2
Derivada de una función compleja
Teorema del valor medio para funciones reales Si f(x) es continua en a < x < b y f '(x) existe para a < x < b, entonces hay al menos un punto c (a < c < b) tal que: f '(c) = [ f(b) f(a) ] / [ b a ].
-1 10
Además los dos caminos tienen longitudes diferentes.
Ninguno de los dos teoremas aplican a las funciones complejas. Por ejemplo: el teorema del valor intermedio, nos dice que si f(a) = -1 y f(b) = 1 entonces necesariamente existe al menos un valor a b, tal quef(. En compleja, podemos empezar en -1 y acabar en +1 sin haber pasado por (0+0i).
Teorema del valor intermedio para funciones realesSea f(x) continua para a < x < b y f(a)f(b)entonces f toma todos los valores entre f(a)yf(b) en el intervalo a b
3
Derivada de una función real
x
y
0x
x
xfxxfxf
x
)()(lim:)( 00
00
xx 0
x
)( 0xf
)( 0 xxf
Si no existe el límite, no existe la derivada en x0. Decimos entonces que f(x) no es derivable o no es diferenciable en x0.Podemos hacer el límite por la derecha y por la izquierda, y ambos deben coincidir.
4x
y
0z
z
zfzzfzf
z
)()(lim:)( 0
00
z
u
v)( 0 zzf
)( 0zf
)()( 00 zfzzf zz 0
Derivada de una función compleja
Observemos que ahora el límite se puede hacer no solamente por la derecha o por la izquierda, sino por infinitos caminos. Para que la derivada esté definida el límite debe existir y ser el mismo independientemente del camino.
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Mostrar que f(z) = zn es diferenciable para todo z y que f/(z) = nzn-1.
Ejemplo:
10
10
10
01
0
000
0
00
00
)(lim
)(
lim
)(
lim)(
lim:)(
niinn
iz
iinn
i
z
niinn
i
z
nn
z
nzzzi
n
z
zzi
nz
zzzi
n
z
zzzzf
Observa que el resultado es independiente de la trayectoria con que se aproxima a cero. Como z0 es arbitrario, el resultado es válido para todo z y f´(z) = nzn-1.
z
6
La reglas de derivabilidad son las mismas que en cálculo de funciones reales de variable real:
(c f)/ = c f/
(f+g)/ = f/ + g/
(f g)/ = f/ g + f g/
(f/g)/ = (f/ g - f g/)/g2
La regla de la cadena rige de la misma forma.
Ejercicio: Demostrar las reglas a partir de la definición de derivada.
9
Regla de L'Hôpital:
Si f(z0) = 0 y g(z0) = 0 y las funciones son diferenciables en z0 con g'(z0) diferente de 0, entonces:
)(')('
lim)()(
lim00 zg
zfzgzf
zzzz
Extensión: Si f(z0) = f'(z0) = ... = f(n-1)(z0) = 0 y g(z0) = g'(z0) = ... = g(n-1)(z0) = 0 y las funciones y las 2n funciones derivadas son diferenciables en z0 (y con g(n)(z0) diferente de cero), entonces:
)(
)(lim
)(
)(lim
)(
)(
00 zg
zf
zg
zfn
n
zzzz
10
Diferenciales
Si w = f(z) es continua y tiene primera derivada continua en una región R, entonces:
z
w
dz
dwzfdzzfdw
z
dzdzzfzzzfw
z
0lim)(')('
.0cuando0donde
)(')('
Diferencial de w
11
Algunas funciones reales no poseen derivada (en ciertos puntos)...
Por ejemplo:
De forma similar, algunas funciones complejas no poseen derivada… ¡en ningún punto del plano complejo! Demostrado por Cauchy en 1820
x
y
x
y
xxf
1)(
12
Curva de WeierstrassLa curva de Weierstrass es, históricamente hablando, el primer fractal conocido. Fue creado o descubierto (según las preferencias filosóficas del lector) por el matemático Karl Weierstrass en 1861. Lo notable en este caso, respecto a la curva de Koch, es que disponemos de la ecuación, como serie infinita, de la curva:
0
)cos()(n
nn xbaxW
Para que la función carezca de tangente única en cada uno de sus puntos, es necesario que: 0 < a < 1, b sea un entero impar y a b > 2/31
13
Algunas funciones complejas no poseen derivada en ningún punto
Ejemplo zzf )(
yix
yix
yix
yix
z
z
z
zzz
z
zfzzfzf
zz
zz
z
00
00
0
limlim
limlim
)()(lim)(
Sigamos dos caminos distintos:x
y
zz
z
x
y 12
1 21lim0
z
1lim0
z
El límite no es único, por lo tanto no existe límite. Como z es arbitrario, no existe derivada en ningún punto.
(función continua en todo el plano complejo porque sus componentes u y v lo son)
14
Ejemplo 2||)( zzf
z
zzzz
z
zzzzzz
z
zzz
z
zfzzfzf
z
z
z
z
0
0
22
0
0
lim
))((lim
||||lim
)()(lim)(
Sigamos de nuevo los doscaminos distintos anteriores:
(función continua en todo el plano complejo porque sus componentes u y v lo son)
1
2
zzzzz
0
lim;
Como el límite debe ser único:
zzzzz
0
lim;
0 zzzzz La derivada existe solo en z = 0 y vale 0.Este ejemplo muestra como una función puede ser diferenciable en un punto sin serlo en ningún otro de su entorno.
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Obtener los puntos del plano complejo donde la función
es diferenciable. Calcular su derivada.)Re()( zzzf
yix
yxyxxyixxx
yix
xiyxxxyyixxz
zzzzzz
z
zfzzf
z
z
zz
2lim
lim
ReRelimlim
2
0
0
00
0)0(
0RelimRe
lim00
lim
:0z Si
000
f
zz
zz
z
fzfzzz
16
0;
0;
0
22
limlimlim
:0
22lim
2limlim
:0
:0z Si
000
0
2
00
y
x
y
xxxiyx
xxy
yxi
z
zfzzf
yiz
iyxiyxxx
xiyxxx
z
zfzzf
ixz
yyz
x
xz
z=0
0z puntos losen blediferencia es no f(z)
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