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METODOS NUMERICOS
CICLO 2015-3
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Clase 1: Medida de Errores
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¿Por qué medir los errores ?
1) Para determinar la exactitud de los
resultados numéricos.
2) Desarrollar criterios de parada para los
algoritmos iterativos .
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Error Real
Se define como la diferencia entre el valor realen un cálculo y el valor aproximado encontrado
usando un método numérico , etc.
Error Real= Valor Real – Valor Aproximado
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Ejemplo — Error Real
La derivada, )( x f de una función )( x f puede seraproximada por la ecuación:
h
x f h x f
x f
)()(
)('
Si xe x f 5.07)( y 3.0h
a) Hallar la aproximación del valor de )2(' f
b) El valor real de )2(' f
c) El error real de (a)
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Ejemplo
Solución:
a) Para 2 x y 3.0h
3.0
)2()3.02()2('
f f f
3.0
)2()3.2( f f
3.0
77 )2(5.0)3.2(5.0 ee
3.0
028.19107.22263.10
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Ejemplo
Solución:
b) El valor exacto de )2(' f puede ser aproximado
x
e x f 5.0
7)( xe x f 5.05.07)('
xe 5.05.3
)2(5.05.3)2(' e f
Así, el valor real de )2(' f es
5140.9
El error real es calculado como:t E Valor real – Valor aproximado
722.0263.105140.9
usando el cálculo diferencial
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Error Real Relativo
Definido como la razón entre el el errorreal y el valor real.
Error Real Relativo ( t ) =Error Real
Valor Real
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Ejemplo — Error Real Relativo
Continuando el ejemplo anterior de error real,hallar el error real relativo de xe x f 5.07)( para )2(' f
con 3.0h
722.0t E
Del ejemplo anterior,
RealValor
RealErrort
El Error Real Relativo es definido como:
5140.9
722.0075888.0
como porcentaje,%100075888.0t %5888.7
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Error Aproximado
¿Qué se puede hacer si no se conocen los valores verdaderoso son muy difíciles de obtener ?
El Error aproximado se define como la diferencia entre laaproximación presente y la aproximación anterior.
Error Aproximado ( a E ) = Aproximación Presente – Aproximación Previa
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Ejemplo de Error Aproximado
Para xe x f 5.07)( evaluado en 2 x hallar lo siguiente,
a) )2( f usando 3.0h
b) )2( f usando 15.0hc) el error aproximado para el valor de )2( f en b)
Solución:
a) Para
h
x f h x f x f )()()('
2 x y 3.0h
3.0
)2()3.02()2('
f f f
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Ejemplo
3.0
)2()3.2( f f
Solución: (cont.)
3.0
77 )2(5.0)3.2(5.0 ee
3.0
028.19107.22263.10
b) Para 2 x y 15.0h
15.0
)2()15.02()2('
f f f
15.0
)2()15.2( f f
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Ejemplo
Solución: (cont.)
15.0
77 )2(5.0)15.2(5.0 ee
15.0
028.1950.208800.9
c) El error aproximado a E es a E Aproximación Presente – Aproximación Previa
263.108800.9
38300.0
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Error Relativo Aproximado
Definido como la razón entre el erroraproximado y la aproximación presente.
Error Relativo Aproximado (Error Aproximado
Aproximación Presentea) =
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Ejemplo de Error Relativo Aproximado
Para xe x f 5.07)( en 2 x , encontrar el error relativo
aproximado usando : 3.0h y 15.0h
Solución:Del ejemplo 3, el valor aproximado de 263.10)2( f
usando 3.0h y 8800.9)2( f usando 15.0h
a E Aproximación Presente – Aproximación Previa
263.108800.9
38300.0
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Ejemplo
Solución: (cont.)
a
Error Aproximativo
Aproximación Presente
8800.9
38300.0038765.0
Como porcentaje,
%8765.3%100038765.0a
El error aproximado relativo absoluto es,
|038765.0|a%8765.3or 038765.0
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Cómo es un error relativo absoluto
utilizado el criterio de parada?
Si sa || donde s es una tolerancia pre-especificada,
Si al menos m digitos significativos son requeridospara que la respuesta final sea correcta entonces,
%105.0||
2 m
a
No se precisa más iteraciones son y el proceso
se detiene.
