFICAS 3.- COORDENADAS ABSOLUTAS3.- COORDENADAS ABSOLUTAS 3.- COORDENADAS ABSOLUTAS3.- COORDENADAS ABSOLUTAS
Continuando con el desarrollo de los cálculos de la poligonal triangular propuesta…
VÉRTICECOORDENADAS ABSOLUTAS
X YA 100.000 100.000
B1.846 -20.521
101.846 79.479
C31.619 59.160 33.465 138.639
A-33.465 -38.639 100.000 100.000
VÉRTICECOORDENADAS ABSOLUTAS
X YA 100.000 100.000 B 101.846 79.479 C 133.465 138.639
CUADRO RESUMEN
PLANILLA DE CÁLCULO
Croquis para ser dibujado a escala 1/200
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