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Tabla de Valores
Para xe x f 5.07)( con 2 x y diferentes tamaños de paso h
0.3 10.263 N/A 0
0.15 9.8800 3.877% 1
0.10 9.7558 1.273% 1
0.01 9.5378 2.285% 1
0.001 9.5164 0.2249% 2
h )2( f a m
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Clase 1: Fuentes de Error
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Error de Redondeo
Generada por representar un númeroaproximadamente:
333333.031
...4142.12
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Efecto de arrastrar dígitos significativos
en los cálculos
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Encuentrar la contracción en el
diámetro
dT T D Dc
a
T
T
)(
Ta=80oF; Tc=-108
oF; D=12.363”
α = a0+ a1T + a2T 2
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Error de Truncamiento
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Ejemplo de Error de truncamiento
El uso de un incremento finito x para aproximar )( x f
x
x f x x f x f
)()()(
P
Q
secant line
tangent line
Derivada aproximada
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Ejemplo 1 — Series de Maclaurin
Calcular el valor de 2.1e con un error relativo absolutode menos del 1%.
...................!3
2.1
!2
2.12.11
322.1
e
n
1 1 __ ___
2 2.2 1.2 54.545
3 2.92 0.72 24.658
4 3.208 0.288 8.9776
5 3.2944 0.0864 2.6226
6 3.3151 0.020736 0.62550
a E %a
2.1e
Se requieren 6 términos. ¿Cuántos son necesarios para conseguir al menos1 dígito significativo correcto en su respuesta?
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Ejemplo 2 — Diferenciación
1.0 x
Encontrar )3( f para 2)( x x f usando x
x f x x f x f
)()()(
y 2.0 x
2.0
)3()2.03()3(
' f f f
2.0
)3()2.3( f f
2.0
32.3 22
2.0
924.10
2.0
24.12.6
El valor actual es:,2)(' x x f 632)3(' f
El error de truncamiento es; 2.02.66Nota: Encontrar el error de truncamiento
con
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Examplo 3 — Integración
9
3
2dx x
Use dos rectángulos de igual anchura paraaproximar el área bajo la curva para
2
)( x x f en el intervalo ]9,3[
y = x2
0
30
60
90
0 3 6 9 12
x
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Ejemplo de integración (cont.)
)69()()36()(6
2
3
2
9
3
2
x x x xdx x
3)6(3)3( 22
13510827
La elección de un ancho de 3 genera
El valor real está dada por9
3
2
dx x
9
3
3
3
x2343
39 33
El error de truncamiento es entonces99135234
Nota: Calcular el error con 4 rectángulos
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Clase 1: Propagación de Errores
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Propagación de Errores
En los métodos numéricos , los cálculos no sehacen con números exactos . ¿Cómo se propagan
estas imprecisiones a través de los cálculos?
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Ejemplo 1:Encuentra los límites para la propagación en la adición de dos números. Porejemplo si uno está calculando X +Y donde
X = 1.5 0.05Y = 3.4 0.04
Solución
Máximo valor posible de X
= 1.55 andY
= 3.44
Máximo valor posible de X + Y = 1.55 + 3.44 = 4.99
Mínimo valor posible de X = 1.45 and Y = 3.36.
Mínimo valor posible de X + Y = 1.45 + 3.36 = 4.81
Entonces4.81 ≤ X + Y ≤4.99.
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Propagación de errores en las fórmulas
f nn X X X X X ,,.......,,, 1321 f
n
n
n
n
X X
f X
X
f X
X
f X
X
f f 1
1
2
2
1
1
.......
Si es una función de varias variablesentonces el valor máximo posible del error en es
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Ejemplo 2:
La fórmula de un cierto calculo esta dada por:
Donde
Encuentrar el error máximo posible para
E h
F 2
N9.072 F mm1.04h
GPa5.170 E
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Ejemplo 2:
)1070()104(
72923
610286.64
286.64
E E
hh
F F
Solución
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Ejemplo 2: E h F 21
E h
F
h 32
22 E h
F
E
E E h F h
E h F F
E h E 2232 21
92923
933923
105.1)1070()104(
72
0001.0)1070()104(
7229.0
)1070()104(
1
3955.5
Por lo tanto
)3955.5286.64(
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Ejemplo 3:
La resta de números que son casi iguales puede crear imprecisiones nodeseadas. Utilizando la fórmula para la propagación de errores , muestrarque esto es cierto.Solución
Sea
Entonces
Así que el cambio relativo es
y x z
y y
z x
x
z z
y x )1()1(
y x
y x
y x
z
z
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Ejemplo 3
Por ejemplo si:
001.02 x
001.0003.2 y
|003.22|
001.0001.0
z
z
= 0.6667
= 66.67%